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学大教育广州技术有限公司佛山分公司高二数学（文）学案： 第三章 导数图像与单调性(B级) 学生版 选修1-1.doc 11页
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学大教育广州技术有限公司佛山分公司高二数学（文）学案： 第三章 导数图像与单调性(B级) 学生版 选修1-1
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内容 要求层次 重难点
导数在研究函数中的应用
利用导数研究函数的单调性（其中多项式函数不超过三次）
C 了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间
了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值
会利用导数解决某些实际问题．
函数的极值、最值（其中多项式函数不超过三次） C
设函数在上连续，在内可导．
（1）如果在内，那么函数在上单调增加；
（2）如果在内，那么函数在上单调减少．
【解读】设函数在某区间内可导，在该区间上单调递增；在该区间上单调递减．反之，若在某个区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；若在某个区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）．
求可导函数单调区间的一般步骤和方法
确定函数的的定义区间；
求，令，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根；
把函数的无定义点的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义区间分成若干个小区间；
确定在各个区间内的符号，根据的符号判定函数在每个相应小区间内的增减性．
函数的单调性
（重庆2010理）已知函数，其中实数．
（）若，求曲线在点处的切线方程；
（）若在处取得极值，试讨论的单调性．
（2010丰台一模）设．
（1）若函数在区间内单调递减，求的取值范围；
（2）若函数处取得极小值是，求的值，并说明在区间内函数的单调性．
（2010宣武一模）已知函数
（1）若为的极值点，求的值；
（2）若的图象在点处的切线方程为，求在区间 上的最大值；
（3）当时，若在区间上不单调，求的取值范围．
（2010东城一模）已知函数，
（1）若曲线在点处的切线与直线平行，求的值；
（2）求函数的单调区间和极值；
（3）当，且时，证明：．
（重庆2009理科）设函数在处取得极值，且曲线在点处的切线垂直于直线．
（）求的值；
（）若函数，讨论的单调性
已知函数的单调性．
（2010石景山一模）已知函数．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若函数在其定义域内为增函数，求正实数的取值范围；
（3）设函数，若在上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围．
（2011年东城一模）已知函数，且．
（）求的值；
（）求函数的单调区间；
（）设函数，若函数在上单调递增，求实数的取值范围．
（2011年怀柔一模）已知函数（，实数，为常数）．
（）若，求在处的切线方程；
（）若，讨论函数的单调性．
（辽宁2010理）已知函数
（I）讨论函数的单调性；
（II）设．如果对任意，，求的取值范围．
（全国二卷2009）设函数有两个极值点，且
（I）求的取值范围，并讨论的单调性；
（II）证明：
（课标2010理）设函数．
（1）若，求的单调区间；
（2）若当时，求的取值范围
（江苏2011）已知是实数，函数，，和是和的导函数．若在区间上恒成立，则称和在区间上单调性一致．
（1）设，若和在区间上单调性一致，求实数的取值范围；
（2）设且，若和在以为端点的开区间上单调性一致，求 的最大值．
（辽宁2009理科）已知函数
（1）讨论函数的单调性；
（2）证明：若，则对任意，，有．
（山东2010理）已知函数．
（）当时，讨论的单调性；
（）设时，若对任意，存在，使，求实数的取值范围．
【易错点总结】容易把(或)看成为增函数（或减函数）的充要条件，从而求错参数的取值范围．
利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便，但应注意(或)仅是在某个区间上为增函数（或减函数）的充要条件，在内可导的函数在上递增（或递减）的充要条件应是（或恒成立，且在的任意子区间内都不恒等于0，这就是说，函数在区间上的增减性并不排斥在区间内个别点处有甚至可以在无穷多个点处只要这样的点不能充满所给区间的任何一个子区间即可．因此，在已知函数是增函数（或减函数）求参数的取值范围时，应令（或）恒成立，解出参数的取值范围（一般可用不等式恒成立理论求解），然后检验参数的取值能否使恒等于0，若恒等于0，则参数的这个值应舍去，若不恒为0，则由（或）恒成立解出的参数的取值范围确定．
分类讨论思想在导数中的应用，利用分类讨论思想解题一般分为四个步骤：1）明确讨论现象，即对哪个参数进行讨论；2）对所讨论的对象进行合理的分类；3）逐次讨论；4）归纳总结．
【导函数二次函数型讨论步骤】1）讨论二次函数的二次项系数，分为三种情况；2）讨论值，分为三种情况，一般情况下是可以合并的，原函数都是单调的；3）在的情况下讨论两根
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学年高二数学北师大版选修1-1课件：第4章 导数应用 1.2 函数的极值
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学年高二数学北师大版选修1-1学案：第4章 导数应用 2.2 最大值、最小值问题
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学年高二数学苏教版选修1-1学案：3.3.2 极大值与极小值
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数学选修1-1利用函数的单调性.证明下列不等式、并通过函数图像直观验证1、sin x0 x∈(0.1)3.ex>1+x x≠04.In x
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没学过选修1-1,也不知道是什么版本的,估计是这样子做的1、sinx0在(0,π)恒成立∴f(x)在(0,π)单调增当x=0,f(x)=sin0-0=0∴f(x)=sinx-x>0即sinx>x2、x-x??>0,x∈(0,1)f(x)=-x??+x=x(1-x)在(0,1)恒大于0∴成立3、设f(x)=e^x-(1+x)则f`(x)=e^x-1∵f`(x)在(-∞,0)小于0,(0,+∞)大于0∴f(x)在(-∞,0)单调减,(0,+∞)单调增当x=0时,f(0)=0又x≠0∴f(x)=e^x-(1+x)>0在x≠0恒成立所以原式子成立4、设f(x)=lnx-x,g(x)=x-e^x∴f`(x)=1/x-1,g`(x)=1-e^x∴f`(x)在(0,1)大于0,(1,+∞)小于0g`(x)在(0,+∞)
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