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圆中的定值和最值问题
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2017高考数学解题技巧万能答题模板：专题08 巧解圆锥曲线中的定点和定值问题
2017高考数学解题技巧万能答题模板：专题08 巧解圆锥曲线中的定点和定值问题
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专题08 巧解圆锥曲线中的定点和定值问题
【高考地位】
圆锥曲线是解析几何的重要内容之一，也是高考重点考查的内容和热点，知识综合性较强，对学生逻辑思维能力计算能力等要求很高，这些问题重点考查学生方程思想、函数思想、转化与化归思想的应用．定值问题与定点问题是这类题目的典型代表，为了提高同学们解题效率，特别是高考备考效率，本文列举了一些典型的定点和定值问题，以起到抛砖引乇的作用．
【方法点评】
求解直线和曲线过定点问题的基本是：把直线或曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点．
上的两点，且，其中F为椭圆的右焦点.
(1)求实数的取值范围;
(2)在x轴上是否存在一个定点M，使得为定值?若存在，求出定值和定点坐标；若不存在，说明理由.
【变式演练1】已知椭圆过点，点是椭圆的左焦点，点、是椭圆上的两个动点，且、、成等差数列．
（1）求椭圆的标准方程；
（）求证：线段的垂直平分线经过一个定点.
解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值求定值问题常见的有两种：
从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．【例】(a＞＞，P(m，0)为C的长轴上的一个动点，过P点斜率为的直线l交C于A、B两点.当m＝
(1)求C的方程；
(2)证明：为定值.
$来&源：ziyuanku.com【】如图，已知椭圆过点(1，)，离心率为，左、右焦点分别为 .点 为直线 上且不在轴上的任意一点，直线 和 与椭圆的交点分别为 和 为坐标原点．
(1)求椭圆的标准方程．
(2)设直线 的斜率分别为 .
(ⅰ)证明：＝2.ziyuanku.com
(ⅱ)问直线 上是否存在点P，使得直线 的斜率 满足 ？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，说明由．
【高考再现】
1.已知抛物线顶点为原点，其焦点直线距离为为直线的点，过作抛物线两条切线其中切点抛物线；点直线上的，求直线方程；在直线移动时，求最小值的顶点为原点,其焦点到直线:的距离为.设为直线上的点,过点作抛物线的两条切线,其中为切点.
(Ⅰ) 求抛物线的方程；
WWW.ziyuanku.com(Ⅱ) 当点为直线上的定点时,求直线的方程；
(Ⅲ) 当点在直线上移动时,求的最小值.
解：(Ⅰ) 依题意,设抛物线的方程为,由结合,
解得. 所以抛物线的方程为.
(Ⅱ) 抛物线的方程为,即,求导得
3.已知动圆过定点A(4,0), 且在y轴上截得的弦MN的长为
(Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹C的方程
(Ⅱ) 已知点B(1,0), 设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P, Q, 若x轴是的角平分线
$来&源：ziyuanku.com： 的左、右焦点分别是，离心率为，过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）点是椭圆上除长轴端点外的任一点，连接，设的角平分线交的长轴于点，求的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点作斜率为的直线,使与椭圆有且只有一个公共点，设直线的斜率分别为.若，试证明为定值，并求出这个定值.
5.在直角坐标系xOy中，曲线C1的点均在C2：（x-5）2＋y2=9外，且对C1上任意一点M，M到直线x=﹣2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值.
（Ⅰ）求曲线C1的方程；
（Ⅱ）设P(x0,y0)（y0≠±3）为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别与曲线C1相交于点A，B和C，D.证明：当P在直线x=﹣4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值.
解：（Ⅰ）解法1 ：设M的坐标为，由已知得
易知圆上的点位于直线的右侧.于是，所以
所以，当P在直线上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值6400..
6.如图，椭圆，动圆.点分别为的左、右顶点，与相交于四点
（1）求直线与直线交点的轨迹方程；
（2）设动圆与相交于四点，其中，.若矩形与矩形的面积相等，证明：为定值
7．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的左、右焦点分别为，．已知和都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率．
（1）求椭圆的离心率；
（2）设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线
与直线平行，与交于点P．
资*源%库 ziyuanku.com（i）若，求直线的斜率；
（ii）求证：是定值．
∴设、的方程分别为，
由①②得，，，
∴是定值已知抛物线的焦点为，为上异于原点的任意一点，过点的直线交于另一点，交轴的正半轴于点，且有.当点的横坐标为3时，为正三角形.
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）若直线，且和有且只有一个公共点，
（ⅰ）证明直线过定点，并求出定点坐标；
（ⅱ）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.
故直线AB的斜率kAB＝－.
因为直线l1和直线AB平行，
所以点B到直线AE的距离为
d＝＝＝4，
则△ABE的面积S＝×4x0＋＋2≥16，
当且仅当＝x0，即x0＝1时，等号成立．
所以ABE的面积的最小值为16.圆的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图），双曲线过点P且离心率为.
（1）求的方程；
（2）椭圆过点P且与有相同的焦点，直线过的右焦点且与交于A，B两点，若以线段AB为直径的圆心过点P，求的方程.
因为＝(－x，－y1)，＝(－x，－y)，由题意知＝0，
所以x－(x＋x)＋y－(y＋y)＋4＝0，⑤
将①②③④代入⑤式整理得
－2 ＋4 －11＝0，
解得m＝－1或m＝－＋1.
因此直线l的方程为
－(－1)y－＝0或x＋(－1)y－＝0.如图，已知双曲线()的右焦点,点分别在的两条渐近线上，轴，∥(为坐标原点）.
求双曲线的方程；
过上一点的直线与直线相交于点，与直线相交于点，证明点在上移动时，恒为定值，并求此定值
A(2，)，，F（2,0），
M(2，)，N(，)………………………………………………… 9分
1．已知圆点，轴上截得弦长为，设该动圆圆心的轨迹为曲线
（1）求方程；
点：上任意一点，过作曲线的切线，切点分别为，求证：直线 恒过定点，并求出该定点．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求证：直线恒过定点，并求出此定点坐标；
3．已知椭圆的离心率为，且过点
(1)求椭圆的标准方程：
(2)四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC，BD过原点O，若
（i）求的最值：
（ii）求证：四边形ABCD的面积为定值.
资*源%库4．，过焦点垂直于长轴的弦长为1，且焦点与短轴两端点构成等边三角形.
（I）求椭圆的方程；
（II）过点的直线l交椭圆于A，B两点，交直线于点E，判断是否为定值，若是，计算出该定值；不是，说明理由.
5.（本小题满分12分）
已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于 ，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点.
（）求椭圆C的方程；
（）点P(2，3)， Q（2，-3）在椭圆上，A，B是椭圆上位于直线PQ两恻的动点，
若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；
当A、B运动时，满足于APQ=∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由.
6.已知直线过椭圆的右焦点，抛物线的焦点为椭圆的上顶点,且直线交椭圆于两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线交轴于点,且,当变化时, 的值是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，说明由.
7.已知椭圆的离心率为
，直线与以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆相切.
（1）求椭圆的方程；
（2）如下图，、、是椭圆的顶点，是椭圆上除顶点外的任意点，直线交轴于点，直线交于点，设的斜率为，的斜率为，求证：为定值.
8.（本小题满分12分）已知点是椭圆：上一点，分别为的左右焦点，，的面积为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设，过点作直线，交椭圆异于的两点，直线的斜率分别为，证明：为定值.
9．已知左焦点为的椭圆过点．过点分别作斜率为的椭圆的动弦，设分别为线段的中点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若为线段的中点，求；
（3）若，求证直线恒过定点，并求出定点坐标．
10.（本小题满分13分）已知椭圆过点,离心率为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点且斜率为（）的直线与椭圆相交于两点，直线、分别交直线 于、两点,线段的中点为.记直线的斜率为，求证: 为定值.
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（第19题）
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椭圆中的一个定点定值问题
定理1 如图1,已知点A是椭圆x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)的左顶点,点B,C在椭圆上,直线AB,AC的斜率为k1,k2,且k1k2=q(不等于零的常数),则直线BC过定点(a(b2+a2q)/b2-a2q,0).
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