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求函数极限的若干方法
题目求极限的若干方法学生年级2012级专业数学与应用数学哈尔滨师范大学学士学位论文开题报告论文题目求极限的若干方法学生姓名指导教师年级08级专业数学与应用数学2011年11月课题来源由论文指导委员会提供课题研究的目的和意义在自然科学中、工程技术，甚至某些社会科学中，函数是被广泛应用的数学概念，从小学开始我们就已经接触到了函数，函数贯穿了我们整个的学习时段。既然函数在数学学习中处于核心地位，那么我们用什么方法来研究函数呢这个方法就是极限。无论是再中学数学还是在大学数学中，极限的概念和思想都非常重要，从量变中认识质变，都要用到极限。我们还能够通过极限研究函数的连续性、可导性、收敛性等概念。因此极限概念是研究函数的重要概念，具有一定的理论意义和现实意义。首先，本篇论文总结了所有求函数的极限方法，帮助学生理解和掌握极限概念，牢固地掌握求极限的方法，并把极限的思想运用到更广泛的区域。其次，在进行函数极限求解的过程中，巧妙地运用了数学中相关的理论知识，达到巩固、复习的目的，培养学生一题多解的思维能力。第三，运用极限的思想能够解一些我们不能精确计算的结果。第四，通过本课题的研究，培养了自身的探究精神，提高了自身的科学素养和实践操作能力。国内外同类课题研究现状及发展趋势作研究函数最基本的方法极限思想，早在古代就有比较清楚的描述。我国魏晋时期杰出的数学家刘薇于公元263年创立了“割圆术”，是使用了极限的思想。在近代数学许多分支中一些重要的概念与理论都是极限和连续函数概念的推广、延拓和深化。因此只有深刻地理解极限的出发点是至关的无穷小量，19世纪柯西根据微积分研究的需要改进了极限方法。但是前人在对求函数极限的方法都是单一的，而没有一个对求函数极限的方法进行全面的归纳总结。本文就系统而全面地总结了求函数极限的方法，并把各类方法加以综合利用，帮助我们解决求各类函数极限过程中遇到的问题，对某些题目还能够不痛的方法解答。近年许多专家学者对函数极限的计算方法作了研究，并取得了一定的突破。房俊、李广民研究了用中值定理求函数极限的方法；曹学锋、孙幸荣讨论了利用无穷小量计算函数的极限。众所周知常见的求极限的方法包含无穷小量、重要极限公式、洛必达法则等。但实际在求极限时并不是依靠单一方法，而是把多种方法加以综合运用。对函数极限求解方法的讨论是本文的核心点，本文通过一些典型例题来讨论求函数极限的解法并加以
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函数极限求解方法归纳.pdf
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函数极限求解方法归纳
(浙江财经学院东方学院，浙江杭州310018)
摘要：极限是微积分学中的一个基本概念，是微积分
利用描述性说明可以容易地估计出一些简单的函数极
学中各种概念和计算方法能够建立和应用的前提。函数极限
11．o r4。
的计算比较灵活。本文对函数求极限的几种方法进行了归纳。
关键词：函数极限求解方法归纳
限也都可以根据描述性定义，结合图像方便地得到。
六类基本初等甬数的极限需要学生熟记于心．这是后面
极限的思想是近代数学的一种重要思想，其思想方法贯穿
求一些复杂函数极限的基础。但其中，有一些极限会比较容易
于微积分学的始终。可以说微积分学的几乎所有概念都离不开
混淆。在应用的时候要引起注意。比如：
极限。在几乎所有的微积分教材中，都是先介绍函数理论和极限
的思想方法，然后利用极限的思想方法给出连续函数、导数、定
limlnx=一∞：lim
lnx=+oo；lime‘=+o*；lime。--0
积分、级数的敛散性、多元函数的偏导数、广义积分的敛散性和
r．0+r．+‘r．o‘x—0．
重积分的概念。因此极限是微积分学中一个很重要的基本概念
之一，是微积分学各种概念和计算方法能够建立和应用的基础。
应该说。极限的求解方法比较灵活，学生在实际计算时经
2．利用极限的四则运算法则
常会碰到一些问题。因此，本文对函数极限的几种常用的求解
利用极限的四则运算法则可以求一些较为简单的复合函
方法加以归纳。
数的极限．但在应用的时候必须满足定理的条件：参加求极限
1．利用极限的描述性定义
的函数应为有限个．且每个函数的极限都必须存在；考虑商的
极限的描述性定义为：若当自变最的绝对值…无限增大
极限时，还需要求分母的极限不为0。
时，相应的函数值f(x)无限接近某确定的常数A，则称当X趋向
例1：lim(、／i=『+、／i)．
无穷时函数f(x)以A为极限，或f(X)收敛到A，记为
limf(x)=A或f(x)—+A(x—÷∞)
错解：原式=lim佰+lim、／i=∞．
n—●∞n—●-
学中，要注重学生思维潜力的挖掘．发挥其既是知识的产物．
去．并在不断的“问题获解”过程中深化、发展学生的思维。
又是知识媒介的双重作用。
1．把知识的教学与思想方法的培养同时纳入教学目的的
2．引导学生抓住思维的转折点。学生的思维有时会出现
原则。各章应有明确的数学思想方法的教学目标．教案中要精
“卡壳”的现象，这就是思维的障碍点。此时教师应适时地加以
心设计思想方法的教学过程。
疏导、点拨。促使学生思维转折。并以此为契机促进学生思维
2．寓思想方法的教学于完善学生的知识结构之中、于教
发展。思维扩展这一环节是知识的形成阶段，属抽象思维的高
学问题的解决之中的原则。知识是思想方法的载体，数学问题
级阶段。数学教学过程实质上是由一连串的转化过程所构成
是在数学思想的指导下，运用知识、方法“加工”的对象。离开
的。学生接受新知识要借助于旧知识．而旧知识的思维形式往
正在加载中，请稍后...都教授说考研数学：函数极限真题解法
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数学是一门神奇的学科，同时也充满挑战性，很多人对数学望而生畏，因此部分同学在选择考研时尽量避开数学。其实，数学没有那么神秘而艰难，这在我们每年的数学满分者中可见端倪，而其他科目，如政治、英语，根本就没有出现过满分。这一点充分说明，考研数学是有章可循的，只要方法得当、复习充分、持之以恒，取得高分绝不是痴人说梦。
考研数学要求考生比较系统地理解数学的基本概念和基本理论，掌握数学的基本方法，具备抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力。下面老师带领同学们学习一道函数极限的真题，让同学们体会考研数学对综合能力的考查。
这道题目来源于2008年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题的第15题。
首先，我们一起看一下这道题目：求极限.
这道题考查的是极限求法的综合运用，解法很多，下面我们一起看一下几种具体的解法：
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &
说明：该解法先利用了重要极限，然后利用替换法和洛必达法则求解。
说明：该解法先用了替换法，然后利用等价无穷小替换和洛必达法则求解。
解法三：由，得，于是，故.
说明：该解法主要用泰勒公式求解。
函数在上由拉格朗日中值定理知，，使，
则，又 ，则，所以.
说明：该解法利用了等价无穷小替换、拉格朗日中值定理及洛必达法则求解。
这道真题的多种解法，体现了考研真题的灵活性。详细分析每种解法，发现每种解法都是多种方法的结合使用，体现了考查目标对广大考生的要求。
通过这道题的分析，同学们应该对考研数学的考查形式有了一定的深入了解，对解题方法的多样性也有了深刻的认识。这就要求同学们在平时的复习中，既要掌握基本方法的运用，又要提高综合运用知识的能力。所以，在数学整学年的复习中，同学们首先要打牢基础，然后构建起全面的知识结构体系和掌握多种重要的方法与结论，最后通过不断地巩固与练习，将所学的知识熟练地应用到具体题目中。只有这样循序渐进，不断地总结与归纳，有目标、有方向地学习，才能在考研数学的考试中取得高分。
&&& （来源：文都教育）
(责编：李小琳、贺迎春)
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13．求函数极限有哪些方法? 在某一极限过程中,参加极限四则运算的每一个极限都必须有相同的过程,而且每个极限都必须存在才能运算． 我们通过下面几道题来总结一下求函数极限的方法． 例1 求 思路启迪 由于f是在的某邻域内有定义的初等函数,所以也是在的某邻域内有定义的初等函数．根据初等函数的连续性可求出该极限． 规范解法 由初等函数的连续性.得 例2 求 思路启迪 由于当x→2时,分子.分母的极限都存在.并且分母的极限不为0.所以可以将x→2直接代入分子.分母.根据初等函数的连续性.分别求出分子分母的极限.再求商即可． 规范解法 例3 求 思路启迪 由于将x→-2代入分母.可得分母极限为0.所以此题不能用直接入法．根据观察,可以将分子分母分解因式,都可以分解出极限为0的x+2,约去公因式即可求极限了． 规范解法 例4 思路启迪 因为.所以不能直接用求函数极限差的运算法则,可将函数通分变形后再求极限． 规范解法 例5 求 思路启迪 由于分子,分母的极限都是无穷大,所以分子.分母同除以最高次项.使分子.分母的极限都存在． 规范解法 点评 一般地 例6 求 思路启迪 求函数极限时.若碰到分子.分母中有根号的情形.经常会把分子或分母有理化.使原极限可求． 规范解法 例7 求 思路启迪 分子.分母中分别有.直接求极限不好求.可以采用变量规换的方法.令 规范解法 例8 求 思路启迪 出现 规范解法一 规范解法二 规范解法三 【】
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