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误差的表示方法
&&主要介绍用于分析化学
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为确定测量仪器的示值误差，当其接受高等级的测量标准器检定或校准时，则标准器复现的量值即为约定真值，通常称为实际值，即满足规定准确度的用来代替真值使用的量值
各种电工仪表应用于实际电路测量时，不论仪表的质量如何，它的指示值与被测量的实际值之间由于各种因素的影响总有一定的差别，这个差别即是仪表的误差。根据产生误差的原因...
规定被测量值，如对于标准热电偶的检定或分度，通常选用锌、锑及铜三个温度固定点进行示值检定或分度，则在此三个值上标准热电偶的误差，即为基值误差
人们在用测量仪器测量时，总希望得到真实的被测量值，但实际上多次测量同一个被测量时，得到的是不同的示值
一、传感器的定义
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绝对误差和相对误差
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测量误差的表示方法
&& 误差一般有绝对误差与相对误差两种表示方法。
&& 一、绝对误差
&& 绝对误差（绝对真误差）是被测量的给出值与真值之差，可以表示为
&& Δｘ&＝ｘ－Ａ０
&& 式中 &Δｘ———&绝对误差；
　　&&& ｘ———&被测量的给出值；
&&&&&&&&& Ａ０———&被测量的真值。
&& 被测量的给出值有较广的范围，包括被测量的实测值，仪器的示值，量具或元件的标称值、预置值，计算的近似值等。
&& 被测量的真值是在一定的时间、空间条件下唯一的客观存在，但却是一个理想的概念，难以通过测量获得。在实际测量中一般可按以下几种情况确定：
&（１）理论真值。例如，平面三角形三内角之和恒为180°；正弦交流电路中理想电容和电感上电压与电流的相位差为90°。此外，还有理论设计值和理论表达值等。
&（２）计量学约定真值。凡满足国际计量大会决定的单位测量条件复现的量值都是计量学约定真值。
&（３）以实际值代替真值。按规定要求，达到误差可以忽略不计就可以认为该值接近于真值，称之为实际值（或约定／相对真值），可用以代替真值。
&& 高等级计量标准器或仪器的误差与所用测量仪器的误差相比不大于１／５（或１／３～１／２０）时可认为前者是后者的实际值。
&& 用已修正过的多次测量的算术平均值可作为实际值。
&& 与绝对误差大小相等、符号相反的量称为修正值Ｃ，即
&& Ｃ&＝Ａ０&－ｘ
&& 由式（２．２）可见，当测量得到给出值后，加上修正值即可消除误差的影响而得到实际值。在某些较准确的仪器中，常以表格、曲线或公式的形式给出修正值。有些自动测量仪器还将修正值存储在仪器中，测量时对测量结果自动进行修正。
&& 修正值一般在进行仪器校准时给出。图２．１为某一电流表的校正曲线（此曲线是由连接校
验值与修正值相对应的各点而作出，为一折线）。图中Ｃ&为修正值，Ａ&为读数。
&& 二、相对误差
&& 绝对误差的表示方法，一般不便于描述测量结果的准确程度。例如，测量两个电压的结果：一个是２００Ｖ，绝对误差为２Ｖ；另一个是１０Ｖ，绝对误差为０.５Ｖ。仅从绝对误差来看，无法比较这两个测量结果的准确程度。前者绝对误差大，但只占给出值的１％；后者绝对误差小，但占给出值的５％，因此提出了相对误差的概念。相对误差的形式很多，常用的有以下几种：
&& １．相对真误差γＡ
&& 相对真误差为绝对误差&Δｘ与真值Ａ０&的比值，通常用百分数来表示：
&& 当用实际值代替式（２．３）中的真值时，所表达的关系称为实际相对误差。
&& ２．示值相对误差（标值相对误差）γｘ
&& 示值相对误差是绝对误差&Δｘ与给出值ｘ&的比值，即
&& 因为给出值中也有误差，所以这种表示方法不很严格，而是在误差较小时的一种近似计算，不适用于误差较大时的情况。
&& ３．引用误差（满度相对误差）yｎ
&& 引用误差是一种简化、实用的相对误差表示方法，用来表示仪器、仪表的准确程度，常在多挡和连续刻度的仪器、仪表中应用。
&& 一般仪器、仪表是用来测量某一规定范围的被测量，而不是只测量某一固定大小的被测量。当测量不同大小的被测量时，相对真误差就会随着改变，因而用相对真误差或示值相对误差不便于衡量仪器、仪表的准确程度。
&& 将式（２．４）中的分母ｘ（给出值）换为仪器、仪表的量程xm&后，所表达的即为引用误差
&& 在仪器、仪表的量程范围内，各示值的绝对误差会有差别。确定仪器、仪表准确度等级时，取该仪器、仪表量程内出现的最大绝对误差&Δｘｍａｘ&与仪器、仪表量程ｘｍ&的比值，称为最大引用误差）γｎ，ｍａｘ，即
&& 国家标准&ＧＢ７７６—７６《电测量指示仪表通用技术条件》规定，电测仪表按准确度分为：
0.1，0.2，0.5，1.0，1.5，2.5，5.0等７7级。它们的基本误差以最大引用误差计，分&别&不&超过：±０．１％，±０．２％，±０．５％，±１．０％，±１．５％，±２．５％，±５．０％。
&& 例2.1&检定一个满度值为５Ａ的１．５级电流表，若在２．０Ａ刻度处的绝对误差最大，Δｘｍ&＝＋０．１Ａ，问此电流表准确度是否合格？
&& 解&按式（２．６）求此电流表的最大引用误差
&& 因为２．０％&＞１．５％，即该表的基本误差超出１．５级表的允许值，所以该表的准确度不合格。但该表最大引用误差小于２．５级表的允许值，若其他性能合格，可降作２．５级表使用。
&& 需要强调指出，仪器、仪表的等级ｋ，所表明的是其最大引用误差在&±ｋ％&范围以内，不能误认为在量程内各示值的示值相对误差均在±ｋ％&以内。例如，量程为ｘｍ&的ｋ级仪器、仪表，当示值为ｘ１&时，绝对误差为
&& Δx1&≤ｘmk％&（２．７）
&& 示值相对误差为
&& 由式（２．８）可见，示值ｘ１&愈小，可能的示值相对误差愈大。
&& 为了减小测量中的示值误差，当选择仪器、仪表量程时，应使被测量的数值接近满度值。一般使这类仪器、仪表工作在不小于满度值２／３以上的区域，如图２．２所&示。
&& 三、数字式仪器误差的表示
&& 数字式仪器的误差常用以下三种方式表示：
&& 在误差中，一部分是与被测量值的大小有关的项（如标准电源电压的误差、输入放大器的误差、衰减器的误差、刻度系数误差、非线性误差等）；另一部分是与被测量值大小无关的项（如量化误差、零点漂移、噪声干扰等）。
&& 式（2.17）也有写成：读数的±α％±满度的β％±ｎ个字（或某值）。例如，英国Ｓｏｌａｒｔｒｏｎ的ＬＭ１４９０型数字电压表的误差公式为
&& 数字式仪器的准确度有时称为&±α％，但实际误差比&±α％&大。现在，数字式仪器的等级是按基本误差系数（α＋β）的大小（即ｘ＝ｘｍ&时的基本误差相对值）来划分，并且适当考虑其他有关性能。例&如，直&流&数&字&式&电&压&表&的&准&确&度&等&级&按&基&本&误&差&系&数&大&小&（±０．０００５％&～±１．０％），并规定相应基本量程的输入电阻和零电流的大小而划分为１１个等级（０．０００５～１．０级）。
&& 四、测量的不确定度
&& 测量的不确定度是表征被测量的真值在某个量值范围的一个评定，即表示测量结果附近的一个范围，而被测量的真值以一定的概率落于其中。
&& 测量误差是在测量过程中产生的，前已述及，被测量准确的真值难以通过测量获得，所以误差也是难以准确得知的。但是，可以由各种依据用统计方法、估算方法估计出误差的上、下界，通常就称之为不确定度。
&& 因为不确定度是用估计方法得出，所以要同时以置信概率表明其可以信赖的程度。
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误差(errors)是实验科学术语，指结果偏离真值的程度。数学上称测定的数值或其他与真值的差为误差。误差理论即研究实验中误差情况的一门理论，误差理论是测试技术仪器仪表及工程实验等领域不可缺少的重要理论基础，它在科学与生产实践中起着重要作用。
误差理论基本概念
误差(errors)是实验科学术语，指结果偏离真值的程度。数学上称测定的数值或其他与真值的差为误差。对任何一个物理量进行的测量都不可能得出一个绝对准确的数值，即使使用测量技术所能达到的最完善的方法，测出的数值也和真实值存在差异，这种测量值和真实值的差异称为误差。数值计算分为和。也可以根据误差来源分为（又称可定误差、已定误差）、（又称机会误差、未定误差）和毛误差(又称粗差)。
误差理论即研究实验中误差情况的一门理论，误差理论是测试技术仪器仪表及工程实验等领域不可缺少的重要理论基础，它在科学与生产实践中起着重要作用，因此受到普遍重视并得到迅速发恳随着现代化、自动化和高精度测试技术的不断出现，使测试结果数据处理的理论与方法也向高水平发展，而成为其核心问题的误差理论则由经典时代发展到现代化新水平阶段，逐渐形成了现代误差理论新概念。
误差理论研究与发展
误差理论的应用与研究，己经历200年的历史，它伴随着生产与科技而并行发展，总体进程可分为经典误差理论和现代误差理论两个阶段经典误差理论以严格统计理论为基础，主要限于以随机误差为对象的一系列数据处理方法现代科技的发展，暴露出它存在许多不足现代误差理论则以传统理论与现代化理论和实践相结合为原则，以多种性质不同的误差为对象的处理方法，具有明显的实用性特征。
分析误差理论产生与发展的漫长过程，可以看出始终困扰着的一个重要因素就是如何处理测量数据隐含的系统误羌初期的经典误差理论仅有误差这个概念，而且是采用统计理论来处理测量结果和进行误差评定，很显然这是认为测量数据中只存在随机误羌但是在长期的科学实践中，一些著名科学家发现影响测量准确度的因素不仅仅是随机误差，而且还有其他因素，提出了误差的可分性，即将误差进一步分为随机误差(偶然误差)系统误差和粗大误差等三类，并给出相应的处理方法，即剔除粗大误差、修正系统误差，而用随机误差统计参量来评定测量结果的精度从误差的单一性发展到误差的可分性，这是误差理论的重要进恳虽然它对系统误差的处理还不完善，特别是还不能发现所有的系统误差，在测量结果中仍存在系统误差影响，但它明显提高了测量数据处理的科学性和误差评定的可靠性。
本世纪中期，随着测量准确度的不断提高，对测量数据处理的要求也愈来愈高，科技工作者在深入研究随机误差和系统误差的处理理论基础上，提出了误差转化概念，即认为在一定条件下，某些随机误差和系统误差可以互相转化，其中特别是将系统误差进一步分为己定系统误差和未定系统误差两类，并给出相应处理方法即对己定系统误差进行修正，而对未定系统误差则计入测量结果的精度评定，这是误差理论又一次重要发展，并由此必然提出了一个新问题，即在测量结果的精度评定中必须包含随机误基转化后的随机误差和只知误差限的未定系统误差，对这些误差需用一个误差数值来表示，为此必须进行误差合成[1]
误差理论真值
常用来与测量值作对比的一个数值称为真值，真值分为以下几类：
（1）理论真值：一个量具有严格定义的理论值通常称为理论真值。
（2）约定真值：根据国际计量委员会通过并发布的各种物理参量单位的定义，利用当今最先进科学技术复现这些实物单位基准，其值被公认为国际或国家基准，称为约定真值。例如：保存在国际计量局的1Kg铂铱合金原器就是1Kg质量的约定值。
误差理论误差分类
根据误差产生的原因及性质可分为与两类[2]
误差理论系统误差
由于仪器结构上不够完善或仪器未经很好校准等原因会产生误差。例如，各种的，、表盘的刻度不准确等都会造成误差。
由于实验本身所依据的理论、公式的近似性，或者对实验条件、测量方法的考虑不周也会造成误差。例如，热学实验中常常没有考虑散热的影响，用测电阻时没有考虑电表的影响等。
由于测量者的生理特点，例如反应速度，分辨能力，甚至固有习惯等也会在测量中造成误差。
以上都是造成系统误差的原因。系统误差的特点是测量结果向一个方向偏离，其数值按一定规律变化。我们应根据具体的实验条件，系统误差的特点，找出产生系统误差的主要原因，采取适当措施降低它的影响。
误差理论偶然误差
在相同条件下，对同一物理量进行多次测量，由于各种偶然因素，会出现测量值时而偏大，时而偏小的误差现象，这种类型的误差叫做偶然误差。
产生偶然误差的原因很多，例如读数时，视线的位置不正确，测量点的位置不准确，由于环境温度、湿度、电源电压不稳定、振动等因素的影响而产生微小变化等等。这些因素的影响一般是微小的，而且难以确定某个因素产生的具体影响的大小，因此偶然误差难以找出原因加以排除。
但是实验表明，大量次数的测量所得到的一系列数据的偶然误差都服从一定的，这些规律有：
a.相等的正的与负的误差出现机会相同；
b.绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多；
c.误差不会超出一定的范围。
实验结果还表明，在确定的测量条件下，对同一物理量进行多次测量，并且用它的算术平均值作为该物理量的测量结果，能够比较好地减少偶然误差。
误差理论误差表示
误差理论绝对误差
设某物理量的测量值为x，它的真值为a，则x-a=ε；由此式所表示的误差ε和测量值x具有相同的单位，它反映测量值偏离真值的大小，所以称为绝对误差（即测量值与真实值之差的绝对值）。
绝对误差可定义为：
式中：△为绝对误差，X为测量值，L为真实值。
注：绝对误差是有正负，有方向的。
误差理论相对误差
误差还有一种表示方法，叫相对误差，它是绝对误差与测量值或多次测量的平均值的比值，即或，并且通常将其结果表示成非分数的形式，所以也叫。
绝对误差可以表示一个测量结果的可靠程度，而相对误差则可以比较不同测量结果的可靠性。
误差理论引用误差
仪表某一刻度点读数的绝对误差Δ比上仪表上限Am ，并用百分数表示。
最大引用误差：仪表在整个量程范围内的最大示值的绝对误差Δm比仪表量程上限Am ，并用百分数表示。
误差理论标称误差
标称误差=（最大的绝对误差）/量程 x 100%。
测量仪器的示值误差是指“测量仪器示值与对应输入量的真值之差”，这是测量仪器的最主要的计量特性之一，其实质就是反映了测量仪器准确度的大小。大则其准确度低，示值误差小，则其准确度高。
示值误差是对真值而言的。由于真值是不能确定的，实际上使用的是或实际值。为确定测量仪器的示值误差，当其接受高等级的测量标准器检定或校准时，则标准器复现的即为约定真值，通常称为实际值，即满足规定准确度的用来代替真值使用的量值。所以指示式测量仪器的示值误差=示值-实际值；实物量具的示值误差=-实际值。
误差理论基值误差
它是指“为核查仪器而选用在规定的示值或规定的被测量值处的测量仪器误差”。为了检定或校准测量仪器，人们通常选取某些规定的示值或规定的被测量值，则在该值上测量仪器的误差称为基值误差。
费业泰. 误差理论的研究与进展[J]. 计量技术, 1998(jl):40-41.
费业泰. 误差理论与数据处理[M]. 机械工业出版社, 2015.
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