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&一道中学几何证明题，求助初高中专职数学教师未果，大家帮帮忙
一道中学几何证明题，求助初高中专职数学教师未果，大家帮帮忙
作者 yangling2007
各位，这道题是一个亲戚家小孩问了，苦思冥想很久，问了很多人都不会，有专家解答下么？感激！
一道中学数学几何证明题.jpg
我证明不了EF 平分 DQ， 但是可以证明， 如果Q是D关于EF的对称点， 那么AQ， OI， BC三线共点。
我对辅助线一向很头疼，只会简单粗暴无脑流。利用最近比较流行的trilinear coordinates. 它比普通的笛卡尔坐标系更加有内蕴性质。参考
内心 I=(1,1,1), 外心 O=(cosA, cosB, cosC)，所以直线 OI=（cosB-cosC, cosC-cosA, cosA-cosB).
注意：点 （alpha,beta, gamma) 在直线(a,b,c)上指 内积a*alpha+b*beta+c*gamma=0.
设r是内接圆半径，那么D 点的 Absolute trilinear coordinate 是
(0, 2r*cos^2(C/2), 2r*Cos^2(B/2)),
设D点垂直EF 于点M， 那么M点的 Absolute trilinear coordinate 是
（2r*cos(B/2)cos(C/2)cos((C-B)/2), 2r*cos(C/2)cos(A/2)sin(B/2), 2r*cos(B/2)cos(A/2)sin(C/2)&&),
由于M是DQ中点，由此得到Q点的Absolute trilinear coordinate 是
（4r*cos(B/2)cos(C/2)cos((C-B)/2),2r*cos(C/2)sin((B-A)/2), 2r*cos(B/2)sin((C-A)/2)&&)
因此 直线AQ=(0, cos(B/2)sin((C-A)/2), -cos(C/2)sin((B-A)/2) ).
直线BC=（1，0，0）显然。
由于三线共点 充分必要条件是 行列式=0，就是三个行向量
（1，0，0）， （cosB-cosC, cosC-cosA, cosA-cosB)， (0, cos(B/2)sin((C-A)/2), -cos(C/2)sin((B-A)/2) ) 矩阵行列式等于0。这一眼就可以看出，大概用一下三角函数的和差化积公式就好了，
Ｔｒｉｌｉｎｅａｒ　Ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ肯定不是初中的小朋友能玩得转的，所以必然有很精巧的答案，利用辅助线，相似，全等之类性质搞定。
不过，等上了大学以后，就知道系统地研究一个课题该从何着手了，开始喜欢框架，ｍａｃｈｉｎｅｒｙ　之类，人也越来越懒，就记住　简单　粗暴　之类的方法，咳
附上一个图吧，它几乎是三角形　三点共线，　三线共点　的集大成者，　看看小朋友对它有没有点意思
三角形的奥秘.png
引用回帖:: Originally posted by hank612 at
Ｔｒｉｌｉｎｅａｒ　Ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ肯定不是初中的小朋友能玩得转的，所以必然有很精巧的答案，利用辅助线，相似，全等之类性质搞定。
不过，等上了大学以后，就知道系统地研究一个课题该从何着手了，开始 ... 初中的小朋友要是能玩转这，那就真的是把我拍死在沙滩上了。数学很精妙！
运用平面解析几何（高中知识范围），这只是个繁而不难的题目
引用回帖:: Originally posted by liuqh at
运用平面解析几何（高中知识范围），这只是个繁而不难的题目 不是一般繁琐，我在想，这题的本意应该是用几何的知识解决，而不是靠解析几何来完成证明。
可以上东方论坛上的数学板块，里面有很多牛人，平面几何里最强的大概是老封了。
引用回帖:: Originally posted by Goulam at
可以上东方论坛上的数学板块，里面有很多牛人，平面几何里最强的大概是老封了。 亲，你可以帮忙问问不？我没注册发不了帖。感谢！
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求助一道高中数学题
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解:设A(m,n),则过A点的切线的斜率为:y'(m)=m所以直线L的斜率为-1/m,又直线L过A点所以直线L的方程:y-n=(-1/m)(x-m),即y-m^2/2+1=(-1/m)(x-m)整理得:y=-x/m+m^2/2点P（x ，y）在曲线C上移动时，点Q（2x+ay , bx+y+1）在直线L上移动则:y=x^2/2-1 .................(1)bx+y+1=...
解:设A(m,n),则过A点的切线的斜率为:y'(m)=m所以直线L的斜率为-1/m,又直线L过A点所以直线L的方程:y-n=(-1/m)(x-m),即y-m^2/2+1=(-1/m)(x-m)整理得:y=-x/m+m^2/2点P（x ，y）在曲线C上移动时，点Q（2x+ay , bx+y+1）在直线L上移动则:y=x^2/2-1 .................(1)bx+y+1=-(2x+ay)/m+m^2/2.........(2)把(1)代入(2)并整理得:bx+x^2/2=(-2/m)x+(-a/m)(x^2/2)+(a/m+m^2/2)方程两边对应相等则b=-2/m1=-a/ma/m+m^2/2=0解得m＝±√2,a=-√2或√2,b=-√2或√2所以A点的座标(±√2,0),a=b=±√2(2)点Q的轨迹方程就是直线L的方程即±x+√2y-√2=0
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