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对x分类讨论就出答案了。。。
发错了。。。
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求问大神——关于数学分析的完备性证明
1，ρ（f,g）=max[a,b]|f(x)-g(x)|&&证（C[a,b], ρ）为完备的距离空间
2，||f||∞=max[a,b] |f(x)| 证明（C[a,b],||*||∞）是完备的线性赋范空间
对完备性一直不太明白，如何证明任意柯西列都是收敛列，希望大神给出关于完备性比较具体的证明过程和解释
酱油党莅临的地方，不仅仅是挽尊，不仅仅是消灭零回复；酱油所过，暖意无边。
只为经验，回完就跑，绝不回头。
书上有啊。。。
呜呼。。。不知所云
如果f1,f2...是柯西列，那么
对任意ε&0，存在正整数N，对任意m,n&N，有
max|fm-fn|&ε
所以根据实数完备性，对任意x属于[a,b]，数列{fn(x)}收敛。记其极限为f(x)。
后面就好办了，证明f是一个连续函数并且fn按无穷范数收敛到f就行了，懒得打了
还是简单写一下吧
|f(x)-f(y)|=|(f(x)-fn(x))+(fn(x)-fn(y))+(fn(y)-f(y))|
&=|(f(x)-fn(x))|+|(fn(x)-fn(y))|+|(fn(y)-f(y))|
当x-y足够小时，上面三项可以同时任意小，所以加起来也一样，所以f是连续函数
至于fn收敛到f就更好证了
对任意x属于[a,b]，由fn是柯西列，对任意ε&0，对任意ε&0，存在正整数N，对任意m,n&N，有
|fm(x)-fn(x)|&ε
fn(x)-ε&fm(x)&fn(x)+ε
令m趋于无穷，得到不等式
fn(x)-ε&f(x)&fn(x)+ε
|f(x)-fn(x)|&ε
上式对任意x成立，所以
max|f(x)-fn(x)|&=ε
所以fn在无穷范数下收敛到f
完备性的关键在于找到函数列极限：
比如在连续函数空间C[a,b]上的柯西函数列{fn(x)}，对闭区间[a,b]上每一个点x0来说，数列{fn(x0)}是收敛的（因为实数域或复数域是完备的），记其极限为f(x0)，那么f(x)就是函数列在该度量下的极限。
数学分析教材里都有问题1的证明。
还有，无穷范数是本性上界而不是上界。
Goldly gorgeous sensei eat, chill in hall full be cheerz
回复 6楼 的帖子
本性上界是说去掉一个零测集后的上确界，然后再对零测集取下确界？
题目说的是连续函数，不存在这个问题吧
回复 7楼 的帖子
恩。在这个函数空间里，无穷范数等于最大模。但是定义是错的，容易留下一个无穷范数就是最大模的印象。
Goldly gorgeous sensei eat, chill in hall full be cheerz
回复 地板 的帖子
能简单说一下第二个证明的思路吗？是要证任何有上界的子集都有上确界么？
酱油党莅临的地方，不仅仅是挽尊，不仅仅是消灭零回复；酱油所过，暖意无边。
只为经验，回完就跑，绝不回头。
回复 9楼 的帖子
什么第二个证明？
回复 10楼 的帖子
||f||∞=max[a,b] |f(x)| 证明（C[a,b],||*||∞）是完备的线性赋范空间
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回复 11楼 的帖子
我上面说的就是第二个，第一个应该可以由第二个推出
回复 12楼 的帖子
||f||2=(∫abf2(x)dx)^(1/2)
证明（C[a,b], ||.||2）是不完备的线性赋范空间
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||f||2=(∫abf^2(x)dx)^(1/2)
证明（C[a,b], ||.||2）是不完备的线性赋范空间
[ 本帖最后由 xldong 于
16:40 编辑 ]
酱油党莅临的地方，不仅仅是挽尊，不仅仅是消灭零回复；酱油所过，暖意无边。
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回复 13楼 的帖子
自己去查泛函分析的书吧...}