如图，四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，在①AB∥CD；②AO=CO；③AD=BC中任意选取两个作为条件，“四边形ABCD是平行四边形”为结论构造命题．（1）以①②作为条件构成的命题是真命题吗？若是，请证明；若不是，请举出反例；-题库-e学大
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如图，四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，在①AB∥CD；②AO=CO；③AD=BC中任意选取两个作为条件，“四边形ABCD是平行四边形”为结论构造命题．（1）以①②作为条件构成的命题是真命题吗？若是，请证明；若不是，请举出反例；-题库-e学大
【解答题】如图，四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，在①AB∥CD；②AO=CO；③AD=BC中任意选取两个作为条件，“四边形ABCD是平行四边形”为结论构造命题．（1）以①②作为条件构成的命题是真命题吗？若是，请证明；若不是，请举出反例；（2）写出按题意构成的所有命题中的假命题，并举出反例加以说明．（命题请写成“如果…，那么…．”的形式）1）以①②作为条件构成的命题是真命题，证明：∵AB∥CD，∴∠OAB=∠OCD，在△AOB和△COD中，，∴△AOB≌△COD，∴OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形．（2）根据①③作为条件构成的命题是假命题，即如果有一组对边平行，而另一组对边相等的四边形是平行四边形，如等腰梯形符合，但不是平行四边形；根据②③作为条件构成的命题是假命题，即如果一个四边形ABCD的对角线交于O，且OA=OC，AD=BC，那么这个四边形是平行四边形，如图，答案解析相关微课程上一题：下一题：发现相似题
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（2013?无锡）如图，四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，在①AB∥CD；②AO=CO；③AD=BC中任意选取两个
（2013?无锡）如图，四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，在①AB∥CD；②AO=CO；③AD=BC中任意选取两个作为条件，“四边形ABCD是平行四边形”为结论构造命题．（1）以①②作为条件构成的命题是真命题吗？若是，请证明；若不是，请举出反例；（2）写出按题意...
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2015年中考数学专题复习四 开放探索问题(世纪金榜课件)
专题四开放探索问题考点一条件开放探索问题条件开放探索问题的三种类型1.补充条件型:题目给出部分条件、然后再添加一个(或几个)条件,使结论成立.2.探索条件型:题目只给出结论,通过分析给出结论特征,发现使结论成立的条件.3.条件变化型:在原有条件与结论的基础上,题目的结论发生变 化,需要补充的条件.【例1】(2013?随州中考)如图,点F,B,E,C在同一直线上,并且BF=CE,∠ABC=∠DEF.能否由上面的已知条件证明△ABC≌△DEF?如果能,请给出证明;如果不能,请从下列三个条件中选择一个 合适的条件,添加到已知条件中,使△ABC≌△DEF,并给出证明. 提供的三个条件是:①AB=DE;②AC=DF;③AC∥DF.【思路点拨】全等三角形的判定方法有:SSS,SAS,ASA,AAS.已 知条件是一边一角,很显然不能证明两三角形全等.题目后面提 供的条件①可满足“SAS”,条件②不能满足全等三角形的判定. 条件③可满足“ASA”.【自主解答】由已知条件不能证明△ABC≌△DEF. 添加条件①时,证明:∵BF=CE,∴EF=BC, ∵∠ABC=∠DEF,AB=DE,∴△ABC≌△DEF(S.A.S.). 添加条件③时,∵AC∥DF,∴∠ACB=∠DFE, ∴△ABC≌△DEF(A.S.A.);添加条件②AC=DF;此时是S.S.A.不 能证明全等.【特别提醒】 解条件开放探索问题的一般思路:由已知的结论反思题目应具 备怎样的条件,即从题目的结论出发,结合图形挖掘条件,逆向 思维,逐步探寻,是一种分析型思维方式,它要求解题者善于从 问题的结论出发,逆向探索,多方向寻因.【备选例题】(2013?安顺中考)如图, 已知AE=CF,∠AFD=∠CEB,那么添加下 列一个条件后,仍无法判定△ADF≌ △CBE的是 A.∠A=∠C C.BE=DF ( ) B.AD=CB D.AD∥BC【解析】选B.A,添加∠A=∠C,可以根据“角边角”证全等;B, 添加AD=CB,形成两边及其对角的情况,两个三角形不一定全 等;C,添加BE=DF,可以根据“边角边”证全等; D,添加AD∥BC,可得∠A=∠C,然后可以根据“角边角”证全等; 故选B.【对点训练】 1.(2014?昆明中考)如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD 相交于点O,下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的 是 ( )A.AB∥CD,AD∥BC C.AD=BC,AB∥CDB.OA=OC,OB=OD D.AB=CD,AD=BC【解析】选C.A选项由两组对边分别平行的四边形是平行四边 形能判定四边形ABCD是平行四边形;B选项由对角线互相平分的 四边形是平行四边形能判定四边形ABCD是平行四边形;D选项由 两组对边分别相等的四边形是平行四边形能判定四边形ABCD是 平行四边形;而C选项满足条件为一组对边平行,另一组对边相 等,不一定是平行四边形,如等腰梯形.【变式训练】(2013?娄底中考)如图,AB=AC,要使△ABE≌ △ACD,应添加的条件是 .(添加一个条件即可)【解析】若根据SAS证明时,则可以添加AD=AE;若根据ASA证明 时,则可以添加∠C=∠B;若根据AAS证明时,则可以添加 ∠ADC=∠AEB. 答案:∠C=∠B(或∠AEB=∠ADC或∠CEB=∠BDC或AE=AD或CE=BD, 答案不唯一)【知识归纳】判定三角形全等的思路 找夹角(SAS) 已知两边 找直角(HL) 找另一边(SSS) 边为角的对边 找任一角(AAS) 找夹边的另一角(ASA) 边为角的邻边 找夹角的另一边(SAS) 找边的对角(AAS) 已知两角 找夹边(ASA)已知一边 一角找夹边外的任意一边(AAS)2.(2013?镇江中考)写一个你喜欢的实数m的值 使关于x的一元二次方程x2-x+m=0有两个不相等的实数根.,【解析】∵关于x的一元二次方程x2-x+m=0有两个不相等的 实数根,∴Δ=(-1)2-4m&0,解得m& ∴m=0,-1等只要比 1 小的数皆可.4 4 1 , 4答案:0(答案不唯一,只要满足m& 1 都行).3.(2014?娄底中考)如图,要使平行四边形ABCD是矩形,则应添 加的条件是 (添加一个条件即可).【解析】根据矩形的判定定理:对角线相等的平行四边形是矩 形,有一个角是直角的平行四边形是矩形,故添加条件 ∠ABC=90°或AC=BD. 答案:∠ABC=90°(或AC=BD,答案不唯一)4.(2013?无锡中考)如图,四边形ABCD中, 对角线AC与BD相交于O,在①AB∥CD;②AO= CO;③AD=BC中任意选取两个作为条件, “四边形ABCD是平行四边形”为结论构成命题. (1)以①②作为条件构成的命题是真命题吗?若是,请证明;若不是,请举出反例.(2)写出按题意构成的所有命题中的假命题,并举出反例加以说明.(命题请写成“如果??,那么??.”的形式)【解析】(1)是真命题,证明如下:∵AB∥CD,∴∠ABO=∠CDO,又∵∠AOB=∠COD,AO=CO,∴△ABO≌△CDO.∴AB=CD,∴四边形ABCD是平行四边形.(2)假命题:①四边形ABCD中,如果AB∥CD,AD=BC,那么四边形ABCD是平行四边形.②四边形ABCD中,AC交BD于O,如果AO=CO,AD=BC,那么四边形ABCD是平行四边形.反例:如图①,四边形ABCD中,AB∥CD,AD=BC,但四边形ABCD不是平行 四边形. 如图②,四边形ABCD中,AO=CO,AD=BC,但四边形ABCD不是平行四 边形.5.(2013?白银中考)如图,在△ABC中,D是 BC边上的一点,E是AD的中点,过A点作BC的 平行线交CE的延长线于点F,且AF=BD,连接 BF. (1)线段BD与CD有何数量关系,为什么? (2)当△ABC满足什么条件时,四边形AFBD是矩形?请说明理由.【解题指南】(1)先证△AFE≌△DCE,得AF=CD.又AF=BD,于是可 得BD=CD.(2)由题意知四边形AFBD是平行四边形,可添加一个条 件“有一个角是直角”可得四边形AFBD是矩形.【解析】(1)BD=CD.理由如下:∵AF∥BC,∴∠AFE=∠DCE,∠FAE=∠CDE,又E是AD的中点,∴AE=DE.∴△AFE≌△DCE.∴AF=CD.又AF=BD,∴BD=CD.(2)△ABC满足AB=AC时,四边形AFBD是矩形.理由如下:∵AF∥BC,AF=BD,∴四边形AFBD是平行四边形.∵AB=AC,BD=CD,∴AD⊥BC.∴∠ADB=90°. 又四边形AFBD是平行四边形,∴四边形AFBD是矩形.考点二结论开放探索问题 结论开放探索问题的两种类型1.结论是否成立型:这类探索问题的设问,常以适合某种条件的 结论“成立”“不成立”“是否成立”等语句加以表述.从给 出的已知条件出发,经过推理能够推出证明结论是否成立.2.判断猜想型:这类问题设问通常有两条线段有何关系(探索相 等、平行或垂直),两个角相等吗,这个三角形是什么特殊三角 形、这个四边形是什么特殊四边形等.它与传统题的区别在于: 探索问题结论的过程往往也是解题过程.【例2】(2013?天津中考)如图,已知∠C=∠D,∠ABC=∠BAD,AC 与BD相交于点O,请写出图中一组相等的线段 .【思路点拨】已知条件→三角形全等→写出结论 【自主解答】在△ABD和△BAC中,∵∠C=∠D,∠ABC=∠BAD, AB=BA,∴△ABD≌△BAC(AAS),∴AC=BD.(答案不唯一) 答案:AC=BD(也可以写成BC=AD,AO=BO,CO=DO,答案不唯一)【特别提醒】 (1)分析给出的条件,写出由条件直接得到的结论,再推所需要 的结论. (2)与几何图形有关的结论开放题,要注意运用图形中的条件 (如两个三角形的公共角、公共边、对顶角等). (3)为了得到更多的结论,要注意利用一步推理得到的结论与题 目中的已知条件,然后再得出新结论. (4)由于结论具有开放性,要注意结论的合理选择,选择简单、 明了、能直接发现其正确性的结论作为答案.【对点训练】 1.(2013?赤峰中考)请你写出一个大于0而小于1的无理 数 .2【解析】如1& 2 &2,则 1 ? 2 ? 1,2 因此可写出这个无理数为 2 . 2 ? 等，填写一个即可) 答案： 2 ( 3 ， 2 3 42.(2014?丽水中考)写出图象经过点(-1,1)的一个函数的解析 式是 .【解析】题目中没有要求写什么函数,所以写出的函数可以是 一次函数,反比例函数或者二次函数.如设函数解析式为y=kx, 把(-1,1)代入得,k=-1.则函数解析式为y=-x. 答案:y=-x(答案不唯一)【变式训练】(2013?常德中考)请写一个图象在第二,第四象 限的反比例函数解析式: .【解析】因为此反比例函数图象在第二,第四象限,根据反比例 函数图象与性质,可知k &0,所以k可以为任何一个比0小的数. 答案:y= ?1 (答案不唯一,只要k&0即可)x3.(2014?安徽中考)如图,在?ABCD中,AD=2AB,F是AD的中点,作CE⊥AB,垂足E在线段AB上,连接EF,CF,则下列结论中一定成立的是(把所有正确结论的序号都填在横线上)(1)∠DCF= 1 ∠BCD.(2)EF=CF.(3)S△BEC=2S△CEF.2(4)∠DFE=3∠AEF.【解析】过F作FG∥AB交BC于G,在?ABCD中,有∠B=∠D,AB=CD, 又AD=2AB,F是AD的中点,所以四边形ABGF与四边形CDFG都是菱 形,故∠DCF= ∠BCD,故(1)正确; 由于G是BC的中点,作CE⊥AB,可得FG是EC的垂直平分线,所以 EF=CF,故(2)正确; 连接EG,则S△BEC=2S△CEG,而S△CEG≠S△CEF,故(3)不正确;1 2结合(1)(2)可得∠DFC=∠CFG=∠EFG=∠AEF,所以 ∠DFE=∠DFC+∠CFG+∠EFG=3∠AEF,故(4)正确. 综上可知(1)(2)(4)正确. 答案:(1)(2)(4)【知识归纳】解结论开放型问题的方法 (1)充分利用已知条件或图形特征,运用类比、联想、猜想、归 纳的方法,分析出给定条件下可能得到的结论. (2)验证、推理的说明得到的结论的正确性. (3)根据题目要求,对结论进行合理地取舍,得出符合要求的答 案.4.(2013?广东中考)从三个代数式:①a2-2ab+b2,②3a-3b, ③a2-b2中任意选择两个代数式构造成分式,然后进行化简,并 求当a=6,b=3时该分式的值.【解析】共有六种构造方法和计算结果，分别是：2 2 a ? 2ab ? b a ? b 当a=6，b=3时，原式=1. (1) ? ， 3a ? 3b 3(2)交换(1)中分式的分子和分母的位置，结果也为1.2 2 a ? b a ? b 当a=6，b=3时，原式=3. (3) ? ， 3a ? 3b 3(4)交换(3)中分式的分子和分母的位置，结果为 1 .b a ? b 当a=6，b=3时，原式= 1 (5) a ? 22ab ? . ? ， 22 23a ?ba?b3(6)交换(5)中分式的分子和分母的位置，结果为3.5.(2014?威海中考)猜想与证明:如图①摆放矩形纸片ABCD与矩形纸片ECGF,使B,C,G三点在一条直线上,CE在边CD上.连接AF,若M为AF的中点,连接DM,ME,试猜想DM与ME的关系,并证明你的结论.拓展与延伸:(1)若将“猜想与证明”中的纸片换成正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF,其他条件不变,则DM和ME的关系为.(2)如图②摆放正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF,使点F在边 CD上,点M仍为AF的中点,试证明(1)中的结论仍然成立.【解析】猜想与证明 猜想DM与ME的关系是:DM=ME. 证明:如图①,延长EM交AD于点H. ∵四边形ABCD、四边形ECGF都是矩形, ∴AD∥BG,EF∥BG,∠HDE=90°. ∴AD∥EF. ∴∠AHM=∠FEM.又∵AM=FM,∠AMH=∠FME, ∴△AMH≌△FME. ∴HM=EM. 又∵∠HDE=90°, ∴DM=EM.拓展与延伸(1)DM和ME的关系为:DM=ME,DM⊥ME.(2)如图②,连接AC.∵四边形ABCD、四边形ECGF都是正方形,∴∠DCA=∠DCE=45°,∴点E在AC上.∴∠AEF=∠FEC=90°.又∵M是AF的中点, ∴ME=1 AF. 2∵∠ADC=90°,M是AF的中点,∴DM= 1 AF.∴DM=EM.2 ∵ME= 1 AF=FM,DM= 1 AF=FM, 2 2 ∴∠DFM= 1 (180°-∠DMF),∠MFE 2 1 = (180°-∠FME), 2 ∴∠DFM+∠MFE= 1 (180°-∠DMF)+ 2 1 (180°-∠FME) 2 =180°- 1 (∠DMF+∠FME) 2 1 =180°- ∠DME. 2∵∠DFM+∠MFE=180°-∠CFE=180°-45°=135°, ∴180°1 ∠DME=135°. 2∴∠DME=90°.∴DM⊥ME.考点三规律开放探索问题 规律开放探索问题的四种类型1.与数有关的规律探索:利用已有的一列特殊的数之间的关系, 观察分析变化趋势,通过猜想、归纳出一般性的规律. 2.与等式有关的规律探索:利用给出的一些等式之间的关系,观 察分析变化趋势,通过猜想、归纳出一般性的规律.3.与图形有关的规律探索:通过从一些特殊的图形变化中发现 不变的因素或按规律变化的因素,通过图形的直观,从图形中寻 求规律,并推广到一般情况. 4.与坐标有关的规律探索:利用给出的一些点的坐标之间的关 系,观察分析变化趋势,通过猜想、归纳出一般性的规律.【例3】(2014?武汉中考)观察下列一组图形中的个数,其中第 1个图中共有4个点,第2个图中共有10个点,第3个图中共有19个 点,??按此规律第5个图中共有点的个数是( )A.31B.46C.51D.66【思路点拨】由图可知,其中第1个图中共有1+1×3=4个点;第2 个图中共有1+1×3+2×3=10个点;第3个图中共有 1+1×3+2×3+3×3=19个点;?? 由此规律得出第n个图共有多少个点,算出第5个图的点数.【自主解答】选B.第1个图中有1+1×3=4个点; 第2个图中有1+1×3+2×3=10个点; 第3个图中有1+1×3+2×3+3×3=19个点; ?? 第n个图有1+1×3+2×3+3×3+?+3n个点, 所以第5个图中共有点的个数是 1+1×3+2×3+3×3+4×3+5×3=46,故选B.【特别提醒】(1)读懂题目信息,先从较简单的特例入手,从中探究、猜想出一般性的规律.(2)抓住随着“编号”或“序号”增加时,后一个等式与前一个等式相比,在数量上的增加(或倍数)情况的变化,找出数量上的变化规律,从而推出一般性的结论.(3)注意“从特殊到一般”和“从一般到特殊”的思想方法的运用.【对点训练】 1.(2014?重庆中考)下列图形都是按照一定规律组成,第一个 图形中共有2个三角形,第二个图形中共有8个三角形,第三个图 形中共有14个三角形,?,依此规律,第五个图形中三角形的个 数是 ( )A.22B.24C.26D.28【解析】选C.第一个图形有2+6×0=2个三角形;第二个图形有 2+6×1=8个三角形;第三个图形有2+6×2=14个三角形;?第五 个图形有2+6×4=26个三角形.2.(2014?白银中考)观察下列各式: 13=12 13+23=32 13+23+33=62 13+23+33+43=102 ? 猜想13+23+33+?+103= .【解析】观察已知得, 13=12, 13+23=(1+2)2=32, 13+23+33=(1+2+3)3=62, 13+23+33+43=(1+2+3+4)2=102, ? 13+23+33+43+?+103=(1+2+3+4+?+10)2=552 =3025. 答案:552(或3025)3.(2014?遵义中考)有一个正六面体骰子,放在桌面上,将骰子 沿如图所示的顺时针方向滚动,每滚动90°算一次,则滚动第 2014次后,骰子朝下一面的点数是 .【解析】观察图象知道点数三和点数四相对,点数二和点数五 相对且四次一循环, ∵??2, ∴滚动第2014次后与第二次相同, ∴朝下的点数为3, 答案:34.(2014?黄石中考)观察下列等式：3 1 1 ? － 1? 2 ? 22 1? 2 2 ? 2 2 4 1 1 第二个等式：a2= ? － 2 ? 3 ? 23 2 ? 2 2 3 ? 2 3 5 1 1 第三个等式:a3= ? － 3 ? 4 ? 2 4 3 ? 23 4 ? 2 4 6 1 1 第四个等式：a4= ? － 4 ? 5 ? 25 4 ? 2 4 5 ? 2 5第一个等式：a1=按上述规律，回答以下问题：(1)用含n的代数式表示第n个等式：an=______=_______.(2)式子a1+a2+a3+?+a20=________.【解析】观察可知an=a1 ? a 2 ? a 3 ??? a 20 ?n?2 1 1 ? － ， n ?1 n n ?1 n(n ? 1) 2 n2 ? n ? 1? 21 1 1 1 － ? － ?? 2 2 3 1? 2 2 ? 2 2 ? 2 3? 2 1 1 1 1 ? － ? － . 20 21 21 20 ? 2 21? 2 2 21? 2n?2 答案： （1）1 1 （2） － 2 21? 2 21n(n ? 1) 2??????? n ?11 1 － n 2n ? n ? 1? 2n ?15.(2014?泰安中考)如图,在平面直角坐标系中,将△ABO绕点 A顺时针旋转到△AB1C1的位置,点B,O分别落在点B1,C1处,点B1 在x轴上,再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置,点 C2在x轴上,再将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置, 点A2在x轴上,依次进行下去??.若点A( 5 ,0),B(0,4),则点3B2014的横坐标为.【解析】由题意可得∵AO= 5 ，BO=4，∴AB= 13， ∴OA+AB1+B1C2= 5 ? 13 +4=6+4=10，3 3 3 3∴B2的横坐标为10，B4的横坐标为2×10=20， B6的横坐标为3×10=30,?? ∴点B2014的横坐标为2 014 ×10=10 070. 2答案：10 070【变式训练】(2013?兰州中考)如图,在直角坐标系中,已知点 A(-3,0),B(0,4),对△OAB连续作旋转变换,依次得到△1、△2、△3、△4?,则△2013的直角顶点的坐标为.【解析】∵点A(-3,0),B(0,4),∴OB=4,OA=3,∴AB=5, ∵对△OAB连续作旋转变换,∴△OAB每三次旋转后回到原来的 状态,并且每三次向右移动了3+4+5=12个单位,而 1,∴第3个三角形和第2013个三角形状态一 样,∴2013个三角形离原点O最远距离的点的横坐标为 671×12=8052,纵坐标为0.故答案为(8052,0). 答案:(8052,0)考点四存在性开放探索问题存在性开放探索问题常见的四种类型1.特殊点存在性开放探索问题:图形中存在着特殊的点,该点满足题中的某些条件,通过探索、推理证明或运算说明该点存在.2.特殊三角形存在性开放探索问题:图形中存在着特殊的图形――等腰三角形或直角三角形,通过探索、推理证明或运算 说明该特殊三角形存在.3.相似三角形存在性开放探索问题:图形中存在着与原三角形 相似的三角形,通过探索、推理证明说明该三角形存在. 4.特殊四边形存在性开放探索问题:图形中存在着特殊的四边 形,通过探索、推理证明或运算说明该特殊四边形存在.【例4】(2013?绵阳中考)如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象的 顶点C的坐标为(0,-2),交x轴于A,B两点,其中A(-1,0),直线 l:x=m(m&1)与x轴交于D.(1)求二次函数的解析式和B的坐标. (2)在直线l上找点P(P在第一象限),使得以P,D,B为顶点的三角 形与以B,C,O为顶点的三角形相似,求点P的坐标(用含m的代数 式表示). (3)在(2)成立的条件下,在抛物线上是否存在第一象限内的点Q, 使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形?如果存在,请求出 点Q的坐标;如果不存在,请说明理由.【思路点拨】(1)根据对称性找出二次函数与x轴的另外一个交点B的坐标,再用交点式求解析式.(2)相似对应关系没有明确,因而需分情况讨论;(3)本题实际上是一个旋转问题,即将线段BP绕点P顺时针旋转90°,可通过构造全等三角形,结合全等三角形的对应边相等,表示出点Q的坐标,再代入解析式中,求出m的值,进而表示出点Q的坐标.【自主解答】(1)根据对称性可知B(1,0),设二次函数解析式为 y=a(x+1)(x-1),则a(0+1)(0-1)=-2,解得a=2,所以二次函数解 析式为y=2(x+1)(x-1)=2x2-2.(2)若△PDB∽△BOC，PD BD PD m ? 1 m ?1 ? ， ? ，PD ? . OB OC 1 2 2 PD BD PD m ? 1 若△PDB∽△COB，则 ? ， ? ，PD ? 2m ? 2. OC OB 2 1 m ?1 ∴P(m， )或(m，2m-2) . 2 则(3)假设存在点Q，如图，过点Q作QE⊥直线l，∠QEP=90°，PQ=BP，显然△QEP≌△PDB，若P(m，m ? 1 )，则QE=PD=2m ?1 ， 2PE=BD=m-1，所以Q(m- m ? 1， m ? 1 +m-1)，2 2 3 ? m ? 1? 3 ? m ? 1? )，若点Q在抛物线上，则 m ? 1 2 即Q( m ? 1， 2( ) ?2? ， 2 2 2 2即m2-m=0，解得m=0或1，因为m＞1，∴不符合题意，舍去； 若P(m，2m-2) ，QE=PD=2m-2，PE=BD=m-1， 所以Q(m-2m+2，2m-2+m-1) ，即Q(-m+2，3m-3)，若点Q在抛 物线上，则2(-m+2)2-2=3m-3，即2m2-11m+9=0，解得m= 92或 1，9 21 ,所以Q( ? 5 ， ). 2 2 2 21 ∵点Q是第一象限内的点，∴Q( ? 5 ， )也舍去. 2 2因为m＞1，所以m=综上，不存在符合条件的点.【特别提醒】 (1)体会数形结合思想在解二次函数图象问题中的作用. (2)在相似三角形的对应角和对应边不确定的情况下,一定要注 意分类讨论,以免漏解. (3)遇到等腰三角形问题需要分类讨论,避免因漏解而导致失分.【对点训练】 1.(2014?湖州中考)如图,已知在平面直角坐标系xOy中,O是 坐标原点,抛物线y=-x2+bx+c(c&0)的顶点为D,与y轴的交点为 C,过点C作CA∥x轴交抛物线于点A,在AC延长线上取点B,使 BC= 1 AC,连接OA,OB,BD和AD.2(1)若点A的坐标是(-4,4), ①求b,c的值; ②试判断四边形AOBD的形状,并说明理由. (2)是否存在这样的点A,使得四边形AOBD是矩形?若存在,请直 接写出一个符合条件的点A的坐标;若不存在,请说明理由.【解析】(1)①∵AC∥x轴，A点坐标为(-4，4)．∴点C的坐标是(0，4)，把A，C坐标代入y=-x2+bx+c得，16－4b ? c， ?4 ? － ?b ? －4， 解得 ? ? ?4 ? c， ?c ? 4.②四边形AOBD是平行四边形； 理由如下： 由①得抛物线的解析式为y=-x2-4x+4， ∴顶点D的坐标为(-2，8)，过D点作DE⊥AB于点E，则DE=OC=4，AE=2， ∵AC=4，∴BC=1 AC=2，∴AE=BC． 2∵AC∥x轴，∴∠AED=∠BCO=90°， ∴△AED≌△BCO， ∴AD=BO，∠DAE=∠CBO， ∴AD∥BO， ∴四边形AOBD是平行四边形． (2)存在.点A的坐标可以是 ?2 2, 2 .??【变式训练】(2013?白银中考)如图,在直 角坐标系xOy中,二次函数y=x2+(2k-1)x+k+1 的图象与x轴交于O,A两点. (1)求这个二次函数的解析式. (2)在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B,使△AOB的面 积等于6.求点B的坐标. (3)对于(2)中的点B,在此抛物线上是否存在点P,使∠POB=90°? 若存在,求出点P的坐标,并求出△POB的面积;若不存在,请说明 理由.【解析】(1)把点O(0,0)代入y=x2+(2k-1)x+k+1,得:0=k+1.解 得k=-1.∴y=x2-3x. (2)设B(m,m2-3m).当y=0时,x2-3x=0.x=0或x=3. 所以点A坐标为(3,0).则有 ? 3? | m 2 ? 3m| ? 6. 解得m=-1或m=4.这时B(-1,4)或(4,4). ∵点B在对称轴右边,∴点B的坐标为(4,4).1 2(3)存在.如图,∵点B的坐标为(4,4).∴∠BOA=45°.而∠POB=90°,∴∠POA=45°.故可设P(n,-n).把点P(n,-n)代入y=x2-3x,得-n=n2-3n.∴n=0(舍去)或n=2.∴P(2,-2).这时,OB=42 ? 42 ? 4 2，OP ? 22 ? 22 ? 2 2.∴△POB的面积为 1 OB OP ? 1 ? 4 2 ? 2 2 ? 8.2 22.(2014?益阳中考)如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD, AD⊥AB,∠B=60°,AB=10,BC=4, 点P沿线段AB从点A向点B运动,设AP=x.(1)求AD的长. (2)点P在运动过程中,是否存在以A,P,D为顶点的三角形与以 P,C,B为顶点的三角形相似?若存在,求出x的值;若不存在,请说 明理由. (3)设△ADP与△PCB的外接圆的面积分别为S1,S2,若S=S1+S2,求 S的最小值.【解析】(1)过点C作CE⊥AB于E.在Rt△BCE中，∠B=60°， BC=4. ∴CE=BC?sin B= 4 ? 3 ? 2 3,2∴AD=CE= 2 3.(2)存在.若以A，P，D为顶点的三角形与以P，C，B为顶点的三 角形相似， 则△PCB必有一个角是直角. ①当∠PCB=90°时，在Rt△PCB中，BC=4,∠B=60°，PB=8， ∴AP=AB－PB=2. 又由(1)知AD=2 3 ，在Rt△ADP中, tan∠DPA= AD ? 2 3 ? 3，AP 2∴∠DPA=60°，∴∠DPA=∠B. ∴△ADP∽△CPB.②当∠CPB=90°时，在Rt△PCB中，∠B=60°，BC=4， ∴PB=2，PC=2 3 ，∴AP=8. 则 AD ? AP 且 AD ? AP ， 此时△PCB与△ADP不相似.PC PB PB PC∴存在△ADP与△CPB相似，此时x=2.(3)如图，因为Rt△ADP外接圆的直径为斜边PD，2 PD 12 ? x 2 ∴S1=π? ( ) ? ? . 2 4①当2&x&10时，作BC的垂直平分线交BC 于H，交AB于G；作PB的垂直平分线交PB 于N，交GH于M，连接BM.则BM为△PCB外接圆的半径. 在Rt△GBH中，BH= 1 BC=2，∠MGB=30°，∴BG=4, 又BN= 1 PB= 1 (10－x)=5－ 1 x， ∴GN=BG－BN= 1 x－1.2 2 2 2 23 1 ( x－ 1). 3 2 在Rt△BMN中，BM2=MN2+BN2= 1 x 2－16 x ? 76 ， 3 3 3 ∴S2=π?BM2= ?( 1 x 2－16 x ? 76 ). 3 3 3 ②当0&x≤2时，S2= ?( 1 x 2－16 x ? 76 ) 也成立. 3 3 3 2 ∴S=S1+S2=π?12 ? x ? ?( 1 x 2－16 x ? 76 ) ? 7 ?(x－32 ) 2 ? 113 ?. 4 3 3 3 12 7 7 ∴当x= 32 时,S=S1+S2取得最小值 113 ?. 7 7在Rt△GMN中，MN=GN?tan∠MGN=
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