三角函数积分问题？ 如图，这个积分怎么求啊？谢谢_百度知道
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三角函数积分问题？ 如图，这个积分怎么求啊？谢谢
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您是怎么想出来这个方法的？我没见到过这种做法，长知识了，谢谢您，谢谢您
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定积分中关于三角函数周期的问题
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§4. 三角函捣e分(Trigonometric integrals) A. 型式I:?sinmxcosnxdx,?cosmxcosnxdx,?sinmxsinnxdx. 此e分型式可利用下述三角函捣e化和差公式算：
sinmxcosnx?1[sinm(?n)x?sinm(?n)x] 21cosnxsinmx?[sin(n?m)x?sin(n?m)x] 2mxcosnx?[cosm(?n)x?cosm(?n)x]
cosmxsinnx??[cosm(?n)x?cosm(?n)x]
sin1212 B. 型式Ⅱ:?sinnxdx,?cosnxdx.
(1)n檎r,在提出sinxdx(??dcosx)[或提出cosxdx(?dsinx)]後,利用三角a等式sin2x?cos2x?1,⒈环e分函祷cosx之多式[或化sinx之多式],以求e分。
(2)n檎r,利用半角公式 2x?
sin1?cos2x 21?cos2x 22x?
以降低被e分函档拇,直到橐淮味囗式,再求e分。
C. 型式Ⅲ:?sinmxcosnxdx.
(1)m,n中至少有一檎担寒m檎[或n檎]r,提出sinxdx
1 (??dcosx)[或提出cosxdx(?dsinx)]後,利用三角a等式sin2x?cos2x?1,⒈环e分函祷cosx之多式[或化sinx之多式],以求e分。
【]】: m,n均檎r,若m,n之最小值min{m,n}?m,t最好提出sinxdx(??dcosx)；若min{m,n}?n,t最好提出cosxdx(?dsinx)。
(2)m,n均檎担豪冒虢枪 2x?
sin1?cos2x 21?cos2x 22x?
以降低被e分函档拇,直到橐淮味囗式,再求e分。 D. 型式Ⅳ:?tannxdx,?cotnxdx.
n?2r,不其槠祷蚺,在提出tan2x[或提出cot2x]後,利用三角 a等式1?tan2x?sec2x[或1?cot2x?csc2x],以求e分。
E. 型式Ⅴ:?secnxdx,?cscnxdx.
(1)n檎r,在提出sec2xdx(?dtanx)[或提出csc2xdx(??dcotx)]後,利用三角a等式1?tan2x?sec2x[或1?cot2x?csc2x],⒈环e分函祷tanx之多式[或化cotx之多式],以求e分。
(2)n?3且檎r,令
u?secn?2x,dv?sec2xdx(?dtanx)du?(n?2)secn?3xsecxtanxdx,v?tanx
2 u?cscn?2x,dv?csc2xdx(??dcotx)du?(n?2)cscn?3x(?cscxcotx)dx,v??cotx
透^分部e分法M行e分。
F. 型式Ⅵ:?secmxtannxdx,?cscmxcotndx.
(1)m檎r,在提出sec2xdx(?dtanx)[或提出csc2xdx(??dcotx)] 後,利用三角a等式1?tan2x?sec2x[或1?cot2x?csc2x],⒈环e分函祷tanx之多式[或化cotx之多式],以求e分。
(2)n檎r,在提出secxtanxdx(?dsecx)[或提出cscxcotxdx(??dcscx)] 後,利用三角a等式1?ta2nx?se2cx[或1?cot2x?csc2x],⒈环e分函祷secx之多式[或化cscx之多式],以求e分。
【]】:(1),(2)煞N情形均M足,亦即m檎,且n檎r, 若min{m,n}?m,t最好提出se2cxd(?xdtaxn)[或最好提出,n}{?n,t最好提出cs2cxd(?x?dcoxt)]；若mimnsecxtanxdx(?dsecx)[或最好提出cscxcotxdx(??dcscx)]。
(3)m檎,且n檎r, 利用三角a等式1?tan2x?sec2x[或1?cot2x?csc2x],原e分式可化?seckxdx[或化?csckxdx],其中k正奇,故可以透^分部e分法M行e分。
3 1. 求?sin3xcos5xdx.
(Ans:?116cos8x?14cos2x?C ) 2. 求?sin3xsin2xdx.
(Ans:?110sin5x?12sinx?C ) 3. 求?cos4xcos2xdx.
(Ans:112sin6x?14sin2x?C ) 4. 求?sin2xdx. (Ans:x2?14sin2x?C ) 5. 求?cos3xdx. (Ans:sinx?13313sinx?C,或4sinx?12sin3x?C ) 6. 求?cos4xdx. (Ans:3x8?114sin2x?32sin4x?C ) 7. 求?sin5xdx. (Ans:?cosx?213cos3x?5cos5x?C ) 8. 求?sin6xdx. (Ans:5x16?14sin2x?364sin4x?148sin32x?C ) 39. 求?(1?cos3x)2dx.【提示:利用倍角公式,化cos3x?cos2(3x2)2cos2(3x2)?1】
(Ans:423[sin(3x13x2)?3sin3(2)]?C ) 10.求?sin3xcos2dx. (Ans:?13cos3x?15cos5x?C ) 11.求?sin2xcos2xdx. (Ans:x8?132sin4x?C ) 12.求?sin4xcos5dx. (Ans:15sin5x?27sin7x?19sin9x?C ) 13.求?sin33xcos53xdx. (Ans:?118cos63x?124cos83x?C ) 14.求?cos42xsin32xdx. (Ans:114cos72x?110cos52x?C ) 15.求?cos3xsinxdx. (Ans:332(3sin2x)?38sin2x(3sin2x)?C ) 16.求?cos5xsin2xdx. (Ans:?1sinx?2sinx?13sin3x?C ) 17.求?sin3xcosxdx. (Ans:?23cosxcosx?27cos3xcosx?C ) 3218.求?sintcostdt. (Ans:?22t3cos3t?5cos5t?C )
19.求?sin3x2sinx2dx. (Ans:?114sin2x?2sinx?C ) sinx20.求?3sinxcosxdx. (Ans:3ln3?C ) 21.求?sin42xdx. (Ans:3x8?18sin4x?164sin8x?C ) 22.求?sin43xcos23xdx. (Ans:xsin12x?144sin36x?C ) 23.求?sin35xdx. (Ans:?115cos5x?15cos35x?C ) 24.求?tan2xdx. (Ans:tanx?x?C ) 25.求?tan3xdx. (Ans:122tanx?lnsecx?C ) 26.求?tan4xdx. (Ans:13tan3x?tanx?x?C ) 27.求?tan5xdx. (Ans:14tan4x?12tan2x?lnsecx?C ) 28.求?tan63xdx. (Ans:115tan53x?19tan33x?13tan3x?x?C ) 29.求?cot2xdx. (Ans:?cotx?x?C ) 30.求?cot3xdx. (Ans:?122cotx?lncscx?C ) 431.求?cotxdx. (Ans:?13cot3x?cotx?x?C ) 32.求?cot52xdx. (Ans:?18cot42x?14cot22x?12lncsc2x?C ) 33.求?cot6xdx. (Ans:?15cot5x?13cot3x?cotx?x?C ) 34.求?sec3xdx. (Ans:12(secxtanx?lnsecx?tanx)?C ) 35.求?sec4xdx. (Ans:tanx?13tan3x?C ) 36.求?sec5xdx. (Ans:14sec3xtanx?38(secxtanx?lnsecx?tanx)?C ) 37.求?sec63xdx. (Ans:123153tan3x?9tan3x?15tan3x?C )
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