【图文】线性代数矩阵及其运算_百度文库
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线性代数矩阵及其运算
&&第1章1矩阵及其运算
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《线性代数》第二章矩阵及其运算精选习题及解答
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《线性代数》第二章矩阵及其运算精选习题及解答
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线性代数课后习题答案_复旦大学出版社_熊维玲.doc 40页
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··········
3.如果排列是奇排列,则排列的奇偶性如何?
解:排列可以通过对排列经过次邻换得到,每一次邻换都改变排列的奇偶性,故当为偶数时,排列为奇排列,当为奇数时,排列为偶排列。
4. 写出4阶行列式的展开式中含元素且带负号的项.
解:含元素的乘积项共有,,,,,六项,各项列标排列的逆序数分别为,,,,,, 故所求为,,。
5.按照行列式的定义,求行列式的值.
解:根据行列式的定义,非零的乘积项只有,
其中,故行列式的值等于:
6. 根据行列式定义,分别写出行列式的展开式中含的项和含的项.
解:展开式含的乘积项为
含的乘积项为
8. 利用行列式的性质计算下列行列式: 解: 1
2 (第二行与第四行相同)
11. 利用行列式按行或列展开的方法计算下列行列式:
,.带入上式即可。
12. 设4阶行列式,求解:显然,行列式按第四列展开,即得。注意到该行列式的第四列与第一列元素成比例,其值为0,故.
14. 当、取何值时,齐次线性方程组
解:当系数行列式时,齐次线性方程组有非零解,于是要求
15.计算下列行列式:
1 (加边法)
(第二列的倍……第列的倍都加到第一列) 2
记,由范德蒙行列式的结论可知,
第二章 矩阵
1(本题为类似题).设, 求
2(部分原题,部分类似题).计算下列乘积:
3.求其中为自然数,
设时,;则时,有
故:由数学归纳法知,对任意的自然数,有
4.矩阵A称为反对称矩阵,若。已知A为阶反对称矩阵,B为为阶对称矩阵,试问BA-AB是对称矩阵还是反对敌矩阵?试证明你的结论。 答:BA-AB是一个对称矩阵。证明如下:
所以:BA-AB是对称矩阵。
5(部分原题,部分类似题).求下列矩阵的逆矩阵(请注意伴随矩阵的计算公式):
解:1 ,故存在
3 ,故存在 ,,
4由对角矩阵的性质知
6(部分原题,部分类似题).解下列矩阵方程:
7.设为正整数,证明.(请注意证明过程的逻辑性要正确)
证明:由于,于是有
两端同时右乘得
8.设矩阵;(1)求;(2)证明矩阵A可逆,并求出;(3)求解:
(2)因为所以,,故A可逆。
9(本题为类似题).设方阵满足,证明及都可逆,并求及.
于是,即,故,所以可逆;
于是,故也可逆.
10.利用逆矩阵解下列线性方程组(注:第一题的方程次序不同,但方程组是同一个方程,请注意用逆矩阵解法,不可以用消元法):
解:1方程组矩阵表示形式为
记方程组为:,则,
2 方程组矩阵表示形式为
记方程组为:,则,
11.设,,求.(注:请注意矩阵的左乘与右乘的单边性,不可搞乱)
及 解:由可得,故
12.设A和X满足,其中,求矩阵X
解:由得又由于,所以,故A+E是可逆矩阵。从而有:
12.(本题是第12题的类似题,请注意区别解法的不一样,再次提醒注意矩阵左乘和右乘的区别,不可随意左乘和右乘).设,且,求.
由于,于是,故可逆.所以
13.设次多项式,其中,记
,则为矩阵A的设次多项式。
(1)若0;证明矩阵A可逆,并求出;
(2)设A;证明:;;
14.设矩阵A的伴随矩阵是,证明:
证明:1用反证法证明.假设则有 又由于
故当时,有.
2 由于, 则,于是
则;若,则由1知,此时命题也成立.故有.
15.设矩阵A,其中矩阵,证明矩阵A可逆的充要条件是:均可逆。并求A。
证明:因为A,其中矩阵,
所以:,故。即矩阵A可逆的充要条件是:
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