【图片】【紧急求解】微积分数学题目._微积分吧_百度贴吧
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【紧急求解】微积分数学题目.收藏
A. (cscX-cotX)(cosX+1)=sinXB. 1-cos(2x)
---------- = tanx
sin(2x)C. cscX+1
--------- = (secX + tanX)^2
cscX-1D. 1-cosX
-------- + ------ = 2cscX
一次性奶瓶用着要放心！
题目A和B各位大佬，帮我解决拜托。。
看起来都很简单帮你解最后一道1-cos(2x)/sin(2x)=1-cos(x+x)/sin(x+x)=(1-(cosx)^2+(sinx)^2)/(2sinxcos)=2(sinx)^2/2sinxcos=sinx/cosx=tanx
cos2x=(cosx)^2-(sinx)^2
我把括号错了
登录百度帐号推荐应用龙科多：读过四年大学 来做点江主席的数学题？
来源：观察者网
作者：龙科多
　　有一篇文章考证历史，得出了原国家主席江泽民掌握外语竟有八门之多的结论，令后生惊叹。其实江主席不仅语言、艺术方面造诣出众，对自然科学的掌握也很了得。他在大学时就得“江博士”雅号，足见家学深厚，爱好广博。在毕业纪念册上，同学们留言中提到：“博士自幼即聪慧异常，在校成绩，每列前茅，尤长数学，为全级冠。”
　　那么问题来了，“尤长数学”的江主席，数学水平究竟到了何等境界呢？
　　却说2006年，江主席的母校上海交大迎来110周年校庆，学长穿了一身西装，配着一条鲜红的领带，按计划要作一个10分钟的演讲。学长取下手表放在身旁，来了一个幽默的开场白：“今天给我10分钟的时间讲话。我已经整整80岁了，不像你们学数学、学Computer Science的，对时间估算得这么准确。”久违的长者口吻，依然是那么机智，让人会心一笑。
　　年龄虽长，话虽谦逊，江主席毕竟还是“尤长数学的”。据库恩在《他改变了中国―江泽民传》中描述，2000年的时候，已经74岁的江主席还能帮孙儿做数学作业：
　　“我已经到孙儿们让我帮他们做作业的岁数了。”有一个孩子让他做一道数学题，他很快用代数做了出来，小孩认为不正确，江只好回过头去用算术把问题解决了，“我差点做不出来，真不大容易。”
　　也是在那一年，江主席出席了澳门回归祖国一周年庆典活动。访问澳门濠江中学时，向该校老师表示数学是很重要的一门学科，他更当场提出他读中学时所学的一道“五点共圆”平面几何题：
　　假设：任意一个星形，五个三角形，外接圆交于五点。求证：这五点共圆。（在任意五角星AJEIDHCGBF中，AFJ、JEI、IDH、HCG和GBF各自的外接圆顺次相交的交点分别为K、O、N、M、L。求证：K、O、N、M、L五点共圆。）
　　五角星是中国国家主要象徵，江主席出此题，真是寓意精妙。据说，数学大师丘成桐也用了半小时才悟出此难题答案。丘成桐在一次演讲中说：
　　一个很有名的例子，江泽民主席在澳门濠江中学提出的五点共圆的问题。我第一次听说觉得非常有意思，很多读者对江主席这个问题都很感兴趣，都想从基本定理出发推导这个定理。最近我很惊讶地听说，很多数学教育家们坚持不教证明，原因是学生们不容易接受这种思考。诚然，从一个没有逻辑思想训练的学生，到接受这种训练是有代价的。怎么样训练逻辑思考是比中学学习其他学科更为重要的。
　　破解这道题，用到的基本原理仅仅是初中知识：圆内接四边形对角互补（及其逆定理）。但正如所有的欧氏几何题一样，虽然已有机器证明的方法，依然是不错的脑力训练，如果不够机智敏锐，没有逻辑思考的能力，纵然具备高深的知识，也无计可施。最近，在国际数学奥林匹克竞赛上美国队首次击败中国队，这些比赛题目也并没有用到大学里的高等数学知识，但题目依然非常难，104支参赛队，有74支得了0分。
　　这也是为什么，小学生的数学作业难倒大学教授的情况，并不稀罕。前面提到，74岁的江主席给孙儿解数学作业，先用了代数方法，后用了算术方法。对小学生来说，用代数方法，可以理解为用了更先进的数学工具，工具先进了，人就可以懒一些，而用算术方法，就要费更多的脑筋了；好比不乘电梯坚持爬楼，可以锻炼身体，为了训练脑力，许多小学老师往往规定解题不许用代数，只许用算术。江主席在如此高龄，还勇于“爬楼”，确实是“不大容易”。
　　但江主席想必是乐在其中的，“中文、英文、数学和科学都是很重要的学科，特别是数学。”江主席当时向在场的澳门老师表示，自己最喜欢数学科，因为它可以启发思考。
　　还是在那一年，江主席为久负盛名的美国《科学》杂志撰写了一篇社论，题为《科学在中国：意义与承诺》，文中特别提到了，中国是一个发展中国家，推进科学发展必须坚持“有所为，有所不为”。而数学则被他列为要集中力量取得新进展的学科之一。与数学并列，被他特别点名要“有所为”的，还有动植物基因、信息科学、神经科学、人工智能、生态科学、凝聚态物理和地球科学。
　　作为数学爱好者，江主席也是幸运的。2002年，第24届国际数学家大会在中国举行，这是100多年来中国第一次，也是至今唯一一次主办这个四年一度的国际盛会。江主席出席了开幕式，并应邀为该届菲尔茨奖获得者，颁发这个“数学诺贝尔奖”。
　　给自己喜爱的项目的顶尖选手颁奖，人生快意，莫过于此。菲尔兹奖都是颁给40岁以下的青年才俊的，那一届的菲尔兹奖得主是法国数学家洛朗?拉佛阁和俄罗斯数学家弗拉基米尔?沃沃斯基，如果当时有一位中国人获奖，作为长者的江主席一定会更欣慰。
　　江主席对数学的前沿问题也有关注。
　　1965年，美国控制论学者L.A.扎德发表论文《模糊集合论》，建立了模糊数学这门新学科。江主席看到关于模糊数学的论述，很感兴趣，打电话请教数学家苏步青一些概念问题。苏步青作了回答，还寄了一本关于模糊数学及其应用的书籍给他，江主席当即复信表示感谢。扎德教授有一本著作被翻译成中文，叫《模糊集合、语言变量及模糊逻辑》（The Concept of a Linguistic Variable & Its Application to Approximate Reasoning），不知是否也在苏步青寄去的书里。
　　模糊数学打破了非此即彼的绝对关系，在管理、决策上能有很多应用，江主席一定从中有所“启发思考”。
　　1997年，江主席在美国哈佛大学演讲，又忍不住大谈特谈数学对他的影响。
　　除了在演讲中回顾“先秦的数学家提出了勾股定理，南北朝的祖冲之算出圆周率”，为这两个在国际上常被忽略的“中国贡献”再次正名，他还特别谈到了自己对《庄子》中数学思想的领悟：
　　记得我在高中读书时，老师给我们讲微积分，第一课就是讲《庄子》中的“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，很形象地使我建立起极限的概念。这表明中国古人就已认识到事物的发展变化是无限的，也说明我们的先人对自然界的认识已达到相当的水平。早在公元前二千五百年，中国人就开始了仰观天文、俯察地理的活动，逐渐形成了“天人合一”的宇宙观。
　　3年后，在视察北京理工大学时，江主席看到黑板上在讲数学导数的应用时，又兴奋了起来。据北京工业大学数理学院教授梁在中回忆，江主席高兴的拿起一支黄色粉笔，欣然在黑板上写道：“庄子曰：一尺之锤，日取其半，万世不竭。”他一边写，一边绘声绘色的给同学们讲这句话的意思，就是一尺那么长的一根棍，每天取其中的一半，这样永远取下去，从理论上讲，是取不穷尽的。
　　同时，江主席还用数学式子把这句话的含义准确的表达出来，并说这是我们老祖宗的极其重要的极限思想。讲完这句话以后，他又紧接着给同学们讲导数的概念，并在黑板上写出公式。
　　梁在中回忆，讲完极限的思想、导数的概念后，江主席兴致勃勃地走下讲台，看到屏幕上的讲课内容，一边说道：“啊！讲求导数极值的方法”，一边挥手和同学们告别。（注：准确说，应该是通过求导推算函数的极值，故应是“导数求极值”）
　　虽然江主席提到的这些内容，往往只是在高等数学入门课上被一笔带过，但这可能是数学史上被争论最久的一个难题。无论是在哈佛的演讲，还是在北理工的课堂上，江主席都引用了《庄子》里的那段名言。与庄子这段话相对的，是古希腊智者所思考的芝诺悖论，要是庄子的话正确，是不是“阿基里斯永远也追不上乌龟”了？
　　关于芝诺悖论，有过很多文章解释，这里不再展开讨论，但必须说明一点，许多自以为解决了这个悖论的文章，其实都是有漏洞的，或者并没有解释透彻。比如，用无穷级数收敛来证明，这个证明用到了极限概念。而极限概念，正是为了解决芝诺悖论而定义出来的。用这个概念再反证这个悖论明显是不合理的。如果有人不服气，自认为可以轻易地圆满解释这个矛盾，不妨自问一下，凭什么认为自己比牛顿（注：牛顿被称为微积分的“发明者”，请注意和“发现者”这个词的区别）、贝克莱、罗尔、欧拉、马克思（注：马克思曾批评极限概念建立者柯西“莫名其妙地扬弃了差值”）等大师更有信心。
　　千万不要小看了东西方先哲在极限问题上的这个思想碰撞，其揭示的矛盾甚至导致了第二次数学危机，从危机爆发的十七世纪直到二十一世纪，始终都存在着不同意见。而现代物理学的许多成果，至今依然在继续回答这个让江主席兴奋的自然奥秘。
　　从平面几何这样常能难倒数学教授的初等数学基本功，到微积分这样的高等数学基础，以至于模糊数学这样的前沿数学学科，已是长者的江主席依然都有涉猎，我们实在很难想象，当年在交大数学成绩名列年级第一的“江博士”，数学功底是多么深不可测。
　　附：江主席“五点共圆”问题的一个证明
　　连接CN、HN、KN、IN、MN、MG、ML、LF、LK、KA
　　ACN＋AIN＝NHD＋AIN＝NID＋AIN＝180° A、I、N、C四点共圆
　　同理A、K、I、C四点共圆从而A、C、N、K四点共圆
　　GMN＝GCN＝ACN＝180°－AKN又LMG＝180°－LFG＝LFA＝LKA
　　LMN＝LMG＋GMN＝LKA＋(180°－AKN)
　　LMN＋LKN＝LKA＋(180°－AKN)＋LKN＝180° 故K、L、M、N四点共圆
　　同理可证O、L、M、N四点共圆
　　K、O、N、M、L五点共圆。
　　本文系观察者网独家稿件，文章内容纯属作者个人观点，不代表平台观点，未经授权，不得转载，否则将追究法律责任。关注观察者网微信guanchacn，每日阅读趣味文章。
(责任编辑：UN656)
原标题：龙科多：读过四年大学 来做点江主席的数学题？
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微积分数学1.1习题答案.doc 19页
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微积分数学1.1习题答案
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··········
··········
习题1.1A（P15）提示（仅供参考）
1．用定义（语言）证明：
证明：，故对，欲使，只需，即。
故对，取（注意：不能写成，以下几个类似），当时有
证明：，故对，欲使，只需，即。
故对，取，当时有
证明：，故对，欲使，只需，
即。故对，取当时有
证明：，故对，欲使，只需，
即。故对，取当时有
证明：，故对，欲使，只需，即。
故对，取当时有
（注意：若用夹逼法：）
证明：，注意到，故
，，欲使，只需，即。
故对，取当时有
（注意：若用夹逼法：）
2．证明：的充分必要条件是对，只有的有限多项不在
证明：（必要性）若，则，， 时有，故至多有项在不再中。
（充分性）对，只有的有限多项不在中，不妨设不在
中项为，取（即取不在
中项脚标的最大者，故当时有，即。
4.证明若，则。反之不一定，举例说明。但若，则有
证明：由 ，有对，，时有，
故对，取 时有，故。
反之不一定，例数列。
由，有对，，时有。
故对，取 时有，故
5：证明 设，，证明
5：证明 设，，证明
由 ，有对，，时有
故对，取 ，当时有
若，则由极限的保号性得。
由 ，有对，，时有
故对，取 ，当时有
6证明：若，有界，则
证明：有界，故可设
由，有对，，时有
故对，取 当时有，故。
7．若是否一定有或。
解：否。例，
8（1）设，均收敛，问是否必然收敛。
解：否，例。
（2）设，满足，则。
证明：由，则有对，，时有
，则有对，，时有
故对，取（注意不能取，当时有，故。
（3）设，，收敛，这时能否保证一定收敛？
解：能。不妨设，由有，故
即，故由8（2）一定收敛.
9证明：若单调数列有收敛子列，则收敛.
证明：不妨设是单调增的。设子列（也是单调增的）收敛于，
从而对，，时有
对，取，当时有，故
11求下列极限（夹逼法）
（2）见学习辅导“例12（2）”
12 设令都是非负实数，证
解：不妨设，则。
13 求（必须先证明存在性再设），其中
（1）见学习辅导“例22”
解：有界性：，设，则
单调性：显然，设，则
求极限：设，由取极限得，解出
（3）见学习辅导“例25”
，若，则，否则
求极限：设，由得，故。
15 试判断数列的敛散性：
（1），其中；
欲使，只需
故对，取，当时，对都有
即是基本列，故收敛。
故是单调增的。又
故也是有界的，故存在，设为。
由习题1.1（A）8(2)知道收敛。
证明:，对，取，则有
故不是基本列，则发散。
取，对，存在，且满足
这说明不是基本列，故发散。
16 设，且，则
证明：对，由知使得当时，
故对，取，当时，故
17．求极限
习题1.1（B）
1 O.Stolz公式
（1）设，且严格减。若，则
证明：（A）若，对，则存在使得当时，即
······
把上式不等式相加的
又，故当时由得当时有
故对，取，当时有
（B）若，则。由，故对，存在，当时有，即，
从而存在，当时有，即严格递减的，
故由可得，即
（C）若，令,利用（B）可证明。
（2）严格增，且，若，则
证明：（A）若，则，
令，即，故对，则存在使得当时
由得得（使用迭代）
两边除以，再同时减去得
又，则存在使得当时
对，取使得当时
（B）若，则。由，故对，存在，当时有，即
故严格增的，再由得，从而时，，从而由（A）得，故
（C）若，令,利用（B）可证明。
证明 利用O.Stolz公式（2）只需令，，则
或利用定义直接证明。
（2）讨论时(1)中的结论。
证明：利用O.Stolz公式可得，或均成立。
但，不成立，例，故时O.Stolz公式也不成立。
（3），其中
证明：，由保号性可得
故（当，时）
（4），其中
证明：见附录参考答案及提示。
3 设，证明
证明：设，故利用习题1.1（B）2(4)可得
又，故，注意到，可得
4.设收敛，证明
证明：（微积分学习辅导P6例11（4））
5.若，证明
证明 令，， 则，，
利用故利用习题1.1（B）2(1)可得
同理利用习题1.1（B）2(1)可得
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