问一个解析几何解题技巧的题，划红三角那步怎么来的，求解答
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三角方法在解决平面几何问题中的应用
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& 2017年数学（文）一轮复习模拟题组练：第9章解析几何 1（人教A版）
2017年数学（文）一轮复习模拟题组练：第9章解析几何 1（人教A版）
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第九章解析几何
9.1直线的倾斜角、斜率与直线的方程
122 直线的倾斜角与斜率
1.(2015广西玉林、贵港4月模拟,文10,直线的倾斜角与斜率,选择题)设F为抛物线y2=5x的焦点,P是抛物线上x轴上方的一点,若|PF|=3,则直线PF的斜率为( )
A.3 B. C. D.2
解析:F为抛物线y2=5x的焦点,
设P点坐标为(x,y),y>0.
根据抛物线定义可知x+=3,解得x=,代入抛物线方程求得y=.
直线PF的斜率为.
2.(2015广西柳州一模,文12,直线的倾斜角与斜率,选择题)过点(,0)引直线l与曲线y=相交于A,B两点,O为坐标原点,当△ABO的面积取得最大值时,直线l的斜率等于( )
A. B.- C.± D.-
解析:由y=,得x2+y2=1(y≥0).
所以曲线y=表示单位圆在x轴上方的部分(含与x轴的交点),
设直线l的斜率为k,要保证直线l与曲线有两个交点,且直线不与x轴重合,
则-1<k0,b>0)右焦点的直线m,其方向向量u=(b,a),若原点到直线m的距离等于右焦点到该双曲线的一条渐近线距离的2倍,则直线m的斜率为 .
解析:双曲线=1的右焦点F(c,0),
一条渐近线方程为y=x,
则F到渐近线的距离为d==b,
直线m:y=(x-c),
原点到直线m的距离为=a,
由题意可得a=2b,则直线m的斜率为=2.
9.(2015甘肃嘉峪关一中三模,文9,直线的倾斜角与斜率,选择题)过点P(-,-1)的直线l与圆x2+y2=1有公共点,则直线l的倾斜角的取值范围是( )
A. B. C. D.
解析:由题意可得点P(-,-1)在圆x2+y2=1的外部,故要求的直线的斜率一定存在,设为k,则直线方程为y+1=k(x+),即kx-y+k-1=0.
根据直线和圆有交点、圆心到直线的距离小于或等于半径可得≤1,
即3k2-2k+1≤k2+1,解得0≤k≤,
故直线l的倾斜角的取值范围是.
10.(2015甘肃兰州一中三模,文10,直线的倾斜角与斜率,选择题)P是双曲线-y2=1右支(在第一象限内)上的任意一点,A1,A2分别是左右顶点,O是坐标原点,直线PA1,PO,PA2的斜率分别为k1,k2,k3,则斜率之积k1k2k3的取值范围是( )
A.(0,1) B. C. D.
解析:设点P(x,y)(x>0,y>0),
由题意知,A1(-2,0),A2(2,0),直线PA1,PO,PA2的斜率分别为k1,k2,k3,
5.(2015吉林长春实验中学三模,文5,直线的倾斜角与斜率,选择题)直线xsin α+y+2=0的倾斜角的取值范围是 ( )
A.[0,π) B.
解析:直线xsin α+y+2=0的斜率为k=-sin α,
|sin α|≤1,∴|k|≤1.
∴倾斜角的取值范围是.
123 直线的方程
1.(2015广西柳州一模,文21,直线的方程,解答题)已知椭圆=1的一个焦点为F(2,0),且离心率为.
(1)求椭圆方程;
(2)斜率为k的直线l过点F,且与椭圆交于A,B两点,P为直线x=3上的一点,若△ABP为等边三角形,求直线l的方程.
解:(1)椭圆=1的一个焦点为F(2,0),且离心率为.
c=2,,a2=b2+c2,解得a2=6,b2=2.
椭圆方程为=1.
(2)直线l的方程为y=k(x-2).
联立方程组消去y并整理,
得(3k2+1)x2-12k2x+12k2-6=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2).
故x1+x2=,x1x2=.
则|AB|=|x1-x2|
设AB的中点为M(x0,y0).
可得x0=,y0=-.
直线MP的斜率为-,又xP=3,
所以|MP|=·|x0-xP|
当△ABP为正三角形时,|MP|=|AB|,
解得k=±1.
直线l的方程为x-y-2=0,或x+y-2=0.
20.(2015吉林三模,文20,直线的方程,解答题)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-1,0),F(1,0),过F1的直线l与椭圆C相交于A,B两点,且△ABF2的周长为4.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点(4,0)作与直线l平行的直线m,且直线m与抛物线y2=4x交于P,Q两点,若A,P在x轴上方,直线PA与直线QB相交于x轴上一点M,求直线l的方程.
解:(1)依题意,4a=4,a2-b2=1.
所以a=,b=1.
故椭圆C的方程为+y2=1.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x3,y3),Q(x4,y4),PQ与x轴的交点记为点N,
直线l的方程为x=ty-1,直线m的方程为x=ty+4.
则,可得,令=λ(λ0)关于直线x+y+2=0对称.
(1)求☉C的方程.
(2)过点P作两条相异直线分别与☉C相交于A,B,且直线PA和直线PB的倾斜角互补,O为坐标原点,试判断直线OP和AB是否平行?请说明理由.
(1)解:设圆心C(a,b),则解得
则圆C的方程为x2+y2=r2,将点P的坐标代入得r2=2,
故圆C的方程为x2+y2=2.
(2)解:由题意知,直线PA和直线PB的斜率存在,且互为相反数,故可设PA:y-1=k(x-1),PB:y-1=-k(x-1),且k≠0,
由得(1+k2)x2-2k(k-1)x+k2-2k-1=0,
∵点P的横坐标x=1一定是该方程的解,故可得xA=,
∴直线AB和OP一定平行.
20.(2015黑龙江哈尔滨六中四模,文20,求圆的方程,解答题)过抛物线C:x2=4y对称轴上任一点P(0,m)(m>0)作直线l与抛物线交于A,B两点,点Q是点P关于原点的对称点.
(1)当直线l方程为x-2y+12=0时,过A,B两点的圆M与抛物线在点A处有共同的切线,求圆M的方程.
(2)设=λ,证明:(-λ).
(1)解:由得点A,B的坐标分别是(6,9),(-4,4),
则AB的中点为,斜率为k=,
故AB的垂直平分线方程为4x+2y-17=0.
由x2=4y得y=x2,y'=x,所以抛物线在点A处的切线斜率为3.
设圆M的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,
解得a=-,b=,r2=.
所以圆M的方程为.
(2)证明:设AB方程为y=kx+m,A,B两点的坐标分别是(x1,y1),(x2,y2),
代入抛物线方程x2=4y,得x2-4kx-4m=0,x1+x2=-4k,x1x2=-4m.
由=λ,得λ=-,又点Q(0,-m),从而=(0,2m),
-λ=(x1-λx2,y1-λy2+(1-λ)m),
所以·(-λ)=2m[y1-λy2+(1-λ)m]
=2m(x1+x2)·=0,
所以(-λ).
129 与圆有关的轨迹问题
6.(2015山西朔州怀仁一中一模,文6,与圆有关的轨迹问题,选择题)若△PAB是圆C:(x-2)2+(y-2)2=4的内接三角形,且PA=PB,APB=120°,则线段AB的中点的轨迹方程为( )
A.(x-2)2+(y-2)2=1 B.(x-2)2+(y-2)2=2
C.(x-2)2+(y-2)2=3 D.x2+y2=1
解析:设线段AB的中点为D,则
由题意,PA=PB,APB=120°,∴∠ACB=120°.
∵CB=2,∴CD=1,
∴线段AB的中点的轨迹是以C为圆心,1为半径的圆,
故线段AB的中点的轨迹方程是(x-2)2+(y-2)2=1.
130 与圆有关的最值问题
14.(2015江西上饶三模,文14,与圆有关的最值问题,填空题)设m,nR,若直线l:mx+ny-1=0与x轴相交于点A,与y轴相交于点B,且l与圆x2+y2=4相交所得弦的长为2,O为坐标原点,则mn的最大值为 .
解析:由圆x2+y2=4的方程,得到圆心坐标为(0,0),半径r=2,
直线l与圆x2+y2=4相交所得弦CD=2,
圆心到直线l的距离d=.
圆心到直线l:mx+ny-1=0的距离d=,整理得m2+n2=.
令直线l解析式中y=0,解得x=,
令x=0,解得y=,B,即OB=.
m2+n2≥2|mn|,当且仅当|m|=|n|时取等号,
又△AOB为直角三角形,
S△ABC=OA·OB==3,当且仅当|m|2=|n|2=时取等号,故mn的最大值为.
15.(2015山西太原山大附中高三月考,文15,与圆有关的最值问题,填空题)圆x2+y2+2x-4y+1=0关于直线2ax-by+2=0(a,bR)对称,则ab的取值范围是 .
解析:把圆的方程化为标准方程,得(x+1)2+(y-2)2=4,
圆心坐标为(-1,2),半径r=2,
根据题意,可知圆心在已知直线2ax-by+2=0上,
把圆心坐标代入直线方程,得-2a-2b+2=0,
即b=1-a,则设m=ab=a(1-a)=-a2+a=-,
当a=时,m有最大值,最大值为,即ab的最大值为.
故ab的取值范围是.
10.(2015江西三县部分高中一模,文10,与圆有关的最值问题,选择题)已知A(-3,0),B(0,4),M是圆C:x2+y2-4x=0上一个动点,则△MAB的面积的最小值为( )
A.4 B.5 C.10 D.15
解析:由x2-4x+y2=0,得(x-2)2+y2=4,
圆的圆心(2,0),半径为2,
过圆心作AB所在直线的垂线,交圆于M,此时△ABM的面积最小.
直线AB的方程为4x-3y+12=0,|AB|=5,
圆心到直线AB的距离为=4.
△MAB的面积的最小值为×5×(4-2)=5.
9.4直线与圆、圆与圆的位置关系
131 直线与圆的位置关系
11.(2015黑龙江大庆一模,文11,直线与圆的位置关系,选择题)直线y=kx+3与圆(x-3)2+(y-2)2=4相交于M,N两点,若|MN|≥2,则k的取值范围是( )
A. B.[0,+∞)
解析:圆心的坐标为(3,2),且圆与x轴相切.
当|MN|=2时,弦心距最大为1,
由点到直线距离公式得≤1,
解得k.故选A.
5.(2015贵州贵阳一模,文5,直线与圆的位置关系,选择题)对任意实数k,直线y=kx+1与圆x2+y2=4的位置关系一定是( )
A.相离 B.相切
C.相交且不过圆心 D.相交且过圆心
解析:对任意的实数k,直线y=kx+1恒过点(0,1),且斜率存在.
(0,1)在圆x2+y2=4内,
对任意的实数k,直线y=kx+1与圆x2+y2=4的位置关系一定是相交但直线不过圆心.
6.(2015江西南昌零模,文6,直线与圆的位置关系,选择题)已知M(x0,y0)是圆x2+y2=a2外任意一点,则直线x0x+y0y=a2与该圆的位置关系是( )
A.相切 B.相交
C.相离 D.由点(x0,y0)的位置决定
解析:点M(x0,y0)是圆x2+y2=a2(a>0)外一点,
圆心O到直线x0x+y0y=a2的距离为d=<a(半径),故直线和圆相交.
7.(2015江西宜春高安四校一模,文7,直线与圆的位置关系,选择题)直线x+y+=0截圆x2+y2=4所得劣弧所对圆心角为( )
A. B. C. D.
解析:设劣弧所对圆心角的一半为α,
因为圆到直线的距离为d==1,半径是2,
所以cos α=0.5,α=,故劣弧所对圆心角为π.
3.(2015甘肃兰州一中模拟,文3,直线与圆的位置关系,选择题)如果直线ax+by=4与圆C:x2+y2=4有两个不同的交点,那么点(a,b)和圆C的位置关系是( )
A.在圆外 B.在圆上 C.在圆内 D.不能确定
解析:直线ax+by=4与圆C:x2+y2=4有两个不同的交点,
圆心(0,0)到直线ax+by-4=0的距离d=4.故点(a,b)在圆C的外部.
16.(2015甘肃嘉峪关一中三模,文16,直线与圆的位置关系,填空题)已知直线x+y+m=0与圆x2+y2=2交于不同的两点A,B,O是坐标原点,||≥||,那么实数m的取值范围是 .
解析:直线x+y+m=0与圆x2+y2=2交于相异两点A,B,
O点到直线x+y+m=0的距离d1.
综合可知1≤d<.
过原点作一直线与x+y+m=0垂直,即y=x,两直线交点为,则d=|m|.
综上,-2<m≤-≤m<2.
答案:(-2,-)[,2)
6.(2015甘肃兰州一中三模,文6,直线与圆的位置关系,选择题)直线ax+by-a=0与圆x2+y2+2x-4=0的位置关系是( )
A.相离 B.相切
C.相交 D.与a,b的取值有关
解析:直线即a(x-1)+by=0,过定点P(1,0),而点P在圆(x+1)2+y2=5内,故直线与圆的位置关系是相交.
11.(2015黑龙江哈尔滨九中三模,文11,直线与圆的位置关系,选择题)直线l1:y=x,l2:y=x+2与☉C:x2+y2-2mx-2ny=0的四个交点把☉C分成的四条弧长相等,则m=( )
A.0或1 B.0或-1 C.-1 D.1
解析:直线l1l2,且l1,l2把☉C分成的四条弧长相等,画出图形,如图所示.
又☉C可化为(x-m)2+(y-n)2=m2+n2,
当m=0,n=1时,圆心为(0,1),半径r=1,
此时l1,l2与☉C的四个交点(0,0),(1,1),(0,2),(-1,1),把☉C分成的四条弧长相等.
当m=-1,n=0时,圆心为(-1,0),半径r=1,
此时l1,l2与☉C的四个交点(0,0),(-1,1),(-2,0),(-1,-1),把☉C分成的四条弧长也相等.
6.(2015黑龙江哈尔滨三中四模,文6,直线与圆的位置关系,选择题)直线l:8x-6y-3=0被圆O:x2+y2-2x+a=0所截得弦的长度为,则实数a的值是( )
A.-1 B.0 C.1 D.1-
解析:圆O:x2+y2-2x+a=0,
即(x-1)2+y2+a=1-a,
a<1,圆心(1,0),半径为.
又弦心距d=,
=r2=1-a,求得a=0.
16.(2015吉林实验中学六模,文16,直线与圆的位置关系,填空题)在平面直角坐标系xOy中,设直线y=-x+2与圆x2+y2=r2交于A,B两点,O为坐标原点,若圆上一点C满足,则r= .
解析:由题意可得,||=||=||=r,
设=θ,θ[0,π].
则=||||cos θ=r2cos θ.
两边同时平方可得,,
即r2=r2+r2+r2cos θ×,
∵cos θ=2cos2-1,,
∴cos >0,∴cos .
设圆心O到直线x+y-2=0的距离为d,则d=rcos ,即r=,r=.
17.(2015黑龙江绥化一模,文17,直线与圆的位置关系,解答题)已知圆C的圆心C在第一象限,且在直线3x-y=0上,该圆与x轴相切,且被直线x-y=0截得的弦长为2,直线l:kx-y-2k+5=0与圆C相交.
(1)求圆C的标准方程;
(2)求出直线l所过的定点;当直线l被圆所截得的弦长最短时,求直线l的方程及最短的弦长.
解:(1)设圆心为(a,b)(a>0,b>0),半径为r,
则b=3a,则r=3a,圆心到直线x-y=0的距离d=a,
圆被直线x-y=0截得的弦长为2,
(a)2+()2=(3a)2,
即a2=1,解得a=1,则圆心为(1,3),半径为3,
则圆C的标准方程(x-1)2+(y-3)2=9.
(2)由kx-y-2k+5=0得y=k(x-2)+5,
则直线l过定点M(2,5).
要使弦长最短,则满足CMl,
则直线l方程为x+2y-12=0,|CM|=,则最短的弦长为2=2=4.
132 圆与圆的位置关系
8.(2015山西太原二模,文8,圆与圆的位置关系,选择题)已知点A(-1,0),B(1,0),若圆(x-2)2+y2=r2上存在点P,使得APB=90°,则实数r的取值范围为( )
A.(1,3) B.[1,3] C.(1,2] D.[2,3]
解析:根据直径对的圆周角为90°,结合题意可得以AB为直径的圆和圆(x-2)2+y2=r2有交点,
检验两圆相切时不满足条件,故两圆相交.
而以AB为直径的圆的方程为x2+y2=1,圆心距为2,
所以|r-1|<2<|r+1|,解得1<r<3.
133 圆的切线与弦长问题
2.(2015广西玉林、贵港4月模拟,文16,圆的切线与弦长问题,填空题)已知A为射线x+y=0(x<0)上的动点,B为x轴正半轴上的动点,若直线AB与圆x2+y2=1相切,则|AB|的最小值为 .
解析:设切点为(m,n),则切线方程为mx+ny=1,
A为射线x+y=0(x0)到圆C:(x-2)2+(y-4)2=1上任意一点距离的最小值为4,且过椭圆右焦点F2(c,0)与上顶点的直线与圆O:x2+y2=相切.
(1)求椭圆E的方程;
(2)若直线l:y=-x+m与椭圆E交于A,B两点,当以AB为直径的圆与y轴相切时,求△F1AB的面积.
解:(1)设椭圆E为=1(a>b>0),
焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),则椭圆的右焦点到圆上任意一点的距离的最小值为
-1=4,又c>0,c=1.
过椭圆右焦点和上顶点的方程为=1,即bx+y-b=0.
由直线和圆O相切可得,解得b=1,
a2=b2+c2=2.
∴椭圆E的方程为+y2=1.
(2)由可得3x2-4mx+2m2-2=0.
则Δ=(-4m)2-12(2m2-2)>0,即m2<3.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=,x1x2=,
则AB的中点横坐标为.
则以AB为直径的圆的半径为r=|AB|
=|x1-x2|=.
由条件可得.
整理可得(x1+x2)2=8x1x2,即=8·.
m2=b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,其中F1(-2,0),P为C上一点,满足|OP|=|OF1|,且|PF1|=4,则椭圆C的方程为( )
解析:设椭圆的焦距为2c,连接PF2,如图所示.
由F(-2,0),得c=2,
又由|OP||OF1|=|OF2|知,PF1PF2,
在△PF1F2中,由勾股定理,
得|PF2|==8,
由椭圆定义,得|PF1|+|PF2|=2a=4+8=12,从而a=6,得a2=36,
于是b2=a2-c2=36-(2)2=16,
所以椭圆的方程为=1.
4.(2015江西赣州一模,文20,椭圆的定义及标准方程,解答题)已知椭圆E:=1(a>b>0)的焦距为2,A是E的右顶点,P,Q是E上关于原点对称的两点,且直线PA的斜率与直线QA的斜率之积为-.
(1)求E的方程;
(2)过E的右焦点作直线l与E交于M,N两点,直线MA,NA与直线x=3分别交于C,D两点,记△ACD与△AMN的面积分别为S1,S2,且S1·S2=,求直线l的方程.
解:(1)根据题意,设P(x0,y0),Q(-x0,-y0),
则(a2-),kPA·kQA=
依题意有-=-,
又c=1,所以a2=4,b2=3,
故椭圆E的方程为=1.
(2)设直线MN的方程为x=my+1,代入E的方程得(3m2+4)y2+6my-9=0,
设M(x1,y1),N(x2,y2),
由韦达定理知y1+y2=-,y1y2=-,
又直线MA的方程为y=(x-2),将x=3代入,
得yC=,同理yD=,
所以|CD|=|yC-yD|==3,
所以S1=|CD|=,
S2=|AF|·|y1-y2|=,
S1·S2=,即,
直线MN的方程为x=±y+1,即x±y=1.
14.(2015江西红色六校一模,文14,椭圆的定义及标准方程,填空题)已知椭圆C:=1,点M与C的焦点不重合,若M关于C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中点在C上,则|AN|+|BN|= .
解析:如图,设线段MN的中点为D,
连接DF1,DF2,则DF1,DF2分别是△AMN,△BMN的中位线,
则|AN|+|BN|=2|DF1|+2|DF2|=2(|DF1|+|DF2|)=2×2a=4×5=20.
20.(2015广西梧州一模,文20,椭圆的定义及标准方程,解答题)已知椭圆C:=1(a>b>0),A,B分别是椭圆的长轴和短轴的端点,且原点到直线AB的距离为b.
(1)求椭圆C的离心率;
(2)直线l与圆O:x2+y2=b2相切,并且被椭圆C截得的弦长的最大值为2,求椭圆C的标准方程.
解:(1)不妨设椭圆C的右顶点为A,上顶点为B,
则直线AB的方程为=1,即bx+ay-ab=0,
依题意,原点O到直线AB的距离d=b,化简,得a2=4b2,结合b2=a2-c2,得,即离心率e=.
(2)设直线l与椭圆C交于P(x1,y1),Q(x2,y2).
(i)当直线l的斜率存在时,设l:y=kx+m,
联立x2+y2=b2,消去y,整理,
得(1+k2)x2+2kmx+m2-b2=0.
由于直线l与圆O相切,所以Δ1=(2km)2-4(1+k2)(m2-b2)=0,得m2-b2=k2b2.
由消去y,整理,
得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4b2=0,
由韦达定理,得
且Δ2=(8km)2-4(1+4k2)(4m2-4b2)>0,
结合m2-b2=k2b2,整理,
又设=t,易知,k≠0,
所以0<t<1,则|PQ|=,
当t=即k2=时,得|PQ|max==2b,
(ii)当直线l的斜率不存在时,不妨设l的方程为x=b,易知P,Q,
此时|PQ|=bb>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点D在椭圆上.DF1F1F2,=2,△DF1F2的面积为.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设圆心在y轴上的圆与椭圆在x轴的上方有两个交点,且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点,求圆的半径.
解:(1)设F1(-c,0),F2(c,0),其中c2=a2-b2,
由=2,得|DF1|=c,
从而|DF1||F1F2|=c2=,故c=1.
从而|DF1|=,由DF1F1F2,
得|DF2|2=|DF1|2+|F1F2|2=,
因此|DF2|=,所以2a=|DF1|+|DF2|=2,故a=,b2=a2-c2=1,
故椭圆的标准方程为+y2=1.
(2)设圆心在y轴上的圆C与椭圆+y2=1相交,P1(x1,y1),P2(x2,y2)是两个交点,
y1>0,y2>0,F1P1,F2P2是圆C的切线,且F1P1F2P2,由圆和椭圆的对称性,易知x2=-x1,y1=y2,|P1P2|=2|x1|,
由(1)知F1(-1,0),F2(1,0),
所以=(x1+1,y1),=(-x1-1,y1),
再由F1P1F2P2,得-(x1+1)2+=0,
由椭圆方程得1-=(x1+1)2,
即3+4x1=0,解得x1=-或0.
当x1=0时,P1,P2重合,此时题设要求的圆不存在.
当x1=-时,过P1,P2分别与F1P1,F2P2垂直的直线的交点即为圆心C.
由F1P1,F2P2是圆C的切线,且F1P1F2P2,知CP1CP2,又|CP1|=|CP2|,
故圆C的半径|CP1|=|P1P2|=|x1|=.
136 椭圆的几何性质
1.(2015广西柳州一中一模,文9,椭圆的几何性质,选择题)设F1,F2是椭圆E:=1(a>b>0)的左、右焦点,P为直线x=上一点,△F2PF1是底角为30°的等腰三角形,则E的离心率为( )
A. B. C. D.
解析:△F2PF1是底角为30°的等腰三角形,
|PF2|=|F2F1|.
∵P为直线x=上一点,
2=2c,∴e=.
20.(2015山西太原二模,文20,椭圆的几何性质,解答题)已知动点A在椭圆C:=1(a>b>0)上,动点B在直线x=-2上,且满足(O为坐标原点),椭圆C上点M到两焦点距离之和为4.
(1)求椭圆C方程;
(2)求|AB|取最小值时点A的坐标.
解:(1)根据题意可得
解得a2=12,b2=3,
故椭圆C方程为=1.
(2)由题意可设A(x0,y0),B(-2,t)(tR),
∵,∴=-2x0+ty0=0,即t=,
动点A在椭圆C上,=1,
当且仅当,即y0=±2时,|AB|取最小值,
=3-,∴x0=±.
∴点A的坐标为(,-2)或(,2)或(-,-2)或(-,2).
11.(2015江西鹰潭一模,文11,椭圆的几何性质,选择题)已知椭圆C1:=1(a>b>0)与圆C2:x2+y2=b2,若在椭圆C1上存在点P,过P作圆的切线PA,PB,切点为A,B使得BPA=,则椭圆C1的离心率的取值范围是( )
解析:连接OA,OB,OP,依题意,O,P,A,B四点共圆,
BPA=,∠APO=∠BPO=,
在Rt△OAP中,AOP=,
∴cos∠AOP=,∴|OP|==2b.
∴b<|OP|≤a,∴2b≤a.
∴4b2≤a2,即4(a2-c2)≤a2,
3a2≤4c2,即.
e≥.又0<e<1,≤e0,b>0)的一个焦点与抛物线y2=4的焦点重合,且椭圆的离心率等于,则该椭圆的方程为 ( )
A.+5y2=1 B.=1
C.=1 D.x2+3y2=1
解析:抛物线y2=4x的焦点为(1,0),c=1.
又椭圆的离心率等于,即,
a=,∴b2=a2-c2=.
故所求椭圆的方程为x2+3y2=1.
6.(2015江西上饶二模,文6,椭圆的几何性质,选择题)已知焦点在x轴的椭圆方程+y2=1,过焦点作垂直于x轴的直线交椭圆于A,B两点,且|AB|=1,则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
解析:焦点在x轴的椭圆方程+y2=1,焦点坐标(±,0),不妨设A,
可得=1,解得a=2,
故椭圆的离心率为e=.
5.(2015江西六校联考二模,文5,椭圆的几何性质,选择题)椭圆=1(a>b>0)的两顶点为A(a,0),B(0,b),且左焦点为F,△FAB是以角B为直角的直角三角形,则椭圆的离心率e为( )
A. B. C. D.
解析:依题意可知点F(-c,0),直线AB斜率为=-,直线BF的斜率为.
FBA=90°,∴=-=-=-1.
整理得c2+ac-a2=0,即-1=0,
即e2+e-1=0,解得e=.
0<eb>0)的右焦点,点P在椭圆E上,直线l0:3x-4y-10=0与以原点为圆心、以椭圆E的长半轴长为半径的圆相切.
(1)求椭圆E的方程.
(2)过点F的直线l与椭圆相交于A,B两点,过点P且平行于AB的直线与椭圆交于另一点Q.问是否存在直线l,使得四边形PABQ的对角线互相平分?若存在,求出l的方程;若不存在,说明理由.
解:(1)由题意知
所以椭圆E的方程为=1.
(2)结论:存在直线l,使得四边形PABQ的对角线互相平分.
理由如下:由题可知直线l,PQ的斜率存在.
设直线l的方程为y=k(x-1),直线PQ的方程为y=k(x-1)+,
由消去y得(3+4k2)x2-8k2x+(4k2-12)=0.
由消去y得(3+4k2)x2-(8k2-12k)x+(4k2-12k-3)=0,
若四边形PABQ的对角线互相平分,则四边形PABQ为平行四边形,
|AB|=|PQ|,∴1+k2=+k+k2=>k=.
∴直线l的方程为3x-4y-3=0时,四边形PABQ的对角线互相平分.
7.(2015江西上饶一模,文7,椭圆的几何性质,选择题)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左右焦点为F1,F2,过F2的直线与圆x2+y2=b2相切于点A,并与椭圆C交于不同的两点P,Q,如图,PF1PQ,若A为线段PQ的靠近P的三等分点,则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
解析:连接OA,PF1,则OAPQ,又PF1PQ,可得OAPF1.
因为A为线段PQ的靠近P的三等分点,所以A为线段PF2的中点,于是PF1=2b.
结合椭圆的定义有PF2=2a-2b,在Rt△PF1F2中,
利用勾股定理得(2a-2b)2+(2b)2=(2c)2,
将c2=a2-b2代入,整理可得b=a,
15.(2015广西防城港、桂林一模,文15,椭圆的几何性质,填空题)设椭圆=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,焦距为2c.直线y=(x+c)与椭圆的一个交点为M,O为坐标原点,若|OM|=c,则椭圆的离心率是 .
解析:直线y=(x+c)与坐标轴的交点分别为A(-c,0),B(0,c).|AB|=2c.
直线y=(x+c)与椭圆的一个交点为M,O为坐标原点,若|OM|=c,
可得M是AB的中点,M.
则:=1,即=1,
化简得:=1,解得e=-1.
10.(2015江西赣州兴国一模,文10,直线与椭圆的位置关系,选择题)椭圆ax2+by2=1与直线y=1-x交于A,B两点,过原点与线段AB中点的直线的斜率为,则的值为( )
A. B. C. D.
解析:由得ax2+b(1-x)2=1,(a+b)x2-2bx+b-1=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,y1+y2=1-x1+1-x2=2-.
所以AB中点坐标为,AB中点与原点连线的斜率k=.故.
14.(2015山西太原五中二模,文14,椭圆的几何性质,填空题)已知椭圆mx2+4y2=1的离心率为,则实数m等于 .
解析:由mx2+4y2=1,得=1,
若,得0<m4,此时a=,c2=,c=,
则,解得m=8.
综上,m=2或8.
12.(2015山西太原山大附中高三月考,文12,椭圆的几何性质,选择题)椭圆C:=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,若椭圆C上恰好有6个不同的点P,使得△F1F2P为等腰三角形,则椭圆C的离心率的取值范围是( )
解析:当点P与短轴的顶点重合时,△F1F2P构成以F1F2为底边的等腰三角形,
此种情况有2个满足条件的等腰△F1F2P.
当△F1F2P构成以F1F2为一腰的等腰三角形时,
以F2P作为等腰三角形的底边为例,
∴点P在以F1为圆心,半径为焦距2c的圆上.
因此,当以F1为圆心,半径为2c的圆与椭圆C有2交点时,存在2个满足条件的等腰△F1F2P,
在△F1F2P1中,F1F2+PF1>PF2,
即2c+2c>2a-2c,由此得知3c>a.
所以离心率e>.
当e=时,△F1F2P是等边三角形,与中的三角形重复,故e≠.
同理,当F1P为等腰三角形的底边时,在e>且e≠时也存在2个满足条件的等腰△F1F2P.
这样,总共有6个不同的点P使得△F1F2P为等腰三角形.
综上所述,离心率的取值范围是.
11.(2015黑龙江哈尔滨六中四模,文11,椭圆的几何性质,选择题)设F1,F2是椭圆x2+=1(0<bb>0)的右焦点F和上顶点B,则椭圆Γ的离心率为 .
解析:由题意得,椭圆的右焦点F为(c,0)、上顶点B为(0,b),
因为圆(x-1)2+(y-1)2=2经过右焦点F和上顶点B,
所以解得b=c=2,
则a2=b2+c2=8,解得a=2,
所以椭圆C的离心率e=.
11.(2015甘肃兰州二诊,文11,椭圆的几何性质,选择题)已知椭圆C的中心为O,两焦点为F1,F2,M是椭圆C上一点,且满足||=2||=2||,则椭圆的离心率e=( )
A. B. C. D.
解析:由椭圆定义可得2a=|MF1|+|MF2|=3|MF2|,|MF1|=|MO|=|MF2|,
所以|MF2|=a,|MF1|=a.
在△F1OM中,|F1O|=c,|F1M|=a,|OM|=a,
则cosMOF1=,
在△OF2M中,|F2O|=c,|MO|=|F2M|=a,
则cosMOF2=,
由MOF1=180°-∠MOF2得cosMOF1+cos∠MOF2=0,
即为=0,整理得:3c2-2a2=0,
即,即e2=,即有e=.
11.(2015甘肃兰州一模,文11,椭圆的几何性质,选择题)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,右顶点为A,上顶点为B,若椭圆C的中心到直线AB的距离为|F1F2|,则椭圆C的离心率e=( )
A. B. C. D.
解析:设椭圆C的焦距为2c(cb>0),由题意可得,椭圆C两焦点坐标分别为F1(-1,0),F2(1,0).
又c=1,b2=4-1=3,故椭圆的方程为=1.
(2)当直线lx轴,计算得到:
·|AB|·|F1F2|=×3×2=3,不符合题意.
当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为y=k(x+1),
(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0.
显然Δ>0成立,设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=-,x1·x2=,
又圆F2的半径r=,
所以|AB|r=,
化简,得17k4+k2-18=0,即(k2-1)(17k2+18)=0,解得k=±1.
故圆F2的方程为(x-1)2+y2=2.
137 直线与椭圆的位置关系
20.(2015黑龙江绥化一模,文20,直线与椭圆的位置关系,解答题)坐标系xOy中,已知椭圆C1:=1(a>b>0)的其中一个顶点坐标为B(0,1),且点P在C1上.
(1)求椭圆C1的方程;
(2)若直线l:y=kx+m与椭圆C1交于M,N且kOM+kON=4k,求证:m2为定值.
(1)解:由题意,椭圆C1的右顶点坐标为B(0,1),所以b=1,
点P代入椭圆=1,得,即a=.
所以椭圆C1的方程为+y2=1.
(2)证明:直线l的斜率显然存在,设直线l的方程为y=kx+m,
得消去y并整理得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0,(*)
设M(x1,y1),N(x2,y2),
由(*)式得x1+x2=-,x1·x2=.
kOM+kON==2k+=2k-=4k.可得m2=.
经验证满足Δ>0,故m2=为定值.
138 双曲线的定义与标准方程
1.(2015广西柳州一中一模,文12,双曲线的定义与标准方程,选择题)在平面直角坐标系中,已知△ABC的顶点A(-6,0)和C(6,0),顶点B在双曲线=1的左支上,则等于( )
A. B. C. D.
解析:由题意可知双曲线的焦点坐标就是A,B,由双曲线的定义可知BC-AB=2a=10,c=6,.
2.(2015甘肃张掖4月模拟,文11,双曲线的定义与标准方程,选择题)已知双曲线x2-=1的焦点为F1,F2,点M在双曲线上且=0,则点M到x轴的距离为 ( )
A. B. C. D.
解析:已知双曲线x2-=1的焦点为F1(-,0),F2(,0).
MF1⊥MF2,∴点M在以F1F2为直径的圆x2+y2=3上,
故由得|y|=,
点M到x轴的距离为.
11.(2015江西景德镇二模,文11,双曲线的定义与标准方程,选择题)已知双曲线=1两个焦点分别为F1,F2,过点F2的直线l与该双曲线的右支交于M,N两点,且△F1MN是以N为直角顶点的等腰直角三角形,则为( )
A.18 B.12 C.18 D.12
解析:设|NF1|=|MN|=m,则|MF1|=m,
由双曲线的定义,可得|NF2|=m-2a,|MF2|=m-2a,
|NM|=|NF2|+|MF2|=m,
∴m-2a+m-2a=m,
∵a2=3,∴m2=24.
故m2=×24=12.
11.(2015江西上饶重点中学二模,文11,双曲线的定义与标准方程,选择题)已知双曲线=1(0<b<2)与x轴交于A,B两点,点C(0,b),则△ABC面积的最大值为( )
A.1 B.2 C.4 D.8
解析:双曲线=1(0<b0,b>0,且bN*)的两个焦点为F1,F2,其中一条渐近线方程为y=x,P为双曲线上一点,且满足|OP|<5(其中O为坐标原点),若|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等比数列,则双曲线C的方程为( )
A.-y2=1 B.x2-y2=1
解析:|F1F2|2=|PF1|·|PF2|,
∴4c2=|PF1|·|PF2|.
∵|PF1|-|PF2|=4,∴|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=16,
即|PF1|2+|PF2|2-8c2=16.
设POF1=θ,则POF2=π-θ,
由余弦定理得,|PF2|2=c2+|OP|2-2|OF2|·|OP|·cos(π-θ),
|PF1|2=c2+|OP|2-2|OF1||OP|·cos θ.
整理得,|PF2|2+|PF1|2=2c2+2|OP|2.
由化简得,|OP|2=8+3c2=20+3b2.
OP<5,∴20+3b20,b>0)的右顶点作x轴的垂线与C的一条渐近线相交于A.若以C的右焦点为圆心、半径为2的圆经过A,O两点(O为坐标原点),则双曲线C的方程为( )
A.x2-=1 B.x2-=1
解析:双曲线的右顶点为(a,0),右焦点F为(c,0),
由x=a和一条渐近线y=x,可得A(a,b).
以C的右焦点为圆心、半径为2的圆经过A,O两点(O为坐标原点),
则|AF|=|OF|=c=2,即有=2,c2=a2+b2=4,解得a=1,b=.
故双曲线C的方程为x2-=1.
139 双曲线的几何性质
1.(2015江西上饶重点中学一模,文11,双曲线的几何性质,选择题)过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作倾斜角为60°的直线l,若直线l与抛物线在第一象限的交点为A,并且点A也在双曲线 =1(a>0,b>0)的一条渐近线上,则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
解析:如图,
设A(x0,y0),则|AF|=2,
又|AF|=x0+,2=x0+,解得x0=p,y0=|AF|=·2p=p.
A在双曲线 =1(a>0,b>0)的一条渐近线上,
p=p,解得b2=a2.
由a2+b2=c2,得a2+a2=c2,
即,双曲线的离心率e=.
2.(2015山西太原一模,文11,双曲线的几何性质,选择题)已知点F1,F2是双曲线=1(a>0,b>0)的左、右两焦点,若双曲线左支上存在点P与点F2关于直线y=x对称,则双曲线的离心率为( )
A. B. C.2 D.
解析:过焦点F且垂直渐近线的直线方程为y-0=-(x-c),
联立渐近线方程y=x与y-0=-(x-c),
解之可得x=,y=.
故对称中心的坐标为,
由中点坐标公式可得点P的坐标为,
将其代入双曲线的方程可得=1,
结合a2+b2=c2,化简可得c2=5a2,故可得e=.
3.(2015广西玉林、贵港4月模拟,文5,双曲线的几何性质,选择题)已知双曲线=1(a>0,b>0)的实轴长为2,离心率为,则它的一个焦点到它的一条渐近线的距离为( )
A.1 B.2 C. D.2
解析:双曲线=1(a>0,b>0)的实轴长为2,离心率为,
a=1,c=,b=2.
∴双曲线的一个焦点为(,0),一条渐近线的方程为y=2x.
故双曲线的一个焦点到它的一条渐近线的距离为=2.
4.(2015广西桂林、防城港联合调研,文10,双曲线的几何性质,选择题)若双曲线=1(a>0,b>0)与直线y=x无交点,则离心率e的取值范围为( )
A.(1,2) B.(1,2] C.(1,) D.(1,]
解析:双曲线=1(a>0,b>0)与直线y=x无交点,
双曲线的渐近线方程y=±x,满足,
得b≤a,两边平方得b2≤3a2,即c2-a2≤3a2,
c2≤4a2,得≤4即e2≤4.
又e>1,10,b>0)上的动点,F1,F2分别是其左、右焦点,若|PF1|=|PF2|+2,则此双曲线的渐近线方程是 .
解析:由双曲线-y2=1的定义可得,||PF1|-|PF2||=2a,
若|PF1|=|PF2|+2,即有|PF1|-|PF2|=2,
即2a=2,解得a=1,即双曲线的方程为x2-y2=1,
则有渐近线方程为y=±x.
答案:y=±x
6.(2015广西柳州一中一模,文10,双曲线的几何性质,选择题)设F1,F2分别为双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点,A为双曲线的左顶点,以F1F2为直径的圆交双曲线某条渐近线于M,N两点,且满足MAN=120°,则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
解析:不妨设圆与y=x相交且点M的坐标为(x0,y0)(x0>0),则N点的坐标为(-x0,-y0),
联立y0=x0,=c2得M(a,b),N(-a,-b).
又A(-a,0)且MAN=120°,所以由余弦定理得4c2=(a+a)2+b2+b2-2·bcos 120°,
化简得7a2=3c2,故e=.
7.(2015江西赣州一模,文4,双曲线的几何性质,选择题)已知双曲线=1(b>a>0)的两条渐近线的夹角为60°,则双曲线的离心率为( )
A. B.2 C. D.
解析:b>a>0,∴>1.
∵双曲线=1(b>a>0)的两条渐近线的夹角为60°,
,b2=3a2.∴e==2.
12.(2015山西太原二模,文12,双曲线的几何性质,选择题)已知F1,F2分别是双曲线=1(a>0,b>0)的左,右焦点,过F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于点A,B,若|AB|=|AF2|,F1AF2=90°,则双曲线的离心率为( )
解析:设|AF2|=t,由题可知,|AB|=t,|BF2|=t,
由双曲线的定义可知,t-=t+t,
解得:t=c,|AF1|=c.
∵|AF2|-|AF1|=2a,即c=2a,
3.(2015江西九江一模,文3,双曲线的几何性质,选择题)已知双曲线=1的渐近线方程为y=±x,则此双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
解析:双曲线=1的渐近线方程为y=±x,
a=3,半焦距c=.
3.(2015江西鹰潭一模,文3,双曲线的几何性质,选择题)设双曲线=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,则该双曲线的离心率为( )
A. B.2 C. D.
解析:由已知条件知,,.
20.(2015江西吉安一模,文20,双曲线的几何性质,解答题)在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线C:ax2-y2=1(a>0).
(1)过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线,若该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积不超过,求实数a的取值范围;
(2)设斜率为1的直线l交C1于P,Q两点,若l与圆x2+y2=1相切且,求双曲线的方程.
解:(1)双曲线C1:-y2=1,左顶点A,渐近线方程y=±x,
过点A与渐近线y=x平行的直线方程为y=,即y=x+1,
解方程组得x=-,y=.
∴该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积S=,
由S≤,解得a≥2.
(2)设直线PQ的方程是y=x+b,
直线PQ与已知圆相切,=1,解得b2=2,
由得(a-1)x2-2bx-b2-1=0,
设P(x1,y1),Q(x2,y2),
则x1+x2=,x1x2=,
y1y2=(x1+b)(x2+b)=x1x2+b(x1+x2)+b2.
∴=x1x2+y1y2=2x1x2+b(x1+x2)+b2
=2·+2b2·+b2=0,
即为-2-4+4+2(a-1)=0,解得a=2,
故双曲线的方程为2x2-y2=1.
6.(2015黑龙江绥化重点中学二模,文6,双曲线的几何性质,选择题)已知双曲线=1(a>0)的离心率为,则a的值为( )
A. B. C. D.
解析:由双曲线=1,可得c=1,
双曲线的离心率为,,解得a=.
9.(2015江西红色六校一模,文9,双曲线的几何性质,选择题)设F1,F2分别为双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点,若在双曲线右支上存在点P,满足|PF2|=|F1F2|,且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的离心率e为( )
A. B. C. D.
解析:依题意|PF2|=|F1F2|,可知△PF2F1是一个等腰三角形,F2在直线PF1的投影是其中点,由勾股定理知|PF1|=2=4b.
根据双曲线定义可知4b-2c=2a,整理得c=2b-a,代入c2=a2+b2整理得3b2-4ab=0,求得.
11.(2015江西鹰潭二模,文11,双曲线的几何性质,选择题)如图,已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的右顶点为A,O为坐标原点,以A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P,Q,若PAQ=60°,且=3,则双曲线C的离心率为( )
A. B. C. D.
解析:因为PAQ=60°且=3,
所以△QAP为等边三角形,设AQ=2R,则OP=R,
渐近线方程为y=x,A(a,0),取PQ的中点M,则AM=.
由勾股定理可得(2R)2-R2=,
所以(ab)2=3R2(a2+b2).
在△OQA中,,
所以7R2=a2.
①②结合c2=a2+b2,可得e=.
11.(2015广西南宁一模,文11,双曲线的几何性质,选择题)双曲线C:=1(a>0,b>0)与抛物线y2=2px(p>0)相交于A,B两点,公共弦AB恰好过它们的公共焦点F,则双曲线C的离心率为( )
A. B.1+ C.2 D.2+
解析:双曲线C:=1(a>0,b>0)与抛物线y2=2px(p>0)相交于A,B两点,公共弦AB恰好过它们的公共焦点F,
A在双曲线C:=1(a>0,b>0)上,=c.
(c,2c)在双曲线C:=1(a>0,b>0)上,
=1.∴c4-6a2c2+a4=0,
∴e4-6e2+1=0.
∴e2==3±2=(1±)2.
∵e>1,∴e=1+.
10.(2015贵州贵阳二模,文10,双曲线的几何性质,选择题)以双曲线C:=1(a>0)的一个焦点F为圆心的圆与双曲线的渐近线相切,则该圆的面积为( )
A.π B.3π C.6π D.9π
解析:由题意双曲线C:=1知,b2=3,c2=a2+3,圆的半径等于右焦点(c,0)到其中一条渐近线y=x的距离,
根据点到直线的距离公式得:
圆的面积为S=()2π=3π.
7.(2015黑龙江大庆一模,文7,双曲线的几何性质,选择题)已知抛物线x2=4y的准线经过双曲线-x2=1(m>0)的一个焦点,则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.3
解析:抛物线x2=4y的准线方程为y=-,抛物线x2=4y的准线过双曲线-x2=1的一个焦点,
双曲线的一个焦点坐标为(0,-).
双曲线中c=.
双曲线-x2=1,
a2=m2,a=m,m2+1=3,解得m=,
双曲线的离心率e=.
3.(2015江西上饶三模,文3,双曲线的几何性质,选择题)双曲线 =1的渐近线与圆(x-4)2+y2=r2(r>0)相切,则r=( )
A.4 B.3 C.2 D.
解析:根据题意,可得双曲线的渐近线方程为y=±x,即x±y=0,
渐近线与圆相切,
圆心(4,0)到渐近线的距离d与r相等,
3.(2015广西梧州一模,文3,双曲线的几何性质,选择题)双曲线=1(a>0,b>0)的离心率为2,则它的一条渐近线经过点( )
A.(1,2) B.(2,1) C.(1,) D.(,1)
解析:由题意可得e==2,
双曲线=1的渐近线方程为y=±x,
即为y=±x.
代入点(1,2),(2,1),(1,),(,1),
只有(1,)满足渐近线方程.
12.(2015江西新余二模,文12,双曲线的几何性质,选择题)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线y2=2px(p>0)的准线分别交于A,B两点,O为坐标原点,若双曲线C的离心率为2,△AOB的面积为,则△AOB的内切圆半径为( )
A.-1 B.+1 C.2-3 D.2+3
解析:由e==2,可得.
由求得A,B,
所以S△AOB=p·,解得p=2.
所以A(-1,),B(-1,-),
则△AOB的三边分别为2,2,2,
设△AOB的内切圆半径为r,由(2+2+2)r=,解得r=2-3.
11.(2015贵州贵阳一模,文11,双曲线的几何性质,选择题)已知抛物线C1:y=x2(p>0)的焦点与双曲线C2:-y2=1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M,若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线,则p=( )
A. B. C. D.
解析:由抛物线C1:y=x2(p>0),得x2=2py(p>0),
所以抛物线的焦点坐标为F.
由-y2=1,得a=,b=1,c=2.
所以双曲线的右焦点为(2,0).
则抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线所在直线方程为,即x+2y-p=0.
设该直线交抛物线于M,则C1在点M处的切线的斜率为.
由题意可知,得x0=p,代入M点得M.
把M点代入,得p-2p=0.
9.(2015江西南昌零模,文9,双曲线的几何性质,选择题)设F1,F2是双曲线=1的两个焦点,若双曲线上存在点M使F1MF2=60°,且|MF1|-2|MF2|=0,则双曲线的离心率为( )
A. B.2 C. D.
解析:由于|MF1|-2|MF2|=0,
则M在双曲线的右支上,
则由双曲线的定义,可得|MF1|-|MF2|=2a,
解得|MF1|=4a,|MF2|=2a.
在△F1MF2中,由余弦定理,可得
cos 60°=,
化简可得,c=a,则离心率e=.
10.(2015江西重点中学协作体一模,文10,双曲线的几何性质,选择题)已知双曲线=1(a>0,b>0)的一条渐近线与圆C:x2+y2-6x+1=0相交于A,B两点,且|AB|=4,则该双曲线离心率等于( )
A. B. C. D.
解析:由题意可知双曲线的一条渐近线方程为bx+ay=0,
圆C:x2+y2-6x+1=0的圆心(3,0),半径为2,
双曲线=1(a>0,b>0)的一条渐近线与圆C:x2+y2-6x+1=0相交于A,B两点,且|AB|=4,
可得+22=8,=4,
即5b2=4a2,可得5(c2-a2)=4a2,5c2=9a2,
11.(2015江西重点中学协作体二模,文11,双曲线的几何性质,选择题)中心在原点,焦点在x轴上的双曲线C的离心率为,直线l与双曲线C交于A,B两点,线段AB中点M在第一象限,并且在抛物线y2=2px(p>0)上,且M到抛物线焦点的距离为p,则直线l的斜率为( )
A.2 B. C.1 D.
解析:M在抛物线y2=2px(p>0)上,且M到抛物线焦点的距离为p,
M的横坐标为,M.
设双曲线方程为=1(a>0,b>0),A(x1,y1),B(x2,y2),则代入两式相减,并将线段AB中点M的坐标代入,可得=0,
,即直线l的斜率为.
14.(2015江西重点中学协作体二模,文14,双曲线的几何性质,填空题)已知过双曲线=1(a>0,b>0)右焦点且倾斜角为45°的直线与双曲线右支有两个交点,则双曲线的离心离e的取值范围是 .
解析:根据题意,得<tan 45°=1,即b<a.
整理得c1,故e的范围是(1,).
12.(2015江西新八校联考一模,文12,双曲线的几何性质,选择题)双曲线=1(a>0,b>0),M,N为双曲线上关于原点对称的两点,P为双曲线上的点,且直线PM,PN斜率分别为k1,k2,若k1·k2=,则双曲线离心率为( )
A. B. C.2 D.
解析:由题意,设M(x1,y1),P(x2,y2),则N(-x1,-y1),
kPM·kPN=.
∴两式相减可得.
kPM·kPN=,∴.
∴b=a,∴c=a,∴e=.
16.(2015江西红色六校二模,文16,双曲线的几何性质,填空题)已知点A是抛物线C1:y2=2px(p>0)与双曲线C2:=1(a>0,b>0)的一条渐近线的交点,若点A到抛物线C1的准线的距离为p,则双曲线的离心率等于 .
解析:取双曲线的一条渐近线y=x,联立解得故A.
点A到抛物线的准线的距离为p,
=p,化为.=4.
∴双曲线C2的离心率e=.
4.(2015山西四校联考三模,文4,双曲线的几何性质,选择题)若椭圆=1(a>b>0)的离心率为,则双曲线=1的渐近线方程为( )
A.y=±x B.y=±x
C.y=±x D.y=±x
解析:椭圆=1(a>b>0)的离心率为,
双曲线=1的渐近线方程为y=±x.
12.(2015山西四校联考三模,文12,双曲线的几何性质,选择题)已知点A是抛物线x2=4y的对称轴与准线的交点,点B为抛物线的焦点,P在抛物线上且满足|PA|=m|PB|,当m取最大值时,点P恰好在以A,B为焦点的双曲线上,则双曲线的离心率为( )
A. B. C.+1 D.-1
解析:过P作准线的垂线,垂足为N,则由抛物线的定义可得|PN|=|PB|,
|PA|=m|PB|,∴|PA|=m|PN|,
设PA的倾斜角为α,则sin α=,
当m取得最大值时,sin α最小,此时直线PA与抛物线相切,
设直线PM的方程为y=kx-1,代入x2=4y,可得x2=4(kx-1),
即x2-4kx+4=0,Δ=16k2-16=0,
∴k=±1,∴P(2,2),
∴双曲线的实轴长为PA-PB=2(-1).
双曲线的离心率为+1.
7.(2015江西赣州兴国一模,文7,双曲线的几何性质,选择题)已知双曲线=1(a>0,b>0)的一个焦点到它的一条渐近线的距离等于实轴长的,则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
解析:焦点F(c,0)到渐近线y=x的距离等于实轴长的,=2a×,∴a=2b.
∴e2=1+,∴e=.
15.(2015黑龙江哈尔滨九中三模,文15,双曲线的几何性质,填空题)已知A,B,P是双曲线=1上不同的三点,且A,B连线经过坐标原点,若直线PA,PB的斜率乘积kPA·kPB=,则该双曲线的离心率为 .
解析:A,B一定关于原点对称,设A(x1,y1),B(-x1,-y1),P(x,y).
则=1,kPA·kPB=,e=.
9.(2015黑龙江哈尔滨六中四模,文9,双曲线的几何性质,选择题)双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率为2,焦点到渐近线的距离为,则C的焦距等于( )
A.2 B.2 C.2 D.4
解析:双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率为2,焦点到渐近线的距离为,可得=2,b=,可得c2=4a2=a2+b2,解得a2=1,c=2,所以2c=4,即C的焦距为4.
11.(2015黑龙江哈尔滨三中四模,文11,双曲线的几何性质,选择题)双曲线C的中心在原点,焦点在y轴上,离心率为,双曲线C与抛物线y2=4x的准线交于A,B两点,|AB|=4,则双曲线C的实轴长为( )
A.2 B. C.4 D.2
解析:由题意可知,双曲线为焦点在y轴上的等轴双曲线,设等轴双曲线C的方程为y2-x2=λ,
∵抛物线y2=4x,2p=4,p=2,∴=1,
∴抛物线的准线方程为x=-1.
设等轴双曲线与抛物线的准线x=-1的两个交点A(-1,y),B(-1,-y)(y>0),
则|AB|=|y-(-y)|=2y=4,y=2.
将x=-1,y=2代入,得22-(-1)2=λ,
λ=3.∴等轴双曲线C的方程为x2-y2=3,
即=1.双曲线C的实轴长为2.
13.(2015吉林实验中学六模,文13,双曲线的几何性质,填空题)若双曲线=1的离心率为,则其渐近线方程为 .
解析:双曲线C方程为=1(a>0,b>0),
双曲线的渐近线方程为y=±x.
又双曲线离心率为,c=a,可得b=a.
故双曲线的渐近线方程为y=±x.
答案:y=±x
20.(2015甘肃兰州一模,文20,双曲线的几何性质,解答题)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的一条渐近线为y=x,焦点F到直线x=的距离为.
(1)求双曲线C的方程;
(2)斜率为1且在y轴上的截距大于0的直线与曲线C相交于B,D两点,已知A(1,0),若=1,证明:过A,B,D三点的圆与x轴相切.
解:(1)依题意有,c-,
a2+b2=c2,∴c=2a,∴a=1,c=2,∴b2=3.
∴曲线C的方程为x2-=1.
(2)证明:设直线l的方程为y=x+m,则B(x1,x1+m),D(x2,x2+m),BD的中点为M,
由得2x2-2mx-m2-3=0.
x1+x2=m,x1x2=-.
∵=1,即(2-x1)(2-x2)+(x1+m)(x2+m)=1,m=0(舍去)或m=2.
x1+x2=2,x1x2=-,M点的横坐标为=1.
=(1-x1)(1-x2)+(x1+2)(x2+2)=5+2x1x2+x1+x2=5-7+2=0,
∴AD⊥AB.∴过A,B,D三点的圆以点M为圆心,BD为直径.
M点的横坐标为1,MA⊥x.
∴过A,B,D三点的圆与x轴相切.
3.(2015甘肃庆阳一诊,文3,双曲线的几何性质,选择题)双曲线=1(b>0)的焦距为6,则双曲线的渐近线方程为( )
A.y=±x B.y=±x
C.y=±x D.y=±x
解析:因为双曲线=1(b>0)的焦距为6,所以a=2,c=3,所以b=,故双曲线的渐近线方程为y=±x.
15.(2015甘肃河西五地一模,文15,双曲线的几何性质,填空题)已知双曲线x2-y2=1,点F1,F2为其两个焦点,点P为双曲线上一点,若PF1PF2,则|PF1|+|PF2|的值为 .
解析:PF1⊥PF2,∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2.
∵双曲线方程为x2-y2=1,
a2=b2=1,c2=a2+b2=2,可得F1F2=2.
|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=8.
又P为双曲线x2-y2=1上一点,
|PF1|-|PF2|=±2a=±2,(|PF1|-|PF2|)2=4.
∴(|PF1|+|PF2|)2=2(|PF1|2+|PF2|2)-(|PF1|-|PF2|)2=12,
故|PF1|+|PF2|的值为2.
11.(2015甘肃张掖一模,文11,双曲线的几何性质,选择题)已知二次曲线=1,则当m[-2,-1]时,该曲线的离心率e的取值范围是( )
解析:由当m[-2,-1]时,二次曲线为双曲线,
双曲线=1即为=1,
且a2=4,b2=-m,则c2=4-m,
140 抛物线的定义与标准方程
20.(2015江西上饶二模,文20,抛物线的定义与标准方程,解答题)已知抛物线y2=2px的焦点为F,若该抛物线上有一点A,满足直线FA的倾斜角为120°,且|FA|=4.
(1)求抛物线方程;
(2)若抛物线上另有两点B,C满足=0,求直线BC的方程.
解:(1)如图,设抛物线的准线为l,过A作AMl,垂足为M.
由|AF|=4,可得|AM|=4,由AFx=120°,
可知|NF|=|AM|+|AF|cos 60°=6,由抛物线的定义可得p=|NF|=6,故抛物线方程为y2=12x.
(2)由(1)可知点A(1,2),可设点B(x1,y1),C(x2,y2),
(-2,2)+(x1-3,y1)+(x2-3,y2)=(0,0),
即得x1+x2=8,y1+y2=-2,
即BC中点坐标为(4,-).
=12x1,=12x2,∴=12(x1-x2).
而BC斜率k==-2,
直线BC方程为y+=-2(x-4),
即2x+y-7=0.
4.(2015江西新八校联考一模,文4,抛物线的定义与标准方程,选择题)O为原点,F为y2=4x的焦点,A为抛物线上一点,若=-4,则A点坐标为( )
A.(2,±2) B.(1,±2)
C.(1,2) D.(2,2)
解析:y2=4x的焦点F(1,0),设A,
=-4,∴=-4,
解得b=±2,A点坐标为(1,±2).
5.(2015山西太原山大附中高三月考,文5,抛物线的定义与标准方程,选择题)若抛物线y=ax2的焦点坐标是(0,1),则a=( )
A.1 B. C.2 D.
解析:抛物线y=ax2的标准方程为x2=y,
抛物线y=ax2的焦点坐标为(0,1),
141 抛物线的几何性质
1.(2015广西桂林、防城港联合调研,文8,抛物线的几何性质,选择题)设点P在曲线y=x2上,点Q在直线y=2x-2上,则PQ的最小值为( )
A. B. C. D.
解析:点P在曲线y=x2上,可设P(m,m2),
则P到直线y=2x-2即2x-y-2=0的距离为
当m=1时,d取得最小值.
2.(2015江西赣州一模,文7,抛物线的几何性质,选择题)已知抛物线C:y2=8x焦点为F,点P是C上一点,若△POF的面积为2,则|PF|=( )
A. B.3 C. D.4
解析:由抛物线C:y2=8x,得
抛物线的准线方程为x=-2,焦点F(2,0),
又P为C上一点,设|PF|=t,xP=t-2.
代入抛物线方程,得|yP|=2,
所以S△POF=×|OF|×|yP|
=2=2,解得t=.
3.(2015甘肃张掖4月模拟,文15,抛物线的几何性质,填空题)已知抛物线y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为-1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的纵坐标为-2,则该抛物线的准线方程为 .
解析:抛物线y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为-1的直线交抛物线于A,B两点,
直线AB的方程为y=-x+,
把x=-y+代入抛物线方程,
整理得y2+2py-p2=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=-2p,
线段AB的中点的纵坐标为-2,y1+y2=-4.
∴p=2,∴抛物线方程为y2=4x.
故该抛物线的准线方程为x=-1.
11.(2015江西九江一模,文11,抛物线的几何性质,选择题)过抛物线y2=8x的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,交抛物线的准线于C,若|AF|=6,=λ,则λ的值为( )
A. B. C. D.3
解析:由题意,抛物线y2=8x的准线为x=-2,|AF|=6,
所以A(4,4)(另一种情况同理).
所以直线AF的斜率为2,方程为y=2(x-2),
代入抛物线方程可得x2-5x+4=0,
所以可得B(1,-2),
因为=λ,所以λ==3.
9.(2015江西景德镇二模,文9,抛物线的几何性质,选择题)已知抛物线y=x2的焦点为F,定点M(1,2),点A为抛物线上的动点,则|AF|+|AM|的最小值为( )
A. B. C.3 D.5
解析:设点A到准线的距离为|AE|,由定义知|AF|=|AE|,则|AM|+|AF|=|AF|+|AM|≥|ME|≥|MN|=2+1=3(M到准线的垂足设为N)取等号时,M,A,E三点共线.故|AM|+|AF|的最小值等于3.
8.(2015江西鹰潭二模,文8,抛物线的几何性质,选择题)已知点A(-1,0),B(1,0)及抛物线y2=2x,若抛物线上点P满足|PA|=m|PB|,则m的最大值为( )
A.3 B.2 C. D.
解析:设P,由题意可得
=1+≤1+=3,
所以m≤,当且仅当y2=2时,等号成立.
9.(2015江西上饶三模,文9,抛物线的几何性质,选择题)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点,若=3,则|QF|= ( )
A. B. C.2 D.1
解析:设Q到l的距离为d,则由抛物线的定义可得|QF|=d,=3,∴|PQ|=2d.
∴直线PF的斜率为±.
F(1,0),准线l:x=-1,
直线PF的方程为y=±(x-1),与y2=4x联立可得x=,|QF|=d=1+.
8.(2015广西防城港、桂林一模,文8,抛物线的几何性质,选择题)已知抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,点P为抛物线上一点,且在第一象限,PAl,垂足为A,若|PF|=4,则直线AF的倾斜角为( )
A. B. C. D.
解析:抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,
|PF|=|PA|,F(1,0),准线l的方程为x=-1,
设F在l上的射影为F',又PAl,
设P(m,n),依|PF|=|PA|得,m+1=4,
∵PA∥x轴,点A的纵坐标为2,点A的坐标为(-1,2),
则直线AF的斜率为=-,
故直线AF的倾斜角等于.
12.(2015甘肃河西五地二模,文12,抛物线的几何性质,选择题)已知抛物线C:x2=8y的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点,若=2,则|QF|=( )
A.6 B.3 C. D.
解析:抛物线C:x2=8y的焦点为F(0,2),准线为l:y=-2,
设P(a,-2),Q,
则=(-a,4),,
=2,∴4=-4.∴m2=32.
由抛物线的定义可得|QF|=+2=4+2=6.
6.(2015甘肃兰州二诊,文6,抛物线的几何性质,选择题)已知点F是抛物线y2=4x焦点,M,N是该抛物线上两点,|MF|+|NF|=6,则MN中点到准线距离为( )
A. B.2 C.3 D.4
解析:F是抛物线y2=4x的焦点,
F(1,0),准线方程x=-1.
设M(x1,y1),N(x2,y2),
|MF|+|NF|=x1+1+x2+1=6,
解得x1+x2=4,
线段AB中点的横坐标为2,
线段AB的中点到该抛物线准线的距离为2+1=3.
14.(2015甘肃兰州一模,文14,抛物线的几何性质,填空题)抛物线y2=12x的准线与双曲线=1的两条渐近线所围成的三角形的面积等于 .
解析:抛物线y2=12x的准线为x=-3,双曲线=1的两条渐近线方程分别为y=x,y=-x,这三条直线构成边长为2的等边三角形,因此,所求三角形面积等于×2×2×sin 60°=3.
12.(2015甘肃庆阳一诊,文12,抛物线的几何性质,选择题)抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,已知点A,B为抛物线上的两个动点,且满足AFB=120°.过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN,垂足为N,则的最小值为( )
A. B. C.1 D.
解析:如图,过A,B分别作准线的垂线AQ,BP,垂足分别是Q,P,
设|AF|=a,|BF|=b,连接AF,BF,
由抛物线定义,得|AF|=|AQ|,|BF|=|BP|.
在梯形ABPQ中,2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b.
由余弦定理得,|AB|2=a2+b2-2abcos 120°=a2+b2+ab(a+b)2-ab,
则(a+b)2-ab≥(a+b)2-
=(a+b)2,即|AB|2≥(a+b)2,
即.故所求的最小值是.
11.(2015甘肃河西五地一模,文11,抛物线的几何性质)已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点O,并且经过点M(2,y0).若点M到该抛物线焦点的距离为3,则|OM|=( )
A.2 B.2 C.4 D.2
解析:由题意,抛物线关于x轴对称,开口向右,设方程为y2=2px(p>0),
点M(2,y0)到该抛物线焦点的距离为3,
∴p=2,∴抛物线方程为y2=4x.
M(2,y0),∴=8,
∴|OM|==2.
14.(2015甘肃张掖一模,文14,抛物线的几何性质,填空题)过抛物线y2=4x的焦点作一条直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点M的横坐标为2,则|AB|等于 .
解析:由抛物线y2=4x可得p=2.
设A(x1,y1),B(x2,y2).
线段AB的中点M的横坐标为2,
x1+x2=2×2=4.
∵直线AB过焦点F,
|AB|=x1+x2+p=4+2=6.
142 直线与抛物线的位置关系
15.(2015江西吉安一模,文15,直线与抛物线的位置关系,填空题)直线l过点(0,1),而且它与抛物线y2=4x仅有一个交点,则满足条件的直线l的条数为 .
解析:若直线l的斜率不存在,则直线l的方程为x=0,满足条件.
当直线l的斜率存在时,不妨设l:y=kx+1,代入y2=4x,得k2x2+(2k-4)x+1=0.
由条件知,当k=0时,即直线y=1与抛物线有一个交点.
当k≠0时,由Δ=(2k-4)2-4×1×k2=0,可得k=1时直线与抛物线有一个交点.
故满足条件的直线有3条.
16.(2015吉林三模,文16,直线与抛物线的位置关系,填空题)已知直线l:x-y+1=0与抛物线C:x2=4y交于A,B两点,点P为抛物线C上一动点,且在直线l下方,则△PAB的面积的最大值为 .
解析:直线l:x-y+1=0与抛物线C:x2=4y联立,可得A(2-2,3-2),B(2+2,3+2),
|AB|=·|2+2-2+2|=8.
平行于直线l:x-y+1=0的直线设为x-y+c=0,与抛物线C:x2=4y联立,可得x2-4x-4c=0,
Δ=16+16c=0,∴c=-1,两条平行线间的距离为.
△PAB的面积的最大值为×8×=4.
10.(2015江西六校联考二模,文10,直线与抛物线的位置关系,选择题)已知直线l1:4x-3y+6=0和直线l2:x=-1,抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是( )
A.2 B.3 C. D.
解析:直线l2:x=-1为抛物线y2=4x的准线,由抛物线的定义知,P到l2的距离等于P到抛物线的焦点F(1,0)的距离,故本题化为在抛物线y2=4x上找一个点P使得P到点F(1,0)和直线l2的距离之和最小,最小值为F(1,0)到直线l2:4x-3y+6=0的距离,即d==2.
9.8圆锥曲线的综合应用
143 轨迹与轨迹方程
10.(2015江西红色六校一模,文10,轨迹与轨迹方程,选择题)在平面直角坐标系中,两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的“L-距离”定义为|P1P2|=|x1-x2|+|y1-y2|.则平面内与x轴上两个不同的定点F1,F2的“L-距离”之和等于定值(大于|F1F2|)的点的轨迹可以是( )
解析:设F1(-c,0),F2(c,0),
再设动点M(x,y),动点到定点F1,F2的“L-距离”之和等于m(m>2c>0),
由题意可得|x+c|+|y|+|x-c|+|y|=m,
即|x+c|+|x-c|+2|y|=m.
当x<-c,y≥0时,方程化为2x-2y+m=0;
当x<-c,y<0时,方程化为2x+2y+m=0;
当-c≤x<c,y≥0时,方程化为y=-c;
当-c≤x<c,y<0时,方程化为y=c-;
当x≥c,y≥0时,方程化为2x+2y-m=0;
当x≥c,y0,
设M(x1,y1),N(x2,y2),
则x1+x2=,x1x2=,
设MN的中点为Q,
则xQ=,yQ=k(xQ-1)=-,
由题意知k≠0,
又直线MN的垂直平分线的方程为y+=-,
令x=0,得yP=,
当k>0时,2k+≥2,∴0<yP≤.
当kyP≥-=-.
综上所述,点P纵坐标的取值范围是.
20.(2015山西四校联考三模,文20,轨迹与轨迹方程,解答题)已知点A(1,0),点P是圆C:(x+1)2+y2=8上的任意一点,线段PA的垂直平分线与直线CP交于点E.
(1)求点E的轨迹方程;
(2)若直线y=kx+m与点E的轨迹有两个不同的交点P和Q,且原点O总在以PQ为直径的圆的内部,求实数m的取值范围.
解:(1)由题意知|EP|=|EA|,|CE|+|EP|=2,
|CE|+|EA|=2>2=|CA|.
∴E的轨迹是以C,A为焦点的椭圆,其轨迹方程为+y2=1.
(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),
则将直线与椭圆的方程联立,得
消去y,得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-2=0,Δ>0,m2<2k2+1,
x1+x2=-,x1x2=,
∵O在以PQ为直径的圆的内部,
<0,即x1x2+y1y2<0.
而y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=,
由x1x2+y1y2=<0,
得m2<,m20,
m2-m-3=0有解.
假设成立,即在x轴上存在点C,使得|CA|2+|CB|2=|AB|2成立.
144 圆锥曲线中的范围、最值问题
1.(2015山西太原一模,文20,圆锥曲线中的范围、最值问题,解答题)已知椭圆=1(a>b>0)的左,右焦点分别是点F1,F2,其离心率e=,点P为椭圆上的一个动点,△PF1F2面积的最大值为4.
(1)求椭圆的方程;
(2)若A,B,C,D是椭圆上不重合的四个点,AC与BD相交于点F1,=0,求||+||的取值范围.
解:(1)由题意知,当P是椭圆的上下顶点时,△PF1F2的面积取最大值,
∴·2c·b=4,
由离心率为e=,得.
∴由解得a=4,c=2,b2=12.
椭圆的方程为=1.
(2)由(1)知F1(-2,0),=0,∴AC⊥BD.
(ⅰ)当直线AC,BD中一条直线斜率不存在时,||+||=8+6=14.
(ⅱ)当直线AC斜率为k,k≠0时,其方程为y=k(x+2),将该方程代入椭圆方程并整理,
得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-48=0.
若设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=,x1x2=.
直线BD的方程为y=-(x+2),
同理可得||=.
令k2+1=t,t>1,
设f(t)=(t>1),f'(t)=,
t∈(1,2)时,f'(t)>0,t(2,+∞)时,f'(t)0,0b>0)的离心率为,且过点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设与圆O:x2+y2=相切的直线l交椭圆于A,B两点,M为圆O上的动点,求△ABM面积的最大值及取得最大值时的直线l的方程.
解:(1)由题意可得
a2=3,b2=1,故椭圆C的方程为+y2=1.
(2)当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=±,(S△ABM)max=.
当直线l的斜率存在时,设直线为y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2),
由得(1+3k2)x2+6km+3m2-3=0.
x1+x2=,x1x2=.
圆O:x2+y2=与直线l相切,可得d=r,可得4m2=3(1+k2).
当且仅当k=±时取等号.
S△ABM=|AB|h=h(h为M到AB的距离),
hmax=2r=,∴(S△ABM)max=,此时直线方程为y=±x±1.
,∴(S△ABM)max=,此时直线l的方程为y=±x±1.
20.(2015江西九江一模,文20,圆锥曲线中的范围、最值问题,解答题)已知椭圆C的中心在坐标原点,右焦点为F(,0),A,B是椭圆C的左、右顶点,D是椭圆C上异于A,B的动点,且△ADB面积的最大值为12.
(1)求椭圆C的方程;
(2)求证:当点P(x0,y0)在椭圆C上运动时,直线l:x0x+y0y=2与圆O:x2+y2=1恒有两个交点,并求直线l被圆O所截得的弦长L的取值范围.
(1)解:设椭圆C的方程为=1(a>b>0),
△ADB面积的最大值为12,
×2ab=12,即ab=12.
由解得a=4,b=3,
椭圆C的方程为=1.
(2)证明:点P(x0,y0)在椭圆C上运动,
∴圆心O到直线l:x0x+y0y=2的距离
=0,解得b>-2.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
设圆心Q(x0,y0),则应有x0=,y0==-4.
以AB为直径的圆与x轴相切,得到圆半径为r=|y0|=4,
|AB|=2r,即=8,解得b=-.
x0==2b+8=,
故所求圆的方程为+(y+4)2=16.
(2)直线l与y轴负半轴相交,b-2,
直线l:y=-x+b,即x+2y-2b=0,点O到直线l的距离d=,
S△AOB=|AB|d=-4b=4.
令g(b)=b3+2b2,-2<bb>0)的上顶点为(0,2),且离心率为.
(1)求椭圆C的方程;
(2)证明:过圆x2+y2=r2上一点Q(x0,y0)的切线方程为x0x+y0y=r2;
(3)过椭圆C上一点P向圆x2+y2=1引两条切线,切点分别为A,B,当直线AB分别与x轴、y轴交于M,N两点时,求|MN|的最小值.
解:(1)由题意可得b=2,e=,
又c2=a2-b2,即有a=4,b=2,
则椭圆C方程为=1.
(2)证明:当切线的斜率k存在时,设切线方程为y-y0=k(x-x0),
又因为k=-,故切线方程为y-y0=-(x-x0),即有x0x+y0y=r2.
当k不存在时,切点坐标为(±r,0),对应切线方程为x=±r,符合x0x+y0y=r2,
综上,切线方程为x0x+y0y=r2.
(3)设点P坐标为(xP,yP),PA,PB是圆x2+y2=1的切线,切点A(x1,y1),B(x2,y2),过点A的圆的切线为x1x+y1y=1,过点B的圆的切线为x2x+y2y=1.
由两切线都过P点,x1xP+y1yP=1,x2xP+y2yP=1.
则切点弦AB的方程为xPx+yPy=1,
由题知xPyP≠0,
当且仅当时取等号,
则|MN|≥,|MN|的最小值为.
20.(2015江西鹰潭二模,文20,圆锥曲线中的范围、最值问题,解答题)如图,已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T:(x+2)2+y2=r2(r>0),设圆T与椭圆C交于点M与点N.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设点P是椭圆C上异于M,N的任意一点,且直线MP,NP分别与x轴交于点R,S,O为坐标原点,求|OR|+|OS|的最小值.
解:(1)依题意,得a=2,e=,
所以c=,b==1.
故椭圆C的方程为+y2=1.
(2)点M与点N关于x轴对称,
设M(x1,y1),N(x2,y2),P(x0,y0),
则直线MP的方程为y-y0=(x-x0),
令y=0,得xR=,同理xS=,
故xRxS=. (**)
又点M与点P在椭圆上,
故=4(1-),=4(1-),
代入(**)式,得
所以|OR|·|OS|=|xR|·|xS|=|xR·xS|=4,
|OR|+|OS|≥2=4,
当且仅当|OR|=|OS|=2,取得等号.
则|OR|+|OS|的最小值为4.
20.(2015贵州贵阳二模,文20,圆锥曲线中的范围、最值问题,解答题)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1和F2,上顶点为B,BF2延长线交椭圆于点A,△ABF1的周长为8,且=0.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线lAB且与椭圆C相交于两点P,Q,求|PQ|的最大值.
解:(1)由椭圆定义可得△ABF1的周长为4a,
即有4a=8,解得a=2,
由B(0,b),F1(-c,0),F2(c,0),=(-c,-b),=(c,-b),
且=0,则-c2+b2=0,所以b=c.
又b2+c2=a2=4,解得b=c=,
故椭圆C的方程为=1.
(2)由B(0,),F2(,0),可得直线AB的斜率为-1,由lAB,可得直线l的斜率为1,
设直线l的方程为y=x+t,代入椭圆C的方程,可得3x2+4tx+2t2-4=0,
由Δ>0,即16t2-12(2t2-4)>0,
解得-<t,|m|+,S0)的焦点为F,椭圆C2:=1(a>b>0)的离心率e=,C1与C2在第一象限的交点为P(2,1).
(1)求抛物线C1及椭圆C2的方程;
(2)已知直线l:y=kx+t(k≠0,t≠0)与椭圆C2交于不同两点A,B,点M满足=0,直线FM的斜率为k1,且k·k1=,求t的取值范围.
解:(1)将P(2,1)代入x2=2py,得p=2,
抛物线C1的方程为x2=4y,焦点F(0,1),把P(2,1)代入椭圆C2:=1,得=1,
又e=,a2=b2+c2,a=2,b=.
故椭圆C2的方程为=1.
(2)由直线l:y=kx+t与=1联立得,
(1+4k2)x2+8ktx+4(t2-2)=0,
由Δ>0,得2+8k2>t2,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,
由题意点M为线段AB的中点,设M(xM,yM),
∴k1=,∴kk1=,
即有4k2=2t-1,
由可得,2t-1>(t2-2),解得0<t)的右焦点为F1,直线l:x=与x轴交于点A,若+2=0(其中O为坐标原点).
(1)求椭圆M的方程;
(2)设P是椭圆M上的任意一点,EF为圆N:x2+(y-2)2=1的任意一条直径(E,F为直径的两个端点),求的最大值.
解:(1)由题设知,A,F1(,0),
所以椭圆M的方程为=1.
(2)方法1:设圆N:x2+(y-2)2=1的圆心为N,
从而求的最大值转化为求的最大值.
因为P是椭圆M上的任意一点,设P(x0,y0),
所以=1,即=6-3.
因为点N(0,2),
所以+(y0-2)2=-2(y0+1)2+12.
因为y0[-],所以当y0=-1时,取得最大值12,
所以的最大值为11.
方法2:设点E(x1,y1),F(x2,y2),P(x0,y0),
因为E,F的中点坐标为(0,2),所以
所以=(x1-x0)(x2-x0)+(y1-y0)(y2-y0)
=(x1-x0)(-x1-x0)+(y1-y0)(4-y1-y0)
=-4y0-(-4y1).
因为点E在圆N上,所以+(y1-2)2=1,
即-4y1=-3.
因为点P在椭圆M上,
所以=1,即=6-3.
所以=-2-4y0+9
=-2(y0+1)2+11.
因为y0[-],
所以当y0=-1时,()max=11.
方法3:若直线EF的斜率存在,
设EF的方程为y=kx+2,
由解得x=±.
因为P是椭圆M上的任一点,设点P(x0,y0),
所以=1,即=6-3.
所以+(2-y0)2-
=+(2-y0)2-1=-2(y0+1)2+11.
因为y0[-],所以当y0=-1时,取得最大值11.
若直线EF的斜率不存在,此时EF的方程为x=0,由解得y=1或y=3.
不妨设E(0,3),F(0,1).
因为P是椭圆M上的任一点,设点P(x0,y0),
所以=1,即=6-3.
所以=(-x0,3-y0),=(-x0,1-y0).
所以-4y0+3=-2(y0+1)2+11.
因为y0[-],所以当y0=-1时,取得最大值11.
综上可知,的最大值为11.
21.(2015江西上饶一模,文21,圆锥曲线中的范围、最值问题,解答题)已知点F1,F2的坐标分别是(-3,0),(3,0),动点M满足△MF1F2的周长为16.
(1)求动点M的轨迹C的方程;
(2)若线段PQ是轨迹C上过点F2的弦,求△PQF1的内切圆半径的最大值.
解:(1)由题意得|MF1|+|MF2|=10>|F1F2|,得M的轨迹是椭圆,
设动点M的轨迹C的方程为=1(a>b>0),
2a=10,c=3,∴b2=a2-c2=16.
即动点M的轨迹方程是=1.
(2)设过点F2的直线方程为x=my+3,与椭圆联立方程组消去x得(16m2+25)y2+96my-256=0,
设点P(x1,y1),Q(x2,y2),
则y1+y2=,y1y2=,
令t=m2+1,则|y1-y2|=160·
在t=1时,上式取到最小值,即m=0,此时PQx轴,且|PQ|=.
此时△PF1Q的面积达到最大值|F1F2|·|PQ|=,
由于△PQF1的周长是定值20,所以当面积取最大值时,内切圆半径有最大值.
21.(2015江西上饶重点中学二模,文21,圆锥曲线中的范围与最值问题,解答题)已知O为坐标原点,椭圆C:=1(a>b>0)的短轴长为2,F为其右焦点,P为椭圆上一点,且PF与x轴垂直,=3.
(1)求椭圆C的方程;
(2)直线l与椭圆C交于不同的两点A,B,若以AB为直径的圆恒过原点O,求|AB|弦长的最大值.
解:(1)由已知得2b=2,b=1,
又=||·||cosPOF=||2=c2=3,∴a2=4.
∴椭圆C的方程为+y2=1.
(2)当直线OA的斜率不存在或斜率为零时,易知|AB|=.
当直线OA的斜率存在且不为零时,由直线OA,OB互相垂直及由图象的对称性知,直线OA,OB与椭圆C有四个交点,从中任取两点作弦长AB所得的值相等.
设直线OA方程为y=kx(k≠0),
联立解得x2=.
=20,C,A两点在x轴上方.
(2)当|AF|·|BF|=p2时,求k;
设△AFC与△BFD的面积之和为S,求当k变化时S的最小值.
解:(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为y=k,由
得k2x2-p(k2+2)x+k2p2=0,
由韦达定理,得x1+x2=p,x1·x2=.
由抛物线定义得|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=·2p,
同理,用-换k,得|CD|=(k2+1)·2p,
(2)|AF|·|BF|=
=x1x2+(x1+x2)+
当|AF|·|BF|=p2时,·p2=p2,
又k>0,解得k=.
由同理知|CF|·|DF|=(k2+1)p2,
|AF|·|BF|=·p2,
由变形得|BF|=,|CF|=,
∴S=|AF|·|CF|+|BF|·|DF|
≥·p2≥·p2=2p2.
∴当k=1时,S有最小值2p2.
20.(2015江西宜春高安四校一模,文20,圆锥曲线中的范围、最值问题,解答题)已知方向向量为v=(1,)的直线l过点(0,-2)和椭圆C:=1(a>b>0)的右焦点,且椭圆的离心率为.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若过点P(-8,0)的直线与椭圆相交于不同两点A,B,F为椭圆C的左焦点,求△ABF面积的最大值.
解:(1)直线l的方向向量为v=(1,),
直线l的斜率为k=.
又直线l过点(0,-2),
直线l的方程为y=x-2.
a>b,∴椭圆的焦点为直线l与x轴的交点.
椭圆的右焦点为(2,0),c=2.
又,a=4,∴b2=12.
∴椭圆C的方程为=1.
(2)设AB方程为x=my-8,代入椭圆方程=1,
整理得(3m2+4)y2-48my+144=0,
Δ=(48m)2-4×144(3m2+4)>0,
y1+y2=,y1y2=,
则S△ABF=S△PBF-S△APF
=|PF|·|y2-y1|=×6
当且仅当3,即m2=(此时适合Δ>0的条件)取得等号.
则△ABF面积的最大值是3.
11.(2015山西朔州怀仁一中一模,文11,圆锥曲线中的范围、最值问题,选择题)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F的直线l与抛物线C相交于A,B两点,则|OA|2+|OB|2(O为坐标原点)的最小值为( )
A.4 B.8 C.10 D.12
解析:当直线l的斜率不存在,即直线l垂直于x轴时,方程为x=1,
则A(1,2),B(1,-2),|OA|2+|OB|2=5+5=10.
当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x-1),设A(x1,y1),B(x2,y2).
由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,
所以x1+x2=,x1x2=1,
|OA|2+|OB|2=+4x1++4x2,
(x1+x2)2-2x1x2+4(x1+x2)
设=t,则t>2,
|OA|2+|OB|2=t2+4t-2=(t+2)2-6(t>2),
所以|OA|2+|OB|2>10.
综上可知,|OA|2+|OB|2的最小值为10.
20.(2015山西朔州怀仁一中一模,文20,圆锥曲线中的范围、最值问题,解答题)已知离心率为的椭圆C:=1(a>b>0)经过点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)P是椭圆C上的一点,点A,A'分别为椭圆的左、右顶点,直线PA与y轴交于点M,直线PA'与y轴交于点N,求|OM|2+|ON|2(O为坐标原点)的最小值.
解:(1)由于椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,
则a=2c,b=c,
又由椭圆C:=1(a>b>0)经过点,则c2=1,故a=2,b=,
所以椭圆方程为=1.
(2)设P(m,n),由于P是椭圆C上的一点,
则=1,即4-m2=n2,
又由点A,A'分别为椭圆的左、右顶点,直线PA与y轴交于点M,直线PA'与y轴交于点N,则直线PA:y=(x+2),直线PA':y=(x-2),
令x=0,得M,N,
则|OM|2+|ON|2=,
将代入得|OM|2+|ON|2==-6+,
由于0≤m2b>0)过点,且该椭圆的离心率为,直线l1:y=x+m(m≠0)与椭圆交于A,B两点,直线l2:y=x-m与椭圆交于C,D两点.
(1)求椭圆M的方程;
(2)求四边形ABCD面积的最大值.
解:(1)依题意可得,
解得a2=4,b2=1.
椭圆M的方程为+y2=1.
(2)显然直线l1与直线l2关于原点对称,所以四边形ABCD为平行四边形.
|AB|=|CD|,?ABCD的面积为弦长|AB|与直线l1,l2距离的乘积.
设A(x1,y1),B(x2,y2),由
消去y得,5x2+8mx+4m2-4=0.
则Δ=16(5-m2)>0,0<m2b>0)的离心率为,过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD.当直线AB斜率为0时,|AB|+|CD|=3.
(1)求椭圆的方程;
(2)求由A,B,C,D四点构成的四边形的面积的取值范围.
解:(1)由题意知,e=,
则a=c,b=c,
|AB|+|CD|=2a+2=2c+c=3,
∴c=1,∴椭圆的方程为+y2=1.
(2)当两条弦中一条斜率为0时,另一条弦的斜率不存在,
由题意知S四边形=|AB|·|CD|=×2=2.
当两弦斜率均存在且不为0时,设A(x1,y1),B(x2,y2),
且设直线AB的方程为y=k(x-1),
则直线CD的方程为y=-(x-1).
将直线AB的方程代入椭圆方程中,并整理得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0,
|AB|=|x1-x2|
同理,|CD|=.
S四边形=|AB|·|CD|
2+1≥2+1=9,
当且仅当k=±1时取等号,S四边形.
综合与可知,S四边形.
20.(2015甘肃张掖一模,文20,圆锥曲线中的范围、最值问题,解答题)已知椭圆:=1(a>b>0),离心率为,焦点F1(0,-c),F2(0,c),过F1的直线交椭圆于M,N两点,且△F2MN的周长为4.
(1)求椭圆方程;
(2)直线l与y轴交于点P(0,m)(m≠0),与椭圆C交于相异两点A,B且=λ,若+λ=4,求m的取值范围.
解:(1)由题意,4a=4,,
a=1,c=,∴b=.
∴椭圆方程为y2+=1.
(2)设l与椭圆C交点为A(x1,y1),B(x2,y2),
由得(k2+2)x2+2kmx+(m2-1)=0,
Δ=(2km)2-4(k2+2)(m2-1)=4(k2-2m2+2)>0, (*)
x1+x2=-,x1x2=,
∵=λ+λ=4,∴λ=3.
∴-x1=3x2,∴x1+x2=-2x2,x1x2=-3.
∴3(x1+x2)2+4x1x2=0,
∴3+4·=0,
整理得4k2m2+2m2-k2-2=0,
当m2=时,上式不成立;
当m2≠时,k2=,
由(*)式得k2>2m2-2,
k≠0,∴k2=>0.
∴-1<m<-<m0).
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),M,N,
直线l的方程为x=ty+3,代入双曲线方程整理得(5t2-4)y2+30ty+25=0,
y1+y2=-,y1y2=.
∵A,C,M三点共线,.
∴FM⊥FN,即MFN=90°.
∴以MN为直径的圆恒过点F.
2.(2015广西桂林、防城港联合调研,文20,圆锥曲线中的定值、定点问题,解答题)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,直线l:y=3与C交于A,B两点,l与y轴交于点N,且AFB=120°.
(1)求抛物线C的方程;
(2)当0<p0)的焦点为F,准线方程为y=-,
设直线y=3与y轴交于点N,即N(0,3).
当0<p<6时,由抛物线的定义可得|FA|=3+,|FN|=3-,
由AFB=120°,则|FA|=2|FN|,
即有3+=2,解得p=2,
即有抛物线的方程为x2=4y.
当p≥6时,由抛物线的定义可得|FA|=3+,|FN|=-3,
由AFB=120°,则|FA|=2|FN|,
即有3+=2,解得p=18,
即有抛物线的方程为x2=36y.
综上可得,抛物线方程为x2=4y或x2=36y.
(2)当0<p<6时,抛物线方程为x2=4y,
设Q,y=x2的导数为y'=x,则有切线斜率为m,
切线方程为y-m2=m(x-m),
令y=0可得x=m;
令y=3可得x=m+.
以MN为直径作圆G,G,
设圆G的半径为r,r=|MN|=,
由DHHG,由勾股定理可得|DH|=.
则有当点Q在C上移动(Q与原点不重合)时,线段DH的长度为定值,且为.
3.(2015广西柳州一中一模,文20,圆锥曲线中的定值、定点问题,解答题)已知椭圆C的中心在坐标原点,右焦点为F(1,0),A,B是椭圆C的左、右顶点,D是椭圆C上异于A,B的动点,且△ADB面积的最大值为.
(1)求椭圆C的方程;
(2)是否存在一定点E(x0,0)(0<x0b>0).
△ADB面积的最大值为,
·2a·b=,即ab=.
联立解得a=,b=c=1.
椭圆C的方程为+y2=1.
(2)假设存在一定点E(x0,0)(0<x0b>0)的离心率是,其左、右顶点分别为A1,A2,B为短轴的一个端点,△A1BA2的面积为2.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)直线l:x=2与x轴交于点D,点P是椭圆C上异于A1,A2的动点,直线A1P,A2P分别交直线l于E,F两点,证明:|DE|·|DF|恒为定值.
(1)解:由已知,可得解得a=2,b=.
故所求椭圆方程为=1.
(2)证明:由题意可得:A1(-2,0),A2(2,0).
设P(x0,y0),由题意可得-2<x0b>0),离心率为,过椭圆E内一点P(1,1)的两条直线分别与椭圆交于点A,C和B,D,且满足=λ=λ,其中λ为正常数.
(1)当点C恰为椭圆的右顶点时,对应的λ=,求椭圆的方程.
(2)当λ变化时,kAB是否为定值?若是,请求出此定值;若不是,请说明理由.
解:(1)因为椭圆的离心率为,所以b2=a2,
因为C(a,0),λ=,
所以=λ,得A,
将它代入到椭圆方程中,
得=1,解得a=2.
所以b=,所以椭圆方程为=1.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),
同理=λ,可得
将A,B坐标代入椭圆方程得
两式相减得b2(x1+x2)(x1-x2)+a2(y1+y2)(y1-y2)=0,
即b2(x1+x2)+a2(y1+y2)kAB=0.
同理,b2(x3+x4)+a2(y3+y4)kCD=0,
而kAB=kCD,所以b2(x3+x4)+a2(y3+y4)kAB=0,
所以b2λ(x3+x4)+a2λ(y3+y4)kAB=0,
①+②得b2(x1+λx3+x2+λx4)+a2(y1+λy3+y2+λy4)kAB=0,
即kAB≠0,所以kAB=-为定值.
20.(2015江西六校联考二模,文20,圆锥曲线中的定值、定点问题,解答题)已知椭圆C:=1(a>b>0)过点(0,1),且离心率为.
(1)求椭圆C的方程;
(2)A,B为椭圆C的左右顶点,直线l:x=2与x轴交于点D,点P是椭圆C上异于A,B的动点,直线AP,BP分别交直线l于E,F两点.证明:当点P在椭圆C上运动时,|DE|·|DF|恒为定值.
(1)解:由题意可知,b=1,
又因为e=,且a2=b2+c2,
解得a=2,所以椭圆的方程为+y2=1.
(2)证明:由题意可得:A(-2,0),B(2,0).
设P(x0,y0),由题意可得-2<x0<2,
所以直线AP的方程为y=(x+2),
令x=2,则y=,
即|DE|=(2+2).
同理,直线BP的方程为y=(x-2),
令x=2,则y=,
即|DF|=(2-2).
所以|DE|·|DF|
=(2+2)·(2-2)
而=1,即4=4-,代入上式,
所以|DE|·|DF|=1,所以|DE|·|DF|为定值1.
20.(2015江西景德镇二模,文20,圆锥曲线中的定值、定点问题,解答题)已知椭圆C:=1(0<bb>0)离心率为,长轴长为4.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若直线l:y=kx+m与椭圆C交于A,B两点,S△AOB=,O为原点,kOA·kOB是否为定值,若为定值,求出该定值,若不是,说明理由.
解:(1)由已知,椭圆C:=1(a>b>0)离心率为,长轴长为4,
a=2,,a2-b2=c2.
∴椭圆C的方程为=1.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由直线l:y=kx+m与椭圆C联立可得(3+4k2)x2+8mkx+4m2-12=0,
Δ=64m2k2-4(3+4k2)(4m2-12)>0,化为3+4k2-m2>0.
x1+x2=-,x1x2=.
y1y2=(kx1+m)(kx2+m)
=k2x1x2+km(x1+x2)+m2
=k2·+m2=,
∴kOA·kOB=,
|AB|=|x1-x2|
原点到直线l的距离d=,
解得m2=+2k2,
则kOA·kOB==-.
故kOA·kOB为定值-.
5.(2015甘肃兰州一中模拟,文5,圆锥曲线中的定值、定点问题,选择题)过椭圆=1的右焦点F作两条相互垂直的直线分别交椭圆于A,B,C,D四点,则的值为( )
A. B. C.1 D.
解析:由椭圆=1,得椭圆的右焦点为F(1,0),
当直线AB的斜率不存在时,AB的方程为:x=1,则CD的方程为:y=0.
此时|AB|=3,|CD|=4,
当直线AB的斜率存在时,
设AB:y=k(x-1)(k≠0),则CD:y=-(x-1).
又设点A(x1,y1),B(x2,y2).
联立方程组
消去y并化简得(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0,
x1+x2=,x1x2=,
由题知,直线CD的斜率为-,
同理可得|CD|=,
20.(2015甘肃兰州一中模拟,文20,圆锥曲线中的定值、定点问题,解答题)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左右焦点F1,F2与椭圆短轴的一个端点构成边长为4的正三角形.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)过椭圆C上任意一点P作椭圆C的切线与直线F1P的垂线F1M相交于点M,求点M的轨迹方程;
(3)若切线MP与直线x=-2交于点N,求证:为定值.
解:(1)依题意,2c=a=4,c=2,b=2.
∴椭圆C的标准方程为=1.
(2)设P(x0,y0),由(1)知F1(-2,0),
设P(x0,y0),M(x,y),
椭圆C上过P的切线方程为=1,
直线F1P的斜率,
则直线MF1的斜率=-,
于是,直线MF1的方程为y=-(x+2),
即yy0=-(x0+2)(x+2),
①②联立,解得x=-8,
点M的轨迹方程为x=-8.
(3)依题意及(2),点M,N的坐标可表示为M(-8,yM),N(-2,yN),
点N在切线MP上,由式得yN=,
点M在直线MF1上,由式得yM=,|NF1|2=,
|MF1|2=[(-2)-(-8)]2+
注意到点P在椭圆C上,即=1,
于是=12-,代入式并整理,得,的值为定值.
20.(2015山西太原山大附中高三月考,文20,圆锥曲线中的定值、定点问题,解答题)已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,离心率等于,它的两个顶点恰好是双曲线=1的焦点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)点P(2,3),Q(2,-3),在椭圆上,A,B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点,
若直线AB的斜率为,求四边形APBQ面积的最大值;
当A,B运动时,满足于APQ=∠BPQ,试问直线AB的斜率是否为定值,请说明理由.
解:(1)由题意设椭圆C的方程为=1(a>b>0),
又可得双曲线=1的焦点为(0,±2),
b=2,又离心率e=,a2=b2+c2,联立解得a=4,
椭圆C的方程为=1.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为y=x+t,
代入=1消y并整理可得x2+tx+t2-12=0,
由Δ=t2-4(t2-12)>0可解得-4<tb>0)的其中一个顶点坐标为B(0,1),且点P在C1上.
(1)求椭圆C1的方程;
(2)若直线l:y=kx+m与椭圆C1交于M,N且kOM+kON=4k,求证:m2为定值.
解:(1)由题意,椭圆C1的顶点坐标为B(0,1),所以b=1.
把点P代入椭圆=1,
所以椭圆C1的方程为+y2=1.
(2)直线l的斜率显然存在,设直线l的方程为y=kx+m,
得消去y并整理得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0,(*)
设M(x1,y1),N(x2,y2),
由(*)式得x1+x2=-,x1·x2=.
代入并整理得kOM+kON=2k-=4k.
经验证满足Δ>0,m2=.
20.(2015山西太原外国语学校4月模拟,文20,圆锥曲线中的定值、定点问题,解答题)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,点P是直线y=x与抛物线C在第一象限的交点,且|PF|=5.
(1)求抛物线C的方程;
(2)设直线l:y=kx+m与抛物线C有唯一公共点M,且直线l与抛物线的准线交于点Q,试探究,在坐标平面内是否存在点N,使得以MQ为直径的圆恒过点N?若存在,求出点N的坐标,若不存在,说明理由.
解:(1)解法1:点P是直线y=x与抛物线C在第一象限的交点,
设点P(m,m)(m>0).
抛物线C的准线为y=-,
由|PF|=5结合抛物线的定义得m+=5.
又点P在抛物线C上,
m2=2pm(m>0)=>m=2p.
由联立解得p=2,
所求抛物线C的方程式为x2=4y.
解法2:点P是直线y=x与抛物线C在第一象限的交点,
设点P(m,m)(m>0),
抛物线C的焦点为F,
由|PF|=5得=5,
即m2+=25.
又点P在抛物线C上,
m2=2pm(m>0)=>m=2p.
由联立解得p=2,
所求抛物线C的方程式为x2=4y.
(2)解法1:由抛物线C关于y轴对称可知,若存在点N,使得以MQ为直径的圆恒过点N,
则点N必在y轴上,设N(0,n),
由直线l:y=kx+m与抛物线C有唯一公共点M知,直线l与抛物线C相切,
由y=x2得y'=x,
∴直线l的方程为y-(x-x0),
令y=-1得x=,
Q点的坐标为,
∵点N在以MQ为直径的圆上,
=(1-n)+n2+n-2=0.
要使方程(*)对x0恒成立,必须有解得n=1,
在坐标平面内存在点N,使得以MQ为直径的圆恒过点N,其坐标为(0,1).
解法2:设点M(x0,y0),由l:y=kx+m与抛物线C有唯一公共点M知,直线l与抛物线相切,
由y=x2得y'=x,
∴直线l的方程为y-y0=(x-x0),
令y=-1得x=,
Q点的坐标为,
以MQ为直径的圆方程为:
(y-y0)(y+1)+(x-x0)=0,
分别令x0=2和x0=-2,由点M在抛物线C上得y0=1,
将x0,y0的值分别代入,
得(y-1)(y+1)+(x-2)x=0,
(y-1)(y+1)+(x+2)x=0, ⑤
④⑤联立解得
在坐标平面内若存在点N,使得以MQ为直径的圆恒过点N,则点N必为(0,1)或(0,-1),将(0,1)的坐标代入式得,
左边=2(1-y0)+(-x0)
=2(1-y0)+2(y0-1)=0=右边,
将(0,-1)的坐标代入式得,
左边=(-x0)=2(y0-1)不恒等于0,
在坐标平面内存在点N,使得以MQ为直径的圆恒过点N,点N坐标为(0,1).
146 圆锥曲线中的存在、探索性问题
20.(2015广西防城港、桂林一模,文20,圆锥曲线中的存在、探索性问题,解答题)已知圆C1:(x+2)2+y2=,圆C2:(x-2)2+y2=,动圆Q与圆C1、圆C2均外切.
(1)求动圆圆心Q的轨迹方程;
(2)在x轴负半轴上是否存在定点M使得QC2M=2∠QMC2?若存在,求出M的坐标,若不存在,说明理由.
解:(1)设所求圆的圆心坐标Q(x,y),半径为r,
两定圆的圆心分别是C1,C2,半径分别为.
所求圆与两个圆都外切,
|QC1|=r+,|QC2|=r+,
即|QC1|-|QC2|=2,
根据双曲线定义可知C点的轨迹为以C1,C2为焦点的双曲线的右支,
由2c=4,c=2;2a=2,a=1,b=.
∴Q点的轨迹方程为x2-=1(x≥1).
(2)设M的坐标(t,0),Q(x0,y0)(x0≥1),
x0≠2时,QC2M=2∠QMC2,
∴tan∠QC2M=tan(2∠QMC2),
将=3-3代入整理可得(4+4t)x0=t2+4t+3,
x0=2时,QC2M=90°,t=-1时QMC2=45°,满足题意.
故满足条件的点M(-1,0)存在.
20.(2015山西太原五中二模,文20,圆锥曲线中的存在、探索性问题,解答题)给定椭圆C:=1(a>b>0).称圆心在原点O,半径为的圆是椭圆C的“准圆”.若椭圆C的一个焦点为F(,0),其短轴上的一个端点到点F的距离为.
(1)求椭圆C的方程和其“准圆”方程;
(2)点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点,过动点P作直线l1,l2,使得l1,l2与椭圆C都只有一个交点,试判断l1,l2是否垂直,并说明理由.
解:(1)由题意可得,c==a=,
则b2=a2-c2=1,
则椭圆C的方程为+y2=1.
其“准圆”方程为x2+y2=4.
(2)设P(±,±1),则过P的直线l1:x=±,
则l2的斜率k≠0,即它们不垂直.
设P(m,n)(m≠±),m2+n2=4,过P的直线为y-n=k(x-m),
联立椭圆方程,消去y,得到
(1+3k2)x2+6k(n-km)x+3(n-km)2-3=0,
由于直线与椭圆C都只有一个交点,则Δ=0,
即36k2(n-km)2-4(1+3k2)·3[(n-km)2-1]=0,
化简得,(3-m2)k2+2kmn+1-n2=0,
即l1,l2垂直.
综上,当P在直线x=±上时,l1,l2不垂直;
当P不在直线x=±上时,l1,l2垂直.
20.(2015黑龙江哈尔滨三中四模,文20,圆锥曲线中的存在、探索性问题,解答题)已知椭圆C:=1(a>b>0)的焦点分别为F1(-,0),F2(,0),点P在椭圆C上,满足|PF1|=7|PF2|,tanF1PF2=4.
(1)求椭圆C的方程;
(2)已知点A(1,0),试探究是否存在直线l:y=kx+m与椭圆C交于D,E两点,且使得|AD|=|AE|?若存在,求出k的取值范围;若不存在,请说明理由.
解:(1)tan∠F1PF2=4,∴cos∠F1PF2=.
设|PF1|=m,|PF2|=n,
|PF1|=7|PF2|,∴m=7n.
解得a=2,m=,n=.
b2=a2-c2=1,
故所求C的方程为+y2=1.
(2)假设存在直线l满足题设,设D(x1,y1),E(x2,y2),将y=kx+m代入+y2=1并整理得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,
由Δ=64k2m2-4(1+4k2)(4m2-4)=-16(m2-4k2-1)>0,得4k2+1>m2,
又x1+x2=-,设D,E中点为M(x0,y0),M,
kAMk=-1,得m=-,
将代入得4k2+1>,
化简得20k4+k2-1>0=>(4k2+1)(5k2-1)>0,
解得k>或k6.
∴C点的轨迹是以A,B为焦点的椭圆,2a=8,a=4,2c=6,
∴曲线T的方程为=1.
(2)当直线MN斜率不存在时,MN的方程为x=-3,
∴=||·||·cos π=7λ,
当直线MN斜率存在时,
设M(x1,y1),N(x2,y2),MN:y=k(x+3),则OQ:y=kx,
由得(7+16k2)x2+96k2x+144k2-112=0,
则x1+x2=,x1·x2=,
y1y2=k2[(x1+3)(x2+3)]
=k2[x1x2+3(x1+x2)+9]=.
=y1y2+[(x1+3)(x2+3)]
由得7x2+16k2x2=112,
=x2+y2=(1+k2)x2=,
由=λ可解得λ=-.
综上,存在常数λ=-,使=λ总成立.
20.(2015甘肃河西五地二模,文20,圆锥曲线中的存在、探索性问题,解答题)已知A,B是抛物线W:y=x2上的两个点,点A的坐标为(1,1),直线AB的斜率为k(k>0).设抛物线W的焦点在直线AB的下方.
(1)求k的取值范围;
(2)设C为W上一点,且ABAC,过B,C两点分别作W的切线,记两切线的交点为D.判断四边形ABDC是否为梯形,并说明理由.
解:抛物线y=x2的焦点为.
由题意,得直线AB的方程为y-1=k(x-1),
令x=0,得y=1-k,即直线AB与y轴相交于点(0,1-k).
抛物线W的焦点在直线AB的下方,
1-k>,解得k0,∴0<k<.
(2)结论:四边形ABDC不可能为梯形.
假设四边形ABDC为梯形.
由题意,设B(x1,),C(x2,),D(x3,y3),
联立方程消去y,得x2-kx+k-1=0,
由韦达定理,得1+x1=k,x1=k-1.
同理,得x2=--1.
对函数y=x2求导,得y'=2x,
抛物线y=x2在点B处的切线BD的斜率为2x1=2k-2,
抛物线y=x2在点C处的切线CD的斜率为2x2=--2.
由四边形ABDC为梯形,得ABCD或ACBD.
若ABCD,则k=--2,即k2+2k+2=0.
方程k2+2k+2=0无解,AB与CD不平行.
若ACBD,则-=2k-2,即2k2-2k+1=0,
方程2k2-2k+1=0无解,AC与BD不平行.
四边形ABDC不是梯形,与假设矛盾.
同理ADBC也不成立,
因此四边形ABDC不可能为梯形.
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三角方法在解决平面几何问题中的应用
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& 2017年数学（文）一轮复习模拟题组练：第9章解析几何 1（人教A版）
2017年数学（文）一轮复习模拟题组练：第9章解析几何 1（人教A版）
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第九章解析几何
9.1直线的倾斜角、斜率与直线的方程
122 直线的倾斜角与斜率
1.(2015广西玉林、贵港4月模拟,文10,直线的倾斜角与斜率,选择题)设F为抛物线y2=5x的焦点,P是抛物线上x轴上方的一点,若|PF|=3,则直线PF的斜率为( )
A.3 B. C. D.2
解析:F为抛物线y2=5x的焦点,
设P点坐标为(x,y),y>0.
根据抛物线定义可知x+=3,解得x=,代入抛物线方程求得y=.
直线PF的斜率为.
2.(2015广西柳州一模,文12,直线的倾斜角与斜率,选择题)过点(,0)引直线l与曲线y=相交于A,B两点,O为坐标原点,当△ABO的面积取得最大值时,直线l的斜率等于( )
A. B.- C.± D.-
解析:由y=,得x2+y2=1(y≥0).
所以曲线y=表示单位圆在x轴上方的部分(含与x轴的交点),
设直线l的斜率为k,要保证直线l与曲线有两个交点,且直线不与x轴重合,
则-1<k0,b>0)右焦点的直线m,其方向向量u=(b,a),若原点到直线m的距离等于右焦点到该双曲线的一条渐近线距离的2倍,则直线m的斜率为 .
解析:双曲线=1的右焦点F(c,0),
一条渐近线方程为y=x,
则F到渐近线的距离为d==b,
直线m:y=(x-c),
原点到直线m的距离为=a,
由题意可得a=2b,则直线m的斜率为=2.
9.(2015甘肃嘉峪关一中三模,文9,直线的倾斜角与斜率,选择题)过点P(-,-1)的直线l与圆x2+y2=1有公共点,则直线l的倾斜角的取值范围是( )
A. B. C. D.
解析:由题意可得点P(-,-1)在圆x2+y2=1的外部,故要求的直线的斜率一定存在,设为k,则直线方程为y+1=k(x+),即kx-y+k-1=0.
根据直线和圆有交点、圆心到直线的距离小于或等于半径可得≤1,
即3k2-2k+1≤k2+1,解得0≤k≤,
故直线l的倾斜角的取值范围是.
10.(2015甘肃兰州一中三模,文10,直线的倾斜角与斜率,选择题)P是双曲线-y2=1右支(在第一象限内)上的任意一点,A1,A2分别是左右顶点,O是坐标原点,直线PA1,PO,PA2的斜率分别为k1,k2,k3,则斜率之积k1k2k3的取值范围是( )
A.(0,1) B. C. D.
解析:设点P(x,y)(x>0,y>0),
由题意知,A1(-2,0),A2(2,0),直线PA1,PO,PA2的斜率分别为k1,k2,k3,
5.(2015吉林长春实验中学三模,文5,直线的倾斜角与斜率,选择题)直线xsin α+y+2=0的倾斜角的取值范围是 ( )
A.[0,π) B.
解析:直线xsin α+y+2=0的斜率为k=-sin α,
|sin α|≤1,∴|k|≤1.
∴倾斜角的取值范围是.
123 直线的方程
1.(2015广西柳州一模,文21,直线的方程,解答题)已知椭圆=1的一个焦点为F(2,0),且离心率为.
(1)求椭圆方程;
(2)斜率为k的直线l过点F,且与椭圆交于A,B两点,P为直线x=3上的一点,若△ABP为等边三角形,求直线l的方程.
解:(1)椭圆=1的一个焦点为F(2,0),且离心率为.
c=2,,a2=b2+c2,解得a2=6,b2=2.
椭圆方程为=1.
(2)直线l的方程为y=k(x-2).
联立方程组消去y并整理,
得(3k2+1)x2-12k2x+12k2-6=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2).
故x1+x2=,x1x2=.
则|AB|=|x1-x2|
设AB的中点为M(x0,y0).
可得x0=,y0=-.
直线MP的斜率为-,又xP=3,
所以|MP|=·|x0-xP|
当△ABP为正三角形时,|MP|=|AB|,
解得k=±1.
直线l的方程为x-y-2=0,或x+y-2=0.
20.(2015吉林三模,文20,直线的方程,解答题)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-1,0),F(1,0),过F1的直线l与椭圆C相交于A,B两点,且△ABF2的周长为4.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点(4,0)作与直线l平行的直线m,且直线m与抛物线y2=4x交于P,Q两点,若A,P在x轴上方,直线PA与直线QB相交于x轴上一点M,求直线l的方程.
解:(1)依题意,4a=4,a2-b2=1.
所以a=,b=1.
故椭圆C的方程为+y2=1.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x3,y3),Q(x4,y4),PQ与x轴的交点记为点N,
直线l的方程为x=ty-1,直线m的方程为x=ty+4.
则,可得,令=λ(λ0)关于直线x+y+2=0对称.
(1)求☉C的方程.
(2)过点P作两条相异直线分别与☉C相交于A,B,且直线PA和直线PB的倾斜角互补,O为坐标原点,试判断直线OP和AB是否平行?请说明理由.
(1)解:设圆心C(a,b),则解得
则圆C的方程为x2+y2=r2,将点P的坐标代入得r2=2,
故圆C的方程为x2+y2=2.
(2)解:由题意知,直线PA和直线PB的斜率存在,且互为相反数,故可设PA:y-1=k(x-1),PB:y-1=-k(x-1),且k≠0,
由得(1+k2)x2-2k(k-1)x+k2-2k-1=0,
∵点P的横坐标x=1一定是该方程的解,故可得xA=,
∴直线AB和OP一定平行.
20.(2015黑龙江哈尔滨六中四模,文20,求圆的方程,解答题)过抛物线C:x2=4y对称轴上任一点P(0,m)(m>0)作直线l与抛物线交于A,B两点,点Q是点P关于原点的对称点.
(1)当直线l方程为x-2y+12=0时,过A,B两点的圆M与抛物线在点A处有共同的切线,求圆M的方程.
(2)设=λ,证明:(-λ).
(1)解:由得点A,B的坐标分别是(6,9),(-4,4),
则AB的中点为,斜率为k=,
故AB的垂直平分线方程为4x+2y-17=0.
由x2=4y得y=x2,y'=x,所以抛物线在点A处的切线斜率为3.
设圆M的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,
解得a=-,b=,r2=.
所以圆M的方程为.
(2)证明:设AB方程为y=kx+m,A,B两点的坐标分别是(x1,y1),(x2,y2),
代入抛物线方程x2=4y,得x2-4kx-4m=0,x1+x2=-4k,x1x2=-4m.
由=λ,得λ=-,又点Q(0,-m),从而=(0,2m),
-λ=(x1-λx2,y1-λy2+(1-λ)m),
所以·(-λ)=2m[y1-λy2+(1-λ)m]
=2m(x1+x2)·=0,
所以(-λ).
129 与圆有关的轨迹问题
6.(2015山西朔州怀仁一中一模,文6,与圆有关的轨迹问题,选择题)若△PAB是圆C:(x-2)2+(y-2)2=4的内接三角形,且PA=PB,APB=120°,则线段AB的中点的轨迹方程为( )
A.(x-2)2+(y-2)2=1 B.(x-2)2+(y-2)2=2
C.(x-2)2+(y-2)2=3 D.x2+y2=1
解析:设线段AB的中点为D,则
由题意,PA=PB,APB=120°,∴∠ACB=120°.
∵CB=2,∴CD=1,
∴线段AB的中点的轨迹是以C为圆心,1为半径的圆,
故线段AB的中点的轨迹方程是(x-2)2+(y-2)2=1.
130 与圆有关的最值问题
14.(2015江西上饶三模,文14,与圆有关的最值问题,填空题)设m,nR,若直线l:mx+ny-1=0与x轴相交于点A,与y轴相交于点B,且l与圆x2+y2=4相交所得弦的长为2,O为坐标原点,则mn的最大值为 .
解析:由圆x2+y2=4的方程,得到圆心坐标为(0,0),半径r=2,
直线l与圆x2+y2=4相交所得弦CD=2,
圆心到直线l的距离d=.
圆心到直线l:mx+ny-1=0的距离d=,整理得m2+n2=.
令直线l解析式中y=0,解得x=,
令x=0,解得y=,B,即OB=.
m2+n2≥2|mn|,当且仅当|m|=|n|时取等号,
又△AOB为直角三角形,
S△ABC=OA·OB==3,当且仅当|m|2=|n|2=时取等号,故mn的最大值为.
15.(2015山西太原山大附中高三月考,文15,与圆有关的最值问题,填空题)圆x2+y2+2x-4y+1=0关于直线2ax-by+2=0(a,bR)对称,则ab的取值范围是 .
解析:把圆的方程化为标准方程,得(x+1)2+(y-2)2=4,
圆心坐标为(-1,2),半径r=2,
根据题意,可知圆心在已知直线2ax-by+2=0上,
把圆心坐标代入直线方程,得-2a-2b+2=0,
即b=1-a,则设m=ab=a(1-a)=-a2+a=-,
当a=时,m有最大值,最大值为,即ab的最大值为.
故ab的取值范围是.
10.(2015江西三县部分高中一模,文10,与圆有关的最值问题,选择题)已知A(-3,0),B(0,4),M是圆C:x2+y2-4x=0上一个动点,则△MAB的面积的最小值为( )
A.4 B.5 C.10 D.15
解析:由x2-4x+y2=0,得(x-2)2+y2=4,
圆的圆心(2,0),半径为2,
过圆心作AB所在直线的垂线,交圆于M,此时△ABM的面积最小.
直线AB的方程为4x-3y+12=0,|AB|=5,
圆心到直线AB的距离为=4.
△MAB的面积的最小值为×5×(4-2)=5.
9.4直线与圆、圆与圆的位置关系
131 直线与圆的位置关系
11.(2015黑龙江大庆一模,文11,直线与圆的位置关系,选择题)直线y=kx+3与圆(x-3)2+(y-2)2=4相交于M,N两点,若|MN|≥2,则k的取值范围是( )
A. B.[0,+∞)
解析:圆心的坐标为(3,2),且圆与x轴相切.
当|MN|=2时,弦心距最大为1,
由点到直线距离公式得≤1,
解得k.故选A.
5.(2015贵州贵阳一模,文5,直线与圆的位置关系,选择题)对任意实数k,直线y=kx+1与圆x2+y2=4的位置关系一定是( )
A.相离 B.相切
C.相交且不过圆心 D.相交且过圆心
解析:对任意的实数k,直线y=kx+1恒过点(0,1),且斜率存在.
(0,1)在圆x2+y2=4内,
对任意的实数k,直线y=kx+1与圆x2+y2=4的位置关系一定是相交但直线不过圆心.
6.(2015江西南昌零模,文6,直线与圆的位置关系,选择题)已知M(x0,y0)是圆x2+y2=a2外任意一点,则直线x0x+y0y=a2与该圆的位置关系是( )
A.相切 B.相交
C.相离 D.由点(x0,y0)的位置决定
解析:点M(x0,y0)是圆x2+y2=a2(a>0)外一点,
圆心O到直线x0x+y0y=a2的距离为d=<a(半径),故直线和圆相交.
7.(2015江西宜春高安四校一模,文7,直线与圆的位置关系,选择题)直线x+y+=0截圆x2+y2=4所得劣弧所对圆心角为( )
A. B. C. D.
解析:设劣弧所对圆心角的一半为α,
因为圆到直线的距离为d==1,半径是2,
所以cos α=0.5,α=,故劣弧所对圆心角为π.
3.(2015甘肃兰州一中模拟,文3,直线与圆的位置关系,选择题)如果直线ax+by=4与圆C:x2+y2=4有两个不同的交点,那么点(a,b)和圆C的位置关系是( )
A.在圆外 B.在圆上 C.在圆内 D.不能确定
解析:直线ax+by=4与圆C:x2+y2=4有两个不同的交点,
圆心(0,0)到直线ax+by-4=0的距离d=4.故点(a,b)在圆C的外部.
16.(2015甘肃嘉峪关一中三模,文16,直线与圆的位置关系,填空题)已知直线x+y+m=0与圆x2+y2=2交于不同的两点A,B,O是坐标原点,||≥||,那么实数m的取值范围是 .
解析:直线x+y+m=0与圆x2+y2=2交于相异两点A,B,
O点到直线x+y+m=0的距离d1.
综合可知1≤d<.
过原点作一直线与x+y+m=0垂直,即y=x,两直线交点为,则d=|m|.
综上,-2<m≤-≤m<2.
答案:(-2,-)[,2)
6.(2015甘肃兰州一中三模,文6,直线与圆的位置关系,选择题)直线ax+by-a=0与圆x2+y2+2x-4=0的位置关系是( )
A.相离 B.相切
C.相交 D.与a,b的取值有关
解析:直线即a(x-1)+by=0,过定点P(1,0),而点P在圆(x+1)2+y2=5内,故直线与圆的位置关系是相交.
11.(2015黑龙江哈尔滨九中三模,文11,直线与圆的位置关系,选择题)直线l1:y=x,l2:y=x+2与☉C:x2+y2-2mx-2ny=0的四个交点把☉C分成的四条弧长相等,则m=( )
A.0或1 B.0或-1 C.-1 D.1
解析:直线l1l2,且l1,l2把☉C分成的四条弧长相等,画出图形,如图所示.
又☉C可化为(x-m)2+(y-n)2=m2+n2,
当m=0,n=1时,圆心为(0,1),半径r=1,
此时l1,l2与☉C的四个交点(0,0),(1,1),(0,2),(-1,1),把☉C分成的四条弧长相等.
当m=-1,n=0时,圆心为(-1,0),半径r=1,
此时l1,l2与☉C的四个交点(0,0),(-1,1),(-2,0),(-1,-1),把☉C分成的四条弧长也相等.
6.(2015黑龙江哈尔滨三中四模,文6,直线与圆的位置关系,选择题)直线l:8x-6y-3=0被圆O:x2+y2-2x+a=0所截得弦的长度为,则实数a的值是( )
A.-1 B.0 C.1 D.1-
解析:圆O:x2+y2-2x+a=0,
即(x-1)2+y2+a=1-a,
a<1,圆心(1,0),半径为.
又弦心距d=,
=r2=1-a,求得a=0.
16.(2015吉林实验中学六模,文16,直线与圆的位置关系,填空题)在平面直角坐标系xOy中,设直线y=-x+2与圆x2+y2=r2交于A,B两点,O为坐标原点,若圆上一点C满足,则r= .
解析:由题意可得,||=||=||=r,
设=θ,θ[0,π].
则=||||cos θ=r2cos θ.
两边同时平方可得,,
即r2=r2+r2+r2cos θ×,
∵cos θ=2cos2-1,,
∴cos >0,∴cos .
设圆心O到直线x+y-2=0的距离为d,则d=rcos ,即r=,r=.
17.(2015黑龙江绥化一模,文17,直线与圆的位置关系,解答题)已知圆C的圆心C在第一象限,且在直线3x-y=0上,该圆与x轴相切,且被直线x-y=0截得的弦长为2,直线l:kx-y-2k+5=0与圆C相交.
(1)求圆C的标准方程;
(2)求出直线l所过的定点;当直线l被圆所截得的弦长最短时,求直线l的方程及最短的弦长.
解:(1)设圆心为(a,b)(a>0,b>0),半径为r,
则b=3a,则r=3a,圆心到直线x-y=0的距离d=a,
圆被直线x-y=0截得的弦长为2,
(a)2+()2=(3a)2,
即a2=1,解得a=1,则圆心为(1,3),半径为3,
则圆C的标准方程(x-1)2+(y-3)2=9.
(2)由kx-y-2k+5=0得y=k(x-2)+5,
则直线l过定点M(2,5).
要使弦长最短,则满足CMl,
则直线l方程为x+2y-12=0,|CM|=,则最短的弦长为2=2=4.
132 圆与圆的位置关系
8.(2015山西太原二模,文8,圆与圆的位置关系,选择题)已知点A(-1,0),B(1,0),若圆(x-2)2+y2=r2上存在点P,使得APB=90°,则实数r的取值范围为( )
A.(1,3) B.[1,3] C.(1,2] D.[2,3]
解析:根据直径对的圆周角为90°,结合题意可得以AB为直径的圆和圆(x-2)2+y2=r2有交点,
检验两圆相切时不满足条件,故两圆相交.
而以AB为直径的圆的方程为x2+y2=1,圆心距为2,
所以|r-1|<2<|r+1|,解得1<r<3.
133 圆的切线与弦长问题
2.(2015广西玉林、贵港4月模拟,文16,圆的切线与弦长问题,填空题)已知A为射线x+y=0(x<0)上的动点,B为x轴正半轴上的动点,若直线AB与圆x2+y2=1相切,则|AB|的最小值为 .
解析:设切点为(m,n),则切线方程为mx+ny=1,
A为射线x+y=0(x0)到圆C:(x-2)2+(y-4)2=1上任意一点距离的最小值为4,且过椭圆右焦点F2(c,0)与上顶点的直线与圆O:x2+y2=相切.
(1)求椭圆E的方程;
(2)若直线l:y=-x+m与椭圆E交于A,B两点,当以AB为直径的圆与y轴相切时,求△F1AB的面积.
解:(1)设椭圆E为=1(a>b>0),
焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),则椭圆的右焦点到圆上任意一点的距离的最小值为
-1=4,又c>0,c=1.
过椭圆右焦点和上顶点的方程为=1,即bx+y-b=0.
由直线和圆O相切可得,解得b=1,
a2=b2+c2=2.
∴椭圆E的方程为+y2=1.
(2)由可得3x2-4mx+2m2-2=0.
则Δ=(-4m)2-12(2m2-2)>0,即m2<3.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=,x1x2=,
则AB的中点横坐标为.
则以AB为直径的圆的半径为r=|AB|
=|x1-x2|=.
由条件可得.
整理可得(x1+x2)2=8x1x2,即=8·.
m2=b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,其中F1(-2,0),P为C上一点,满足|OP|=|OF1|,且|PF1|=4,则椭圆C的方程为( )
解析:设椭圆的焦距为2c,连接PF2,如图所示.
由F(-2,0),得c=2,
又由|OP||OF1|=|OF2|知,PF1PF2,
在△PF1F2中,由勾股定理,
得|PF2|==8,
由椭圆定义,得|PF1|+|PF2|=2a=4+8=12,从而a=6,得a2=36,
于是b2=a2-c2=36-(2)2=16,
所以椭圆的方程为=1.
4.(2015江西赣州一模,文20,椭圆的定义及标准方程,解答题)已知椭圆E:=1(a>b>0)的焦距为2,A是E的右顶点,P,Q是E上关于原点对称的两点,且直线PA的斜率与直线QA的斜率之积为-.
(1)求E的方程;
(2)过E的右焦点作直线l与E交于M,N两点,直线MA,NA与直线x=3分别交于C,D两点,记△ACD与△AMN的面积分别为S1,S2,且S1·S2=,求直线l的方程.
解:(1)根据题意,设P(x0,y0),Q(-x0,-y0),
则(a2-),kPA·kQA=
依题意有-=-,
又c=1,所以a2=4,b2=3,
故椭圆E的方程为=1.
(2)设直线MN的方程为x=my+1,代入E的方程得(3m2+4)y2+6my-9=0,
设M(x1,y1),N(x2,y2),
由韦达定理知y1+y2=-,y1y2=-,
又直线MA的方程为y=(x-2),将x=3代入,
得yC=,同理yD=,
所以|CD|=|yC-yD|==3,
所以S1=|CD|=,
S2=|AF|·|y1-y2|=,
S1·S2=,即,
直线MN的方程为x=±y+1,即x±y=1.
14.(2015江西红色六校一模,文14,椭圆的定义及标准方程,填空题)已知椭圆C:=1,点M与C的焦点不重合,若M关于C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中点在C上,则|AN|+|BN|= .
解析:如图,设线段MN的中点为D,
连接DF1,DF2,则DF1,DF2分别是△AMN,△BMN的中位线,
则|AN|+|BN|=2|DF1|+2|DF2|=2(|DF1|+|DF2|)=2×2a=4×5=20.
20.(2015广西梧州一模,文20,椭圆的定义及标准方程,解答题)已知椭圆C:=1(a>b>0),A,B分别是椭圆的长轴和短轴的端点,且原点到直线AB的距离为b.
(1)求椭圆C的离心率;
(2)直线l与圆O:x2+y2=b2相切,并且被椭圆C截得的弦长的最大值为2,求椭圆C的标准方程.
解:(1)不妨设椭圆C的右顶点为A,上顶点为B,
则直线AB的方程为=1,即bx+ay-ab=0,
依题意,原点O到直线AB的距离d=b,化简,得a2=4b2,结合b2=a2-c2,得,即离心率e=.
(2)设直线l与椭圆C交于P(x1,y1),Q(x2,y2).
(i)当直线l的斜率存在时,设l:y=kx+m,
联立x2+y2=b2,消去y,整理,
得(1+k2)x2+2kmx+m2-b2=0.
由于直线l与圆O相切,所以Δ1=(2km)2-4(1+k2)(m2-b2)=0,得m2-b2=k2b2.
由消去y,整理,
得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4b2=0,
由韦达定理,得
且Δ2=(8km)2-4(1+4k2)(4m2-4b2)>0,
结合m2-b2=k2b2,整理,
又设=t,易知,k≠0,
所以0<t<1,则|PQ|=,
当t=即k2=时,得|PQ|max==2b,
(ii)当直线l的斜率不存在时,不妨设l的方程为x=b,易知P,Q,
此时|PQ|=bb>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点D在椭圆上.DF1F1F2,=2,△DF1F2的面积为.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设圆心在y轴上的圆与椭圆在x轴的上方有两个交点,且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点,求圆的半径.
解:(1)设F1(-c,0),F2(c,0),其中c2=a2-b2,
由=2,得|DF1|=c,
从而|DF1||F1F2|=c2=,故c=1.
从而|DF1|=,由DF1F1F2,
得|DF2|2=|DF1|2+|F1F2|2=,
因此|DF2|=,所以2a=|DF1|+|DF2|=2,故a=,b2=a2-c2=1,
故椭圆的标准方程为+y2=1.
(2)设圆心在y轴上的圆C与椭圆+y2=1相交,P1(x1,y1),P2(x2,y2)是两个交点,
y1>0,y2>0,F1P1,F2P2是圆C的切线,且F1P1F2P2,由圆和椭圆的对称性,易知x2=-x1,y1=y2,|P1P2|=2|x1|,
由(1)知F1(-1,0),F2(1,0),
所以=(x1+1,y1),=(-x1-1,y1),
再由F1P1F2P2,得-(x1+1)2+=0,
由椭圆方程得1-=(x1+1)2,
即3+4x1=0,解得x1=-或0.
当x1=0时,P1,P2重合,此时题设要求的圆不存在.
当x1=-时,过P1,P2分别与F1P1,F2P2垂直的直线的交点即为圆心C.
由F1P1,F2P2是圆C的切线,且F1P1F2P2,知CP1CP2,又|CP1|=|CP2|,
故圆C的半径|CP1|=|P1P2|=|x1|=.
136 椭圆的几何性质
1.(2015广西柳州一中一模,文9,椭圆的几何性质,选择题)设F1,F2是椭圆E:=1(a>b>0)的左、右焦点,P为直线x=上一点,△F2PF1是底角为30°的等腰三角形,则E的离心率为( )
A. B. C. D.
解析:△F2PF1是底角为30°的等腰三角形,
|PF2|=|F2F1|.
∵P为直线x=上一点,
2=2c,∴e=.
20.(2015山西太原二模,文20,椭圆的几何性质,解答题)已知动点A在椭圆C:=1(a>b>0)上,动点B在直线x=-2上,且满足(O为坐标原点),椭圆C上点M到两焦点距离之和为4.
(1)求椭圆C方程;
(2)求|AB|取最小值时点A的坐标.
解:(1)根据题意可得
解得a2=12,b2=3,
故椭圆C方程为=1.
(2)由题意可设A(x0,y0),B(-2,t)(tR),
∵,∴=-2x0+ty0=0,即t=,
动点A在椭圆C上,=1,
当且仅当,即y0=±2时,|AB|取最小值,
=3-,∴x0=±.
∴点A的坐标为(,-2)或(,2)或(-,-2)或(-,2).
11.(2015江西鹰潭一模,文11,椭圆的几何性质,选择题)已知椭圆C1:=1(a>b>0)与圆C2:x2+y2=b2,若在椭圆C1上存在点P,过P作圆的切线PA,PB,切点为A,B使得BPA=,则椭圆C1的离心率的取值范围是( )
解析:连接OA,OB,OP,依题意,O,P,A,B四点共圆,
BPA=,∠APO=∠BPO=,
在Rt△OAP中,AOP=,
∴cos∠AOP=,∴|OP|==2b.
∴b<|OP|≤a,∴2b≤a.
∴4b2≤a2,即4(a2-c2)≤a2,
3a2≤4c2,即.
e≥.又0<e<1,≤e0,b>0)的一个焦点与抛物线y2=4的焦点重合,且椭圆的离心率等于,则该椭圆的方程为 ( )
A.+5y2=1 B.=1
C.=1 D.x2+3y2=1
解析:抛物线y2=4x的焦点为(1,0),c=1.
又椭圆的离心率等于,即,
a=,∴b2=a2-c2=.
故所求椭圆的方程为x2+3y2=1.
6.(2015江西上饶二模,文6,椭圆的几何性质,选择题)已知焦点在x轴的椭圆方程+y2=1,过焦点作垂直于x轴的直线交椭圆于A,B两点,且|AB|=1,则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
解析:焦点在x轴的椭圆方程+y2=1,焦点坐标(±,0),不妨设A,
可得=1,解得a=2,
故椭圆的离心率为e=.
5.(2015江西六校联考二模,文5,椭圆的几何性质,选择题)椭圆=1(a>b>0)的两顶点为A(a,0),B(0,b),且左焦点为F,△FAB是以角B为直角的直角三角形,则椭圆的离心率e为( )
A. B. C. D.
解析:依题意可知点F(-c,0),直线AB斜率为=-,直线BF的斜率为.
FBA=90°,∴=-=-=-1.
整理得c2+ac-a2=0,即-1=0,
即e2+e-1=0,解得e=.
0<eb>0)的右焦点,点P在椭圆E上,直线l0:3x-4y-10=0与以原点为圆心、以椭圆E的长半轴长为半径的圆相切.
(1)求椭圆E的方程.
(2)过点F的直线l与椭圆相交于A,B两点,过点P且平行于AB的直线与椭圆交于另一点Q.问是否存在直线l,使得四边形PABQ的对角线互相平分?若存在,求出l的方程;若不存在,说明理由.
解:(1)由题意知
所以椭圆E的方程为=1.
(2)结论:存在直线l,使得四边形PABQ的对角线互相平分.
理由如下:由题可知直线l,PQ的斜率存在.
设直线l的方程为y=k(x-1),直线PQ的方程为y=k(x-1)+,
由消去y得(3+4k2)x2-8k2x+(4k2-12)=0.
由消去y得(3+4k2)x2-(8k2-12k)x+(4k2-12k-3)=0,
若四边形PABQ的对角线互相平分,则四边形PABQ为平行四边形,
|AB|=|PQ|,∴1+k2=+k+k2=>k=.
∴直线l的方程为3x-4y-3=0时,四边形PABQ的对角线互相平分.
7.(2015江西上饶一模,文7,椭圆的几何性质,选择题)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左右焦点为F1,F2,过F2的直线与圆x2+y2=b2相切于点A,并与椭圆C交于不同的两点P,Q,如图,PF1PQ,若A为线段PQ的靠近P的三等分点,则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
解析:连接OA,PF1,则OAPQ,又PF1PQ,可得OAPF1.
因为A为线段PQ的靠近P的三等分点,所以A为线段PF2的中点,于是PF1=2b.
结合椭圆的定义有PF2=2a-2b,在Rt△PF1F2中,
利用勾股定理得(2a-2b)2+(2b)2=(2c)2,
将c2=a2-b2代入,整理可得b=a,
15.(2015广西防城港、桂林一模,文15,椭圆的几何性质,填空题)设椭圆=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,焦距为2c.直线y=(x+c)与椭圆的一个交点为M,O为坐标原点,若|OM|=c,则椭圆的离心率是 .
解析:直线y=(x+c)与坐标轴的交点分别为A(-c,0),B(0,c).|AB|=2c.
直线y=(x+c)与椭圆的一个交点为M,O为坐标原点,若|OM|=c,
可得M是AB的中点,M.
则:=1,即=1,
化简得:=1,解得e=-1.
10.(2015江西赣州兴国一模,文10,直线与椭圆的位置关系,选择题)椭圆ax2+by2=1与直线y=1-x交于A,B两点,过原点与线段AB中点的直线的斜率为,则的值为( )
A. B. C. D.
解析:由得ax2+b(1-x)2=1,(a+b)x2-2bx+b-1=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,y1+y2=1-x1+1-x2=2-.
所以AB中点坐标为,AB中点与原点连线的斜率k=.故.
14.(2015山西太原五中二模,文14,椭圆的几何性质,填空题)已知椭圆mx2+4y2=1的离心率为,则实数m等于 .
解析:由mx2+4y2=1,得=1,
若,得0<m4,此时a=,c2=,c=,
则,解得m=8.
综上,m=2或8.
12.(2015山西太原山大附中高三月考,文12,椭圆的几何性质,选择题)椭圆C:=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,若椭圆C上恰好有6个不同的点P,使得△F1F2P为等腰三角形,则椭圆C的离心率的取值范围是( )
解析:当点P与短轴的顶点重合时,△F1F2P构成以F1F2为底边的等腰三角形,
此种情况有2个满足条件的等腰△F1F2P.
当△F1F2P构成以F1F2为一腰的等腰三角形时,
以F2P作为等腰三角形的底边为例,
∴点P在以F1为圆心,半径为焦距2c的圆上.
因此,当以F1为圆心,半径为2c的圆与椭圆C有2交点时,存在2个满足条件的等腰△F1F2P,
在△F1F2P1中,F1F2+PF1>PF2,
即2c+2c>2a-2c,由此得知3c>a.
所以离心率e>.
当e=时,△F1F2P是等边三角形,与中的三角形重复,故e≠.
同理,当F1P为等腰三角形的底边时,在e>且e≠时也存在2个满足条件的等腰△F1F2P.
这样,总共有6个不同的点P使得△F1F2P为等腰三角形.
综上所述,离心率的取值范围是.
11.(2015黑龙江哈尔滨六中四模,文11,椭圆的几何性质,选择题)设F1,F2是椭圆x2+=1(0<bb>0)的右焦点F和上顶点B,则椭圆Γ的离心率为 .
解析:由题意得,椭圆的右焦点F为(c,0)、上顶点B为(0,b),
因为圆(x-1)2+(y-1)2=2经过右焦点F和上顶点B,
所以解得b=c=2,
则a2=b2+c2=8,解得a=2,
所以椭圆C的离心率e=.
11.(2015甘肃兰州二诊,文11,椭圆的几何性质,选择题)已知椭圆C的中心为O,两焦点为F1,F2,M是椭圆C上一点,且满足||=2||=2||,则椭圆的离心率e=( )
A. B. C. D.
解析:由椭圆定义可得2a=|MF1|+|MF2|=3|MF2|,|MF1|=|MO|=|MF2|,
所以|MF2|=a,|MF1|=a.
在△F1OM中,|F1O|=c,|F1M|=a,|OM|=a,
则cosMOF1=,
在△OF2M中,|F2O|=c,|MO|=|F2M|=a,
则cosMOF2=,
由MOF1=180°-∠MOF2得cosMOF1+cos∠MOF2=0,
即为=0,整理得:3c2-2a2=0,
即,即e2=,即有e=.
11.(2015甘肃兰州一模,文11,椭圆的几何性质,选择题)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,右顶点为A,上顶点为B,若椭圆C的中心到直线AB的距离为|F1F2|,则椭圆C的离心率e=( )
A. B. C. D.
解析:设椭圆C的焦距为2c(cb>0),由题意可得,椭圆C两焦点坐标分别为F1(-1,0),F2(1,0).
又c=1,b2=4-1=3,故椭圆的方程为=1.
(2)当直线lx轴,计算得到:
·|AB|·|F1F2|=×3×2=3,不符合题意.
当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为y=k(x+1),
(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0.
显然Δ>0成立,设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=-,x1·x2=,
又圆F2的半径r=,
所以|AB|r=,
化简,得17k4+k2-18=0,即(k2-1)(17k2+18)=0,解得k=±1.
故圆F2的方程为(x-1)2+y2=2.
137 直线与椭圆的位置关系
20.(2015黑龙江绥化一模,文20,直线与椭圆的位置关系,解答题)坐标系xOy中,已知椭圆C1:=1(a>b>0)的其中一个顶点坐标为B(0,1),且点P在C1上.
(1)求椭圆C1的方程;
(2)若直线l:y=kx+m与椭圆C1交于M,N且kOM+kON=4k,求证:m2为定值.
(1)解:由题意,椭圆C1的右顶点坐标为B(0,1),所以b=1,
点P代入椭圆=1,得,即a=.
所以椭圆C1的方程为+y2=1.
(2)证明:直线l的斜率显然存在,设直线l的方程为y=kx+m,
得消去y并整理得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0,(*)
设M(x1,y1),N(x2,y2),
由(*)式得x1+x2=-,x1·x2=.
kOM+kON==2k+=2k-=4k.可得m2=.
经验证满足Δ>0,故m2=为定值.
138 双曲线的定义与标准方程
1.(2015广西柳州一中一模,文12,双曲线的定义与标准方程,选择题)在平面直角坐标系中,已知△ABC的顶点A(-6,0)和C(6,0),顶点B在双曲线=1的左支上,则等于( )
A. B. C. D.
解析:由题意可知双曲线的焦点坐标就是A,B,由双曲线的定义可知BC-AB=2a=10,c=6,.
2.(2015甘肃张掖4月模拟,文11,双曲线的定义与标准方程,选择题)已知双曲线x2-=1的焦点为F1,F2,点M在双曲线上且=0,则点M到x轴的距离为 ( )
A. B. C. D.
解析:已知双曲线x2-=1的焦点为F1(-,0),F2(,0).
MF1⊥MF2,∴点M在以F1F2为直径的圆x2+y2=3上,
故由得|y|=,
点M到x轴的距离为.
11.(2015江西景德镇二模,文11,双曲线的定义与标准方程,选择题)已知双曲线=1两个焦点分别为F1,F2,过点F2的直线l与该双曲线的右支交于M,N两点,且△F1MN是以N为直角顶点的等腰直角三角形,则为( )
A.18 B.12 C.18 D.12
解析:设|NF1|=|MN|=m,则|MF1|=m,
由双曲线的定义,可得|NF2|=m-2a,|MF2|=m-2a,
|NM|=|NF2|+|MF2|=m,
∴m-2a+m-2a=m,
∵a2=3,∴m2=24.
故m2=×24=12.
11.(2015江西上饶重点中学二模,文11,双曲线的定义与标准方程,选择题)已知双曲线=1(0<b<2)与x轴交于A,B两点,点C(0,b),则△ABC面积的最大值为( )
A.1 B.2 C.4 D.8
解析:双曲线=1(0<b0,b>0,且bN*)的两个焦点为F1,F2,其中一条渐近线方程为y=x,P为双曲线上一点,且满足|OP|<5(其中O为坐标原点),若|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等比数列,则双曲线C的方程为( )
A.-y2=1 B.x2-y2=1
解析:|F1F2|2=|PF1|·|PF2|,
∴4c2=|PF1|·|PF2|.
∵|PF1|-|PF2|=4,∴|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=16,
即|PF1|2+|PF2|2-8c2=16.
设POF1=θ,则POF2=π-θ,
由余弦定理得,|PF2|2=c2+|OP|2-2|OF2|·|OP|·cos(π-θ),
|PF1|2=c2+|OP|2-2|OF1||OP|·cos θ.
整理得,|PF2|2+|PF1|2=2c2+2|OP|2.
由化简得,|OP|2=8+3c2=20+3b2.
OP<5,∴20+3b20,b>0)的右顶点作x轴的垂线与C的一条渐近线相交于A.若以C的右焦点为圆心、半径为2的圆经过A,O两点(O为坐标原点),则双曲线C的方程为( )
A.x2-=1 B.x2-=1
解析:双曲线的右顶点为(a,0),右焦点F为(c,0),
由x=a和一条渐近线y=x,可得A(a,b).
以C的右焦点为圆心、半径为2的圆经过A,O两点(O为坐标原点),
则|AF|=|OF|=c=2,即有=2,c2=a2+b2=4,解得a=1,b=.
故双曲线C的方程为x2-=1.
139 双曲线的几何性质
1.(2015江西上饶重点中学一模,文11,双曲线的几何性质,选择题)过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作倾斜角为60°的直线l,若直线l与抛物线在第一象限的交点为A,并且点A也在双曲线 =1(a>0,b>0)的一条渐近线上,则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
解析:如图,
设A(x0,y0),则|AF|=2,
又|AF|=x0+,2=x0+,解得x0=p,y0=|AF|=·2p=p.
A在双曲线 =1(a>0,b>0)的一条渐近线上,
p=p,解得b2=a2.
由a2+b2=c2,得a2+a2=c2,
即,双曲线的离心率e=.
2.(2015山西太原一模,文11,双曲线的几何性质,选择题)已知点F1,F2是双曲线=1(a>0,b>0)的左、右两焦点,若双曲线左支上存在点P与点F2关于直线y=x对称,则双曲线的离心率为( )
A. B. C.2 D.
解析:过焦点F且垂直渐近线的直线方程为y-0=-(x-c),
联立渐近线方程y=x与y-0=-(x-c),
解之可得x=,y=.
故对称中心的坐标为,
由中点坐标公式可得点P的坐标为,
将其代入双曲线的方程可得=1,
结合a2+b2=c2,化简可得c2=5a2,故可得e=.
3.(2015广西玉林、贵港4月模拟,文5,双曲线的几何性质,选择题)已知双曲线=1(a>0,b>0)的实轴长为2,离心率为,则它的一个焦点到它的一条渐近线的距离为( )
A.1 B.2 C. D.2
解析:双曲线=1(a>0,b>0)的实轴长为2,离心率为,
a=1,c=,b=2.
∴双曲线的一个焦点为(,0),一条渐近线的方程为y=2x.
故双曲线的一个焦点到它的一条渐近线的距离为=2.
4.(2015广西桂林、防城港联合调研,文10,双曲线的几何性质,选择题)若双曲线=1(a>0,b>0)与直线y=x无交点,则离心率e的取值范围为( )
A.(1,2) B.(1,2] C.(1,) D.(1,]
解析:双曲线=1(a>0,b>0)与直线y=x无交点,
双曲线的渐近线方程y=±x,满足,
得b≤a,两边平方得b2≤3a2,即c2-a2≤3a2,
c2≤4a2,得≤4即e2≤4.
又e>1,10,b>0)上的动点,F1,F2分别是其左、右焦点,若|PF1|=|PF2|+2,则此双曲线的渐近线方程是 .
解析:由双曲线-y2=1的定义可得,||PF1|-|PF2||=2a,
若|PF1|=|PF2|+2,即有|PF1|-|PF2|=2,
即2a=2,解得a=1,即双曲线的方程为x2-y2=1,
则有渐近线方程为y=±x.
答案:y=±x
6.(2015广西柳州一中一模,文10,双曲线的几何性质,选择题)设F1,F2分别为双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点,A为双曲线的左顶点,以F1F2为直径的圆交双曲线某条渐近线于M,N两点,且满足MAN=120°,则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
解析:不妨设圆与y=x相交且点M的坐标为(x0,y0)(x0>0),则N点的坐标为(-x0,-y0),
联立y0=x0,=c2得M(a,b),N(-a,-b).
又A(-a,0)且MAN=120°,所以由余弦定理得4c2=(a+a)2+b2+b2-2·bcos 120°,
化简得7a2=3c2,故e=.
7.(2015江西赣州一模,文4,双曲线的几何性质,选择题)已知双曲线=1(b>a>0)的两条渐近线的夹角为60°,则双曲线的离心率为( )
A. B.2 C. D.
解析:b>a>0,∴>1.
∵双曲线=1(b>a>0)的两条渐近线的夹角为60°,
,b2=3a2.∴e==2.
12.(2015山西太原二模,文12,双曲线的几何性质,选择题)已知F1,F2分别是双曲线=1(a>0,b>0)的左,右焦点,过F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于点A,B,若|AB|=|AF2|,F1AF2=90°,则双曲线的离心率为( )
解析:设|AF2|=t,由题可知,|AB|=t,|BF2|=t,
由双曲线的定义可知,t-=t+t,
解得:t=c,|AF1|=c.
∵|AF2|-|AF1|=2a,即c=2a,
3.(2015江西九江一模,文3,双曲线的几何性质,选择题)已知双曲线=1的渐近线方程为y=±x,则此双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
解析:双曲线=1的渐近线方程为y=±x,
a=3,半焦距c=.
3.(2015江西鹰潭一模,文3,双曲线的几何性质,选择题)设双曲线=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,则该双曲线的离心率为( )
A. B.2 C. D.
解析:由已知条件知,,.
20.(2015江西吉安一模,文20,双曲线的几何性质,解答题)在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线C:ax2-y2=1(a>0).
(1)过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线,若该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积不超过,求实数a的取值范围;
(2)设斜率为1的直线l交C1于P,Q两点,若l与圆x2+y2=1相切且,求双曲线的方程.
解:(1)双曲线C1:-y2=1,左顶点A,渐近线方程y=±x,
过点A与渐近线y=x平行的直线方程为y=,即y=x+1,
解方程组得x=-,y=.
∴该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积S=,
由S≤,解得a≥2.
(2)设直线PQ的方程是y=x+b,
直线PQ与已知圆相切,=1,解得b2=2,
由得(a-1)x2-2bx-b2-1=0,
设P(x1,y1),Q(x2,y2),
则x1+x2=,x1x2=,
y1y2=(x1+b)(x2+b)=x1x2+b(x1+x2)+b2.
∴=x1x2+y1y2=2x1x2+b(x1+x2)+b2
=2·+2b2·+b2=0,
即为-2-4+4+2(a-1)=0,解得a=2,
故双曲线的方程为2x2-y2=1.
6.(2015黑龙江绥化重点中学二模,文6,双曲线的几何性质,选择题)已知双曲线=1(a>0)的离心率为,则a的值为( )
A. B. C. D.
解析:由双曲线=1,可得c=1,
双曲线的离心率为,,解得a=.
9.(2015江西红色六校一模,文9,双曲线的几何性质,选择题)设F1,F2分别为双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点,若在双曲线右支上存在点P,满足|PF2|=|F1F2|,且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的离心率e为( )
A. B. C. D.
解析:依题意|PF2|=|F1F2|,可知△PF2F1是一个等腰三角形,F2在直线PF1的投影是其中点,由勾股定理知|PF1|=2=4b.
根据双曲线定义可知4b-2c=2a,整理得c=2b-a,代入c2=a2+b2整理得3b2-4ab=0,求得.
11.(2015江西鹰潭二模,文11,双曲线的几何性质,选择题)如图,已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的右顶点为A,O为坐标原点,以A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P,Q,若PAQ=60°,且=3,则双曲线C的离心率为( )
A. B. C. D.
解析:因为PAQ=60°且=3,
所以△QAP为等边三角形,设AQ=2R,则OP=R,
渐近线方程为y=x,A(a,0),取PQ的中点M,则AM=.
由勾股定理可得(2R)2-R2=,
所以(ab)2=3R2(a2+b2).
在△OQA中,,
所以7R2=a2.
①②结合c2=a2+b2,可得e=.
11.(2015广西南宁一模,文11,双曲线的几何性质,选择题)双曲线C:=1(a>0,b>0)与抛物线y2=2px(p>0)相交于A,B两点,公共弦AB恰好过它们的公共焦点F,则双曲线C的离心率为( )
A. B.1+ C.2 D.2+
解析:双曲线C:=1(a>0,b>0)与抛物线y2=2px(p>0)相交于A,B两点,公共弦AB恰好过它们的公共焦点F,
A在双曲线C:=1(a>0,b>0)上,=c.
(c,2c)在双曲线C:=1(a>0,b>0)上,
=1.∴c4-6a2c2+a4=0,
∴e4-6e2+1=0.
∴e2==3±2=(1±)2.
∵e>1,∴e=1+.
10.(2015贵州贵阳二模,文10,双曲线的几何性质,选择题)以双曲线C:=1(a>0)的一个焦点F为圆心的圆与双曲线的渐近线相切,则该圆的面积为( )
A.π B.3π C.6π D.9π
解析:由题意双曲线C:=1知,b2=3,c2=a2+3,圆的半径等于右焦点(c,0)到其中一条渐近线y=x的距离,
根据点到直线的距离公式得:
圆的面积为S=()2π=3π.
7.(2015黑龙江大庆一模,文7,双曲线的几何性质,选择题)已知抛物线x2=4y的准线经过双曲线-x2=1(m>0)的一个焦点,则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.3
解析:抛物线x2=4y的准线方程为y=-,抛物线x2=4y的准线过双曲线-x2=1的一个焦点,
双曲线的一个焦点坐标为(0,-).
双曲线中c=.
双曲线-x2=1,
a2=m2,a=m,m2+1=3,解得m=,
双曲线的离心率e=.
3.(2015江西上饶三模,文3,双曲线的几何性质,选择题)双曲线 =1的渐近线与圆(x-4)2+y2=r2(r>0)相切,则r=( )
A.4 B.3 C.2 D.
解析:根据题意,可得双曲线的渐近线方程为y=±x,即x±y=0,
渐近线与圆相切,
圆心(4,0)到渐近线的距离d与r相等,
3.(2015广西梧州一模,文3,双曲线的几何性质,选择题)双曲线=1(a>0,b>0)的离心率为2,则它的一条渐近线经过点( )
A.(1,2) B.(2,1) C.(1,) D.(,1)
解析:由题意可得e==2,
双曲线=1的渐近线方程为y=±x,
即为y=±x.
代入点(1,2),(2,1),(1,),(,1),
只有(1,)满足渐近线方程.
12.(2015江西新余二模,文12,双曲线的几何性质,选择题)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线y2=2px(p>0)的准线分别交于A,B两点,O为坐标原点,若双曲线C的离心率为2,△AOB的面积为,则△AOB的内切圆半径为( )
A.-1 B.+1 C.2-3 D.2+3
解析:由e==2,可得.
由求得A,B,
所以S△AOB=p·,解得p=2.
所以A(-1,),B(-1,-),
则△AOB的三边分别为2,2,2,
设△AOB的内切圆半径为r,由(2+2+2)r=,解得r=2-3.
11.(2015贵州贵阳一模,文11,双曲线的几何性质,选择题)已知抛物线C1:y=x2(p>0)的焦点与双曲线C2:-y2=1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M,若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线,则p=( )
A. B. C. D.
解析:由抛物线C1:y=x2(p>0),得x2=2py(p>0),
所以抛物线的焦点坐标为F.
由-y2=1,得a=,b=1,c=2.
所以双曲线的右焦点为(2,0).
则抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线所在直线方程为,即x+2y-p=0.
设该直线交抛物线于M,则C1在点M处的切线的斜率为.
由题意可知,得x0=p,代入M点得M.
把M点代入,得p-2p=0.
9.(2015江西南昌零模,文9,双曲线的几何性质,选择题)设F1,F2是双曲线=1的两个焦点,若双曲线上存在点M使F1MF2=60°,且|MF1|-2|MF2|=0,则双曲线的离心率为( )
A. B.2 C. D.
解析:由于|MF1|-2|MF2|=0,
则M在双曲线的右支上,
则由双曲线的定义,可得|MF1|-|MF2|=2a,
解得|MF1|=4a,|MF2|=2a.
在△F1MF2中,由余弦定理,可得
cos 60°=,
化简可得,c=a,则离心率e=.
10.(2015江西重点中学协作体一模,文10,双曲线的几何性质,选择题)已知双曲线=1(a>0,b>0)的一条渐近线与圆C:x2+y2-6x+1=0相交于A,B两点,且|AB|=4,则该双曲线离心率等于( )
A. B. C. D.
解析:由题意可知双曲线的一条渐近线方程为bx+ay=0,
圆C:x2+y2-6x+1=0的圆心(3,0),半径为2,
双曲线=1(a>0,b>0)的一条渐近线与圆C:x2+y2-6x+1=0相交于A,B两点,且|AB|=4,
可得+22=8,=4,
即5b2=4a2,可得5(c2-a2)=4a2,5c2=9a2,
11.(2015江西重点中学协作体二模,文11,双曲线的几何性质,选择题)中心在原点,焦点在x轴上的双曲线C的离心率为,直线l与双曲线C交于A,B两点,线段AB中点M在第一象限,并且在抛物线y2=2px(p>0)上,且M到抛物线焦点的距离为p,则直线l的斜率为( )
A.2 B. C.1 D.
解析:M在抛物线y2=2px(p>0)上,且M到抛物线焦点的距离为p,
M的横坐标为,M.
设双曲线方程为=1(a>0,b>0),A(x1,y1),B(x2,y2),则代入两式相减,并将线段AB中点M的坐标代入,可得=0,
,即直线l的斜率为.
14.(2015江西重点中学协作体二模,文14,双曲线的几何性质,填空题)已知过双曲线=1(a>0,b>0)右焦点且倾斜角为45°的直线与双曲线右支有两个交点,则双曲线的离心离e的取值范围是 .
解析:根据题意,得<tan 45°=1,即b<a.
整理得c1,故e的范围是(1,).
12.(2015江西新八校联考一模,文12,双曲线的几何性质,选择题)双曲线=1(a>0,b>0),M,N为双曲线上关于原点对称的两点,P为双曲线上的点,且直线PM,PN斜率分别为k1,k2,若k1·k2=,则双曲线离心率为( )
A. B. C.2 D.
解析:由题意,设M(x1,y1),P(x2,y2),则N(-x1,-y1),
kPM·kPN=.
∴两式相减可得.
kPM·kPN=,∴.
∴b=a,∴c=a,∴e=.
16.(2015江西红色六校二模,文16,双曲线的几何性质,填空题)已知点A是抛物线C1:y2=2px(p>0)与双曲线C2:=1(a>0,b>0)的一条渐近线的交点,若点A到抛物线C1的准线的距离为p,则双曲线的离心率等于 .
解析:取双曲线的一条渐近线y=x,联立解得故A.
点A到抛物线的准线的距离为p,
=p,化为.=4.
∴双曲线C2的离心率e=.
4.(2015山西四校联考三模,文4,双曲线的几何性质,选择题)若椭圆=1(a>b>0)的离心率为,则双曲线=1的渐近线方程为( )
A.y=±x B.y=±x
C.y=±x D.y=±x
解析:椭圆=1(a>b>0)的离心率为,
双曲线=1的渐近线方程为y=±x.
12.(2015山西四校联考三模,文12,双曲线的几何性质,选择题)已知点A是抛物线x2=4y的对称轴与准线的交点,点B为抛物线的焦点,P在抛物线上且满足|PA|=m|PB|,当m取最大值时,点P恰好在以A,B为焦点的双曲线上,则双曲线的离心率为( )
A. B. C.+1 D.-1
解析:过P作准线的垂线,垂足为N,则由抛物线的定义可得|PN|=|PB|,
|PA|=m|PB|,∴|PA|=m|PN|,
设PA的倾斜角为α,则sin α=,
当m取得最大值时,sin α最小,此时直线PA与抛物线相切,
设直线PM的方程为y=kx-1,代入x2=4y,可得x2=4(kx-1),
即x2-4kx+4=0,Δ=16k2-16=0,
∴k=±1,∴P(2,2),
∴双曲线的实轴长为PA-PB=2(-1).
双曲线的离心率为+1.
7.(2015江西赣州兴国一模,文7,双曲线的几何性质,选择题)已知双曲线=1(a>0,b>0)的一个焦点到它的一条渐近线的距离等于实轴长的,则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
解析:焦点F(c,0)到渐近线y=x的距离等于实轴长的,=2a×,∴a=2b.
∴e2=1+,∴e=.
15.(2015黑龙江哈尔滨九中三模,文15,双曲线的几何性质,填空题)已知A,B,P是双曲线=1上不同的三点,且A,B连线经过坐标原点,若直线PA,PB的斜率乘积kPA·kPB=,则该双曲线的离心率为 .
解析:A,B一定关于原点对称,设A(x1,y1),B(-x1,-y1),P(x,y).
则=1,kPA·kPB=,e=.
9.(2015黑龙江哈尔滨六中四模,文9,双曲线的几何性质,选择题)双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率为2,焦点到渐近线的距离为,则C的焦距等于( )
A.2 B.2 C.2 D.4
解析:双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率为2,焦点到渐近线的距离为,可得=2,b=,可得c2=4a2=a2+b2,解得a2=1,c=2,所以2c=4,即C的焦距为4.
11.(2015黑龙江哈尔滨三中四模,文11,双曲线的几何性质,选择题)双曲线C的中心在原点,焦点在y轴上,离心率为,双曲线C与抛物线y2=4x的准线交于A,B两点,|AB|=4,则双曲线C的实轴长为( )
A.2 B. C.4 D.2
解析:由题意可知,双曲线为焦点在y轴上的等轴双曲线,设等轴双曲线C的方程为y2-x2=λ,
∵抛物线y2=4x,2p=4,p=2,∴=1,
∴抛物线的准线方程为x=-1.
设等轴双曲线与抛物线的准线x=-1的两个交点A(-1,y),B(-1,-y)(y>0),
则|AB|=|y-(-y)|=2y=4,y=2.
将x=-1,y=2代入,得22-(-1)2=λ,
λ=3.∴等轴双曲线C的方程为x2-y2=3,
即=1.双曲线C的实轴长为2.
13.(2015吉林实验中学六模,文13,双曲线的几何性质,填空题)若双曲线=1的离心率为,则其渐近线方程为 .
解析:双曲线C方程为=1(a>0,b>0),
双曲线的渐近线方程为y=±x.
又双曲线离心率为,c=a,可得b=a.
故双曲线的渐近线方程为y=±x.
答案:y=±x
20.(2015甘肃兰州一模,文20,双曲线的几何性质,解答题)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的一条渐近线为y=x,焦点F到直线x=的距离为.
(1)求双曲线C的方程;
(2)斜率为1且在y轴上的截距大于0的直线与曲线C相交于B,D两点,已知A(1,0),若=1,证明:过A,B,D三点的圆与x轴相切.
解:(1)依题意有,c-,
a2+b2=c2,∴c=2a,∴a=1,c=2,∴b2=3.
∴曲线C的方程为x2-=1.
(2)证明:设直线l的方程为y=x+m,则B(x1,x1+m),D(x2,x2+m),BD的中点为M,
由得2x2-2mx-m2-3=0.
x1+x2=m,x1x2=-.
∵=1,即(2-x1)(2-x2)+(x1+m)(x2+m)=1,m=0(舍去)或m=2.
x1+x2=2,x1x2=-,M点的横坐标为=1.
=(1-x1)(1-x2)+(x1+2)(x2+2)=5+2x1x2+x1+x2=5-7+2=0,
∴AD⊥AB.∴过A,B,D三点的圆以点M为圆心,BD为直径.
M点的横坐标为1,MA⊥x.
∴过A,B,D三点的圆与x轴相切.
3.(2015甘肃庆阳一诊,文3,双曲线的几何性质,选择题)双曲线=1(b>0)的焦距为6,则双曲线的渐近线方程为( )
A.y=±x B.y=±x
C.y=±x D.y=±x
解析:因为双曲线=1(b>0)的焦距为6,所以a=2,c=3,所以b=,故双曲线的渐近线方程为y=±x.
15.(2015甘肃河西五地一模,文15,双曲线的几何性质,填空题)已知双曲线x2-y2=1,点F1,F2为其两个焦点,点P为双曲线上一点,若PF1PF2,则|PF1|+|PF2|的值为 .
解析:PF1⊥PF2,∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2.
∵双曲线方程为x2-y2=1,
a2=b2=1,c2=a2+b2=2,可得F1F2=2.
|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=8.
又P为双曲线x2-y2=1上一点,
|PF1|-|PF2|=±2a=±2,(|PF1|-|PF2|)2=4.
∴(|PF1|+|PF2|)2=2(|PF1|2+|PF2|2)-(|PF1|-|PF2|)2=12,
故|PF1|+|PF2|的值为2.
11.(2015甘肃张掖一模,文11,双曲线的几何性质,选择题)已知二次曲线=1,则当m[-2,-1]时,该曲线的离心率e的取值范围是( )
解析:由当m[-2,-1]时,二次曲线为双曲线,
双曲线=1即为=1,
且a2=4,b2=-m,则c2=4-m,
140 抛物线的定义与标准方程
20.(2015江西上饶二模,文20,抛物线的定义与标准方程,解答题)已知抛物线y2=2px的焦点为F,若该抛物线上有一点A,满足直线FA的倾斜角为120°,且|FA|=4.
(1)求抛物线方程;
(2)若抛物线上另有两点B,C满足=0,求直线BC的方程.
解:(1)如图,设抛物线的准线为l,过A作AMl,垂足为M.
由|AF|=4,可得|AM|=4,由AFx=120°,
可知|NF|=|AM|+|AF|cos 60°=6,由抛物线的定义可得p=|NF|=6,故抛物线方程为y2=12x.
(2)由(1)可知点A(1,2),可设点B(x1,y1),C(x2,y2),
(-2,2)+(x1-3,y1)+(x2-3,y2)=(0,0),
即得x1+x2=8,y1+y2=-2,
即BC中点坐标为(4,-).
=12x1,=12x2,∴=12(x1-x2).
而BC斜率k==-2,
直线BC方程为y+=-2(x-4),
即2x+y-7=0.
4.(2015江西新八校联考一模,文4,抛物线的定义与标准方程,选择题)O为原点,F为y2=4x的焦点,A为抛物线上一点,若=-4,则A点坐标为( )
A.(2,±2) B.(1,±2)
C.(1,2) D.(2,2)
解析:y2=4x的焦点F(1,0),设A,
=-4,∴=-4,
解得b=±2,A点坐标为(1,±2).
5.(2015山西太原山大附中高三月考,文5,抛物线的定义与标准方程,选择题)若抛物线y=ax2的焦点坐标是(0,1),则a=( )
A.1 B. C.2 D.
解析:抛物线y=ax2的标准方程为x2=y,
抛物线y=ax2的焦点坐标为(0,1),
141 抛物线的几何性质
1.(2015广西桂林、防城港联合调研,文8,抛物线的几何性质,选择题)设点P在曲线y=x2上,点Q在直线y=2x-2上,则PQ的最小值为( )
A. B. C. D.
解析:点P在曲线y=x2上,可设P(m,m2),
则P到直线y=2x-2即2x-y-2=0的距离为
当m=1时,d取得最小值.
2.(2015江西赣州一模,文7,抛物线的几何性质,选择题)已知抛物线C:y2=8x焦点为F,点P是C上一点,若△POF的面积为2,则|PF|=( )
A. B.3 C. D.4
解析:由抛物线C:y2=8x,得
抛物线的准线方程为x=-2,焦点F(2,0),
又P为C上一点,设|PF|=t,xP=t-2.
代入抛物线方程,得|yP|=2,
所以S△POF=×|OF|×|yP|
=2=2,解得t=.
3.(2015甘肃张掖4月模拟,文15,抛物线的几何性质,填空题)已知抛物线y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为-1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的纵坐标为-2,则该抛物线的准线方程为 .
解析:抛物线y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为-1的直线交抛物线于A,B两点,
直线AB的方程为y=-x+,
把x=-y+代入抛物线方程,
整理得y2+2py-p2=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=-2p,
线段AB的中点的纵坐标为-2,y1+y2=-4.
∴p=2,∴抛物线方程为y2=4x.
故该抛物线的准线方程为x=-1.
11.(2015江西九江一模,文11,抛物线的几何性质,选择题)过抛物线y2=8x的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,交抛物线的准线于C,若|AF|=6,=λ,则λ的值为( )
A. B. C. D.3
解析:由题意,抛物线y2=8x的准线为x=-2,|AF|=6,
所以A(4,4)(另一种情况同理).
所以直线AF的斜率为2,方程为y=2(x-2),
代入抛物线方程可得x2-5x+4=0,
所以可得B(1,-2),
因为=λ,所以λ==3.
9.(2015江西景德镇二模,文9,抛物线的几何性质,选择题)已知抛物线y=x2的焦点为F,定点M(1,2),点A为抛物线上的动点,则|AF|+|AM|的最小值为( )
A. B. C.3 D.5
解析:设点A到准线的距离为|AE|,由定义知|AF|=|AE|,则|AM|+|AF|=|AF|+|AM|≥|ME|≥|MN|=2+1=3(M到准线的垂足设为N)取等号时,M,A,E三点共线.故|AM|+|AF|的最小值等于3.
8.(2015江西鹰潭二模,文8,抛物线的几何性质,选择题)已知点A(-1,0),B(1,0)及抛物线y2=2x,若抛物线上点P满足|PA|=m|PB|,则m的最大值为( )
A.3 B.2 C. D.
解析:设P,由题意可得
=1+≤1+=3,
所以m≤,当且仅当y2=2时,等号成立.
9.(2015江西上饶三模,文9,抛物线的几何性质,选择题)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点,若=3,则|QF|= ( )
A. B. C.2 D.1
解析:设Q到l的距离为d,则由抛物线的定义可得|QF|=d,=3,∴|PQ|=2d.
∴直线PF的斜率为±.
F(1,0),准线l:x=-1,
直线PF的方程为y=±(x-1),与y2=4x联立可得x=,|QF|=d=1+.
8.(2015广西防城港、桂林一模,文8,抛物线的几何性质,选择题)已知抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,点P为抛物线上一点,且在第一象限,PAl,垂足为A,若|PF|=4,则直线AF的倾斜角为( )
A. B. C. D.
解析:抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,
|PF|=|PA|,F(1,0),准线l的方程为x=-1,
设F在l上的射影为F',又PAl,
设P(m,n),依|PF|=|PA|得,m+1=4,
∵PA∥x轴,点A的纵坐标为2,点A的坐标为(-1,2),
则直线AF的斜率为=-,
故直线AF的倾斜角等于.
12.(2015甘肃河西五地二模,文12,抛物线的几何性质,选择题)已知抛物线C:x2=8y的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点,若=2,则|QF|=( )
A.6 B.3 C. D.
解析:抛物线C:x2=8y的焦点为F(0,2),准线为l:y=-2,
设P(a,-2),Q,
则=(-a,4),,
=2,∴4=-4.∴m2=32.
由抛物线的定义可得|QF|=+2=4+2=6.
6.(2015甘肃兰州二诊,文6,抛物线的几何性质,选择题)已知点F是抛物线y2=4x焦点,M,N是该抛物线上两点,|MF|+|NF|=6,则MN中点到准线距离为( )
A. B.2 C.3 D.4
解析:F是抛物线y2=4x的焦点,
F(1,0),准线方程x=-1.
设M(x1,y1),N(x2,y2),
|MF|+|NF|=x1+1+x2+1=6,
解得x1+x2=4,
线段AB中点的横坐标为2,
线段AB的中点到该抛物线准线的距离为2+1=3.
14.(2015甘肃兰州一模,文14,抛物线的几何性质,填空题)抛物线y2=12x的准线与双曲线=1的两条渐近线所围成的三角形的面积等于 .
解析:抛物线y2=12x的准线为x=-3,双曲线=1的两条渐近线方程分别为y=x,y=-x,这三条直线构成边长为2的等边三角形,因此,所求三角形面积等于×2×2×sin 60°=3.
12.(2015甘肃庆阳一诊,文12,抛物线的几何性质,选择题)抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,已知点A,B为抛物线上的两个动点,且满足AFB=120°.过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN,垂足为N,则的最小值为( )
A. B. C.1 D.
解析:如图,过A,B分别作准线的垂线AQ,BP,垂足分别是Q,P,
设|AF|=a,|BF|=b,连接AF,BF,
由抛物线定义,得|AF|=|AQ|,|BF|=|BP|.
在梯形ABPQ中,2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b.
由余弦定理得,|AB|2=a2+b2-2abcos 120°=a2+b2+ab(a+b)2-ab,
则(a+b)2-ab≥(a+b)2-
=(a+b)2,即|AB|2≥(a+b)2,
即.故所求的最小值是.
11.(2015甘肃河西五地一模,文11,抛物线的几何性质)已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点O,并且经过点M(2,y0).若点M到该抛物线焦点的距离为3,则|OM|=( )
A.2 B.2 C.4 D.2
解析:由题意,抛物线关于x轴对称,开口向右,设方程为y2=2px(p>0),
点M(2,y0)到该抛物线焦点的距离为3,
∴p=2,∴抛物线方程为y2=4x.
M(2,y0),∴=8,
∴|OM|==2.
14.(2015甘肃张掖一模,文14,抛物线的几何性质,填空题)过抛物线y2=4x的焦点作一条直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点M的横坐标为2,则|AB|等于 .
解析:由抛物线y2=4x可得p=2.
设A(x1,y1),B(x2,y2).
线段AB的中点M的横坐标为2,
x1+x2=2×2=4.
∵直线AB过焦点F,
|AB|=x1+x2+p=4+2=6.
142 直线与抛物线的位置关系
15.(2015江西吉安一模,文15,直线与抛物线的位置关系,填空题)直线l过点(0,1),而且它与抛物线y2=4x仅有一个交点,则满足条件的直线l的条数为 .
解析:若直线l的斜率不存在,则直线l的方程为x=0,满足条件.
当直线l的斜率存在时,不妨设l:y=kx+1,代入y2=4x,得k2x2+(2k-4)x+1=0.
由条件知,当k=0时,即直线y=1与抛物线有一个交点.
当k≠0时,由Δ=(2k-4)2-4×1×k2=0,可得k=1时直线与抛物线有一个交点.
故满足条件的直线有3条.
16.(2015吉林三模,文16,直线与抛物线的位置关系,填空题)已知直线l:x-y+1=0与抛物线C:x2=4y交于A,B两点,点P为抛物线C上一动点,且在直线l下方,则△PAB的面积的最大值为 .
解析:直线l:x-y+1=0与抛物线C:x2=4y联立,可得A(2-2,3-2),B(2+2,3+2),
|AB|=·|2+2-2+2|=8.
平行于直线l:x-y+1=0的直线设为x-y+c=0,与抛物线C:x2=4y联立,可得x2-4x-4c=0,
Δ=16+16c=0,∴c=-1,两条平行线间的距离为.
△PAB的面积的最大值为×8×=4.
10.(2015江西六校联考二模,文10,直线与抛物线的位置关系,选择题)已知直线l1:4x-3y+6=0和直线l2:x=-1,抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是( )
A.2 B.3 C. D.
解析:直线l2:x=-1为抛物线y2=4x的准线,由抛物线的定义知,P到l2的距离等于P到抛物线的焦点F(1,0)的距离,故本题化为在抛物线y2=4x上找一个点P使得P到点F(1,0)和直线l2的距离之和最小,最小值为F(1,0)到直线l2:4x-3y+6=0的距离,即d==2.
9.8圆锥曲线的综合应用
143 轨迹与轨迹方程
10.(2015江西红色六校一模,文10,轨迹与轨迹方程,选择题)在平面直角坐标系中,两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的“L-距离”定义为|P1P2|=|x1-x2|+|y1-y2|.则平面内与x轴上两个不同的定点F1,F2的“L-距离”之和等于定值(大于|F1F2|)的点的轨迹可以是( )
解析:设F1(-c,0),F2(c,0),
再设动点M(x,y),动点到定点F1,F2的“L-距离”之和等于m(m>2c>0),
由题意可得|x+c|+|y|+|x-c|+|y|=m,
即|x+c|+|x-c|+2|y|=m.
当x<-c,y≥0时,方程化为2x-2y+m=0;
当x<-c,y<0时,方程化为2x+2y+m=0;
当-c≤x<c,y≥0时,方程化为y=-c;
当-c≤x<c,y<0时,方程化为y=c-;
当x≥c,y≥0时,方程化为2x+2y-m=0;
当x≥c,y0,
设M(x1,y1),N(x2,y2),
则x1+x2=,x1x2=,
设MN的中点为Q,
则xQ=,yQ=k(xQ-1)=-,
由题意知k≠0,
又直线MN的垂直平分线的方程为y+=-,
令x=0,得yP=,
当k>0时,2k+≥2,∴0<yP≤.
当kyP≥-=-.
综上所述,点P纵坐标的取值范围是.
20.(2015山西四校联考三模,文20,轨迹与轨迹方程,解答题)已知点A(1,0),点P是圆C:(x+1)2+y2=8上的任意一点,线段PA的垂直平分线与直线CP交于点E.
(1)求点E的轨迹方程;
(2)若直线y=kx+m与点E的轨迹有两个不同的交点P和Q,且原点O总在以PQ为直径的圆的内部,求实数m的取值范围.
解:(1)由题意知|EP|=|EA|,|CE|+|EP|=2,
|CE|+|EA|=2>2=|CA|.
∴E的轨迹是以C,A为焦点的椭圆,其轨迹方程为+y2=1.
(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),
则将直线与椭圆的方程联立,得
消去y,得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-2=0,Δ>0,m2<2k2+1,
x1+x2=-,x1x2=,
∵O在以PQ为直径的圆的内部,
<0,即x1x2+y1y2<0.
而y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=,
由x1x2+y1y2=<0,
得m2<,m20,
m2-m-3=0有解.
假设成立,即在x轴上存在点C,使得|CA|2+|CB|2=|AB|2成立.
144 圆锥曲线中的范围、最值问题
1.(2015山西太原一模,文20,圆锥曲线中的范围、最值问题,解答题)已知椭圆=1(a>b>0)的左,右焦点分别是点F1,F2,其离心率e=,点P为椭圆上的一个动点,△PF1F2面积的最大值为4.
(1)求椭圆的方程;
(2)若A,B,C,D是椭圆上不重合的四个点,AC与BD相交于点F1,=0,求||+||的取值范围.
解:(1)由题意知,当P是椭圆的上下顶点时,△PF1F2的面积取最大值,
∴·2c·b=4,
由离心率为e=,得.
∴由解得a=4,c=2,b2=12.
椭圆的方程为=1.
(2)由(1)知F1(-2,0),=0,∴AC⊥BD.
(ⅰ)当直线AC,BD中一条直线斜率不存在时,||+||=8+6=14.
(ⅱ)当直线AC斜率为k,k≠0时,其方程为y=k(x+2),将该方程代入椭圆方程并整理,
得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-48=0.
若设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=,x1x2=.
直线BD的方程为y=-(x+2),
同理可得||=.
令k2+1=t,t>1,
设f(t)=(t>1),f'(t)=,
t∈(1,2)时,f'(t)>0,t(2,+∞)时,f'(t)0,0b>0)的离心率为,且过点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设与圆O:x2+y2=相切的直线l交椭圆于A,B两点,M为圆O上的动点,求△ABM面积的最大值及取得最大值时的直线l的方程.
解:(1)由题意可得
a2=3,b2=1,故椭圆C的方程为+y2=1.
(2)当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=±,(S△ABM)max=.
当直线l的斜率存在时,设直线为y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2),
由得(1+3k2)x2+6km+3m2-3=0.
x1+x2=,x1x2=.
圆O:x2+y2=与直线l相切,可得d=r,可得4m2=3(1+k2).
当且仅当k=±时取等号.
S△ABM=|AB|h=h(h为M到AB的距离),
hmax=2r=,∴(S△ABM)max=,此时直线方程为y=±x±1.
,∴(S△ABM)max=,此时直线l的方程为y=±x±1.
20.(2015江西九江一模,文20,圆锥曲线中的范围、最值问题,解答题)已知椭圆C的中心在坐标原点,右焦点为F(,0),A,B是椭圆C的左、右顶点,D是椭圆C上异于A,B的动点,且△ADB面积的最大值为12.
(1)求椭圆C的方程;
(2)求证:当点P(x0,y0)在椭圆C上运动时,直线l:x0x+y0y=2与圆O:x2+y2=1恒有两个交点,并求直线l被圆O所截得的弦长L的取值范围.
(1)解:设椭圆C的方程为=1(a>b>0),
△ADB面积的最大值为12,
×2ab=12,即ab=12.
由解得a=4,b=3,
椭圆C的方程为=1.
(2)证明:点P(x0,y0)在椭圆C上运动,
∴圆心O到直线l:x0x+y0y=2的距离
=0,解得b>-2.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
设圆心Q(x0,y0),则应有x0=,y0==-4.
以AB为直径的圆与x轴相切,得到圆半径为r=|y0|=4,
|AB|=2r,即=8,解得b=-.
x0==2b+8=,
故所求圆的方程为+(y+4)2=16.
(2)直线l与y轴负半轴相交,b-2,
直线l:y=-x+b,即x+2y-2b=0,点O到直线l的距离d=,
S△AOB=|AB|d=-4b=4.
令g(b)=b3+2b2,-2<bb>0)的上顶点为(0,2),且离心率为.
(1)求椭圆C的方程;
(2)证明:过圆x2+y2=r2上一点Q(x0,y0)的切线方程为x0x+y0y=r2;
(3)过椭圆C上一点P向圆x2+y2=1引两条切线,切点分别为A,B,当直线AB分别与x轴、y轴交于M,N两点时,求|MN|的最小值.
解:(1)由题意可得b=2,e=,
又c2=a2-b2,即有a=4,b=2,
则椭圆C方程为=1.
(2)证明:当切线的斜率k存在时,设切线方程为y-y0=k(x-x0),
又因为k=-,故切线方程为y-y0=-(x-x0),即有x0x+y0y=r2.
当k不存在时,切点坐标为(±r,0),对应切线方程为x=±r,符合x0x+y0y=r2,
综上,切线方程为x0x+y0y=r2.
(3)设点P坐标为(xP,yP),PA,PB是圆x2+y2=1的切线,切点A(x1,y1),B(x2,y2),过点A的圆的切线为x1x+y1y=1,过点B的圆的切线为x2x+y2y=1.
由两切线都过P点,x1xP+y1yP=1,x2xP+y2yP=1.
则切点弦AB的方程为xPx+yPy=1,
由题知xPyP≠0,
当且仅当时取等号,
则|MN|≥,|MN|的最小值为.
20.(2015江西鹰潭二模,文20,圆锥曲线中的范围、最值问题,解答题)如图,已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T:(x+2)2+y2=r2(r>0),设圆T与椭圆C交于点M与点N.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设点P是椭圆C上异于M,N的任意一点,且直线MP,NP分别与x轴交于点R,S,O为坐标原点,求|OR|+|OS|的最小值.
解:(1)依题意,得a=2,e=,
所以c=,b==1.
故椭圆C的方程为+y2=1.
(2)点M与点N关于x轴对称,
设M(x1,y1),N(x2,y2),P(x0,y0),
则直线MP的方程为y-y0=(x-x0),
令y=0,得xR=,同理xS=,
故xRxS=. (**)
又点M与点P在椭圆上,
故=4(1-),=4(1-),
代入(**)式,得
所以|OR|·|OS|=|xR|·|xS|=|xR·xS|=4,
|OR|+|OS|≥2=4,
当且仅当|OR|=|OS|=2,取得等号.
则|OR|+|OS|的最小值为4.
20.(2015贵州贵阳二模,文20,圆锥曲线中的范围、最值问题,解答题)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1和F2,上顶点为B,BF2延长线交椭圆于点A,△ABF1的周长为8,且=0.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线lAB且与椭圆C相交于两点P,Q,求|PQ|的最大值.
解:(1)由椭圆定义可得△ABF1的周长为4a,
即有4a=8,解得a=2,
由B(0,b),F1(-c,0),F2(c,0),=(-c,-b),=(c,-b),
且=0,则-c2+b2=0,所以b=c.
又b2+c2=a2=4,解得b=c=,
故椭圆C的方程为=1.
(2)由B(0,),F2(,0),可得直线AB的斜率为-1,由lAB,可得直线l的斜率为1,
设直线l的方程为y=x+t,代入椭圆C的方程,可得3x2+4tx+2t2-4=0,
由Δ>0,即16t2-12(2t2-4)>0,
解得-<t,|m|+,S0)的焦点为F,椭圆C2:=1(a>b>0)的离心率e=,C1与C2在第一象限的交点为P(2,1).
(1)求抛物线C1及椭圆C2的方程;
(2)已知直线l:y=kx+t(k≠0,t≠0)与椭圆C2交于不同两点A,B,点M满足=0,直线FM的斜率为k1,且k·k1=,求t的取值范围.
解:(1)将P(2,1)代入x2=2py,得p=2,
抛物线C1的方程为x2=4y,焦点F(0,1),把P(2,1)代入椭圆C2:=1,得=1,
又e=,a2=b2+c2,a=2,b=.
故椭圆C2的方程为=1.
(2)由直线l:y=kx+t与=1联立得,
(1+4k2)x2+8ktx+4(t2-2)=0,
由Δ>0,得2+8k2>t2,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,
由题意点M为线段AB的中点,设M(xM,yM),
∴k1=,∴kk1=,
即有4k2=2t-1,
由可得,2t-1>(t2-2),解得0<t)的右焦点为F1,直线l:x=与x轴交于点A,若+2=0(其中O为坐标原点).
(1)求椭圆M的方程;
(2)设P是椭圆M上的任意一点,EF为圆N:x2+(y-2)2=1的任意一条直径(E,F为直径的两个端点),求的最大值.
解:(1)由题设知,A,F1(,0),
所以椭圆M的方程为=1.
(2)方法1:设圆N:x2+(y-2)2=1的圆心为N,
从而求的最大值转化为求的最大值.
因为P是椭圆M上的任意一点,设P(x0,y0),
所以=1,即=6-3.
因为点N(0,2),
所以+(y0-2)2=-2(y0+1)2+12.
因为y0[-],所以当y0=-1时,取得最大值12,
所以的最大值为11.
方法2:设点E(x1,y1),F(x2,y2),P(x0,y0),
因为E,F的中点坐标为(0,2),所以
所以=(x1-x0)(x2-x0)+(y1-y0)(y2-y0)
=(x1-x0)(-x1-x0)+(y1-y0)(4-y1-y0)
=-4y0-(-4y1).
因为点E在圆N上,所以+(y1-2)2=1,
即-4y1=-3.
因为点P在椭圆M上,
所以=1,即=6-3.
所以=-2-4y0+9
=-2(y0+1)2+11.
因为y0[-],
所以当y0=-1时,()max=11.
方法3:若直线EF的斜率存在,
设EF的方程为y=kx+2,
由解得x=±.
因为P是椭圆M上的任一点,设点P(x0,y0),
所以=1,即=6-3.
所以+(2-y0)2-
=+(2-y0)2-1=-2(y0+1)2+11.
因为y0[-],所以当y0=-1时,取得最大值11.
若直线EF的斜率不存在,此时EF的方程为x=0,由解得y=1或y=3.
不妨设E(0,3),F(0,1).
因为P是椭圆M上的任一点,设点P(x0,y0),
所以=1,即=6-3.
所以=(-x0,3-y0),=(-x0,1-y0).
所以-4y0+3=-2(y0+1)2+11.
因为y0[-],所以当y0=-1时,取得最大值11.
综上可知,的最大值为11.
21.(2015江西上饶一模,文21,圆锥曲线中的范围、最值问题,解答题)已知点F1,F2的坐标分别是(-3,0),(3,0),动点M满足△MF1F2的周长为16.
(1)求动点M的轨迹C的方程;
(2)若线段PQ是轨迹C上过点F2的弦,求△PQF1的内切圆半径的最大值.
解:(1)由题意得|MF1|+|MF2|=10>|F1F2|,得M的轨迹是椭圆,
设动点M的轨迹C的方程为=1(a>b>0),
2a=10,c=3,∴b2=a2-c2=16.
即动点M的轨迹方程是=1.
(2)设过点F2的直线方程为x=my+3,与椭圆联立方程组消去x得(16m2+25)y2+96my-256=0,
设点P(x1,y1),Q(x2,y2),
则y1+y2=,y1y2=,
令t=m2+1,则|y1-y2|=160·
在t=1时,上式取到最小值,即m=0,此时PQx轴,且|PQ|=.
此时△PF1Q的面积达到最大值|F1F2|·|PQ|=,
由于△PQF1的周长是定值20,所以当面积取最大值时,内切圆半径有最大值.
21.(2015江西上饶重点中学二模,文21,圆锥曲线中的范围与最值问题,解答题)已知O为坐标原点,椭圆C:=1(a>b>0)的短轴长为2,F为其右焦点,P为椭圆上一点,且PF与x轴垂直,=3.
(1)求椭圆C的方程;
(2)直线l与椭圆C交于不同的两点A,B,若以AB为直径的圆恒过原点O,求|AB|弦长的最大值.
解:(1)由已知得2b=2,b=1,
又=||·||cosPOF=||2=c2=3,∴a2=4.
∴椭圆C的方程为+y2=1.
(2)当直线OA的斜率不存在或斜率为零时,易知|AB|=.
当直线OA的斜率存在且不为零时,由直线OA,OB互相垂直及由图象的对称性知,直线OA,OB与椭圆C有四个交点,从中任取两点作弦长AB所得的值相等.
设直线OA方程为y=kx(k≠0),
联立解得x2=.
=20,C,A两点在x轴上方.
(2)当|AF|·|BF|=p2时,求k;
设△AFC与△BFD的面积之和为S,求当k变化时S的最小值.
解:(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为y=k,由
得k2x2-p(k2+2)x+k2p2=0,
由韦达定理,得x1+x2=p,x1·x2=.
由抛物线定义得|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=·2p,
同理,用-换k,得|CD|=(k2+1)·2p,
(2)|AF|·|BF|=
=x1x2+(x1+x2)+
当|AF|·|BF|=p2时,·p2=p2,
又k>0,解得k=.
由同理知|CF|·|DF|=(k2+1)p2,
|AF|·|BF|=·p2,
由变形得|BF|=,|CF|=,
∴S=|AF|·|CF|+|BF|·|DF|
≥·p2≥·p2=2p2.
∴当k=1时,S有最小值2p2.
20.(2015江西宜春高安四校一模,文20,圆锥曲线中的范围、最值问题,解答题)已知方向向量为v=(1,)的直线l过点(0,-2)和椭圆C:=1(a>b>0)的右焦点,且椭圆的离心率为.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若过点P(-8,0)的直线与椭圆相交于不同两点A,B,F为椭圆C的左焦点,求△ABF面积的最大值.
解:(1)直线l的方向向量为v=(1,),
直线l的斜率为k=.
又直线l过点(0,-2),
直线l的方程为y=x-2.
a>b,∴椭圆的焦点为直线l与x轴的交点.
椭圆的右焦点为(2,0),c=2.
又,a=4,∴b2=12.
∴椭圆C的方程为=1.
(2)设AB方程为x=my-8,代入椭圆方程=1,
整理得(3m2+4)y2-48my+144=0,
Δ=(48m)2-4×144(3m2+4)>0,
y1+y2=,y1y2=,
则S△ABF=S△PBF-S△APF
=|PF|·|y2-y1|=×6
当且仅当3,即m2=(此时适合Δ>0的条件)取得等号.
则△ABF面积的最大值是3.
11.(2015山西朔州怀仁一中一模,文11,圆锥曲线中的范围、最值问题,选择题)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F的直线l与抛物线C相交于A,B两点,则|OA|2+|OB|2(O为坐标原点)的最小值为( )
A.4 B.8 C.10 D.12
解析:当直线l的斜率不存在,即直线l垂直于x轴时,方程为x=1,
则A(1,2),B(1,-2),|OA|2+|OB|2=5+5=10.
当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x-1),设A(x1,y1),B(x2,y2).
由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,
所以x1+x2=,x1x2=1,
|OA|2+|OB|2=+4x1++4x2,
(x1+x2)2-2x1x2+4(x1+x2)
设=t,则t>2,
|OA|2+|OB|2=t2+4t-2=(t+2)2-6(t>2),
所以|OA|2+|OB|2>10.
综上可知,|OA|2+|OB|2的最小值为10.
20.(2015山西朔州怀仁一中一模,文20,圆锥曲线中的范围、最值问题,解答题)已知离心率为的椭圆C:=1(a>b>0)经过点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)P是椭圆C上的一点,点A,A'分别为椭圆的左、右顶点,直线PA与y轴交于点M,直线PA'与y轴交于点N,求|OM|2+|ON|2(O为坐标原点)的最小值.
解:(1)由于椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,
则a=2c,b=c,
又由椭圆C:=1(a>b>0)经过点,则c2=1,故a=2,b=,
所以椭圆方程为=1.
(2)设P(m,n),由于P是椭圆C上的一点,
则=1,即4-m2=n2,
又由点A,A'分别为椭圆的左、右顶点,直线PA与y轴交于点M,直线PA'与y轴交于点N,则直线PA:y=(x+2),直线PA':y=(x-2),
令x=0,得M,N,
则|OM|2+|ON|2=,
将代入得|OM|2+|ON|2==-6+,
由于0≤m2b>0)过点,且该椭圆的离心率为,直线l1:y=x+m(m≠0)与椭圆交于A,B两点,直线l2:y=x-m与椭圆交于C,D两点.
(1)求椭圆M的方程;
(2)求四边形ABCD面积的最大值.
解:(1)依题意可得,
解得a2=4,b2=1.
椭圆M的方程为+y2=1.
(2)显然直线l1与直线l2关于原点对称,所以四边形ABCD为平行四边形.
|AB|=|CD|,?ABCD的面积为弦长|AB|与直线l1,l2距离的乘积.
设A(x1,y1),B(x2,y2),由
消去y得,5x2+8mx+4m2-4=0.
则Δ=16(5-m2)>0,0<m2b>0)的离心率为,过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD.当直线AB斜率为0时,|AB|+|CD|=3.
(1)求椭圆的方程;
(2)求由A,B,C,D四点构成的四边形的面积的取值范围.
解:(1)由题意知,e=,
则a=c,b=c,
|AB|+|CD|=2a+2=2c+c=3,
∴c=1,∴椭圆的方程为+y2=1.
(2)当两条弦中一条斜率为0时,另一条弦的斜率不存在,
由题意知S四边形=|AB|·|CD|=×2=2.
当两弦斜率均存在且不为0时,设A(x1,y1),B(x2,y2),
且设直线AB的方程为y=k(x-1),
则直线CD的方程为y=-(x-1).
将直线AB的方程代入椭圆方程中,并整理得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0,
|AB|=|x1-x2|
同理,|CD|=.
S四边形=|AB|·|CD|
2+1≥2+1=9,
当且仅当k=±1时取等号,S四边形.
综合与可知,S四边形.
20.(2015甘肃张掖一模,文20,圆锥曲线中的范围、最值问题,解答题)已知椭圆:=1(a>b>0),离心率为,焦点F1(0,-c),F2(0,c),过F1的直线交椭圆于M,N两点,且△F2MN的周长为4.
(1)求椭圆方程;
(2)直线l与y轴交于点P(0,m)(m≠0),与椭圆C交于相异两点A,B且=λ,若+λ=4,求m的取值范围.
解:(1)由题意,4a=4,,
a=1,c=,∴b=.
∴椭圆方程为y2+=1.
(2)设l与椭圆C交点为A(x1,y1),B(x2,y2),
由得(k2+2)x2+2kmx+(m2-1)=0,
Δ=(2km)2-4(k2+2)(m2-1)=4(k2-2m2+2)>0, (*)
x1+x2=-,x1x2=,
∵=λ+λ=4,∴λ=3.
∴-x1=3x2,∴x1+x2=-2x2,x1x2=-3.
∴3(x1+x2)2+4x1x2=0,
∴3+4·=0,
整理得4k2m2+2m2-k2-2=0,
当m2=时,上式不成立;
当m2≠时,k2=,
由(*)式得k2>2m2-2,
k≠0,∴k2=>0.
∴-1<m<-<m0).
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),M,N,
直线l的方程为x=ty+3,代入双曲线方程整理得(5t2-4)y2+30ty+25=0,
y1+y2=-,y1y2=.
∵A,C,M三点共线,.
∴FM⊥FN,即MFN=90°.
∴以MN为直径的圆恒过点F.
2.(2015广西桂林、防城港联合调研,文20,圆锥曲线中的定值、定点问题,解答题)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,直线l:y=3与C交于A,B两点,l与y轴交于点N,且AFB=120°.
(1)求抛物线C的方程;
(2)当0<p0)的焦点为F,准线方程为y=-,
设直线y=3与y轴交于点N,即N(0,3).
当0<p<6时,由抛物线的定义可得|FA|=3+,|FN|=3-,
由AFB=120°,则|FA|=2|FN|,
即有3+=2,解得p=2,
即有抛物线的方程为x2=4y.
当p≥6时,由抛物线的定义可得|FA|=3+,|FN|=-3,
由AFB=120°,则|FA|=2|FN|,
即有3+=2,解得p=18,
即有抛物线的方程为x2=36y.
综上可得,抛物线方程为x2=4y或x2=36y.
(2)当0<p<6时,抛物线方程为x2=4y,
设Q,y=x2的导数为y'=x,则有切线斜率为m,
切线方程为y-m2=m(x-m),
令y=0可得x=m;
令y=3可得x=m+.
以MN为直径作圆G,G,
设圆G的半径为r,r=|MN|=,
由DHHG,由勾股定理可得|DH|=.
则有当点Q在C上移动(Q与原点不重合)时,线段DH的长度为定值,且为.
3.(2015广西柳州一中一模,文20,圆锥曲线中的定值、定点问题,解答题)已知椭圆C的中心在坐标原点,右焦点为F(1,0),A,B是椭圆C的左、右顶点,D是椭圆C上异于A,B的动点,且△ADB面积的最大值为.
(1)求椭圆C的方程;
(2)是否存在一定点E(x0,0)(0<x0b>0).
△ADB面积的最大值为,
·2a·b=,即ab=.
联立解得a=,b=c=1.
椭圆C的方程为+y2=1.
(2)假设存在一定点E(x0,0)(0<x0b>0)的离心率是,其左、右顶点分别为A1,A2,B为短轴的一个端点,△A1BA2的面积为2.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)直线l:x=2与x轴交于点D,点P是椭圆C上异于A1,A2的动点,直线A1P,A2P分别交直线l于E,F两点,证明:|DE|·|DF|恒为定值.
(1)解:由已知,可得解得a=2,b=.
故所求椭圆方程为=1.
(2)证明:由题意可得:A1(-2,0),A2(2,0).
设P(x0,y0),由题意可得-2<x0b>0),离心率为,过椭圆E内一点P(1,1)的两条直线分别与椭圆交于点A,C和B,D,且满足=λ=λ,其中λ为正常数.
(1)当点C恰为椭圆的右顶点时,对应的λ=,求椭圆的方程.
(2)当λ变化时,kAB是否为定值?若是,请求出此定值;若不是,请说明理由.
解:(1)因为椭圆的离心率为,所以b2=a2,
因为C(a,0),λ=,
所以=λ,得A,
将它代入到椭圆方程中,
得=1,解得a=2.
所以b=,所以椭圆方程为=1.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),
同理=λ,可得
将A,B坐标代入椭圆方程得
两式相减得b2(x1+x2)(x1-x2)+a2(y1+y2)(y1-y2)=0,
即b2(x1+x2)+a2(y1+y2)kAB=0.
同理,b2(x3+x4)+a2(y3+y4)kCD=0,
而kAB=kCD,所以b2(x3+x4)+a2(y3+y4)kAB=0,
所以b2λ(x3+x4)+a2λ(y3+y4)kAB=0,
①+②得b2(x1+λx3+x2+λx4)+a2(y1+λy3+y2+λy4)kAB=0,
即kAB≠0,所以kAB=-为定值.
20.(2015江西六校联考二模,文20,圆锥曲线中的定值、定点问题,解答题)已知椭圆C:=1(a>b>0)过点(0,1),且离心率为.
(1)求椭圆C的方程;
(2)A,B为椭圆C的左右顶点,直线l:x=2与x轴交于点D,点P是椭圆C上异于A,B的动点,直线AP,BP分别交直线l于E,F两点.证明:当点P在椭圆C上运动时,|DE|·|DF|恒为定值.
(1)解:由题意可知,b=1,
又因为e=,且a2=b2+c2,
解得a=2,所以椭圆的方程为+y2=1.
(2)证明:由题意可得:A(-2,0),B(2,0).
设P(x0,y0),由题意可得-2<x0<2,
所以直线AP的方程为y=(x+2),
令x=2,则y=,
即|DE|=(2+2).
同理,直线BP的方程为y=(x-2),
令x=2,则y=,
即|DF|=(2-2).
所以|DE|·|DF|
=(2+2)·(2-2)
而=1,即4=4-,代入上式,
所以|DE|·|DF|=1,所以|DE|·|DF|为定值1.
20.(2015江西景德镇二模,文20,圆锥曲线中的定值、定点问题,解答题)已知椭圆C:=1(0<bb>0)离心率为,长轴长为4.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若直线l:y=kx+m与椭圆C交于A,B两点,S△AOB=,O为原点,kOA·kOB是否为定值,若为定值,求出该定值,若不是,说明理由.
解:(1)由已知,椭圆C:=1(a>b>0)离心率为,长轴长为4,
a=2,,a2-b2=c2.
∴椭圆C的方程为=1.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由直线l:y=kx+m与椭圆C联立可得(3+4k2)x2+8mkx+4m2-12=0,
Δ=64m2k2-4(3+4k2)(4m2-12)>0,化为3+4k2-m2>0.
x1+x2=-,x1x2=.
y1y2=(kx1+m)(kx2+m)
=k2x1x2+km(x1+x2)+m2
=k2·+m2=,
∴kOA·kOB=,
|AB|=|x1-x2|
原点到直线l的距离d=,
解得m2=+2k2,
则kOA·kOB==-.
故kOA·kOB为定值-.
5.(2015甘肃兰州一中模拟,文5,圆锥曲线中的定值、定点问题,选择题)过椭圆=1的右焦点F作两条相互垂直的直线分别交椭圆于A,B,C,D四点,则的值为( )
A. B. C.1 D.
解析:由椭圆=1,得椭圆的右焦点为F(1,0),
当直线AB的斜率不存在时,AB的方程为:x=1,则CD的方程为:y=0.
此时|AB|=3,|CD|=4,
当直线AB的斜率存在时,
设AB:y=k(x-1)(k≠0),则CD:y=-(x-1).
又设点A(x1,y1),B(x2,y2).
联立方程组
消去y并化简得(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0,
x1+x2=,x1x2=,
由题知,直线CD的斜率为-,
同理可得|CD|=,
20.(2015甘肃兰州一中模拟,文20,圆锥曲线中的定值、定点问题,解答题)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左右焦点F1,F2与椭圆短轴的一个端点构成边长为4的正三角形.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)过椭圆C上任意一点P作椭圆C的切线与直线F1P的垂线F1M相交于点M,求点M的轨迹方程;
(3)若切线MP与直线x=-2交于点N,求证:为定值.
解:(1)依题意,2c=a=4,c=2,b=2.
∴椭圆C的标准方程为=1.
(2)设P(x0,y0),由(1)知F1(-2,0),
设P(x0,y0),M(x,y),
椭圆C上过P的切线方程为=1,
直线F1P的斜率,
则直线MF1的斜率=-,
于是,直线MF1的方程为y=-(x+2),
即yy0=-(x0+2)(x+2),
①②联立,解得x=-8,
点M的轨迹方程为x=-8.
(3)依题意及(2),点M,N的坐标可表示为M(-8,yM),N(-2,yN),
点N在切线MP上,由式得yN=,
点M在直线MF1上,由式得yM=,|NF1|2=,
|MF1|2=[(-2)-(-8)]2+
注意到点P在椭圆C上,即=1,
于是=12-,代入式并整理,得,的值为定值.
20.(2015山西太原山大附中高三月考,文20,圆锥曲线中的定值、定点问题,解答题)已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,离心率等于,它的两个顶点恰好是双曲线=1的焦点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)点P(2,3),Q(2,-3),在椭圆上,A,B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点,
若直线AB的斜率为,求四边形APBQ面积的最大值;
当A,B运动时,满足于APQ=∠BPQ,试问直线AB的斜率是否为定值,请说明理由.
解:(1)由题意设椭圆C的方程为=1(a>b>0),
又可得双曲线=1的焦点为(0,±2),
b=2,又离心率e=,a2=b2+c2,联立解得a=4,
椭圆C的方程为=1.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为y=x+t,
代入=1消y并整理可得x2+tx+t2-12=0,
由Δ=t2-4(t2-12)>0可解得-4<tb>0)的其中一个顶点坐标为B(0,1),且点P在C1上.
(1)求椭圆C1的方程;
(2)若直线l:y=kx+m与椭圆C1交于M,N且kOM+kON=4k,求证:m2为定值.
解:(1)由题意,椭圆C1的顶点坐标为B(0,1),所以b=1.
把点P代入椭圆=1,
所以椭圆C1的方程为+y2=1.
(2)直线l的斜率显然存在,设直线l的方程为y=kx+m,
得消去y并整理得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0,(*)
设M(x1,y1),N(x2,y2),
由(*)式得x1+x2=-,x1·x2=.
代入并整理得kOM+kON=2k-=4k.
经验证满足Δ>0,m2=.
20.(2015山西太原外国语学校4月模拟,文20,圆锥曲线中的定值、定点问题,解答题)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,点P是直线y=x与抛物线C在第一象限的交点,且|PF|=5.
(1)求抛物线C的方程;
(2)设直线l:y=kx+m与抛物线C有唯一公共点M,且直线l与抛物线的准线交于点Q,试探究,在坐标平面内是否存在点N,使得以MQ为直径的圆恒过点N?若存在,求出点N的坐标,若不存在,说明理由.
解:(1)解法1:点P是直线y=x与抛物线C在第一象限的交点,
设点P(m,m)(m>0).
抛物线C的准线为y=-,
由|PF|=5结合抛物线的定义得m+=5.
又点P在抛物线C上,
m2=2pm(m>0)=>m=2p.
由联立解得p=2,
所求抛物线C的方程式为x2=4y.
解法2:点P是直线y=x与抛物线C在第一象限的交点,
设点P(m,m)(m>0),
抛物线C的焦点为F,
由|PF|=5得=5,
即m2+=25.
又点P在抛物线C上,
m2=2pm(m>0)=>m=2p.
由联立解得p=2,
所求抛物线C的方程式为x2=4y.
(2)解法1:由抛物线C关于y轴对称可知,若存在点N,使得以MQ为直径的圆恒过点N,
则点N必在y轴上,设N(0,n),
由直线l:y=kx+m与抛物线C有唯一公共点M知,直线l与抛物线C相切,
由y=x2得y'=x,
∴直线l的方程为y-(x-x0),
令y=-1得x=,
Q点的坐标为,
∵点N在以MQ为直径的圆上,
=(1-n)+n2+n-2=0.
要使方程(*)对x0恒成立,必须有解得n=1,
在坐标平面内存在点N,使得以MQ为直径的圆恒过点N,其坐标为(0,1).
解法2:设点M(x0,y0),由l:y=kx+m与抛物线C有唯一公共点M知,直线l与抛物线相切,
由y=x2得y'=x,
∴直线l的方程为y-y0=(x-x0),
令y=-1得x=,
Q点的坐标为,
以MQ为直径的圆方程为:
(y-y0)(y+1)+(x-x0)=0,
分别令x0=2和x0=-2,由点M在抛物线C上得y0=1,
将x0,y0的值分别代入,
得(y-1)(y+1)+(x-2)x=0,
(y-1)(y+1)+(x+2)x=0, ⑤
④⑤联立解得
在坐标平面内若存在点N,使得以MQ为直径的圆恒过点N,则点N必为(0,1)或(0,-1),将(0,1)的坐标代入式得,
左边=2(1-y0)+(-x0)
=2(1-y0)+2(y0-1)=0=右边,
将(0,-1)的坐标代入式得,
左边=(-x0)=2(y0-1)不恒等于0,
在坐标平面内存在点N,使得以MQ为直径的圆恒过点N,点N坐标为(0,1).
146 圆锥曲线中的存在、探索性问题
20.(2015广西防城港、桂林一模,文20,圆锥曲线中的存在、探索性问题,解答题)已知圆C1:(x+2)2+y2=,圆C2:(x-2)2+y2=,动圆Q与圆C1、圆C2均外切.
(1)求动圆圆心Q的轨迹方程;
(2)在x轴负半轴上是否存在定点M使得QC2M=2∠QMC2?若存在,求出M的坐标,若不存在,说明理由.
解:(1)设所求圆的圆心坐标Q(x,y),半径为r,
两定圆的圆心分别是C1,C2,半径分别为.
所求圆与两个圆都外切,
|QC1|=r+,|QC2|=r+,
即|QC1|-|QC2|=2,
根据双曲线定义可知C点的轨迹为以C1,C2为焦点的双曲线的右支,
由2c=4,c=2;2a=2,a=1,b=.
∴Q点的轨迹方程为x2-=1(x≥1).
(2)设M的坐标(t,0),Q(x0,y0)(x0≥1),
x0≠2时,QC2M=2∠QMC2,
∴tan∠QC2M=tan(2∠QMC2),
将=3-3代入整理可得(4+4t)x0=t2+4t+3,
x0=2时,QC2M=90°,t=-1时QMC2=45°,满足题意.
故满足条件的点M(-1,0)存在.
20.(2015山西太原五中二模,文20,圆锥曲线中的存在、探索性问题,解答题)给定椭圆C:=1(a>b>0).称圆心在原点O,半径为的圆是椭圆C的“准圆”.若椭圆C的一个焦点为F(,0),其短轴上的一个端点到点F的距离为.
(1)求椭圆C的方程和其“准圆”方程;
(2)点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点,过动点P作直线l1,l2,使得l1,l2与椭圆C都只有一个交点,试判断l1,l2是否垂直,并说明理由.
解:(1)由题意可得,c==a=,
则b2=a2-c2=1,
则椭圆C的方程为+y2=1.
其“准圆”方程为x2+y2=4.
(2)设P(±,±1),则过P的直线l1:x=±,
则l2的斜率k≠0,即它们不垂直.
设P(m,n)(m≠±),m2+n2=4,过P的直线为y-n=k(x-m),
联立椭圆方程,消去y,得到
(1+3k2)x2+6k(n-km)x+3(n-km)2-3=0,
由于直线与椭圆C都只有一个交点,则Δ=0,
即36k2(n-km)2-4(1+3k2)·3[(n-km)2-1]=0,
化简得,(3-m2)k2+2kmn+1-n2=0,
即l1,l2垂直.
综上,当P在直线x=±上时,l1,l2不垂直;
当P不在直线x=±上时,l1,l2垂直.
20.(2015黑龙江哈尔滨三中四模,文20,圆锥曲线中的存在、探索性问题,解答题)已知椭圆C:=1(a>b>0)的焦点分别为F1(-,0),F2(,0),点P在椭圆C上,满足|PF1|=7|PF2|,tanF1PF2=4.
(1)求椭圆C的方程;
(2)已知点A(1,0),试探究是否存在直线l:y=kx+m与椭圆C交于D,E两点,且使得|AD|=|AE|?若存在,求出k的取值范围;若不存在,请说明理由.
解:(1)tan∠F1PF2=4,∴cos∠F1PF2=.
设|PF1|=m,|PF2|=n,
|PF1|=7|PF2|,∴m=7n.
解得a=2,m=,n=.
b2=a2-c2=1,
故所求C的方程为+y2=1.
(2)假设存在直线l满足题设,设D(x1,y1),E(x2,y2),将y=kx+m代入+y2=1并整理得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,
由Δ=64k2m2-4(1+4k2)(4m2-4)=-16(m2-4k2-1)>0,得4k2+1>m2,
又x1+x2=-,设D,E中点为M(x0,y0),M,
kAMk=-1,得m=-,
将代入得4k2+1>,
化简得20k4+k2-1>0=>(4k2+1)(5k2-1)>0,
解得k>或k6.
∴C点的轨迹是以A,B为焦点的椭圆,2a=8,a=4,2c=6,
∴曲线T的方程为=1.
(2)当直线MN斜率不存在时,MN的方程为x=-3,
∴=||·||·cos π=7λ,
当直线MN斜率存在时,
设M(x1,y1),N(x2,y2),MN:y=k(x+3),则OQ:y=kx,
由得(7+16k2)x2+96k2x+144k2-112=0,
则x1+x2=,x1·x2=,
y1y2=k2[(x1+3)(x2+3)]
=k2[x1x2+3(x1+x2)+9]=.
=y1y2+[(x1+3)(x2+3)]
由得7x2+16k2x2=112,
=x2+y2=(1+k2)x2=,
由=λ可解得λ=-.
综上,存在常数λ=-,使=λ总成立.
20.(2015甘肃河西五地二模,文20,圆锥曲线中的存在、探索性问题,解答题)已知A,B是抛物线W:y=x2上的两个点,点A的坐标为(1,1),直线AB的斜率为k(k>0).设抛物线W的焦点在直线AB的下方.
(1)求k的取值范围;
(2)设C为W上一点,且ABAC,过B,C两点分别作W的切线,记两切线的交点为D.判断四边形ABDC是否为梯形,并说明理由.
解:抛物线y=x2的焦点为.
由题意,得直线AB的方程为y-1=k(x-1),
令x=0,得y=1-k,即直线AB与y轴相交于点(0,1-k).
抛物线W的焦点在直线AB的下方,
1-k>,解得k0,∴0<k<.
(2)结论:四边形ABDC不可能为梯形.
假设四边形ABDC为梯形.
由题意,设B(x1,),C(x2,),D(x3,y3),
联立方程消去y,得x2-kx+k-1=0,
由韦达定理,得1+x1=k,x1=k-1.
同理,得x2=--1.
对函数y=x2求导,得y'=2x,
抛物线y=x2在点B处的切线BD的斜率为2x1=2k-2,
抛物线y=x2在点C处的切线CD的斜率为2x2=--2.
由四边形ABDC为梯形,得ABCD或ACBD.
若ABCD,则k=--2,即k2+2k+2=0.
方程k2+2k+2=0无解,AB与CD不平行.
若ACBD,则-=2k-2,即2k2-2k+1=0,
方程2k2-2k+1=0无解,AC与BD不平行.
四边形ABDC不是梯形,与假设矛盾.
同理ADBC也不成立,
因此四边形ABDC不可能为梯形.
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