为什么结构力学截面法力法中对于桁架截断某个杆件以解除约束，最后计算还要
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§5-8. 荷载作用下超静定结构的位移计算 §5-10 超静定结构的特性
相对于静定结构， 一、超静定结构在失去多余约束后，仍可以维持几何不变性。 二、超静定结构的最大内力和位移小于静定结构。
三、超静定结构的反力和内力与杆件材料的弹性常数和截面尺寸有关。
？？ 四、温度改变、支座移动等因素会引起超静定结构的内力。
？？ 2.当虚力状态建立在原超静定结构对应的静定基本结构上时，单位弯矩图见图(e)。 也可以取f图作为静定基本系，建立虚力状态，结果相同。 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile . Copyright
Aspose Pty Ltd. 超静定结构位移计算不仅可以检验结构刚度是否满足要求，还可以进行位移校核。 B点的竖向位移 计算结果与原结构的位移条件相符，原弯矩图正确。 校核A点的转角？ Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile . Copyright
Aspose Pty Ltd. §5-9 对称性 (Symmetry) 的利用
对称结构 非对称结构 注意：结构的几何形状、支承情况以及杆件的刚度三者之一有任何一个不满足对称条件时，就不能称超静定结构是对称结构。 支承不对称 刚度不对称 几何对称 支承对称 刚度对称 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile . Copyright
Aspose Pty Ltd. 对称结构的求解： 力法典型方程为： （1）选取对称的基本结构 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile . Copyright
Aspose Pty Ltd. 典型方程简化为： 正对称部分 反对称部分 正对称与反对称荷载： Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile . Copyright
Aspose Pty Ltd. 如果作用于结构的荷载是对称的，如: 如果作用于结构的荷载是反对称的，如: Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile . Copyright
Aspose Pty Ltd. 结论：对称结构在正对称荷载作用下，其内力和位移都是正对称的；在反对称荷载作用下，其内力和位移都是反对称的。 例，求图示结构的弯矩图。EI=常数。 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile . Copyright
Aspose Pty Ltd. 解：根据以上分析，力法方程为： Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile . Copyright
Aspose Pty Ltd. 由于
，问题无法化简 例： Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile . Copyright
Aspose Pty Ltd. （2）未知力分组和荷载分组 力法典型方程成为： Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile . Copyright
Aspose Pty Ltd. 对称结构承受一般非对称荷载时，可将荷载分组，如： （3）取半结构计算： 对称轴 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile . Copyright
Aspose Pty Ltd. 问题：偶数跨对称刚架如何处理？ （d） （c） Evaluation only. Created with
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结构力学李廉锟版-力法
结构力学第七章 力法§7-1 §7-2 §7-3 超静定结构概述 超静定次数的确定 力法的基本概念§7-4 力法的典型方程 §7-5 力法的计算步骤和示例§7-6 对称性的利用 §7-7 超静定结构的位移计算退出 返回西南科技大学21:30 结构力学§7-8 最后内力图的校核§7-9温度变化时超静定结构的计算§7-10 支座位移时超静定结构的计算§7-11* 用弹性中心法计算无铰拱§7-12* 两铰拱及系杆拱§7-13 超静定结构的特性本章总结本章自测题西南科技大学退出返回21:30 §7-1 超静定结构概述结构力学一、超静定结构的静力特征和几何特征超静定结构：具有多余约束的结构。静力特征：反力和内力不能仅由平衡条件全部解出。几何特征：具有多余约束的几何不变体系。F A FxA FyA FyB F yc B CF FxA A C BFyADF yB外部一次超静定结构内部一次超静定结构西南科技大学退出返回21:30 §7-1 超静定结构概述思考：多余约束是多余的吗？结构力学从几何角度与结构的受力特性和使用要求两方面讨论。q A lAq 8 l2q B A C0.5l 0.5lBBAql2ql 32C2Bql26464超静定结构的优点为: 1. 内力分布均匀 2. 抵抗破坏的能力强退出 返回西南科技大学21:30 §7-1 超静定结构概述二、超静定结构的类型超静定梁结构力学超静定刚架超静定拱无铰拱两铰拱西南科技大学退出返回21:30 §7-1 超静定结构概述超静定桁架结构力学超静定组合结构西南科技大学退出返回21:30 §7-1 超静定结构概述三、超静定结构求解方法概述结构力学Methods of Analysis of Statically Indeterminate Structures遵循同时考虑“变形、本构、平衡”分析超静定问 题的思想，可有不同的出发点：1. 力法----以多余约束力作为基本未知量以力作为基本未知量，在自动满足平衡条件的基础 上进行分析，这时主要应解决变形协调问题，这种分 析方法称为力法（force method）。 基本未知量：当它确定后，其它力学量即可完全 确定。--关键量西南科技大学退出返回21:30 §7-1 超静定结构概述结构力学2. 位移法----以结点位移作为基本未知量以位移作为基本未知量，在自动满足变形协调条 件的基础上来分析，当然这时主要需解决平衡问题， 这种分析方法称为位移法（displacement method）。3. 混合法----以结点位移和多余约束力作为 基本未知量如果一个问题中既有力的未知量，也有位移的未 知量，力的部分考虑位移协调，位移的部分考虑力 的平衡，这样一种分析方案称为混合法（mixture method）。西南科技大学退出返回21:30 §7-1 超静定结构概述4. 力矩分配法----近似计算方法结构力学位移法的变体，便于手算，不用解方程。5. 结构矩阵分析法----有限元法.?矩阵力法 ? 适用于电算 ?矩阵位移法以上各种方法共同的基本思想:1. 找出未知问题不能求解的原因； 2. 将其化成会求解的问题； 3. 找出改造后的问题与原问题的差别； 4. 消除差别后，改造后的问题的解即为原问题的解。西南科技大学退出返回21:30 §7-2 超静定次数的确定 一、概念结构力学超静定次数：多余约束（联系）或基本未知力的个数。二、确定方法1）由计算自由度 W确定n ? ?W？n ? ?W ? ?(3m ? 2h ? r ) ? ?(3 ? 4 ? 2 ? 5 ? 3) ? 12）去约束法 将多余约束去掉，使原结构转化为静定结构。西南科技大学退出返回21:30 §7-2 超静定次数的确定结构力学解除多余约束的办法确定超静定结构的超静定次 数，应注意以下几点： （1）去掉一根链杆，等于拆掉一个约束。AABA曲梁，静定结构。AB两铰拱，一次超静定结构。BB一次超静定桁架静定桁架西南科技大学退出返回21:30 §7-2 超静定次数的确定结构力学去掉几个约束后成为静 定结构,则为几次超静定X1 X2 X3 X1 X2 X3X1X2X3去掉一个链杆或切断一个链杆相 当于去掉一个约束西南科技大学退出返回21:30 §7-2 超静定次数的确定结构力学（2）去掉一个铰支座或一个单铰，等于拆掉两个约束。（3）去掉一个固定支座或切断一个梁式杆，等于拆掉 三个约束。切断一个梁式杆，等于拆掉三个约束。西南科技大学退出返回21:30 §7-2 超静定次数的确定结构力学（4）在梁式杆上加上一个单铰，等于拆掉一个约束。三次超静定刚架静定悬臂刚架静定三铰刚架（5）去掉一个连接n个杆件的铰结点，等于拆掉2(n-1) 个约束。 （6）去掉一个连接n个杆件的刚结点，等于拆掉3(n-1) 个约束。西南科技大学退出返回21:30 §7-2 超静定次数的确定结构力学（7）只能拆掉原结构的多于约束，不能拆掉必要约束。 （8）只能在原结构中减少约束，不能增加新的约束。 注意：同一超静定结构可有不同的解除多余约束的方 式，但解除约束的个数是相同的, 解除约束后的体系 必须是几何不变的。A C D BACDF E五次超静定刚架E西南科技大学退出返回21:30 §7-2 超静定次数的确定A C D B结构力学A C D BF E EF以五个支座链杆为多余约束静定悬臂刚架其它形式的静定刚架：A A C CK D K DB BA AC CD DB BF F E E E EF F静定三铰刚架静定简支刚架退出 返回西南科技大学21:30 §7-2 超静定次数的确定3）框格法 一个封闭无铰框格结构力学n?3m个封闭无铰框格n ? 3 ? 5 ? 15西南科技大学退出返回21:30 §7-2 超静定次数的确定若有铰结构力学n ? 3m ? hh―单铰数，则n ? 3? 5 ? 9 ? 6注意：多少个封闭无铰框格？西南科技大学退出返回21:30 §7-2 超静定次数的确定 三、计算示例n?6拆除多余联系变成的 静定结构形式：结构力学西南科技大学退出返回21:30 §7-2 超静定次数的确定X2结构力学X1X7X5X3X4X8X9X6X 106 ? 3 ? 8 ? 10西南科技大学退出返回21:30 §7-3 力法的基本概念1. 力法基本思路q A B结构力学待解的未知问题原（一次超静定）结构1)、去掉多余约束代之以多余未知力，将原结构转化 一个在荷载和未知力共同作用下的静定结构(基本体 系)。 q 去掉余约束代之以多余未 A 知力，得到基本体系。 B基本体系X1关键：X1 ? ?力法基本未知量返回西南科技大学退出21:30 §7-3 力法的基本概念结构力学2)、沿多余未知力方向建立位移协调方程，解方 程就可以求出多余未知力X1 。位移协调条件：基本结构在原有荷载 q 和多余 力X1共同作用下，在去掉多余联系处的位移应与原 结构相应的位移相等。 原结构的B是刚性支座, 该点的竖向位移是零。 即原结构在的X1位移为：?1 ? 0变形条件在变形条件成立条件下,基本体系的内力和 位移与原结构等价.西南科技大学退出返回21:30 §7-3 力法的基本概念A B结构力学基本结构（悬臂梁）超静定结构计算基本结构静定结构计算对静定结构进行内力、位移计算，已经很掌握。Aq△ 11B△1PA BX1西南科技大学退出返回21:30 §7-3 力法的基本概念结构力学在荷载作用下B 点产生向下的位移为S1P, 未知力 的作用将使B点产生的向上的位移为S1X 。 要使体系的受力情况与原结构一样, 则必须B 的 位移也与原结构一样，要求： 位移协调条件Δ1=Δ1X+Δ1P=0 (a)Δ1P ――基本结构由荷载引起的竖向位移, Δ1X ――基本结构由知力引起的竖向位移。西南科技大学退出返回21:30 §7-3 力法的基本概念由叠加原理 Δ1X=δ11X1 δ11X1+Δ1P=0A B M1X1= 1结构力学(b) ――力法典型方程ql2互乘2lA MPB自 乘? ii ― 位移系数?iP― 广义荷载位移AyC M 1M 1 1 1 2 1 3 ?11 ? ? dx ? ? ( ? l ? l ? l) ? l EI EI EI 2 3 3EI西南科技大学退出返回21:30 §7-3 力法的基本概念结构力学AyC M 1M P 1 1 1 2 3 ql 4 Δ1P ? ? dx ? ? ? ( ? ql ? l ? l ) ? ? EI EI EI 3 2 4 8EI将δ11、Δ1P 入力法典型方程，解得:X1 ? ??11Δ1P3 ? ql 83)、将求出的多余未知力作用于基本结构，用叠加 法即可求出超静定结构的内力。ql 8 A2由：M ? X1 M 1 ? M PBM图西南科技大学退出返回21:30 §7-3 力法的基本概念2. 几个概念结构力学力法的基本未知数:超静定结构多余约束的未知 约束力, 即超静定次数。 力法的基本结构:把原超静定结构的多余约束去掉, 所得到的静定结构就称为原结构的基本结构。力法的基本体系:在基本结构上加上外荷载及多 余约束力，就得到了基本体系。力法的基本方程:根据原结构已知变形条件建立的力 法方程。对于线性变形体系，应用叠加原理将变形条件 写成显含多余未知力的展开式，称为力法的基本方程。西南科技大学退出返回21:30 §7-3 力法的基本概念结构力学选取基本体系的原则：基本体系必须是几何不变 的。通常取静定的基本体系。在特殊情况下也可以取超静定的基本体系。思考：力法的基本体系是否唯一？ 答：不唯一。解除不同的多余约束可得不同的基本体 系。西南科技大学退出返回21:30 §7-3 力法的基本概念 力法基本思路小结:结构力学根据结构组成分析，正确判断多余约束个数― ―超静定次数。解除多余约束，转化为静定的基本结构。多余约 束代以多余未知力――基本未知力。 分析基本结构在单位基本未知力和外界因素作用 下的位移，建立位移协调条件――力法典型方程。 从典型方程解得基本未知力，由叠加原理获得结 构内力。超静定结构分析通过转化为静定结构获得 了解决。西南科技大学退出返回21:30 §7-3 力法的基本概念结构力学将未知问题转化为 已知问题，通过消除已 知问题和原问题的差别， 使未知问题得以解决。 这是科学研究的 基本方法之一。西南科技大学退出返回21:30 §7-4 力法的典型方程 一、多次超静定的计算结构力学超静定刚架如图所示, 荷载是作用在刚性结点C上 的集中力矩M 。MBB CMB C X1 X2CEI= 常数lAl/2lAl/ 2Al/ 2原结构基本结构基本体系（1）力法基本未知量X1 与X2西南科技大学l退出 返回21:30 §7-4 力法的典型方程C' C B' B△ 21l结构力学B'△12△ 11C' CMX1B X2lC C'B△ 1PAl/ 2Al/2Al/ 2（2）位移协调条件：基本结构在原有荷载M 和赘余 力X1、X2共同作用下，在去掉赘余联系处的位移应与 原结构相应的位移相等。 基本体系在X1方向的位移为零，Δ1=0 （a） 基本体系在X2方向的位移为零, Δ2=0}西南科技大学退出返回21:30l△ 22B'△2P §7-4 力法的典型方程? Δ1 ? Δ11 ? Δ12 ? Δ1p ? 0 ? ? ? Δ2 ? Δ21 ? Δ22 ? Δ2 p ? 0 ?将 Δ11 ? ?11 X1 ， Δ21 ? ? 21 X 1 ，结构力学（b）Δ12 ? ?12 X 2Δ22 ? ? 22 X 2代入（b）式，得两次超静定的力法基本方程??11 X 1 ? ?12 X 2 ? Δ1p ? 0 ? ? ?? 21 X 1 ? ? 22 X 2 ? Δ2 p ? 0 ?（c）西南科技大学退出返回21:30 §7-4 力法的典型方程结构力学（3）计算系数与自由项。作出基本结构分别在单 位力 与荷载单独作用下的弯矩图。l/ 2 CX1=1BB CX2 =1MMB ClM1M2MPAl/ 2 l/ 2All l/ 2Al/2西南科技大学退出返回l21:30 §7-4 力法的典型方程结构力学? 21 ? ?12Δ1p ? ?M 12 1 1 l l 2 l l l 7l 3 ?11 ? ? dx ? [ ? ? ? ( ? ) ? l ? ? ] ? EI EI 2 2 2 3 2 2 2 24 EI M 22 1 1 2 l3 ? 22 ? ? dx ? ? ?l ?l ? ?l ? EI EI 2 3 3EI M 1M 2 1 l l l3 ?12 ? ? dx ? ? ?l ?l ? ? EI EI 2 2 4 EIM 1M P 1 l ml 2 dx ? ? ? m?l ? ? ? EI EI 2 2 EIM 2M P 1 l ml 2 Δ2 p ? ? dx ? ? ? m?l ? ? ? EI EI 2 2 EI西南科技大学退出返回21:30 §7-4 力法的典型方程结构力学（4）求出基本未知力。 将计算出来的系数与自由项代入典型方程 得 ? 7l 3 l3 Ml 2 X1 ? X2 ? ?0 ? ? 24 EI 4 EI 2 EI ? 3 l l3 Ml 2 ? X ? X ? ?0 ? 4 EI 1 3EI 2 2 EI ?3M 6M (?) (?) ， X 2 ? 解方程得 X 1 ? 5l 5l求得的X1、X2为正，表明与原假定的方向一致。西南科技大学退出返回21:30 §7-4 力法的典型方程结构力学(5) 作内力图。 先作弯矩图（ M ? M 1 X 1 ? M 2 X 2 ? M P ），把 弯矩图画在杆件的受拉纤维一侧。 再作剪力图，最后作 轴力图。l/ 2 CX1=1BB CX 2 =1MB C2M/ 5C3M/ 5BMlM1lM2lMPMAl/ 2 l/ 2Al l/ 2Al/2AMM/ 5l/2由刚结点C 的平衡可 知M 图正确。C2 M /53 M /5西南科技大学退出返回l21:30 §7-4 力法的典型方程结构力学作剪力图的原则是, 截取每一杆为隔离体，由平 衡条件便可求出剪力。2M M ? 5 5 ? ? 3M 杆AC: FSCA ? FSAC ? ? l 5l 杆CB:3M/52M/5FS CBFS BCFSCB ? FSBCCCFSCA C2 M/ 5BB3M/5?3 ? ? M? ? 5 ? ? ? 6M ?? 5l ?l? ? ? ?2?BC6 M / 5l3M/ 5llMFSAA FSACM/ 5AM /5 l/2l/ 2西南科技大学l退出返回21:30 §7-4 力法的典型方程结构力学作最后轴力图的原则是考虑结点平衡，由杆端的 剪力便可求出轴力。6 M/5 lC6 M / 5lBCC3 M/5 lB3M/ 5 lFN CB6M/5l3M/ 5llFSAFN CAFNAl/ 2l/ 2取刚结点C 为隔离体，由投影平衡条件解得 6M 3M FNCA ? （压） （拉）， FNCB ? ? 5l 5l西南科技大学l退出返回21:30 §7-4 力法的典型方程 二、力法典型方程n 次超静定定结构，力法典型方程为结构力学??11 X 1 ? ?12 X 2 ? ? ? ?1n X n ? Δ1p ? 0 ? ?? 21 X 1 ? ? 22 X 2 ? ? ? ?1n X n ? Δ2 p ? 0 （7-1a） ? ??? ?? ?? ?? ?? ?? X ? ? X ? ? ? ? X ? Δ ? 0 n2 2 nn n np ? n1 1柔度系数 ? ij―― 表示当单位未知力Xj=1作用下, 引起基本体系中Xi 的作用点沿Xi方向的位移。 思考：柔度系数由什么的特点？ 答：? ij ? ? ji， ? ii ? 0 。西南科技大学退出返回21:30 §7-4 力法的典型方程作用点沿Xi方向的位移。结构力学自由项? iP――荷载作用下引起基本体系中Xi 的由力法典型方程解出n 个基本未知数X1，X2，… ， Xn后就己将超静定问题转化成静定问题了。 通常先用叠加原理计算弯矩M ? M1 X 1 ? M 2 X 2 ? ? ? M i X n ? M p由弯矩图并应用平衡条件可求出剪力图和轴力图。西南科技大学退出返回21:30 §7-4 力法的典型方程 小结：结构力学1、力法的典型方程是体系的变形协调方程； 2、主系数恒大于零，副系数满足位移互等定理； 3、柔度系数是体系常数； 4、荷载作用时,内力分布与刚度大小无关，与 各杆刚度比值有关，荷载不变，调整各杆刚度 比可使内力重分布。西南科技大学退出返回21:30 §7-5 力法的计算步骤和示例例: 用力法计算图示刚架，并作M图。结构力学基本体系解：１) 确定力法基本未知量和基本体系 力法方程： ?11x1+ ?12x2+ ?1P=0 ?21x1+ ?22x2+ ?2P=0２) 作M1、M2、MP图西南科技大学退出返回21:30 §7-5 力法的计算步骤和示例结构力学M1基本体系MP西南科技大学退出返回21:30 §7-5 力法的计算步骤和示例３）计算系数、自由项 ?11=5l/12EI ?22=3l/4EI ?12=?21 =0 ?1P= FPl2/32EI ?2P = 0 ４）代入力法方程，求多余力x1、x2 （5l/12EI）x1 + FPl2/32EI =0 x1 = -3FPl/40 ( 3l/4EI )x2= 0 x2 = 0结构力学５）叠加作M图 MAC=x1M1+x2M2+MP= (-3FPl/40)/2= -3FPl/80 (右侧受拉）说明:力法计算刚架时，力法方程 中系数和自由项只考虑弯曲变形的 影响： ?ii = ∑∫l (Mi2 /EI)ds ?ij = ∑∫l (Mi Mj /EI)ds ?iP= ∑∫l (Mi MP /EI)ds西南科技大学退出返回21:30 §7-5 力法的计算步骤和示例 力法的解题步骤结构力学（1）确定结构的超静定次数，选取适当的约束 作为多余约束并加以解除，并代之以多余约束的约束 反力, 即基本未知数。即得基本体系。 （2）列力法方程式 ? ij x j ? ? ip ? 0 (i, j ? 1, 2, 3?, n) （3）计算系数与自由项。分别画出基本体系在 单位未知力和荷载作用下的弯矩图。等直杆用图乘 法计算。曲杆则列出弯矩方程用积分公式计算。 （4）将计算出来的系数与自由项代入典型方程。 解此方程，求出基本未知力。 （5）在基本体系上计算各杆端内力，并据此作 出基本体系的内力图, 也就是原结构的内力图。 （6）校核。西南科技大学退出返回21:30 §7-5 力法的计算步骤和示例例7-1 剪力图。结构力学用力法求解图示刚架内力，并作弯矩图和解:(1)确定超静定次数、选择基本体系。10 kN/mD C EEI= 常数10 kN/mDEI= 常数BCX1E3mA 3m 3mAB原结构基本体系（2）列出力法典型方程? 11 X 1 ? ?1p ? 0（a）西南科技大学退出返回21:30 §7-5 力法的计算步骤和示例M (3)计算系数及自由项。作 M 1 、 p 图D 1 1 CX 1=1结构力学22.5 E1 1E 110 kN/m22.5 D 11.5 C AAM1BB M P (kN m)由图乘得1 Δ1p ? EI ?2 ? ?1 ? 2 ? 3 ? 22.5 ? 3 ? 1? ? 2 ? ?? 11?? 1 ? 2 ? ? 3 ? 225 ? ? 2 ? ? 3 ? 11.25? ? 1 ?? 2 3 ? ?? ? 45 45 90 ? ? ? EI EI EI 1 ?? 1 2 ? 8 ? ? ? 3 ? 1 ? ? 1? ? 2 ? 6 ? 1 ? 1? ? ? EI ?? 2 3 ? EI ? ? 1 EI退出 返回西南科技大学21:30 §7-5 力法的计算步骤和示例结构力学(4)解方程求未知力。 1 将 ? 11 与 Δ1P 代入式（a），消去公因子 ，得 EI 解此方程得8 X 1 ? 90 ? 090 X1 ? ? ? ?11.25kN （ ） （下侧受拉） 8 (5)求作弯矩图。M ? M1 X1 ? M p90 M DA ? M 1 X 1 ? M P ? 1? (? ) ? 22.5 ? 11.25 (kN ? m) （左侧受拉） 8 ? 90 ? （右侧受拉） M EB ? 1? ? ? ? ? 22.5 ? 11.25 (kN ? m) ? 8?西南科技大学退出返回21:30 §7-5 力法的计算步骤和示例11.25 C D结构力学11.25 E 14.1 M (kN m) 3m 3m3mAB(6)作剪力图。利用BE 杆力偶系平衡条件得 11.25 FSEB ? FSBE ? ? 3.75 (kN) 3 FSDA ? FSAD ? ?3.75 (kN) 同理 11.25 ? 2 FSEC ? ? ? ?7.5 (kN) 3 由 FSEC ? ?7.5 kN ,得支座B 的竖向反力为7.5 kN（? ）。西南科技大学退出返回21:30 §7-5 力法的计算步骤和示例结构力学支座A 的竖向反力为22.5kN（?），杆DC 的D 端剪力应等于 FSDC ? 22.5 kN(7) 作轴力图。 根据最后剪力图可作出最后轴力图。22.5 D 7.5 3.75 A E 3.75A 22.5 D 3.75 E 7.5Fs (kN)BFN (kN)B西南科技大学退出返回21:30 §7-5 力法的计算步骤和示例例7-2 用力法计算图示刚架，作弯矩图。结构力学解:(1)确定超静定次数并选定基本结构。X1 X 2 C X1 E60 kND CE60 kNX2 D4m A 3mEI= 常数B 1m 1m 3mEI= 常数A B原结构基本体系西南科技大学退出返回21:30 §7-5 力法的计算步骤和示例(2) 列出力法典型方程。结构力学??11 X 1 ? ?12 X 2 ? Δ1P ? 0 ? ?? 21 X 1 ? ? 22 X 2 ? Δ2 P ? 0(3) 计算系数及自由项。 作 M P、 M 1 、M 2 图240 A60 kN（a）D C EM p (kN m)BX2 =1 D C E1DCE1X1 =14AM1B4A4M2B4西南科技大学退出返回21:30 §7-5 力法的计算步骤和示例b aA l(a)结构力学两个梯形相乘,可将梯形划分为两个三角形相乘.令图a与图b中的c d C相图乘，得BA1 y1c ?c dC l(b)D再令图a与图b中的C d D相图乘，得A1 y2 c ?A1 yC ? ?1 2 1 1 ?l ? a ? ?c ? ?l ?b ? ?c 2 3 2 3 l l ? ? 2ac ? ? bc 6 6 l ? (2ac ? bc) 61 1 1 2 l l ? a ? d ? l ? b ? d ? (ad ? 2bd ) 2 3 2 3 6将结果相加，得最终图乘结果：l l (2ac ? bc) ? (ad ? 2bd ) 6 6 l ?c(2a ? b) ? d (a ? 2b)? 6退出 返回西南科技大学21:30 §7-5 力法的计算步骤和示例计算?ij? 11结构力学1 5 1 2 ? ? ? ?(2 ? 4 ? 1) ? 4 ? (4 ? 2 ? 1) ? 1?? 2 ? ( ? 1? 1? ?1) ? 2 EI 6 2 3 E 1D 212 ? C 1 3EI =1 X14? 221 1 2 ? ? ? 5? 4? ? 4? 2 EI 2 3 160 ? 3EIAM1X2 =1 D C EB44A4M2B由图的 M 1 与 M 2 的对称性,有? 21 ? ? 12 ? 0西南科技大学退出返回21:30 §7-5 力法的计算步骤和示例1DC E结构力学X2 =1 D C E1X 1 =14AM1B4A4M2B460 kND CEM p (kN m)240ABΔ2 P ?1 1 2 4800 ? ? 5 ? 240 ? ? 4 ＝ EI 2 3 3EI1 5 5400 Δ1P ? ? ? 240 ? (2 ? 4 ? 1) ＝ EI 6 3EI西南科技大学退出返回21:30 §7-5 力法的计算步骤和示例(4) 解方程求未知力。结构力学1 Δ 将 ? 11 ? 22 Δ1p、 2p 代入式(a)并消去公因子 、 、 得 3EI?212 X 1 ? 5400 ? 0 ? ?160 X 2 ? 4800 ? 0解得? X 1 ? ?25.5kN ? ? X 2 ? ?30.0kNX 1 、 2 即为原刚架上铰C两侧截面上的剪力和轴力。 X西南科技大学退出返回21:30 §7-5 力法的计算步骤和示例(5)计算杆端弯矩，作出的最后弯矩图。结构力学M AD ? M1 X 1 ? M 2 X 2 ? M P ? 4 ? (?25.5) ? 4 ? (?30.0) ? 240 （外侧受拉） ? 18.0 (kN ? m) M DA ? 1? (?25.5) ? ?25.5 (kN ? m) （内侧受拉）M EB ? (?1) ? (?25.5) ? 25.5 (kN ? m)最后弯矩图25.5 25.5 25.5 25.5 18.0 M (kN m)（内侧受拉）B18.0A弯矩图具有反对称 性质，这是由荷载与结 构的对称性决定的。返回西南科技大学退出21:30 §7-5 力法的计算步骤和示例结构力学例7-3 用力法计算图（a）所示排架，作弯矩图。已 EI 知 EI 3 ? 1.6EI ， 2 ? 3.12 EI ， 1 ? 0.68 EI 。忽略排架顶 EI 部拉杆的轴向变形, 将拉杆视为刚性杆。F G H 15 kNX1 F X2 G15 kN3.2 mDEEI1 EI 18mEI3 A BEI 2 EI2 CA B C解: (1) 确定超静定次数并选定基本体系。 (2) 列出力法方程。 ??11 X 1 ? ?12 X 2 ? Δ1p ? 0 ?(a)基本体系? ?? 21 X 1 ? ? 22 X 2 ? Δ2 p ? 0 ?退出 返回西南科技大学21:30 §7-5 力法的计算步骤和示例F D X 1 =1 E结构力学F G D EX2=1G HFEI1 EI1 HG15 kNHEI38 A B 8 CA 11.2EI 2 EI2 B C11.2ABC120 kN m●M 1 (kN ? m)M 2 (kN(e) ? m)M P (kN ? m)(3) 计算系数及自由项。 作MP、M1、M2图。注意δ11与δ22都包括两部分，令M1 图左边柱、中间柱的计算结果分别为 、 ? ? ? ??1111由M1图得83 ， ? ? 11 ? 3EI 383 ?? ? 11 ? 3EI 283 83 83 83 161.4 ? ?? ?11 ? ?11 ? ?11 ? ? ? ? ? 3EI 3 3EI 2 3 ?1.6 EI 3 ? 3.12 EI EI西南科技大学退出返回21:30 §7-5 力法的计算步骤和示例F D X 1 =1 E G结构力学GX2=1 F EI1 EI1 HHEI38 A B 8 CA 11.2EI 2 EI2 B C11.2? 22 ? [1 1 2 1 (e) 2 ( ?11.2 ?11.2 ? ?11.2 ? ? 3.2 ? 3.2 ? ? 3.2) EI 2 2 3 2 3 1 1 2 ( ? 3.2 ? 3.2 ? ? 3.2)] ? 2 EI1 2 3? ?[? 121 1 162.6 325.3 (11.23 ? 3.23 ) ? 3.23 ] ? 2 ? ?2 ? 3EI 2 3EI1 EI EI 1 1 2 1 ?? ? ? 8 ? 8 ? ( ? 11.2 ? ? 3.2) EI 2 2 3 3?? 273.1 87.53 ?? EI 2 EI返回西南科技大学退出21:30 §7-5 力法的计算步骤和示例F D X 1 =1 E G H结构力学F G D EX2=1 F EI1 EI1 H G15 kNHEI38 A B 8 CA 11.2EI 2 EI2 B C11.2ABC120 kN m●(e) 计算自由项 Δ1p ? 0 1 1 1 ?2 ? Δ2 p ? ? ? ? 8 ? 120 ? ? ? 11.2 ? ? 3.2 ? EI 2 2 3 ?3 ?
?? ?? 3.12 EI EI (4) 解方程求未知力。将计算出来的系数与自由项代入力法方程式，消去公 因子后得西南科技大学退出返回21:30 §7-5 力法的计算步骤和示例?161.4 X 1 ? 87.53 X 2 ? 0 ? 0 ? ?? 87.53 X 1 ? 325.4 X 2 ? 1313 ? 0F D E结构力学G H 12.9解得 X1 ? 2.188 kN ， X 2 ? 4.035 kN 表明轴力杆DE、FG均受拉。17.5 A 22.7 B C 74.8M图(kN . m) M (kN m) (5)将 X 1、X 及荷载加在基本结构上，利用平衡条件 2 计算弯矩 （左侧受拉） M AD ? 8 ? 2.188 ? 17.5 (kN ? m)M EF ? 3.2 ? 4.035 ? 12.9 (kN ? m)作出弯矩图如图所示。（左侧受拉）M BF ? ?8 ? 2.188 ? 11.2 ? 4.035 ? 27.7 (kN ? m) （左侧受拉）西南科技大学退出返回21:30 §7-5 力法的计算步骤和示例X1结构力学例7-4 用力法计算图示桁架，作轴力图。各杆EA相同。F C l A l B DF CDAB基本体系 解: (1) 确定超静定次数及选定基本体系。 (2) 列出力法方程为:?11 X 1 ? Δ1p ? 0(3) 计算系数及自由项。 计算FN1和FNP。西南科技大学退出返回21:30 §7-5 力法的计算步骤和示例F C0结构力学-0.442 F C D0X1 =1D 0CD0.558FFA-112FF NP5 .62 0AF-0.78 9FBBAFN1B1 Fl Δ1p ? ? F ? 1? l ? ? 2 F ? (? 2 ) ? 2l ? 1? 2 2 EA EA 2 FN 1 l 1 2 ?1 ? l ? 3 ? ? 2 2 ? 2l ? 2? ? l 3 ? 4 2 ? 11 ? ? ? ? EA ? ? EA EA ??????FN?????(4) 解方程求未知力l 将 ? 11 、 1p 代入式a，消去公因子 后得 Δ EA 3 ? 4 2 X1 ? 1 ? 2 2 F ? 0????1? 2 2 X1 ? ? F ? ?0.442 F 负号表明杆CD 受压。 3? 4 2西南科技大学退出返回21:30-0.442 F22 §7-5 力法的计算步骤和示例(5)计算轴力时应用公式：结构力学FN ? ? F Ni X i ? FNFNAC ? F NAC X1 ? F ? 1? ?? 0.4422F ? ? F ? 0.558F （拉）FNBD ? F NCD ? X 1 ? ?0.442FFNAD ? F NAD X 1＋0（压） （拉）FNBC? ? ? ?? 2 ?? ?? 0.442F ? ?退出? ? 2 ? ?? 0.442 F ? ? 0.625F2F ? ?0.789F（压）西南科技大学返回21:30 §7-5 力法的计算步骤和示例注意：结构力学1. 排架在单层工业厂房中有广泛的应用。排架 顶部的轴力杆由厂房屋架简化而来。并且忽略屋架 整体沿跨度方向的变形。在受力分析中，通常将屋 架与柱顶的联结处当作铰结点处理，这样的排架称 铰接排架。 2. 超静定结构在荷载作用下，结构的内力与杆 件截面刚度EI 的绝对值无关, 只与各杆截面刚度的 相对值有关。西南科技大学退出返回21:30 §7-5 力法的计算步骤和示例EI ? 1.99 ?104 kN ? m 2 EA1 ? 2.48 ?106 kN ，结构力学例7-5 用力法计算图a所示组合结构。已知梁式杆压杆DC、EF的， EA2 ? 4.95 ?105 kNq=15 kN/mA C D B F EA，q=15 kN/mB C X =1 F 1 D E拉杆AD、DE、BE的 EA3 ? 2.4 ?105 kN。2m 2m2m4m2m2m4m2m解: (1) (a) 一次超静定。 (2) 列出力法方程 ?11 X 1 ? Δ1p ? 0基本体系西南科技大学退出返回21:30 §7-5 力法的计算步骤和示例q=15 kN/mA C F 90 120 D E B A√ 2结构力学2 C -1 -1 2 F 2 -1 √ D X1 =1 E B2m 2m2m 2m4m2m4m2mM P (KN?m) F NP =0M 1 F N1FN1FNP Ayc ?? 利用位移的公式： Δ ? ? EA EIΔ1p ? ?M F (3) 作F N1、M 1 、 p 、 NP 图。1 1 2 2 1 {[( ? 2 ? 90 ? ? 2) ? ? 2 ? 7.5 ? ? 2] ? 2 EI 2 3 3 2 2 ? [4 ? 90 ? ? 4 ? 30] ? 2} 3 1 1140 ?? {260 ? 880} ? ? ? ?5.73 ? 10 ? 2 (m) EI 1.99 ? 10 4退出 返回西南科技大学21:30 §7-5 力法的计算步骤和示例q=15 kN/mC F 90 120 D E B A√ 2结构力学2 F 2 -1 √ D X1 =1 E C -1-12B2m 2m2m4m2m4m2mM P (KN?m) M 1 F N1 F NP F N1 自相图乘的结果为 =0 2 F N1 8 4 4?8 2 (1 ?11) ? ? l? ? ? ? 3.23 ? 10 ? 6 EA EA1 EA2 EA3M 1自相图乘的结果为 1 1 2 ( 2) ?11 ? [ ? 2 ? 2 ? ? 2 ? 2 ? 4 ? 2 ? 2] EI 2 3 64 ? ? 1.144 ? 10 ? 3 3EI西南科技大学退出返回21:30 §7-5 力法的计算步骤和示例(1 ( ?11 ? ?11) ? ?112)结构力学? 3.23 ? 10? 6 ? 1.144 ? 10?3 ? 1.15 ? 10?3梁的轴向变形对δ11的影响为8 EA1?113.23 ?10 ?6 ? ? 2.81?10 ?3 1.15 ?10 ?3占δ11的0.28%，故计算δ11时可以略去。西南科技大学退出返回21:30 §7-5 力法的计算步骤和示例(4) 解方程求未知力。 算得结构力学X 1 ? 49.8kN（拉）(5) 作内力图。M CA ? M 1 X 1 ? M p ? (?2) ? 49.8 ? 90 ? ?9.6(kN ? m)9.6（上侧受拉）BA2mC -49.8 F20 -49.84m9.670 -49.8 .4-49.8D2mE70.42mFN (kN)M (kN m)西南科技大学退出返回21:30 §7-5 力法的计算步骤和示例结构力学讨论：由于撑杆DC 、 EF的存在，使梁上C 、 F 截面出现了负弯矩，整根梁的弯矩分布比简支梁均 匀。本例中拉杆与压杆的变形之比为4 ? 8 2 EA2 4 ? 8 2 EA2 15.3 4.95 ? 10 5 ? ? ? ? ? ? 7.89 5 EA3 4 4 EA3 4 2.4 ? 10增减此比值，将使梁中弯矩产生变化。如减小拉 杆截面, 其轴力下降，导致梁上C、F截面上负弯矩值 减小；当EA3→0时，组合结构趋近简支梁。西南科技大学退出返回21:30 §7-5 力法的计算步骤和示例X2 X3结构力学X2 X1 Mp例7-6 试列出用力法求解图示刚架的力法方程。C F EI 1 EI 2 A lCD EI 1EI 2 B lD FCX3C DMpX1aEIEI 2 2 BAlAl /2 l/2BAB基本体系解: (1)原结构是三次超静定。 力法基本方程为： ??11 X 1 ? ?12 X 2 ? ?13 X 3 ? Δ1p ? 0 ? ?? 21 X 1 ? ? 22 X 2 ? ? 23 X 3 ? Δ2 p ? 0 ? ?? 31 X 1 ? ? 32 X 2 ? ? 33 X 3 ? Δ3p ? 0西南科技大学退出返回21:30 §7-5 力法的计算步骤和示例1 1 C X1 =1M1结构力学C/2 X 3 X 3 =1 l CM3 A A l /21 D 1CX2 X 2 =1=1D CM M22D l /2 BD1AB1llAABBll l l /2/2(2) 计算系数和自由项。(d) (e) (e)FaC FD(f) MpA B作MP、 1、M 2 、 3 图。 M M1 1 l 2l ?11 ? ? l ?1 ?1 ? ? l ?1 ?1 ? 2 ? ? EI1 EI 2 EI1 EI 2? 22? 331 1 2 2l 3 ? ? ?l ?l ? ?l ? 2 ? EI 2 2 3 3EI 21 1 l l 2 l 1 l l l3 l3 ? ? ? ? ? ? ?2? ?l ? ? ? 2 ? ? EI 1 2 2 2 3 2 EI 2 2 2 12 EI 1 2 EI 2退出 返回西南科技大学21:30 §7-5 力法的计算步骤和示例1 1 l2 ? 21 ? ?12 ? ? ? l ? l ? 1? 2 ? EI 2 2 EI 2结构力学由于结构对称，M 1 、 2 对称，而 M 3 反对称，有 M? ? 13 ? 0，? 31 ? 0 ，32 ? ? 23 ? 0方程式简化为??11 X 1 ? ?12 X 2 ? Δ1p ? 0 ? ?? 21 X 1 ? ? 22 X 2 ? Δ2 p ? 0 ? ? 33 X 3 ? Δ3p ? 0 ?可见：对称结构，当所选取的基本结构也对称时, 多余未知力分成对称与反对称的两组,使得副系数δ32 = δ23 =0, δ31 = δ13 =0,方程a化为相互无关的两组。西南科技大学退出返回21:30 §7-5 力法的计算步骤和示例结构力学如果荷载对称,则MP图也对称,因而Δ3P=0。如果荷载反对称,则MP图也反对 称,Δ1P=0,Δ2P=0。这样,就可以使计算进一步简化。C FCDDF PPC FMpD F aFaMP AB B A Pa Fa PaFaAFaB(g)(g)(h)西南科技大学退出返回21:30 §7-5 力法的计算步骤和示例结构力学例7-7 试用力法计算图示单跨梁。梁的B支座 为弹簧支承，弹簧的刚度系数为k (当B点产生单位位 移弹簧所产生的反力)。 q qqq AAEI基本体系 (a) 2 ql /2 解：一次超静定结构，力法基本方程为 X =11EIBBAAB X1BX1 X1 ΔM1 式中负号表示未知力 X1 与位移的方向相反, 未 X 1 =1 知力X1 与位移Δ 的关系满足A X1=kΔ B A B 1 l M p得 Δ ? X 1 因而, M1 kql /2A 2MpB ?11 X 1 ? Δ1p ? ? Δ l AB(c)(d)退出 返回西南科技大学21:30 §7-5 力法的计算步骤和示例得到力法方程： 1 (δ11 ? ) X 1 ? Δ1p ? 0 k 由图乘得到 l3 ql 4 ?11 ? ， Δ1p ? ? 3EI 8 EIl3 1 l3 所以有 ( 3EI ? k ) X 1 ? 8EI ? 0 3EI 令 k ? ? 3 ，代入式上式可解得 l2AB 结构力学 EI(a)ql / 2 AMpBA lql 2M1B X 1 =1k 3ql 2 2 k'+k 8k 3ql X1 ? ? k? ? k 8B Aql 2作M 图 M ? M P ? X 1MM返回8西南科技大学退出21:30 §7-5 力法的计算步骤和示例ql 2 k 3ql 2 2 k'+k 8结构力学B AMql 28k'是悬臂梁(基本结构)B点的刚度, 表示使悬臂 梁B点产生一单位位移时所需的力。 讨论：1. 当k&&k'，即弹簧非常刚硬。这时X1过渡到 3ql/8，即B端过渡到刚性链杆支座的情况。 2. 当k→0（或k&&k' ) 时，即弹簧非常柔软, 则原结构便趋近为悬臂梁。在一般情形下，弹簧 支座的反力X1比链杆支座的反力3ql/8 要小。西南科技大学退出返回21:30 §7-6 对称性的利用一、对称性的概念结构力学对称结构:几何形状、支承情况、刚度分布对称的结构.几何对称 支承对称 刚度对称支承不对称刚度不对称对称结构非对称结构西南科技大学退出返回21:30 §7-6 对称性的利用结构力学对称荷载:作用在对称结构对称轴两侧,大小相等,方向 和作用点对称的荷载P P对称荷载 反对称荷载:作用在对称结构对称轴两侧,大小相等,作 用点对称,方向反对称的荷载P P反对称荷载西南科技大学退出返回21:30 §7-6 对称性的利用P M结构力学llllMPEI=CEI=Cllll上面这些荷载是 对称,反对称荷载,还是 一般性荷载?西南科技大学退出返回21:30 §7-6 对称性的利用结构力学二、选取对称基本结构，对称基本未知量和 X 反对称基本未知量3?? 11 X 1 ? ? 12 X 2 ? ? 13 X 3 ? ?1 P ? 0 ? ?? 21 X 1 ? ? 22 X 2 ? ? 23 X 3 ? ?2 P ? 0 ?? X ? ? X ? ? X ? ? ? 0 ? 31 1 32 2 33 3 3PPE IE IX1E IPX2?13 ? ? 31 ? ? 23 ? ? 32 ? 0?? 11 X 1 ? ? 12 X 2 ? ?1 P ? 0 ? ?? 21 X 1 ? ? 22 X 2 ? ?2 P ? 0 ?? X ? ? ? 0 ? 33 3 3PX1 ? 1X2 ?1M1M2典型方程分为两组: 一组只含对称未知量 另一组只含反对称未知量X3 ? 1PM3MPP P西南科技大学退出返回21:30 §7-6 对称性的利用对称荷载：EI结构力学X3X1对称荷载，反对 称未知量为零PEIX1 ? 1EIPPX2PX2 ?1X3 ? 1M3M1M2X3=0M ? M1 X1 ? M 2 X 2 ? M PPMPP对称结构在正对称荷载作用下， 其弯矩图和轴力图是正对称的， 剪力图反对称；变形与位移对称。退出 返回西南科技大学21:30 §7-6 对称性的利用反正对称荷载:EI结构力学X3X1反对称荷载，对 称未知量为零PEIX1 ? 1EIPPX2PX2 ?1X3 ? 1M3M1M2X1=X2 =0 PMPM ? M3 X 3 ? M PP对称结构在反正对称荷载作用下， 其弯矩图和轴力图是反正对称的, 剪力图对称；变形与位移反对称.退出 返回西南科技大学21:30 §7-6 对称性的利用例1.作图示梁弯矩图解: X3=0EI X2=0结构力学P l/2P/2l/2P/2 X3X1X2?11 X1 ? ?1P ? 0l ? 11 ? EIX1 ? ? Pl 8?1PPl 3 ? 8 EI1M1X1 ? 1M ? M1 X1 ? M PPPl/4P/2P/2Pl/4MPPl/8Pl/8M西南科技大学退出返回21:30 §7-6 对称性的利用例2:求图示结构的弯矩图。EI=常数。结构力学由一个四次超静定结构考虑对称性 变成一次超静定。西南科技大学退出返回21:30 §7-6 对称性的利用解：根据以上分析，力法方程为：结构力学? 11 X1＋? 1P＝0?? 11＝144 EI ? ? ? ＝1800 EI ? 1P ? X 1＝－12.5 ? ? M＝M 1 X 1＋M P西南科技大学退出返回21:30 §7-6 对称性的利用例：FP FP结构力学由于 ? ? 012，问题无法化简返回西南科技大学退出21:30 §7-6 对称性的利用三、未知力分组和荷载分组FP结构力学X1 ? Y1 ? Y2,X 2 ? Y1 ? Y2,? 12 ? 0力法典型方程成为：?? 11Y1 ? ?1P ? 0 ? ?? 22Y2 ? ?2 P ? 0返回西南科技大学退出21:30 §7-6 对称性的利用结构力学对称结构承受一般非对称荷载时，可将荷载分组， 如：FPFP / 2 FP / 2FP / 2FP / 2西南科技大学退出返回21:30 §7-6 对称性的利用四、取半结构计算奇数跨对称荷载结构力学FPFPFP对称轴（c）FP FP奇数跨反对称荷载 (d)FP西南科技大学退出返回21:30 §7-6 对称性的利用问题：偶数跨对称刚架如何处理？ 偶数跨对称荷载FPP F F FP P结构力学F FPPFP FPF FPP西南科技大学退出返回21:30 §7-6 对称性的利用偶数跨反对称荷载F FPP FP P结构力学FP FPF FPPFP FPFPP FFFSC FSSC FC SCF FPP西南科技大学退出返回21:30 §7-6 对称性的利用练习:PEI EI EIEI EI EI结构力学PEIPP/2EI EIEI EIP西南科技大学退出返回21:30 §7-6 对称性的利用PEI EI EI EI EI= C EI结构力学P PP/2EIP/2P/2EI/2EI西南科技大学退出返回21:30 §7-6 对称性的利用q q结构力学qqPqqqP/2西南科技大学退出返回21:30 §7-6 对称性的利用例3：求作图示圆环的弯 矩图, EI=常数。解： 取结构的1/4分析结构力学M1 ? 1PR MP ? ? sin ? 2若只考虑弯矩对 位移的影响，有：西南科技大学退出返回21:30 §7-6 对称性的利用M12ds ?R ? 11 ? ? ? , EI 2 EI结构力学?1PM1 M Pds PR2 ?? ?? , EI 2 EIX1 ?PR?1sin ? M ? M 1 X 1 ? M P ? PR ( ? ) ? 2西南科技大学退出返回21:30 §7-6 对称性的利用FP FP/2结构力学例4.试用对称性对结构进行简化。EI为常数。方法 1 FP/2I/2I/2FP/2FPFP /2FP /2FP /2FP /2I/2FP/2FP/2退出 返回FP /2西南科技大学21:30 §7-6 对称性的利用FP/2 无弯矩，结构力学不需求解I/2FP/2 FP /4 FP/4 FP/4 FP/4I/2FP/4I/2FP/4FP/4FP/4西南科技大学退出返回21:30 §7-6 对称性的利用FP/4 FP/4 FP/4 I/2 I/2结构力学FP/4FP/4FP /4FP/4FP/4 I/2西南科技大学退出返回21:30 §7-6 对称性的利用方法 2FP/4 FP/2结构力学FP/4无弯矩， 不需求解FP FP/4 FP/2 FP/4FP/4 FP/2FP/2FP/4FP/2FP/4FP/2FP/4西南科技大学退出返回21:30 §7-6 对称性的利用FP/4 FP/2 FP/4 FP/4结构力学FP/4I/2FP/4 FP/2 FP/4 FP/4 FP/4FP/4FP/4 FP/4 FP/4I/2 I/2西南科技大学退出返回21:30 §7-6 对称性的利用五、无弯矩情况判别 P在不计轴向变形前提下， 下述情况无弯矩，只有轴力。 (1)集中荷载沿柱轴作用；结构力学(2)等值反向共线集中荷载 沿杆轴作用；PP(3)集中荷载作用在不动结点。可利用下面方法判断： 化成铰接体系后，若能 平衡外力，则原体系无弯矩。P西南科技大学退出返回21:30 §7-6 对称性的利用?? 11 X 1 ? ? 12 X 2 ? ? 13 X 3 ? ?1 P ? 0 ? ?? 21 X 1 ? ? 22 X 2 ? ? 23 X 3 ? ?2 P ? 0 ?? X ? ? X ? ? X ? ? ? 0 ? 31 1 32 2 33 3 3 P结构力学?1P ? ?2 P ? ?3P ? 0奇次线性方程的 系数组成的矩阵 可逆，只有零解。X1 ? X 2 ? X 3 ? 0M ? M1 X1 ? M2 X 2 ? M3 X 3 ? M P西南科技大学退出返回21:30 §7-7 超静定结构的位移计算结构力学计算超静定结构的位移的目的之一是校核用力法 解出的内力状态。超静定结构的位移计算依据：根据基本体系的内力与变形状态等价于原超静定 结构的内力与变形状态的原理，求超静定结构的位移 可转化为求基本体系（静定结构）的位移。超静定结构的位移计算步骤：1）求出原结构 M 图，（求解超静定问题）求位移―单位荷载法，图乘法西南科技大学退出返回21:30 §7-7 超静定结构的位移计算以例说明：两次超静定问题结构力学? ky― [M ? M K ]简便方法: 取基本结构（c）或 （d)的 M K 与 M 图乘2）任取一力法基本结构，作出基本结构的 M 图 3）图乘为什么可以是任一基本结构？退出 返回西南科技大学21:30 §7-7 超静定结构的位移计算结构力学例1：计算图示刚架上BC杆B端的转角位移 ? B 。 解: 选取简支刚架作为基本结构，作出其单位力 弯矩图。 MB C2M /5 C 3M /5B1CBEI= 常数Al/2lM/5AM图AM1思考：可否选用悬臂刚架作为基本结构来计算 ? B ？令 M 1 图与M 图相图乘，得 1 1 l 3m 1 ml （ ） ?B ? ? ? ? ? ? ?1 ? ? EI 2 2 5 3 20 EI西南科技大学退出返回21:30 §7-8 最后内力图的校核 最后内力图的校核结构力学力法计算超静定结构时，应用了位移谐调条件、 静力平衡条件。校核超静定结构的内力图时，也要从 两方面进行校核。1. 平衡条件校核； 使结构上的任一部分都处于平衡的解答是否就 是问题的正确解？ 2. 变形条件(位移条件)的校核――检验在计算 出来的内力状态下结构是否满足已知位移条件。西南科技大学退出返回21:30 §7-8 最后内力图的校核M C B结构力学M例： 试校核图示刚架的弯矩图其是否有误。2M /5 C 3M /5 M /5A M2M /5B13M /5B X1 = 1 AM1 图EI= 常数A l/ 2解:(1)平衡条件校核。 取刚结点C 为隔离体,满足平衡条件。 (2)校核位移条件。 检验C 结点两个端面间的相对转角位移 Δ?C 是否为 零,任取一基本结构作图 M 1 ，令 M 1与M 相图乘得： 2m m ? 1 1 l 3m 2 5 5 ? l ?1] ? 1 [? ml ? ml ] ? 0 Δ?C ? [? ? ? ? ?1 ? EI 2 2 5 3 2 EI 10 10西南科技大学l退出返回21:30 §7-8 最后内力图的校核结构力学结论：亦满足给定位移条件，原弯矩图是正确的。X1 = 1C BA也可取图悬臂刚架作基本结构，计算B点水平位 移△xB 是否为零。西南科技大学退出返回21:30 §7-8 最后内力图的校核结构力学对图示封闭式刚架，任一截面的相对转角均为 零。基本体系中单位弯矩引起的弯矩图中各杆的弯 矩均为1, 则 M 1与M 图乘时：CEI1 EI2 EI 2 A BDCKX1 =1 A BDll/ 2l/ 2A ?1 A Δ? k ? ? ?? ?0 EI EI在校核任何封闭式刚架的弯矩图时，只需将组 成各杆上的弯矩图面积A（含“±”号）除以该杆EI 值并相加, 其最终的值应为零, 否则, 其弯矩图有误。西南科技大学退出返回21:30 §7-9 温度变化时超静定结构的计算 结构力学以例说明：t 1 EIA t2 l BA X1 t1 t2X3X2 X1t1 X3 t 2BX2 基本体系??11 X 1 ? ?12 X 2 ? ?13 X 3 ? ?1t ? 0 ? ?? 21 X 1 ? ? 22 X 2 ? ? 23 X 3 ? ? 2t ? 0 ?? X ? ? X ? ? X ? ? ? 0 33 3 3t ? 31 1 32 2? ij可用图乘求得，??t ? M i ds h? it ? ? N i?t 0 l ? ?M ? X1 M 1 ? X 2 M 2 ? X 3 M 3 ? M t温度变化时会在超静定结构中引起反力和内力， 这也是超静定结构的重要特性。西南科技大学退出返回21:30 §7-9 温度变化时超静定结构的计算 结构力学例: 图示梁上边缘温度升高t1 ，下边缘温度升 高t2 ，而且t2 & t1，梁的线膨胀系数α，截面高度为 h,求梁的内力。 X2t1A t2EIBlAX1 t1 t2X3X1 X2t1 X3 t 2B基本体系解: 此梁为3次超静定梁 力法典型方程：??11 X 1 ? ?12 X 2 ? ?13 X 3 ? Δ1t ? 0 ? ?? 21 X 1 ? ? 22 X 2 ? ? 23 X 3 ? Δ2 t ? 0 ?? X ? ? X ? ? X ? Δ ? 0 3t ? 31 1 32 2 33 3西南科技大学退出返回21:30 §7-9 温度变化时超静定结构的计算 结构力学作单位力弯矩图 M1、 2、 3 M MA1 X 1 =1B1l 2X 2 =1AM2 图Bl 2M1 图X 3=1AB M 3图At1 t2t1 t2B1? l ? 1 l ? ，?12 ? ? 21 ? 0，δ13 ? ? 31 ? 0 由图乘法： δ11 ? EI EI1 l l l 1 l3 δ22 ? 2 ? ? ? ? ? ? ，δ23 ? δ32 ? 0 3 2 2 2 EI 12 EI 1? 1? l l ?3t ? ? t0l δ33 ? ? EA EA ? (t2 ? t1 ) ? (t 2 ? t1 ) ??tl Δ1t ? ? ?tAN1 ? ? AM1 ? 0 ? l? h h h西南科技大学退出返回21:30 §7-9 温度变化时超静定结构的计算 结构力学将系数和自由项代入力法典型方程 EI??t ， X2 =0 ， X3= EAαt0 解得： X 1 ? ? h 弯矩图由 M ? M 1 X 1 而得；剪力为零；轴力为一常数 EAαt0 （压力）.α t EI Δ hAM图α t EI Δ hB结论：对于任一等截面直杆只要知道杆件位移 （角位移、侧移）及作用在杆上的荷载、温度，便可 求出杆件两端的弯矩、剪力，作出弯矩图、剪力图。西南科技大学退出返回21:30 §7-9 温度变化时超静定结构的计算 结构力学例： 设图示刚架外侧温度不变，内侧温度升高10℃。 各杆EI=常量，截面高度h=常量，截面形心在截面高度h 的0.5 处, 线膨胀系数为α，试求由于温度变化在刚架中引 起反力和内力。B CC BX1lBC 10 c Ao?? t 1X2??2 tA lA基本体系解: 1.刚架为二次超静定结构。 2. 根据变形条件建立力法方程 ??11 X 1 ? ?12 X 2 ? Δ1t ? 0 （a） ? ?? 21 X 1 ? ? 22 X 2 ? Δ2t ? 0 自由项△1t与△2t为基本结构内侧温度升高10℃时在自 由端C沿X1、X2方向产生的位移。西南科技大学退出返回21:30 §7-9 温度变化时超静定结构的计算 结构力学3. 计算系数和自由项 (1) 计算自由项 温度参量△t、t0 的计算t0 ? t 2 ? t1 10 ? 0 ? ? 5? C 2 2说明温度变化使基本结构杆件形心轴伸长。刚架内外侧温度差Δt ? t2 ? t1 ? 10 ? 0 ? 10? C可知基本结构在温度变化时的变形趋势是：各杆 轴线伸长，内侧受位。西南科技大学退出返回21:30 §7-9 温度变化时超静定结构的计算 结构力学在基本结构C 处沿X1、X2方向加单位力，作相应的内力图。B l CFNAB = l F N BC = 0X1= 1BFN AB = 0 FNBC = -1C X2 = 1Al M1图AΔ1t ? [?ΔthAM1 AB ??Δthl M2 图AM1 BC ] ? [?t0 AN1 AB ? ?t0 AN1 BC ]同理10 2 10 1 2 ? l ? (? )? ? ? l ] ? [( ? )? ? 5 ? l ? 0] h h 2 3l ? 5?l[1 ? ] h ?Δt ?Δt Δ2t ? [ AM2 AB ? AM2 BC ] ? [?t0 AN2 AB ? ?t0 AN 2 BC ] h h l ? 5?l (1 ? ) h ? [( ? )? ?退出 返回西南科技大学21:30 §7-9 温度变化时超静定结构的计算 结构力学(2) 系数的计算, 只计弯曲影响。B l CFNAB = l F N BC = 0X1= 1BFN AB = 0 FNBC = -1C X2 = 1Al M1图3 3Al M2 图l l 4l 3 ? ? 11 ? ( ? l ) ? ， 22 EI 3 3EI 将△1t 、△2t 、 δ11 、 δ22 、 δ12 、 δ21 、 的表达 式代入式（a）得? 4l 3 l3 3l X1 ? X 2 ? 5?l (1 ? ) ? 0 ? ? 3EI 2 EI h （b） ? 3 3 ? l ? l X ? 5?l (1 ? l ) ? 0 ? 2 EI 3EI 2 h ?l3 l3 ? ， ? 21 ? ?12 ? 3EI 2 EI西南科技大学退出返回21:30 §7-9 温度变化时超静定结构的计算 结构力学30 EI? 3l 解得： ? ? X 1 ? ? 7l 2 (5 ? h ) ? ? ? X ? 30 EI? (11 ? l ) ? 2 7l 2 h ?由叠加法作M图 M ? X 1 M 1 ? X 2 M 2BB CFN A = 0FNBC = -13l (5+ h )lX 2= 1C BlCFNAB = l FNBC = 0X 1 =1AlAM 1 FN1lM 2 F N2A(6－2l )l hM图30EIα × 7l西南科技大学退出返回21:30 §7-9 温度变化时超静定结构的计算 结构力学要点： 1. 温度变化在超静定结构中引起的内力大小与 杆件刚度有关，通过加大杆件截面（加大EI）来改 善结构在温度作用下的受力状态并非是一个有效的 途径。 2. 超静定结构因温度变化而引起的变形与静 定结构有较大的差别。超静定结构是降温侧受拉. 多数房屋建筑为超静定结构，当室内外温差较大时 可能导致室外或室内开裂。西南科技大学退出返回21:30 §7-10 支座位移时超静定结构的计算 结构力学 支座位移情形下的计算支座位移、温度改变等因素（广义荷载）也会 使超静定结构产生反力和内力，这是超静定结构不 同于静定结构的一种力学性质。在支座位移问题中,力法典型方程的一般形式可写成:??11 X 1 ? ?12 X 2 ? ? ? ?1n X n ? Δ1c ? c1 ?? X ? ? X ? ? ? ? X ? Δ ? c ? 21 1 22 2 1n n 2c 2 ? ??????????????? ?? n1 X 1 ? ? n 2 X 2 ? ? ? ? nn X n ? Δnc ? cn ?式中等号左边是基本体系的相应位移，右边是 实际结构在该点的实际位移。西南科技大学退出返回21:30 §7-10 支座位移时超静定结构的计算 结构力学例: 图示梁的A端产生了转角位移φA ，求解梁的 反力和内力并作弯矩图和剪力图。φ AAφ AEIφ ABAB X1?基本体系A ?基本结构B??1cl解: (1) 取支座B的竖向反力X1为多余未知力。 (2) 根据变形条件建立力法方程。 变形条件为：基本体系在B点的位移与原结构相同。Δ1 ? 0（a）西南科技大学退出返回21:30 §7-10 支座位移时超静定结构的计算 结构力学基本体系的位移△1 是由X1和支座A的角位移φA 共同作用产生的，因此式(a)可写成 ?11 X 1 ? Δ1c ? 0 （b） 1lφ AA ?B??1clM 1图X 1=1△1c 是当支座A产生角位移φA时在基本结构中产生的沿 X1方向引起的位移，由几何关系得出Δ1c ? ?l? ? ?l? A （△1C 与X1反向，取负号） 也可由静定结构由支座位移引起的位移公式求得Δ1c ? ?? Rk ck ? ?l? A系数δ11可由M1图求得l3 ?11 ? 3EI返回西南科技大学退出21:30 §7-10 支座位移时超静定结构的计算 结构力学(3) 解方程求未知力3EI 将δ11与S1c 代入式(b)，解得 X 1 ? 2 ? A l最后内力计算方法与荷载情形无异。注意这里的 X1与B端剪力的关系为 3EI FSBA ? ? X 1 ? ? 2 ? A l (4) 作弯矩图和剪力图A M图 3EI A l φ BAB 3EIφ l2 AFS图可见：支座位移在超静定结构中引起的内力的大 小与杆件截面刚度和支座位移值有关。这是与荷载作 用下的情况不同的。西南科技大学退出返回21:30 §7-10 支座位移时超静定结构的计算 结构力学例: 图示单跨梁支座A产生转角φA，同时B支座产 生沉降△。试用力法求梁的内力。φABEIAX1 X2A lB'????1 cBX3??B'基本体系解: (1) 三次超静定。 在小变形情形下，B端的轴向约束作用可略去不 计，即X3可略去，简化为二次超静定问题。(2) 根据变形条件建立力法方程。??11 X 1 ? ?12 X 2 ? Δ1c ? ? A ? ?? 21 X 1 ? ? 22 X 2 ? Δ2c ? 0（a）西南科技大学退出返回21:30 §7-10 支座位移时超静定结构的计算 结构力学(3)计算系数和自由项。 作M 1 图、 2 图算得 M l ， l ? 22 ? ? 11 ? ? 21 ? ? 12 ? ? 3EI 6 EI 由 Δ ? ?? R ? c 算得A1X 1=1BM1 图F yB =11 lAX 2= 11 Δ Δ1c ? ?(? ? Δ) ? l l 也可由几何关系得 Δ Δ1c ? （与X1 的方向一致） l Δ Δ2c ? Δ1c ? 同理 lBM2图F yB =1 lAX1 X2 B ??1 c ??2 c??B'西南科技大学退出返回21:30 §7-10 支座位移时超静定结构的计算 结构力学(4) 解方程求未知力 将系数和自由项代入方程式（a），有 l Δ ? l 解得 X 1 ? 4 EI ? A ? 6 EI Δ ? 3EI X 1 ? 6 EI X 2 ? l ? ? A ? l l2 ? ?? l X ? l X ? Δ ? 0 2 EI 6 EI ? 6 EI 1 3EI 2 l X2 ? ?A ? 2 ? l l 可见，φA 在杆AB近端（A端）与远端（B端）引4 EI ? A 和 2 EI ? A ，B端侧移△在两端 起的弯矩分别为 l l 6 EI ? 2 Δ 。 产生的弯矩同为 l西南科技大学退出返回21:30 §7-10 支座位移时超静定结构的计算 结构力学杆端弯矩分别： ?M ? 4 EI ? ? 6 EI Δ A ? AB ? l l2 ? ?M ? 2 EI ? ? 6 EI A ? BA l l2 ? 两端剪力为（由隔离体的力偶系平衡条件算）FSBA ? FSAB ? ? M AB ? M BA l 6 EI 12 EI ? ? 2 ?A ? 2 Δ l l思考：当B支座顺时针转了φB时，结果如何？ 答：2 EI ? M AB ? ?B ? ? l ? ?M ? 4 EI ? B ? BA l ?退出这些结果将在第八 章位移法中用到。西南科技大学返回21:30 §7-11 用弹性中心法计算无铰拱结构力学超静定拱是土木建筑工程中常用的一种结构 形式，常见超静定拱有两铰拱和无铰拱。两铰拱无铰拱西南科技大学退出返回21:30 §7-11 用弹性中心法计算无铰拱结构力学二、无铰拱的计算无铰拱是三次超静定闭合结构。通常采用弹性中心法。 对称无铰拱，通常选取对称的基本结构。F A C BF AX1 C X3基本体系X2 B??11 X 1 ? ?12 X 2 ? ?13 X 3 ? Δ1p ? 0 力法典型方程为： ? ?? 21 X 1 ? ? 22 X 2 ? ? 23 X 3 ? Δ2 p ? 0 ? ?? 31 X 1 ? ? 32 X 2 ? ? 33 X 3 ? Δ3p ? 0由对称性，得? 23 ? ? 32 ? 0 ，? 31 ? ? 13 ? 0退出 返回西南科技大学21:30 §7-11 用弹性中心法计算无铰拱基本结构在单位力作用下的内力方程为：结构力学若系数δ12也为零，则力法典型方程式完全解耦。?M 1 ? 1, F S1 ? 0, X 2 =1 C F N1 ? 0 ? ? ?M 2 ? y, F S2 ? sin ? , F N 2 ? cos? A X 1 =1 y ? ?M 3 ? x, F S3 ? cos? , F N 3 ? ?sin ? ? yCxBM1 ?M 2 1? y ?12 ? ? ds ? ? ds EI EIxBA X2 =1 Oy可见：要使δ12为零，必须使X2的作用点下移,使 y 值有不同的符号，积分才可能为零。西南科技大学退出返回21:30 §7-11 用弹性中心法计算无铰拱结构力学在拱顶截口处设Z不可变形的刚臂, 设刚臂长为 a。使未知力作用点移至刚臂的端点O。O点称为弹性 x C 中心。 C1OxaX 1=1A X2 =1 O y y1xBy1y xC O xX 3 =1yC FS2 O φ X2 =1 M 2 F N2坐标系x1Cy1是原点在拱顶的坐标系, 它描述拱轴 线方程。坐标系xoy是原点在弹性中心O的坐标系, 它 描述拱的内力方程，相当于计算内力时进行了一次坐 标变换, 目的是使?12=?21=0。西南科技大学退出返回21:30 §7-11 用弹性中心法计算无铰拱C O结构力学y1C axx1 xBX 1=1A X2 =1 O y y1yyC FS2 O φ X2 =1 M 2 F N2由δ12与δ21的计算式为可确定a? 21 ? ?12 ? ?M 1M 2 F S1 F S2 F N1 F N 2 ds ? ? ? ds ? ? ds EI GA EA M 1M 2 要使δ12 =δ21=0 ，必须有 ?? ds ? 0 ? 0 EI ds ds ds y1 ??y ? ? ( y1 ? a) EI EI EI a? ds ds ds ? ? y1 ? a? EI EI EI??西南科技大学退出返回21:30 §7-11 用弹性中心法计算无铰拱结构力学当未知力作用于弹性中心，力法方程组的全部副系 数为零，三个彼此独立的方程为 Δ1p ? ? X1 ? ? ?11 ? ?? ?? 22 X 2 ? Δ2 p ? 0 ? ?? 33 X 3 ? Δ3p ? 0?11 X 1 ? Δ1p ? 0因而计算δii、Δip时，如计入弯曲、剪切、轴向三个 变形的影响，计算应按下式进行：? M i2 Fsi2 FN2i ds ? ? ? ds ? ? ds ?? ii ? ? ? EI GA EA ? ? Δ ? M i M p ds ? ? Fsi Fsp ds ? FNi FNp ds ? GA ? EA ? ip ? EI ?? Δ2 p ? ?X 2 ? ? ? 22 ? ? Δ3p ?X3 ? ? ? ? 33 ?西南科技大学退出返回21:30 §7-11 用弹性中心法计算无铰拱结构力学多数情况下可略去轴向变形与剪切变形的影响。常 见拱桥拱顶截面高度hc& l／10 ，仅当f & l／5时将轴向 变形影响计入δ22 中。 ds ??? 11 ? ? EI ? ?? ? y 2 ds ? cos 2? ds ? 22 ? EI ? EA ? ?? 33 ? x 2 ds ? EI ? ? ?? ? M ds p ? 1p ? EI ? ds ??2 p ? ? yM p EI ? ? ds ?3p ? ? xM p ? EI ?返回西南科技大学退出21:30 §7-11 用弹性中心法计算无铰拱弹性中心的几何意义结构力学设一面积,其长度方向的轴线与拱轴线重合,其宽 度为拱截面抗弯刚度的倒数,即 1 。此面积称为弹 性面积。EI弹性中心就是该弹性面积的形心。西南科技大学退出返回21:30 §7-12 两铰拱及系杆拱 一、两铰拱的计算y结构力学FE,I,A f xyFE,I,A f x X1A lBA lB基本体系1.两铰拱是一次超静定结构，力法基本方程为：?11 X 1 ? Δ1p ? 0 （1）西南科技大学退出返回21:30 §7-12 两铰拱及系杆拱结构力学2. 计算系数与自由项。 习惯上假设：弯矩使杆件内侧受拉为正，轴 力以受压为正。基本结构X=1作用下任意截面K弯矩和轴力为M1 ? ?yyK 1 A?F N1 ? 1? cos?系数与自由项为2 2 ? F N1 M1 ds ? ? ds ??11 ? ? ? EA EI ? （2） M 1M p ? ? Δ1p ? ? EI ds ?yBX1 = 1xx0 0FS1 K 1M1?FN1 yAx西南科技大学退出返回21:30 §7-12 两铰拱及系杆拱将M 1 和 F N1 代入式（2）yK结构力学F? ds 2 2 ds ?11 ? ? cos ? ??y y EA EI B A ds x Δ1p ? ? ? yM p EI 弯矩MP是坐标x的函数,当给出结构参量及 荷载后便可确定。x3. 求未知力。ds ? yM p EI Δ1P X 1 ? FH ? ? ?11 cos 2? ds ? y 2 ds ? EA ? EI西南科技大学退出返回21:30 §7-12 两铰拱及系杆拱4. 计算拱中任一截面上的内力。结构力学将求出的多余未知力X1 回代到基本体系中,可计 算出拱中任一截面上的内力。FK?MKFHBFN KFH Fy Ay AxFHFSKAFy BFyA0 ?M K ? M K ? FH ? y K ? FSK ? FS0K cos? K ? FHsin ? K ? ? FNK ? FS0K sin ? K ? FH cos? K ?与三铰拱任一截面上的内力计算公式完全一样。西南科技大学退出返回21:30 §7-12 两铰拱及系杆拱结构力学两铰拱用作屋盖结构时，通常采用带拉杆的两铰拱， 用拉杆来承受水平向的反力。在计算系数时多了拉杆 AB的变形量。 q qy E,I,A f E1 A1 A2X1x BABds 于是 EI X1 ? ds l 2 2 ds ? cos ? EA ? ? y EI ? E1 A1ds ds l ?11 ? ? cos ? ? ? y2 ? EA EI E1 A1 ds Δ1p ? ? ? yM p EI基本体系? yM p注意:以上计算是在 拱结构承受竖向荷 载情形下进行的。西南科技大学退出返回21:30 §7-12 两铰拱及系杆拱y? 4f l2 x(l ? x)yq=8 kN/m结构力学例7-15 用力法计算图示两铰拱。拱轴线方程为抛物线：拱截面 A=384×10-3m2， 惯性矩 I=m4 ， 弹性模量 E=192GPa ， 矢高 f=3.6m ， 跨度l=18m 。 解: (1) 选取基本体系。 (2) 列力法方程。E,I,A A l BfxqX1AB?11 X 1 ? Δ1p ? 0(1)基本体系(3) 计算系数和自由项。西南科技大学退出返回21:30 §7-12 两铰拱及系杆拱ds 2 ds ?11 ? ? cos ? ??y EA EI ds Δ1p ? ? ? yM p EI2结构力学当 f &l／3 时,在计算系数δ11时应考虑轴向变形影 响。而计算自由项时仍可不考虑其影响。在扁平拱情 形下，可认为 ds≈dx ，cosφ=≌1。 MKK 1 X 1 =11 x FN K K FS K y φAB基本结构在X1=1作用下，取截面K以左部分杆段 为隔离体，内力方程为： F N1 ? 1 ? cos? ? 1M1 ? ?y西南科技大学退出返回21:30 §7-12 两铰拱及系杆拱? 111 l 2 1 l l 1 ? y dx ? dx ? ? EI ?0 EA ?0 EA EI l 4 f l ? ? ?[ x(l ? x)]2 dx EA 0 l 16 f 2l l ? ? 30 EI EAyq=8 kN/m结构力学?l 0y 2 dxq=8 kN/mFN KE,I,A A l BfxMKA FSKφ yFyAx基本结构在荷载作用下，取截面K以左部分杆段为隔 离体，内力方程为： ql 1 2 q M p ? x ? qx ? x(l ? x) 2 2 2西南科技大学退出返回21:30 §7-12 两铰拱及系杆拱结构力学1 l Δ1P ? ? ?0 yM P dx EI 1 l 4f q ?? x(l ? x) ? [ x(l ? x)]dx EI ?0 l 2 2 qfl 3 ?? 15EI 代入E、I、A、l、q、f的值 16 ? 3.6 2 ?18 18 ? 11 ? ? 9 ?6 30 ?192 ?10 ? ?10 9 ? 384 ?10 ?3 ? 3.518 ?10 ? 7 (m / N)8 ?103 ? 3.6 ?183 Δ1p ? ? ?3.164 ?10?2 m 15 ?192 ?109 ?X 1 ? FH ? ?Δ1p?113.164 ? ?10?2 ? ? 89.9 kN ?7 3.518 ?10退出 返回西南科技大学21:30 §7-12 两铰拱及系杆拱(4) 内力计算。X 1=F H结构力学qX 1=F HAB以支座A以右面的x=6m处截面为例。 相应的简支梁的FS0和M 0为： ql qx 2 8 ?18 1 ? M ( x) x ?6 ? [ x ? ]x ? 6 ? ? 6 ? ? 8 ? 62 ? 288 kN ? m 2 2 2 2ql 8 ?18 F ( x) x ?6 ? [ ? qx] ? ? 8 ? 6 ? 24 kN 2 2 x ?6? S拱中相应的y 值为：4f 4 ? 3.6 y( x) x ?6 ? 2 x(l ? x) ? ? 6 ? (18 ? 6) ? 3.2 m 2 l 18 x ?6西南科技大学退出返回21:30 §7-12 两铰拱及系杆拱计算拱中相应的转角φ由 有结构力学由dy 4 f ? 2 (l ? 2 x) dx l dy ? ? tan ? [ ]x ?6 dx 4f 4 ? 3.6 ? tan ?1[ 2 (l ? 2 ? 6)] ? tan ?1[ ? 6] ? 14.93? l 182 0 ?M K ? M K ? FH ? y K ? 0 ? FSK ? FSK cos? K ? FH sin ? K ? FNK ? FS0 sin ? K ? FH cos? K K ?得所求截面内力?M ? 0.32 kN ? m ? ? FS ? 0.03 kN ?F ? 93.04 kN ? N表明：该截面上弯矩、剪力均 很小，截面所承受的内力主要 是轴向压力。退出 返回西南科技大学21:30 §7-12 两铰拱及系杆拱结构力学讨论： 系数δ 11中弯曲变形与轴向变形的影响分别为：弯曲变形影响16 ? 3.62 ?18 3732.48 ? ?
? 3.516 ?10?7 m 30 ?192 ?109 ? 1.1018 18 ? ? 2.44 ?10 ?10 m 轴向变形影响 192 ?109 ? 384 ?10?3 7.后者与前者之比2.44 ?10 ?10 ? 6.93 ?10 ? 4 ? 7.00 ?10 ? 4 3.52 ?10 ? 7可见，轴向变形对系数δ11不起重要影响。注意：不能象直杆那样作拱的内力图，只能取若干 截面（通常等分截面），算出这些截面上的内力，最后 连线作出内力图。在计算中，宜列表计算。西南科技大学退出返回21:30 §7-13 超静定结构的特性结构力学超静定结构（与静定结构相比）有如下一些 重要特性：1. 由于超静定结构有多余的约束, 因此超静定结 构的内力状态由平衡条件不能唯一地确定。必须同时 还要考虑变形条件才能求解。 2．由于约束有多余的，因而超静定结构在某些 约束被破坏后，结构仍保持几何不变体系，因而还具 有一定的承载能力；而静定结构在任一约束被破坏后， 即变成几何可变体系，因而丧失承载能力。这说明超 静定结构具有较强的防护能力。西南科技大学退出返回21:30 §7-13 超静定结构的特性结构力学3．超静定结构，一般情况下，其内力分布也比静 定结构要均匀，内力的峰值也要小些。支梁最大弯矩 在跨中, 其值为, 如果在跨中添加一支座变成连续梁, 则最大弯矩在中间支座处, 其值为, 比简支梁小4倍。q A l Bq A C0.5l 0.5lql 2 32 ql 2 64CBABql 82ql 2 64西南科技大学退出返回21:30 §7-13 超静定结构的特性结构力学4．超静定结构的内力与结构的材料性质和截 面尺寸有关。若结构构件截面尺寸和刚度有变化, 则其内力分布也随之而变。 所以在设计超静定结构时必先假定各杆的截面 尺寸才能计算, 当荷载不变时，若要改变内力分布， 也必须修改各杆的截面尺寸或刚度。西南科技大学退出返回21:30 §7-13 超静定结构的特性结构力学5. 在超静定结构中，除荷载外，其它任何因素如 温度变化、支座移动、制造误差等都可以引起内力。 这种没有荷载作用而在结构中引起的内力状态称作自 内力状态。自内力状态有不利的一面，也有有利的一 面。防止地基不均匀沉降和温度变化等产生的自内力 引起的结构裂缝是工程中应注意的一个问题；而采用 预应力结构是主动利用自内力来调节结构截面应力的 典型例子。西南科技大学退出返回21:30 小 结 小 结结构力学力法是求解超静定结构最基本的方法。力法的基本原 理是将原超静定结构中的多余约束解除，代之以相应的未 知约束反力。原结构就变成了在荷载及多余未知力作用下 的静定结构。这个静定结构称为原结构的基本体系, 多余 未知力称为原结构的基本未知数。根据基本体系中多余未 知力作用点的位移应与原结构一致的条件，即多余约束处 的位移谐调条件，建立位移协调方程。这就是力法典型方 程。方程中的基本未知数是体系的多余未知力。这种以未 知力为基本未知数的求解超静定结构的方法就称为力法。 由于基本体系满足位移谐调条件, 因此基本体系的内力 与变形便与原超静定结构完全一致。利用位移约束条件解 出多余未知力是力法的关键, 求出多余未知力后便将超静 定问题转化为静定问题了。以后的计算便与静定结构的求 解完全一样。西南科技大学退出返回21:30 小 结结构力学理论上力法可以求解任何超静定结构。其原理具有物理概 念明晰、易于理解的特点。其不足之处是：当多余约束较多 时，即超静定次数较高时, 计算工作量很大。而且力法的基 本体系有多种选择, 难以编成通用的计算机程序, 这就极大 地限制了力法的应用。用力法计算超静定结构，要做到超静 定次数判断准确，基本结构选取适当，位移计算无误，最后 校核仔细。 用力法计算超静定结构的位移时, 作单位弯矩图时可选择 任意的基本结构。要理解这一点, 就要理解基本体系的内力 与变形与原结构完全一致这一道理。因而, 求超静定结构的 位移就是求基本体系的位移。基本体系的荷载弯矩图就是原 超静定结构的最终弯矩图。 所以, 只要再画出基本体系在 单位力作用下的弯矩图就行了。 计算超静定拱, 是力法的强项。 特别是无铰拱, 因为是 曲杆, 位移计算很繁杂。如何简化计算就很重要。弹性中心 法就是计算无铰拱的最有效的方法。它可以使力法典型方程西南科技大学退出返回21:30 小 结结构力学中所有的负系数均为零, 计算获得最大限度的简化。能够做 了这一步的关键是进行了坐标变换。把未知力的作用点移到 了弹性中心。 力法典型方程由位移约束条件而来，其本质是原超静定 结构上被解除多余约束处的位移应与原结构该点的位移一致 的变形谐调条件，方程中的每项都是荷载或非荷载因素引起 的位移，其中包括多余未知力引起的位移。方程中的每一项 都不能单独使基本结构与原超静定结构的位移一致，只有将 各项叠加起来才能作到这一点。所以, 本章导出的力法典型 方程只适用于线弹性结构。西南科技大学退出返回21:30 小 结一、力法的计算方法 1. 力法的基本思路结构力学用力法解超静定结构的基本思路是将超静定结构的多 余未知力看作基本未知量，去掉多余未知力对应的多余约 束将原结构转化成基本结构，因而多余未知力成为作用在 基本结构上的外力；然后沿多余未知力方向建立位移协调 方程，解方程就可以求出多余未知力;最后将求出的多余 未知力作用于基本结构，用叠加法即可求出超静定结构的 内力。 2. 如何选取基本结构 (1) 力法的基本结构一般为静定结构，但有时若能较 容易地求出力法典型方程中的位移系数，也可以选超静 定结构作为基本结构。西南科技大学退出返回21:30 小 结(a) (b)结构力学例：用力法求图a 所示的九次超静定结构的内力。q 2EI EI A B q A X1 Bl(c) ql 2/ 12 ql 2/ 12(d) l/ 8l/8X 1 =1MPM1l/8西南科技大学退出返回21:30 小 结结构力学解：根据对称性知，杆AB的剪力和弯矩均为零，只 有轴力，则取基本体系如图b所示，MP图和?M1图分别 如图c、图d所示。经计算得 l3 ql4 ? 11 ? ， Δ1P ? 128EI 768EI 代入力法典型方程δ11X1+Δ1P=0，可以求出ql X1 ? ? 6(2) 同一个超静定结构可以选择许多种不同的力法基 本结构，但选取基本结构时需注意应使力法方程中的系 数和自由项的计算尽可能方便， 或尽可能使较多的自由 项和副系数为零，且应使 M 图和MP图的绘制尽量简单。 无论选取怎样的基本结构， 最后结果都相同。西南科技大学退出返回21:30 小 结结构力学例如,图a中的连续梁，选图b、图c、图d所示的基本 体系都可以，但图d的基本体系可以使某些负系数为零， 因此最简单。q (a) (b)X1X2X3(c)(d)X1X2X3X3X1X2西南科技大学退出返回21:30 小 结3. 典型方程结构力学超静定结构在荷载、支座位移、温度变化等因素作 用下的典 型方程为：?11 X 1 ? ?12 X 2 ? ? ? ?1n X n ? ?1P ? ?1c ? ?1t ? ?1 ? ? 21 X 1 ? ? 22 X 2 ? ? ? ? 2 n X n ? ? 2 P ? ? 2c ? ? 2t ? ? 2 ? ?? ? ? n1 X 1 ? ? n 2 X 2 ? ? ? ? nn X n ? ? nP ? ? nc ? ? nt ? ? n ? ? ?西南科技大学退出返回21:30 小 结结构力学(1)力法典型方程实际上就是沿多余未知力方向上的位 移协调条件。 第i个方程表示原结构在第i个多余未知力方 向上的实际位移为?i，当位移的方向与多余未知力的方向 一致时，? i 取正值，否则取负值。等号左边的每一项表示 基本结构在各种因素单独作用下沿Xi 方向产生的位移，即 等号左边一切系数的计算都应在基本结构上进行。如： ?21X1表示基本结构在X1单独作用下沿X2方向产生的位移, ?1c表示基本结构在支座位移单独作用下沿X1方向产生的位 移，?nP表示基本结构在外荷载单独作用下沿Xn 方向产生的 位移，?nt 表示基本结构单独在温度变化时沿Xn 方向产生的 位移。主系数?ii表示基本结构在多余未知力Xi=1单独作用 下沿Xi 方向产生的位移；副系数?ij（i?j）表示基本结构在 多余未知力Xj=1单独作用下沿Xi 方向产生的位移 。西南科技大学退出返回21:30 小 结结构力学二、几个应注意的问题 1. 超静定结构的特性 (1) 在超静定结构中，支座移动、温度改变、材料胀缩、 制造误差等因素都可以引起内力。 (2) 在荷载作用下，超静定结构的内力分布与各杆刚 度的比值有关，而与其绝对值无关。因此，在计算内力时， 允许采用相对刚度。若改变各杆的刚度比值，则结构的内 力分布也随之改变。一般来说，刚度大的杆件，分配到的 内力也大；若各杆件的刚度按同一比例增减，则结构的内 力保持不变。 (3) 由温度或支座移动、制造误差等因素在超静定结 构中引起的内力，与各杆刚度的绝对值有关。 例：判断下列说法的正确性。 （1）没有荷载就没有内力这个说法对任何结构都是成立的. 解：错误。西南科技大学退出返回21:30 小 结结构力学（2）对超静定结构在荷载作用下进行内力分析时，只 需知道各杆的相对刚度。 解：正确。2、判断超静定结构的次数时应注意的问题 (1) 不要把原结构拆成几何可变体系。 (2) 通常要把全部多余约束都拆除。 (3) 只能在原结构中减少约束，不能增加新的约束。 (4) 去掉连接n个杆件的复铰相当于去掉n-1个单铰；将 连接n个杆件的刚结点变成铰结点相当于去掉n-1个约束。 (5) 只能去掉多余约束，不能去掉必要约束. 例题： （1）n次超静定结构，任意去掉n个约束均可作为力 法基本结构的说法对吗？ 解：错误。只能去掉多余约束，不能去掉必要约束。西南科技大学退出返回21:30 小 结（2） 图a所示结构的超静定次数为多少？结构力学解：8次。提示：相应的静定结构如图b所示.(a)A(b)B C（3）图示结构超静定次数为多少？ 解：6次。注意：1、2杆 组成二元体，不能看作多余 约束。1 2返回西南科技大学退出21:30 小 结（4） 图示结构超静定次数为多少？A结构力学解：7次。提示：先去掉AB 杆, 再去掉铰A 结点（相当于2个 约束）, 最后去掉铰结点B（相当 于2个单铰）。B。 （5） 图示结构的超静定次数为多少？BAC解：6次。提示：内部 ABC只需三个约束，即可与 外部保持几何不变， 而现在 却用3个铰相连，故有三个多 余约束， 外部刚架也有三个 多余约束。退出 返回西南科技大学21:30 小 结3. 力法的适用条件结构力学(1) 力法只适用于求解超静定结构，不能用于求解静 定结构。 (2) 既可以考虑弯曲变形，也可以考虑轴向和剪切变形。 (3) 可以用于梁、刚架、桁架、拱、组合结构等各种类 型的结构。 （4）从材料性质看, 只能用于弹性材料。 4. 超静定结构发生支座位移时基本体系的选取 当超静定结构发生支座位移时，选取不同的基本体 系，所得的力法方程同，自由项?c亦不同。西南科技大学退出返回21:30 小 结结构力学例如, 用力法求图a 所示有支座位移的超静定梁时， 取两种基本结构进行分析比较。(a) Aca B(b)(c)X2 X3 X3 X1(d)X（1） 第一种基本结构（图b）, 基本体系如图c所示。 力法典型方程为 ?11 X 1 ? ?12 X 2 ? ?13 X 3 ? ?1c ? ?c ? ? ? 21 X 1 ? ? 22 X 2 ? ? 23 X 3 ? ? 2 c ? 0 ? ? 31 X 1 ? ? 32 X 2 ? ? 33 X 3 ? ? 3c ? ? a ? ? 可以看出, 方程的等号右边不为零，这是因为原结构 在B点有位移，所以等号右边应等于原结构的实际位移， 又由于实际位移与多余未知力的方向相反，故位移都取负 值。西南科技大学退出返回21:30 小 结注意?ic的计算：结构力学由于等号左边系数的计算都在基本结构上进行， 而 图b的这种基本结构既无荷载，也无支座位移，因此由该 基本结构引起的?ic都等于0。则上述典型方程变为(a) Aca B(b)?11 X1 ? ?12 X 2 ? ?13 X 3 ? ?c ? ? ? 21 X1 ? ? 22 X 2 ? ? 23 X 3 ? 0 ? ? 31X1 ? ? 32 X 2 ? ? 33 X 3 ? ?a ? ?西南科技大学退出返回21:30 小 结（2） 取第二种基本结构，如图d所示。结构力学X2 a X3 X3B X1(c) (a)A(d)(b) X 2accX1力法典型方程为?11 X 1 ? ?12 X 2 ? ?13 X 3 ? ?1c ? 0 ? ? ? 21 X 1 ? ? 22 X 2 ? ? 23 X 3 ? ? 2 c ? 0? ? 31 X 1 ? ? 32 X 2 ? ? 33 X 3 ? ? 3c ? 0 ? ?可见, 该方程的等号右边都等于零, 这是由于原结构 在A点无位移的缘故。 注意?ic的计算：西南科技大学退出返回21:30 小 结结构力学由于图d 这种基本结构的B 端有支座位移， 而该支座 位移将会引起与X1、X3对应方向上的位移，故有?1c=－c， ?2c= 0， ?3c= a 。力法典型方程又可以写成：? 11 X 1 ? ? 12 X 2 ? ? 13 X 3 ? c ? 0 ? ?3 X 3 X ? 21 X 1 ? ? 22 X 2 ? ? 23 X 3 ? 0 ? 0? X1 ? X1 ? 31 X 1 ? ? 32 X 2 ? ? 33 X 3 ? a ? 0?(c)X2(d)X2ca由以上分析可见，当超静定结构有支座位移时，选 取不同的基本结构，所列方程的含义和形式均有区别， 所以列方程需要仔细分析，分清支座位移何时出现在等 号左边，何时出现在右边。西南科技大学退出返回21:30 小 结结构力学例： 图a 所示变截面梁, 在支座A、B分别有竖向位移a 及转动位移θ。 若按力法进行求解，并取图b所示的基本体 ?11 x1 ? Δ0 ? Δ1 系， 则可列出力法方程试写出(a) A?11， Δ0， Δ1F的具体表达式。(b) A EI X1 C Fθ2EIB lEI a l C2EIB(c) X1EI l2 EI 2l(d)FFlM1MP西南科技大学退出返回21:30 小 结解：? 11 ?结构力学1 1 2l 1 ?1 2l 1 1 l 2 ? ( ?l ?l ? ) ? ? l ? l ? ( ? ? 2l ) ? ? l ? 2l ? ( ? ? 2l )? EI 2 3 2 EI ? 2 3 3 2 3 3 ? ? 3l 3 ? 2 EI1 ?1 l 2 5Fl3 ? Δ0 ? Δ1P ? Δ1? ? ? 2 ? l ? Fl ? ( 3 ? 3 ? 2l )? ? 2l? ? 12EI ? 2l? 2EI ? ?Δ1 ? ?a5. 切开或撤去多余链杆的基本体系, 两者的力法方 程比较 两者的力法方程形式不同，它们所代表的变形条件 及方程中各项参数的物理意义不同，但力法方程的内容 是等效的。西南科技大学退出返回21:30 小 结X1 C (a) C D F (b) X1 (c) F C X1 C D结构力学D X1 X1 D F14 5 A 32 6 B A B图b和图c是图a所示的超静定桁架用力法求解时选取 的两种不同的基本体系。图b为切开链杆CD， 图c为撤去 链杆CD。 （1）相对图b，力法方程为 （a） ?11 X1 ? ?1P ? 0 方程的物理意义为：基本体系中链杆1切口处相邻两 截面相对轴向位移应等于原结构该相邻两截面的相对轴 向位移（等于零）。西南科技大学退出返回21:30 小 结C (a) (b) X1 (c) C X1 C 1 D F C D F结构力学D X1 D F4 5 A 3 62 A BB系数和自由项按下式计算：?11 ??j ?16(F N )2 l j j EAj，Δ1P ? ?j ?26( F N ) j ( FP ) j EA jlj西南科技大学退出返回21:30 小 结（2）对图c, 力法方程为：XDl ? X 1 ? Δ1P ? ? 1 1 EA 1* 11(a) C * 1 4 5 A 3 2 65 6 B 3 (a)结构力学X1 C X1 1D F F (b) X 1 C CD X 1X 1 DX1 F DF(b)(b)CCD4 A2BA (c)B方程的物理意义为：基本体系中C、D两点沿X1方向 的相对线位移等于原结构中链杆CD的缩短量。因为对杆 CD而言, X1为拉力， CD ? X 1l1 为杆CD的伸长量，所以方 Δ EA 程右边取负值。 系数和自由项按下式计算：? ??* 11 j ?26( F N ) 2j l j EA j退出，Δ ??* 1P j ?26( F N ) j ( FP ) j EA jlj西南科技大学返回21:30 小 结结构力学比较以上两种基本体系可以看到，两者力法方程的形 式及其物理意义不同；柔度系数与也不相同, δ11 的计算包 * 括CD杆的影响在内，而 ?11则不包括CD杆的影响； 自由项 S1P的计算两者相同，但物理意义也不同（前者是荷载作用 于基本结构时链杆切口两侧的相对轴向位移，后者是荷载 作用于另一基本结构时C、D两点的相对线位移）。将式（b）移项可得? 6 ( FN ) 2j l j 12 ? l1 ? ? ?? ? X 1 ? Δ1P ? 0 EA1 ? ? j ? 2 EAj ? ?可见与两种基本体系相应的力法方程只是形式上不同, 而内容是等效的. 柔度系数关系为： l1 * ? 11 ? ? 11 ? EA1 在实际计算中通常选用图b所示的基本体系较为方便。西南科技大学退出返回21:30 小 结6. 几个有用的结论结构力学(1) 集中力F 沿某杆的轴线作用，若该杆沿轴线方向 无位移, 则只有该杆承受轴向压力，其余杆件无内力（例 如图a只有AB杆受轴向压力） ；等值反向共线的一对集 中力沿某直杆的轴线作用时，只有该杆受轴向拉力或压 力（例如图b、图c中。 杆件无弯矩, 且只有成对集中力作 用的杆件受轴力）。(a) A F(b)F A CFF E(c)FACFB B FD F FF B DF西南科技大学退出返回21:30 小 结结构力学(2) 集中力作用在无线位移的结点上时，汇交于该结 点的各杆无弯矩，也无剪力（图d）。F (e)(d)注意：以上结论均有一个前提条件：不考虑轴向 变形；若需考虑轴向变形，则结论不成立。 (3) 刚度无穷大的杆件不产生弯曲变形，但可以有 弯矩，杆端的最后弯矩应由结点的平衡条件求出。西南科技大学退出返回21:30 小 结D F B C E A 4m 4m 3m 3m结构力学例：计算图示结构MBA、MCD 。各杆EI=常数。 解： C点无线位移， 其上作用的集中力将只引起 轴力，不引起弯矩和剪力， 故MBA=MCD=0 。同理，下列结构的各杆弯矩等于零。FFF西南科技大学退出返回21:30 小 结三、对称性的利用结构力学（1）超静定结构的对称性包括两方面：几何形状和 支承对称；杆件截面和材料性质（刚度）也对称。 （2）作用于对称结构上的任意荷载可以分为对称 荷载和反对称荷载两部分分别计算。 （3）在对称荷载作用下，变形是对称的，弯矩图和 轴力图是对称的，剪力图是反对称的。在反对称荷载作 用下, 变形是反对称的，弯矩图和轴力图是反对称的，剪 力图是对称的。利用这些规则, 只需计算半边结构。 （4）选取半结构的原则如下： 奇数跨对称刚架在正对称荷载作用下，对称轴处 简化为一定向支座。 奇数跨对称刚架在反对称荷载作用下，对称轴处 简化为一竖向链杆。西南科技大学退出返回21:30 小 结结构力学偶数跨对称刚架在对称荷载作用下，当不考虑中柱轴 向变形时，对称轴的截面无位移，简化为固定支座。偶数跨对称刚架在反对称荷载作用下，原结构简化为 半结构，且中柱的惯性矩减半。（5） 几种典型对称结构的半结构如下列各图所示。(a) (b) (c)正对称半结构反对称半结构西南科技大学退出返回21:30 小 结(a) (b) (c)结构力学或对称轴正对称半结构反对称半结构(a)y(b)(c)ii/2y正对称半结构反对称半结构西南科技大学退出返回21:30 小 结(a)y结构力学(b) (c)ii/ 2ii/2y正对称半结构反对称半结构(a)y(b)(c)i/ 2iEA=8y正对称半结构反对称半结构西南科技大学退出返回21:30 小 结(a) (b) (c)结构力学正对称半结构反对称半结构注意：在利用对称性时应能正确判断荷载的对称性。 例： 在不计轴向变形下，图a所示对称结构（EI=C）， 可取图b来计算吗？ (a) F/ 2F (b) (c) F/ 2解：不可以。 正确的半结构应 为图c。西南科技大学退出返回21:30 小 结结构力学例：图 a所示对称结构，可简化为图b来计算吗？(a) 1.5 l l 1.5 l l l l l l F F (b) F解：可以。西南科技大学退出返回21:30 小 结例：作图a所示结构M图，EI=常数。(a) M (b) M/ 2 (c) M/ 2结构力学aM/ 2aa/ 2a/ 2解：本题为反对称荷载，故先简化成半结构（图b）, 该半结构是静定结构，根据平衡条件即可作出弯矩图(图 c）。西南科技大学退出返回21:30 小 结(a) F F l (b) F (c)结构力学例：用力法计算并做图a所示结构M 图。EI=常数。M =FlFl l (d) l (e) (f)M =FlM =Fl/ 2Fl Fl/ 2对称轴Fl/ 2Fl/ 2Fl Fl/ 2M图解：把原结构简化成图b所示的半结构，再简化成图c， 进一步简化成e图所示的简支梁，可得原结构的M图（图f）。西南科技大学退出返回21:30 小 结结构力学例：试用力法计算图a 所示结构由于AB杆的制造误 差（短S）产生的M 图，已知EI=常数。(a)A(b)(c)A a/ 2 a/2Δ /2EA= ∞aX 1 =1a B a(e)(d)Δ /2 Δ /2?? 3 EIΔ 2 a2M图解：取1/4结构（图b）。由于AB杆短S，可看作支 座A发生向下的位移S／2。西南科技大学退出返回21:30 小 结列力法方程 ?11 X1 ? ?1c ? 0其中结构力学? 11a3 ? 3EI而S1c是当基本结构（图d）发生向下的支座位移时, 沿X1方向产生的位移，因此Δ c ? ?Δ / 2 1解方程得3EIΔ X1 ? 2a 3M 图示于图e。西南科技大学退出返回21:30 小 结结构力学例：图a所示结构，用力法求解时最少未知量个数 为多少？ 解：最少未知量个数为1。 提示：先取半结构（图b），再对图b取半结构 如图c所示。(a)F 3EI 3EI(b)F/ 2 EI h 3EI(c)F/ 4 3EIEI2EIEIEIll西南科技大学退出返回21:30 小 结四、弹性支承超静定结构的计算结构力学例：结构如图所示（f为柔度系数），选择正确答案。A.M A ? MCB. D.M A ? MCM A ? ?M CMc F f lC. M A ? M CMA A EI l FC EI解:正确答案是C。西南科技大学退出返回21:30 小 结结构力学例:图示两弹性支承连续梁，已知EI=常数，k=6EI/l3 ， 试求弯矩图。(a) A F B k kl lCD(b)AlF X1 B(c)D X 1=1 A B 1 CX2 C基本结构2 l __ M1l(d)A B 1 1 l C X 2=1 D(e)A B C1/24 D__ M22 l1 l5/24M P图（Fl )西南科技大学退出返回21:30 小 结（1） 力法方程结构力学解： 此连续梁为二次超静定，取基本体系如图b所示。??11 x1 ? ?12 x2 ? Δ1P ? 0 ? ?? 21 x1 ? ? 22 x2 ? Δ2 P ? 0（2） 计算系数和自由项 位移系数是由两部分产生的：一是荷载产生的，二 是由于弹簧支座位移产生的。 2 1 2 ( ? l ? 1? ? 1) 例如求δ11，由荷载产生的位移是 EI 2 3 由支座产生的位移是 所以2 2 1 1 1 1 ? ? ? ? ? l l k l l k? 113l ? 2 EI退出西南科技大学返回21:30 小 结同理结构力学3l 2 EI 1 1 1 ? 2 ? 1? 1 ? l ? ? l ? 1? ? ? ? ?? ? ? ? 2 ? ? 2 3 EI ? l ? l ? k ? 2EI? 22 ?? 12 ? ? 212? 1 2F l 3 Fl 2 ? Δ1P ? ? ? F ? ? ? ? ? ?? l ?k l 6 EI 3EI ??1 ? 1 F l 3 Fl 2 ? Δ2 P ? ? ? F ? ? ? ? ? l ? k l 6 EI 6 EI ? 将系数代入力法方程典型得? 3l l Fl 2 X1 ? X2 ? ?0 ? ? 2 EI EI 3EI ? 2 ?? l X ? 3l X ? Fl ? 0 ? 2 EI 1 2 EI 2 6 EI ?西南科技大学退出返回21:30 小 结解联立方程得结构力学5 X1 ? Fl 24，Fl X2 ? ? 24由叠加法作弯矩图M ? M 1 X1 ? M 2 X 2 ? M P ? M 1 X1 ? M 2 X 2最后弯矩图如图e所示。西南科技大学退出返回21:30 小 结五、用力法计算超静定结构的位移 用力法计算超静定结构位移的步骤如下：结构力学(1) 先用力法计算出多余未知力, 并作为已知外力作 用于基本结构。 (2) 结构上某点的位移等于基本结构在各种因素（包 括外荷载、多余未知力、支座位移、温度变化等）分别 作用下产生的位移相叠加。 (3) 若超静定结构的M 图已给出，则求位移时只需 在任意的静定结构上施加单位力，画出 M 图，再应用 图乘法或求位移公式即可。西南科技大学退出返回21:30 小 结例：求图a所示梁AB中点的竖向位移。(a) q (b) q (c)结构力学A-t +tlBCA-t +tB AlB M1 X 1=1X1(d) ql / 2 -t +t2q (e) (f) l/2 F =1MPM解：（1） 先求超静定结构的多余未知力X1，基本体 系如图b所示。X1方向的位移由荷载、温度、支座位移三 种因素共同产生，因此力法方程为?11 X1 ? Δ1t ? Δ1P ? Δ1c ? ?c西南科技大学退出返回21:30 小 结分别求出系数1 l3 ?11 ? M 1M 1dx ? EI ? 3EI结构力学1 ql3 Δ1P ? ? M P M1dx ? ? 8EI EIΔ1t ???th? M ds ?1?tl 2hΔ1c ? 03q 3EI ?t 3EIc ? ? 3 8 lh l 最后得弯矩图为：M ? X1M1 ? M P解方程得X1 ?求中点的位移只需在该静定结构上进行即可，在中点 加单位力，作 M 图 1 1 1 ? ? 2t ΔV中 ? ? MMdx ? EI ? ? h ? Mdx EI 1 1 ? ? 2t ? ( M P ? X 1 M 1 ) M dx ? ? ? ? h ? Mdx EI EI西南科技大学退出返回21:30 小 结结构力学例：知结构的弯矩图如图a,试选择最简单的基本结构 计算K点的竖向位移SKV.2.1 2.1K 3EI1.3F =13.5m 1.5m 2m1.0 10.2EI EI 3.03/23m3m4m（a）（b）解：取基本结构（图b），两图相图乘得ΔK V 1 1 3 2 3 5 10.2 ? ( ? 6 ? ?1.7 ? ? 3 ?10.2 ? ? ? 2) ? 3EI 2 2 3 2 8 EI退出 返回西南科技大学21:30 小 结六、超静定结构的校核 1. 平衡条件的校核结构力学从结构中任意取出的一部分都应当满足平衡条件}
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§5-8. 荷载作用下超静定结构的位移计算 §5-10 超静定结构的特性
相对于静定结构， 一、超静定结构在失去多余约束后，仍可以维持几何不变性。 二、超静定结构的最大内力和位移小于静定结构。
三、超静定结构的反力和内力与杆件材料的弹性常数和截面尺寸有关。
？？ 四、温度改变、支座移动等因素会引起超静定结构的内力。
？？ 2.当虚力状态建立在原超静定结构对应的静定基本结构上时，单位弯矩图见图(e)。 也可以取f图作为静定基本系，建立虚力状态，结果相同。 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile . Copyright
Aspose Pty Ltd. 超静定结构位移计算不仅可以检验结构刚度是否满足要求，还可以进行位移校核。 B点的竖向位移 计算结果与原结构的位移条件相符，原弯矩图正确。 校核A点的转角？ Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile . Copyright
Aspose Pty Ltd. §5-9 对称性 (Symmetry) 的利用
对称结构 非对称结构 注意：结构的几何形状、支承情况以及杆件的刚度三者之一有任何一个不满足对称条件时，就不能称超静定结构是对称结构。 支承不对称 刚度不对称 几何对称 支承对称 刚度对称 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile . Copyright
Aspose Pty Ltd. 对称结构的求解： 力法典型方程为： （1）选取对称的基本结构 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile . Copyright
Aspose Pty Ltd. 典型方程简化为： 正对称部分 反对称部分 正对称与反对称荷载： Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile . Copyright
Aspose Pty Ltd. 如果作用于结构的荷载是对称的，如: 如果作用于结构的荷载是反对称的，如: Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile . Copyright
Aspose Pty Ltd. 结论：对称结构在正对称荷载作用下，其内力和位移都是正对称的；在反对称荷载作用下，其内力和位移都是反对称的。 例，求图示结构的弯矩图。EI=常数。 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile . Copyright
Aspose Pty Ltd. 解：根据以上分析，力法方程为： Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile . Copyright
Aspose Pty Ltd. 由于
，问题无法化简 例： Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile . Copyright
Aspose Pty Ltd. （2）未知力分组和荷载分组 力法典型方程成为： Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile . Copyright
Aspose Pty Ltd. 对称结构承受一般非对称荷载时，可将荷载分组，如： （3）取半结构计算： 对称轴 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile . Copyright
Aspose Pty Ltd. 问题：偶数跨对称刚架如何处理？ （d） （c） Evaluation only. Created with
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结构力学李廉锟版-力法
结构力学第七章 力法§7-1 §7-2 §7-3 超静定结构概述 超静定次数的确定 力法的基本概念§7-4 力法的典型方程 §7-5 力法的计算步骤和示例§7-6 对称性的利用 §7-7 超静定结构的位移计算退出 返回西南科技大学21:30 结构力学§7-8 最后内力图的校核§7-9温度变化时超静定结构的计算§7-10 支座位移时超静定结构的计算§7-11* 用弹性中心法计算无铰拱§7-12* 两铰拱及系杆拱§7-13 超静定结构的特性本章总结本章自测题西南科技大学退出返回21:30 §7-1 超静定结构概述结构力学一、超静定结构的静力特征和几何特征超静定结构：具有多余约束的结构。静力特征：反力和内力不能仅由平衡条件全部解出。几何特征：具有多余约束的几何不变体系。F A FxA FyA FyB F yc B CF FxA A C BFyADF yB外部一次超静定结构内部一次超静定结构西南科技大学退出返回21:30 §7-1 超静定结构概述思考：多余约束是多余的吗？结构力学从几何角度与结构的受力特性和使用要求两方面讨论。q A lAq 8 l2q B A C0.5l 0.5lBBAql2ql 32C2Bql26464超静定结构的优点为: 1. 内力分布均匀 2. 抵抗破坏的能力强退出 返回西南科技大学21:30 §7-1 超静定结构概述二、超静定结构的类型超静定梁结构力学超静定刚架超静定拱无铰拱两铰拱西南科技大学退出返回21:30 §7-1 超静定结构概述超静定桁架结构力学超静定组合结构西南科技大学退出返回21:30 §7-1 超静定结构概述三、超静定结构求解方法概述结构力学Methods of Analysis of Statically Indeterminate Structures遵循同时考虑“变形、本构、平衡”分析超静定问 题的思想，可有不同的出发点：1. 力法----以多余约束力作为基本未知量以力作为基本未知量，在自动满足平衡条件的基础 上进行分析，这时主要应解决变形协调问题，这种分 析方法称为力法（force method）。 基本未知量：当它确定后，其它力学量即可完全 确定。--关键量西南科技大学退出返回21:30 §7-1 超静定结构概述结构力学2. 位移法----以结点位移作为基本未知量以位移作为基本未知量，在自动满足变形协调条 件的基础上来分析，当然这时主要需解决平衡问题， 这种分析方法称为位移法（displacement method）。3. 混合法----以结点位移和多余约束力作为 基本未知量如果一个问题中既有力的未知量，也有位移的未 知量，力的部分考虑位移协调，位移的部分考虑力 的平衡，这样一种分析方案称为混合法（mixture method）。西南科技大学退出返回21:30 §7-1 超静定结构概述4. 力矩分配法----近似计算方法结构力学位移法的变体，便于手算，不用解方程。5. 结构矩阵分析法----有限元法.?矩阵力法 ? 适用于电算 ?矩阵位移法以上各种方法共同的基本思想:1. 找出未知问题不能求解的原因； 2. 将其化成会求解的问题； 3. 找出改造后的问题与原问题的差别； 4. 消除差别后，改造后的问题的解即为原问题的解。西南科技大学退出返回21:30 §7-2 超静定次数的确定 一、概念结构力学超静定次数：多余约束（联系）或基本未知力的个数。二、确定方法1）由计算自由度 W确定n ? ?W？n ? ?W ? ?(3m ? 2h ? r ) ? ?(3 ? 4 ? 2 ? 5 ? 3) ? 12）去约束法 将多余约束去掉，使原结构转化为静定结构。西南科技大学退出返回21:30 §7-2 超静定次数的确定结构力学解除多余约束的办法确定超静定结构的超静定次 数，应注意以下几点： （1）去掉一根链杆，等于拆掉一个约束。AABA曲梁，静定结构。AB两铰拱，一次超静定结构。BB一次超静定桁架静定桁架西南科技大学退出返回21:30 §7-2 超静定次数的确定结构力学去掉几个约束后成为静 定结构,则为几次超静定X1 X2 X3 X1 X2 X3X1X2X3去掉一个链杆或切断一个链杆相 当于去掉一个约束西南科技大学退出返回21:30 §7-2 超静定次数的确定结构力学（2）去掉一个铰支座或一个单铰，等于拆掉两个约束。（3）去掉一个固定支座或切断一个梁式杆，等于拆掉 三个约束。切断一个梁式杆，等于拆掉三个约束。西南科技大学退出返回21:30 §7-2 超静定次数的确定结构力学（4）在梁式杆上加上一个单铰，等于拆掉一个约束。三次超静定刚架静定悬臂刚架静定三铰刚架（5）去掉一个连接n个杆件的铰结点，等于拆掉2(n-1) 个约束。 （6）去掉一个连接n个杆件的刚结点，等于拆掉3(n-1) 个约束。西南科技大学退出返回21:30 §7-2 超静定次数的确定结构力学（7）只能拆掉原结构的多于约束，不能拆掉必要约束。 （8）只能在原结构中减少约束，不能增加新的约束。 注意：同一超静定结构可有不同的解除多余约束的方 式，但解除约束的个数是相同的, 解除约束后的体系 必须是几何不变的。A C D BACDF E五次超静定刚架E西南科技大学退出返回21:30 §7-2 超静定次数的确定A C D B结构力学A C D BF E EF以五个支座链杆为多余约束静定悬臂刚架其它形式的静定刚架：A A C CK D K DB BA AC CD DB BF F E E E EF F静定三铰刚架静定简支刚架退出 返回西南科技大学21:30 §7-2 超静定次数的确定3）框格法 一个封闭无铰框格结构力学n?3m个封闭无铰框格n ? 3 ? 5 ? 15西南科技大学退出返回21:30 §7-2 超静定次数的确定若有铰结构力学n ? 3m ? hh―单铰数，则n ? 3? 5 ? 9 ? 6注意：多少个封闭无铰框格？西南科技大学退出返回21:30 §7-2 超静定次数的确定 三、计算示例n?6拆除多余联系变成的 静定结构形式：结构力学西南科技大学退出返回21:30 §7-2 超静定次数的确定X2结构力学X1X7X5X3X4X8X9X6X 106 ? 3 ? 8 ? 10西南科技大学退出返回21:30 §7-3 力法的基本概念1. 力法基本思路q A B结构力学待解的未知问题原（一次超静定）结构1)、去掉多余约束代之以多余未知力，将原结构转化 一个在荷载和未知力共同作用下的静定结构(基本体 系)。 q 去掉余约束代之以多余未 A 知力，得到基本体系。 B基本体系X1关键：X1 ? ?力法基本未知量返回西南科技大学退出21:30 §7-3 力法的基本概念结构力学2)、沿多余未知力方向建立位移协调方程，解方 程就可以求出多余未知力X1 。位移协调条件：基本结构在原有荷载 q 和多余 力X1共同作用下，在去掉多余联系处的位移应与原 结构相应的位移相等。 原结构的B是刚性支座, 该点的竖向位移是零。 即原结构在的X1位移为：?1 ? 0变形条件在变形条件成立条件下,基本体系的内力和 位移与原结构等价.西南科技大学退出返回21:30 §7-3 力法的基本概念A B结构力学基本结构（悬臂梁）超静定结构计算基本结构静定结构计算对静定结构进行内力、位移计算，已经很掌握。Aq△ 11B△1PA BX1西南科技大学退出返回21:30 §7-3 力法的基本概念结构力学在荷载作用下B 点产生向下的位移为S1P, 未知力 的作用将使B点产生的向上的位移为S1X 。 要使体系的受力情况与原结构一样, 则必须B 的 位移也与原结构一样，要求： 位移协调条件Δ1=Δ1X+Δ1P=0 (a)Δ1P ――基本结构由荷载引起的竖向位移, Δ1X ――基本结构由知力引起的竖向位移。西南科技大学退出返回21:30 §7-3 力法的基本概念由叠加原理 Δ1X=δ11X1 δ11X1+Δ1P=0A B M1X1= 1结构力学(b) ――力法典型方程ql2互乘2lA MPB自 乘? ii ― 位移系数?iP― 广义荷载位移AyC M 1M 1 1 1 2 1 3 ?11 ? ? dx ? ? ( ? l ? l ? l) ? l EI EI EI 2 3 3EI西南科技大学退出返回21:30 §7-3 力法的基本概念结构力学AyC M 1M P 1 1 1 2 3 ql 4 Δ1P ? ? dx ? ? ? ( ? ql ? l ? l ) ? ? EI EI EI 3 2 4 8EI将δ11、Δ1P 入力法典型方程，解得:X1 ? ??11Δ1P3 ? ql 83)、将求出的多余未知力作用于基本结构，用叠加 法即可求出超静定结构的内力。ql 8 A2由：M ? X1 M 1 ? M PBM图西南科技大学退出返回21:30 §7-3 力法的基本概念2. 几个概念结构力学力法的基本未知数:超静定结构多余约束的未知 约束力, 即超静定次数。 力法的基本结构:把原超静定结构的多余约束去掉, 所得到的静定结构就称为原结构的基本结构。力法的基本体系:在基本结构上加上外荷载及多 余约束力，就得到了基本体系。力法的基本方程:根据原结构已知变形条件建立的力 法方程。对于线性变形体系，应用叠加原理将变形条件 写成显含多余未知力的展开式，称为力法的基本方程。西南科技大学退出返回21:30 §7-3 力法的基本概念结构力学选取基本体系的原则：基本体系必须是几何不变 的。通常取静定的基本体系。在特殊情况下也可以取超静定的基本体系。思考：力法的基本体系是否唯一？ 答：不唯一。解除不同的多余约束可得不同的基本体 系。西南科技大学退出返回21:30 §7-3 力法的基本概念 力法基本思路小结:结构力学根据结构组成分析，正确判断多余约束个数― ―超静定次数。解除多余约束，转化为静定的基本结构。多余约 束代以多余未知力――基本未知力。 分析基本结构在单位基本未知力和外界因素作用 下的位移，建立位移协调条件――力法典型方程。 从典型方程解得基本未知力，由叠加原理获得结 构内力。超静定结构分析通过转化为静定结构获得 了解决。西南科技大学退出返回21:30 §7-3 力法的基本概念结构力学将未知问题转化为 已知问题，通过消除已 知问题和原问题的差别， 使未知问题得以解决。 这是科学研究的 基本方法之一。西南科技大学退出返回21:30 §7-4 力法的典型方程 一、多次超静定的计算结构力学超静定刚架如图所示, 荷载是作用在刚性结点C上 的集中力矩M 。MBB CMB C X1 X2CEI= 常数lAl/2lAl/ 2Al/ 2原结构基本结构基本体系（1）力法基本未知量X1 与X2西南科技大学l退出 返回21:30 §7-4 力法的典型方程C' C B' B△ 21l结构力学B'△12△ 11C' CMX1B X2lC C'B△ 1PAl/ 2Al/2Al/ 2（2）位移协调条件：基本结构在原有荷载M 和赘余 力X1、X2共同作用下，在去掉赘余联系处的位移应与 原结构相应的位移相等。 基本体系在X1方向的位移为零，Δ1=0 （a） 基本体系在X2方向的位移为零, Δ2=0}西南科技大学退出返回21:30l△ 22B'△2P §7-4 力法的典型方程? Δ1 ? Δ11 ? Δ12 ? Δ1p ? 0 ? ? ? Δ2 ? Δ21 ? Δ22 ? Δ2 p ? 0 ?将 Δ11 ? ?11 X1 ， Δ21 ? ? 21 X 1 ，结构力学（b）Δ12 ? ?12 X 2Δ22 ? ? 22 X 2代入（b）式，得两次超静定的力法基本方程??11 X 1 ? ?12 X 2 ? Δ1p ? 0 ? ? ?? 21 X 1 ? ? 22 X 2 ? Δ2 p ? 0 ?（c）西南科技大学退出返回21:30 §7-4 力法的典型方程结构力学（3）计算系数与自由项。作出基本结构分别在单 位力 与荷载单独作用下的弯矩图。l/ 2 CX1=1BB CX2 =1MMB ClM1M2MPAl/ 2 l/ 2All l/ 2Al/2西南科技大学退出返回l21:30 §7-4 力法的典型方程结构力学? 21 ? ?12Δ1p ? ?M 12 1 1 l l 2 l l l 7l 3 ?11 ? ? dx ? [ ? ? ? ( ? ) ? l ? ? ] ? EI EI 2 2 2 3 2 2 2 24 EI M 22 1 1 2 l3 ? 22 ? ? dx ? ? ?l ?l ? ?l ? EI EI 2 3 3EI M 1M 2 1 l l l3 ?12 ? ? dx ? ? ?l ?l ? ? EI EI 2 2 4 EIM 1M P 1 l ml 2 dx ? ? ? m?l ? ? ? EI EI 2 2 EIM 2M P 1 l ml 2 Δ2 p ? ? dx ? ? ? m?l ? ? ? EI EI 2 2 EI西南科技大学退出返回21:30 §7-4 力法的典型方程结构力学（4）求出基本未知力。 将计算出来的系数与自由项代入典型方程 得 ? 7l 3 l3 Ml 2 X1 ? X2 ? ?0 ? ? 24 EI 4 EI 2 EI ? 3 l l3 Ml 2 ? X ? X ? ?0 ? 4 EI 1 3EI 2 2 EI ?3M 6M (?) (?) ， X 2 ? 解方程得 X 1 ? 5l 5l求得的X1、X2为正，表明与原假定的方向一致。西南科技大学退出返回21:30 §7-4 力法的典型方程结构力学(5) 作内力图。 先作弯矩图（ M ? M 1 X 1 ? M 2 X 2 ? M P ），把 弯矩图画在杆件的受拉纤维一侧。 再作剪力图，最后作 轴力图。l/ 2 CX1=1BB CX 2 =1MB C2M/ 5C3M/ 5BMlM1lM2lMPMAl/ 2 l/ 2Al l/ 2Al/2AMM/ 5l/2由刚结点C 的平衡可 知M 图正确。C2 M /53 M /5西南科技大学退出返回l21:30 §7-4 力法的典型方程结构力学作剪力图的原则是, 截取每一杆为隔离体，由平 衡条件便可求出剪力。2M M ? 5 5 ? ? 3M 杆AC: FSCA ? FSAC ? ? l 5l 杆CB:3M/52M/5FS CBFS BCFSCB ? FSBCCCFSCA C2 M/ 5BB3M/5?3 ? ? M? ? 5 ? ? ? 6M ?? 5l ?l? ? ? ?2?BC6 M / 5l3M/ 5llMFSAA FSACM/ 5AM /5 l/2l/ 2西南科技大学l退出返回21:30 §7-4 力法的典型方程结构力学作最后轴力图的原则是考虑结点平衡，由杆端的 剪力便可求出轴力。6 M/5 lC6 M / 5lBCC3 M/5 lB3M/ 5 lFN CB6M/5l3M/ 5llFSAFN CAFNAl/ 2l/ 2取刚结点C 为隔离体，由投影平衡条件解得 6M 3M FNCA ? （压） （拉）， FNCB ? ? 5l 5l西南科技大学l退出返回21:30 §7-4 力法的典型方程 二、力法典型方程n 次超静定定结构，力法典型方程为结构力学??11 X 1 ? ?12 X 2 ? ? ? ?1n X n ? Δ1p ? 0 ? ?? 21 X 1 ? ? 22 X 2 ? ? ? ?1n X n ? Δ2 p ? 0 （7-1a） ? ??? ?? ?? ?? ?? ?? X ? ? X ? ? ? ? X ? Δ ? 0 n2 2 nn n np ? n1 1柔度系数 ? ij―― 表示当单位未知力Xj=1作用下, 引起基本体系中Xi 的作用点沿Xi方向的位移。 思考：柔度系数由什么的特点？ 答：? ij ? ? ji， ? ii ? 0 。西南科技大学退出返回21:30 §7-4 力法的典型方程作用点沿Xi方向的位移。结构力学自由项? iP――荷载作用下引起基本体系中Xi 的由力法典型方程解出n 个基本未知数X1，X2，… ， Xn后就己将超静定问题转化成静定问题了。 通常先用叠加原理计算弯矩M ? M1 X 1 ? M 2 X 2 ? ? ? M i X n ? M p由弯矩图并应用平衡条件可求出剪力图和轴力图。西南科技大学退出返回21:30 §7-4 力法的典型方程 小结：结构力学1、力法的典型方程是体系的变形协调方程； 2、主系数恒大于零，副系数满足位移互等定理； 3、柔度系数是体系常数； 4、荷载作用时,内力分布与刚度大小无关，与 各杆刚度比值有关，荷载不变，调整各杆刚度 比可使内力重分布。西南科技大学退出返回21:30 §7-5 力法的计算步骤和示例例: 用力法计算图示刚架，并作M图。结构力学基本体系解：１) 确定力法基本未知量和基本体系 力法方程： ?11x1+ ?12x2+ ?1P=0 ?21x1+ ?22x2+ ?2P=0２) 作M1、M2、MP图西南科技大学退出返回21:30 §7-5 力法的计算步骤和示例结构力学M1基本体系MP西南科技大学退出返回21:30 §7-5 力法的计算步骤和示例３）计算系数、自由项 ?11=5l/12EI ?22=3l/4EI ?12=?21 =0 ?1P= FPl2/32EI ?2P = 0 ４）代入力法方程，求多余力x1、x2 （5l/12EI）x1 + FPl2/32EI =0 x1 = -3FPl/40 ( 3l/4EI )x2= 0 x2 = 0结构力学５）叠加作M图 MAC=x1M1+x2M2+MP= (-3FPl/40)/2= -3FPl/80 (右侧受拉）说明:力法计算刚架时，力法方程 中系数和自由项只考虑弯曲变形的 影响： ?ii = ∑∫l (Mi2 /EI)ds ?ij = ∑∫l (Mi Mj /EI)ds ?iP= ∑∫l (Mi MP /EI)ds西南科技大学退出返回21:30 §7-5 力法的计算步骤和示例 力法的解题步骤结构力学（1）确定结构的超静定次数，选取适当的约束 作为多余约束并加以解除，并代之以多余约束的约束 反力, 即基本未知数。即得基本体系。 （2）列力法方程式 ? ij x j ? ? ip ? 0 (i, j ? 1, 2, 3?, n) （3）计算系数与自由项。分别画出基本体系在 单位未知力和荷载作用下的弯矩图。等直杆用图乘 法计算。曲杆则列出弯矩方程用积分公式计算。 （4）将计算出来的系数与自由项代入典型方程。 解此方程，求出基本未知力。 （5）在基本体系上计算各杆端内力，并据此作 出基本体系的内力图, 也就是原结构的内力图。 （6）校核。西南科技大学退出返回21:30 §7-5 力法的计算步骤和示例例7-1 剪力图。结构力学用力法求解图示刚架内力，并作弯矩图和解:(1)确定超静定次数、选择基本体系。10 kN/mD C EEI= 常数10 kN/mDEI= 常数BCX1E3mA 3m 3mAB原结构基本体系（2）列出力法典型方程? 11 X 1 ? ?1p ? 0（a）西南科技大学退出返回21:30 §7-5 力法的计算步骤和示例M (3)计算系数及自由项。作 M 1 、 p 图D 1 1 CX 1=1结构力学22.5 E1 1E 110 kN/m22.5 D 11.5 C AAM1BB M P (kN m)由图乘得1 Δ1p ? EI ?2 ? ?1 ? 2 ? 3 ? 22.5 ? 3 ? 1? ? 2 ? ?? 11?? 1 ? 2 ? ? 3 ? 225 ? ? 2 ? ? 3 ? 11.25? ? 1 ?? 2 3 ? ?? ? 45 45 90 ? ? ? EI EI EI 1 ?? 1 2 ? 8 ? ? ? 3 ? 1 ? ? 1? ? 2 ? 6 ? 1 ? 1? ? ? EI ?? 2 3 ? EI ? ? 1 EI退出 返回西南科技大学21:30 §7-5 力法的计算步骤和示例结构力学(4)解方程求未知力。 1 将 ? 11 与 Δ1P 代入式（a），消去公因子 ，得 EI 解此方程得8 X 1 ? 90 ? 090 X1 ? ? ? ?11.25kN （ ） （下侧受拉） 8 (5)求作弯矩图。M ? M1 X1 ? M p90 M DA ? M 1 X 1 ? M P ? 1? (? ) ? 22.5 ? 11.25 (kN ? m) （左侧受拉） 8 ? 90 ? （右侧受拉） M EB ? 1? ? ? ? ? 22.5 ? 11.25 (kN ? m) ? 8?西南科技大学退出返回21:30 §7-5 力法的计算步骤和示例11.25 C D结构力学11.25 E 14.1 M (kN m) 3m 3m3mAB(6)作剪力图。利用BE 杆力偶系平衡条件得 11.25 FSEB ? FSBE ? ? 3.75 (kN) 3 FSDA ? FSAD ? ?3.75 (kN) 同理 11.25 ? 2 FSEC ? ? ? ?7.5 (kN) 3 由 FSEC ? ?7.5 kN ,得支座B 的竖向反力为7.5 kN（? ）。西南科技大学退出返回21:30 §7-5 力法的计算步骤和示例结构力学支座A 的竖向反力为22.5kN（?），杆DC 的D 端剪力应等于 FSDC ? 22.5 kN(7) 作轴力图。 根据最后剪力图可作出最后轴力图。22.5 D 7.5 3.75 A E 3.75A 22.5 D 3.75 E 7.5Fs (kN)BFN (kN)B西南科技大学退出返回21:30 §7-5 力法的计算步骤和示例例7-2 用力法计算图示刚架，作弯矩图。结构力学解:(1)确定超静定次数并选定基本结构。X1 X 2 C X1 E60 kND CE60 kNX2 D4m A 3mEI= 常数B 1m 1m 3mEI= 常数A B原结构基本体系西南科技大学退出返回21:30 §7-5 力法的计算步骤和示例(2) 列出力法典型方程。结构力学??11 X 1 ? ?12 X 2 ? Δ1P ? 0 ? ?? 21 X 1 ? ? 22 X 2 ? Δ2 P ? 0(3) 计算系数及自由项。 作 M P、 M 1 、M 2 图240 A60 kN（a）D C EM p (kN m)BX2 =1 D C E1DCE1X1 =14AM1B4A4M2B4西南科技大学退出返回21:30 §7-5 力法的计算步骤和示例b aA l(a)结构力学两个梯形相乘,可将梯形划分为两个三角形相乘.令图a与图b中的c d C相图乘，得BA1 y1c ?c dC l(b)D再令图a与图b中的C d D相图乘，得A1 y2 c ?A1 yC ? ?1 2 1 1 ?l ? a ? ?c ? ?l ?b ? ?c 2 3 2 3 l l ? ? 2ac ? ? bc 6 6 l ? (2ac ? bc) 61 1 1 2 l l ? a ? d ? l ? b ? d ? (ad ? 2bd ) 2 3 2 3 6将结果相加，得最终图乘结果：l l (2ac ? bc) ? (ad ? 2bd ) 6 6 l ?c(2a ? b) ? d (a ? 2b)? 6退出 返回西南科技大学21:30 §7-5 力法的计算步骤和示例计算?ij? 11结构力学1 5 1 2 ? ? ? ?(2 ? 4 ? 1) ? 4 ? (4 ? 2 ? 1) ? 1?? 2 ? ( ? 1? 1? ?1) ? 2 EI 6 2 3 E 1D 212 ? C 1 3EI =1 X14? 221 1 2 ? ? ? 5? 4? ? 4? 2 EI 2 3 160 ? 3EIAM1X2 =1 D C EB44A4M2B由图的 M 1 与 M 2 的对称性,有? 21 ? ? 12 ? 0西南科技大学退出返回21:30 §7-5 力法的计算步骤和示例1DC E结构力学X2 =1 D C E1X 1 =14AM1B4A4M2B460 kND CEM p (kN m)240ABΔ2 P ?1 1 2 4800 ? ? 5 ? 240 ? ? 4 ＝ EI 2 3 3EI1 5 5400 Δ1P ? ? ? 240 ? (2 ? 4 ? 1) ＝ EI 6 3EI西南科技大学退出返回21:30 §7-5 力法的计算步骤和示例(4) 解方程求未知力。结构力学1 Δ 将 ? 11 ? 22 Δ1p、 2p 代入式(a)并消去公因子 、 、 得 3EI?212 X 1 ? 5400 ? 0 ? ?160 X 2 ? 4800 ? 0解得? X 1 ? ?25.5kN ? ? X 2 ? ?30.0kNX 1 、 2 即为原刚架上铰C两侧截面上的剪力和轴力。 X西南科技大学退出返回21:30 §7-5 力法的计算步骤和示例(5)计算杆端弯矩，作出的最后弯矩图。结构力学M AD ? M1 X 1 ? M 2 X 2 ? M P ? 4 ? (?25.5) ? 4 ? (?30.0) ? 240 （外侧受拉） ? 18.0 (kN ? m) M DA ? 1? (?25.5) ? ?25.5 (kN ? m) （内侧受拉）M EB ? (?1) ? (?25.5) ? 25.5 (kN ? m)最后弯矩图25.5 25.5 25.5 25.5 18.0 M (kN m)（内侧受拉）B18.0A弯矩图具有反对称 性质，这是由荷载与结 构的对称性决定的。返回西南科技大学退出21:30 §7-5 力法的计算步骤和示例结构力学例7-3 用力法计算图（a）所示排架，作弯矩图。已 EI 知 EI 3 ? 1.6EI ， 2 ? 3.12 EI ， 1 ? 0.68 EI 。忽略排架顶 EI 部拉杆的轴向变形, 将拉杆视为刚性杆。F G H 15 kNX1 F X2 G15 kN3.2 mDEEI1 EI 18mEI3 A BEI 2 EI2 CA B C解: (1) 确定超静定次数并选定基本体系。 (2) 列出力法方程。 ??11 X 1 ? ?12 X 2 ? Δ1p ? 0 ?(a)基本体系? ?? 21 X 1 ? ? 22 X 2 ? Δ2 p ? 0 ?退出 返回西南科技大学21:30 §7-5 力法的计算步骤和示例F D X 1 =1 E结构力学F G D EX2=1G HFEI1 EI1 HG15 kNHEI38 A B 8 CA 11.2EI 2 EI2 B C11.2ABC120 kN m●M 1 (kN ? m)M 2 (kN(e) ? m)M P (kN ? m)(3) 计算系数及自由项。 作MP、M1、M2图。注意δ11与δ22都包括两部分，令M1 图左边柱、中间柱的计算结果分别为 、 ? ? ? ??1111由M1图得83 ， ? ? 11 ? 3EI 383 ?? ? 11 ? 3EI 283 83 83 83 161.4 ? ?? ?11 ? ?11 ? ?11 ? ? ? ? ? 3EI 3 3EI 2 3 ?1.6 EI 3 ? 3.12 EI EI西南科技大学退出返回21:30 §7-5 力法的计算步骤和示例F D X 1 =1 E G结构力学GX2=1 F EI1 EI1 HHEI38 A B 8 CA 11.2EI 2 EI2 B C11.2? 22 ? [1 1 2 1 (e) 2 ( ?11.2 ?11.2 ? ?11.2 ? ? 3.2 ? 3.2 ? ? 3.2) EI 2 2 3 2 3 1 1 2 ( ? 3.2 ? 3.2 ? ? 3.2)] ? 2 EI1 2 3? ?[? 121 1 162.6 325.3 (11.23 ? 3.23 ) ? 3.23 ] ? 2 ? ?2 ? 3EI 2 3EI1 EI EI 1 1 2 1 ?? ? ? 8 ? 8 ? ( ? 11.2 ? ? 3.2) EI 2 2 3 3?? 273.1 87.53 ?? EI 2 EI返回西南科技大学退出21:30 §7-5 力法的计算步骤和示例F D X 1 =1 E G H结构力学F G D EX2=1 F EI1 EI1 H G15 kNHEI38 A B 8 CA 11.2EI 2 EI2 B C11.2ABC120 kN m●(e) 计算自由项 Δ1p ? 0 1 1 1 ?2 ? Δ2 p ? ? ? ? 8 ? 120 ? ? ? 11.2 ? ? 3.2 ? EI 2 2 3 ?3 ?
?? ?? 3.12 EI EI (4) 解方程求未知力。将计算出来的系数与自由项代入力法方程式，消去公 因子后得西南科技大学退出返回21:30 §7-5 力法的计算步骤和示例?161.4 X 1 ? 87.53 X 2 ? 0 ? 0 ? ?? 87.53 X 1 ? 325.4 X 2 ? 1313 ? 0F D E结构力学G H 12.9解得 X1 ? 2.188 kN ， X 2 ? 4.035 kN 表明轴力杆DE、FG均受拉。17.5 A 22.7 B C 74.8M图(kN . m) M (kN m) (5)将 X 1、X 及荷载加在基本结构上，利用平衡条件 2 计算弯矩 （左侧受拉） M AD ? 8 ? 2.188 ? 17.5 (kN ? m)M EF ? 3.2 ? 4.035 ? 12.9 (kN ? m)作出弯矩图如图所示。（左侧受拉）M BF ? ?8 ? 2.188 ? 11.2 ? 4.035 ? 27.7 (kN ? m) （左侧受拉）西南科技大学退出返回21:30 §7-5 力法的计算步骤和示例X1结构力学例7-4 用力法计算图示桁架，作轴力图。各杆EA相同。F C l A l B DF CDAB基本体系 解: (1) 确定超静定次数及选定基本体系。 (2) 列出力法方程为:?11 X 1 ? Δ1p ? 0(3) 计算系数及自由项。 计算FN1和FNP。西南科技大学退出返回21:30 §7-5 力法的计算步骤和示例F C0结构力学-0.442 F C D0X1 =1D 0CD0.558FFA-112FF NP5 .62 0AF-0.78 9FBBAFN1B1 Fl Δ1p ? ? F ? 1? l ? ? 2 F ? (? 2 ) ? 2l ? 1? 2 2 EA EA 2 FN 1 l 1 2 ?1 ? l ? 3 ? ? 2 2 ? 2l ? 2? ? l 3 ? 4 2 ? 11 ? ? ? ? EA ? ? EA EA ??????FN?????(4) 解方程求未知力l 将 ? 11 、 1p 代入式a，消去公因子 后得 Δ EA 3 ? 4 2 X1 ? 1 ? 2 2 F ? 0????1? 2 2 X1 ? ? F ? ?0.442 F 负号表明杆CD 受压。 3? 4 2西南科技大学退出返回21:30-0.442 F22 §7-5 力法的计算步骤和示例(5)计算轴力时应用公式：结构力学FN ? ? F Ni X i ? FNFNAC ? F NAC X1 ? F ? 1? ?? 0.4422F ? ? F ? 0.558F （拉）FNBD ? F NCD ? X 1 ? ?0.442FFNAD ? F NAD X 1＋0（压） （拉）FNBC? ? ? ?? 2 ?? ?? 0.442F ? ?退出? ? 2 ? ?? 0.442 F ? ? 0.625F2F ? ?0.789F（压）西南科技大学返回21:30 §7-5 力法的计算步骤和示例注意：结构力学1. 排架在单层工业厂房中有广泛的应用。排架 顶部的轴力杆由厂房屋架简化而来。并且忽略屋架 整体沿跨度方向的变形。在受力分析中，通常将屋 架与柱顶的联结处当作铰结点处理，这样的排架称 铰接排架。 2. 超静定结构在荷载作用下，结构的内力与杆 件截面刚度EI 的绝对值无关, 只与各杆截面刚度的 相对值有关。西南科技大学退出返回21:30 §7-5 力法的计算步骤和示例EI ? 1.99 ?104 kN ? m 2 EA1 ? 2.48 ?106 kN ，结构力学例7-5 用力法计算图a所示组合结构。已知梁式杆压杆DC、EF的， EA2 ? 4.95 ?105 kNq=15 kN/mA C D B F EA，q=15 kN/mB C X =1 F 1 D E拉杆AD、DE、BE的 EA3 ? 2.4 ?105 kN。2m 2m2m4m2m2m4m2m解: (1) (a) 一次超静定。 (2) 列出力法方程 ?11 X 1 ? Δ1p ? 0基本体系西南科技大学退出返回21:30 §7-5 力法的计算步骤和示例q=15 kN/mA C F 90 120 D E B A√ 2结构力学2 C -1 -1 2 F 2 -1 √ D X1 =1 E B2m 2m2m 2m4m2m4m2mM P (KN?m) F NP =0M 1 F N1FN1FNP Ayc ?? 利用位移的公式： Δ ? ? EA EIΔ1p ? ?M F (3) 作F N1、M 1 、 p 、 NP 图。1 1 2 2 1 {[( ? 2 ? 90 ? ? 2) ? ? 2 ? 7.5 ? ? 2] ? 2 EI 2 3 3 2 2 ? [4 ? 90 ? ? 4 ? 30] ? 2} 3 1 1140 ?? {260 ? 880} ? ? ? ?5.73 ? 10 ? 2 (m) EI 1.99 ? 10 4退出 返回西南科技大学21:30 §7-5 力法的计算步骤和示例q=15 kN/mC F 90 120 D E B A√ 2结构力学2 F 2 -1 √ D X1 =1 E C -1-12B2m 2m2m4m2m4m2mM P (KN?m) M 1 F N1 F NP F N1 自相图乘的结果为 =0 2 F N1 8 4 4?8 2 (1 ?11) ? ? l? ? ? ? 3.23 ? 10 ? 6 EA EA1 EA2 EA3M 1自相图乘的结果为 1 1 2 ( 2) ?11 ? [ ? 2 ? 2 ? ? 2 ? 2 ? 4 ? 2 ? 2] EI 2 3 64 ? ? 1.144 ? 10 ? 3 3EI西南科技大学退出返回21:30 §7-5 力法的计算步骤和示例(1 ( ?11 ? ?11) ? ?112)结构力学? 3.23 ? 10? 6 ? 1.144 ? 10?3 ? 1.15 ? 10?3梁的轴向变形对δ11的影响为8 EA1?113.23 ?10 ?6 ? ? 2.81?10 ?3 1.15 ?10 ?3占δ11的0.28%，故计算δ11时可以略去。西南科技大学退出返回21:30 §7-5 力法的计算步骤和示例(4) 解方程求未知力。 算得结构力学X 1 ? 49.8kN（拉）(5) 作内力图。M CA ? M 1 X 1 ? M p ? (?2) ? 49.8 ? 90 ? ?9.6(kN ? m)9.6（上侧受拉）BA2mC -49.8 F20 -49.84m9.670 -49.8 .4-49.8D2mE70.42mFN (kN)M (kN m)西南科技大学退出返回21:30 §7-5 力法的计算步骤和示例结构力学讨论：由于撑杆DC 、 EF的存在，使梁上C 、 F 截面出现了负弯矩，整根梁的弯矩分布比简支梁均 匀。本例中拉杆与压杆的变形之比为4 ? 8 2 EA2 4 ? 8 2 EA2 15.3 4.95 ? 10 5 ? ? ? ? ? ? 7.89 5 EA3 4 4 EA3 4 2.4 ? 10增减此比值，将使梁中弯矩产生变化。如减小拉 杆截面, 其轴力下降，导致梁上C、F截面上负弯矩值 减小；当EA3→0时，组合结构趋近简支梁。西南科技大学退出返回21:30 §7-5 力法的计算步骤和示例X2 X3结构力学X2 X1 Mp例7-6 试列出用力法求解图示刚架的力法方程。C F EI 1 EI 2 A lCD EI 1EI 2 B lD FCX3C DMpX1aEIEI 2 2 BAlAl /2 l/2BAB基本体系解: (1)原结构是三次超静定。 力法基本方程为： ??11 X 1 ? ?12 X 2 ? ?13 X 3 ? Δ1p ? 0 ? ?? 21 X 1 ? ? 22 X 2 ? ? 23 X 3 ? Δ2 p ? 0 ? ?? 31 X 1 ? ? 32 X 2 ? ? 33 X 3 ? Δ3p ? 0西南科技大学退出返回21:30 §7-5 力法的计算步骤和示例1 1 C X1 =1M1结构力学C/2 X 3 X 3 =1 l CM3 A A l /21 D 1CX2 X 2 =1=1D CM M22D l /2 BD1AB1llAABBll l l /2/2(2) 计算系数和自由项。(d) (e) (e)FaC FD(f) MpA B作MP、 1、M 2 、 3 图。 M M1 1 l 2l ?11 ? ? l ?1 ?1 ? ? l ?1 ?1 ? 2 ? ? EI1 EI 2 EI1 EI 2? 22? 331 1 2 2l 3 ? ? ?l ?l ? ?l ? 2 ? EI 2 2 3 3EI 21 1 l l 2 l 1 l l l3 l3 ? ? ? ? ? ? ?2? ?l ? ? ? 2 ? ? EI 1 2 2 2 3 2 EI 2 2 2 12 EI 1 2 EI 2退出 返回西南科技大学21:30 §7-5 力法的计算步骤和示例1 1 l2 ? 21 ? ?12 ? ? ? l ? l ? 1? 2 ? EI 2 2 EI 2结构力学由于结构对称，M 1 、 2 对称，而 M 3 反对称，有 M? ? 13 ? 0，? 31 ? 0 ，32 ? ? 23 ? 0方程式简化为??11 X 1 ? ?12 X 2 ? Δ1p ? 0 ? ?? 21 X 1 ? ? 22 X 2 ? Δ2 p ? 0 ? ? 33 X 3 ? Δ3p ? 0 ?可见：对称结构，当所选取的基本结构也对称时, 多余未知力分成对称与反对称的两组,使得副系数δ32 = δ23 =0, δ31 = δ13 =0,方程a化为相互无关的两组。西南科技大学退出返回21:30 §7-5 力法的计算步骤和示例结构力学如果荷载对称,则MP图也对称,因而Δ3P=0。如果荷载反对称,则MP图也反对 称,Δ1P=0,Δ2P=0。这样,就可以使计算进一步简化。C FCDDF PPC FMpD F aFaMP AB B A Pa Fa PaFaAFaB(g)(g)(h)西南科技大学退出返回21:30 §7-5 力法的计算步骤和示例结构力学例7-7 试用力法计算图示单跨梁。梁的B支座 为弹簧支承，弹簧的刚度系数为k (当B点产生单位位 移弹簧所产生的反力)。 q qqq AAEI基本体系 (a) 2 ql /2 解：一次超静定结构，力法基本方程为 X =11EIBBAAB X1BX1 X1 ΔM1 式中负号表示未知力 X1 与位移的方向相反, 未 X 1 =1 知力X1 与位移Δ 的关系满足A X1=kΔ B A B 1 l M p得 Δ ? X 1 因而, M1 kql /2A 2MpB ?11 X 1 ? Δ1p ? ? Δ l AB(c)(d)退出 返回西南科技大学21:30 §7-5 力法的计算步骤和示例得到力法方程： 1 (δ11 ? ) X 1 ? Δ1p ? 0 k 由图乘得到 l3 ql 4 ?11 ? ， Δ1p ? ? 3EI 8 EIl3 1 l3 所以有 ( 3EI ? k ) X 1 ? 8EI ? 0 3EI 令 k ? ? 3 ，代入式上式可解得 l2AB 结构力学 EI(a)ql / 2 AMpBA lql 2M1B X 1 =1k 3ql 2 2 k'+k 8k 3ql X1 ? ? k? ? k 8B Aql 2作M 图 M ? M P ? X 1MM返回8西南科技大学退出21:30 §7-5 力法的计算步骤和示例ql 2 k 3ql 2 2 k'+k 8结构力学B AMql 28k'是悬臂梁(基本结构)B点的刚度, 表示使悬臂 梁B点产生一单位位移时所需的力。 讨论：1. 当k&&k'，即弹簧非常刚硬。这时X1过渡到 3ql/8，即B端过渡到刚性链杆支座的情况。 2. 当k→0（或k&&k' ) 时，即弹簧非常柔软, 则原结构便趋近为悬臂梁。在一般情形下，弹簧 支座的反力X1比链杆支座的反力3ql/8 要小。西南科技大学退出返回21:30 §7-6 对称性的利用一、对称性的概念结构力学对称结构:几何形状、支承情况、刚度分布对称的结构.几何对称 支承对称 刚度对称支承不对称刚度不对称对称结构非对称结构西南科技大学退出返回21:30 §7-6 对称性的利用结构力学对称荷载:作用在对称结构对称轴两侧,大小相等,方向 和作用点对称的荷载P P对称荷载 反对称荷载:作用在对称结构对称轴两侧,大小相等,作 用点对称,方向反对称的荷载P P反对称荷载西南科技大学退出返回21:30 §7-6 对称性的利用P M结构力学llllMPEI=CEI=Cllll上面这些荷载是 对称,反对称荷载,还是 一般性荷载?西南科技大学退出返回21:30 §7-6 对称性的利用结构力学二、选取对称基本结构，对称基本未知量和 X 反对称基本未知量3?? 11 X 1 ? ? 12 X 2 ? ? 13 X 3 ? ?1 P ? 0 ? ?? 21 X 1 ? ? 22 X 2 ? ? 23 X 3 ? ?2 P ? 0 ?? X ? ? X ? ? X ? ? ? 0 ? 31 1 32 2 33 3 3PPE IE IX1E IPX2?13 ? ? 31 ? ? 23 ? ? 32 ? 0?? 11 X 1 ? ? 12 X 2 ? ?1 P ? 0 ? ?? 21 X 1 ? ? 22 X 2 ? ?2 P ? 0 ?? X ? ? ? 0 ? 33 3 3PX1 ? 1X2 ?1M1M2典型方程分为两组: 一组只含对称未知量 另一组只含反对称未知量X3 ? 1PM3MPP P西南科技大学退出返回21:30 §7-6 对称性的利用对称荷载：EI结构力学X3X1对称荷载，反对 称未知量为零PEIX1 ? 1EIPPX2PX2 ?1X3 ? 1M3M1M2X3=0M ? M1 X1 ? M 2 X 2 ? M PPMPP对称结构在正对称荷载作用下， 其弯矩图和轴力图是正对称的， 剪力图反对称；变形与位移对称。退出 返回西南科技大学21:30 §7-6 对称性的利用反正对称荷载:EI结构力学X3X1反对称荷载，对 称未知量为零PEIX1 ? 1EIPPX2PX2 ?1X3 ? 1M3M1M2X1=X2 =0 PMPM ? M3 X 3 ? M PP对称结构在反正对称荷载作用下， 其弯矩图和轴力图是反正对称的, 剪力图对称；变形与位移反对称.退出 返回西南科技大学21:30 §7-6 对称性的利用例1.作图示梁弯矩图解: X3=0EI X2=0结构力学P l/2P/2l/2P/2 X3X1X2?11 X1 ? ?1P ? 0l ? 11 ? EIX1 ? ? Pl 8?1PPl 3 ? 8 EI1M1X1 ? 1M ? M1 X1 ? M PPPl/4P/2P/2Pl/4MPPl/8Pl/8M西南科技大学退出返回21:30 §7-6 对称性的利用例2:求图示结构的弯矩图。EI=常数。结构力学由一个四次超静定结构考虑对称性 变成一次超静定。西南科技大学退出返回21:30 §7-6 对称性的利用解：根据以上分析，力法方程为：结构力学? 11 X1＋? 1P＝0?? 11＝144 EI ? ? ? ＝1800 EI ? 1P ? X 1＝－12.5 ? ? M＝M 1 X 1＋M P西南科技大学退出返回21:30 §7-6 对称性的利用例：FP FP结构力学由于 ? ? 012，问题无法化简返回西南科技大学退出21:30 §7-6 对称性的利用三、未知力分组和荷载分组FP结构力学X1 ? Y1 ? Y2,X 2 ? Y1 ? Y2,? 12 ? 0力法典型方程成为：?? 11Y1 ? ?1P ? 0 ? ?? 22Y2 ? ?2 P ? 0返回西南科技大学退出21:30 §7-6 对称性的利用结构力学对称结构承受一般非对称荷载时，可将荷载分组， 如：FPFP / 2 FP / 2FP / 2FP / 2西南科技大学退出返回21:30 §7-6 对称性的利用四、取半结构计算奇数跨对称荷载结构力学FPFPFP对称轴（c）FP FP奇数跨反对称荷载 (d)FP西南科技大学退出返回21:30 §7-6 对称性的利用问题：偶数跨对称刚架如何处理？ 偶数跨对称荷载FPP F F FP P结构力学F FPPFP FPF FPP西南科技大学退出返回21:30 §7-6 对称性的利用偶数跨反对称荷载F FPP FP P结构力学FP FPF FPPFP FPFPP FFFSC FSSC FC SCF FPP西南科技大学退出返回21:30 §7-6 对称性的利用练习:PEI EI EIEI EI EI结构力学PEIPP/2EI EIEI EIP西南科技大学退出返回21:30 §7-6 对称性的利用PEI EI EI EI EI= C EI结构力学P PP/2EIP/2P/2EI/2EI西南科技大学退出返回21:30 §7-6 对称性的利用q q结构力学qqPqqqP/2西南科技大学退出返回21:30 §7-6 对称性的利用例3：求作图示圆环的弯 矩图, EI=常数。解： 取结构的1/4分析结构力学M1 ? 1PR MP ? ? sin ? 2若只考虑弯矩对 位移的影响，有：西南科技大学退出返回21:30 §7-6 对称性的利用M12ds ?R ? 11 ? ? ? , EI 2 EI结构力学?1PM1 M Pds PR2 ?? ?? , EI 2 EIX1 ?PR?1sin ? M ? M 1 X 1 ? M P ? PR ( ? ) ? 2西南科技大学退出返回21:30 §7-6 对称性的利用FP FP/2结构力学例4.试用对称性对结构进行简化。EI为常数。方法 1 FP/2I/2I/2FP/2FPFP /2FP /2FP /2FP /2I/2FP/2FP/2退出 返回FP /2西南科技大学21:30 §7-6 对称性的利用FP/2 无弯矩，结构力学不需求解I/2FP/2 FP /4 FP/4 FP/4 FP/4I/2FP/4I/2FP/4FP/4FP/4西南科技大学退出返回21:30 §7-6 对称性的利用FP/4 FP/4 FP/4 I/2 I/2结构力学FP/4FP/4FP /4FP/4FP/4 I/2西南科技大学退出返回21:30 §7-6 对称性的利用方法 2FP/4 FP/2结构力学FP/4无弯矩， 不需求解FP FP/4 FP/2 FP/4FP/4 FP/2FP/2FP/4FP/2FP/4FP/2FP/4西南科技大学退出返回21:30 §7-6 对称性的利用FP/4 FP/2 FP/4 FP/4结构力学FP/4I/2FP/4 FP/2 FP/4 FP/4 FP/4FP/4FP/4 FP/4 FP/4I/2 I/2西南科技大学退出返回21:30 §7-6 对称性的利用五、无弯矩情况判别 P在不计轴向变形前提下， 下述情况无弯矩，只有轴力。 (1)集中荷载沿柱轴作用；结构力学(2)等值反向共线集中荷载 沿杆轴作用；PP(3)集中荷载作用在不动结点。可利用下面方法判断： 化成铰接体系后，若能 平衡外力，则原体系无弯矩。P西南科技大学退出返回21:30 §7-6 对称性的利用?? 11 X 1 ? ? 12 X 2 ? ? 13 X 3 ? ?1 P ? 0 ? ?? 21 X 1 ? ? 22 X 2 ? ? 23 X 3 ? ?2 P ? 0 ?? X ? ? X ? ? X ? ? ? 0 ? 31 1 32 2 33 3 3 P结构力学?1P ? ?2 P ? ?3P ? 0奇次线性方程的 系数组成的矩阵 可逆，只有零解。X1 ? X 2 ? X 3 ? 0M ? M1 X1 ? M2 X 2 ? M3 X 3 ? M P西南科技大学退出返回21:30 §7-7 超静定结构的位移计算结构力学计算超静定结构的位移的目的之一是校核用力法 解出的内力状态。超静定结构的位移计算依据：根据基本体系的内力与变形状态等价于原超静定 结构的内力与变形状态的原理，求超静定结构的位移 可转化为求基本体系（静定结构）的位移。超静定结构的位移计算步骤：1）求出原结构 M 图，（求解超静定问题）求位移―单位荷载法，图乘法西南科技大学退出返回21:30 §7-7 超静定结构的位移计算以例说明：两次超静定问题结构力学? ky― [M ? M K ]简便方法: 取基本结构（c）或 （d)的 M K 与 M 图乘2）任取一力法基本结构，作出基本结构的 M 图 3）图乘为什么可以是任一基本结构？退出 返回西南科技大学21:30 §7-7 超静定结构的位移计算结构力学例1：计算图示刚架上BC杆B端的转角位移 ? B 。 解: 选取简支刚架作为基本结构，作出其单位力 弯矩图。 MB C2M /5 C 3M /5B1CBEI= 常数Al/2lM/5AM图AM1思考：可否选用悬臂刚架作为基本结构来计算 ? B ？令 M 1 图与M 图相图乘，得 1 1 l 3m 1 ml （ ） ?B ? ? ? ? ? ? ?1 ? ? EI 2 2 5 3 20 EI西南科技大学退出返回21:30 §7-8 最后内力图的校核 最后内力图的校核结构力学力法计算超静定结构时，应用了位移谐调条件、 静力平衡条件。校核超静定结构的内力图时，也要从 两方面进行校核。1. 平衡条件校核； 使结构上的任一部分都处于平衡的解答是否就 是问题的正确解？ 2. 变形条件(位移条件)的校核――检验在计算 出来的内力状态下结构是否满足已知位移条件。西南科技大学退出返回21:30 §7-8 最后内力图的校核M C B结构力学M例： 试校核图示刚架的弯矩图其是否有误。2M /5 C 3M /5 M /5A M2M /5B13M /5B X1 = 1 AM1 图EI= 常数A l/ 2解:(1)平衡条件校核。 取刚结点C 为隔离体,满足平衡条件。 (2)校核位移条件。 检验C 结点两个端面间的相对转角位移 Δ?C 是否为 零,任取一基本结构作图 M 1 ，令 M 1与M 相图乘得： 2m m ? 1 1 l 3m 2 5 5 ? l ?1] ? 1 [? ml ? ml ] ? 0 Δ?C ? [? ? ? ? ?1 ? EI 2 2 5 3 2 EI 10 10西南科技大学l退出返回21:30 §7-8 最后内力图的校核结构力学结论：亦满足给定位移条件，原弯矩图是正确的。X1 = 1C BA也可取图悬臂刚架作基本结构，计算B点水平位 移△xB 是否为零。西南科技大学退出返回21:30 §7-8 最后内力图的校核结构力学对图示封闭式刚架，任一截面的相对转角均为 零。基本体系中单位弯矩引起的弯矩图中各杆的弯 矩均为1, 则 M 1与M 图乘时：CEI1 EI2 EI 2 A BDCKX1 =1 A BDll/ 2l/ 2A ?1 A Δ? k ? ? ?? ?0 EI EI在校核任何封闭式刚架的弯矩图时，只需将组 成各杆上的弯矩图面积A（含“±”号）除以该杆EI 值并相加, 其最终的值应为零, 否则, 其弯矩图有误。西南科技大学退出返回21:30 §7-9 温度变化时超静定结构的计算 结构力学以例说明：t 1 EIA t2 l BA X1 t1 t2X3X2 X1t1 X3 t 2BX2 基本体系??11 X 1 ? ?12 X 2 ? ?13 X 3 ? ?1t ? 0 ? ?? 21 X 1 ? ? 22 X 2 ? ? 23 X 3 ? ? 2t ? 0 ?? X ? ? X ? ? X ? ? ? 0 33 3 3t ? 31 1 32 2? ij可用图乘求得，??t ? M i ds h? it ? ? N i?t 0 l ? ?M ? X1 M 1 ? X 2 M 2 ? X 3 M 3 ? M t温度变化时会在超静定结构中引起反力和内力， 这也是超静定结构的重要特性。西南科技大学退出返回21:30 §7-9 温度变化时超静定结构的计算 结构力学例: 图示梁上边缘温度升高t1 ，下边缘温度升 高t2 ，而且t2 & t1，梁的线膨胀系数α，截面高度为 h,求梁的内力。 X2t1A t2EIBlAX1 t1 t2X3X1 X2t1 X3 t 2B基本体系解: 此梁为3次超静定梁 力法典型方程：??11 X 1 ? ?12 X 2 ? ?13 X 3 ? Δ1t ? 0 ? ?? 21 X 1 ? ? 22 X 2 ? ? 23 X 3 ? Δ2 t ? 0 ?? X ? ? X ? ? X ? Δ ? 0 3t ? 31 1 32 2 33 3西南科技大学退出返回21:30 §7-9 温度变化时超静定结构的计算 结构力学作单位力弯矩图 M1、 2、 3 M MA1 X 1 =1B1l 2X 2 =1AM2 图Bl 2M1 图X 3=1AB M 3图At1 t2t1 t2B1? l ? 1 l ? ，?12 ? ? 21 ? 0，δ13 ? ? 31 ? 0 由图乘法： δ11 ? EI EI1 l l l 1 l3 δ22 ? 2 ? ? ? ? ? ? ，δ23 ? δ32 ? 0 3 2 2 2 EI 12 EI 1? 1? l l ?3t ? ? t0l δ33 ? ? EA EA ? (t2 ? t1 ) ? (t 2 ? t1 ) ??tl Δ1t ? ? ?tAN1 ? ? AM1 ? 0 ? l? h h h西南科技大学退出返回21:30 §7-9 温度变化时超静定结构的计算 结构力学将系数和自由项代入力法典型方程 EI??t ， X2 =0 ， X3= EAαt0 解得： X 1 ? ? h 弯矩图由 M ? M 1 X 1 而得；剪力为零；轴力为一常数 EAαt0 （压力）.α t EI Δ hAM图α t EI Δ hB结论：对于任一等截面直杆只要知道杆件位移 （角位移、侧移）及作用在杆上的荷载、温度，便可 求出杆件两端的弯矩、剪力，作出弯矩图、剪力图。西南科技大学退出返回21:30 §7-9 温度变化时超静定结构的计算 结构力学例： 设图示刚架外侧温度不变，内侧温度升高10℃。 各杆EI=常量，截面高度h=常量，截面形心在截面高度h 的0.5 处, 线膨胀系数为α，试求由于温度变化在刚架中引 起反力和内力。B CC BX1lBC 10 c Ao?? t 1X2??2 tA lA基本体系解: 1.刚架为二次超静定结构。 2. 根据变形条件建立力法方程 ??11 X 1 ? ?12 X 2 ? Δ1t ? 0 （a） ? ?? 21 X 1 ? ? 22 X 2 ? Δ2t ? 0 自由项△1t与△2t为基本结构内侧温度升高10℃时在自 由端C沿X1、X2方向产生的位移。西南科技大学退出返回21:30 §7-9 温度变化时超静定结构的计算 结构力学3. 计算系数和自由项 (1) 计算自由项 温度参量△t、t0 的计算t0 ? t 2 ? t1 10 ? 0 ? ? 5? C 2 2说明温度变化使基本结构杆件形心轴伸长。刚架内外侧温度差Δt ? t2 ? t1 ? 10 ? 0 ? 10? C可知基本结构在温度变化时的变形趋势是：各杆 轴线伸长，内侧受位。西南科技大学退出返回21:30 §7-9 温度变化时超静定结构的计算 结构力学在基本结构C 处沿X1、X2方向加单位力，作相应的内力图。B l CFNAB = l F N BC = 0X1= 1BFN AB = 0 FNBC = -1C X2 = 1Al M1图AΔ1t ? [?ΔthAM1 AB ??Δthl M2 图AM1 BC ] ? [?t0 AN1 AB ? ?t0 AN1 BC ]同理10 2 10 1 2 ? l ? (? )? ? ? l ] ? [( ? )? ? 5 ? l ? 0] h h 2 3l ? 5?l[1 ? ] h ?Δt ?Δt Δ2t ? [ AM2 AB ? AM2 BC ] ? [?t0 AN2 AB ? ?t0 AN 2 BC ] h h l ? 5?l (1 ? ) h ? [( ? )? ?退出 返回西南科技大学21:30 §7-9 温度变化时超静定结构的计算 结构力学(2) 系数的计算, 只计弯曲影响。B l CFNAB = l F N BC = 0X1= 1BFN AB = 0 FNBC = -1C X2 = 1Al M1图3 3Al M2 图l l 4l 3 ? ? 11 ? ( ? l ) ? ， 22 EI 3 3EI 将△1t 、△2t 、 δ11 、 δ22 、 δ12 、 δ21 、 的表达 式代入式（a）得? 4l 3 l3 3l X1 ? X 2 ? 5?l (1 ? ) ? 0 ? ? 3EI 2 EI h （b） ? 3 3 ? l ? l X ? 5?l (1 ? l ) ? 0 ? 2 EI 3EI 2 h ?l3 l3 ? ， ? 21 ? ?12 ? 3EI 2 EI西南科技大学退出返回21:30 §7-9 温度变化时超静定结构的计算 结构力学30 EI? 3l 解得： ? ? X 1 ? ? 7l 2 (5 ? h ) ? ? ? X ? 30 EI? (11 ? l ) ? 2 7l 2 h ?由叠加法作M图 M ? X 1 M 1 ? X 2 M 2BB CFN A = 0FNBC = -13l (5+ h )lX 2= 1C BlCFNAB = l FNBC = 0X 1 =1AlAM 1 FN1lM 2 F N2A(6－2l )l hM图30EIα × 7l西南科技大学退出返回21:30 §7-9 温度变化时超静定结构的计算 结构力学要点： 1. 温度变化在超静定结构中引起的内力大小与 杆件刚度有关，通过加大杆件截面（加大EI）来改 善结构在温度作用下的受力状态并非是一个有效的 途径。 2. 超静定结构因温度变化而引起的变形与静 定结构有较大的差别。超静定结构是降温侧受拉. 多数房屋建筑为超静定结构，当室内外温差较大时 可能导致室外或室内开裂。西南科技大学退出返回21:30 §7-10 支座位移时超静定结构的计算 结构力学 支座位移情形下的计算支座位移、温度改变等因素（广义荷载）也会 使超静定结构产生反力和内力，这是超静定结构不 同于静定结构的一种力学性质。在支座位移问题中,力法典型方程的一般形式可写成:??11 X 1 ? ?12 X 2 ? ? ? ?1n X n ? Δ1c ? c1 ?? X ? ? X ? ? ? ? X ? Δ ? c ? 21 1 22 2 1n n 2c 2 ? ??????????????? ?? n1 X 1 ? ? n 2 X 2 ? ? ? ? nn X n ? Δnc ? cn ?式中等号左边是基本体系的相应位移，右边是 实际结构在该点的实际位移。西南科技大学退出返回21:30 §7-10 支座位移时超静定结构的计算 结构力学例: 图示梁的A端产生了转角位移φA ，求解梁的 反力和内力并作弯矩图和剪力图。φ AAφ AEIφ ABAB X1?基本体系A ?基本结构B??1cl解: (1) 取支座B的竖向反力X1为多余未知力。 (2) 根据变形条件建立力法方程。 变形条件为：基本体系在B点的位移与原结构相同。Δ1 ? 0（a）西南科技大学退出返回21:30 §7-10 支座位移时超静定结构的计算 结构力学基本体系的位移△1 是由X1和支座A的角位移φA 共同作用产生的，因此式(a)可写成 ?11 X 1 ? Δ1c ? 0 （b） 1lφ AA ?B??1clM 1图X 1=1△1c 是当支座A产生角位移φA时在基本结构中产生的沿 X1方向引起的位移，由几何关系得出Δ1c ? ?l? ? ?l? A （△1C 与X1反向，取负号） 也可由静定结构由支座位移引起的位移公式求得Δ1c ? ?? Rk ck ? ?l? A系数δ11可由M1图求得l3 ?11 ? 3EI返回西南科技大学退出21:30 §7-10 支座位移时超静定结构的计算 结构力学(3) 解方程求未知力3EI 将δ11与S1c 代入式(b)，解得 X 1 ? 2 ? A l最后内力计算方法与荷载情形无异。注意这里的 X1与B端剪力的关系为 3EI FSBA ? ? X 1 ? ? 2 ? A l (4) 作弯矩图和剪力图A M图 3EI A l φ BAB 3EIφ l2 AFS图可见：支座位移在超静定结构中引起的内力的大 小与杆件截面刚度和支座位移值有关。这是与荷载作 用下的情况不同的。西南科技大学退出返回21:30 §7-10 支座位移时超静定结构的计算 结构力学例: 图示单跨梁支座A产生转角φA，同时B支座产 生沉降△。试用力法求梁的内力。φABEIAX1 X2A lB'????1 cBX3??B'基本体系解: (1) 三次超静定。 在小变形情形下，B端的轴向约束作用可略去不 计，即X3可略去，简化为二次超静定问题。(2) 根据变形条件建立力法方程。??11 X 1 ? ?12 X 2 ? Δ1c ? ? A ? ?? 21 X 1 ? ? 22 X 2 ? Δ2c ? 0（a）西南科技大学退出返回21:30 §7-10 支座位移时超静定结构的计算 结构力学(3)计算系数和自由项。 作M 1 图、 2 图算得 M l ， l ? 22 ? ? 11 ? ? 21 ? ? 12 ? ? 3EI 6 EI 由 Δ ? ?? R ? c 算得A1X 1=1BM1 图F yB =11 lAX 2= 11 Δ Δ1c ? ?(? ? Δ) ? l l 也可由几何关系得 Δ Δ1c ? （与X1 的方向一致） l Δ Δ2c ? Δ1c ? 同理 lBM2图F yB =1 lAX1 X2 B ??1 c ??2 c??B'西南科技大学退出返回21:30 §7-10 支座位移时超静定结构的计算 结构力学(4) 解方程求未知力 将系数和自由项代入方程式（a），有 l Δ ? l 解得 X 1 ? 4 EI ? A ? 6 EI Δ ? 3EI X 1 ? 6 EI X 2 ? l ? ? A ? l l2 ? ?? l X ? l X ? Δ ? 0 2 EI 6 EI ? 6 EI 1 3EI 2 l X2 ? ?A ? 2 ? l l 可见，φA 在杆AB近端（A端）与远端（B端）引4 EI ? A 和 2 EI ? A ，B端侧移△在两端 起的弯矩分别为 l l 6 EI ? 2 Δ 。 产生的弯矩同为 l西南科技大学退出返回21:30 §7-10 支座位移时超静定结构的计算 结构力学杆端弯矩分别： ?M ? 4 EI ? ? 6 EI Δ A ? AB ? l l2 ? ?M ? 2 EI ? ? 6 EI A ? BA l l2 ? 两端剪力为（由隔离体的力偶系平衡条件算）FSBA ? FSAB ? ? M AB ? M BA l 6 EI 12 EI ? ? 2 ?A ? 2 Δ l l思考：当B支座顺时针转了φB时，结果如何？ 答：2 EI ? M AB ? ?B ? ? l ? ?M ? 4 EI ? B ? BA l ?退出这些结果将在第八 章位移法中用到。西南科技大学返回21:30 §7-11 用弹性中心法计算无铰拱结构力学超静定拱是土木建筑工程中常用的一种结构 形式，常见超静定拱有两铰拱和无铰拱。两铰拱无铰拱西南科技大学退出返回21:30 §7-11 用弹性中心法计算无铰拱结构力学二、无铰拱的计算无铰拱是三次超静定闭合结构。通常采用弹性中心法。 对称无铰拱，通常选取对称的基本结构。F A C BF AX1 C X3基本体系X2 B??11 X 1 ? ?12 X 2 ? ?13 X 3 ? Δ1p ? 0 力法典型方程为： ? ?? 21 X 1 ? ? 22 X 2 ? ? 23 X 3 ? Δ2 p ? 0 ? ?? 31 X 1 ? ? 32 X 2 ? ? 33 X 3 ? Δ3p ? 0由对称性，得? 23 ? ? 32 ? 0 ，? 31 ? ? 13 ? 0退出 返回西南科技大学21:30 §7-11 用弹性中心法计算无铰拱基本结构在单位力作用下的内力方程为：结构力学若系数δ12也为零，则力法典型方程式完全解耦。?M 1 ? 1, F S1 ? 0, X 2 =1 C F N1 ? 0 ? ? ?M 2 ? y, F S2 ? sin ? , F N 2 ? cos? A X 1 =1 y ? ?M 3 ? x, F S3 ? cos? , F N 3 ? ?sin ? ? yCxBM1 ?M 2 1? y ?12 ? ? ds ? ? ds EI EIxBA X2 =1 Oy可见：要使δ12为零，必须使X2的作用点下移,使 y 值有不同的符号，积分才可能为零。西南科技大学退出返回21:30 §7-11 用弹性中心法计算无铰拱结构力学在拱顶截口处设Z不可变形的刚臂, 设刚臂长为 a。使未知力作用点移至刚臂的端点O。O点称为弹性 x C 中心。 C1OxaX 1=1A X2 =1 O y y1xBy1y xC O xX 3 =1yC FS2 O φ X2 =1 M 2 F N2坐标系x1Cy1是原点在拱顶的坐标系, 它描述拱轴 线方程。坐标系xoy是原点在弹性中心O的坐标系, 它 描述拱的内力方程，相当于计算内力时进行了一次坐 标变换, 目的是使?12=?21=0。西南科技大学退出返回21:30 §7-11 用弹性中心法计算无铰拱C O结构力学y1C axx1 xBX 1=1A X2 =1 O y y1yyC FS2 O φ X2 =1 M 2 F N2由δ12与δ21的计算式为可确定a? 21 ? ?12 ? ?M 1M 2 F S1 F S2 F N1 F N 2 ds ? ? ? ds ? ? ds EI GA EA M 1M 2 要使δ12 =δ21=0 ，必须有 ?? ds ? 0 ? 0 EI ds ds ds y1 ??y ? ? ( y1 ? a) EI EI EI a? ds ds ds ? ? y1 ? a? EI EI EI??西南科技大学退出返回21:30 §7-11 用弹性中心法计算无铰拱结构力学当未知力作用于弹性中心，力法方程组的全部副系 数为零，三个彼此独立的方程为 Δ1p ? ? X1 ? ? ?11 ? ?? ?? 22 X 2 ? Δ2 p ? 0 ? ?? 33 X 3 ? Δ3p ? 0?11 X 1 ? Δ1p ? 0因而计算δii、Δip时，如计入弯曲、剪切、轴向三个 变形的影响，计算应按下式进行：? M i2 Fsi2 FN2i ds ? ? ? ds ? ? ds ?? ii ? ? ? EI GA EA ? ? Δ ? M i M p ds ? ? Fsi Fsp ds ? FNi FNp ds ? GA ? EA ? ip ? EI ?? Δ2 p ? ?X 2 ? ? ? 22 ? ? Δ3p ?X3 ? ? ? ? 33 ?西南科技大学退出返回21:30 §7-11 用弹性中心法计算无铰拱结构力学多数情况下可略去轴向变形与剪切变形的影响。常 见拱桥拱顶截面高度hc& l／10 ，仅当f & l／5时将轴向 变形影响计入δ22 中。 ds ??? 11 ? ? EI ? ?? ? y 2 ds ? cos 2? ds ? 22 ? EI ? EA ? ?? 33 ? x 2 ds ? EI ? ? ?? ? M ds p ? 1p ? EI ? ds ??2 p ? ? yM p EI ? ? ds ?3p ? ? xM p ? EI ?返回西南科技大学退出21:30 §7-11 用弹性中心法计算无铰拱弹性中心的几何意义结构力学设一面积,其长度方向的轴线与拱轴线重合,其宽 度为拱截面抗弯刚度的倒数,即 1 。此面积称为弹 性面积。EI弹性中心就是该弹性面积的形心。西南科技大学退出返回21:30 §7-12 两铰拱及系杆拱 一、两铰拱的计算y结构力学FE,I,A f xyFE,I,A f x X1A lBA lB基本体系1.两铰拱是一次超静定结构，力法基本方程为：?11 X 1 ? Δ1p ? 0 （1）西南科技大学退出返回21:30 §7-12 两铰拱及系杆拱结构力学2. 计算系数与自由项。 习惯上假设：弯矩使杆件内侧受拉为正，轴 力以受压为正。基本结构X=1作用下任意截面K弯矩和轴力为M1 ? ?yyK 1 A?F N1 ? 1? cos?系数与自由项为2 2 ? F N1 M1 ds ? ? ds ??11 ? ? ? EA EI ? （2） M 1M p ? ? Δ1p ? ? EI ds ?yBX1 = 1xx0 0FS1 K 1M1?FN1 yAx西南科技大学退出返回21:30 §7-12 两铰拱及系杆拱将M 1 和 F N1 代入式（2）yK结构力学F? ds 2 2 ds ?11 ? ? cos ? ??y y EA EI B A ds x Δ1p ? ? ? yM p EI 弯矩MP是坐标x的函数,当给出结构参量及 荷载后便可确定。x3. 求未知力。ds ? yM p EI Δ1P X 1 ? FH ? ? ?11 cos 2? ds ? y 2 ds ? EA ? EI西南科技大学退出返回21:30 §7-12 两铰拱及系杆拱4. 计算拱中任一截面上的内力。结构力学将求出的多余未知力X1 回代到基本体系中,可计 算出拱中任一截面上的内力。FK?MKFHBFN KFH Fy Ay AxFHFSKAFy BFyA0 ?M K ? M K ? FH ? y K ? FSK ? FS0K cos? K ? FHsin ? K ? ? FNK ? FS0K sin ? K ? FH cos? K ?与三铰拱任一截面上的内力计算公式完全一样。西南科技大学退出返回21:30 §7-12 两铰拱及系杆拱结构力学两铰拱用作屋盖结构时，通常采用带拉杆的两铰拱， 用拉杆来承受水平向的反力。在计算系数时多了拉杆 AB的变形量。 q qy E,I,A f E1 A1 A2X1x BABds 于是 EI X1 ? ds l 2 2 ds ? cos ? EA ? ? y EI ? E1 A1ds ds l ?11 ? ? cos ? ? ? y2 ? EA EI E1 A1 ds Δ1p ? ? ? yM p EI基本体系? yM p注意:以上计算是在 拱结构承受竖向荷 载情形下进行的。西南科技大学退出返回21:30 §7-12 两铰拱及系杆拱y? 4f l2 x(l ? x)yq=8 kN/m结构力学例7-15 用力法计算图示两铰拱。拱轴线方程为抛物线：拱截面 A=384×10-3m2， 惯性矩 I=m4 ， 弹性模量 E=192GPa ， 矢高 f=3.6m ， 跨度l=18m 。 解: (1) 选取基本体系。 (2) 列力法方程。E,I,A A l BfxqX1AB?11 X 1 ? Δ1p ? 0(1)基本体系(3) 计算系数和自由项。西南科技大学退出返回21:30 §7-12 两铰拱及系杆拱ds 2 ds ?11 ? ? cos ? ??y EA EI ds Δ1p ? ? ? yM p EI2结构力学当 f &l／3 时,在计算系数δ11时应考虑轴向变形影 响。而计算自由项时仍可不考虑其影响。在扁平拱情 形下，可认为 ds≈dx ，cosφ=≌1。 MKK 1 X 1 =11 x FN K K FS K y φAB基本结构在X1=1作用下，取截面K以左部分杆段 为隔离体，内力方程为： F N1 ? 1 ? cos? ? 1M1 ? ?y西南科技大学退出返回21:30 §7-12 两铰拱及系杆拱? 111 l 2 1 l l 1 ? y dx ? dx ? ? EI ?0 EA ?0 EA EI l 4 f l ? ? ?[ x(l ? x)]2 dx EA 0 l 16 f 2l l ? ? 30 EI EAyq=8 kN/m结构力学?l 0y 2 dxq=8 kN/mFN KE,I,A A l BfxMKA FSKφ yFyAx基本结构在荷载作用下，取截面K以左部分杆段为隔 离体，内力方程为： ql 1 2 q M p ? x ? qx ? x(l ? x) 2 2 2西南科技大学退出返回21:30 §7-12 两铰拱及系杆拱结构力学1 l Δ1P ? ? ?0 yM P dx EI 1 l 4f q ?? x(l ? x) ? [ x(l ? x)]dx EI ?0 l 2 2 qfl 3 ?? 15EI 代入E、I、A、l、q、f的值 16 ? 3.6 2 ?18 18 ? 11 ? ? 9 ?6 30 ?192 ?10 ? ?10 9 ? 384 ?10 ?3 ? 3.518 ?10 ? 7 (m / N)8 ?103 ? 3.6 ?183 Δ1p ? ? ?3.164 ?10?2 m 15 ?192 ?109 ?X 1 ? FH ? ?Δ1p?113.164 ? ?10?2 ? ? 89.9 kN ?7 3.518 ?10退出 返回西南科技大学21:30 §7-12 两铰拱及系杆拱(4) 内力计算。X 1=F H结构力学qX 1=F HAB以支座A以右面的x=6m处截面为例。 相应的简支梁的FS0和M 0为： ql qx 2 8 ?18 1 ? M ( x) x ?6 ? [ x ? ]x ? 6 ? ? 6 ? ? 8 ? 62 ? 288 kN ? m 2 2 2 2ql 8 ?18 F ( x) x ?6 ? [ ? qx] ? ? 8 ? 6 ? 24 kN 2 2 x ?6? S拱中相应的y 值为：4f 4 ? 3.6 y( x) x ?6 ? 2 x(l ? x) ? ? 6 ? (18 ? 6) ? 3.2 m 2 l 18 x ?6西南科技大学退出返回21:30 §7-12 两铰拱及系杆拱计算拱中相应的转角φ由 有结构力学由dy 4 f ? 2 (l ? 2 x) dx l dy ? ? tan ? [ ]x ?6 dx 4f 4 ? 3.6 ? tan ?1[ 2 (l ? 2 ? 6)] ? tan ?1[ ? 6] ? 14.93? l 182 0 ?M K ? M K ? FH ? y K ? 0 ? FSK ? FSK cos? K ? FH sin ? K ? FNK ? FS0 sin ? K ? FH cos? K K ?得所求截面内力?M ? 0.32 kN ? m ? ? FS ? 0.03 kN ?F ? 93.04 kN ? N表明：该截面上弯矩、剪力均 很小，截面所承受的内力主要 是轴向压力。退出 返回西南科技大学21:30 §7-12 两铰拱及系杆拱结构力学讨论： 系数δ 11中弯曲变形与轴向变形的影响分别为：弯曲变形影响16 ? 3.62 ?18 3732.48 ? ?
? 3.516 ?10?7 m 30 ?192 ?109 ? 1.1018 18 ? ? 2.44 ?10 ?10 m 轴向变形影响 192 ?109 ? 384 ?10?3 7.后者与前者之比2.44 ?10 ?10 ? 6.93 ?10 ? 4 ? 7.00 ?10 ? 4 3.52 ?10 ? 7可见，轴向变形对系数δ11不起重要影响。注意：不能象直杆那样作拱的内力图，只能取若干 截面（通常等分截面），算出这些截面上的内力，最后 连线作出内力图。在计算中，宜列表计算。西南科技大学退出返回21:30 §7-13 超静定结构的特性结构力学超静定结构（与静定结构相比）有如下一些 重要特性：1. 由于超静定结构有多余的约束, 因此超静定结 构的内力状态由平衡条件不能唯一地确定。必须同时 还要考虑变形条件才能求解。 2．由于约束有多余的，因而超静定结构在某些 约束被破坏后，结构仍保持几何不变体系，因而还具 有一定的承载能力；而静定结构在任一约束被破坏后， 即变成几何可变体系，因而丧失承载能力。这说明超 静定结构具有较强的防护能力。西南科技大学退出返回21:30 §7-13 超静定结构的特性结构力学3．超静定结构，一般情况下，其内力分布也比静 定结构要均匀，内力的峰值也要小些。支梁最大弯矩 在跨中, 其值为, 如果在跨中添加一支座变成连续梁, 则最大弯矩在中间支座处, 其值为, 比简支梁小4倍。q A l Bq A C0.5l 0.5lql 2 32 ql 2 64CBABql 82ql 2 64西南科技大学退出返回21:30 §7-13 超静定结构的特性结构力学4．超静定结构的内力与结构的材料性质和截 面尺寸有关。若结构构件截面尺寸和刚度有变化, 则其内力分布也随之而变。 所以在设计超静定结构时必先假定各杆的截面 尺寸才能计算, 当荷载不变时，若要改变内力分布， 也必须修改各杆的截面尺寸或刚度。西南科技大学退出返回21:30 §7-13 超静定结构的特性结构力学5. 在超静定结构中，除荷载外，其它任何因素如 温度变化、支座移动、制造误差等都可以引起内力。 这种没有荷载作用而在结构中引起的内力状态称作自 内力状态。自内力状态有不利的一面，也有有利的一 面。防止地基不均匀沉降和温度变化等产生的自内力 引起的结构裂缝是工程中应注意的一个问题；而采用 预应力结构是主动利用自内力来调节结构截面应力的 典型例子。西南科技大学退出返回21:30 小 结 小 结结构力学力法是求解超静定结构最基本的方法。力法的基本原 理是将原超静定结构中的多余约束解除，代之以相应的未 知约束反力。原结构就变成了在荷载及多余未知力作用下 的静定结构。这个静定结构称为原结构的基本体系, 多余 未知力称为原结构的基本未知数。根据基本体系中多余未 知力作用点的位移应与原结构一致的条件，即多余约束处 的位移谐调条件，建立位移协调方程。这就是力法典型方 程。方程中的基本未知数是体系的多余未知力。这种以未 知力为基本未知数的求解超静定结构的方法就称为力法。 由于基本体系满足位移谐调条件, 因此基本体系的内力 与变形便与原超静定结构完全一致。利用位移约束条件解 出多余未知力是力法的关键, 求出多余未知力后便将超静 定问题转化为静定问题了。以后的计算便与静定结构的求 解完全一样。西南科技大学退出返回21:30 小 结结构力学理论上力法可以求解任何超静定结构。其原理具有物理概 念明晰、易于理解的特点。其不足之处是：当多余约束较多 时，即超静定次数较高时, 计算工作量很大。而且力法的基 本体系有多种选择, 难以编成通用的计算机程序, 这就极大 地限制了力法的应用。用力法计算超静定结构，要做到超静 定次数判断准确，基本结构选取适当，位移计算无误，最后 校核仔细。 用力法计算超静定结构的位移时, 作单位弯矩图时可选择 任意的基本结构。要理解这一点, 就要理解基本体系的内力 与变形与原结构完全一致这一道理。因而, 求超静定结构的 位移就是求基本体系的位移。基本体系的荷载弯矩图就是原 超静定结构的最终弯矩图。 所以, 只要再画出基本体系在 单位力作用下的弯矩图就行了。 计算超静定拱, 是力法的强项。 特别是无铰拱, 因为是 曲杆, 位移计算很繁杂。如何简化计算就很重要。弹性中心 法就是计算无铰拱的最有效的方法。它可以使力法典型方程西南科技大学退出返回21:30 小 结结构力学中所有的负系数均为零, 计算获得最大限度的简化。能够做 了这一步的关键是进行了坐标变换。把未知力的作用点移到 了弹性中心。 力法典型方程由位移约束条件而来，其本质是原超静定 结构上被解除多余约束处的位移应与原结构该点的位移一致 的变形谐调条件，方程中的每项都是荷载或非荷载因素引起 的位移，其中包括多余未知力引起的位移。方程中的每一项 都不能单独使基本结构与原超静定结构的位移一致，只有将 各项叠加起来才能作到这一点。所以, 本章导出的力法典型 方程只适用于线弹性结构。西南科技大学退出返回21:30 小 结一、力法的计算方法 1. 力法的基本思路结构力学用力法解超静定结构的基本思路是将超静定结构的多 余未知力看作基本未知量，去掉多余未知力对应的多余约 束将原结构转化成基本结构，因而多余未知力成为作用在 基本结构上的外力；然后沿多余未知力方向建立位移协调 方程，解方程就可以求出多余未知力;最后将求出的多余 未知力作用于基本结构，用叠加法即可求出超静定结构的 内力。 2. 如何选取基本结构 (1) 力法的基本结构一般为静定结构，但有时若能较 容易地求出力法典型方程中的位移系数，也可以选超静 定结构作为基本结构。西南科技大学退出返回21:30 小 结(a) (b)结构力学例：用力法求图a 所示的九次超静定结构的内力。q 2EI EI A B q A X1 Bl(c) ql 2/ 12 ql 2/ 12(d) l/ 8l/8X 1 =1MPM1l/8西南科技大学退出返回21:30 小 结结构力学解：根据对称性知，杆AB的剪力和弯矩均为零，只 有轴力，则取基本体系如图b所示，MP图和?M1图分别 如图c、图d所示。经计算得 l3 ql4 ? 11 ? ， Δ1P ? 128EI 768EI 代入力法典型方程δ11X1+Δ1P=0，可以求出ql X1 ? ? 6(2) 同一个超静定结构可以选择许多种不同的力法基 本结构，但选取基本结构时需注意应使力法方程中的系 数和自由项的计算尽可能方便， 或尽可能使较多的自由 项和副系数为零，且应使 M 图和MP图的绘制尽量简单。 无论选取怎样的基本结构， 最后结果都相同。西南科技大学退出返回21:30 小 结结构力学例如,图a中的连续梁，选图b、图c、图d所示的基本 体系都可以，但图d的基本体系可以使某些负系数为零， 因此最简单。q (a) (b)X1X2X3(c)(d)X1X2X3X3X1X2西南科技大学退出返回21:30 小 结3. 典型方程结构力学超静定结构在荷载、支座位移、温度变化等因素作 用下的典 型方程为：?11 X 1 ? ?12 X 2 ? ? ? ?1n X n ? ?1P ? ?1c ? ?1t ? ?1 ? ? 21 X 1 ? ? 22 X 2 ? ? ? ? 2 n X n ? ? 2 P ? ? 2c ? ? 2t ? ? 2 ? ?? ? ? n1 X 1 ? ? n 2 X 2 ? ? ? ? nn X n ? ? nP ? ? nc ? ? nt ? ? n ? ? ?西南科技大学退出返回21:30 小 结结构力学(1)力法典型方程实际上就是沿多余未知力方向上的位 移协调条件。 第i个方程表示原结构在第i个多余未知力方 向上的实际位移为?i，当位移的方向与多余未知力的方向 一致时，? i 取正值，否则取负值。等号左边的每一项表示 基本结构在各种因素单独作用下沿Xi 方向产生的位移，即 等号左边一切系数的计算都应在基本结构上进行。如： ?21X1表示基本结构在X1单独作用下沿X2方向产生的位移, ?1c表示基本结构在支座位移单独作用下沿X1方向产生的位 移，?nP表示基本结构在外荷载单独作用下沿Xn 方向产生的 位移，?nt 表示基本结构单独在温度变化时沿Xn 方向产生的 位移。主系数?ii表示基本结构在多余未知力Xi=1单独作用 下沿Xi 方向产生的位移；副系数?ij（i?j）表示基本结构在 多余未知力Xj=1单独作用下沿Xi 方向产生的位移 。西南科技大学退出返回21:30 小 结结构力学二、几个应注意的问题 1. 超静定结构的特性 (1) 在超静定结构中，支座移动、温度改变、材料胀缩、 制造误差等因素都可以引起内力。 (2) 在荷载作用下，超静定结构的内力分布与各杆刚 度的比值有关，而与其绝对值无关。因此，在计算内力时， 允许采用相对刚度。若改变各杆的刚度比值，则结构的内 力分布也随之改变。一般来说，刚度大的杆件，分配到的 内力也大；若各杆件的刚度按同一比例增减，则结构的内 力保持不变。 (3) 由温度或支座移动、制造误差等因素在超静定结 构中引起的内力，与各杆刚度的绝对值有关。 例：判断下列说法的正确性。 （1）没有荷载就没有内力这个说法对任何结构都是成立的. 解：错误。西南科技大学退出返回21:30 小 结结构力学（2）对超静定结构在荷载作用下进行内力分析时，只 需知道各杆的相对刚度。 解：正确。2、判断超静定结构的次数时应注意的问题 (1) 不要把原结构拆成几何可变体系。 (2) 通常要把全部多余约束都拆除。 (3) 只能在原结构中减少约束，不能增加新的约束。 (4) 去掉连接n个杆件的复铰相当于去掉n-1个单铰；将 连接n个杆件的刚结点变成铰结点相当于去掉n-1个约束。 (5) 只能去掉多余约束，不能去掉必要约束. 例题： （1）n次超静定结构，任意去掉n个约束均可作为力 法基本结构的说法对吗？ 解：错误。只能去掉多余约束，不能去掉必要约束。西南科技大学退出返回21:30 小 结（2） 图a所示结构的超静定次数为多少？结构力学解：8次。提示：相应的静定结构如图b所示.(a)A(b)B C（3）图示结构超静定次数为多少？ 解：6次。注意：1、2杆 组成二元体，不能看作多余 约束。1 2返回西南科技大学退出21:30 小 结（4） 图示结构超静定次数为多少？A结构力学解：7次。提示：先去掉AB 杆, 再去掉铰A 结点（相当于2个 约束）, 最后去掉铰结点B（相当 于2个单铰）。B。 （5） 图示结构的超静定次数为多少？BAC解：6次。提示：内部 ABC只需三个约束，即可与 外部保持几何不变， 而现在 却用3个铰相连，故有三个多 余约束， 外部刚架也有三个 多余约束。退出 返回西南科技大学21:30 小 结3. 力法的适用条件结构力学(1) 力法只适用于求解超静定结构，不能用于求解静 定结构。 (2) 既可以考虑弯曲变形，也可以考虑轴向和剪切变形。 (3) 可以用于梁、刚架、桁架、拱、组合结构等各种类 型的结构。 （4）从材料性质看, 只能用于弹性材料。 4. 超静定结构发生支座位移时基本体系的选取 当超静定结构发生支座位移时，选取不同的基本体 系，所得的力法方程同，自由项?c亦不同。西南科技大学退出返回21:30 小 结结构力学例如, 用力法求图a 所示有支座位移的超静定梁时， 取两种基本结构进行分析比较。(a) Aca B(b)(c)X2 X3 X3 X1(d)X（1） 第一种基本结构（图b）, 基本体系如图c所示。 力法典型方程为 ?11 X 1 ? ?12 X 2 ? ?13 X 3 ? ?1c ? ?c ? ? ? 21 X 1 ? ? 22 X 2 ? ? 23 X 3 ? ? 2 c ? 0 ? ? 31 X 1 ? ? 32 X 2 ? ? 33 X 3 ? ? 3c ? ? a ? ? 可以看出, 方程的等号右边不为零，这是因为原结构 在B点有位移，所以等号右边应等于原结构的实际位移， 又由于实际位移与多余未知力的方向相反，故位移都取负 值。西南科技大学退出返回21:30 小 结注意?ic的计算：结构力学由于等号左边系数的计算都在基本结构上进行， 而 图b的这种基本结构既无荷载，也无支座位移，因此由该 基本结构引起的?ic都等于0。则上述典型方程变为(a) Aca B(b)?11 X1 ? ?12 X 2 ? ?13 X 3 ? ?c ? ? ? 21 X1 ? ? 22 X 2 ? ? 23 X 3 ? 0 ? ? 31X1 ? ? 32 X 2 ? ? 33 X 3 ? ?a ? ?西南科技大学退出返回21:30 小 结（2） 取第二种基本结构，如图d所示。结构力学X2 a X3 X3B X1(c) (a)A(d)(b) X 2accX1力法典型方程为?11 X 1 ? ?12 X 2 ? ?13 X 3 ? ?1c ? 0 ? ? ? 21 X 1 ? ? 22 X 2 ? ? 23 X 3 ? ? 2 c ? 0? ? 31 X 1 ? ? 32 X 2 ? ? 33 X 3 ? ? 3c ? 0 ? ?可见, 该方程的等号右边都等于零, 这是由于原结构 在A点无位移的缘故。 注意?ic的计算：西南科技大学退出返回21:30 小 结结构力学由于图d 这种基本结构的B 端有支座位移， 而该支座 位移将会引起与X1、X3对应方向上的位移，故有?1c=－c， ?2c= 0， ?3c= a 。力法典型方程又可以写成：? 11 X 1 ? ? 12 X 2 ? ? 13 X 3 ? c ? 0 ? ?3 X 3 X ? 21 X 1 ? ? 22 X 2 ? ? 23 X 3 ? 0 ? 0? X1 ? X1 ? 31 X 1 ? ? 32 X 2 ? ? 33 X 3 ? a ? 0?(c)X2(d)X2ca由以上分析可见，当超静定结构有支座位移时，选 取不同的基本结构，所列方程的含义和形式均有区别， 所以列方程需要仔细分析，分清支座位移何时出现在等 号左边，何时出现在右边。西南科技大学退出返回21:30 小 结结构力学例： 图a 所示变截面梁, 在支座A、B分别有竖向位移a 及转动位移θ。 若按力法进行求解，并取图b所示的基本体 ?11 x1 ? Δ0 ? Δ1 系， 则可列出力法方程试写出(a) A?11， Δ0， Δ1F的具体表达式。(b) A EI X1 C Fθ2EIB lEI a l C2EIB(c) X1EI l2 EI 2l(d)FFlM1MP西南科技大学退出返回21:30 小 结解：? 11 ?结构力学1 1 2l 1 ?1 2l 1 1 l 2 ? ( ?l ?l ? ) ? ? l ? l ? ( ? ? 2l ) ? ? l ? 2l ? ( ? ? 2l )? EI 2 3 2 EI ? 2 3 3 2 3 3 ? ? 3l 3 ? 2 EI1 ?1 l 2 5Fl3 ? Δ0 ? Δ1P ? Δ1? ? ? 2 ? l ? Fl ? ( 3 ? 3 ? 2l )? ? 2l? ? 12EI ? 2l? 2EI ? ?Δ1 ? ?a5. 切开或撤去多余链杆的基本体系, 两者的力法方 程比较 两者的力法方程形式不同，它们所代表的变形条件 及方程中各项参数的物理意义不同，但力法方程的内容 是等效的。西南科技大学退出返回21:30 小 结X1 C (a) C D F (b) X1 (c) F C X1 C D结构力学D X1 X1 D F14 5 A 32 6 B A B图b和图c是图a所示的超静定桁架用力法求解时选取 的两种不同的基本体系。图b为切开链杆CD， 图c为撤去 链杆CD。 （1）相对图b，力法方程为 （a） ?11 X1 ? ?1P ? 0 方程的物理意义为：基本体系中链杆1切口处相邻两 截面相对轴向位移应等于原结构该相邻两截面的相对轴 向位移（等于零）。西南科技大学退出返回21:30 小 结C (a) (b) X1 (c) C X1 C 1 D F C D F结构力学D X1 D F4 5 A 3 62 A BB系数和自由项按下式计算：?11 ??j ?16(F N )2 l j j EAj，Δ1P ? ?j ?26( F N ) j ( FP ) j EA jlj西南科技大学退出返回21:30 小 结（2）对图c, 力法方程为：XDl ? X 1 ? Δ1P ? ? 1 1 EA 1* 11(a) C * 1 4 5 A 3 2 65 6 B 3 (a)结构力学X1 C X1 1D F F (b) X 1 C CD X 1X 1 DX1 F DF(b)(b)CCD4 A2BA (c)B方程的物理意义为：基本体系中C、D两点沿X1方向 的相对线位移等于原结构中链杆CD的缩短量。因为对杆 CD而言, X1为拉力， CD ? X 1l1 为杆CD的伸长量，所以方 Δ EA 程右边取负值。 系数和自由项按下式计算：? ??* 11 j ?26( F N ) 2j l j EA j退出，Δ ??* 1P j ?26( F N ) j ( FP ) j EA jlj西南科技大学返回21:30 小 结结构力学比较以上两种基本体系可以看到，两者力法方程的形 式及其物理意义不同；柔度系数与也不相同, δ11 的计算包 * 括CD杆的影响在内，而 ?11则不包括CD杆的影响； 自由项 S1P的计算两者相同，但物理意义也不同（前者是荷载作用 于基本结构时链杆切口两侧的相对轴向位移，后者是荷载 作用于另一基本结构时C、D两点的相对线位移）。将式（b）移项可得? 6 ( FN ) 2j l j 12 ? l1 ? ? ?? ? X 1 ? Δ1P ? 0 EA1 ? ? j ? 2 EAj ? ?可见与两种基本体系相应的力法方程只是形式上不同, 而内容是等效的. 柔度系数关系为： l1 * ? 11 ? ? 11 ? EA1 在实际计算中通常选用图b所示的基本体系较为方便。西南科技大学退出返回21:30 小 结6. 几个有用的结论结构力学(1) 集中力F 沿某杆的轴线作用，若该杆沿轴线方向 无位移, 则只有该杆承受轴向压力，其余杆件无内力（例 如图a只有AB杆受轴向压力） ；等值反向共线的一对集 中力沿某直杆的轴线作用时，只有该杆受轴向拉力或压 力（例如图b、图c中。 杆件无弯矩, 且只有成对集中力作 用的杆件受轴力）。(a) A F(b)F A CFF E(c)FACFB B FD F FF B DF西南科技大学退出返回21:30 小 结结构力学(2) 集中力作用在无线位移的结点上时，汇交于该结 点的各杆无弯矩，也无剪力（图d）。F (e)(d)注意：以上结论均有一个前提条件：不考虑轴向 变形；若需考虑轴向变形，则结论不成立。 (3) 刚度无穷大的杆件不产生弯曲变形，但可以有 弯矩，杆端的最后弯矩应由结点的平衡条件求出。西南科技大学退出返回21:30 小 结D F B C E A 4m 4m 3m 3m结构力学例：计算图示结构MBA、MCD 。各杆EI=常数。 解： C点无线位移， 其上作用的集中力将只引起 轴力，不引起弯矩和剪力， 故MBA=MCD=0 。同理，下列结构的各杆弯矩等于零。FFF西南科技大学退出返回21:30 小 结三、对称性的利用结构力学（1）超静定结构的对称性包括两方面：几何形状和 支承对称；杆件截面和材料性质（刚度）也对称。 （2）作用于对称结构上的任意荷载可以分为对称 荷载和反对称荷载两部分分别计算。 （3）在对称荷载作用下，变形是对称的，弯矩图和 轴力图是对称的，剪力图是反对称的。在反对称荷载作 用下, 变形是反对称的，弯矩图和轴力图是反对称的，剪 力图是对称的。利用这些规则, 只需计算半边结构。 （4）选取半结构的原则如下： 奇数跨对称刚架在正对称荷载作用下，对称轴处 简化为一定向支座。 奇数跨对称刚架在反对称荷载作用下，对称轴处 简化为一竖向链杆。西南科技大学退出返回21:30 小 结结构力学偶数跨对称刚架在对称荷载作用下，当不考虑中柱轴 向变形时，对称轴的截面无位移，简化为固定支座。偶数跨对称刚架在反对称荷载作用下，原结构简化为 半结构，且中柱的惯性矩减半。（5） 几种典型对称结构的半结构如下列各图所示。(a) (b) (c)正对称半结构反对称半结构西南科技大学退出返回21:30 小 结(a) (b) (c)结构力学或对称轴正对称半结构反对称半结构(a)y(b)(c)ii/2y正对称半结构反对称半结构西南科技大学退出返回21:30 小 结(a)y结构力学(b) (c)ii/ 2ii/2y正对称半结构反对称半结构(a)y(b)(c)i/ 2iEA=8y正对称半结构反对称半结构西南科技大学退出返回21:30 小 结(a) (b) (c)结构力学正对称半结构反对称半结构注意：在利用对称性时应能正确判断荷载的对称性。 例： 在不计轴向变形下，图a所示对称结构（EI=C）， 可取图b来计算吗？ (a) F/ 2F (b) (c) F/ 2解：不可以。 正确的半结构应 为图c。西南科技大学退出返回21:30 小 结结构力学例：图 a所示对称结构，可简化为图b来计算吗？(a) 1.5 l l 1.5 l l l l l l F F (b) F解：可以。西南科技大学退出返回21:30 小 结例：作图a所示结构M图，EI=常数。(a) M (b) M/ 2 (c) M/ 2结构力学aM/ 2aa/ 2a/ 2解：本题为反对称荷载，故先简化成半结构（图b）, 该半结构是静定结构，根据平衡条件即可作出弯矩图(图 c）。西南科技大学退出返回21:30 小 结(a) F F l (b) F (c)结构力学例：用力法计算并做图a所示结构M 图。EI=常数。M =FlFl l (d) l (e) (f)M =FlM =Fl/ 2Fl Fl/ 2对称轴Fl/ 2Fl/ 2Fl Fl/ 2M图解：把原结构简化成图b所示的半结构，再简化成图c， 进一步简化成e图所示的简支梁，可得原结构的M图（图f）。西南科技大学退出返回21:30 小 结结构力学例：试用力法计算图a 所示结构由于AB杆的制造误 差（短S）产生的M 图，已知EI=常数。(a)A(b)(c)A a/ 2 a/2Δ /2EA= ∞aX 1 =1a B a(e)(d)Δ /2 Δ /2?? 3 EIΔ 2 a2M图解：取1/4结构（图b）。由于AB杆短S，可看作支 座A发生向下的位移S／2。西南科技大学退出返回21:30 小 结列力法方程 ?11 X1 ? ?1c ? 0其中结构力学? 11a3 ? 3EI而S1c是当基本结构（图d）发生向下的支座位移时, 沿X1方向产生的位移，因此Δ c ? ?Δ / 2 1解方程得3EIΔ X1 ? 2a 3M 图示于图e。西南科技大学退出返回21:30 小 结结构力学例：图a所示结构，用力法求解时最少未知量个数 为多少？ 解：最少未知量个数为1。 提示：先取半结构（图b），再对图b取半结构 如图c所示。(a)F 3EI 3EI(b)F/ 2 EI h 3EI(c)F/ 4 3EIEI2EIEIEIll西南科技大学退出返回21:30 小 结四、弹性支承超静定结构的计算结构力学例：结构如图所示（f为柔度系数），选择正确答案。A.M A ? MCB. D.M A ? MCM A ? ?M CMc F f lC. M A ? M CMA A EI l FC EI解:正确答案是C。西南科技大学退出返回21:30 小 结结构力学例:图示两弹性支承连续梁，已知EI=常数，k=6EI/l3 ， 试求弯矩图。(a) A F B k kl lCD(b)AlF X1 B(c)D X 1=1 A B 1 CX2 C基本结构2 l __ M1l(d)A B 1 1 l C X 2=1 D(e)A B C1/24 D__ M22 l1 l5/24M P图（Fl )西南科技大学退出返回21:30 小 结（1） 力法方程结构力学解： 此连续梁为二次超静定，取基本体系如图b所示。??11 x1 ? ?12 x2 ? Δ1P ? 0 ? ?? 21 x1 ? ? 22 x2 ? Δ2 P ? 0（2） 计算系数和自由项 位移系数是由两部分产生的：一是荷载产生的，二 是由于弹簧支座位移产生的。 2 1 2 ( ? l ? 1? ? 1) 例如求δ11，由荷载产生的位移是 EI 2 3 由支座产生的位移是 所以2 2 1 1 1 1 ? ? ? ? ? l l k l l k? 113l ? 2 EI退出西南科技大学返回21:30 小 结同理结构力学3l 2 EI 1 1 1 ? 2 ? 1? 1 ? l ? ? l ? 1? ? ? ? ?? ? ? ? 2 ? ? 2 3 EI ? l ? l ? k ? 2EI? 22 ?? 12 ? ? 212? 1 2F l 3 Fl 2 ? Δ1P ? ? ? F ? ? ? ? ? ?? l ?k l 6 EI 3EI ??1 ? 1 F l 3 Fl 2 ? Δ2 P ? ? ? F ? ? ? ? ? l ? k l 6 EI 6 EI ? 将系数代入力法方程典型得? 3l l Fl 2 X1 ? X2 ? ?0 ? ? 2 EI EI 3EI ? 2 ?? l X ? 3l X ? Fl ? 0 ? 2 EI 1 2 EI 2 6 EI ?西南科技大学退出返回21:30 小 结解联立方程得结构力学5 X1 ? Fl 24，Fl X2 ? ? 24由叠加法作弯矩图M ? M 1 X1 ? M 2 X 2 ? M P ? M 1 X1 ? M 2 X 2最后弯矩图如图e所示。西南科技大学退出返回21:30 小 结五、用力法计算超静定结构的位移 用力法计算超静定结构位移的步骤如下：结构力学(1) 先用力法计算出多余未知力, 并作为已知外力作 用于基本结构。 (2) 结构上某点的位移等于基本结构在各种因素（包 括外荷载、多余未知力、支座位移、温度变化等）分别 作用下产生的位移相叠加。 (3) 若超静定结构的M 图已给出，则求位移时只需 在任意的静定结构上施加单位力，画出 M 图，再应用 图乘法或求位移公式即可。西南科技大学退出返回21:30 小 结例：求图a所示梁AB中点的竖向位移。(a) q (b) q (c)结构力学A-t +tlBCA-t +tB AlB M1 X 1=1X1(d) ql / 2 -t +t2q (e) (f) l/2 F =1MPM解：（1） 先求超静定结构的多余未知力X1，基本体 系如图b所示。X1方向的位移由荷载、温度、支座位移三 种因素共同产生，因此力法方程为?11 X1 ? Δ1t ? Δ1P ? Δ1c ? ?c西南科技大学退出返回21:30 小 结分别求出系数1 l3 ?11 ? M 1M 1dx ? EI ? 3EI结构力学1 ql3 Δ1P ? ? M P M1dx ? ? 8EI EIΔ1t ???th? M ds ?1?tl 2hΔ1c ? 03q 3EI ?t 3EIc ? ? 3 8 lh l 最后得弯矩图为：M ? X1M1 ? M P解方程得X1 ?求中点的位移只需在该静定结构上进行即可，在中点 加单位力，作 M 图 1 1 1 ? ? 2t ΔV中 ? ? MMdx ? EI ? ? h ? Mdx EI 1 1 ? ? 2t ? ( M P ? X 1 M 1 ) M dx ? ? ? ? h ? Mdx EI EI西南科技大学退出返回21:30 小 结结构力学例：知结构的弯矩图如图a,试选择最简单的基本结构 计算K点的竖向位移SKV.2.1 2.1K 3EI1.3F =13.5m 1.5m 2m1.0 10.2EI EI 3.03/23m3m4m（a）（b）解：取基本结构（图b），两图相图乘得ΔK V 1 1 3 2 3 5 10.2 ? ( ? 6 ? ?1.7 ? ? 3 ?10.2 ? ? ? 2) ? 3EI 2 2 3 2 8 EI退出 返回西南科技大学21:30 小 结六、超静定结构的校核 1. 平衡条件的校核结构力学从结构中任意取出的一部分都应当满足平衡条件}
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