学年第一学期13土木流体力学总复习_百度文库
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学年第一学期13土木流体力学总复习
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03 流体动力学基础
第三章 流体动力学基础本章研究流体运动的基本规律及其在工程中的应用基础，介绍流体动力学的基本知识、 基本原理和基本方程。第一节 描述流体运动的两种方法表征运动流体的物理量称为流体的流动参数。描述流体运动就是要表达流体质点的流动 参数在不同空间位置上随时间连续变化的规律。在流体力学中，描述流体运动的方法有拉格 朗日(Lagrange)法和欧拉(Euler)法。一、拉格朗日法充满流体质点运动的空间称为流场。拉格朗日法从分析流体质点的运动着手，分析流动 参数随时间的变化规律，然后综合所有被研究流体质点的运动情况来获得整个流体运动的规 律。这种方法与理论力学中描述质点或质点系的方法一样。显然，这个方法可以了解每个流 体质点的运动规律。 由于拉格朗日方法着眼于每个流体质点，需要找到一种方法用以区分不同的流体质点。 通常采用的方法是以初始时刻 t 0 时，各质点的空间坐标（ a ， b ， c ）作为不同质点的区别 标志。在流体运动过程中，每一个质点的运动坐标不是独立变量，而是起始坐标（ a ，b ， c ） 和时间变量 t 的函数。人们把 a ， b ， c ， t 叫做拉格朗日变数。 流体质点的空间位置（ x, y , z ） ，可以表示为x = x(a, b, c, t ) ? ? y = y (a, b, c, t )? z = z (a, b, c, t ) ? ?运动坐标对时间求导，则可得流体质点的速度（3-1）dx ?x ?x( a , b , c , t ) ? = = ? dt ?t ?t ? dy ?y ?y( a , b , c , t ) ? vy = = = ? dt ?t ?t ? dz ?z ?z ( a , b , c , t ) ? vz = = = ? dt ?t ?t ? vx =因为 a, b, c 不随时间变化，所以（3-2）dx ?x dy ?y dz ?z = , = , = 。而在微分之后将 a, b, c 看成 dt ?t dt ?t dt ?t变数，把 t 看成常数，将得到 t 时刻流体质点的速度分布。 流体质点的加速度为1?v x ? 2 x(a, b, c, t ) ? = ? ?t ?t 2 ? ?v y ? 2 y (a, b, c, t ) ? ay = = ? ?t ?t 2 ? ?v z ? 2 z (a, b, c, t ) ? az = = ? ?t ?t 2 ? ax =（3-3）同样流体质点密度 ρ 、压力 p 和温度 T 等流动参数也可以表示为 a ， b ， c 和 t 的函数ρ = ρ(a, b, c, t ) ? ? p = p(a, b, c, t )? T = T (a, b, c, t ) ? ?（3-4）拉格朗日法可以描述任一流体质点的运动。但是，由于流体质点的运动轨迹非常复杂， 用拉格朗日法去分析流体运动时，方程的建立和数学处理将遇到很多困难。同时，工程上一 般也不需要知道给定流体质点的运动规律。 因此， 除研究台风运动和波浪运动等特殊问题外， 流体力学中通常不采用这种方法。二、欧拉法欧拉法不同于拉格朗日法。欧拉法的着眼点是空间点，即着眼于流体经过流场中各空间 点时的运动情况，而不关心这些运动特性是由哪些流体质点表现出来的，也不考虑流体质点 的来龙去脉， 然后综合空间点上各质点的流动参数及其变化规律，用以描述整个流体的运动。 欧 拉 法 用 质 点 的 空 间 坐 标 （ x, y , z ） 与 时 间 变 量 t 来 表 达 流 场 中 的 流 体 运 动 规 律 ， （ x, y, z , t ）称为欧拉变数。欧拉变数不是各自独立的，因为流体质点的空间位置 x, y, z 与运 动过程中的时间变量有关。不同的时间，各个流体质点对应不同的空间坐标，因而对任一流 体质点来说，其位置变量 x, y, z 是时间 t 的函数。因此，流场中各空间点的流速所组成的速度 场可以表示为v x = v x ( x, y, z , t ) = v x [x(t ), y (t ), z (t ), t ] ? ? v y = v y ( x, y, z , t ) = v y [x(t ), y (t ), z (t ), t ]? ? v z = v z ( x, y, z , t ) = v z [x(t ), y (t ), z (t ), t ] ?任一空间点（即 x, y , z 一定）的流体质点速度随时间的变化规律。 同样，各空间点的其它流动参数组成的压强场、密度场、温度场等可以表示为（3-5）由上式可以得到任一时刻（即 t 一定）流体质点速度在空间中的分布规律，也可以得到p = p ( x, y , z , t ) ? ? ρ = ρ( x, y, z , t ) ? T = T ( x, y , z , t ) ? ?（3-6）式（3-5）和（3-6）是空间的坐标（ x ， y ， z ）的函数，研究的是场，如速度场、压强 场、密度场、温度场等。因此说，采用欧拉法就可以利用场论的知识。2下面讨论流体质点加速度的表示方法。 欧拉法中空间点的加速度是指某一时刻该空间点的流体质点的加速度， 是空间点 x, y , z , t 以说，质点的加速度不是 t 的简单一元函数，而是 t 的复合函数，其中间变量就是 x = x(t ) ， 的函数。由于质点本身的位置坐标（ x ， y ， z ）也是时间 t 的函数，因而自变量只有 t 。所y = y (t ) ， z = z (t ) 。按照复合函数求导的法则可求得质点的加速度。 加速度在 x 方向的分量为 dv ( x, y, z , t ) ?v x ?v x dx ?v x dy ?v x dz ax = x = + + + dt ?t ?x dt ?y dt ?z dt 质点位置坐标( x, y , z )对时间的导数就是该质点的速度分量，即dx dy dz = vx ， = vy ， = vz dt dt dt所以，可得加速度在空间坐标 x, y , z 方向的分量（3-7）ax =dv x ?v x ?v ?v ?v ? = + vx x + v y x + vz x ? dt ?t ?x ?y ?z ? dv y ?v y ?v y ?v y ?v y ? ay = = + vx + vy + vz ? dt ?t ?x ?y ?z ? dv ?v ?v ?v ?v ? az = z = z + vx z + v y z + vz z ? dt ?t ?x ?y ?z ?（3-8）若用 v 表示速度矢量、 a 表示加速度矢量，则上式可表示为dv ?v = + (v ? ? )v （3-9） dt ?t ? ? ? 式中， ? = i + j + k ，称为哈密顿算子（Hamiltonian operator） ，它虽然具有矢 ?z ?x ?y a=量形式，但并非矢量；它只是对其后面所列的函数进行微分运算的一种符号。?v 称为当地加速度或时变加速 ?t 度，它表示位于所观察点上的流体质点的速度随时间的变化率；第二部分 (v ? ? )v 称为迁移加由此可见，流体质点的加速度由两部分组成：第一部分 速度或位变加速度，表示流体质点所在空间位置的变化所引起的速度变化率。两部分之和就 是流体质点的全加速度，又称为随体导数或质点导数，即流体质点速度随时间的变化率。它 们的物理概念可用图 3-1 所示的装置加以说明。水流经变径管流出，由于水箱中的水位逐渐 降低，变径管内同一点的流速随时间不断减小；同时，随着管径变小，同一时刻变径管内各 点的流速又沿程增加。前者引起的加速度就是当地加速度，后者引起的加速度就是迁移加速 度。图 3-1应用欧拉法研究流体运动时，常在流场中选取一个固定的空间区域来观察流体的运动， 这个固定的空间区域称为控制体，它的边界面称为控制面。控制体的形状、体积和位置根据3所研究的问题可以任意选取。 在流体力学中常用欧拉法。由前述讨论可知，欧拉法研究的是流场中每个固定空间点上 的流动参数的分布及随时间的变化规律，给出了某瞬时整个流场的流动参数分布，因而可以 用连续函数理论对流场进行有效的理论分析和计算。因为在大多数的工程实际问题中，不需 要知道每个流体质点自始至终的运动过程，只需要知道流体质点在通过空间任意固定点时流 动参数随时间的变化，以及某一时刻流场中各空间固定点上流体质点的流动参数，然后就可 以用数学方法对整个流场进行求解计算。其次，在欧拉法中，数学方程的求解较拉格朗日法 容易。再次，测量流体参数时，用欧拉法可将测试仪表固定在指定的空间点上，这种测量是 容易做到的。第二节 流体运动的基本概念为了用欧拉法研究流体运动及建立流体动力学基本方程，首先必须了解一些流体运动中 的基本概念。一、恒定流动与非恒定流动如果流场中每一空间点上的流动参数都不随时间变化，这种流动就称为恒定流动，又称 为定常流动，否则称为非恒定流动或非定常流动。恒定流动中，流场内的速度、压力、密度 等所有的物理量只是空间坐标 x, y , z 的函数，与时间变量 t 无关， 即各流动参数的当地导数为零。 在恒定流动中，因为不包括时间变量 t ，因而流动的分析较非恒定流动要简单得多。在 实际工程问题中，如果流动参数随时间变化比较缓慢，在满足一定要求的前提下，可以将非 恒定流动作为恒定流动来处理。另外，确定流体运动是恒定流动或非恒定流动，与选取的坐 标系有关。例如，船在静止的水中等速直线行驶，船两侧的水流流动对于站在岸上的人看来 （即对于取固定在岸上的坐标系来讲）是非恒定流，而对于站在船上的人看来（即对于取固 定在船上的坐标系来讲）则是恒定流动。? v ?p ?ρ ?T = = = = 0， ?t ?t ?t ?t二、流线与迹线流体质点运动的轨迹称为迹线，它给出同一质点在不同时刻的速度方向。由迹线的形状 可以清楚地看出质点的流动情况，从而得出流场的参数分布和变化情况，迹线是拉格朗日法 分析流体运动的概念。 在液流中加入颜色不同且不易扩散的液滴， 就可以观察到染了色的流体质点的迹线形状。 流线是指某一瞬时在流场中所作的一条假想的空间曲线，在该时刻，位于曲线上各点的 流体质点的速度在各点与流线相切（如图 3-2） 。4图 3-2流线形象地给出了流场中的流动状态，通过流线可以清楚地看出某时刻流场中各点的速 度方向。显然，流线是欧拉法分析流体运动的概念。在流场内可以绘出一簇流线，所构成的 流线图称为流谱。 一般情况下（除驻点或奇点） ，流线具有如下性质： （1）恒定流动中，流线形状不随时间变化，且流体质点的流线与迹线重合； （2）流线不能相交，不能突然转折，只能是一条光滑曲线。否则，在交点或转折点处将 有两个速度矢量，这意味着在同一时刻，同一流体质点具有两个运动方向，这是不可能的。 利用流线不能突然转折的性质，人们经常采用“流线型”来改善运动物体的动力性能。 如图 3-3 的尾部，由于流线不能突然转折，必然有一部分流体不能随主流一起运动，而被主 流带动产生了旋涡， 消耗了能量， 增大了运动物体的阻力。 如果将物体的尾部改成 “流线型” ， 则可以减小尾部的旋涡，从而减小运动阻力，改善运动物体的动力性能。图 3-3由流线的定义，可以建立流线的微分方程。 设流线上某一点的瞬时速度为v = v x i + v y j + vz k流线上微元线段矢量为（3-10）ds = dxi + dyj + dzk根据流线的定义，这两个矢量的方向一致，矢量积为零（3-11） （3-12）v × ds = 0写成投影形式，就是流线的微分方程dx dy dz = = vx v y vz（3-12）因为流线是某一时刻的曲线，所以时间变量 t 不是自变量，只能作为一个参变量。求某 一指定时刻的流线时，需要把 t 当作常数带入上式，然后进行积分即可求得。 例 3-1 已知流速场为 v x = x + t ， v y = ? y + t ， v z = 0 。试求 t = 0 时刻，通过点 A(-1,-1) 的流线。 解：由式（3-12） ，流线的微分方程是dx dy = x+t ? y +t式中， t 是参变量，当作常数，对上式积分，得ln(x + t ) = ? ln(? y + t ) + ln C得流线方程为(x + t )(? y + t ) = C5由上式可知，任一瞬时的流线是一双曲线。当 t = 0 ， x = ?1 ， y = ?1 时，得到xy = 1这就是 t = 0 时刻，通过点 A(-1,-1)的流线。它为一等变双曲线，在第三象限，如图 3-4 所示。图 3-4三、流管与流束流管 在流场中任取一非流线又不相交的封闭曲线，过曲线上各点作流线，这些流线组成一个封闭的管状曲面，称为流管，如图 3-5 所示。由流线的定义可知，位于流管表面上得 流体质点只具有切于流管方向的速度，因而流体质点只能在流管内部或流管表面流动，而不 能穿越流管。流管如同真实的固体管壁，将其内部的流体限制在管内流动。自来水管的内表 面就是流管的一个实例。图 3-5 所示流束流管内的全部流体，称为流束。微小的封闭曲线构成的流管内的流体称为元流，又称微元流束。元流的极限就是流线。 实际工程中，把管内流动和渠道中的流动看作是总的流束，它由无限多元流组成，称为 总流。四、过流断面、湿周、水力半径、当量直径过流断面 与流束或总流的所有流线都相垂直的横断面称为过流断面。 过流断面可能是平 面，也可能是各种形式的曲面，如图 3-6 所示。如果流体是水，称为过水断面。由于元流的 过流断面无限小，可以认为其断面上的运动参数分布均匀，但对于总流，过流断面上各点的 运动要素却不一定相等。图 3-6湿周在总流的过流断面上，与流体相接触的固体边壁周长称为湿周，用 χ 表示。 总流的过流断面面积与湿周的比值称为水力半径，用 R 表示。水力半径R=Aχ总流过流断面面积的四倍与湿周的比值称为当量直径，用 d e 表示。当量直径de =4Aχ6水力半径与当量直径在非圆断面管道的水力计算中起着十分重要的作用，它们与圆断面 的半径与直径是不同的概念。表 3-1 列出了常见过流断面的湿周、水力半径与当量直径的计 算式。表 3-1 常见过流断面的湿周、水力半径与当量直径的计算式全充满流管 过流断面 湿周 χ 水力半径 R 当 量 直 径半充满流管梯形长方形2πrπrr 2r 2d +b+c (a + b )h 2(d + b + c )2(a + b )ab 2(a + b )2ab a+bde2r2r2(a + b )h (d + b + c )五、流量、断面平均流速单位时间内通过某一过流断面的流体量称为流量，它可以用体积或质量来表示，其相应 的流量分别称为体积流量（ q v ， m 3 s ）和质量流量（ q m ， kg s ） 。不加说明时， “流量” 一词概指体积流量。 对于元流，过流断面面积上的速度可认为是均匀分布的，且方向与过流断面垂直，故元 流的流量为dq v = vdA（3-13）总流的流量等于所有元流流量之和q v = ∫ vdAA（3-14）当所取为任意截面而不是过流断面时，因截面每点速度不与截面垂直，故元流流量为r dq v = v cos(v , n )dA（3-15）式中， cos(v, n ) 为速度与 dA 法线方向夹角的余弦。r通过截面的总流流量为r q v = ∫ v cos(v , n )dAA（3-16）总流过流断面上各点的速度不相等，但在工程实际中，往往只需要知道过流断面上流速 的平均值就可以了，因此引入断面平均流速的概念。 所谓断面平均流速，是一种假想的流速，即过流断面上各点的速度都相等，其大小等于7过流断面的流量 q v 除以过流断面面积 A ，即v=qv ∫AvdA = A A（3-17）断面平均流速的概念十分重要， 它将使我们的研究和计算大为简化， 尤其在工程计算中， 具有重要的实际意义。六、一元、二元、三元流动根据决定流体运动参数所需的空间坐标的个数，可把流体流动分为一元流动、二元流动 和三元流动。实际流体力学问题，流动参数为三个坐标的函数，为三元流动。随着计算技术 的发展，对一些复杂问题的求解已成为可能，但对于大多数三元流动问题，研究分析通常十 分复杂。为此，在流体力学的研究和实际工程技术中，人们往往根据具体问题的性质把它简 化为二元甚至一元流动来处理。流动参数可表示为两个坐标的函数，称为二元流动。流动参 数只是一个空间坐标函数，称为一元流动。在工程流体力学中，经常引入断面平均流速的概 念，运用一元流动分析方法来解决管道与渠道中的很多流动问题。七、均匀流动与非均匀流动按各点运动要素（主要是速度）是否随位置而变化，可将流动分为均匀流动和非均匀流 动。流场中，在给定的某一时刻，各点速度都不随位置而变化的流动称为均匀流动。反之， 称为非均匀流动。均匀流动的所有流线都是平行直线，过流断面是一平面，且大小和形状都 沿程不变。非均匀流动的所有流线不是一组平行直线，过流断面不是一平面，且其大小或形 状沿程改变。例如，流体在等径长直管道内的流动，或在断面不变的长直渠道中的流动，都 是均匀流动。 均匀流动中，流动参数具有对空间的不变性，迁移加速度等于零。八、渐变流与急变流按流线沿程变化的缓急程度，又将非均匀流动分为渐变流与急变流。各流线接近于平行 直线的流动，称为渐变流。此时，各流线之间的夹角很小，且流线的曲率半径很大。反之， 称为急变流。由于渐变流的所有流线是一组几乎平行的直线，其过流断面可认为是一平面。 同时，恒定渐变流过流断面上东压强的分布近似地符合静压强的分布规律，即同一过流断面 上z+p ≈ 常数。渐变流的极限情况就是均匀流。 ρg直径沿程变化不大的圆锥管内的流动， 可认为是渐变流。 管径突然扩大或缩小处的流动， 可以认为是急变流。8第三节 连续性方程连续性方程是质量守恒定律在流体力学中的具体体现，实质上是质量守恒方程。一、积分形式的连续性方程在流场中取任意形状的一个控制体，如图 3-7 所示，设其体积为 V ，表面积为 A ， n 为 微元面积外法线方向上的单位矢量。图 3-7任何瞬时连续充满于控制体内的流体质量可以用微元质量的体积分表示为∫∫∫ ρdV 。V经过单位时间，如果控制体内的流体质量发生了变化，则单位时间内的变化量可表示为? ?t(∫∫∫VρdV)。单位时间内，通过控制面流入或流出控制体的质量之和为∫∫Aρvd A。根据质量守恒定律，控制体内的质量发生变化的唯一原因就是经过控制面的流动，即单位时间内控制体质量的变化量等于通过控制面流入或流出控制体的质量之和。也就是说，控 制体中质量的增加必然等于同一时间内流入与流出的质量差。反之，控制体中质量的减少必 然等于动一时间内流出于流入的质量差。因而有∫∫Aρvd A = ?? ?t∫∫∫VρdA（3-18）这就是积分形式的连续性方程。二、微分形式的连续性方程利用高斯定理，可将对面积的曲面积分，转化为三重体积分，即得∫∫Aρ vd A ==∫∫ (ρ vA∫∫∫V? ? ( ρ v x ) ? (ρ v y ) ? ( ρ v z ) ? ? ? x + ? y + ? z ? d xdydz ? ?? ?txd yd z + ρ v y d xd z + ρ v z d xd y )（3-19）根据控制体与时间无关的特性，可将 颠倒，则得∫∫∫Vρ d V 先对控制体积分后对时间微分的次序?ρ d x dydz ?t? ?t∫∫∫VρdV =∫∫∫V? ?t( ρ d V ) = ∫∫∫ V ? ρ ?t9dV =∫∫∫V（3-20） 将（3-19）和（3-20）代入积分形式的连续性方程式（3-18） ，即得∫∫∫得V? ? ( ρ v x ) ? (ρ v y ) ? ( ρ v z ) ? ρ ? ? ? x + ? y + ? z + ? t ? d xdydz = 0 ? ?由于积分区域为可以任意选取的控制体体积，积分为零则被积函数在流场中处处为零，? ? ( ρ v x ) ? (ρ v y ) ? ( ρ v z ) ? ρ ? ? ?x + ?y + ?z + ?t ? = 0 ? ?这就是在直角坐标下的微分形式的连续性方程。 几种特殊情形下的连续性方程如下： 恒定流动， ?ρ ?t = 0 ，连续性方程简化为（3-21）? ( ρ v x ) ? (ρ v y ) ? ( ρ v z ) + + =0 ?x ?y ?z ?v x ?v y ?v z + + =0 ?x ?y ?z（3-22）不可压缩流体， dρ dt = 0 ，连续性方程简化为 （3-22）圆柱坐标系中的连续性方程的表达式为?ρ ρv r 1 ? ( ρv r ) 1 ? ( ρvθ ) ? ( ρv z ) + + + + =0 ?t ?z r r ?r r ?θ（3-23）三、恒定不可压缩总流的连续性方程恒定不可压缩总流的连续性方程，可通过对总流控制体积分求得。在总流控制表面中， 只有两个过流断面有流体通过，如图 3-8 所示。因为出口过流断面的面积矢量与速度矢量方 向一致，而进口的则相反，考虑恒定、不可压的特性，由式（3-18）可得∫∫ v d A = ∫AA2v 2 d A2 ?∫A1v1 d A1 = v 2 A2 ? v1 A1 = 0（3-24）或 v 2 A2= v1 A1 = q V式中， A1 ， A2 分别为总流进、出口过流断面面积， v1 ， v 2 分别为进、出口断面平均流 速。图 3-8上式即为恒定不可压缩总流的连续性方程。它表明流体的体积流量沿程不变，对于任意 两过流断面，其断面平均流速与过流断面面积成反比。10若沿程有流量流进或流出，则总流的连续性方程在形式上需要作相应的修正，如图 3-9 所示的情况，其总流的连续性方程可写为qV 1 ± QV 3 = QV 2（3-25）式中 qV 3 为流进（取正号）或流出（取负号）控制体的流量。图 3-9流体运动的连续性方程不涉及任何作用力的性质，对于理想流体和实际流体都适用。第四节 流体微团的运动分析为了分析整个流场的流体运动形态，首先分析流体微团本身的运动。一、流体微团运动的分解在流场中取流体微团，如图 3-10 所示，取点 A （ x ， y ， z ）为基点，在某瞬时的速度 为 v = v x i + v y j + v z k ，在同一时刻，与 A 点相近的点 C （ x + dx ， y + dy ， z + dz ）的速度 可由泰勒展开式的前两项表示为vCx = v x + vCy vCz?v x ?v ?v ? dx + x dy + x dz ? ?x ?y ?z ? ? ?v y ?v y ?v y ? dx + dy + dz ? = vy + ?x ?y ?z ? ? ?v ?v ?v = v z + z dx + z dy + z dz ? ?x ?y ?z ? ?（3-26）在 以 上 各 式 中 分 别 加 入 ±1 ?v y 1 ?v z 1 ?v z 1 ?v x dy ± dz 、 ± dz ± dx 和 2 ?x 2 ?x 2 ?y 2 ?y±1 ?v x 1 ?v y dx ± dy 四项，做恒等变换，采用表 3-2 中的符号，简化可得 2 ?z 2 ?zvCx = v x + θ xx dx + ε xy dy + ε xz dz + ω y dz ? ω z dy ? ? vCy = v y + θ yy dy + ε yz dz + ε yx dx + ω z dx ? ω x dz ? （3-26） ? vCz = v z + θ zz dz + ε zx dx + ε zy dy + ω x dy ? ω y dx ?此式为流体微团的速度分解式，也称为亥姆霍兹（Helmhotz）速度分解定理。11图 3-10表 3-2 流体微团速度分解式中的符号θ xx = θ yy θ zz?v x ? ?x ? ? ?v y ? = ? ?y ? ?v ? = z ? ?z ??? ε xy = ε yx = ? x + ?x ?? 2 ? ?y ? ?z ? ε yz = ε zy = ? ? ?z + ?y ? ? 2? ??1 ? ?v?v y ??1 ? ?v y? ?v ? ??? ωx = ? z ? 2 ? ?y ?z ?? ? ?1 ? ?v?v y ??ωy = ?ε xy = ε yx = ?1 ? ?v z ?v x ? ? + ?? 2 ? ?x ?z ? ? ?? ?? ?? ?? 1 ? ?v y ?v x ?? ?? ωz = ? ? 2 ? ?x ?y ?? ? ?? 1 ? ?v x ?v z ? 2 ? ?z ?x二、流体微团运动的组成分析流体微团的速度分解式中，各项分别代表一种简单运动的速度。为了说明（3-26）式中 各项符号的含义，无需分析空间流动的复杂情况，只需分析平面流动就足够了，如图 3-11 所 故点 A 的速度只有 v x 、v y 两个分量， 而点 C 的速度则可由 （3-26） 示。 此时，v z = 0 ，dz = 0 ， 式化简为平面运动的分解公式：vCx = v x + θ xx dx + ε xy dy ? ω z dy ? ? ? （3-27） vCy = v y + θ yy dy + ε yx dx + ω z dx ? ?显然，该式也包括了表 3-2 中各种不同的符号。图 3-111．平移运动 如果 θ xx = θ yy = ε xy = ε yx = ω z = 0 ，则微团上各点的速度均为 v x 、 v y ，即微团只随基点 平移。如图 3-12（1）所示，经过 dt 时间后， ABCD 平移到 A′B ′C ′D ′ 位置，微团形状不变。 由此可见， v x 、 v y 是微团平移在各点引起的速度，称为微团的平移速度。 2．直线变形运动θ xx =?v x 的物理意义是 v x 沿 x 方向的变化率， θ xx dx 是 C 、 A 两点的 x 方向分速度的变 ?x化 量 。 θ yy dy 是 C 、 A 两 点 的 y 方 向 分 速 度 的 变 化 量 。 在 不 可 压 缩 流 体 中 ， 如 果v x = v y = ε xy = ε yx = ω z = 0 ，则经过 dt 时间后， ABCD 变成如图 3-12（2）所示的 A′B ′C ′D ′12形状。 这种运动称为微团的直线变形运动， θ xx 、 θ yy 称为直线应变速度。图 3-123．角变形运动 以 ε xy =1 ? ?v x ?v y ? ? ? 为例。因微团 B 点和 A 点 y 方向的速度不同，在 dt 时间内，两点 + 2 ? ?y ?x ? ? ??v yy 方向的位移量不等， AB 边发生偏转（图 3-13） ，偏转角度dα = tandα 1 =dxdt ?v BB ′ y = ?x = dt AB dx ?x（3-28）同理， MB 边也发生偏转，偏转角度?v x dydt ?v DD ′ ?y dβ = tandβ 1 = = = x dt AD dy ?y（3-29）图 3-13AB 、 AD 边偏转的结果，使微团由原来的矩形变成了平行四边形 A′B ′C ′D ′ ， 微团在 xoy平面上的角变形用1 (dα + dβ ) 来衡量 2? ?v ? 1 (dα + dβ ) = 1 ? y + ?v x ?dt = ε xy dt 2 2 ? ?x ?y ? ? ?x ? ε xy = ? ? ?x + ?y ? 是微团在 xoy 平面上的角变形速度。 2? ?1 ? ?v y?v ?4．旋转运动 以ωz =1 ? ?v y ?v x ? ? 2 ? ?x ?y ?? ? 为例。在图 3-12 中，若微团 AB 、 AD 边偏转的方向相反，转角 ? ?相等， dα = dβ ，此时微团发生角变形，但变形前后的角分线 AE 的指向不变，以此定义微 团没有旋转，是单纯的角变形。若偏转角 dα ≠ dβ （图 3-14） ，变形前后角分线 AE 的指向发 生变化，表示该微团旋转。13图 3-14微元整体的旋转角dγ =1 (dα ? dβ ) 2代入式（3-28） （3-29） 、 ，得dγ =1 ? ?v y ?v x ? ? ?dt = ω z dt ? 2 ? ?x ?y ? ? ? 1 ? ?v y ?v ?（3-30）x ? ωz = ? ? ?x ? ?y ? 是微团绕通过 A 点之 z 轴的旋转角速度。 2? ?按平面运动中的各符号的物理意义，可以类推到空间运动，自然速度分解公式中全部符 号的物理意义就都清楚了。 亥姆霍兹定理说明：一般情况下流体微团运动包括平移、旋转和变形（线变形和角变形） 三部分。定理的主要贡献在于找出了这三种运动的数学表达式，为进一步对流体运动进行分 类研究，对确定应力与应变速度的关系奠定了数学分析基础。第五节 理想流体的运动微分方程一、理想流体的运动微分方程理想流体的运动微分方程是研究流体运动的基本方程，它是在牛顿第二定律基础上推导 得到的。 作用在理想流体上的表面力与平衡流体一样，只有法向压力。一般情况下，在表面力与 质量力的作用下，流体将产生加速度。因此，采用与推导流体平衡的微分方程相同的处理方 法，并考虑运动流体的惯性力，即可得到理想流体的运动微分方程1 ?p dv x ? = ρ ?x dt ? ? dv y ? 1 ?p ? fy ? = ? dt ? ρ ?y 1 ?p dv z ? fz ? = ? ρ ?z dt ? ? fx ?其矢量形式为（3-31）f?1ρ?p =dv dt（3-32）该式是欧拉在 1755 年所著的《流体运动的基本原理》中首先提出的，所以又称为欧拉运 动微分方程。它表示了作用在单位质量流体上的力与流体运动加速度的相互关系，适用于可 压缩流体和不可压缩流体的恒定流和非恒定流。14为了便于区分恒定流和非恒定流得欧拉运动微分方程，以当地加速度和迁移加速度表示 上式右端的加速度，欧拉运动微分方程可以写为fx ??v ?v ?v ? 1 ?p ?v x = + vx x + v y x + vz x ? ?x ?y ?z ρ ?x dt ? ? ?v y ?v y ?v y ? 1 ?p ?v y fy ? = + vx + vy + vz ? ?t ?x ?y ?z ? ρ ?y ?v ?v ?v ? 1 ?p ?v z fz ? = + vx z + v y z + vz z ? ρ ?z ?t ?x ?y ?z ? ?1 ?v + (v ? ) v ?t（3-33）其矢量形式为f?ρ?p =当为恒定流动时，式（3-33）中的 若?v x ?v y ?v z = = = 0。 dt dt dtdv = 0 ，方程（3-31）变为流体平衡微分方程，所以流体平衡微分方程式是流体运动 dt方程的特例。二、欧拉运动微分方程的积分理想流体运动微分方程式中共有八个物理量，单位质量力 f x ， f y ， f z 通常是已知的， 对于不可压缩流体， ρ 为常数，三个方程，四个未知量 v x ， v y ， v z ， p ，与连续性方程式 联立，理论上方程组封闭可解。 流体运动微分方程只有积分成普通方程式，才可以用来解决实际流动问题。但由于其为 非线性偏微分方程组，目前尚未找到它的通解，只有特定条件下的积分。其中最著名的伯努 利（Bernoulli）积分，是在以下限定条件下得到的： 1) 恒定流动 则? (?) = 0 ，所以 ?t ?p ?p ?p dp = dx + dy + dz ?x ?y ?z 2） 流体为不可压缩，即 ρ = 常数。f x dx + f y dy + f z dz = d W4） 沿流线积分，此时3） 作用在流体上的质量力有势，则存在势函数 W ，使得dx dt = v x ， dy dt = v y ， dz dt = v z将欧拉运动微分方程（3-31）各式分别乘以同一流线上的微元线段矢量 d s 的投影 dx 、15dy 、 dz ，然后相加，得(fxdx + f y dy + f z dz ) ?dv y dv ?p ?p ? dv 1 ? ?p ? dx + dy + dz ? = x dx + dy + z dz ? ?x ? dt ρ? ?y ?z ? dt dt将上述四个限定条件代入上式，得d W ? dp ρ = v x dv x + v y dv y + v z dv z = d v 2 2因为 ρ = 常数，故上式可写成()d W ? p ρ ? v2 2 = 0积分后，得()W ? p ρ ? v 2 2 = 常数（3-34）式（3-34）就是伯努利积分。对于不可压缩的理想流体，在有势的质量力作用下作恒定 流动时，在同一流线上 W ? p ρ ? v 2 2 保持恒定。但对于不同的流线，伯努利积分常数一般 是不同的。第六节 伯努利方程伯努利方程是能量守恒定律在流体力学中的数学表达形式，在流体力学基本理论中占有 重要位置，它形式简单，意义明确，有着广泛的应用。一、理想流体恒定元流的伯努利方程如果质量力只有重力，则恒定不可压缩流体的质量力势函数 W = ? gz ，将其代入沿流线 的伯努利积分式（3-34）中，由于元流的过流断面积无限小，所以沿流线积分就是沿元流积 分，可得z+p v2 + =C ρg 2 g2（3-35）或 z1 +p1 v1 p v + = z2 + 2 + 2 ρg 2 g ρg 2 g2（3-35）这就是理想流体恒定元流的伯努利方程。 如果流动速度为零，则由伯努利方程又可得出平衡流体的流体静力学基本方程式z+p =C ρg因此，伯努利方程中式各项的物理意义和几何意义也就比较明显。 从物理角度看， z 代表单位重量流体对某基准面具有的位能， p16ρg 代表单位重力流体的压能， v 2 2 g 代表单位重力流体的动能。因此，伯努利方程的物理意义为：对于重力作用 下的恒定不可压缩流体，单位重量流体所具有的位能、 动能和压能之和即机械能沿流线不变。 由此可见，伯努利方程实质就是物理学能量守恒定律在流体力学上的一种表现形式。 从几何角度看，伯努利方程的每一项的量纲与长度相同，都代表某一个高度。 z 代表所 研究点相对于某基准面的几何高度，称为位置水头， p 称为压强水头， v2ρg 代表所研究点处压力大小的高度，2 g 代表所研究点处速度大小的高度，称为速度水头。通常将位置水头与压强水头之和称为测压管水头，测压管水头与速度水头之和称为总水头。伯努利方程的几何 意义为：对于重力作用下的恒定不可压缩流体，总水头为一常数，或总水头沿流线相等。二、实际流体恒定元流的伯努利方程实际流体具有粘性，在运动时由于流层间内摩擦力做功，将一部分机械能转变为热能而 耗散，因此实际流体流动的机械能将沿程减少。根据能量守恒定律，可得实际流体恒定元流 的伯努利方程z1 +p1 v1 p v ′ + = z 2 + 2 + 2 + hw ρg 2 g ρg 2 g22（3-36）′ 其中， hw 表示单位重量流体沿着流线从 1 点到 2 点的机械能损失。方程（3-36）中各项及总水头、测压管水头的沿程变化如图 3-15 所示。图 3-15可知，实际流体的总水头线是沿程下降的，下降的快慢用水力坡度 J 表示，即J=dhw ds（3-37）而测压管水头线沿程可升、可降，也可不变。三、实际流体恒定总流的伯努利方程在实际工程中需要解决的往往是总流流动问题，如管路或渠道中的流动。因此，应该将 元流的伯努利方程推广到总流中去。 将式（3-36）两边乘以重量流量 ρgdq v = ρgv1dA1 = ρgv 2 dA2 ，得单位时间内通过元流两 过流断面的能量平衡关系2 2 ? ? ? ? ? z1 + p1 + v1 ? ρgv1dA1 = ? z 2 + p 2 + v 2 ? ρgv 2 dA2 + hw ρgdq v ′ ? ? ρg 2 g ? ρg 2 g ? ? ? ? ?17将上式在总流过流断面上积分，可得单位时间内通过总流两过流断面的能量平衡关系2 2 ? ? ? ? ? z1 + p1 + v1 ? ρgv1dA1 = ? z 2 + p 2 + v 2 ? ρgv 2 dA2 + hw ρgdq v （3-38） ∫A1 ? ρg 2 g ? ∫A2 ? ρg 2 g ? ∫ ′ ? ? ? ?为进行积分运算，需要对流动进一步的限制。 假定过流断面取在渐变流断面上，则过流断面上流体压力按静压力规律分布，即同一过 流断面上各点的 z + pρg ≈ 常数，此时积分? p ? ? p ?V∫ ? z + ρg ? ρgvdA = ρg ? z + ρg ?∫ vdA =? z + ρg ? ρgq ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?A A?p ?（3-39）以断面平均流速 v 来表示单位时间内通过过流断面的实际动能，则v2 αv 3 αv 2 ∫A 2 g ρgvdA = 2 g ρgA = 2 g ρgqV（3-40）其中 α 为动能修正系数。因为用断面平均流速代替实际流速计算动能时会引起误差，为 予以修正而引入动能修正系数，它等于实际动能与按平均流速计算的动能之比，即v3 ∫A 2 g ρgdA ∫Av 3 dA = 3 α= v3 v A ρgA 2gα 值与 断面 流 速分 布有 关 ，一 般情 况 下 α = 1.05 ~ 1.10 ，在渐 变 流动 情况 下 ，通 常取α = 1.0 。单位时间内总流在两过流断面间的机械能损失，根据积分中值定理，可得∫qv′ hw ρgdq v = hw ρgq v（3-41）其中 hw 为单位重量流体在两过流断面间的平均机械能损失，通常称为水头损失。 将式（3-39） （3-40） （3-41）代入式（3-38） 、 、 ，化简后得z1 +p p1 α 1v1 α v + = z 2 + 2 + 2 2 + hw 2g 2g ρg ρg2 2（3-42）上式就是实际流体恒定总流的伯努利方程，其每一项得物理意义和几何意义与元流的伯 努利方程相类似。 总流的伯努利方程中是在一些限制条件下得到的， 应用该方程时需要满足这些限制条件： （1）流体不可压缩； （2）流动是恒定的； （3）质量力只有重力； （4）过流断面上的流动必须是渐变流，但两过流断面间可以是急变流。 需要注意的是，如果两过流断面间装有水泵、水轮机或风机等装置时，流体将获得或失18去能量，则总流的伯努利方程变为z1 +p1 α 1v1 p α v + ± H = z 2 + 2 + 2 2 + hw ρg ρg 2g 2g2 2（3-43）其中， + H 表示单位重量流体通过水泵、风机时获得的能量， ? H 表示单位重量流体通 过水轮机时失去的能量。 例 3-2 用直径 d = 100mm 的水管从水箱引水（图 3-16） 。水箱水面与管道出口断面中心 的高差 H = 4m ，且保持恒定，水头损失 hw = 3m 水柱。试求管道的流量。图 3-16解：这是一个总流的问题，应用伯努利方程z1 +p1 α1v12 p αv2 ′ + = z2 + 2 + 2 2 + hw ρ g 2g ρg 2g首先选取基准面、计算断面和计算点。为便于计算，选通过管道出口断面中心的水平面 为基准面 o-o 。计算断面应选在渐变流断面，并使其中一个已知量最多，另一个含待求量。 按以上原则，本题选水箱水面为 1 ? 1 断面，计算点在自由水面上，流动参数 z1 = H ， p1 = 0 ，v1 ≈ 0 。 选管道出口断面为 2 ? 2 断面， 以出口断面的中心为计算点， 流动参数 z2 = 0 ，p2 = 0 ， v2 待求。将各量代入总流伯努利方程H=α 2v2 22g+ hw取 α 2 = 1.0流速v2 = 2g ( H ? hw ) = 4 .43m s3流量 Q = v2 A2 = 0 .035 m s 例 3-3 有一如图 3-17 所示水泵管路系统，已知：流量 q = 101m3 h ，管径 d = 150mm ， 管径的总水头损失 hw1? 2 = 25 .4m ，水泵的效率 η = 75.5% ，试求： （1）水泵的扬程 H p ； （2）水泵的功率 Pp 。19图 3-17解： （1）计算 H p 以吸水池面为基准，列 1 ? 1 、 2 ? 2 断面的伯努利方程z1 +即p1 v12 p v2 + + H p = z2 + 2 + 2 + hw1? 2 ρ g 2g ρ g 2g0 + 0 + 0 + H p = 102 + 0 + 0 + hw1? 2所以 H p = 102 + hw1? 2 = (102+25.4 ) m=127 .4m （2）计算 N pPp =ρ gqH 1000 × 9 .8 ×101×127 .4 = W = 46 .4 × 103 W η 3600 × 0 .755第七节 动量方程动量方程是动量定理在流体力学中的数学表达式。它反映了流体运动的动量变化与作用 力之间的关系，该方程可用来方便地解决急变流动中流体与边界面之间的相互作用力问题。一、用欧拉方法表示的动量方程将动量定理用于具有一定质量的流体系统（质点系） ，由于各个质点速度不尽相等，故质 点系的动量定理为∑F =d (∑ m v ) dt（3-44）由此可以设想，作用在质点系上的总外力就可以通过求质点系的动量变化率的办法来计 算，而不必通过压强分布的积分，这样就开辟了求解流体动力学问题的又一条新途径。 要计算质点系的动量变化率，似乎采用拉格朗日方法比较适宜，但由于流动的复杂性， 这样做并不简单。通常采用欧拉法来研究流体的流动问题，为此，需要将质点系的动量定理 转换成用欧拉方法表示的动量方程。 在流场中针对具体问题，有目的地选择一个控制体，如图 3-18 虚线所示。使它的一部分 控制面与要计算作用力的固体边界重合，其余控制面视取值方便而定。控制体选定后，其形 状、体积和位置相对于坐标系是不变的。图 3-18设 t 时刻流体质点系与控制体 V 重合，控制体内任意位置上的质点速度为 v ，密度为 ρ ，20则质点系在 t 时刻的初动量为 ??∫∫∫ ρ v dV ? 。经过 ?t 时间，质点系运动到实线所示的位置， ? ?V t?即 则质点系在 t + ?t 时刻的末动量可通过以下三部分动量相加减表示出来。 t + ?t 时刻控制体 中所有质点的动量 ??∫∫∫ ρ v dV ? ? ?V?t + ?t减 去 （ I 部 分 ） 由 非 原 质 点 系 经 控 制 面 A1 流 入 的 动 量?t ∫∫ ρ v (v? d A) ，再加上（ II 部分）原质点系经控制面 A2 流出的动量 ?t ∫∫ ρ v (v? d A) 。也就A1 A2是说，质点系在 t + ?t 时刻的末动量为? ? ? ?t ∫∫ ρ v (v? d A) + ?t ∫∫ ρ v (v? d A) ? ∫∫∫ ρ v dV ? A1 A2 ?V ? t + ?t ? ? = ? ∫∫∫ ρ v dV ? + ?t ∫∫ ρ v (v? d A) A ?V ? t + ?t式中 A 为控制体的全部控制面，于是∑F =即d (∑ m v ) dt= lim? ? ? ? 1 ?? ? ? ? ∫∫∫ ρ v dV ? + ?t ∫∫ ρ v (v? d A)? ?? ∫∫∫ ρ v dV ? ?t →0 ?t ?? V A ? ?t ? t + ?t ? V ?∑ F = ?t ∫∫∫ ρ v dV + ∫∫ ρ v (v? d A)V A?（3-45）这就是用欧拉方法表示的动量方程式。式中 ∑ F 为作用在控制体上所有外力的矢量和， 它既包括表面力也包括质量力； ??t ∫∫∫ Vρ v dV 为控制体内流体动量对时间的变化率，当控制体固定而且是恒定流动时，这一项就为零，它反映了流体运动的非恒定性；∫∫ ρ v (v? d A) 为单A位时间通过所有控制表面的动量代数和，因为从控制体流出的动量为正，流入控制体的动量 为负，所以这一项也可以说是单位时间内控制体流出动量与流入动量之差。二、一元流动的动量方程动量方程（3-45）从表面上看起来好像是一种比较复杂的矢量积分式，但是在明了它的 各项含义后，应用起来并不困难。特别是在恒定、不可压缩、一元流动的情况下，方程可以 简化。 恒定不可压缩一元流的流管如图 3-19 所示，流线方向取为自然坐标 s 的正向，取图中虚 线所示的流管为控制体，则总控制面中只有 A1 、 A2 两个过流断面上有动量交换。设这两个 过流断面上的平均速度为 v1 、 v 2 ，则式（3-45）可简化为21∑ F = ∫∫ ρ v (v? d A) = βρq (vV A2? v1 )（3-46）图 3-19它在三个坐标轴上的投影式为∑F ∑F ∑Fx yx=βρqV (v 2 x ? v1x )? ? ? =βρqV (v 2 y ? v1 y )? ? =βρqV (v 2 z ? v1z ) ? ?（3-47）式中 β 为用平均速度计算动量而引起的动量修正系数，它是用真实流速计算的动量与以 平均流速计算的动量间的比值，即∫ β=Aρv 2 dAρv 2 A∫ v dA =2 Av2A（3-48）对圆管层流， β = 1.33 ，湍流 β = 1.005 ~ 1.05 。一般情况下，为计算方便，取 β ≈ 1 。 动量方程是个矢量方程，一般利用其投影式（3-47）进行计算，使用时需要特别注意以 下两点： 第一是受力对象的问题，动量方程中的∑Fx、∑Fy、∑Fz是指外界作用在流体上的力，而实际问题中又常常要求计算流体作用在与之接触的固体上的作用力，解题时要注意 受力对象。如果要求计算流体对固体的作用力，则式（3-47）中的∑ F 应相应冠以负号。第二是外力和速度方向的问题，它们与坐标方向相同时为正，相反时为负。 例 3-4 水流从有压喷嘴中水平射向一相距不远的静止铅垂挡板，水流随即在挡板上向四 周散开，如图 3-20 所示，试求射流对挡板的冲击力 F 。图 3-20解：从有压喷嘴或孔口射入大气的一股流束成为自由射流，其特点是流束上的流体压强 均为大气压。 自由射流的流速可按伯努利方程计算， 射流对挡板的冲击力可按动量方程计算。 取射流转向前的断面 1 ? 1 和射流完全转向后的断面 2 ? 2（该断面是一个圆柱面，它应截 取全部散射水流）以及液流边界所包围的封闭曲面为控制体，如图 3-21 所示。图 3-21流入与流出控制体的流速以及作用在控制体上的外力分别示于途 3-20 和图 3-21， 其中 F ′ 是挡板对射流的作用力，即为所求射流对挡板的冲击力的反作用力。控制体四周大气压强的 作用相互抵消，同时，射流水平方向，重力可以不考虑。 若略去液流运动的机械能损失，则由恒定总流的伯努利方程可得 v1 = v2 。22取 x 方向如图 3-21 所示，则恒定总流的动量方程在 x 方向的投影为? F ′ = ρ qV ( 0 ? β1v1 )故F ′ = ρ qV β1v1式中， qV 为射流流量。射流对挡板的冲击力 F 与 F ′ 大小相等，方向相反。 例 3-5 水平方向的水射流，流量 q1 ，出口流速 v1 ，在大气中冲击在前后斜置的光滑平板 上，射流轴线与平板成 θ 角（图 3-22） ，不计水流在平板上的阻力。试求： （1）沿平板的流量q2 、 q3 ； （2）射流对平板的作用力。图 3-22射流解：取过流断面 1 ? 1 、 2 ? 2 、 3 ? 3 及射流侧表面与平板内壁为控制面构成控制体。选 直角坐标系 xoy ， o 点置于射流轴线与平板的交点， oy 与平板垂直。 在大气中射流，控制面内各点的压强皆可认为等于大气压（相对压强为零） 。因不计水流 在平板上的阻力，可知平板对水流的作用力 F ′ 与平板垂直，设 F ′ 的方向与 oy 轴方向相同。 分别对 1 ? 1 、 2 ? 2 及 2 ? 2 、 3 ? 3 断面列伯努利方程，可得v1 = v2 = v3（1）求流量 q2 、 q3 列 ox 方向的动量方程，作用在控制体内总流上的外力∑Fx= 0 ，故ρ q2v2 + ( ? ρ q3v3 ) ? ρ q1v1 cos θ = 0q2 ? q3 = q1 cos θ由连续性方程q2 + q3 = q1联立解得q2 = q3 =q1 (1 + cos θ ) 2q1 (1 ? cos θ ) 2（2）求射流对平板的作用力 F23列 oy 方向的动量方程F ′ = 0 ? ( ? ρ q1v1 sinθ ) = ρ q1v1 sinθ射流对平板的作用力 F 与 F ′ 大小相等，方向相反，即指向平板。第八节 动量矩方程用动量方程式（3-45）两端对流场中某点取矩，假定 r 表示该点在坐标系中的矢径，即 动量方程式两端对矢径 r 进行矢性积运算，可得动量矩方程∑ F × r = ?t ∫∫∫ ρ (r× v )dV + ∫∫ ρ (r× v )vd AV A?（3-49）等式左端是控制体上合力对于坐标原点的合力矩，可用 M 表示。等式右端第一项是控制 体内动量矩对时间的变化率，在恒定流动中，这一项等于零。等式右端第二项是通过控制面 流出与流入的流体的动量矩之差。 应用动量矩方程可以推导出叶轮机械的基本方程。图 3-23 所示为离心式泵或风机的叶 轮，流体从叶轮的内圈入口流入，经叶轮流道从外圈出口流出。用 u 表示牵连速度， w 表示 流体在叶轮内的相对速度， v 表示流体的绝对速度。假定叶轮叶片数无穷多，每个叶片的厚 度为无穷薄，则流体在叶片间的相对速度 w 必沿叶片截线的切线方向。因此，将动量矩方程 用于叶轮机械时，需要用绝对速度 v 代替式（3-49）中的质点速度。在定转速的情况下，流 体做恒定流动，有M = ∫∫ ρ (r × v )vd A = ∫∫ ρ (r × v )vd A? ∫∫ ρ (r × v )vd A （3-50）A A2 A1这就是常用于叶轮机械中的恒定流动的动量矩方程。图 3-23由图 3-23 的速度三角形可知r × v = rv cos α因此式（3-50）可以写成M = ρqV (r2 v 2 cos α 2 ? r1v1 cos α 1 )由于叶轮机械的角速度为 ω = 因此，叶轮机械的功率为u u1 u 2 = = r r1 r2P = Mω = ρqV (v 2 u 2 cos α 2 ? v1u1 cos α 1 )单位重量流体所获得的能量为24（3-51）H=P 1 = (v 2 u 2 cos α 2 ? v1u1 cos α 1 ) ρgqV g（3-52）这就是叶轮机械的基本方程式。 由这个方程可以得到流体通过叶轮机械时所获得的能量， 在叶轮机械的性能分析和设计中，所用到的性能曲线中各个特征量之间的关系，都是从这个 基本方程推导而来的。 例 3-6 已知离心式通风机叶轮的转速为 1500 r min ， 内径 d1 = 480mm ， 入口角 β1 = 60 ，o入口宽度 b1 = 105mm ；外径 d 2 = 600mm ，出口角 β 2 = 120 ，出口宽度 b2 = 84mm ；流量oq = 12000 m3 h ，空气密度 ρ = 1.2 kg m3 。试求叶轮入口及出口处的牵连速度、相对速度和绝对速度，并求叶轮所能产生的理论压力（图 3-24） 。图 3-24 风机叶轮进出口速度解： v1e =m s = 37 .7 m s 60 60 q 12000 v1n = = m s = 21m s π d1b1 3600π × 0 .48 × 0 .105π d1n=π × 0 .48 × 1500v1r =v1n 21 = m s = 24.3m s sin β1 0 .866v1τ = v1e ? v1r cos β1 = ( 37 .7 ? 24 .3 × 0 .5 ) m s = 25.5 m sv1 = v12n + v12τ = 212 + 25.52 m s = 33m sm s = 47.1m s 60 q 12000 v2n = = m s = 21m s π d 2b2 3600π × 0 .6 × 0 .084 60 v2r = v2n 21 = m s = 24.3m s sin (180 ? β 2 ) 0 .866 v2e =π d2n=π × 0 .6 × 1500v2τ = v2e + v2r cos 60o = ( 47 .1 + 24 .3 × 0 .5) m s = 59.3m s2 2 v2 = v2n + v2τ = 212 + 59 .32 m s = 63m s单位质量空气由叶轮入口至出口所获得的能量H = ( v2e v2τ ? v1e v1τ ) = ( 47 .1× 59.3 ? 37 .7 × 25.5) J kg = 1831.69J kg (187m空气柱 )25叶轮所能产生的理论压力 p = ρ H = 1831.69 × 1.2Pa = 2198Pa第九节 恒定平面势流简介流场中，若任意流体质点的旋转角速度向量 ω = 0 ，这种流动称为有势流动或无旋流动。 流场中各点的流体速度都平行于某一固定的平面，且位于同一垂直线上的各流体质点的运动 情况完全相同的流动称为平面流动。若流体质点在相互平行的平面内做有势流动，称该流动 为平面有势流动，简称平面势流。 自然界并不存在完全的平面流动。但流体对足够长圆柱体或机翼绕流时，与柱体长度相 垂直的每一个平面内的流动情况都近似相同，可以当作平面流动处理，如图 3-25。本节简要 介绍有关平面势流的一些基本概念。图 3-25一、速度势函数如果流体作无旋流动，即 ω = ω x i + ω y k + ω z k = 0 ，则有?v y ?v x ?v ?v z ?v y ?v z = ， x = ， = ?y ?z ?z ?x ?x ?y（3-53）由数学分析知，式（3-53）是使 v x dx + v y dy + v z dz 成为某函数 ? (x , y , z , t ) 全微分的充分 必要条件，即d? = v x dx + v y dy + v z dz（3-54）当 t 为参变量时，函数 ? (x , y , z , t ) 的全微分为d? =?? ?? ?? dx + dy + dz ?x ?y ?z（3-55）于是，由式（3-54）和（3-55）得到?? ?? ?? = vx ， = vy ， = vz （3-56） ?x ?y ?z 称 ? (x , y , z , t ) 为速度势函数，简称速度势。由于速度势函数与速度 v x 、 v y 、 v z 存在式（3-55）的关系，于是，将求速度场的问题简 化为求函数 ? ，解得 ? 后，速度分布就可得到，反之亦然。 将式（3-55）代入不可压缩流体连续性微分方程式，得26? 2? ? 2? ? 2? + + =0 ?x 2 ?y 2 ?z 2或 ?2（3-57）? =0式（3-56）是拉普拉斯方程，速度势函数 ? 满足拉普拉斯方程，因而是调和函数。 显然，拉普拉斯方程实质上是连续方程的一种特殊形式。这样，求解有势流动的问题， 归结为求解满足一定边界条件的拉普拉斯方程。拉普拉斯方程为二阶线性偏微分方程，已有 多种成熟的求解方法。求解这一方程，比用求解非线性的欧拉运动微分方程及连续性微分方 程来确定 v x 、 v y 、 v z 、 p 要简单得多。 例 3-7 有一速度大小为定值 v ，沿 x 轴方向的均匀流动，求它的速度势函数。 解：首先判断流动是否有势1 ? ?vz ?v y ? ? ?=0 2 ? ?x ?z ? 1 ? ?v ?v ? ωy = ? x ? z ? = 0 2 ? ?z ?x ?ωx = ?ωz = ?1 ? ?v y ?vx ? ? ?=0 2 ? ?x ?y ?流动无旋，故为有势流动。由式（3-56）得?? ?? ?? =v， = 0， =0 ?x ?y ?z从第一式积分可得? = vx+ f ( y,z )f ( y,z ) 为积分函数，由第二、第三式确定 f ( y,z ) = C （常数） ，则? = vx +C因常数 C 对 ? 所代表的流场无影响，故可令 C = 0 ，而取? = vx图 3-26 在 xoy 平面上绘出了此流动的等势线（虚线）及流线（实线） 。图 3-26均匀流动图二、流函数?v y ?v x ?v y ?v + = 0 ，可得 x = ? ，由数学 ?x ?y ?x ?y由不可压缩流体平面流动的连续性微分方程27分 析 可 知 ， 这 是 ? v y dx + v x dy = 0 成 为 某 一 函 数 ψ ( x , y , t ) 全 微 分 的 充 分 必 要 条 件 ， 即dψ = ? v y dx + v x dy = 0（3-58）当 t 为参变量时，函数 ψ (x , y , t ) 的全微分为dψ =?ψ ?ψ dx + dy ?x ?y（3-58）于是，由式（3-58）和（3-59）得到?ψ ?ψ ， vy = ? （3-60） ?y ?x 函数 ψ (x , y , t ) 称为流函数。 不可压缩流体的平面流动， 无论其是无旋流动还是有旋流动， vx =及流体有无粘性，均存在流函数，可见流函数比速度势更具普遍性。 对于平面势流，由于 ω z =1 ? ?v y ?v x ? ? ? = 0 ，将式（3-57）代入，得 ? 2 ? ?x ?y ? ? ?? 2ψ ? 2ψ + =0 ?x 2 ?y 2或 ? 2ψ = 0（3-61）因此，平面势流的流函数 ψ (x , y , t ) 满足拉普拉斯方程，也是调和函数。这样，解平面有 势流动问题也可变为解满足一定起始边界条件的流函数的拉普拉斯方程。 流函数有下列特性： 1．等流函数线是流线 等流函数线上 ψ (x , y ) = 常数，即 dψ = ?v y dx + v x dy = 0 ，由此得dx dy = vx v y上式是平面流动的流线微分方程，所以等流函数线就是流线。 2．两条流线的流函数之差等于通过这两条流线间单位厚度的流体流量 如图 3-27 所示，在流函数值为 ψ A 、ψ B 的两条流线间任作一曲线 AB ， dl 为 AB 线上的 微元线段，则通过 dl 的单位厚度流量为图 3-27dq = v? n dl其中， v 是微元线段 dl 上的流速矢量， v = v x i + v y j ， n 为微元线段 dl 上的法向单位矢28量， n =dy dx i? j ，得 dl dldq = v ? n dl = v x dy ? v y dx = dψ积分上式，得q = ∫ dψ = ψ A ?ψ BAB即平面流动中， 通过任意两条流线间单位厚度得流量， 等于这两条流线的流函数值之差。 3．平面有势流动的等流函数线簇与等势线簇正交 平面势流中，同时存在流函数和速度势，有vx = vy =?? ?ψ = ?x ?y ?? ?ψ =? ?y ?x两式交叉相乘得到?? ?ψ ?? ?ψ + =0 （3-62） ?x ?x ?y ?y 这是等势线簇 ? ( x , y ) = C 和等流函数线簇 （流线簇）ψ (x , y ) = C 相互正交的条件。 因此，在平面有势流场中，流线簇和等势线簇组成正交网格，称为流网。工程实际中，可利用绘制 流网的方法，求解势流流速场。在计算流体力学中，也常利用流网概念构建计算网格。 在 平 面 流 动 中 ， 有 时 用 极 坐 标 (r ,θ ) 比 用 直 角 坐 标 更 为 方 便 。 在 极 坐 标 系 中 ， 速 度 势? (r ,θ ) 、流函数 ψ (r ,θ ) 与流速 v(r ,θ ) 的关系为?? ?ψ ? = = vr ? ? ?r r?θ ? ?? ?ψ =? = vθ ? ? r?θ ?r ?（3-63）显然，流网的正交性与坐标系的选取无关。三、几种简单的平面势流很多复杂的平面势流可以由简单的平面势流叠加组成，由此导出叠加后新的势函数 ? 和 流函数 ψ 的解析式，利用解析法求解，因此必须熟悉几种典型的平面势流。 1．均匀流 流体作等速直线运动，流场中各点的速度大小相等、方向相同的流动称为均匀流。 设均匀流与 x 轴平行，速度为 v∞ ，则 v x = v∞ ， v y = 0 。 由于vx =?? ?ψ = = v∞ ?x ?y29vy =故?? ?ψ =? =0 ?y ?x?? ?? dx + dy = v∞ dx ?x ?y ?ψ ?ψ dx + dy = v∞ dy ?x ?yd? = dψ =积分得速度势? = v ∞ x + C1 ψ = v∞ y + C 2常数 C1 、 C 2 对流动没有影响，可以舍去，所以? = v∞ x （3-64） ψ = v∞ y （3-65） 令 ? = C ， ψ = C ，得到等势线为一簇平行于 y 轴的直线，流线是一簇平行于 x 轴的直 线，如取 ?? = ?ψ ，则其流网为正方形网格（图 3-28） 。图 3-282．点源和点汇 流体从一点径向均匀地呈直线向外流出，这种流动称为点源，这个点称为源点。如果流 体径向直线均匀地流向一点，这种流动称为点汇，这个点称为汇点（图 3-29） 。图 3-29由于流动是径向的，根据流动连续原理，在极坐标中通过任一圆柱面的流量 q （也称为 点源或点汇的强度）都相等，即q = ±2πrv r由此得vr = ±q 2πrvθ = 0式中，点源取正号，点汇取负号。 由于q ?? 1 ?ψ = =± 2πr ?r r ?θ 1 ?? ?ψ vθ = =? =0 r ?θ ?r vr =30且?? ?? q dr + dθ = ± dr 2πr ?r ?θ q ?ψ ?ψ dψ = dr + dθ = ± dθ ?r ?θ 2π d? =积分，并令积分常数为零，得到q lnr 2π q ψ =± θ 2π? =±（3-66） （3-67）这就是点源和点汇的速度势和流函数。 当 r = 常数时，得到等势线为半径不同的同心圆；θ = 常数时，得到流线为通过原点极角 不同的射线，等势线与流线正交。当 r = 0 时， v r = ∞ ，源点或汇点称为流动的奇点。在该 点处的流动没有意义，必须排除在所考虑的流场之外。 3．点涡 流体质点沿着同心圆的轨迹运动，且其速度大小与向径 r 成反比的流动称为点涡，又称 为自由涡，如图 3-30 所示。图 3-30设点涡的强度为 Γ ，则任一半径 r 处流体的速度由斯托克斯定理可求得Γ = 2πrvθ = 常数 Γ vr = 0 2πr 1 ?? ?ψ Γ 由于 vθ = =? = r ?θ ?r 2πr ?? ?ψ vr = = =0 ?r r?θ于是vθ =且?? ?? Γ dr + dθ = dθ 2π ?r ?θ ?ψ ?ψ Γ dψ = dr + dθ = ? dr ?r ?θ 2πr d? =积分，并令积分常数为零，得到Γ θ 2π Γ ψ = ? lnr 2π?=（3-68） （3-69）这就是点源和点汇的速度势和流函数。 当 θ = 常数时，得到点涡的等势线为通过原点不同极角的射线；当 r = 常数时，得到点涡 的流线为以坐标原点为圆心的同心圆。31四、势流叠加原理由于拉普拉斯方程是线性方程，故几个满足该方程的速度势或流函数，线性叠加后得到 得新的速度势和流函数，仍满足拉普拉斯方程。例如，速度势分别为 ?1 和 ? 2 的两个势流， 且有 ? 2? 1 = ? 2? 2 = 0 ，它们线性叠加后的新的速度势为 ? = ?1 + ? 2 ，将其代入拉普拉斯方 程，得? 2? = ? 2 (?1 + ? 2 ) = ? 2?1 + ? 2? 2由此可见，几个势流线性叠加后，其流动仍然是势流。势流的这种性质称为势流叠加原 理，它为用解析法求解某些较复杂的势流问题提供了一个有效的途径。 研究势流叠加原理的意义在于，将复杂的势流分解成一些简单势流，将求得的这些简单 流动的解叠加起来，就得到复杂流动的解。这里举几种势流叠加的例子。 1．点汇和点涡叠加的流动---旋涡流 若点源和点涡同置于坐标原点，叠加后组成一新的流场，其速度势和流函数为1 (qlnr ? Γθ ) 2π 1 ψ = ψ 1 + ψ 2 = ? (qθ + Γlnr ) 2π? = ?1 + ? 2 = ?（3-70） （3-71）令以上的速度势和流函数为常数，得到的等势线和流线分别为r = C1er = C2eΓ θ q（3-72） （3-73）q ? θ Γ式中 C1 和 C 2 为常数， 流线和等势线是相互正交的对数螺旋线簇 （图 3-31） 称为螺旋流。 ，图 3-31旋涡流网离心式水泵和风机蜗壳内的流动就类似于点源和点汇叠加得到的螺旋流。 2．点源和点汇叠加的流动---偶极子流 两个强度 q 相等的位于点 A (? a ,0) 的点源和位于点 B (a ,0) 的点汇叠加， 如图 3-32 所示， 任意一点 P ( x , y ) 距 A 、 B 两点分别为 r1 和 r2 ，与 x 轴的夹角分别为 θ 1 和 θ 2 。图 3-32由于 tan(θ 1 ? θ 1 ) =tanθ 1 ? tanθ 2 y ( x + a ) - y ( x ? a) ? 2ay = = 2 1 + tanθ 1 tanθ 2 1 + [ y ( x + a) y ( x ? a)] x + y 2 ? a 2对 P 点，叠加后流场的速度势和流函数为32? = ?1 + ? 2 =ψ = ψ 1 +ψ 2 =2 2 q (lnr1 ? lnr2 ) = q ln r1 = q ln ( x + a) 2 + y 2 2π 2π r2 4π ( x ? a ) + y（3-74）q (θ 1 ? θ 2 ) = q arctan 2 ? 22ay 2 2π 2π x + y ?a（3-75）如果源和汇无限接近，即 2a → 0 ，若强度不变，则汇将源中流出的流体全部吸掉而不 发生任何流动；若在 2a 逐渐缩小时，强度 q 逐渐增大，当 2a 减小到零时， q 增大到无穷大， 使得 lim 2 aq = M 取有限值，这种极限状态下的流动称为偶积子流， M 为偶极矩，这是一 2a→ 0q→ ∞个向量，方向从点源到点汇。当 ε 为无限小量时，ln(1 + ε ) = ε ? ε 2 2 + ε 3 3 ? L ≈ ε arctanε = ε ? ε 3 3 + ε 5 5 ? L ≈ ε则由式（3-73）和式（3-74） ，可得偶极子流的速度势和流函数分别为? = lim ? 2 a →0? q ? ( x + a) 2 + y 2 ? ? ? q ? ?? 4 xa ln ? lim ? ? = 2 a →0? ln ?1 + ?? 4π ? ( x ? a ) 2 + y 2 ? ? q→∞ ? 4π ? ( x ? a ) 2 + y 2 ? ? q →∞ ?? q ? M 4 xa x M cosθ = lim ? = ?= 2 2 2 a →0 4π ( x ? a ) 2 + y 2 2π r ? 2π x + y q→∞ ?? = lim ? ? ψ = lim ? arctan 2 2 a →0? 2π x + y 2 ? a 2 ? q →∞0? 2π x 2 + y 2 ? a 2 ? ? 2 a→ ? ? q →∞ ? =? M y M sinθ =? 2 2 2π x + y 2π r ? q ? 2ay ? ? q ? 2ay ?（3-76）（3-77）令式（3-76）为常数 C1 ，可得等势线方程为? ? M ? M ? ?x? ? + y2 = ? ? ? 4πC ? ? 4πC1 ? ? ? ? 1 ?表明等势线是半径为 3-33 虚线所示。22（3-78）? ? M M ，圆心在 ? ? 4πC ,0 ? 点，并与 y 轴在原点相切的圆周簇，如图 ? 4πC1 ? 1 ?图 3-33偶极子流令式（3-76）为常数 C 2 ，可得流线方程方程为33? ? M ? M ? ? +=? x +?y+ ? ? ? 4πC ? ? 4πC 2 ? ? ? 2 ?222（3-79）表明流线是半径为 3-33 实线所示。? M ? M ，圆心在 ? 0 , ? 4πC ? 点，并与 x 轴在原点相切的圆周簇，如图 ? 4πC 2 2 ? ?第十节 圆柱体绕流理想不可压缩流体的平面势流问题中主要是绕流问题，其中均匀流绕圆柱流动是最基本 的问题之一。设有一速度为 v∞ 的均匀流，从与圆柱体轴垂直的方向绕过一半径为 r0 的无限长 圆柱体，这一流动可看作平面流动（图 3-34） 。图 3-34绕无穷长圆柱的流动下面将圆柱体绕流分两种情况进行讨论。一、流体对圆柱体的无环量绕流1．速度势和流函数 圆柱体无环量绕流是由均匀流和偶极子流叠加而成的平面流动，如图 3-26 所示。图 3-26若均匀流的速度为 v∞ ，沿 x 轴正向流动，偶极子流的偶极矩为 M ，二者叠加后的速度 势和流函数为M ? ? （3-80） ?rcosθ 2πr 2 ? ? M ? ? （3-81） ψ = ? v∞ ? ?rsinθ 2πr 2 ? ? 将流函数 ψ = 0 的流线称为零流线，由上式得? = ? v∞ +M ? ? ? v∞ ? ?rsinθ = 0 2πr 2 ? ?即零流线方程为θ = 0 ,πr = r0 =? ? M ? （3-82） 2πv∞ ? ?34可见，零流线是一个以坐标原点为圆心，半径为 r0 =2M (2πv∞ ) 的圆周和 x 轴。由于流体不能穿过流线，零流线的圆可以代之以圆柱面。以 2πr0 v ∞ 代替式（3-80）和式（3-81）中 的 M ，可将均匀流绕过圆柱体无环量的平面流动的速度势和流函数表示为? r02 ? ?rcosθ ? 2 ? ? r ? ? ? 2 ? r0 ? ψ = v∞ ?1 ? 2 ?rsinθ ? ? r ? ? ? ? ?? = v ∞ ?1 + ??（3-83）上面表达式中 r ≥ r0 ，因为 r & 0 在圆柱体内，没有实际意义。 2．速度分布 将速度势对半径和极角求偏导数，求得流场速度为? ? ? ? 2 ? r0 ? ?? ? vθ = = ?v∞ ?1 + 2 ?sinθ ? ? r ? r?θ ? ? ? vr = ? r2 ? ?? = v∞ ?1 ? 02 ?cosθ ? r ? ?r ? ?当 r = r0 时，即在圆柱面上，（3-84）vr = 0? ? vθ = ?2v∞ sinθ ?（3-85）这说明，沿圆柱体表面流体只有切线方向的速度，没有径向速度，即组合流动紧贴圆柱 表面， 既没有流体穿入， 也没有脱离圆柱面。 在圆柱面上速度是按照正弦规律分布的， θ = 0 在 （ B 点）和 θ = 180 （ A 点）处， vθ = 0 ， A 、 B 二点是分流点，称它们为前驻点和后驻点。o在 θ = ±90 圆柱面的上下顶点， vθ = 2v∞ ，达到圆柱面速度的最大值，如图 3-35 所示。o图 3-35柱面上的速度分布沿包围圆柱体的任意周线的速度环量为? r02 ? 2π Γ = ∫ vθ dl = ?vθ r ?1 + 2 ? ∫ sinθ dθ = 0 ? r ?0 ? ?所以均匀流与偶极子流叠加得到的流动为无环量绕流圆柱流动。353．压强分布 列无穷远处和圆柱面上某点的伯努利方程，可得p = p∞ +1 2 ρ v∞ ? v 2 2() )（3-86）将圆柱面上的速度带入上式，可得圆柱面上的压强分布p = p∞ +1 2 ρv∞ 1 ? 4sin 2θ 2(工程上常采用压强系数来表示圆柱体上任一点处的压强，其定义为Cp =p ? p∞ = 1 ? 4sin 2θ 1 2 ρv ∞ 2（3-87）由上式知， 无量纲压强系数与圆柱体的半径和无穷远处的速度、 压强无关， 仅是坐标 θ 的 函数。在圆柱面的前驻点 θ = 180 和后驻点 θ = 0 处， C p = 1 ，这时压强具有最大值。在圆o柱面的上下顶点处， θ = ±90 ， C p = ?3 ，此时压强具有最小值。沿圆柱表面压强系数的分o布如图 3-36 所示。具有这样特性的压强系数，也可以推广到其他形状的物体（例如叶片的叶 型等） 。图 3-36压强系数沿圆柱面的分布4．圆柱面上的合力 从上面分析可知，压强沿圆柱体对称分布，流体在圆柱面上压强合力等于零。将圆柱面 上的压强在圆柱面上积分，也可得到流体作用在圆柱体上的合力为零1 2 ? ? （3-88） F = ∫ pdA = ∫ ? p ∞ + ρv∞ 1 ? 4sin 2θ ? dA = 0 2 ? ? 流体作用在圆柱体上总压力沿 x 轴和 y 轴的分量，即圆柱体受到的与来流方向平行和垂直的作用力，分别称为阻力 FD 和升力 FL 。 式（3-88）表明，理想流体的均匀流绕过圆柱体的无环量的流动中，圆柱体既不受阻力 ，也不产生升力（ FL = 0 ） 。 作用（ FD = 0 ） 在实际流体中，由于粘性的作用，流体绕过圆柱时必然产生摩擦，且流动要发生分离， 流动图形与理想流体绕流截然不同，实验测量出的与理论计算出的压强分布曲线有很大的差 别，如图 3-36 中虚线所示。因此，圆柱体在实际流动中的绕流将产生阻力。 例 3-8 一半径 r0 = 1m 的圆柱置于水中，中心位于原点（0,0） ，在无穷远处有一平行于 x 轴的均匀流，方向沿 x 轴正方向， v∞ = 3m s 。如图 3-37 所示，试求 x = ?2m ， y = 1.5m 点 处的速度分量。()36图 3-37某一圆柱绕流解：此问题属于圆柱绕流问题，按照速度分布公式，有? r2 ? vr = v∞ ?1 ? 02 ? cosθ ? r ? ? r2 ? vθ = ?v∞ ?1 + 02 ? sinθ ? r ?r = x2 + y 2 =? y? ? ?( ?2 ) + (1.5)22m = 2 .5mθ = arctan ? ? = arctan ? ? = 143.13o x ?2? 12 ? vr = 3 ?1 ? 0 2 ? cos143.13o = ?2 .02 m s ? 2 .5 ? ? 12 ? vθ = ?v∞ ?1 + sin143.13 = ?2 .09 m s 2 ? ? 2 .5 ?将坐标进行变换，可求出? 1.5 ? ? ??vx = 2 .87 m s ? ? ?v y = 0 .46 m s ?二、流体对圆柱体的有环量绕流假设让前面讨论的圆柱体以等角速度 ω 轴绕其轴心顺时针旋转，则这种流动就成为均匀 流绕过圆柱体的有环量绕流，如图 3-38 所示。图 3-38均匀流绕过圆柱体无环量的流动和点涡流动1．速度势和流函数 圆柱体有环量绕流的平面流动是由均匀流绕过圆柱体的无环量绕流和点涡流动（环流） 叠加而成的，叠加后的速度势和流函数为? ? r02 ? Γ ? = v∞ ?1 + 2 ?rcosθ + θ ? ? r ? 2π ? ? ? ? 2 ? r0 ? Γ ? lnr ? ψ = v∞ ?1 ? 2 ?rsinθ ? ? r ? 2π ? ? ?（3-89）372．速度分布 由速度势对半径和极角求偏导数，得到流场中任一点 (r ,θ ) 处的速度为? r02 ? ?? vr = = v∞ ?1 ? 2 ?cosθ ? r ? ?r ? ?? ? ? ? 2 ? r0 ? ?? Γ ? vθ = = ?v∞ ?1 + 2 ?sinθ + ? r ? r?θ 2πr ? ? ? ?（3-90）当 r = r0 时，ψ = ? 为Γ lnr0 = 常数，即 r = r0 的圆周是一条流线，在圆柱面上的速度分布 2πvr = 0? ? Γ ? vθ = ?2v∞ sinθ + 2πr0 ? ?（3-91）这说明，流体只有沿着圆周切线方向的速度，流体与圆柱体没有分离现象，满足流体不 能穿入和不能穿出的条件， 即圆柱面的绕流条件。 r → ∞ 时，v r = v∞ cosθ ，vθ = ?v ∞ sinθ ， 当 满足无穷远处为均匀流的条件。 当叠加的点涡强度 Γ & 0 ，即环流顺时针旋转时，圆柱体上部速度和环流方向相同，速 度增大。圆柱体下部前方来流的速度和环流方向相反，速度减小。这样，就破坏了上下流线 的关于 x 轴对称性，驻点 A 、 B 离开了 x 轴，向下偏移。 令 vθ = 0 ，得驻点的位置角为sinθ = ?Γ 4πr0 v∞（3-92）可见，当 Γ = 0 时， θ = 0 和 π ，即驻点为 x 轴与圆柱面的两个交点，这是均匀流对圆柱 体的无环量绕流； 当 Γ & 4πr0 v∞ 时， sinθ & 1 ，又 sin (? θ ) = sin[- (π ? θ )] ，所以圆柱面上两个驻点左右对 称，并落在第三和第四象限内，如图 3-39（a）所示。在 v∞ 保持不变的情况下，随环量的增 加， A 、 B 驻点向下偏移并逐渐靠近。 当 Γ = 4πr0 v∞ 时， sinθ = 1 ，两个驻点合为一点，位于圆柱面的最下端，如图 3-39（b） 所示。 当 Γ & 4πr0 v∞ 时， sinθ & 1 ， θ 没有解，即圆柱面上已不存在驻点。这表明驻点已脱离 了圆柱面，位于圆柱面外 y 轴上的某一点，如图 3-39（c）所示。若令式（3-90）中的 v r = 0 和 vθ = 0 ，可以得到位于 y 轴上的两个驻点，一个在圆柱体内为无效解，另一个在圆柱体外。 整个流场由经过圆柱体外驻点 A 的闭合流线划分为内、外两个区域，外部区域为均匀流绕圆38柱的有环量的流动，而在闭合流线和圆柱面之间的绕流，则是自成闭合环流。图 3-39均匀流绕过圆柱体有环量的流动3．压强分布 列无穷远处和圆柱面上某点的伯努利方程，得圆柱体上的压强分布2 1 2 1 1 ? 2 ? Γ ? ? 2 2 ? ? p = p ∞ + ρv∞ ? ρ v r + vθ = p ∞ + ρ ?v∞ ? ? ? 2v∞ sinθ + ? 2 2 2 ? 2πr0 ? ? ? ? ? ?()（3-93）显然，圆柱体上的压强分布不仅取决于无穷远来流速度 v∞ 和 θ 角，而且与环量 Γ 的大小 和方向有关，对顺时针方向的环量，圆柱体上半部各点的压强小于下半部各点的压强。 4．作用在圆柱体上的合力 作用于单位长度圆柱体微元面积 dA 上的压力在 x 方向的投影为 pr0 dθcosθ ， 所以沿整个 圆柱体表面上的阻力为2 ? 1 ? 2 ? Γ ? ?? ? ? ? ? ?r0 cosθdθ FD = Fx = ? ∫ pr0 cosθdθ = ? ∫ ? p ∞ + ρ ?v ∞ ? ? ? 2v∞ sinθ + ? ? 0 0 2 ? 2πr0 ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ρv Γ 2π ρΓ 2 ? 2π 1 2 = ?r0 ? p ∞ + ρv∞ ? 2 2 ? ∫ cosθdθ ? ∞ ∫ sinθcosθdθ ? ?0 π 0 2 8π r0 ? ? 2π 2π 2 + 2r0 ρv∞ ∫ sin 2θcosθdθ = 0 0 2π（3-94） 作用于单位长度圆柱体微元面积 dA 上的压力在 y 方向的投影为 pr0 dθsinθ ， 所以沿整个 圆柱体表面上的升力为FL = Fy = ? ∫2π0pr0 sinθdθ = ? ∫2π02 ? 1 ? 2 ? Γ ? ?? ? ? ? ? ?r0 sinθdθ ? p ∞ + ρ ?v∞ ? ? ? 2v∞ sinθ + ? ? 2 ? 2πr0 ? ? ? ? ? ? ?? ?? ρv Γ 2π ρΓ 2 ? 2π 1 2 = ?r0 ? p ∞ + ρv ∞ ? 2 2 ? ∫ sinθdθ ? ∞ ∫ sin 2θdθ ? ?0 π 0 2 8π r0 ? ? 2π ρv Γ ? 1 1 ? 2 + 2r0 ρv∞ ∫ sin 3θdθ = ? ∞ ?? cosθsinθ + θ ? = ? ρv∞ Γ 0 2 ? π ? 2（3-95） 式（3-95）就是著名的库塔-儒可夫斯基（Kutta-Zhoukowski）升力公式。上面的计算结 果表明，理想流体对圆柱体作有环量绕流时，流体作用在圆柱体上的阻力等于零，而作用在 单位长度圆柱体上的升力等于流体密度、来流速度和速度环量三者的乘积。升力的方向由前 方来流速度矢量 v ∞ 沿反环流 Γ 的方向旋转 90 来确定，如图 3-40 所示。o39图 3-40 升力的方向飞机能够在空中飞行，是由于机翼上所产生的升力作用。前面的论述表明，无论圆柱体 或机翼，产生升力的根本原因都在于绕流流动的不对称性。 当在流体中运动的圆柱体旋转时，则产生绕圆柱体的环流，使得圆柱体上下流场不对称， 从而产生作用于圆柱体上的侧向力。1852 年马格努斯（Magnus. G）在实验中发现了这一现 象，故这一现象称为马格努斯效应。在日常生活和体育运动中常有这种现象，如乒乓球运动 员打出的具有强烈旋转的“弧圈球”和“侧旋球” 、排球运动员打出的“上手飘球”和足球运 动员踢出的“香蕉球”等，就是利用了这一原理。第十一节 理想流体的旋涡运动及卡门涡街如果流体微团的角速度 ω ≠ 0 ，就为有旋运动或旋涡运动。自然界中流体的运动大多数 是有旋的。如大气中的龙卷风、旋风、水流过桥墩时的旋涡等，都是旋涡运动。 本节主要讲述理想流体旋涡运动的理论基础，重点是速度环量，及表征环量和旋涡强度 间关系的斯托克斯定理。一、涡线、涡管、涡束和旋涡强度在流体力学中，常用涡量来描述流体微团的旋转运动。涡量的定义为= 2 ω = ? × v （3-95）涡量是点的坐标和时间的函数。在流场中存在角速度 ω 的场称为涡量场。 1．涡线 涡线是在某瞬时涡量场中的一条空间曲线，曲线上任意一点的切线方向与该点流体微团 的旋转角速度方向一致。因此，涡线是给定瞬时曲线上所有流体质点的转动轴线（图 3-41） 。图 3-41 涡线一般情况下，涡线与流线不重合，而与流线相交。与流线方程类似，可以得到涡线的微 分方程为dx dy dz = = ω x (x , y , z , t ) ω y (x , y , z , t ) ω z (x , y , z , t )式中， t 为参变量。（3-96）涡线具有瞬时的特性，不同瞬时，它有不同的形状，在定常流动中，它的形状保持不变。 2．涡管、涡束 给定瞬时，在涡量场中任取一封闭曲线（不是涡线） ，通过曲线上每一点作涡线，这些涡 线形成一封闭的管形曲面，称为涡管，如图 3-42 所示。截面无限小的涡管称为微元涡管。若 涡管中充满着旋转运动的流体质点，就称为涡束。40图 3-42 涡管旋转角速度 ω 沿涡束长度改变，但在微小涡束的每一个截面上，各点的旋转角速度 ω 可 以认为相同。 3．旋涡强度（涡通量） 在涡量场中取一微元面积 dA ，见图 3-43，其上流体微团的涡量为 外法线方向，定义= 2 ω ， n 为 dA 的dJ =? d A = 2ωcos(ω? n )dA = 2ω n dA（3-97）称为任意微元面积 dA 上的旋涡强度，也称为涡通量。图 3-43旋涡强度任意面积 A 上的旋涡强度为J = 2∫∫ ω n dAA（3-98）二、速度环量、斯托克斯定理流体质点的旋转角速度矢量无法直接测量，所以旋涡强度不能直接计算。但是，旋涡强 度与它周围的速度密切相关，旋涡强度愈大，对周围流体速度的影响也就愈大。因此，这里 引入与旋涡周围速度场有关的速度环量的概念，建立速度环量与旋涡强度之间的计算关系。 从而通过计算涡束周围的速度场，就可以得到旋涡强度。 1．速度环量 给定瞬时，在流场的任意封闭曲线上，流体速度矢量沿封闭曲线的线积分，定义为速度 环量，用符号 Γ 表示，即Γ = ∫ v? d l = ∫ (v x dx + v y dy + v z dz )L L（3-99）速度环量是标量，它的正负号不仅与速度的方向有关，而且与线积分的绕行方向有关。 通常规定沿曲线绕行的正方向为逆时针方向。 对非恒定流动，速度环量是一个瞬时的概念，应根据同一瞬时曲线上各点的速度计算， 积分时 t 为参变量。 2．斯托克斯定理 对于有旋运动，其流动空间既是速度场，又是旋涡场，二者之间的关系，正是斯托克斯 定理的内容：在涡量场中，沿任意封闭周线的速度环量，等于通过该周线所包围曲面面积的 旋涡强度，即Γ = ∫ v? d l = ∫∫ ? d A = 2∫∫ ω n dA = JL A A（3-100）41这一定理将旋涡强度与速度环量联系起来，给出了通过速度环量计算旋涡强度的方法， 定理的证明从略。 例 3-9 试证明均匀流的速度环量等于零。 解：流体以等速度 v0 水平方向流动，先求沿封闭矩形周线的速度环量（图 3-44a）Γ1234 = Γ12 + Γ 23 + Γ34 + Γ 41 = bv0 + 0 ? bv0 + 0 = 0再求沿封闭圆周线的速度环量（图 3-44b）ΓK =∫Kv0 cos α ds = ∫ v0 cos α rdθ = v0 r ∫ cos α dθ0 0 2π 02π2π= v0 r ∫ cos 90o + θ dθ = 0式中 θ --圆的半径 r 与水平方向的夹角。 同样可以证明，均匀流中沿任何其他封闭曲线的速度环量也等于零。()三、汤姆逊定理、亥姆霍兹旋涡定理1．汤姆逊（Thomson）定理 正压性的理想流体在有势的质量力作用下，沿任何封闭流体围线的速度环量不随时间而 变化，即dΓ =0 dt证明如下：（3-101）进行积分的封闭围线始终由相同的流体质点组成。在给定瞬时，由流体质点组成封闭围 线 L ，这一围线随流体一起运动而移动变形，但组成该线的流体质点不变。沿封闭围线的速 度环量可表示为式（3-99） ，它随时间的变化率为dΓ d (v x dx + v y dy + v z dz ) = dt dt ∫L dv y ? dv ? dv d d ? d ? = ∫ ?v x (dx ) + v y (dy ) + v z (dz )? + ∫ ? x dx + dy + z dz ? ? dt ? L dt dt dt dt ? dt ? L? ?由于封闭围线 L 始终由同样的流体质点组成，所以有（3-102）d (dx ) = dv x dtd (dy ) = dv y dtd (dz ) = dv z dt则式（3-102）等号右边第一项积分式为∫ ?v ?L?xd (dx ) + v y d (dy ) + v z d (dz )? = ∫L v x dv x + v y dv y + v z dv z ? dt dt dt ?[]2 2 2 ? v x + v y + v z2 ? ? ? = d? v ? ? ? =∫ d L ? ? ∫L ? 2 ? 2 ? ? ? ?42由理想流体的欧拉运动微分方程，式（3-102）等号右边第二项积分式为∫? ? ?dv y ? dv x ? dv dx + dy + z dz ? ? L dt dt dt ??? ? ? 1 ?p ? 1 ?p ? 1 ?p ? ? ? dx + ? f y ? ? dy + ? f z ? ? dz ? = ∫ ?? f x ? ? ? ? ? ? L ρ ?x ? ρ ?y ? ρ ?z ? ? ? ? ? ?? ? 1 ? ?p ?p ?p ?? = ∫ ? ( f x dx + f y dy + f z dz ) ? ? dx + dy + dz ? ? ? ?x L ρ? ?y ?z ?? ? ? = ∫ (? dU ? dp )L于是，式（3-102）可写成? ? v2 ? ? ? v2 dΓ ? ? ? dU - dp ? = ∫ ? ? U = ?d L? 2 dt ∫L ? ? 2 ? ? ? ? ?? p? = 0 ? ?这是因为这里的 v 、U 、 p 都是空间点的单值连续函数，所以沿封闭围线的积分等于零， 即速度环量是常数。这样，就证明了汤姆逊定理。 根据斯托克斯定理和汤姆逊定理，理想正压流体在有势的质量力作用下，旋涡不会自行 产生，也不会自行消失。这是因为由于理想流体没有粘性，不存在切应力，不能传递旋转运 动，即不能使不旋转的流体微团产生旋转，也不能使已旋转的流体微团停止旋转。这样，流 场中原来有涡旋和速度环量的，将永远保持原有涡旋和速度环量；原来没有涡旋和速度环量 的，就永远不会产生涡旋和速度环量。流场也会出现没有速度环量但有涡旋的情况，这时， 流场中必然会产生成对出现且旋向相反的旋涡，以保持流场的总环量等于零。 2．亥姆霍兹（Helmholtz）旋涡定理 亥姆霍兹旋涡定理包括研究理想流体有旋流动的三个基本定理，这些定理说明了旋涡的 基本性质。 （1）亥姆霍兹第一定理：在同一瞬时沿涡管长度，旋涡强度保持不变。 如图 3-45 所示，在涡管上任取两个截面 A 和 B ，在涡管表面上，任取两条无限邻近的线AB 和 A′B ′ 。由于封闭周线 ABB ′A′A 所围成的涡管表面无涡线通过，旋涡强度为零。根据斯托克斯定理，沿着条封闭围线的速度环量等于零，即ΓABB′A′A = ΓAB + ΓBB′ + ΓB′A′ + ΓA′A = 0图 3-45另 外 ， 沿 AB 和 B ′A′ 两 条 线 得 切 向 速 度 线 积 分 大 小 相 等 ， 方 向 相 反 ， 互 相 抵 消 ， 既ΓAB + ΓB′A′ = 0 ，于是 ΓBB′ + ΓA′A = 0 ，故得 ΓBB′ = ?ΓA′A = ΓAA′ 。这一定理说明，涡管既不能突然中断，也不能突然产生。它决定了流体运动过程中涡管 存在的形式，它只能自成封闭管圈，或者涡管的两端附在边界上，如图 3-46 所示。43图 3-46（2）亥姆霍兹第二定理：正压性的理想流体在有势的质量力作用下，涡管永远保持为 由相同的流体质点组成。 如图 3-47 所示，在涡管的侧表面上，任取一个由流体质点组成的流动封闭围线 L ，因为 涡管表面上不可能有涡线通过，根据斯托克斯定理，沿封闭围线 L 的环量等于零。又由汤姆 逊定理，环量不随时间而变化，所以沿封闭围线 L 上环量保持为零。这说明在任何时候，都 不可能有涡线穿过任何围线所包围的面积。因此，随时间变化，虽然涡管的形状会不断变化， 但组成涡管的流体质点永远在涡管上，即涡管是由相同的流体质点组成的。图 3-47（3）亥姆霍兹第三定理：有势质量力作用下的正压性的理想流体中，涡管的旋涡强度 不随时间变化。 如图 3-48 所示，作任意封闭围线 L 包围涡管。根据斯托克斯定理，沿封闭围线 L 的速度 环量等于通过该围线所围面积上的旋涡强度。又根据汤姆逊定理，环量 ΓL 不随时间而变化， 因此涡管的旋涡强度不随时间变化。图 3-48亥姆霍兹第一定理是斯托克斯定理的推论，说明同一瞬时空间上旋涡得变化情况，这是 一个运动学的问题，对理想和粘性流体都适用。第二、第三定理说明涡管的强度不随时间改 变，由斯托克斯定理和汤姆逊定理加以证明。对于粘性流体，粘性摩擦消耗能量会使旋涡强 度逐渐减弱，因此，第二、第三定理只适用于理想的正压流体。四、二元旋涡的速度和压强分布假设在理想不可压缩的重力流体中，有一可看作如刚体一样以角速度 ω 绕自身轴旋转的 无限长直线涡束，其涡通量为 J 。涡束周围的流体在涡束的诱导下绕涡束轴作圆周运动。由 于直线涡束无限长，该问题可作为一个平面问题研究。由斯托克斯定理， Γ = J 。可以证明， 涡束内的流体作有旋运动，称为涡核区，其半径为 rb ；涡束外的流体作无旋运动，称为环流 区。 环流区的速度分布为v r = 0,vθ =Γ 2πr(r & rb )（3-103）环流区的压强分布由伯努利方程确定，有p+ρv 22= p∞式中 v 即 v∞ ， p ∞ 为无穷远处的压强。代入 vθ 后，得44p = p∞ ?ρv 22= p∞ ?ρΓ 2 8π 2 r 2（3-104）由式（3-104）可见，在环流区，随着半径的减小，流速增大而压强降低；在涡束边界上， 流速达到该区的最大值，压强达到该区的最小值。 涡核区内的速度分布为vr = 0 ,vθ = ωr(r ≤ rb )（3-105）由于涡核区内流体作有旋运动，流线是以原点为圆心的同心圆簇，可以沿流线应用伯努 利方程，但这一方程不能解出不同流线间的压强分布，故直接采用欧拉运动微分方程积分求 解。对于平面恒定流动，欧拉运动微分方程为?v x + vy ?x ?v y vx + vy ?x vx?v x 1 =? ρ ?y ?v y 1 =? ρ ?y?p ? ?x ? ? ? ?p ? ?y ? ?涡核区内旋转角速度 ω = 常数，对任意点有 v x = ?ωy ， v y = ?ωx ，代入上式，得ω2x =1 ?p ? ρ ?x ? ? ? 1 ?p ? ω2y = ρ ?y ? ?上两式分别乘以 dx 和 dy ，相加后积分得到p=ρω 22(x2+ y2 + c =)ρω 2 r 22+c =ρv 22+c（3-106）在涡核边界上， p = pb ， v = ω rb ，代入上式，得积分常数c = pb ?ρvb222 = p ∞ ? ρv b得涡核区的压强分布为p = pb +ρv 22?ρvb22= p∞ +ρv 222 ? ρv b设在涡核中心处的速度为零，则其压强最低，为 p c = p ∞ ? ρvb 。这样就有2p∞ ? pb = pb ? pc =1 2 ρvb 2（3-107）上面得到的结果说明，涡核区和环流区的压强差相等，且涡核区的压强比环流区的低。 在涡束内部，半径愈小，压强愈低，沿径向存在较大的压强梯度，因此在旋涡中心处产生一 个很大的吸力，对旋涡区外的流体具有抽吸作用。自然界中的龙卷风核深水旋涡就具有这种 流动特征，会产生很大的破坏力。工程实际中，有许多用旋转气流这种特性的装置，如旋风45燃烧室、离心式除尘器、离心式泵和风机、离心式分离器、离心式雾化器等。五、卡门涡街在一定条件下的恒定来流绕过某些物体时，物体两侧会周期性地脱落出旋转方向相反， 并排列成有规则的双列旋涡。力学家冯?卡门（Karman）最先对出现在圆柱体绕流尾流区的这 种旋涡作了深入分析，故把它们称为卡门涡街。 当流体以很小的雷诺数绕圆柱体流动时，与理想流体绕流圆柱体几乎相同，流体在前驻 点处速度为零，然后沿圆柱体对称向两侧绕流，在圆柱体前半部分是增速减压流动，在后半 部分是减速增压流动，到后驻点汇合，速度重新等于零（图 3-49a） 。随着雷诺数增加，圆柱 体后半部分的压强梯度增加，开始产生分离现象（图 3-49b） 。当 Re & 40 时，圆柱体后部产 生一对旋转方向相反的对涡（图 3-49c） 。继续增大雷诺数，分离点随之逐渐前移，分离区域 逐渐增大，对涡不断的增大并变得不稳定，当 Re ≈ 60 时，从圆柱体后部交替释放出旋涡， 形成两列几乎稳定的、非对称性的、交替脱落的、旋转方向相反的旋涡，称为卡门涡街（图 3-49d） ，它以比来流速度 v 小得多的速度 v x 运动。图 3-49有规则的卡门涡街只能在 Re = 60 ~ 5000 得范围内形成，而且多数情况下涡街是不稳定 的。卡门证明，卡门涡街的稳定性条件是 h l = 0.2806 （ h 为两列旋涡的间距， l 为同列两旋 涡间的距离） 。涡街对单位长度圆柱体上引起的阻力为2 ? vx ? vx ? ? FD = ρv h ?2.83 ? 1.12? ? ? v ? v ? ? ? ? ? 2（3-108）式中的速度比 v x v 可通过实验侧得。 在自然界中经常可以看到卡门涡街现象，例如水流过桥墩，恒定风吹过烟囱、电线等都 会形成卡门涡街。研究发现，旋涡自圆柱体后部周期性地交替脱落过程中，流体施加给圆柱 体一个垂直于主流的周期性交变作用力，交变的频率与旋涡脱落的频率相同。当旋涡脱落频 率接近于物体固有频率时，共振响应可能会引起结构物的破坏。例如当刮风时，电线发出的 风鸣声就是由于电线受涡街作用而产生的受迫振动引起的。第十二节 流速和流量的测量及显示技术一、流速的测量流速是描述流动的基本参数之一，流速测量的方法很多， 这里介绍常用的几种测量方法。461．总压管 如图 3-50 所示是一种用于测速的总压管，它是一种两端开孔的 L 型管子。为测 A 点的 流速，将总压管置于 A 点对准来流方向，则在 A 点处形成流速为零的滞止点，总压管中液体 上升 h + ?h 的高度，在 A 点处有p0 p v2 = A + A = h + ?h ρg ρg 2 g式中 p 0 为 A 点处的总压强，且在 A 点处的静压强 p A = ρgh ，得到v A = 2 g?h（3-109）由此可见，利用总压管测出被测点处的液柱高，就可以得到该点的流速。图 3-502．皮托管 工程实际中，只用总压管常常无法测得流体的流速，例如管道中的流动，这时常用总压 管与静压管组合在一起，同时测出某点的总压 p 0 和静压 p ，设该点的流速为 v ，则有p0 = p +1 2 ρv 2v=2( p 0 ? p )ρ=ρ1 2 g?h ρ（3-110）式中 ρ 为被测流速流体的密度， ρ1 为 U 型管中工作介质的密度。这样就可以得到该点的 流速，这种组合探针称为皮托管。 图 3-51 为具有 半球 形 头部的 结构 示意 图。 前 端是皮 托管 的迎 流总 压 孔，孔 径通 常为(0.1 ~ 0.3)d 。 侧面均布的静压孔一般采用沿圆周均匀开设的 2~7 个测压小孔， 小孔垂直轴线。探针插入流动中测量时，对流动有干扰。探针头部的半球形会使流经该处的流速加大，静压 减小；而皮托管的尾部垂直支管会阻碍它前面的流动，使之流速减小压强增高，即探针的前 端和后部对测点压力的影响正好相反。因而，为减少流场干扰所引起的静压测量误差，测压 径约为 (1 10 ~ 3 10 )d ，允许的探针方向偏斜角 α = ±6 。o孔有一最佳位置。一般，侧压孔距前端应大于 (3 ~ 4 )d ，距支管应大于 (8 ~ 10 )d ，测压孔孔图 3-51 皮托管皮托管结构简单，使用方便，价格低廉，被广泛应用。皮托管的基本公式是假设流体不 可压缩下得到的，ISO 标准规定必须在 Re & 200 的条件下使用。如果使用条件不同，必须进 行修正。473．热线（膜）风速仪 利用探针测量流速，是基于测量压强来间接测定的，当流动的速度和方向脉动时，由于 响应速度较慢，难以得到满意的结果。 热线（膜）风速仪是为测量流体脉动速度而发展起来的量测仪器，利用了高温物体在流 体中散热速度与流体的流速有关这一物理现象。流速越快，高温物体散热越快，反之则越慢。 把装有金属丝的金属热敏探头置于被测流速的流场中，将金属丝通电加热，流体与金属丝发 生热交换带走部分热量，流动速度的变化将改变金属丝冷却的速率，利用在不同流速下散热 率不同的原理，通过测量热敏探头的散热率来确定流场的流速。 如果要保持金属丝的温度恒定，则必须增加供电的电流。通过保持电流恒定，测量金属 丝温度的变化，或者保持金属丝温度恒定测量电流的变化，即可间接测定流体的流速。利用 前者制成的热线（膜）风速}