高中数学章节 为什么这里不考虑a等于x的情况？
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时间：2017-10-24 11:03
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高中数学 全部教案 新人教A版必修1
第一章§1．1 集合 1.1.1 集合的含义与表示（第一课时） 教学目标：1.理解集合的含义。集合与函数概念2.了解元素与集合的表示方法及相互关系。 3.熟记有关数集的专用符号。 4.培养学生认识事物的能力。 教学重点：集合含义 教学难点：集合含义的理解 教学方法：尝试指导法 教学过程： 引入问题 （I）提出问题 问题 1：班级有 20 名男生，16 名女生，问班级一共多少人？ 问题 2：某次运动会上，班级有 20 人参加田赛，16 人参加径赛，问一共多少人参加比赛？ 讨论问题：按小组讨论。 归纳总结：问题 2 已无法用学过的知识加以解释，这是与集合有关的问题，因此需用集合的语言加以描述 （板书标题） 。 复习问题 问题 3： 在小学和初中我们学过哪些集合？ （数集， 点集） 如自然数的集合， （ 有理数的集合， 不等式 x ? 7 ? 3 的解的集合，到一个定点的距离等于定长的点的集合，到一条线段的两个端点距离相等的点的集合等等） 。 （II）讲授新课 1．集合含义 观察下列实例 （1）1~20 以内的所有质数； （2）我国从
年的 13 年内所发射的所有人造卫星； （3）金星汽车厂 2003 年生产的所有汽车； （4）2004 年 1 月 1 日之前与我国建立外交关系的所有国家； （5）所有的正方形； （6）到直线 l 的距离等于定长 d 的所有的点； （7）方程 x ? 3x ? 2 ? 0 的所有实数根； （8）银川九中 2004 年 8 月入学的高一学生全体。2通过以上实例，指出： （1）含义：一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集） 。 说明：在初中几何中，点，线，面都是原始的，不定义的概念，同样集合也是原始的，不定义的概念， 只可描述，不可定义。 （2）表示方法：集合通常用大括号{ a,b,c?表示。 问题 4：由此上述例中集合的元素分别是什么？ 2. 集合元素的三个特征 问题：专心 爱心 用心 1}或大写的拉丁字母 A,B,C?表示，而元素用小写的拉丁字母 （1）A={1，3}，问 3、5 哪个是 A 的元素？ （2）A={所有素质好的人}，能否表示为集合？B={身材较高的人}呢？ （3）A={2，2，4}，表示是否准确？ （4）A={太平洋，大西洋}，B={大西洋，太平洋}，是否表示为同一集合？ 由以上四个问题可知，集合元素具有三个特征： （1） 确定性： 设 A 是一个给定的集合，a 是某一具体的对象，则 a 或者是 A 的元素，或者不是 A 的元素，两种情况 必有一种而且只有一种成立。 如： “地球上的四大洋” （太平洋,大西洋，印度洋，北冰洋） “中国古代四大发明” （造纸，印刷，火药，指南针）可以构成集合，其元素具有确定性；而“比较大 的数”“平面点 P 周围的点”一般不构成集合 ， 元素与集合的关系：(元素与集合的关系有“属于 ? ”及“不属于 ? 两种) 若 a 是集合 A 中的元素，则称 a 属于集合 A，记作 a ? A； 若 a 不是集合 A 的元素，则称 a 不属于集合 A，记作 a ? A。 如 A={2，4，8，16}，则 4 ? A，8 ? A，32 ? A.(请学生填充)。 （2） 互异性：即同一集合中不应重复出现同一元素。 说明:一个给定集合中的元素是指属于这个集合的互不相同的对象.因此,以后提到集合中的两个元素 时,一定是指两个不同的元素. 如:方程(x-2)(x-1) =0 的解集表示为 ? 1,-22? ,而不是 ?1,1,-2?（3）无序性: 即集合中的元素无顺序,可以任意排列，调换.。 3.常见数集的专用符号 N：非负整数集（自然数集） N*或 N+：正整数集，N 内排除 0 的集 Z：整数集 Q：有理数集 R：全体实数的集合 （III）课堂练习 1.课本 P2、3 中的思考题 2.补充练习： （1） 考察下列对象是否能形成一个集合？ ① 身材高大的人 ②所有的一元二次方程 ③ 直角坐标平面上纵横坐标相等的点 ④细长的矩形的全体 ⑤ 比 2 大的几个数 ⑥ 2 的近似值的全体 ⑦ 所有的小正数 ⑧所有的数学难题 （2） 给 出 下 面 四 个 关 系 : 3 ? R,0.7 ? Q,0 ? {0},0 ? N, 其 中 正 确 的 个 数 是:( ) A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个 （3） 下面有四个命题: ①若-a ? Ν ,则 a ? Ν ②若 a ? Ν ,b ? Ν ,则 a+b 的最小值是 2 2 ③集合 N 中最小元素是 1 ④ x +4=4x 的解集可表示为{2,2} 其中正确命题的个数是( ) A． 0 B． 1 C． 2 D． 3 （IV）课时小结 1.集合的含义； 2.集合元素的三个特征中，确定性可用于判定某些对象是否是给定集合的元素，互异性可用于简化集专心 爱心 用心 2 合的表示，无序性可用于判定集合的关系。 3.常见数集的专用符号. （V）课后作业 一、 书面作业 1. 教材 P11，习题 1.1 A 组第 1 题 2. 由实数-a, a, a , a , - 5 a 为元素组成的集合中,最多有几个元素? 分别为 什么? 3. 求集合{2a,a +a}中元素应满足的条件? 4. 若2 2 51? t ? {t},求 t 的值. 1? t1.1.1 集合的含义与表示（第二课时）专心 爱心 用心 3 教学目标： 1.掌握集合的两种常用表示方法（列举法和描述法） 2.通过实例能使学生选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受 集合语言的意义和作用 教学重点：集合的两种常用表示方法（列举法和描述法） 教学难点：集合的两种常用表示方法（列举法和描述法）的理解 教学方法：尝试指导法和讨论法 教学过程： （I）复习回顾 问题 1：集合元素的特征有哪些？怎样理解，试举例说明. 问题 2：集合与元素关系是什么？如何表示？ 问题 3：常用的数集有哪些？如何表示？ （II）引入问题 问题 4：在初中学正数和负数时，是如何表示正数集合和负数集合的? 如表示下列数中的正数 4.8,-3, 2 ,-0.5, 方法 1: 4.8, 1 ,+73,3.1,31 ,+73,3.1 32方法 2:{4.8, 2 ,1 ,+73,3.1} 3问题 5：在初中学习不等式时,如何表示不等式 x+3&6 的解集?（可表示为:x&3） (III) 讲授新课 一、集合的表示方法 问题 4 中，方法 1 为图示法，方法 2 为列举法. 1. 列举法：把集合中的元素一一列举出来,写在大括号里的方法. 说明：(1)书写时，元素与元素之间用逗号分开； (2)一般不必考虑元素之间的顺序； (3)在表示数列之类的特殊集合时,通常仍按惯用的次序； (4)在列出集合中所有元素不方便或不可能时，可以列出该集合的一部分元素,以提供某种规律, 其余元素以省略号代替； 例 1．用列举法表示下列集合： (1)小于 5 的正奇数组成的集合； (2)能被 3 整除而且大于 4 小于 15 的自然数组成的集合； (3)从 51 到 100 的所有整数的集合； (4)小于 10 的所有自然数组成的集合； (5)方程 x ? x 的所有实数根组成的集合； (6)由 1~20 以内的所有质数组成的集合。2问题 6：能否用列举法表示不等式 x-7&3 的解集? 由此引出描述法。 2. 描述法： 用集合所含元素的共同特征表示集合的方法(即把集合中元素的公共属性描述出来, 写专心 爱心 用心 4 在大括号里的方法)。 表示形式：A={xOp}，其中竖线前 x 叫做此集合的代表元素；p 叫做元素 x 所具有的公共属性；A={x Op}表示集合 A 是由所有具有性质 P 的那些元素 x 组成的，即若 x 具有性质 p，则 x ? A；若 x ? A,则 x 具有性质 p。 说明: (1)有些集合的代表元素需用两个或两个以上字母表示； (2)应防止集合表示中的一些错误。 如，把{(1,2)}表示成{1,2}或{x=1,y=2},{xO1,2}，用{实数集}或{全体实数}表示 R。 例 2．用描述法表示下列集合： (1) 由适合 x -x-2&0 的所有解组成的集合; (2) 到定点距离等于定长的点的集合; (3) 抛物线 y=x 上的点; (4) 抛物线 y=x 上点的横坐标; (5) 抛物线 y=x 上点的纵坐标; 例 3．试分别用列举法和描述法表示下列集合： （1）方程 x ? 2 ? 0 的所有实数根组成的集合； （2）由大于 10 小于 20 的所有整数组成的集合。22 2 2 2二、集合的分类 例 4．观察下列三个集合的元素个数 1. {4.8, 7.3, 3.1, -9}; 由此可以得到 2. {x ? RO0&x&3}; 3. {x ? ROx +1=0}2?有限集 : 含有有限个元素的集合 ? 集合的分类 ?无限集 : 含有无限个元素的集合 ?空集 : 不含有任何元素的集合?(empty ? set ) ?三、文氏图 集合的表示除了上述两种方法以外，还有文氏图法，叙述如下： 画一条封闭的曲线,用它的内部来表示一个集合，如图所示：表示任意一个集合 A 就行，但不能理解成圈内每个点都是集合的元素. (IV)课堂练习 1.课本 P4 思考题和 P6 思考题及练习题。 2.补充练习专心 爱心 用心表示{3，9，27}说明：边界用直线还是曲线，用实线还是虚线都无关紧要，只要封闭并把有关元素统统包含在里边5 a. 方 程 组 ? x ? y ? 5 ? 为 .?x ? y ? 2的 解 集 用 列 举 法表 示 为 ________； 用 描 述 法表 示 .b. {(x,y) Ox+y=6，x、y∈N}用列举法表示为 c.用列举法表示下列集合,并说明是有限集还是无限集? (1){xOx 为不大于 20 的质数}; (3){(x,y) Ox+y=5,xy=6}; d.用描述法表示下列集合,并说明是有限集还是无限集? (1){3,5,7,9}; (2){偶数}; (3){(1,1),(2,4),(3,9),(4,16),?}; e.判断下列集合是有限集还是无限集或是空集? (1){2,4,6,8,?}; (3){x ? ZO-1&x&20}; f.判断下列关系式是否正确? (1) 2 ? Q; (V)课时小结 1.通过学习清楚表示集合的方法，并能灵活运用。 2.注意集合 ? 在解决问题时所起作用。 （VI）课后作业 1.书面作业：课本 P11 习题 1.1 A 组题第 2、3、4 题。 (2) N ? R; (2){xO1&x&2}; (4){x ? NO3&x&4};(2){100 以下的,9 与 12 的公倍数};(3) 2 ? {(2,1)}2(4) 2 ? {{2},{1}}; 年(5) 菱形 ? {四边形与三角形}; (6) 2 ? {yOy=x };1.1.2 集合间的基本关系（1 课时）专心 爱心 用心 6 教学目标：1.理解子集、真子集概念； 2.会判断和证明两个集合包含关系； 3.理解“ ”“ ”的含义； 、 4.会判断简单集合的相等关系； 5.渗透问题相对的观点。 教学重点：子集的概念、真子集的概念 教学难点：元素与子集、属于与包含间区别、描述法给定集合的运算 教学方法：讲、议结合法 教学过程： （I）复习回顾： 问题 1：元素与集合之间的关系是什么? 问题 2：集合有哪些表示方法? 集合的分类如何? （Ⅱ）讲授新课 观察下面几组集合，集合 A 与集合 B 具有什么关系？ (1) A={1，2，3}，B={1，2，3，4，5}. (2) A={x|x&3},B={x|3x-6&0}. (3) A={正方形}，B={四边形}. (4) A= ? ，B={0}. （5）A={银川九中高一（11）班的女生}，B={银川九中高一（11）班的学生} 通过观察就会发现，这五组集合中，集合 A 都是集合 B 的一部分，从而有： 1.子集 定义：一般地，对于两个集合 A 与 B，如果集合 A 中的任何一个元素都是集合 B 的元素， 我们就说集合 A 包含于集合 B， 或集合 B 包含集合 A， 记作 A ? B （或 B ? A） ,即若任意 x ? A, 有 x ? B，则 A ? B(或 A ? B)。 这时我们也说集合 A 是集合 B 的子集。 如果集合 A 不包含于集合 B，或集合 B 不包含集合 A,就记作 A B（或 B A） ，即:若存在 x ? A,有 x ? B，则 A B(或 B A) 说明：A ? B 与 B ? A 是同义的，而 A ? B 与 B ? A 是互逆的。 规定:空集 ? 是任何集合的子集，即对于任意一个集合 A 都有 ? ? A。 例 1．判断下列集合的关系. (1) N_____Z;2(2) N_____Q;(3) R_____Z;2 2 2(4) R_____Q;(5) A={x| (x-1) =0}， (6) A={1,3}， (7) A={-1,1}， （8）A={x|x 是两条边相等的三角形}B={y|y -3y+2=0}; B={x|x -3x+2=0}; B={x|x -1=0}; B={x|x 是等腰三角形}。问题 3：观察（7）和（8） ，集合 A 与集合 B 的元素，有何关系？? 集合 A 与集合 B 的元素完全相同，从而有：2.集合相等 定义： 对于两个集合 A 与 B， 如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素 （即 A ? B） ， 同时集合 B 的任何一个元素都是集合 A 的元素（即 B ? A） ，则称集合 A 等于集合 B，记作 A=B。如：A={x|x=2m+1，m ? Z}，B={x|x=2n-1，n ? Z}，此时有 A=B。 问题 4： （1）集合 A 是否是其本身的子集？（由定义可知，是）专心 爱心 用心 7 （2）除去 ? 与 A 本身外，集合 A 的其它子集与集合 A 的关系如何？（包含于 A，但不等于 A） 3.真子集：由“包含”与“相等”的关系，可有如下结论： (1)A ? A (任何集合都是其自身的子集)； (2)若 A ? B， 而且 A ? B （即 B 中至少有一个元素不在 A 中） 则称集合 A 是集合 B 的真子集， ， 记作 A≠ B。?（空集是任何非空集合的真子集） (3)对于集合 A，B，C，若 A B，B C，即可得出 A C；对 A≠ B，B≠ C，同样有 A≠ C, 即：包含关系 具有“传递性” 。 4.证明集合相等的方法： （1） 证明集合 A，B 中的元素完全相同； （具体数据） （2） 分别证明 A ? B 和 B ? A 即可。 （抽象情况）对于集合 A，B，若 A ? B 而且 B ? A，则 A=B。 （III） 例题分析： 例 2．判断下列两组集合是否相等？ （1）A={x|y=x+1}与 B={y|y=x+1}; (2)A={自然数}与 B={正整数} 例 3．(教材 P7 例 3)写出{a，b}的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集. 例 4．解不等式 x-3&2，并把结果用集合表示。 结论：一般地，一个集合元素若为 n 个，则其子集数为 2 个，其真子集数为 2 -1 个，其 非空子集数为 2 －1 个，其非空真子集数为 2 －2 个，特别地，空集的子集个数为 1，真 子集个数为 0。 (IV) 课堂练习 1.课本 P7，练习 1、2、3; 2.设 A={0，1}，B={x|x ? A}，问 A 与 B 什么关系？ 3.判断下列说法是否正确？ （1）N ? Z ? Q ? R； （3）{圆内接梯形} ? {等腰梯形}； （5） ? ? { ? }； 的值。 （V）课时小结 1. 能判断存在子集关系的两个集合，谁是谁的子集，进一步确定其是否为真子集； 注意：子集并不是由原来集合中的部分元素组成的集合。 （因为： “空集是任何集合的子集” ，但空集 中不含任何元素； 是 A 的子集” “A ，但 A 中含有 A 的全部元素，而不是部分元素） 。 2. 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集； 3． 注意区别“包含于”“包含”“真包含”“不包含” ， ， ， ； 4. 注意区别“ ? ”与“ ? ”的不同涵义。 （ ? 与{ ? }的关系） （VI）课后作业 1. 书面作业 (1)课本 P12，习题 1.1A 组题第 5、6 题。 (2)用图示法表示 （1）A ? B 1.1.3 集合间的基本运算（1 课时） 教学目标：1．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集； 2．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；专心 爱心 用心 8n n n n ? ? ?（2） ? ? A ? A； （4）N ? Z； （6） ? ? { ? }4.有三个元素的集合 A，B，已知 A={2，x，y}，B={2x，2，2y}，且 A=B，求 x，y（2）A B 3．能使用 Venn 图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用； 4．认识由具体到抽象的思维过程，并树立相对的观点。 教学重点：交集与并集概念、补集的概念、数形结合的运用 教学难点：理解交集与并集概念、符号之间的区别与联系，补集的有关运算 教学方法：发现式教学法 教学过程： （I） 复习回顾 问题 1: (1)分别说明 A ? B 与 A=B 的意义； (2)说出集合{1,2,3}的子集、真子集个数及表示； （II）讲授新课 问题 2：观察下面五个图（投影 1）,它们与集合 A,集合 B 有什么关系?图 1―5（1）给出了两个集合 A、B； 图（2）阴影部分是 A 与 B 公共部分； 图（3）阴影部分是由 A、B 组成； 图（4）集合 A 是集合 B 的真子集； 图（5）集合 B 是集合 A 的真子集； 指出：图（2）阴影部分叫集合 A 与 B 的交集；图（3）阴影部分叫集合 A 与 B 的并集.由此可有： 1.并集： 一般地， 由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合， 称为集合 A 与集合 B 的并集， 即 A 与 B 的所有部分，记作 A∪B（读作“A 并 B”，即 A∪B={x|x∈A 或 x∈B}。如上述图 ） （3）中的阴影部分。 2.交集： 一般地，由所有属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素所组成的集合，叫做 A 与 B 的交集， 即 A 与 B 的公共部分， 记作 A∩B （读作 交 B”， A∩B={x|x∈A 且 x∈B}。 “A ）即 如上述图 （2） 中的阴影部分。 3.一些特殊结论 由图 1―5（4）有: 若 A ? B ,则 A∩B=A； 由图 1―5（5）有: 若 B ? A ,则 A ? B=A； 特别地，若 A，B 两集合中，B= ? ，,则 A∩ ? = ? , A ? ? =A。4.例题解析 (师生共同活动)专心爱心用心9 例 1．设 A={x|x&-2}，B={x|x&3},求 A∩B。 [涉及不等式有关问题，利用数形结合即运用数轴是最佳方案](图 1―6) 解：在数轴上作出 A、B 对应部分如图 A∩B={x|x&-2}∩ {x|x&3}={x|-2&x&3}。 例 2．设 A={x|x 是等腰三角形}，B={x|x 是直角三角形}，求 A∩B。 [此题运用文氏图，其公共部分即为 A∩B].(图 1--7) 解：A∩B={x|x 是等腰三角形}∩{x|x 是直角三角形} ={x|x 是等腰直角三角形}。 例 3．设 A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，求 A∪B。 [运用文氏图解答该题](图 1--8) 解：?A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，则 A∪B={4，5，6，8}∪ {3，5，7，8}={3，4，5，6，7，8}。 例 4．设 A={x|x 是锐角三角形}，B={x|x 是钝角三角形}，求 A∪B。 解：A∪B={x|x 是锐角三角形}∪{x|x 是钝角三角形}={x|x 是斜三角 形}。 例 5．设 A={x|-1&x&2},B={x|1&x&3},求 A∪B。 [利用数轴，将 A、B 分别表示出来，则阴影部分即为所求](图 1 ―9) 解：A∪B={x|-1&x&2}∪{x|1&x&3}={x|-1&x&3}. 例 6．教材 P9 例 7。 问题 3: 请看下例 A={班上所有参加足球队同学} B={班上没有参加足球队同学} S={全班同学} 那么 S、A、B 三集合关系如何.分析：(借助于文氏图)集合 B 就是集合 S 中除去集合 A 之后余下来的集合，则有 5.全集 如果一个集合含有我们所要研究问题中所涉及的全部元素，那么就称这个集合为全 集，记作 U。如：解决某些数学问题时，就可以把实数集看作全集 U，那么有理数集 Q 的 补集 CUQ 就是全体无理数的集合。 6.补集(余集) 一般地，设 U 是一个集合，A 是 U 的一个子集（即 A S） ，由 U 中所有不属于 A 的元 素组成的集合，叫做 U 中集合 A 的补集（或余集） ，记作 CUA，即 CUA={x|x∈U，且 x A} 图 1―3 阴影部分即表示 A 在 U 中补集 CUA。 7.举例说明 例 7、例 8 见教材 P11 例 8、例 9。专心爱心用心10 补充例题：解答下列各题： （1）若 S={2，3，4}，A={4，3}，则 CSA={2} ； （2）若 S={三角形}，B={锐角三角形}，则 CSB={直角三角形或钝角三角形} ； （3）若 S={1，2，4，8}，A=?，则 CSA= S ； （4）若 U={1，3，a +2a+1}，A={1，3}，CUA={5}，则 a=-1 ? 5 ；2（5）已知 A={0，2，4}，CUA={-1，1}，CUB={-1，0，2}，求 B={1，4}； （6）设全集 U={2，3，m +2m-3}，A={|m+1|，2}，CUA={5}，求 m 的值； （m= - 4 或 m=2） （7）已知全集 U={1，2，3，4}，A={x|x -5x+m=0，x∈U}，求 CUA、m； （答案：CUA={2， 3}，m=4；CUA={1，4}，m=6） (8).已知全集 U=R,集合 A={x|0&x-1 ? 5},求 CUA,CU(CUA)。 （III）课堂练习： (1)课本 P11 练习 1―4； (2)补充练习： 1．已知 M={1}，N={1，2}，设 A={（x，y）|x∈M，y∈N}，B={（x，y）|x∈N，y∈M}，求 A∩B，A∪B。 [A∩B={(1,1)},A∪B={(1,1)，(1,2)，(2,1)}] 2．已知集合 M ? {4,7,8},且 M 中至多有一个偶数,则这样的集合共有( A 3个 B 4个2 2 2)；C 6个D5 个3．设集合 A={-1,1}, B={x|x -2ax+b=0}, 若 B ? ? , 且 B ? A , 求 a, b 的值。 (IV) 课时小结 1．在并、交问题求解过程中，充分利用数轴、韦恩图。 2．能熟练求解一个给定集合的补集； 3．注重一些特殊结论在以后解题中应用。(如:CU(CUA)=A) (V)作业 1．书面作业 课本 P12，习题 1.1A 组题第 7--10 题。 2．复习作业: 课本 P12，习题 1.1B 组题及后面的“阅读与思考”――集合中元素的个数。专心爱心用心11 1.2.1 函数的概念（2 课时） 教学目标：1.通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型。 2.了解对应关系在刻画函数概念中的作用。 3.了解构成函数的三要素，会求一些简单函数的定义域和值域。 教学重点：函数概念和函数定义域及值域的求法。 教学难点：函数概念的理解。 教学方法：自学法和尝试指导法 教学过程： （Ⅰ）引入问题 问题 1 初中我们学过哪些函数？（正比例函数、反比例函数、一次函数和二次函数） 问题 2 初中所学函数的定义是什么？（设在某变化过程中有两个变量 x 和 y， ，如果给定了一个 x 的 值，相应地确定唯一的一个 y 值，那么就称 y 是 x 的函数，其中 x 是自变量，y 是因变量） 。 （Ⅱ）函数感性认识 教材例子（1） ：炮弹飞行时间的变化范围是数集 A ? {x 0 ? x ? 26} ，炮弹距地面的高度 h 的变化范2 围是数集 B ? {h 0 ? h ? 845} ，对应关系 h ? 130t ? 5t （*） 。从问题的实际意义可知，对于数集 A 中的任意一个时间 t，按照对应关系（*） ，在数集 B 中都有唯一确定的高度 h 和它对应。 例子（2）中数集 A ? {t 1979 ? t ? 2001} ， B ? {S 0 ? S ? 26} ，并且对于数集 A 中的任意一个时间 t，按图中曲线，在数集 B 中都有唯一确定的臭氧层空洞面积 S 和它对应。 例子（3）中数集 A ? {,?, 2001}, B ? {53.8,52.9,?,37.9(%)} ，且对于数集 A 中的每一 个时间（年份） ，按表格，在数集 B 中都有唯一确定的恩格尔系数和它对应。 （III）归纳总结给函数“定性” 归纳以上三例，三个实数中变量之间的关系都可以描述为两个数集 A、B 间的一种对应关系：对数集 A 中的每一个 x，按照某个对应关系，在数集 B 中都有唯一确定的 y 和它对应，记作 f : A ? B 。 （IV)理性认识函数的定义 设 A、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f : A ? B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作y ? f ( x), x ? A ，其中 x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域，与 x 的值相对应的 y 的值叫做 函数值，函数值的集合 { f ( x) x ? A} 叫做函数的值域。定义域、值域、对应法则，称为函数的三个要素，缺一不可； （1）对应法则 f(x)是一个函数符号，表示为“y 是 x 的函数”,绝对不能理解为“y 等于 f 与 x 的乘积” ， 在不同的函数中，f 的具体含义不一样； y=f(x)不一定是解析式，在不少问题中，对应法则 f 可能不便使用或不能使用解析式，这时就必须 采用其它方式，如数表和图象，在研究函数时，除用符号 f(x)表示外，还常用 g(x)、F(x)、G(x)等符号 来表示； 自变量 x 在其定义域内任取一个确定的值 a 时， 对应的函数值用符号 f(a)来表示。 如函数 f(x)=x +3x+1, 当 x=2 时的函数值是：f(2)=2 +3×2+1=11。 注意：f(a)是常量，f(x)是变量，f(a)是函数 f(x)中当自变量 x=a 时的函数值。 （2）定义域是自变量 x 的取值范围； 注意：①定义域不同，而对应法则相同的函数，应看作两个不同函数； 如：y=x (x ? R )与 y=x (x&0)； y=1 与 y=x2 2 0 2 2②若未加以特别说明，函数的定义域就是指使这个式子有意义的所有实数 x 的集合；在实际中， 还必须考虑 x 所代表的具体量的允许值范围； 如：一个矩形的宽为 xm，长是宽的 2 倍，其面积为 y=2x ，此函数的定义域为 x&0,而不是 x ? R 。2专心爱心用心12 （3）值域是全体函数值所组成的集合，在大多数情况下，一旦定义域和对应法则确定，函数的值域也随 之确定。 (V)区间的概念 设 a、b 是两个实数，且 a&b，规定： （1）满足不等式 a ? x ? b 的实数的 x 集合叫做闭区间，表示为 ?a , b ? ； （2）满足不等式 a ? x ? b 的实数的 x 集合叫做开区间，表示为 ?a , b ? ；（3）满足不等式 a ? x ? b 的实数的 x 集合叫做半开半闭区间，表示为 ?a，b ? ；（4）满足不等式 a ? x ? b 的实数的 x 集合叫做也叫半开半闭区间，表示为 ?a , b ?； 说明：① 对于 ?a , b ? ， ?a , b ? ， ?a，b ? ， ?a , b ?都称数 a 和数 b 为区间的端点，其中 a 为左端点，b 为右端 点，称 b-a 为区间长度； ② 引入区间概念后，以实数为元素的集合就有三种表示方法： 不等式表示法：3&x&7（一般不用） ；集合表示法： x 3 ? x ? 7 ；区间表示法： ?3，? ； 7 ③ 在数轴上，这些区间都可以用一条以 a 和 b 为端点的线段来表示，在图中，用实心点表示包括 在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点； ④ 实数集 R 也可以用区间表示为（-∞，+∞）“∞”读作“无穷大”“-∞”读作“负无穷大” ， ， ， “+∞”读作“正无穷大” ，还可以把满足 x ? a, x&a, x ? b, x&b 的实数 x 的集合分别表示为[a,+∞]、 （a,+ ∞） 、(-∞,b)、(-∞,b)。 例题分析： 例 1．已知函数 f ( x) ? （1）求函数的定义域； （2）求 f (?3), f ( ) 的值； （3）当 a&0 时，求 f (a), f (a ? 1) 的值。 分析：函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如前述的三个实例。如果只给出解析式 y ? f ( x) ， 而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合。 （解略） 例 2．求下列函数的定义域。 （1） f ( x) ???x?3 ?1 ， （教材第 17 页例 1） x?22 31 1 ；(2) f ( x) ? x ? 4 ? x ? 2 ；(3) f ( x) ? x ? 1 ? (1 ? 2 x)( x ? 1) 2? x分析：给定函数时，要指明函数的定义域，对于用解析式表示的函数，如果没有给出定义域，那么就认为 函数的定义域是指使函数有意义的自变量取值的集合。 从上例可以看出，当确定用解析式 y=f(x)表示的函数的定义域时，常有以下几种情况： （1）如果 f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集 R； （2）如果 f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合； （3）如果 f(x)是偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子不小于零的实数的集合； （4）如果 f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集 合（即使每个部分有意义的实数的集合的交集） ； （5）如果 f(x)是由实际问题列出的，那么函数的定义域是使解析式本身有意义且符合实际意义的实数的 集合。 由以上分析可知：函数的定义域由数学式子本身的意义和问题的实际意义决定。专心 爱心 用心 13 例 3．下列函数中，哪个与函数 y=x 是同一函数？（书 P18 例 2） (1) y=( x ) ;2(2) y= 3 x 3 ;(3) y= x 2 ;(4)y= y=x2 . x分析：判断两个函数是否相同，要看定义域和对应法则是否完全相同。只有完全一致时，这两个函数才 算相同。 （解略） 课堂练习：课本 P19 练习 1、2、3。 课时小结： 本节课我们学习了函数的定义（包括定义域、值域的概念）及求函数定义域的方法。函数定义中注意的问 题及求定义域时的各种情形应该予以重视。 课后作业 1、书面作业：课本 P24 习题 1.2A 组题第 1，2，3，4 题；B 组第 1、2 题。专心爱心用心14 1.2.2 函数的表示方法（第一课时） 教学目标：1.进一步理解函数的概念； 2.使学生掌握函数的三种表示方法； 教学重点：函数的表示方法 教学难点：函数三种表示方法的选择 教学方法：自学法和尝试指导法 教学过程： （Ⅰ）引入问题 1.回忆函数的两种定义； 2.函数的三要素分别是什么？ 3．设函数 f ( x ) ? ? （II）讲授新课 函数的三种表示方法 （1）解析法（将两个变量的函数关系，用一个等式表示） ： 如 y ? 3x ? 2 x ? 1, S ? ? r , C ? 2? r , S ? 6t 等。2 2 2? x 2 ? 2( x ? 2) ? 2 x( x ? 2)，则 f (?4) ?，若 f ( x0 ) ? 8 ，则 x0 =。优点： ??简明，全面地概括了变量间的关系； ?可以通过解析式求出任意一个自变量所对应的函数值；如：平方表，三角函数表，利息表，列车时刻表，国民生产总值表等。（2）列表法（列出表格表示两个变量的函数关系） ： 优点：不需要计算，就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值。 （3）图象法（用图象来表示两个变量的函数关系） ：如： 优点：直观形象地表示自变量的变化。 （III）例题分析： 例 1（书 P19）.某种笔记本的单价是 5 元，买 x（ x ?{1, 2,3, 4,5} 个笔记本需要 y 元,试用函数的三种 表示法表示函数 y ? f ( x) 。 解：这个函数的定义域是数集 {1, 2,3, 4,5} ，用解析法可以将函数 y ? f ( x) 表示为y ? 5x ， x ?{1, 2,3, 4,5} 。 用列表法可以将函数 y ? f ( x) 表示为笔记本数 x 钱数 y 图象法略。 1 5 2 10 3 15 4 20 5 25说明：函数的图象通常是一段或几段光滑的曲线，但有时也可以由一些孤立点或几段线段组成。例 2．下表是某校高一（1）班三名同学在高一年度六次数学测试的成绩及班级平均分表。专心 爱心 用心 15 第一次 王伟 张城 赵磊 班级平均分 98 90 68 88.2第二次 87 76 65 78.3第三次 91 88 73 85.4第四次 92 75 72 80.3第五次 88 86 75 75.7第六次 95 80 82 82.6请你对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析。 分析：画出“成绩”与“测试时间”的函数图象，可以直观地看出：王伟同学的数学学习成绩始终高 于班级平均水平，学习情况比较稳定而且成绩优秀。张城同学的数学成绩不稳定，总是在班级平均水平上 下波动，而且波动幅度较大。赵磊同学的数学学习成绩低于班级平均水平，但他的成绩曲线呈上升趋势， 表明他的数学成绩在稳步提高。 （IV）课堂练习：课本 P23 练习 1、2。 （V）课时小结： 本节课我们学习了函数的表示方法。 （VI）课后作业 1、书面作业：课本 P24 习题 1.2 第 5、6、8 题。专心爱心用心16 1.2.2 函数的表示方法（第二课时） 教学目标：1.进一步理解函数的概念； 2.使学生掌握分段函数及其简单应用。 教学重点：分段函数的理解 教学难点：分段函数的图象及简单应用 教学方法：自学法和尝试指导法 教学过程： （Ⅰ）引入问题 1．函数有几种常用的表示方法？它们分别是哪几种？ 2．如何作出函数 y ? x 的图象？ （II）讲授新课 例 1．作出函数 y ? x 的图象和 y ? x ? 1 的图象，并分别求出函数的值域。 注：分段函数的定义域和值域分别是各段函数的定义域和值域的并集。 例 2．国内投寄信函（外埠） ，假设每封信函不超过 20g 时付邮资 80 分；超过 20g 不超过 40g 时付邮资 160 分；依次类推，每封 xg( 0 ? x ? 100 )的信函付邮资为：?80 ( x ? ?0,20 ?) ?160 ( x ? ?20,40 ?) ? ? y ? ?240 ( x ? ?60,80 ?) , ?320 ( x ? ?60,80 ?) ? ?400 ( x ? ?80,100 ?) ?画出这个函数的图象。说明：表示函数的式子也可以不止一个（如例 1 与例 2） ，对于这类分几个式子表示的函数称为分段函数。注意它是一个函数，不要把它误认为是“几个函数” 。 例 3． （教材 P21 例 6） 例 4．作出下列各函数的图象：?1 ? (0 ? x ? 1) （1） f ( x ) ? ? x ； ? x( x ? 1) ?? x 2 ? 2 x( x ? 0) f ( x) ? ? 2 （2） ?? x ? 2 x( x ? 0)对第（2）小题的函数，试根据 a 的取值讨论方程 f ( x) ? a 的根的个数问题。 练习：? x ? 2( x ? ?1) ? 2 1．在函数 f ( x ) ? ? x ( ?1 ? x ? 2) 中，若 f ( x) ? 3 ，则 x 的值为 ? 2 x ( x ? 2) ? ? x ? 1( x ? 0) ? 2．已知 f ( x ) ? ? ? ( x ? 0) ，则 f { f [ f (?1)]} = 。 ? 0( x ? 0) ?作业：课本 P24 习题 1.2 第 7、9 题。。专心爱心用心17 1.2.2 函数的表示方法（第三课时） 教学目标：1.使学生了解映射的概念、表示方法； 2.使学生了解象、原象的概念； 3.使学生通过简单的对应图示了解一一映射的概念； 4.使学生认识到事物间是有联系的，对应、映射是一种联系方式。 教学重点：映射、一一映射的概念 教学难点：映射、一一映射的概念 教学方法：讲授法 教学过程： （I）复习回顾 1：前面学习的元素与集合的关系“∈”“ ” 、 ，集合与集合的关系“ ”“≠ ” 、 ； 、 “?” 2：在初中学过一些对应的例子 （1）对于任何一个实数，数轴上都有唯一的点和它对应； （2）对于坐标平面内的任何一个点，都有唯一有序实数对（x,y）和它对应； （3）对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应； （4）对于任意一个二次函数，相应坐标平面内都有唯一的抛物线和它对应。 （II）讲授新课 1. 映射的概念 a.观察下列对应： （为简明起见，这里的 A、B 都是有限集合）?（对每个对应都要强调对应法则，集合顺序） 问题 1：这四个对应的共同特点是什么？ 对于集合 A 中的任何一个元素，按照某种对应法则?，在集合 B 中都有确定的元素和它对应。 问题 2：观察图（2）（3）（4） 、 、 ，想一想这三个对应有什么共同特点？ 这三个对应的共同特点是：对于左边集合 A 中的任何一个元素，按照某种对应法则?，在右边集合 B 中都 有唯一的元素和它对应。 b.映射的定义专心爱心用心18 一般地，设 A、B 是两个集合，如果按照某种对应法则?，对于集合 A 中的任何一个元素， 在集合 B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合 A、B 及 A 到 B 的对应法 则 f）叫做集合 A 到集合 B 的映射。记作：f：A→B 由此定义： ， ， （2）（3）（4）三个对应都是 A 到 B 的映射， （1）的对应不是 A 到 B 的映射。 （2）f: x ? c.象，原象的概念 给定一个集合 A 到集合 B 的映射，且 a∈A，b∈B。如果在对应法则 f 的作用下，元素 a 和元素 b 对应，则元素 b 叫做元素 a（在 f 下）的象，元素 a 叫做元素 b（在 f 下）的原象。 注意： （1）映射有三个要素：两个集合，一种对应法则，缺一不可； （2）A，B 可以是数集，也可以是点集或其它集合。这两个集合具有先后顺序：符号“f：A→B”表示 A 到 B 的映射，符号“f：B→A”表示 B 到 A 的映射，两者是不同的； （3）集合 A 中的元素一定有象，并且象是唯一的（因此（1）不可以构成映射） ，但两个（或两个以上） 元素可以允许有相同的象（如图（3）； ） 例： “A={0,1,2},B={0,1,1/2},f:取倒数”就不可以构成映射，因为 A 中元素 0 在 B 中无象（4）集合 B 中 的元素在 A 中可以没有原象（如图（4），即使有也可以不唯一（如图（3）； ） ） （5）A={原象}，B ? {象}。 d.例题分析： 例：判断下面的对应是否为集合 A 到集合 B 的映射,并说明理由（投影 3） 。 （1）设 A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7，8，9}。f: x ? 2x ? 1; （2）设 A=N ，B={0，1}，f: x ? x除以2得的余数 ；*(3)f: x ?2(4)f: x ? 2x（3）设 A={1，2，3，4}，B={1，1 1 1 , ， }，f: x ? x取倒数 ； 2 3 4（4）设 A={ ( x , y) x ? 2, x ? y ? 3, x ? Z, y ? N }，B={0,1,2}，f:( x, y) ? x ? 2.一 一映射的概念 问题 3：观察图（2）（3）（4） 、 、 ，想一想这三个对应有什么不同特点？ 分析： （3）是多对一（即多个元素有同一个象） ； （4）是一对一（但 B 中有的元素在 A 中没有原象） ； （2）是一对一（且 B 中所有元素在 A 中都有原象） ； 再观察下图：(投影 4)由此有：专心爱心用心19 “一一映射”的定义： 一般地，一个映射 f：A→B，若满足： a. 对于集合 A 的不同元素，在集合 B 中有不同的象;(单射) b. 集合 B 中每一个元素都有原象； （满射） 那么这个映射叫做 A 到 B 上的一一映射。 例：分析上面图中或上面例题中对应是否为集合 A 到集合 B 的一一映射？为什么？ 注意： （1）一一映射是一种特殊的映射（A 到 B 是映射，B 到 A 也是映射，或从一一映射定义解释） ； （2）若在映射 f：A→B 中，象的集合 C≠B ，则映射不是一一映射，即 C=B 是一一映射的必要条件。 （想 一想为什么不充分？） （因为映射 f：A→B 未指出对于集合 A 中的不同元素的集合 B 中有不同的象。即 f：A→B 可能是多对一的 情形。 ） （III）课堂练习：课本 P23 练习 4。 （IV）课时小结： 本节课我们学习了映射的定义、表示方法、象与原象的概念、一一映射的定义。强调注意的问题（前面所 述）指出：映射是一种特殊的对应：多对一、一对一；一一映射是一种特殊的映射：A 到 B 是映射，B 到 A 也是映射。 （V）课后作业： 1、书面作业：课本 P24，习题 1.2A 组题第 10 题。专心爱心用心20 §1．3 函数的基本性质 1.3.1 单调性与最大（小）值（第一课时） 教学目标：1.使学生理解增函数、减函数的概念； 2.使学生掌握判断某些函数增减性的方法； 3.培养学生利用数学概念进行判断推理的能力； 4.培养学生数形结合、辩证思维的能力； 5.养成细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯。 教学重点：函数单调性的概念 教学难点：函数单调性的判断和证明 教学方法：讲授法 教学过程： （I）复习回顾 1.函数有哪几个要素？ 2.函数的定义域怎样确定？怎样表示？ 3.函数的表示方法常见的有哪几种？各有什么优点？ 4.区间的表示方法. 前面我们学习了函数的概念、 表示方法以及区间的概念，现在我们来研究一下函数的性质 （导入课题， 板书课题） 。 （II）讲授新课 1.引例：观察 y=x 的图象，回答下列问题 问题 1： 函数 y=x 的图象在 y 轴右侧的部分是上升的， 说明什么？2 2? 随着 x 的增加，y 值在增加。问题 2：怎样用数学语言表示呢？? 设 x1、x2∈[0，+∞]，得 y1=f(x1), y2=f(x2).当 x1&x2 时，f(x1)&f(x2). (学生不一定一下子答得比较完整，教师应抓住时机予以启发)。 结论：这时，说 y1= x 在[0，+∞]上是增函数。 （同理分析 y 轴左 侧部分）由此可有： 2.定义： 一般地，设函数 f(x)的定义域为 I： 如果对于属于 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1、x2,当 x1 ? x2 时都有 f(x1)& f(x2).那么就说 f(x)在这个区间上是增函数。 如果对于属于 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1 、x2 ，当 x1&x2 时都有 f(x1)&f(x2).那么就是 f(x)在这个区间上是减函数。 如果函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么就说函说 y=f(x)在这一区间具 有（严格的）单调性，这一区间叫做 y=f(x)的单调区间，在单调区间上增函数的图象是 上升的，减函数的图象是下降的。 注意： （1）函数的单调性也叫函数的增减性； （2）注意区间上所取两点 x1,x2 的任意性； （3）函数的单调性是对某个区间而言的，它是一个局部概念。 （III）例题分析专心 爱心 用心 212 例 1.下图是定义在闭区间 ?? 5,5? 上的函数 y=f(x)的图象，根据图象说出函数的单调区间，以及在每 一个区间上的单调性（课本 P29 例 1） 。 问题 3：y=f(x)在区间 ?? 5,?2 ? ， ?1,3? 上是减函数；在区间 ?? 2,1? ， ?3,5 ? 上是增函数，那么在两个区间的 公共端点处，如：x=-2,x=-1,x=3 处是增函数还是减函数？分析：函数的单调性是对某个区间而言的，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因此没有增减变化，所以不存在单调性问题；另一方面，中学阶段研究的是连续函数或分段连续函数，对于闭区 间的连续函数而言，只要在开区间单调，则它在闭区间也单调。因此在考虑它的单调区间时，包括不包括 端点都可以（要注意端点是否在定义域范围内） 。 说明： 要了解函数在某一区间上是否具有单调性， 从图上进行观察是一种常用而又粗略的方法。 严格地说， 它需要根据单调函数的定义进行证明。 例 2．证明函数 f(x)=3x+2 在 R 上是增函数。 证明：设任意 x1、x2∈R，且 x1&x2. 则 f(x1)- f(x2)=(3x1+2)-(3x2+2)=3(x1-x2). 由 x1&x2 得 x1-x2&0.∴f(x1)- f(x2)&0,即 f(x1)&f(x2). ∴f(x)=3x+2 在 R 上是增函数。 分析：判定函数在某个区间上的单调性的方法步骤： a.设 x1、x2∈给定区间，且 x1&x2； b.计算 f(x1)- f(x2)至最简； c.判断上述差的符号； d.下结论。 例 3．教材第 29 页例 2。 （IV）课堂练习 课本 P32 练习 1―3 注意：通过观察图象，对函数是否具有某种性质作出一种猜想，然后通过推理的办法，证明这种猜想的正 确性，是发现和解决问题的一种常用数学方法。 （V）课时小结 本节课我们学习了函数单调性的知识，同学们要切记：单调性是对某个区间而言的，同时在理解定义 的基础上，要掌握证明函数单调性的方法步骤，正确进行判断和证明。 （VI）课后作业 1、书面作业：课本 P39 习题 1.3A 组题 1、2、3 题。专心爱心用心22 1.3.1 单调性与最大（小）值（第二课时） 教学目标：1.使学生理解函数最大（小）值及其几何意义； 2.使学生掌握函数最值与函数单调性的关系； 3.使学生掌握一些单调函数在给定区间上的最值的求法； 4.培养学生数形结合、辩证思维的能力； 5.养成细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯。 教学重点：函数最值的含义 教学难点：单调函数最值的求法 教学方法：讲授法 教学过程： （I）复习回顾 1．函数单调性的概念； 2．函数单调性的判定。 （II）讲授新课 通过观察二次函数 y ? x 和 y ? ? x 的最高点和最低点引出函数最值的概念（板书课题）2 21．函数最大值与最小值的含义 一般地，设函数 y ? f ( x) 的定义域为 I ，如果存在实数 M 满足： （1）对于任意的 x ? I ，都有 f ( x) ? M ； （2）存在 x0 ? I ，使得 f ( x0 ) ? M 。 那么，我们称 M 是函数 y ? f ( x) 的最大值. 思考：你能仿照函数最大值的定义，给出函数 y ? f ( x) 的最小值吗？ 2．二次函数在给定区间上的最值 对二次函数 y ? ax ? bx ? c(a ? 0) 来说，若给定区间是 (??, ??) ，则当 a ? 0 时，函数有最小值是24ac ? b 2 4ac ? b 2 ，当 a ? 0 时，函数有最大值是 ；若给定区间是 [a, b] ，则必须先判断函数在这个区间 4a 4a上的单调性，然后再求最值（见下列例题） 。 3．例题分析 例 1．教材第 30 页例题 3。 例 2．求函数 y ?2 在区间[2，6]上的最大值和最小值（教材第 31 页例 4） 。 x ?1分析：先判定函数在区间[2，6]上的单调性，然后再求最大值和最小值。 变式：若区间为 [?6, ?2] 呢？ 例 3．求函数 y ? x ? 1 在下列各区间上的最值：2（1） (??, ??)（2）[1，4]（3） [?6, ?2]（4） [?2, 2]（5） [?2, 4]练习：教材第 32 页第 4 题。 作业：教材第 39 页习题 1.3 A 组题第 5 题。专心爱心用心23 1.3.2 奇偶性 教学目标：1.使学生理解奇函数、偶函数的概念； 2.使学生掌握判断某些函数奇偶性的方法； 3.培养学生判断、推理的能力、加强化归转化能力的训练。 教学重点：函数奇偶性的概念 教学难点：函数奇偶性的判断；函数奇偶性，单调性的综合使用 教学方法：讲授法 教学过程： （I）复习回顾 1.回忆增函数、减函数的定义，并复述证明函数单调性的步骤。 2.初中几何中轴对称，中心对称是如何定义的？ 轴对称：两个图形关于某条直线对称（即一个图形沿直线折叠，能够与另一图形重合） 中心对称：两个图形关于某一点对称（即把一个图形绕某点旋转 180 ? ，能够与另一图形重合） 这节课我们来研究函数的另外一个性质――奇偶性（导入课题，板书课题） 。 （II）讲授新课 1.偶函数 （1）观察函数 y=x 的图象（如右图） ①图象有怎样的对称性？ ? 关于 y 轴对称。 ②从函数 y=f(x)=x 本身来说，其特点是什么？2 2? 当自变量取一对相反数时，函数 y 取同一值。例如：f(-2)=4, f(2)=4,即 f(-2)=f(-2)； f(-1)=1，f(1)=1，即 f(-1)=f(1)；1 1 1 1 1 1 f (? ) ? ，f ( ) ? ，即f (? ) ? f ( )。 2 4 2 4 2 2 ??由于（-x） =x2 2∴f(-x)= f(x).2 2 2以上情况反映在图象上就是：如果点（x,y）是函数 y=x 的图象上的任一点,那么,与它关于 y 轴的对称点 (-x,y)也在函数 y=x 的图象上，这时，我们说函数 y=x 是偶函数。 （2）定义： 一般地， （板书）如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(-x)= f(x)，那 么函数 f(x)就叫做偶函数。 例如：函数 f ( x) ? x ? 1 , f ( x) ?22 , f ( x) ? x 等都是偶函数。 x ? 1122.奇函数 （1）观察函数 y=x 的图象（投影 2） ①当自变量取一对相反数时，它们对应的函数值 有什么关系？3? 也是一对相反数。②这个事实反映在图象上， 说明函数的图象有怎样的对称性3呢？ ? 函数的图象关于原点对称。即如果点（x,y）是函数 y=x 的图象上任一点，那么与它关于原点对称的点（-x,-y） 也在函数 y=x 的图象上，这时，我们说函数 y=x 是奇函数。 （2）定义3 3专心爱心用心24 一般地， （板书）如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f (? x) ? ? f ( x) ，那 么函数 f(x)就叫做奇函数。 例如：函数 f ( x) ? x, f ( x) ? 3.奇偶性 如果函数 f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数 f(x)具有奇偶性。 （III）例题分析 例 1.判断下列函数的奇偶性。 （1）f(x)=x +2x; （4） f(x)=x ,x ? ?0,?? ? ;2 31 都是奇函数。 x（2）f(x)=2x +3 （5） f(x)=42（3） f(x)=x +2x+5; （6） f(x)=x+21 ; x1 ; x分析：① 这里主要是根据奇函数或偶函数的定义进行判断； ②函数中有奇函数，也有偶函数，但是还有些函数既不是奇函数也不是偶函数，唯有 f(x)=0（x∈R 或 x∈(-a,a).a&0）既是奇函数又是偶函数。 ③从函数奇偶性的定义可以看出，具有奇偶性的函数，首先其定义域关于原点对称； 其次 f(-x)= f(x)或 f(-x)=- f(x)必有一成立。因此，判断某一函数的奇偶性时：首先看其定义域是否关 于原点对称，若对称，再计算 f(-x)，看是等于 f(x)还是等于-f(x)，然后下结论；若定义域关于原点不 对称，则函数没有奇偶性。 例 2.已知函数 y=f(x)在 R 上是奇函数，而且在 ?0， ? ?是增函数。证明 y=f(x)在 ?? ?，? 上也 ? 0 是增函数。 证明：设 x1&x2 &0，则-x1&-x2&0.∵f(x)在（0，+∞）上是增函数。 ∴f(-x1) &f(-x2),又 f(x)在 R 上是奇函数。 ∴-f(x1)& -f(x2),即 f(x1)& f(x2). ∴函数 y= f(x)在（0，+∞）上是增函数。 变题： 已知函数 y=f(x)在 R 上是奇函数， 而且在 ?0， ? ?是减函数。 证明 y=f(x)在 ?? ?，? 上 ? 0 也是减函数。 结论：由例 2 可有： 奇函数在两个对称区间内的单调性是相同的； 偶函数在两个对称区间内的单调性是相反的； （IV）课堂练习：课本 P36 练习 1，2 （V）课时小结 本节课我们学习了函数奇偶性的定义，判断函数奇偶性的方法以及函数奇偶性与单调性的综合使用。 特别要注意判断函数奇偶性时，一定要首先看其定义域是否关于原点对称，否则将会导致结论错误或做无 用功；对于函数单调性，奇偶性的综合题，要深入分析、理清思路、总揽全局、各个击破。 （VI）课后作业 书面作业：课本 p39 习题 1.3 A 组第 6 题和 B 组第 1、2 题。实习作 业专心 爱心 用心 25一、实习目的 1．了解函数形成、发展的历史。 2．体验合作学习的方式。 二、操作建议 1．选题，根据个人兴趣初步确定实习作业的选题范围。 2．分组，3―6 人为一个实习小组，确定一个人为组长。 3．分配任务，根据个人情况和优势，经小组共同商议，由组长确定每个人的具体任务。 4．搜集资料，针对具体实习题目，通过各种方式搜集素材，包括文字、图片、数据以及音像资料等， 并记录相关资料。 5．素材汇总，用实习报告的形式展现小组的实习成果。 6．全班范围的交流、讨论和总结。 三、参考选题 1．函数产生的社会背景。 2．函数概念发展的历史过程。 3．函数符号的故事。 4．数学家与函数。 众多数学家对函数的完善作出了贡献，例如开普勒、伽利略、笛卡儿、牛顿、莱布尼兹和欧拉等。可 以选取一位或多位数学家，说明他们对函数发展作出的贡献，感受数学家的精神。 四、参考途径 1．相关书籍 梁宗巨， 《世界数学通史》 ，辽宁教育出版社。 吴文俊， 《世界著名科学家传记》 ，科学出版社。 （日）权平健一郎， 《函数在你身边》 ，科学出版社。 2．相关网页 .cn. 五、实习报告的参考形式 参考以下的实习报告形式，设计一个实习报告。 实 题目 正文 备注 组长及参加人员 指导教师审核意见 习 报 告 年 月 日第二章 基本初等函数（Ⅰ） §2．1 指数函数 2.1.1 指数与指数幂的运算（三课时） 教学目标：1.理解 n 次方根、根式、分数指数幂的概念；专心 爱心 用心 26 2.正确运用根式运算性质和有理指数幂的运算性质； 3.培养学生认识、接受新事物和用联系观点看问题的能力。 教学重点：根式的概念、分数指数幂的概念和运算性质 教学难点：根式概念和分数指数幂概念的理解 教学方法：学导式 教学过程： 第一课时： （I）复习回顾 引例：填空 （1） a ? a ? a ? n ? N ) ； （n *?? ??? ? ?n个an m? na =1（a ? 0) ；0a ?n ?1 (a ? 0, n ? N * ) n a（2） a ? a ? am(m,n∈Z)；(a m )n ? a mn (m,n∈Z)；- 9 ? _____；(ab) n ? a n ? b n (n∈Z)0 ? ______（3） 9 ? _____；a （4） ( a ) 2 ? _____( ? 0) ；（II）讲授新课 1.引入：a 2 ? ________（1）填空（1） （2）复习了整数指数幂的概念和运算性质（其中：因为 a ? a 可看作 a ? a ，m n m?n,所以a a a a m ? a n ? a m? n 可以归入性质 am ? an ? am?n ；又因为 ( ) n 可看作 a m ? a ? n ，所以 ( ) n ? n 可以归入性质 b b b(ab) n ? a n ? b n (n∈Z)）,这是为下面学习分数指数幂的概念和性质做准备。为了学习分数指数幂，先要学习 n 次根式（ n ? N* ）的概念。 （2）填空（3）（4）复习了平方根、立方根这两个概念。如： ， 2 =4 ， （-2） =4 2 =83 2 2n? 2，-2 叫 4 的平方根（-2） =-8 ?3 3? 2 叫 8 的立方根； 5 2 =32 ? 2 叫 32 的 5 次方根2 n? -2 叫-8 的立方根52 =an? 2 叫 a 的 n 次方根分析：若 2 =4，则 2 叫 4 的平方根；若 2 =8，2 叫做 8 的立方根；若 2 =32，则 2 叫做 32 的 5 次方根，类 似地，若 2 =a，则 2 叫 a 的 n 次方根。由此，可有： 2.n 次方根的定义： （板书） 一般地，如果 x ? a ，那么 x 叫做 a 的 n 次方根（ n th root）,其中 n ? 1 ，且 n ? N 。n ?问题 1：n 次方根的定义给出了，x 如何用 a 表示呢？ x ? 分析过程：na 是否正确？6例 1． 根据 n 次方根的概念， 分别求出 27 的 3 次方根， -32 的 5 次方根， 的 3 次方根。 a （要 求完整地叙述求解过程） 解：因为 3 =27，所以 3 是 27 的 3 次方根；因为 (?2) 5 =-32，所以-2 是-32 的 5 次方根；3专心爱心用心27 因为 (a 2 ) 3 ? a 6 ，所以 a 是 a 的 3 次方根。2 6结论 1：当 n 为奇数时（跟立方根一样） ，有下列性质：正数的 n 次方根是正数，负数的 n 次方根是负数, 任何一个数的方根都是唯一的。此时，a 的 n 次方根可表示为 x ? 从而有： 3 27 ? 3 ， 5 ? 32 ? ?2 ， 3 a 6 ? a 2 例 2． 根据 n 次方根的概念， 分别求出 16 的 4 次方根， 的 4 次方根。 -81 解：因为 2 ? 16 ， (?2) 4 ? 16 ，所以 2 和-2 是 16 的 4 次方根；4na。因为任何实数的 4 次方都是非负数，不会等于-81，所以-81 没有 4 次方根。 结论 2：当 n 为偶数时（跟平方根一样） ，有下列性质：正数的 n 次方根有两个且互为相反数，负数没有 n 次方根。此时正数 a 的 n 次方根可表示为： ? n a (a ? 0) 其中 n a 表示 a 的正的 n 次方根， ? n a 表示 a 的负的 n 次方根。 例 3．根据 n 次方根的概念，分别求出 0 的 3 次方根，0 的 4 次方根。 解：因为不论 n 为奇数，还是偶数，都有 0 =0，所以 0 的 3 次方根，0 的 4 次方根均为 0。 结论 3：0 的 n 次方根是 0，记作 n 0 ? 0,即n a 当 a=0 时也有意义。 这样，可在实数范围内，得到 n 次方根的性质： 3.n 次方根的性质： （板书）n?n a , n ? 2k ? 1 ? x?? (k ? N *) ?? n a , n ? 2k ?4.根式运算性质： （板书）其中na 叫根式，n 叫根指数，a 叫被开方数。注意：根式是 n 次方根的一种表示形式，并且，由 n 次方根的定义，可得到根式的运算性质。（ ① n a） ? a ，即一个数先开方，再乘方（同次） ，结果仍为被开方数。n问题 2：若对一个数先乘方，再开方（同次） ，结果又是什么？ 例 4：求 3 (?2) 3 ，525，434，(?3) 2由所得结果，可有： （板书） ② a ??n n?a, n为奇数； ?| a |, n为偶数性质的推导如下：专心爱心用心28 性质①推导过程： 当 n 为奇数时， x ? n a ,由x ? a得(n a ) ? an n当 n 为偶数时， x ? ? n a ,由x ? a得(n a ) ? an n综上所述，可知： (n a ) ? an性质②推导过程： 当 n 为奇数时，由 n 次方根定义得： a ?nann n当 n 为偶数时，由 n 次方根定义得： a ? ? a 则 | a |?| ? a |?n n nan综上所述： ( n a ) n ? ??a , n为奇数 ?| a | ，n为偶数注意：性质②有一定变化，大家应重点掌握。 （III）例题讲解 例 1．求下列各式的值：3 （） 1 3（－8）（2） 10） （－ 24 4 （3） 3－?） （（4） (a ? b) 2 （a&b）注意：根指数 n 为奇数的题目较易处理，要侧重于根指数 n 为偶数的运算。 （III）课堂练习：求下列各式的值 (1) 5 ? 32 （IV）课时小结 通过本节学习，大家要能在理解根式概念的基础上，正确运用根式的运算性质解题。 （V）课后作业 1、书面作业： a.求下列各式的值 (2) (?3) 4 (3) ( 2 ? 3 ) 2 (4) 5 ? 2 6（ ） －27 13( 2) a 62 （3） ?－4） （(4) (x ?1 2 ) 3? xb.书 P59 习题 2.1 A 组题第 1 题。 2、预习作业： a.预习内容：课本 P50―P52。 b.预习提纲： （1）根式与分数指数幂有何关系？ （2）整数指数幂运算性质推广后有何变化？专心爱心用心29 第二课时： （I）复习回顾 1.填空； ? （1） 3 ? 64 ? ______,5 32 ? _______ （2） 4 81 ? ______, 4 81 ? ______；； ( （3） (4 3 ) 4 ? ______, 5 6 ) 5 ? ______； (4) 5 a 10 ? _____,3 a 12 ? _______5 （5） 5（ ? 2） ? ___,7 (?3) 7 ? _____； （6） 6 (?4) 6 ? ____,4 5 4 ? ______.（II）讲授新课 分析：对于“填空”中的第四题，既可根据 n 次方根的概念来解：? (a 2 ) 5 ? a 10 ,? 5 a 10 ? a 2 ； 也可根据 n 次方根的性质来解： 5 a 10 ? 5 (a 2 ) 5 ? a 2 。 问题 1：观察 5 a 10 ? a 2 , 4 a 12 ? a 3 ，结果的指数与被开方数的指数，根指数有什么关系？? 5 a 10 ? a 5 ? a 2 , 4 a 12 ? a 3 ? a 4 ，即：当根指数的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式。 问题 2：当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否可以写成分数指数幂的形式？如：31012a 2 ? a 3 是否可行？2 2 ?32分析： 假设幂的运算性质 (a m ) n ? a mn 对于分数指数幂也适用， 那么 (a 3 ) 3 ? a 32 2这说明 a 3 也是 a 2 ? a2，22的 3 次方根，而 3 a 2 也是 a 的 3 次方根（由于这里 n=3，a 的 3 次方根唯一） ，于是 3 a 2 ? a 3 。这说明3a 2 ? a 3 可行。2由此可有： 1.正数的正分数指数幂的意义：ma n ? n a m (a ? 0, m, n ? N*,且n ? 1 )注意两点:一是分数指数幂是根式的另一种表示形式；二是要注意被开方数 a 的幂指数 n 与根式的根指数 n 的一致性。根式与分数指数幂可以进行互化。 问题 3：在上述定义中，若没有“a&0”这个限制，行不行？ 分析：正例： (?8) 3 ? 3 ? 8 ? ?2, 5 (?2)10 ? (?2) 5 ? (?2) 2 ? 4, (?2) 3 ? 3 (?2) 2 等等； 反例： (?8) ?12 41 3 3n11021 2 ? 8 ? ?2, (?8) ? 6 (?8) 2 ? 2, 而实际上 ? ；又如： 3 62 612 4 12 3 4 （ （? 8） ? ? 8） ? ? 8） 4（ ? 8） ? 4 812 ? 4（83） ? 83 。这样就产生了混乱，因此“a&0”这个限 （ ，专心爱心用心30 制不可少。至于 (?8) 3 ? 3 ? 8 ? ?2 ，这是正确的，但此时 (?8) 3 不能理解为分数指数幂， 理数（因为不能改写为111 不能代表有 310 2 2 ） ，这只表示一种上标。而 5 (?2) 5 ? (?2) 5 , (?2) 3 ? 3 (?2) 2 ，那是因为 6(?2)10 ? 210 , (?2) 2 ? 2 2 ，负号内部消化了。问题 4：如何定义正数的负分数指数幂和 0 的分数指数幂？ 分析：正数的负分数指数幂的定义与负整数指数幂的意义相仿；0 的分数指数幂与 0 的非 0 整数幂的意义 相仿。 2.负分数指数幂：a?m n?1 am n(a ? 0, m, n ? N *,且n ? 1)3.0 的分数指数幂： 0 的正分数指数幂为 0，0 的负分数指数幂无意义（为什么？） 。 说明： （1）分数指数幂的意义只是一种规定，前面所举的例子只表示这种规定的合理性； （2）规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数； （3）可以验证整数指数幂的运算性质，对于有理数幂也同样适用，即a r a s ? a r ? s (a ? 0, r , s ? Q) ； (a r ) s ? a rs (a ? 0, r , s ? Q) (ab)r ? a r br (a ? 0, b ? 0, r ? Q)(4) 根式与分数指数幂可以进行互化:分式指数幂可以直接化成根式计算，也可利用 (a n ) n ? a 来计算；反过来，根式也可化成分数指数幂来计算。 （5）同样可规定 a p (p ? 0, p是无理数）的意义： ① a 表示一个确定的实数； ② 上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用，有关证明略； ③ 指数概念可以扩充到实数指数（为下一小节学习指数函数作铺垫） 。 （III）例题讲解2 3 1 2pmn?m n? am100 例 2． 求值：8 ，－1 －3 16 －3 ，（ ） ，（ ） 4 4 811 2 1 2 1 2? （－ ） 2分析：此题主要运用有理指数幂的运算性质。1 ； 10 解： （－ 1 － 16 －3 2 4? 3） 2 － 27 － （－ ? （－ （ ） 3＝（2－2） 3＝2 2） 3） 2 6 ＝64；（ ） 4＝（ ） 4 ＝（ ） 3＝ 。 ＝ 4 81 3 3 8 8 ＝（2 ）＝23 3?2 32 32 3＝2 ＝4； 1002－＝（ ） ＝10 102－＝10 －1＝专心爱心用心31 例 3．用分数指数幂的形式表示下列各式：a 2 ? a , a 3 ? 3 a 2 , a a (式中a ? 0)分析：此题应结合分数指数幂意义与有理指数幂运算性质。 解：1 2 1 2 5 2a ? a ? a ?a ? a2 2 3 3 2 3 2 32?? ?3 4 11 3a ? a ? a ?a ? a1 1 2 22 3? 3a a ? (a ? a ) ? (a ) ? a .（IV）课堂练习 课本 P54 练习：1、2 （V）课时小结 通过本节学习，要求大家理解分数指数幂的意义，掌握分数指数幂与根式的互化，熟练运用有理指数幂的 运算性质。 （V）课后作业 1、书面作业：课本 P59 习题 2.1A 组题第 2,3 题 2、预习作业 （1）预习内容：课本 P52 例题 4、5。 （2）预习提纲： a.根式的运算如何进行？ b.利用理指数幂运算性质进行化简、求值，有哪些常用技巧？3 1 2 2专心爱心用心32 第三课时： 教学目标 ：1.掌握根式与分数指数幂的互化； 2.熟练运用有理指数幂运算性质进行化简、求值； 3.培养学生的数学应用意识。 教学重点：有理指数幂运算性质运用。 教学难点：化简、求值的技巧 教学方法：启发引导式 教学过程 （I）复习回顾 1.分数指数幂的概念，以及有理指数幂的运算性质 分数指数幂概念 有理指数幂运算性质m na ? n ama? m na r a s ? a r ? s (a ? 0, r , s ? Q) ；1n? n a m＝am(a r ) s ? a rs (a ? 0, r , s ? Q) (ab)r ? a r br (a ? 0, b ? 0, r ? Q)(a ? 0, m, n ? N *, 且n ? 1)2.用分数指数幂表示下列各式（a&0,x&0）5a214x6xx( a )3（II）讲授新课 例 1．计算下列各式（式中字母都是正数）(1)(2a b )(?6a b ) ? (?3a b );2 31 21 21 31 65 6(2)(m n ? ) .1 43 8 8分析： （1）题可以仿照单项式乘除法进行，首先是系数相乘除，然后是同底数幂相乘除，并且要注意符号。 （2）题先按积的乘方计算，后按幂的乘方计算，等熟练后可简化计算步骤。对于计算的结果不强求统一 用什么形式来表示，没有特别要求，就用分数指数幂的形式表示。如果有特殊要求，可根据要求给出结果， 但： ① 结果不能同时含有根式和分数指数；②不能同时含有分母和负指数； ③ 根式需化成最简根式。(1)( 2a 3 b 2 )( ?6a 2 b 3 ) ? (?3a 6 b 6 )解： ? [ 2 ? ( ?6) ? ( ?3)]a 32 1 1 ? ? 2 621111513(2)( m 4 n 8 )8 ? ( m 4 )8 ( n 8 ) 3 ? m 3 ? n ?3 ? m2 n31 ? 3b21 1 5 ? ? 3 6? 4ab 0 ? 4例 2．计算下列各式：(1)a2 a a3 2(a ? 0);(2)(3 25 ? 125 ) ? 4 5分析： （1）题把根式化成分数指数幂的形式，再计算。专心 爱心 用心 33 （2）题先把根式化成分数指数幂的最简形式，然后计算。 解：(1)5a2 3 2a? a?a1 22 3 2?a1 2 2? ? 2 3(2)( 3 25 ? 125) ? 4 5 ? (5 3 ? 5 2 ) ? 5 4 ? 53 ? 54 ? 52 ? 54 ? 535 5 2 1 3 1 2 1 ? 4231a ?a? 523 1 ? 4? a 6 ? 6 a5 ;例 3．求值：? 512 ? 5 4 ? 12 55 ? 5 4 5.(1) 5 ? 2 6 ? 7 ? 4 3 ? 6 ? 4 2 ;(2)2 3 ? 3 1.5 ? 6 12分析： （1）题需把各项被开方数变为完全平方形式，然后再利用根式运算性质； 解：(1) 5 ? 2 6 ? 7 ? 4 3 ? 6 ? 4 2 ? ( 3) 2 ? 2 3 ? 2 ? ( 2) 2 ? 22 ? 2 ? 2 3 ? ( 3) 2 ? 2 2 ? 2 ? 2 2 ? ( 2) 2 ? (( 3 ? 2)) 2 ? (2 ? 3) 2 ? (2 ? 2) 2 ?| 3 ? 2 | ? | 2 ? 3 ? | ? | 2 ? 2 | ? 3 ? 2 ? 2 ? 3 ? (2 ? 2) ? 2 2 注意：此题开方后先带上绝对值，然后根据正负去掉绝对值符号。1 1 3 1 6 (2)2 3 ? 3 1.5 ? 6 12＝2 ? 3 2 ? ） ? 3 ? 22） （ 3（ 2＝21 1 1－ ＋ 3 3?31 1 1 ＋ ＋ 2 3 6＝2 ? 3＝6要求：例 3 学生先练习，后讲评，讲评时需向学生强调求值过程中的变形技巧。 （III）课堂练习 计算下列各式：1 2 31 4 1 － （1 16 －（ ）－（ ）3 ） 16 2 4 （2） 5 ? 3 ? ( ) 0 ]? 2 [? 15要求：学生板演练习，做完后老师讲评。 （IV）课时小结 通过本节学习，要求大家能够熟练运用有理数幂运算性质进行化简、求值，并掌握一定的解题技巧，如凑 完全平方、寻求同底幂等方法。 （V）课后作业 课本 P59 习题 2.1A 组题第 4 题专心爱心用心34 2.1.2 指数函数及其性质（第一课时） 教学目标：1、理解指数函数的概念 2、根据图象分析指数函数的性质 3、应用指数函数的单调性比较幂的大小 教学重点：指数函数的图象和性质 教学难点：底数 a 对函数值变化的影响 教学方法：学导式 （一）复习： （提问） 引例 1：某种细胞分裂时，由 1 个分裂成 2 个，2 个分裂成 4 个??1 个这样的细胞分裂 x 次后，得到的细 胞个数 y 与 x 的函数关系式是： y ? 2 ．x这个函数便是我们将要研究的指数函数，其中自变量 x 作为指数，而底数 2 是一个大于 0 且不等于 1 的常 量。 （二）新课讲解： 1．指数函数定义： 一般地，函数 y ? a （ a ? 0 且 a ? 1 ）叫做指数函数，其中 x 是自变量，函数定义域是 R ．x练习：判断下列函数是否为指数函数。 ①y?x ⑤ y ??2② y ?8 ⑥y?5x xx③ y ? (2a ? 1) （ a ?xx2 x 2 ?1⑦y?xx1 x 且 a ? 1 ）④ y ? (?4) 2 x ⑧ y ? ?10 ．2.指数函数 y ? a （ a ? 0 且 a ? 1 ）的图象： 例 1．画 y ? 2 的图象（图（1）． ） 解：列出 x, y 的对应表，用描点法画出图象x y ? 2x? ?-3 0.13-2 0.25-1.5 0.35-1 0.5-0.5 0.710 10.5 1.41 21.5 2.82 43 8? ?1 y ? ( )x 2y ? 2x图（1） 例 2．画 y ? ( ) 的图象（图（1）． ）x1 2x1 y ? ( )x 2? ?x-3 8-2 4-1.5 2.8-1 2-0.5 1.40 10.5 0.711 0.51.5 0.352 0.253 0.13? ?1 x 2 说明：一般地， 函数 y ? f ( x) 与 y ? f (? x) 的图象关于 y 轴对称。指出函数 y ? 2 与 y ? ( ) 图象间的关系？专心 爱心 用心 35 3．指数函数 y ? a 在底数 a ? 1 及 0 ? a ? 1这两种情况下的图象和性质：xa ?10 ? a ?1图 象性 质（1）定义域： R （2）值域： (0, ??) （3）过点 (0,1) ，即 x ? 0 时 y ? 1 （4）在 R 上是增函数x（4）在 R 上是减函数例 3．已知指数函数 f ( x) ? a (a ? 0, a ? 1) 的图象经过点 (3, ? ) ，求 f (0), f (1), f (?3) 的值（教材第 56 页例 6） 。 例 4．比较下列各题中两个值的大小：(1)1.72.5 ,1.73 ；(2)0.8?0.1 , 0.8?0.2(3)1.70.3 , 0.93.1（教材第 57 页例 7） 小结：学习了指数函数的概念及图象和性质； 练习：教材第 58 页练习第 1 题。 作业：教材第 59 页习题 2.1A 组 第 5、7 题专心爱心用心36 2.1.2 指数函数及其性质（第二课时） 教学目标：1.熟练掌握指数函数概念、图象、性质； 2.能求由指数函数复合而成的函数定义域、值域； 3.掌握比较同底数幂大小的方法； 4.培养学生数学应用意识。 教学重点：指数函数性质的运用 教学难点：指数函数性质的运用 教学方法：学导式 （一）复习： （提问） 1．指数函数的概念、图象、性质 2．练习： （1）说明函数 y ? 4? x ?3图象与函数 y ? 4 图象的关系； ；?x（2）将函数 y ? ( ) 图象的左移 2 个单位，再下移 1 个单位所得函数的解析式是2x1 3（3）画出函数 y ? ( ) 的草图。x1 2（二）新课讲解： 例 1．某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过 1 年剩留的这种物质是原来的 84%，画出这种物质的 剩留量随时间变化的图象，并从图象上求出经过多少年，剩量留是原来的一半（结果保留 1 个有效 数字） 。 分析：通过恰当假设，将剩留量 y 表示成经过年数 x 的函数，并可列表、描点、作图，进而求得所求。 解：设这种物质量初的质量是 1，经过 x 年，剩留量是 y . 经过 1 年，剩留量 y =1×84%=0.84 ； 经过 2 年，剩留量 y =1×84%=0.84 ； ?? 一般地，经过 x 年，剩留量 y ? 0.84 ，x2 1根据这个函数关系式可以列表如下：x y0 1x1 0.842 0.713 0.594 0.505 0.426 0.35用描点法画出指数函数 y ? 0.84 的图象。从图上看出 y ? 0.5 ，只需 x ? 4 . 答：约经过 4 年，剩留量是原来的一半。 例 2． 说明下列函数的图象与指数函数 y ? 2 的图象的关系，并画出它们的示意图：x（1） y ? 2x ?1；x ?1 ?2（2） y ? 2xx?2．解： （1）比较函数 y ? 2与 y ? 2 的关系：y?2?3?1与 y ? 2 相等， 与 y ? 2 相等， ???1y?2?2 ?1y ? 22?1 与 y ? 23 相等 ，由此可以知道，将指数函数 y ? 2 的图象向左平移 1x个单位长度， 就得到函数 y ? 2x ?1的图象。x?2（2）比较函数 y ? 2与 y ? 2 的关系：xy ? 2?1? 2 与 y ? 2?3 相等，专心 爱心 用心 37 y ? 20? 2 与 y ? 2?2 相等， y ? 23? 2 与 y ? 21 相等 ，x??x?2由此可以知道，将指数函数 y ? 2 的图象向右平移 2 个单位长度，就得到函数 y ? 2 时，将函数 y ? f ( x) 的图象向右平移 | a | 个单位，得到 y ? f ( x ? a) 的图象。 练习：说出下列函数图象之间的关系： （1） y ?的图象。说明： 一般地， a ? 0 时， 当 将函数 y ? f ( x) 的图象向左平移 a 个单位得到 y ? f ( x ? a) 的图象； a ? 0 当1 1 ?x ? x?a 2 2 与 y ? ； （2） y ? 3 与 y ? 3 ； （3） y ? x ? 2 x 与 y ? x ? 2 x ． x ?1 x1例 3．求下列函数的定义域、值域： （1） y ? 8 2 x ?1 （2） y ? 1 ? ( ) ∴x?1 2x（3） y ? 3?x（4） y ?a x ?1 (a ? 0, a ? 1) ． ax ?1解： （1）? 2 x ? 1 ? 0 令t ?1 2原函数的定义域是 {x x ? R, x ? } ，1 21 则 t ? 0, t ? R 2x ?1 t ∴ y ? 8 (t ? R, t ? 0) 得 y ? 0, y ? 1 ，所以，原函数的值域是 { y y ? 0, y ? 1} ． （2）?1 ? ( ) ? 0x1 2∴x?0原函数的定义域是 ? 0, ?? ? ， ∴ 0 ? y ? 1，令 t ? 1 ? ( ) ( x ? 0)x所以，原函数的值域是 ? 0,1? ． （3）原函数的定义域是 R ， 令t ? ? x 则 t ? 0 ， ? y ? 3 在 ? ??, 0 ? 是增函数， ∴ 0 ? y ? 1 ，t1 2则 0 ? t ? 1 ， ? y ? t 在 ? 0,1? 是增函数所以，原函数的值域是 ? 0,1? ． （4）原函数的定义域是 R ，a x ?1 y ?1 (a ? 0, a ? 1) 得 a x ? ? ， x a ?1 y ?1 y ?1 ∴? ∴ ?1 ? y ? 1 ，所以，原函数的值域是 ? ?1,1? ． ? 0， ?ax ? 0 y ?1由y? 说明：求复合函数的值域通过换元可转换为求简单函数的值域。 小结：1．学会怎样将应用问题转化为数学问题及利用图象求方程的解； 2．学会灵活地应用指数函数的性质比较幂的大小及求复合函数的值域。 3．了解函数 y ? f ( x) 与 y ? f (? x) 及函数 y ? f ( x) 与 y ? f ( x ? a) 图象间的关系。 作业：习题 2.1 第 6、8、9 题专心爱心用心38 2.1.2 指数函数及其性质（第三课时） 教学目标：1.掌握指数形式的复合函数的单调性的证明方法； 2.掌握指数形式的复合函数的奇偶性的证明方法； 3.培养学生的数学应用意识。 教学重点：函数单调性、奇偶性的证明通法 教学难点：指数函数性质的运用 教学方法：学导式 （一）复习： （提问） 1.指数函数的图象及性质 2.判断及证明函数单调性的基本步骤：假设→作差→变形→判断 3.判断及证明函数奇偶性的基本步骤： （1）考查函数定义域是否关于原点对称； （2）比较 f (? x) 与 f ( x) 或者 ? f ( x) 的关系； （3）根据函数奇偶性定义得出结论。 （二）新课讲解： 例 1．当 a ? 1 时，证明函数 y ?ax ?1 是奇函数。 a x ?1x 证明：由 a ? 1 ? 0 得， x ? 0 ，故函数定义域 {x x ? 0} 关于原点对称。a ? x ? 1 (a ? x ? 1)a x 1 ? a x ? f (? x) ? ? x ? ? ? f ( x) a ? 1 (a ? x ? 1)a x 1 ? a x∴ f (? x) ? ? f ( x) ，所以，函数 y ?ax ?1 是奇函数。 a x ?1评析：此题证明的结构仍是函数奇偶性的证明，但在证明过程中的恒等变形用到推广的实数指数幂运 算性质。2 ( x ? R) ， 2 ?1 （1）试证明：对于任意 a, f ( x) 在 R 为增函数； （2）试确定 a 的值，使 f ( x) 为奇函数。例 2．设 a 是实数， f ( x) ? a ?x分析：此题虽形式较为复杂，但应严格按照单调性、奇偶性的定义进行证明。还应要求学生注意不同题 型的解答方法。 （1）证明：设 x1 , x2 ? R, x1 ? x2 ，则2 2 ) ? (a ? x2 ) 2 ?1 2 ?1 2 2 ? x2 ? 2 ? 1 2 x1 ? 1 2(2 x1 ? 2 x2 ) ? x1 ， (2 ? 1)(2 x2 ? 1) x x x x x 由于指数函数 y ? 2 在 R 上是增函数，且 x1 ? x2 ，所以 2 1 ? 2 2 即 2 1 ? 2 2 ? 0 ， x ?1 x ?1 x 又由 2 ? 0 ，得 2 1 ? 0 ， 2 2 ? 0 ，所以， f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ． 因为此结论与 a 取值无关，所以对于 a 取任意实数， f ( x) 在 R 为增函数。f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? (a ?x1评述：上述证明过程中，在对差式正负判断时，利用了指数函数的值域及单调性。专心 爱心 用心 39 （2）解：若 f ( x) 为奇函数，则 f (? x) ? ? f ( x) ，2 ? 2x 2 2(2 x ? 1) 2 2 ， ? x ? x ? ?(a ? x ) ，变形得： 2a ? ? x (2 ? 1) ? 2 x 2 ? 1 2 ?1 2? x ? 1 2 ?1 解得： a ? 1 ，所以，当 a ? 1 时, f ( x) 为奇函数。 评述：此题并非直接确定 a 值，而是由已知条件逐步推导 a 值。应要求学生适应这种题型。 x ?1 练习： （1）已知函数 f ( x) 为偶函数，当 x ? (0, ??) 时， f ( x) ? ?2 ,求当 x ? (??, 0) 时， f ( x) 的解析即a? 式。 （2）判断 y ? a (a ? 0, a ? 1) 的单调区间。 小结：灵活运用指数函数的性质，并掌握函数单调性，奇偶性证明的通法。 作业： （补充） 1．已知函数 f ( x) ?x2 ? 4 x2x ? 1 ， 2x ? 1（1）判断函数 f ( x) 的奇偶性； （2）求证函数 f ( x) 在 x ? (??, ??) 上是增函数。 2．函数 y ? 32 x 2 ?3 x ? 6的单调递减区间是．3.已知函数 f ( x) 定义域为 R ，当 x ? 0 时有 f ( x) ? ( )1 3x2 ? x，求 f ( x) 的解析式。专心爱心用心40 §2．2 对数函数 2.2.1 对数与对数运算（三课时） 教学目标：1．理解并记忆对数的定义，对数与指数的互化，对数恒等式及对数的性质． 2．理解并掌握对数运算法则的内容及推导过程． 3．熟练运用对数的性质和对数运算法则解题． 4．对数的初步应用. 教学重点：对数定义、对数的性质和运算法则 教学难点：对数定义中涉及较多的难以记忆的名称，以及运算法则的推导 教学方法：学导式 教学过程设计 第一课时 师： （板书）已知国民生产总值每年平均增长率为 7.2％，求 20 年后国民生产总值是原来的多少倍？ 20 生：设原来国民生产总值为 1，则 20 年后国民生产总值 y=（1+7.2％） =1.07220，所以 20 年后国民 20 生产总值是原来的 1.072 倍． 师：这是个实际应用问题，我们把它转化为数学中知道底数和指数，求幂值的问题．也就是上面学习 的指数问题． 师： （板书） 已知国民生产总值每年平均增长率为 7.2％， 问经过多年年后国民生产总值是原来的 4 倍？ 师： （分析）仿照上例，设原来国民生产总值为 1，需经 x 年后国民生产总值是原来的 4 倍．列方程 x 得:1.072 =4． 我们把这个应用问题转化为知道底数和幂值，求指数的问题，这是上述问题的逆问题，即本节的对数 问题． 师： （板书）一般地，如果 a（a＞0，a≠1）的 x 次幂等于 N，就是 a ? N ，那么数 x 就叫做以 a 为底 N 的对数，记作 x=logaN，其中 a 叫做对数的底数，N 叫做真数，式子 logaN 叫做对数式． 对数这个定义的认识及相关例子: (1)对数式 logaN 实际上就是指数式中的指数 x 的一种新的记法． (2)对数是一种新的运算．是知道底和幂值求指数的运算．x实际上 a ? N 这个式子涉及到了三个量 a，x，N，由方程的观点可得“知二求一” ．知道 a，x 可求 N，x即前面学过的指数运算；知道 x（为自然数时） 可求 a，即初中学过的开根号运算，记作 N ? a ；知 、N 道 a,N 可以求 x，即今天要学习的对数运算，记作 logaN= x．因此，对数是一种新的运算，一种知道底和 幂值求指数的运算．而每学一种新的运算，首先要学习它的记法，对数运算的记法为 logaN，读作：以 a 为底 N 的对数．请同学注意这种运算的写法和读法． 师：下面我来介绍两个在对数发展过程中有着重要意义的对数． 师： （板书）对数 logaN（a＞0 且 a≠1）在底数 a=10 时，叫做常用对数，简记 lgN；底数 a=e 时，叫 做自然对数，记作 lnN，其中 e 是个无理数，即 e≈2.718 28??． 师：实际上指数与对数只是数量间的同一关系的两种不同形式．为了更深入认识并记忆对数这个概念， 请同学们填写下列表格．x式子 指数式 对数式 a =N logaN=xx名称 a x N练习 1 把下列指数式写成对数形式：1 ?1? (1)5 ? 625;(2)2 ? ;(3) ? ? ? 5.73 64 ?3?4 ?6m练习 2 把下列对数形式写成指数形式：(1) log 1 16 ? ?4;(2) lg 0.01 ? ?2;(3) ln10 ? 2.3032练习 3 求下列各式的值：专心 爱心 用心41 （两名学生板演练习 1，2 题（过程略） ，一生板演练习三． ） 2 因为 2 =4，所以以 2 为底 4 的对数等于 2．因为 5 =125，所以以 5 为底 125 的对数等于 3． （注意纠正学生的错误读法和写法． ） 例题（教材第 63 页例题 2） 师：由定义，我们还应注意到对数式 logaN=b 中字母的取值范围是什么？ 生：a＞0 且 a≠1；x∈R；N∈R． 师：N∈R？（这是学生最易出错的地方，应一开始让学生牢牢记住真数大于零． ） x 生：由于在实数范围内，正数的任何次幂都是正数，因而 a =N 中 N 总是正数． 师：要特别强调的是：零和负数没有对数． 师：定义中为什么规定 a＞0，a≠1？ （根据本班情况决定是否设置此问． ） 生：因为若 a＜0，则 N 取某些值时，x 可能不存在，如 x=log（-2）8 不存在；若 a=0，则当 N 不为 0 时， x 不存在，如 log02 不存在；当 N 为 0 时，x 可以为任何正数，是不唯一的，即 log00 有无数个值；若 a=1， N 不为 1 时，x 不存在，如 log13 不存在，N 为 1 时，x 可以为任何数，是不唯一的，即 log11 有无数多个 值．因此，我们规定：a＞0，a≠1． x （此回答能培养学生分类讨论的数学思想．这个问题从 a =N 出发回答较为简单． ） 练习 4 计算下列对数： lg10000，lg0.01， 2 2 ， 3 3 ， 10 ，5 师：请同学说出结果，并发现规律，大胆猜想． 生： 2 生： 3log 2 4 log 4log 27 lg105 1og5 11253．=4．这是因为 log24=2，而 2 =4． =27．这是因为 log327=3，而 3 =27． =105．log N 1og 112532log3 27生： 10lg105生：我猜想 a a ? N ，所以 5 5 =1125． 师：非常好．这就是我们下面要学习的对数恒等式． 师： （板书） ． a loga N ? N （a＞0，a≠1，N＞0）（用红笔在字母取值范围下画上曲线） （再次鼓励学生，并提出更高要求，给出严格证明．（学生讨论，并口答． ） ） 生： （板书） 证明：设指数等式 a =N，则相应的对数等式为 logaN=b，所以 a = a a ? N 师：你是根据什么证明对数恒等式的？ 生：根据对数定义． b 师： （分析小结）证明的关键是设指数等式 a =N．因为要证明这个对数恒等式，而现在我们有关对数的 知识只有定义，所以显然要利用定义加以证明．而对数定义是建立在指数基础之上的，所以必须先设出指 数等式，从而转化成对数等式，再进行证明． 师：掌握了对数恒等式的推导之后，我们要特别注意此等式的适用条件． 生：a＞0，a≠1，N＞0． 师：接下来观察式子结构特点并加以记忆． （给学生一分钟时间． ） log 8 log 2 师： （板书）2 2 =？2 4 =？ log 8 log 2 生：2 2 =8；2 4 =2． 师：第 2 题对吗？错在哪儿？b blog N师： （继续追问）在运用对数恒等式时应注意什么？专心 爱心 用心 42 （经历上面的错误，使学生更牢固地记住对数恒等式． ） 生：当幂的底数和对数的底数相同时，才可以用公式 a a ? N ． （师用红笔在两处 a 上重重地描写． ） 师：最后说说对数恒等式的作用是什么？ 生：化简！ 师：请打开书 64 页，做练习 4． 师：对对数的定义我们已经有了一定认识，现在，我们根据定义来进一步研究对数的性质． 师：负数和零有没有对数？并说明理由． x 生：负数和零没有对数．因为定义中规定 a＞0，所以不论 x 是什么数，都有 a ＞0，这就是说，不论 x x 是什么数，N=a 永远是正数．因此，由等式 x=logaN 可以看到，负数和零没有对数． 师：非常好．由于对数定义是建立在指数定义的基础之上，所以我们要充分利用指数的知识来研究对 数． 师： （板书）性质 1：负数和零没有对数． 师：1 的对数是多少？ 0 生：因为 a =1（a＞0，a≠1） ，所以根据对数定义可得 1 的对数是零． 师： （板书）1 的对数是零． 师；底数的对数等于多少？ 1 生：因为 a =a，所以根据对数的定义可得底数的对数等于 1． 师： （板书）底数的对数等于 1． 师：给一分钟时间，请牢记这三条性质． 练习：课本第 64 页练习 1、2、3、4 题。 作业：课本第 74 页习题 2.2A 组题第 1、2 题。log N第二课时专心 爱心 用心 43 师：在初中，我们学习了指数的运算法则，请大家回忆一下． 生： a ? a ? am n m? n(m,n∈Z)； (a ) ? am nmn(m,n∈Z)； (ab) ? a ? bn nn(n∈Z)，师：下面我们利用指数的运算法则，证明对数的运算法则． （板书） （1）正因数积的对数等于同一底数各个因数的对数的和，即 loga（MN）=logaM+logaN． （请两个同学读法则（1） ，并给时间让学生讨论证明． ） 师：我们要证明这个运算法则，用眼睛一瞪无从下手，这时我们该想到，关于对数我们只学了定义和 性质，显然性质不能证明此式，所以只有用定义证明．而对数是由指数加以定义的，显然要利用指数的运 算法则加以证明，因此，我们首先要把对数等式转化为指数等式． p q 师： （板书）设 logaM=p，logaN=q，由对数的定义可以写成 M=a ，N=a ．所以 p q p+q M?N=a ?a =a ， 所以 loga（M?N）=p+q=logaM+logaN． 即 loga（MN）=logaM+logaN． 师：这个法则的适用条件是什么？ 生：每个对数都有意义，即 M＞0，N＞0；a＞0 且 a≠1． 师：观察法则（1）的结构特点并加以记忆． 生：等号左端是乘积的对数，右端是对数的和，从左往右看是一个降级运算． 师：非常好．例如， （板书）log2（32×64）=？ 生：log2（32×64）=log232+log264=5+6=11． 师：通过此例，同学应体会到此法则的重要作用――降级运算．它使计算简化． 师： （板书）log62+log63=？ 生：log62+log63=log6（2×3）=1． 师：正确．由此例我们又得到什么启示？ 生：这是法则从右往左的使用．是升级运算． 师：对．对于运算法则（公式） ，我们不仅要会从左往右使用，还要会从右往左使用．真正领会法则的 作用！ 师： （板书） （2）两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数．师：仿照研究法则（1）的四个步骤，自己学习． （给学生三分钟讨论时间． ） p q 生： （板书）设 logaM=p，logaN=q．根据对数的定义可以写成 M=a ，N=a ．所以师：非常好．他是利用指数的运算法则和对数的定义加以证明的．大家再想一想，在证明法则（2）时， 我们不仅有对数的定义和性质，还有法则（1）这个结论．那么，我们是否还有其它证明方法？ 生： （板书）师：非常漂亮．他是运用转化归结的思想，借助于刚刚证明的法则（1）去证明法则（2） ．他的证法要 比书上的更简单．这说明，转化归结的思想，在化难为易、化复杂为简单上的重要作用．事实上，这种思 想不但在学习新概念、新公式时常常用到，而且在解题中的应用更加广泛． 师：法则（2）的适用条件是什么？ 生：M＞0，N＞0；a＞0 且 a≠1． 师：观察法则（2）的结构特点并加以记忆． 生：等号左端是商的对数，右端是对数的差，从左往右是一个降级运算，从右往左是一个升级运算．专心 爱心 用心 44 师： （板书）lg20-lg2=？师：可见法则（2）的作用仍然是加快计算速度，也简化了计算的方法． 师： （板书） 例 1 计算：（学生上黑板解，由学生判对错，并说明理由．： ） （1）log93+log927=log93×27=log981=2；（3）log2（4+4）=log24+log24=4；生：第（2）题错！在同底的情况下才能运用对数运算法则． （板书）生：第（3）题错！法则（1）的内容是：生：第（4）题错！法则（2）的内容是：师：通过前面同学出现的错误，我们在运用对数运算法则时要特别注意什么？ 生：首先，在同底的情况下才能从右往左运用法则（1）（2） 、 ；其次，只有在正因数的积或两个正数的 商的对数的情况下，才能从左往右运用运算法则（1）（2） 、 ． 师： （板书） （3）正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数．即 n loga（N） =n?logaN． 师：请同学们自己证明（给几分钟时间） 师：法则（3）的适用条件是什么？ 生：a＞0，a≠1；N＞0． 师：观察式子结构特点并加以记忆． 生：从左往右仍然是降级运算． 5 3 师：例如， （板书）log332=log52 =5log52．练习计算（log232） ． （找一好一差两名学生板书． ） 3 5 3 15 错解： （log232） =log2（2 ） =log22 =15． 3 5 3 3 3 正确解： （log232） =（log22 ） =（5log22） =5 =125． （师再次提醒学生注意要准确记忆公式． ）专心 爱心 用心 45 师： （板书） （4）正数的正的方根的对数等于被开方数的对数除以根指数．即师：法则（4）的适用条件是什么？ 生：a＞0，a≠1；N＞0． α 师：法则（3）和法则（4）可以合在一起加以记忆．即 logaN =α logaN（α ∈R）（师板书） ． 例 2 用 logax，logay，logaz 表示下列各式：解：（注意（3）的第二步不要丢掉小括号． ） 例 3 计算： 解： （生板书） 7 5 7 5 （1）log2（4 ×2 ）=log24 +log22 =7log24+5log22=7×2+5×1=19．师：请大家在笔记本上小结这节课的主要内容． 小结：通过本节课，应使学生明确如何学习一种运算（从定义、记法、性质、法则等方面来研究） ；如 何学习公式或法则（从公式推导，适用条件，结构特点和记忆以及公式作用四方面来研究） ．针对高中数 学内容多、密度大、进度快的特点，应使学生尽早地掌握适应高中数学的学习方法． 练习：课本第 68 页练习第 1、2、3 题。 作业：课本第 74 页习题 2.2A 组题第 3、4、5 题。专心爱心用心46 第三课时 简略教案设计说明： （1）对数换底公式（教材第 64 页“探究性问题” ） 解决课本第 68 页练习第 4 题和第 75 页第 11 题，另外补充公式： log am bn ?n log a b 及应用。 m（2）对数及对数运算性质的初步应用，解决课本第 66 页例 5 和例 6，使学生体会数学来源于生活而又 应用于生活的实际意义，并培养学生学习数学的兴趣。专心爱心用心47 2.2 对数函数（三课时） 第一课时 教学任务： （1）通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体 会对数函数是一类重要的函数模型； （2） 能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象， 探索并了解对数函数的单调性与特殊点； （3）通过比较、对照的方法，引导学生结合图象类比指数函数，探索研究对数函数的性质，培 养学生数形结合的思想方法，学会研究函数性}
高中数学 全部教案 新人教A版必修1
第一章§1．1 集合 1.1.1 集合的含义与表示（第一课时） 教学目标：1.理解集合的含义。集合与函数概念2.了解元素与集合的表示方法及相互关系。 3.熟记有关数集的专用符号。 4.培养学生认识事物的能力。 教学重点：集合含义 教学难点：集合含义的理解 教学方法：尝试指导法 教学过程： 引入问题 （I）提出问题 问题 1：班级有 20 名男生，16 名女生，问班级一共多少人？ 问题 2：某次运动会上，班级有 20 人参加田赛，16 人参加径赛，问一共多少人参加比赛？ 讨论问题：按小组讨论。 归纳总结：问题 2 已无法用学过的知识加以解释，这是与集合有关的问题，因此需用集合的语言加以描述 （板书标题） 。 复习问题 问题 3： 在小学和初中我们学过哪些集合？ （数集， 点集） 如自然数的集合， （ 有理数的集合， 不等式 x ? 7 ? 3 的解的集合，到一个定点的距离等于定长的点的集合，到一条线段的两个端点距离相等的点的集合等等） 。 （II）讲授新课 1．集合含义 观察下列实例 （1）1~20 以内的所有质数； （2）我国从
年的 13 年内所发射的所有人造卫星； （3）金星汽车厂 2003 年生产的所有汽车； （4）2004 年 1 月 1 日之前与我国建立外交关系的所有国家； （5）所有的正方形； （6）到直线 l 的距离等于定长 d 的所有的点； （7）方程 x ? 3x ? 2 ? 0 的所有实数根； （8）银川九中 2004 年 8 月入学的高一学生全体。2通过以上实例，指出： （1）含义：一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集） 。 说明：在初中几何中，点，线，面都是原始的，不定义的概念，同样集合也是原始的，不定义的概念， 只可描述，不可定义。 （2）表示方法：集合通常用大括号{ a,b,c?表示。 问题 4：由此上述例中集合的元素分别是什么？ 2. 集合元素的三个特征 问题：专心 爱心 用心 1}或大写的拉丁字母 A,B,C?表示，而元素用小写的拉丁字母 （1）A={1，3}，问 3、5 哪个是 A 的元素？ （2）A={所有素质好的人}，能否表示为集合？B={身材较高的人}呢？ （3）A={2，2，4}，表示是否准确？ （4）A={太平洋，大西洋}，B={大西洋，太平洋}，是否表示为同一集合？ 由以上四个问题可知，集合元素具有三个特征： （1） 确定性： 设 A 是一个给定的集合，a 是某一具体的对象，则 a 或者是 A 的元素，或者不是 A 的元素，两种情况 必有一种而且只有一种成立。 如： “地球上的四大洋” （太平洋,大西洋，印度洋，北冰洋） “中国古代四大发明” （造纸，印刷，火药，指南针）可以构成集合，其元素具有确定性；而“比较大 的数”“平面点 P 周围的点”一般不构成集合 ， 元素与集合的关系：(元素与集合的关系有“属于 ? ”及“不属于 ? 两种) 若 a 是集合 A 中的元素，则称 a 属于集合 A，记作 a ? A； 若 a 不是集合 A 的元素，则称 a 不属于集合 A，记作 a ? A。 如 A={2，4，8，16}，则 4 ? A，8 ? A，32 ? A.(请学生填充)。 （2） 互异性：即同一集合中不应重复出现同一元素。 说明:一个给定集合中的元素是指属于这个集合的互不相同的对象.因此,以后提到集合中的两个元素 时,一定是指两个不同的元素. 如:方程(x-2)(x-1) =0 的解集表示为 ? 1,-22? ,而不是 ?1,1,-2?（3）无序性: 即集合中的元素无顺序,可以任意排列，调换.。 3.常见数集的专用符号 N：非负整数集（自然数集） N*或 N+：正整数集，N 内排除 0 的集 Z：整数集 Q：有理数集 R：全体实数的集合 （III）课堂练习 1.课本 P2、3 中的思考题 2.补充练习： （1） 考察下列对象是否能形成一个集合？ ① 身材高大的人 ②所有的一元二次方程 ③ 直角坐标平面上纵横坐标相等的点 ④细长的矩形的全体 ⑤ 比 2 大的几个数 ⑥ 2 的近似值的全体 ⑦ 所有的小正数 ⑧所有的数学难题 （2） 给 出 下 面 四 个 关 系 : 3 ? R,0.7 ? Q,0 ? {0},0 ? N, 其 中 正 确 的 个 数 是:( ) A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个 （3） 下面有四个命题: ①若-a ? Ν ,则 a ? Ν ②若 a ? Ν ,b ? Ν ,则 a+b 的最小值是 2 2 ③集合 N 中最小元素是 1 ④ x +4=4x 的解集可表示为{2,2} 其中正确命题的个数是( ) A． 0 B． 1 C． 2 D． 3 （IV）课时小结 1.集合的含义； 2.集合元素的三个特征中，确定性可用于判定某些对象是否是给定集合的元素，互异性可用于简化集专心 爱心 用心 2 合的表示，无序性可用于判定集合的关系。 3.常见数集的专用符号. （V）课后作业 一、 书面作业 1. 教材 P11，习题 1.1 A 组第 1 题 2. 由实数-a, a, a , a , - 5 a 为元素组成的集合中,最多有几个元素? 分别为 什么? 3. 求集合{2a,a +a}中元素应满足的条件? 4. 若2 2 51? t ? {t},求 t 的值. 1? t1.1.1 集合的含义与表示（第二课时）专心 爱心 用心 3 教学目标： 1.掌握集合的两种常用表示方法（列举法和描述法） 2.通过实例能使学生选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受 集合语言的意义和作用 教学重点：集合的两种常用表示方法（列举法和描述法） 教学难点：集合的两种常用表示方法（列举法和描述法）的理解 教学方法：尝试指导法和讨论法 教学过程： （I）复习回顾 问题 1：集合元素的特征有哪些？怎样理解，试举例说明. 问题 2：集合与元素关系是什么？如何表示？ 问题 3：常用的数集有哪些？如何表示？ （II）引入问题 问题 4：在初中学正数和负数时，是如何表示正数集合和负数集合的? 如表示下列数中的正数 4.8,-3, 2 ,-0.5, 方法 1: 4.8, 1 ,+73,3.1,31 ,+73,3.1 32方法 2:{4.8, 2 ,1 ,+73,3.1} 3问题 5：在初中学习不等式时,如何表示不等式 x+3&6 的解集?（可表示为:x&3） (III) 讲授新课 一、集合的表示方法 问题 4 中，方法 1 为图示法，方法 2 为列举法. 1. 列举法：把集合中的元素一一列举出来,写在大括号里的方法. 说明：(1)书写时，元素与元素之间用逗号分开； (2)一般不必考虑元素之间的顺序； (3)在表示数列之类的特殊集合时,通常仍按惯用的次序； (4)在列出集合中所有元素不方便或不可能时，可以列出该集合的一部分元素,以提供某种规律, 其余元素以省略号代替； 例 1．用列举法表示下列集合： (1)小于 5 的正奇数组成的集合； (2)能被 3 整除而且大于 4 小于 15 的自然数组成的集合； (3)从 51 到 100 的所有整数的集合； (4)小于 10 的所有自然数组成的集合； (5)方程 x ? x 的所有实数根组成的集合； (6)由 1~20 以内的所有质数组成的集合。2问题 6：能否用列举法表示不等式 x-7&3 的解集? 由此引出描述法。 2. 描述法： 用集合所含元素的共同特征表示集合的方法(即把集合中元素的公共属性描述出来, 写专心 爱心 用心 4 在大括号里的方法)。 表示形式：A={xOp}，其中竖线前 x 叫做此集合的代表元素；p 叫做元素 x 所具有的公共属性；A={x Op}表示集合 A 是由所有具有性质 P 的那些元素 x 组成的，即若 x 具有性质 p，则 x ? A；若 x ? A,则 x 具有性质 p。 说明: (1)有些集合的代表元素需用两个或两个以上字母表示； (2)应防止集合表示中的一些错误。 如，把{(1,2)}表示成{1,2}或{x=1,y=2},{xO1,2}，用{实数集}或{全体实数}表示 R。 例 2．用描述法表示下列集合： (1) 由适合 x -x-2&0 的所有解组成的集合; (2) 到定点距离等于定长的点的集合; (3) 抛物线 y=x 上的点; (4) 抛物线 y=x 上点的横坐标; (5) 抛物线 y=x 上点的纵坐标; 例 3．试分别用列举法和描述法表示下列集合： （1）方程 x ? 2 ? 0 的所有实数根组成的集合； （2）由大于 10 小于 20 的所有整数组成的集合。22 2 2 2二、集合的分类 例 4．观察下列三个集合的元素个数 1. {4.8, 7.3, 3.1, -9}; 由此可以得到 2. {x ? RO0&x&3}; 3. {x ? ROx +1=0}2?有限集 : 含有有限个元素的集合 ? 集合的分类 ?无限集 : 含有无限个元素的集合 ?空集 : 不含有任何元素的集合?(empty ? set ) ?三、文氏图 集合的表示除了上述两种方法以外，还有文氏图法，叙述如下： 画一条封闭的曲线,用它的内部来表示一个集合，如图所示：表示任意一个集合 A 就行，但不能理解成圈内每个点都是集合的元素. (IV)课堂练习 1.课本 P4 思考题和 P6 思考题及练习题。 2.补充练习专心 爱心 用心表示{3，9，27}说明：边界用直线还是曲线，用实线还是虚线都无关紧要，只要封闭并把有关元素统统包含在里边5 a. 方 程 组 ? x ? y ? 5 ? 为 .?x ? y ? 2的 解 集 用 列 举 法表 示 为 ________； 用 描 述 法表 示 .b. {(x,y) Ox+y=6，x、y∈N}用列举法表示为 c.用列举法表示下列集合,并说明是有限集还是无限集? (1){xOx 为不大于 20 的质数}; (3){(x,y) Ox+y=5,xy=6}; d.用描述法表示下列集合,并说明是有限集还是无限集? (1){3,5,7,9}; (2){偶数}; (3){(1,1),(2,4),(3,9),(4,16),?}; e.判断下列集合是有限集还是无限集或是空集? (1){2,4,6,8,?}; (3){x ? ZO-1&x&20}; f.判断下列关系式是否正确? (1) 2 ? Q; (V)课时小结 1.通过学习清楚表示集合的方法，并能灵活运用。 2.注意集合 ? 在解决问题时所起作用。 （VI）课后作业 1.书面作业：课本 P11 习题 1.1 A 组题第 2、3、4 题。 (2) N ? R; (2){xO1&x&2}; (4){x ? NO3&x&4};(2){100 以下的,9 与 12 的公倍数};(3) 2 ? {(2,1)}2(4) 2 ? {{2},{1}}; 年(5) 菱形 ? {四边形与三角形}; (6) 2 ? {yOy=x };1.1.2 集合间的基本关系（1 课时）专心 爱心 用心 6 教学目标：1.理解子集、真子集概念； 2.会判断和证明两个集合包含关系； 3.理解“ ”“ ”的含义； 、 4.会判断简单集合的相等关系； 5.渗透问题相对的观点。 教学重点：子集的概念、真子集的概念 教学难点：元素与子集、属于与包含间区别、描述法给定集合的运算 教学方法：讲、议结合法 教学过程： （I）复习回顾： 问题 1：元素与集合之间的关系是什么? 问题 2：集合有哪些表示方法? 集合的分类如何? （Ⅱ）讲授新课 观察下面几组集合，集合 A 与集合 B 具有什么关系？ (1) A={1，2，3}，B={1，2，3，4，5}. (2) A={x|x&3},B={x|3x-6&0}. (3) A={正方形}，B={四边形}. (4) A= ? ，B={0}. （5）A={银川九中高一（11）班的女生}，B={银川九中高一（11）班的学生} 通过观察就会发现，这五组集合中，集合 A 都是集合 B 的一部分，从而有： 1.子集 定义：一般地，对于两个集合 A 与 B，如果集合 A 中的任何一个元素都是集合 B 的元素， 我们就说集合 A 包含于集合 B， 或集合 B 包含集合 A， 记作 A ? B （或 B ? A） ,即若任意 x ? A, 有 x ? B，则 A ? B(或 A ? B)。 这时我们也说集合 A 是集合 B 的子集。 如果集合 A 不包含于集合 B，或集合 B 不包含集合 A,就记作 A B（或 B A） ，即:若存在 x ? A,有 x ? B，则 A B(或 B A) 说明：A ? B 与 B ? A 是同义的，而 A ? B 与 B ? A 是互逆的。 规定:空集 ? 是任何集合的子集，即对于任意一个集合 A 都有 ? ? A。 例 1．判断下列集合的关系. (1) N_____Z;2(2) N_____Q;(3) R_____Z;2 2 2(4) R_____Q;(5) A={x| (x-1) =0}， (6) A={1,3}， (7) A={-1,1}， （8）A={x|x 是两条边相等的三角形}B={y|y -3y+2=0}; B={x|x -3x+2=0}; B={x|x -1=0}; B={x|x 是等腰三角形}。问题 3：观察（7）和（8） ，集合 A 与集合 B 的元素，有何关系？? 集合 A 与集合 B 的元素完全相同，从而有：2.集合相等 定义： 对于两个集合 A 与 B， 如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素 （即 A ? B） ， 同时集合 B 的任何一个元素都是集合 A 的元素（即 B ? A） ，则称集合 A 等于集合 B，记作 A=B。如：A={x|x=2m+1，m ? Z}，B={x|x=2n-1，n ? Z}，此时有 A=B。 问题 4： （1）集合 A 是否是其本身的子集？（由定义可知，是）专心 爱心 用心 7 （2）除去 ? 与 A 本身外，集合 A 的其它子集与集合 A 的关系如何？（包含于 A，但不等于 A） 3.真子集：由“包含”与“相等”的关系，可有如下结论： (1)A ? A (任何集合都是其自身的子集)； (2)若 A ? B， 而且 A ? B （即 B 中至少有一个元素不在 A 中） 则称集合 A 是集合 B 的真子集， ， 记作 A≠ B。?（空集是任何非空集合的真子集） (3)对于集合 A，B，C，若 A B，B C，即可得出 A C；对 A≠ B，B≠ C，同样有 A≠ C, 即：包含关系 具有“传递性” 。 4.证明集合相等的方法： （1） 证明集合 A，B 中的元素完全相同； （具体数据） （2） 分别证明 A ? B 和 B ? A 即可。 （抽象情况）对于集合 A，B，若 A ? B 而且 B ? A，则 A=B。 （III） 例题分析： 例 2．判断下列两组集合是否相等？ （1）A={x|y=x+1}与 B={y|y=x+1}; (2)A={自然数}与 B={正整数} 例 3．(教材 P7 例 3)写出{a，b}的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集. 例 4．解不等式 x-3&2，并把结果用集合表示。 结论：一般地，一个集合元素若为 n 个，则其子集数为 2 个，其真子集数为 2 -1 个，其 非空子集数为 2 －1 个，其非空真子集数为 2 －2 个，特别地，空集的子集个数为 1，真 子集个数为 0。 (IV) 课堂练习 1.课本 P7，练习 1、2、3; 2.设 A={0，1}，B={x|x ? A}，问 A 与 B 什么关系？ 3.判断下列说法是否正确？ （1）N ? Z ? Q ? R； （3）{圆内接梯形} ? {等腰梯形}； （5） ? ? { ? }； 的值。 （V）课时小结 1. 能判断存在子集关系的两个集合，谁是谁的子集，进一步确定其是否为真子集； 注意：子集并不是由原来集合中的部分元素组成的集合。 （因为： “空集是任何集合的子集” ，但空集 中不含任何元素； 是 A 的子集” “A ，但 A 中含有 A 的全部元素，而不是部分元素） 。 2. 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集； 3． 注意区别“包含于”“包含”“真包含”“不包含” ， ， ， ； 4. 注意区别“ ? ”与“ ? ”的不同涵义。 （ ? 与{ ? }的关系） （VI）课后作业 1. 书面作业 (1)课本 P12，习题 1.1A 组题第 5、6 题。 (2)用图示法表示 （1）A ? B 1.1.3 集合间的基本运算（1 课时） 教学目标：1．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集； 2．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；专心 爱心 用心 8n n n n ? ? ?（2） ? ? A ? A； （4）N ? Z； （6） ? ? { ? }4.有三个元素的集合 A，B，已知 A={2，x，y}，B={2x，2，2y}，且 A=B，求 x，y（2）A B 3．能使用 Venn 图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用； 4．认识由具体到抽象的思维过程，并树立相对的观点。 教学重点：交集与并集概念、补集的概念、数形结合的运用 教学难点：理解交集与并集概念、符号之间的区别与联系，补集的有关运算 教学方法：发现式教学法 教学过程： （I） 复习回顾 问题 1: (1)分别说明 A ? B 与 A=B 的意义； (2)说出集合{1,2,3}的子集、真子集个数及表示； （II）讲授新课 问题 2：观察下面五个图（投影 1）,它们与集合 A,集合 B 有什么关系?图 1―5（1）给出了两个集合 A、B； 图（2）阴影部分是 A 与 B 公共部分； 图（3）阴影部分是由 A、B 组成； 图（4）集合 A 是集合 B 的真子集； 图（5）集合 B 是集合 A 的真子集； 指出：图（2）阴影部分叫集合 A 与 B 的交集；图（3）阴影部分叫集合 A 与 B 的并集.由此可有： 1.并集： 一般地， 由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合， 称为集合 A 与集合 B 的并集， 即 A 与 B 的所有部分，记作 A∪B（读作“A 并 B”，即 A∪B={x|x∈A 或 x∈B}。如上述图 ） （3）中的阴影部分。 2.交集： 一般地，由所有属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素所组成的集合，叫做 A 与 B 的交集， 即 A 与 B 的公共部分， 记作 A∩B （读作 交 B”， A∩B={x|x∈A 且 x∈B}。 “A ）即 如上述图 （2） 中的阴影部分。 3.一些特殊结论 由图 1―5（4）有: 若 A ? B ,则 A∩B=A； 由图 1―5（5）有: 若 B ? A ,则 A ? B=A； 特别地，若 A，B 两集合中，B= ? ，,则 A∩ ? = ? , A ? ? =A。4.例题解析 (师生共同活动)专心爱心用心9 例 1．设 A={x|x&-2}，B={x|x&3},求 A∩B。 [涉及不等式有关问题，利用数形结合即运用数轴是最佳方案](图 1―6) 解：在数轴上作出 A、B 对应部分如图 A∩B={x|x&-2}∩ {x|x&3}={x|-2&x&3}。 例 2．设 A={x|x 是等腰三角形}，B={x|x 是直角三角形}，求 A∩B。 [此题运用文氏图，其公共部分即为 A∩B].(图 1--7) 解：A∩B={x|x 是等腰三角形}∩{x|x 是直角三角形} ={x|x 是等腰直角三角形}。 例 3．设 A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，求 A∪B。 [运用文氏图解答该题](图 1--8) 解：?A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，则 A∪B={4，5，6，8}∪ {3，5，7，8}={3，4，5，6，7，8}。 例 4．设 A={x|x 是锐角三角形}，B={x|x 是钝角三角形}，求 A∪B。 解：A∪B={x|x 是锐角三角形}∪{x|x 是钝角三角形}={x|x 是斜三角 形}。 例 5．设 A={x|-1&x&2},B={x|1&x&3},求 A∪B。 [利用数轴，将 A、B 分别表示出来，则阴影部分即为所求](图 1 ―9) 解：A∪B={x|-1&x&2}∪{x|1&x&3}={x|-1&x&3}. 例 6．教材 P9 例 7。 问题 3: 请看下例 A={班上所有参加足球队同学} B={班上没有参加足球队同学} S={全班同学} 那么 S、A、B 三集合关系如何.分析：(借助于文氏图)集合 B 就是集合 S 中除去集合 A 之后余下来的集合，则有 5.全集 如果一个集合含有我们所要研究问题中所涉及的全部元素，那么就称这个集合为全 集，记作 U。如：解决某些数学问题时，就可以把实数集看作全集 U，那么有理数集 Q 的 补集 CUQ 就是全体无理数的集合。 6.补集(余集) 一般地，设 U 是一个集合，A 是 U 的一个子集（即 A S） ，由 U 中所有不属于 A 的元 素组成的集合，叫做 U 中集合 A 的补集（或余集） ，记作 CUA，即 CUA={x|x∈U，且 x A} 图 1―3 阴影部分即表示 A 在 U 中补集 CUA。 7.举例说明 例 7、例 8 见教材 P11 例 8、例 9。专心爱心用心10 补充例题：解答下列各题： （1）若 S={2，3，4}，A={4，3}，则 CSA={2} ； （2）若 S={三角形}，B={锐角三角形}，则 CSB={直角三角形或钝角三角形} ； （3）若 S={1，2，4，8}，A=?，则 CSA= S ； （4）若 U={1，3，a +2a+1}，A={1，3}，CUA={5}，则 a=-1 ? 5 ；2（5）已知 A={0，2，4}，CUA={-1，1}，CUB={-1，0，2}，求 B={1，4}； （6）设全集 U={2，3，m +2m-3}，A={|m+1|，2}，CUA={5}，求 m 的值； （m= - 4 或 m=2） （7）已知全集 U={1，2，3，4}，A={x|x -5x+m=0，x∈U}，求 CUA、m； （答案：CUA={2， 3}，m=4；CUA={1，4}，m=6） (8).已知全集 U=R,集合 A={x|0&x-1 ? 5},求 CUA,CU(CUA)。 （III）课堂练习： (1)课本 P11 练习 1―4； (2)补充练习： 1．已知 M={1}，N={1，2}，设 A={（x，y）|x∈M，y∈N}，B={（x，y）|x∈N，y∈M}，求 A∩B，A∪B。 [A∩B={(1,1)},A∪B={(1,1)，(1,2)，(2,1)}] 2．已知集合 M ? {4,7,8},且 M 中至多有一个偶数,则这样的集合共有( A 3个 B 4个2 2 2)；C 6个D5 个3．设集合 A={-1,1}, B={x|x -2ax+b=0}, 若 B ? ? , 且 B ? A , 求 a, b 的值。 (IV) 课时小结 1．在并、交问题求解过程中，充分利用数轴、韦恩图。 2．能熟练求解一个给定集合的补集； 3．注重一些特殊结论在以后解题中应用。(如:CU(CUA)=A) (V)作业 1．书面作业 课本 P12，习题 1.1A 组题第 7--10 题。 2．复习作业: 课本 P12，习题 1.1B 组题及后面的“阅读与思考”――集合中元素的个数。专心爱心用心11 1.2.1 函数的概念（2 课时） 教学目标：1.通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型。 2.了解对应关系在刻画函数概念中的作用。 3.了解构成函数的三要素，会求一些简单函数的定义域和值域。 教学重点：函数概念和函数定义域及值域的求法。 教学难点：函数概念的理解。 教学方法：自学法和尝试指导法 教学过程： （Ⅰ）引入问题 问题 1 初中我们学过哪些函数？（正比例函数、反比例函数、一次函数和二次函数） 问题 2 初中所学函数的定义是什么？（设在某变化过程中有两个变量 x 和 y， ，如果给定了一个 x 的 值，相应地确定唯一的一个 y 值，那么就称 y 是 x 的函数，其中 x 是自变量，y 是因变量） 。 （Ⅱ）函数感性认识 教材例子（1） ：炮弹飞行时间的变化范围是数集 A ? {x 0 ? x ? 26} ，炮弹距地面的高度 h 的变化范2 围是数集 B ? {h 0 ? h ? 845} ，对应关系 h ? 130t ? 5t （*） 。从问题的实际意义可知，对于数集 A 中的任意一个时间 t，按照对应关系（*） ，在数集 B 中都有唯一确定的高度 h 和它对应。 例子（2）中数集 A ? {t 1979 ? t ? 2001} ， B ? {S 0 ? S ? 26} ，并且对于数集 A 中的任意一个时间 t，按图中曲线，在数集 B 中都有唯一确定的臭氧层空洞面积 S 和它对应。 例子（3）中数集 A ? {,?, 2001}, B ? {53.8,52.9,?,37.9(%)} ，且对于数集 A 中的每一 个时间（年份） ，按表格，在数集 B 中都有唯一确定的恩格尔系数和它对应。 （III）归纳总结给函数“定性” 归纳以上三例，三个实数中变量之间的关系都可以描述为两个数集 A、B 间的一种对应关系：对数集 A 中的每一个 x，按照某个对应关系，在数集 B 中都有唯一确定的 y 和它对应，记作 f : A ? B 。 （IV)理性认识函数的定义 设 A、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f : A ? B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作y ? f ( x), x ? A ，其中 x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域，与 x 的值相对应的 y 的值叫做 函数值，函数值的集合 { f ( x) x ? A} 叫做函数的值域。定义域、值域、对应法则，称为函数的三个要素，缺一不可； （1）对应法则 f(x)是一个函数符号，表示为“y 是 x 的函数”,绝对不能理解为“y 等于 f 与 x 的乘积” ， 在不同的函数中，f 的具体含义不一样； y=f(x)不一定是解析式，在不少问题中，对应法则 f 可能不便使用或不能使用解析式，这时就必须 采用其它方式，如数表和图象，在研究函数时，除用符号 f(x)表示外，还常用 g(x)、F(x)、G(x)等符号 来表示； 自变量 x 在其定义域内任取一个确定的值 a 时， 对应的函数值用符号 f(a)来表示。 如函数 f(x)=x +3x+1, 当 x=2 时的函数值是：f(2)=2 +3×2+1=11。 注意：f(a)是常量，f(x)是变量，f(a)是函数 f(x)中当自变量 x=a 时的函数值。 （2）定义域是自变量 x 的取值范围； 注意：①定义域不同，而对应法则相同的函数，应看作两个不同函数； 如：y=x (x ? R )与 y=x (x&0)； y=1 与 y=x2 2 0 2 2②若未加以特别说明，函数的定义域就是指使这个式子有意义的所有实数 x 的集合；在实际中， 还必须考虑 x 所代表的具体量的允许值范围； 如：一个矩形的宽为 xm，长是宽的 2 倍，其面积为 y=2x ，此函数的定义域为 x&0,而不是 x ? R 。2专心爱心用心12 （3）值域是全体函数值所组成的集合，在大多数情况下，一旦定义域和对应法则确定，函数的值域也随 之确定。 (V)区间的概念 设 a、b 是两个实数，且 a&b，规定： （1）满足不等式 a ? x ? b 的实数的 x 集合叫做闭区间，表示为 ?a , b ? ； （2）满足不等式 a ? x ? b 的实数的 x 集合叫做开区间，表示为 ?a , b ? ；（3）满足不等式 a ? x ? b 的实数的 x 集合叫做半开半闭区间，表示为 ?a，b ? ；（4）满足不等式 a ? x ? b 的实数的 x 集合叫做也叫半开半闭区间，表示为 ?a , b ?； 说明：① 对于 ?a , b ? ， ?a , b ? ， ?a，b ? ， ?a , b ?都称数 a 和数 b 为区间的端点，其中 a 为左端点，b 为右端 点，称 b-a 为区间长度； ② 引入区间概念后，以实数为元素的集合就有三种表示方法： 不等式表示法：3&x&7（一般不用） ；集合表示法： x 3 ? x ? 7 ；区间表示法： ?3，? ； 7 ③ 在数轴上，这些区间都可以用一条以 a 和 b 为端点的线段来表示，在图中，用实心点表示包括 在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点； ④ 实数集 R 也可以用区间表示为（-∞，+∞）“∞”读作“无穷大”“-∞”读作“负无穷大” ， ， ， “+∞”读作“正无穷大” ，还可以把满足 x ? a, x&a, x ? b, x&b 的实数 x 的集合分别表示为[a,+∞]、 （a,+ ∞） 、(-∞,b)、(-∞,b)。 例题分析： 例 1．已知函数 f ( x) ? （1）求函数的定义域； （2）求 f (?3), f ( ) 的值； （3）当 a&0 时，求 f (a), f (a ? 1) 的值。 分析：函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如前述的三个实例。如果只给出解析式 y ? f ( x) ， 而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合。 （解略） 例 2．求下列函数的定义域。 （1） f ( x) ???x?3 ?1 ， （教材第 17 页例 1） x?22 31 1 ；(2) f ( x) ? x ? 4 ? x ? 2 ；(3) f ( x) ? x ? 1 ? (1 ? 2 x)( x ? 1) 2? x分析：给定函数时，要指明函数的定义域，对于用解析式表示的函数，如果没有给出定义域，那么就认为 函数的定义域是指使函数有意义的自变量取值的集合。 从上例可以看出，当确定用解析式 y=f(x)表示的函数的定义域时，常有以下几种情况： （1）如果 f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集 R； （2）如果 f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合； （3）如果 f(x)是偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子不小于零的实数的集合； （4）如果 f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集 合（即使每个部分有意义的实数的集合的交集） ； （5）如果 f(x)是由实际问题列出的，那么函数的定义域是使解析式本身有意义且符合实际意义的实数的 集合。 由以上分析可知：函数的定义域由数学式子本身的意义和问题的实际意义决定。专心 爱心 用心 13 例 3．下列函数中，哪个与函数 y=x 是同一函数？（书 P18 例 2） (1) y=( x ) ;2(2) y= 3 x 3 ;(3) y= x 2 ;(4)y= y=x2 . x分析：判断两个函数是否相同，要看定义域和对应法则是否完全相同。只有完全一致时，这两个函数才 算相同。 （解略） 课堂练习：课本 P19 练习 1、2、3。 课时小结： 本节课我们学习了函数的定义（包括定义域、值域的概念）及求函数定义域的方法。函数定义中注意的问 题及求定义域时的各种情形应该予以重视。 课后作业 1、书面作业：课本 P24 习题 1.2A 组题第 1，2，3，4 题；B 组第 1、2 题。专心爱心用心14 1.2.2 函数的表示方法（第一课时） 教学目标：1.进一步理解函数的概念； 2.使学生掌握函数的三种表示方法； 教学重点：函数的表示方法 教学难点：函数三种表示方法的选择 教学方法：自学法和尝试指导法 教学过程： （Ⅰ）引入问题 1.回忆函数的两种定义； 2.函数的三要素分别是什么？ 3．设函数 f ( x ) ? ? （II）讲授新课 函数的三种表示方法 （1）解析法（将两个变量的函数关系，用一个等式表示） ： 如 y ? 3x ? 2 x ? 1, S ? ? r , C ? 2? r , S ? 6t 等。2 2 2? x 2 ? 2( x ? 2) ? 2 x( x ? 2)，则 f (?4) ?，若 f ( x0 ) ? 8 ，则 x0 =。优点： ??简明，全面地概括了变量间的关系； ?可以通过解析式求出任意一个自变量所对应的函数值；如：平方表，三角函数表，利息表，列车时刻表，国民生产总值表等。（2）列表法（列出表格表示两个变量的函数关系） ： 优点：不需要计算，就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值。 （3）图象法（用图象来表示两个变量的函数关系） ：如： 优点：直观形象地表示自变量的变化。 （III）例题分析： 例 1（书 P19）.某种笔记本的单价是 5 元，买 x（ x ?{1, 2,3, 4,5} 个笔记本需要 y 元,试用函数的三种 表示法表示函数 y ? f ( x) 。 解：这个函数的定义域是数集 {1, 2,3, 4,5} ，用解析法可以将函数 y ? f ( x) 表示为y ? 5x ， x ?{1, 2,3, 4,5} 。 用列表法可以将函数 y ? f ( x) 表示为笔记本数 x 钱数 y 图象法略。 1 5 2 10 3 15 4 20 5 25说明：函数的图象通常是一段或几段光滑的曲线，但有时也可以由一些孤立点或几段线段组成。例 2．下表是某校高一（1）班三名同学在高一年度六次数学测试的成绩及班级平均分表。专心 爱心 用心 15 第一次 王伟 张城 赵磊 班级平均分 98 90 68 88.2第二次 87 76 65 78.3第三次 91 88 73 85.4第四次 92 75 72 80.3第五次 88 86 75 75.7第六次 95 80 82 82.6请你对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析。 分析：画出“成绩”与“测试时间”的函数图象，可以直观地看出：王伟同学的数学学习成绩始终高 于班级平均水平，学习情况比较稳定而且成绩优秀。张城同学的数学成绩不稳定，总是在班级平均水平上 下波动，而且波动幅度较大。赵磊同学的数学学习成绩低于班级平均水平，但他的成绩曲线呈上升趋势， 表明他的数学成绩在稳步提高。 （IV）课堂练习：课本 P23 练习 1、2。 （V）课时小结： 本节课我们学习了函数的表示方法。 （VI）课后作业 1、书面作业：课本 P24 习题 1.2 第 5、6、8 题。专心爱心用心16 1.2.2 函数的表示方法（第二课时） 教学目标：1.进一步理解函数的概念； 2.使学生掌握分段函数及其简单应用。 教学重点：分段函数的理解 教学难点：分段函数的图象及简单应用 教学方法：自学法和尝试指导法 教学过程： （Ⅰ）引入问题 1．函数有几种常用的表示方法？它们分别是哪几种？ 2．如何作出函数 y ? x 的图象？ （II）讲授新课 例 1．作出函数 y ? x 的图象和 y ? x ? 1 的图象，并分别求出函数的值域。 注：分段函数的定义域和值域分别是各段函数的定义域和值域的并集。 例 2．国内投寄信函（外埠） ，假设每封信函不超过 20g 时付邮资 80 分；超过 20g 不超过 40g 时付邮资 160 分；依次类推，每封 xg( 0 ? x ? 100 )的信函付邮资为：?80 ( x ? ?0,20 ?) ?160 ( x ? ?20,40 ?) ? ? y ? ?240 ( x ? ?60,80 ?) , ?320 ( x ? ?60,80 ?) ? ?400 ( x ? ?80,100 ?) ?画出这个函数的图象。说明：表示函数的式子也可以不止一个（如例 1 与例 2） ，对于这类分几个式子表示的函数称为分段函数。注意它是一个函数，不要把它误认为是“几个函数” 。 例 3． （教材 P21 例 6） 例 4．作出下列各函数的图象：?1 ? (0 ? x ? 1) （1） f ( x ) ? ? x ； ? x( x ? 1) ?? x 2 ? 2 x( x ? 0) f ( x) ? ? 2 （2） ?? x ? 2 x( x ? 0)对第（2）小题的函数，试根据 a 的取值讨论方程 f ( x) ? a 的根的个数问题。 练习：? x ? 2( x ? ?1) ? 2 1．在函数 f ( x ) ? ? x ( ?1 ? x ? 2) 中，若 f ( x) ? 3 ，则 x 的值为 ? 2 x ( x ? 2) ? ? x ? 1( x ? 0) ? 2．已知 f ( x ) ? ? ? ( x ? 0) ，则 f { f [ f (?1)]} = 。 ? 0( x ? 0) ?作业：课本 P24 习题 1.2 第 7、9 题。。专心爱心用心17 1.2.2 函数的表示方法（第三课时） 教学目标：1.使学生了解映射的概念、表示方法； 2.使学生了解象、原象的概念； 3.使学生通过简单的对应图示了解一一映射的概念； 4.使学生认识到事物间是有联系的，对应、映射是一种联系方式。 教学重点：映射、一一映射的概念 教学难点：映射、一一映射的概念 教学方法：讲授法 教学过程： （I）复习回顾 1：前面学习的元素与集合的关系“∈”“ ” 、 ，集合与集合的关系“ ”“≠ ” 、 ； 、 “?” 2：在初中学过一些对应的例子 （1）对于任何一个实数，数轴上都有唯一的点和它对应； （2）对于坐标平面内的任何一个点，都有唯一有序实数对（x,y）和它对应； （3）对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应； （4）对于任意一个二次函数，相应坐标平面内都有唯一的抛物线和它对应。 （II）讲授新课 1. 映射的概念 a.观察下列对应： （为简明起见，这里的 A、B 都是有限集合）?（对每个对应都要强调对应法则，集合顺序） 问题 1：这四个对应的共同特点是什么？ 对于集合 A 中的任何一个元素，按照某种对应法则?，在集合 B 中都有确定的元素和它对应。 问题 2：观察图（2）（3）（4） 、 、 ，想一想这三个对应有什么共同特点？ 这三个对应的共同特点是：对于左边集合 A 中的任何一个元素，按照某种对应法则?，在右边集合 B 中都 有唯一的元素和它对应。 b.映射的定义专心爱心用心18 一般地，设 A、B 是两个集合，如果按照某种对应法则?，对于集合 A 中的任何一个元素， 在集合 B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合 A、B 及 A 到 B 的对应法 则 f）叫做集合 A 到集合 B 的映射。记作：f：A→B 由此定义： ， ， （2）（3）（4）三个对应都是 A 到 B 的映射， （1）的对应不是 A 到 B 的映射。 （2）f: x ? c.象，原象的概念 给定一个集合 A 到集合 B 的映射，且 a∈A，b∈B。如果在对应法则 f 的作用下，元素 a 和元素 b 对应，则元素 b 叫做元素 a（在 f 下）的象，元素 a 叫做元素 b（在 f 下）的原象。 注意： （1）映射有三个要素：两个集合，一种对应法则，缺一不可； （2）A，B 可以是数集，也可以是点集或其它集合。这两个集合具有先后顺序：符号“f：A→B”表示 A 到 B 的映射，符号“f：B→A”表示 B 到 A 的映射，两者是不同的； （3）集合 A 中的元素一定有象，并且象是唯一的（因此（1）不可以构成映射） ，但两个（或两个以上） 元素可以允许有相同的象（如图（3）； ） 例： “A={0,1,2},B={0,1,1/2},f:取倒数”就不可以构成映射，因为 A 中元素 0 在 B 中无象（4）集合 B 中 的元素在 A 中可以没有原象（如图（4），即使有也可以不唯一（如图（3）； ） ） （5）A={原象}，B ? {象}。 d.例题分析： 例：判断下面的对应是否为集合 A 到集合 B 的映射,并说明理由（投影 3） 。 （1）设 A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7，8，9}。f: x ? 2x ? 1; （2）设 A=N ，B={0，1}，f: x ? x除以2得的余数 ；*(3)f: x ?2(4)f: x ? 2x（3）设 A={1，2，3，4}，B={1，1 1 1 , ， }，f: x ? x取倒数 ； 2 3 4（4）设 A={ ( x , y) x ? 2, x ? y ? 3, x ? Z, y ? N }，B={0,1,2}，f:( x, y) ? x ? 2.一 一映射的概念 问题 3：观察图（2）（3）（4） 、 、 ，想一想这三个对应有什么不同特点？ 分析： （3）是多对一（即多个元素有同一个象） ； （4）是一对一（但 B 中有的元素在 A 中没有原象） ； （2）是一对一（且 B 中所有元素在 A 中都有原象） ； 再观察下图：(投影 4)由此有：专心爱心用心19 “一一映射”的定义： 一般地，一个映射 f：A→B，若满足： a. 对于集合 A 的不同元素，在集合 B 中有不同的象;(单射) b. 集合 B 中每一个元素都有原象； （满射） 那么这个映射叫做 A 到 B 上的一一映射。 例：分析上面图中或上面例题中对应是否为集合 A 到集合 B 的一一映射？为什么？ 注意： （1）一一映射是一种特殊的映射（A 到 B 是映射，B 到 A 也是映射，或从一一映射定义解释） ； （2）若在映射 f：A→B 中，象的集合 C≠B ，则映射不是一一映射，即 C=B 是一一映射的必要条件。 （想 一想为什么不充分？） （因为映射 f：A→B 未指出对于集合 A 中的不同元素的集合 B 中有不同的象。即 f：A→B 可能是多对一的 情形。 ） （III）课堂练习：课本 P23 练习 4。 （IV）课时小结： 本节课我们学习了映射的定义、表示方法、象与原象的概念、一一映射的定义。强调注意的问题（前面所 述）指出：映射是一种特殊的对应：多对一、一对一；一一映射是一种特殊的映射：A 到 B 是映射，B 到 A 也是映射。 （V）课后作业： 1、书面作业：课本 P24，习题 1.2A 组题第 10 题。专心爱心用心20 §1．3 函数的基本性质 1.3.1 单调性与最大（小）值（第一课时） 教学目标：1.使学生理解增函数、减函数的概念； 2.使学生掌握判断某些函数增减性的方法； 3.培养学生利用数学概念进行判断推理的能力； 4.培养学生数形结合、辩证思维的能力； 5.养成细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯。 教学重点：函数单调性的概念 教学难点：函数单调性的判断和证明 教学方法：讲授法 教学过程： （I）复习回顾 1.函数有哪几个要素？ 2.函数的定义域怎样确定？怎样表示？ 3.函数的表示方法常见的有哪几种？各有什么优点？ 4.区间的表示方法. 前面我们学习了函数的概念、 表示方法以及区间的概念，现在我们来研究一下函数的性质 （导入课题， 板书课题） 。 （II）讲授新课 1.引例：观察 y=x 的图象，回答下列问题 问题 1： 函数 y=x 的图象在 y 轴右侧的部分是上升的， 说明什么？2 2? 随着 x 的增加，y 值在增加。问题 2：怎样用数学语言表示呢？? 设 x1、x2∈[0，+∞]，得 y1=f(x1), y2=f(x2).当 x1&x2 时，f(x1)&f(x2). (学生不一定一下子答得比较完整，教师应抓住时机予以启发)。 结论：这时，说 y1= x 在[0，+∞]上是增函数。 （同理分析 y 轴左 侧部分）由此可有： 2.定义： 一般地，设函数 f(x)的定义域为 I： 如果对于属于 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1、x2,当 x1 ? x2 时都有 f(x1)& f(x2).那么就说 f(x)在这个区间上是增函数。 如果对于属于 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1 、x2 ，当 x1&x2 时都有 f(x1)&f(x2).那么就是 f(x)在这个区间上是减函数。 如果函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么就说函说 y=f(x)在这一区间具 有（严格的）单调性，这一区间叫做 y=f(x)的单调区间，在单调区间上增函数的图象是 上升的，减函数的图象是下降的。 注意： （1）函数的单调性也叫函数的增减性； （2）注意区间上所取两点 x1,x2 的任意性； （3）函数的单调性是对某个区间而言的，它是一个局部概念。 （III）例题分析专心 爱心 用心 212 例 1.下图是定义在闭区间 ?? 5,5? 上的函数 y=f(x)的图象，根据图象说出函数的单调区间，以及在每 一个区间上的单调性（课本 P29 例 1） 。 问题 3：y=f(x)在区间 ?? 5,?2 ? ， ?1,3? 上是减函数；在区间 ?? 2,1? ， ?3,5 ? 上是增函数，那么在两个区间的 公共端点处，如：x=-2,x=-1,x=3 处是增函数还是减函数？分析：函数的单调性是对某个区间而言的，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因此没有增减变化，所以不存在单调性问题；另一方面，中学阶段研究的是连续函数或分段连续函数，对于闭区 间的连续函数而言，只要在开区间单调，则它在闭区间也单调。因此在考虑它的单调区间时，包括不包括 端点都可以（要注意端点是否在定义域范围内） 。 说明： 要了解函数在某一区间上是否具有单调性， 从图上进行观察是一种常用而又粗略的方法。 严格地说， 它需要根据单调函数的定义进行证明。 例 2．证明函数 f(x)=3x+2 在 R 上是增函数。 证明：设任意 x1、x2∈R，且 x1&x2. 则 f(x1)- f(x2)=(3x1+2)-(3x2+2)=3(x1-x2). 由 x1&x2 得 x1-x2&0.∴f(x1)- f(x2)&0,即 f(x1)&f(x2). ∴f(x)=3x+2 在 R 上是增函数。 分析：判定函数在某个区间上的单调性的方法步骤： a.设 x1、x2∈给定区间，且 x1&x2； b.计算 f(x1)- f(x2)至最简； c.判断上述差的符号； d.下结论。 例 3．教材第 29 页例 2。 （IV）课堂练习 课本 P32 练习 1―3 注意：通过观察图象，对函数是否具有某种性质作出一种猜想，然后通过推理的办法，证明这种猜想的正 确性，是发现和解决问题的一种常用数学方法。 （V）课时小结 本节课我们学习了函数单调性的知识，同学们要切记：单调性是对某个区间而言的，同时在理解定义 的基础上，要掌握证明函数单调性的方法步骤，正确进行判断和证明。 （VI）课后作业 1、书面作业：课本 P39 习题 1.3A 组题 1、2、3 题。专心爱心用心22 1.3.1 单调性与最大（小）值（第二课时） 教学目标：1.使学生理解函数最大（小）值及其几何意义； 2.使学生掌握函数最值与函数单调性的关系； 3.使学生掌握一些单调函数在给定区间上的最值的求法； 4.培养学生数形结合、辩证思维的能力； 5.养成细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯。 教学重点：函数最值的含义 教学难点：单调函数最值的求法 教学方法：讲授法 教学过程： （I）复习回顾 1．函数单调性的概念； 2．函数单调性的判定。 （II）讲授新课 通过观察二次函数 y ? x 和 y ? ? x 的最高点和最低点引出函数最值的概念（板书课题）2 21．函数最大值与最小值的含义 一般地，设函数 y ? f ( x) 的定义域为 I ，如果存在实数 M 满足： （1）对于任意的 x ? I ，都有 f ( x) ? M ； （2）存在 x0 ? I ，使得 f ( x0 ) ? M 。 那么，我们称 M 是函数 y ? f ( x) 的最大值. 思考：你能仿照函数最大值的定义，给出函数 y ? f ( x) 的最小值吗？ 2．二次函数在给定区间上的最值 对二次函数 y ? ax ? bx ? c(a ? 0) 来说，若给定区间是 (??, ??) ，则当 a ? 0 时，函数有最小值是24ac ? b 2 4ac ? b 2 ，当 a ? 0 时，函数有最大值是 ；若给定区间是 [a, b] ，则必须先判断函数在这个区间 4a 4a上的单调性，然后再求最值（见下列例题） 。 3．例题分析 例 1．教材第 30 页例题 3。 例 2．求函数 y ?2 在区间[2，6]上的最大值和最小值（教材第 31 页例 4） 。 x ?1分析：先判定函数在区间[2，6]上的单调性，然后再求最大值和最小值。 变式：若区间为 [?6, ?2] 呢？ 例 3．求函数 y ? x ? 1 在下列各区间上的最值：2（1） (??, ??)（2）[1，4]（3） [?6, ?2]（4） [?2, 2]（5） [?2, 4]练习：教材第 32 页第 4 题。 作业：教材第 39 页习题 1.3 A 组题第 5 题。专心爱心用心23 1.3.2 奇偶性 教学目标：1.使学生理解奇函数、偶函数的概念； 2.使学生掌握判断某些函数奇偶性的方法； 3.培养学生判断、推理的能力、加强化归转化能力的训练。 教学重点：函数奇偶性的概念 教学难点：函数奇偶性的判断；函数奇偶性，单调性的综合使用 教学方法：讲授法 教学过程： （I）复习回顾 1.回忆增函数、减函数的定义，并复述证明函数单调性的步骤。 2.初中几何中轴对称，中心对称是如何定义的？ 轴对称：两个图形关于某条直线对称（即一个图形沿直线折叠，能够与另一图形重合） 中心对称：两个图形关于某一点对称（即把一个图形绕某点旋转 180 ? ，能够与另一图形重合） 这节课我们来研究函数的另外一个性质――奇偶性（导入课题，板书课题） 。 （II）讲授新课 1.偶函数 （1）观察函数 y=x 的图象（如右图） ①图象有怎样的对称性？ ? 关于 y 轴对称。 ②从函数 y=f(x)=x 本身来说，其特点是什么？2 2? 当自变量取一对相反数时，函数 y 取同一值。例如：f(-2)=4, f(2)=4,即 f(-2)=f(-2)； f(-1)=1，f(1)=1，即 f(-1)=f(1)；1 1 1 1 1 1 f (? ) ? ，f ( ) ? ，即f (? ) ? f ( )。 2 4 2 4 2 2 ??由于（-x） =x2 2∴f(-x)= f(x).2 2 2以上情况反映在图象上就是：如果点（x,y）是函数 y=x 的图象上的任一点,那么,与它关于 y 轴的对称点 (-x,y)也在函数 y=x 的图象上，这时，我们说函数 y=x 是偶函数。 （2）定义： 一般地， （板书）如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(-x)= f(x)，那 么函数 f(x)就叫做偶函数。 例如：函数 f ( x) ? x ? 1 , f ( x) ?22 , f ( x) ? x 等都是偶函数。 x ? 1122.奇函数 （1）观察函数 y=x 的图象（投影 2） ①当自变量取一对相反数时，它们对应的函数值 有什么关系？3? 也是一对相反数。②这个事实反映在图象上， 说明函数的图象有怎样的对称性3呢？ ? 函数的图象关于原点对称。即如果点（x,y）是函数 y=x 的图象上任一点，那么与它关于原点对称的点（-x,-y） 也在函数 y=x 的图象上，这时，我们说函数 y=x 是奇函数。 （2）定义3 3专心爱心用心24 一般地， （板书）如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f (? x) ? ? f ( x) ，那 么函数 f(x)就叫做奇函数。 例如：函数 f ( x) ? x, f ( x) ? 3.奇偶性 如果函数 f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数 f(x)具有奇偶性。 （III）例题分析 例 1.判断下列函数的奇偶性。 （1）f(x)=x +2x; （4） f(x)=x ,x ? ?0,?? ? ;2 31 都是奇函数。 x（2）f(x)=2x +3 （5） f(x)=42（3） f(x)=x +2x+5; （6） f(x)=x+21 ; x1 ; x分析：① 这里主要是根据奇函数或偶函数的定义进行判断； ②函数中有奇函数，也有偶函数，但是还有些函数既不是奇函数也不是偶函数，唯有 f(x)=0（x∈R 或 x∈(-a,a).a&0）既是奇函数又是偶函数。 ③从函数奇偶性的定义可以看出，具有奇偶性的函数，首先其定义域关于原点对称； 其次 f(-x)= f(x)或 f(-x)=- f(x)必有一成立。因此，判断某一函数的奇偶性时：首先看其定义域是否关 于原点对称，若对称，再计算 f(-x)，看是等于 f(x)还是等于-f(x)，然后下结论；若定义域关于原点不 对称，则函数没有奇偶性。 例 2.已知函数 y=f(x)在 R 上是奇函数，而且在 ?0， ? ?是增函数。证明 y=f(x)在 ?? ?，? 上也 ? 0 是增函数。 证明：设 x1&x2 &0，则-x1&-x2&0.∵f(x)在（0，+∞）上是增函数。 ∴f(-x1) &f(-x2),又 f(x)在 R 上是奇函数。 ∴-f(x1)& -f(x2),即 f(x1)& f(x2). ∴函数 y= f(x)在（0，+∞）上是增函数。 变题： 已知函数 y=f(x)在 R 上是奇函数， 而且在 ?0， ? ?是减函数。 证明 y=f(x)在 ?? ?，? 上 ? 0 也是减函数。 结论：由例 2 可有： 奇函数在两个对称区间内的单调性是相同的； 偶函数在两个对称区间内的单调性是相反的； （IV）课堂练习：课本 P36 练习 1，2 （V）课时小结 本节课我们学习了函数奇偶性的定义，判断函数奇偶性的方法以及函数奇偶性与单调性的综合使用。 特别要注意判断函数奇偶性时，一定要首先看其定义域是否关于原点对称，否则将会导致结论错误或做无 用功；对于函数单调性，奇偶性的综合题，要深入分析、理清思路、总揽全局、各个击破。 （VI）课后作业 书面作业：课本 p39 习题 1.3 A 组第 6 题和 B 组第 1、2 题。实习作 业专心 爱心 用心 25一、实习目的 1．了解函数形成、发展的历史。 2．体验合作学习的方式。 二、操作建议 1．选题，根据个人兴趣初步确定实习作业的选题范围。 2．分组，3―6 人为一个实习小组，确定一个人为组长。 3．分配任务，根据个人情况和优势，经小组共同商议，由组长确定每个人的具体任务。 4．搜集资料，针对具体实习题目，通过各种方式搜集素材，包括文字、图片、数据以及音像资料等， 并记录相关资料。 5．素材汇总，用实习报告的形式展现小组的实习成果。 6．全班范围的交流、讨论和总结。 三、参考选题 1．函数产生的社会背景。 2．函数概念发展的历史过程。 3．函数符号的故事。 4．数学家与函数。 众多数学家对函数的完善作出了贡献，例如开普勒、伽利略、笛卡儿、牛顿、莱布尼兹和欧拉等。可 以选取一位或多位数学家，说明他们对函数发展作出的贡献，感受数学家的精神。 四、参考途径 1．相关书籍 梁宗巨， 《世界数学通史》 ，辽宁教育出版社。 吴文俊， 《世界著名科学家传记》 ，科学出版社。 （日）权平健一郎， 《函数在你身边》 ，科学出版社。 2．相关网页 .cn. 五、实习报告的参考形式 参考以下的实习报告形式，设计一个实习报告。 实 题目 正文 备注 组长及参加人员 指导教师审核意见 习 报 告 年 月 日第二章 基本初等函数（Ⅰ） §2．1 指数函数 2.1.1 指数与指数幂的运算（三课时） 教学目标：1.理解 n 次方根、根式、分数指数幂的概念；专心 爱心 用心 26 2.正确运用根式运算性质和有理指数幂的运算性质； 3.培养学生认识、接受新事物和用联系观点看问题的能力。 教学重点：根式的概念、分数指数幂的概念和运算性质 教学难点：根式概念和分数指数幂概念的理解 教学方法：学导式 教学过程： 第一课时： （I）复习回顾 引例：填空 （1） a ? a ? a ? n ? N ) ； （n *?? ??? ? ?n个an m? na =1（a ? 0) ；0a ?n ?1 (a ? 0, n ? N * ) n a（2） a ? a ? am(m,n∈Z)；(a m )n ? a mn (m,n∈Z)；- 9 ? _____；(ab) n ? a n ? b n (n∈Z)0 ? ______（3） 9 ? _____；a （4） ( a ) 2 ? _____( ? 0) ；（II）讲授新课 1.引入：a 2 ? ________（1）填空（1） （2）复习了整数指数幂的概念和运算性质（其中：因为 a ? a 可看作 a ? a ，m n m?n,所以a a a a m ? a n ? a m? n 可以归入性质 am ? an ? am?n ；又因为 ( ) n 可看作 a m ? a ? n ，所以 ( ) n ? n 可以归入性质 b b b(ab) n ? a n ? b n (n∈Z)）,这是为下面学习分数指数幂的概念和性质做准备。为了学习分数指数幂，先要学习 n 次根式（ n ? N* ）的概念。 （2）填空（3）（4）复习了平方根、立方根这两个概念。如： ， 2 =4 ， （-2） =4 2 =83 2 2n? 2，-2 叫 4 的平方根（-2） =-8 ?3 3? 2 叫 8 的立方根； 5 2 =32 ? 2 叫 32 的 5 次方根2 n? -2 叫-8 的立方根52 =an? 2 叫 a 的 n 次方根分析：若 2 =4，则 2 叫 4 的平方根；若 2 =8，2 叫做 8 的立方根；若 2 =32，则 2 叫做 32 的 5 次方根，类 似地，若 2 =a，则 2 叫 a 的 n 次方根。由此，可有： 2.n 次方根的定义： （板书） 一般地，如果 x ? a ，那么 x 叫做 a 的 n 次方根（ n th root）,其中 n ? 1 ，且 n ? N 。n ?问题 1：n 次方根的定义给出了，x 如何用 a 表示呢？ x ? 分析过程：na 是否正确？6例 1． 根据 n 次方根的概念， 分别求出 27 的 3 次方根， -32 的 5 次方根， 的 3 次方根。 a （要 求完整地叙述求解过程） 解：因为 3 =27，所以 3 是 27 的 3 次方根；因为 (?2) 5 =-32，所以-2 是-32 的 5 次方根；3专心爱心用心27 因为 (a 2 ) 3 ? a 6 ，所以 a 是 a 的 3 次方根。2 6结论 1：当 n 为奇数时（跟立方根一样） ，有下列性质：正数的 n 次方根是正数，负数的 n 次方根是负数, 任何一个数的方根都是唯一的。此时，a 的 n 次方根可表示为 x ? 从而有： 3 27 ? 3 ， 5 ? 32 ? ?2 ， 3 a 6 ? a 2 例 2． 根据 n 次方根的概念， 分别求出 16 的 4 次方根， 的 4 次方根。 -81 解：因为 2 ? 16 ， (?2) 4 ? 16 ，所以 2 和-2 是 16 的 4 次方根；4na。因为任何实数的 4 次方都是非负数，不会等于-81，所以-81 没有 4 次方根。 结论 2：当 n 为偶数时（跟平方根一样） ，有下列性质：正数的 n 次方根有两个且互为相反数，负数没有 n 次方根。此时正数 a 的 n 次方根可表示为： ? n a (a ? 0) 其中 n a 表示 a 的正的 n 次方根， ? n a 表示 a 的负的 n 次方根。 例 3．根据 n 次方根的概念，分别求出 0 的 3 次方根，0 的 4 次方根。 解：因为不论 n 为奇数，还是偶数，都有 0 =0，所以 0 的 3 次方根，0 的 4 次方根均为 0。 结论 3：0 的 n 次方根是 0，记作 n 0 ? 0,即n a 当 a=0 时也有意义。 这样，可在实数范围内，得到 n 次方根的性质： 3.n 次方根的性质： （板书）n?n a , n ? 2k ? 1 ? x?? (k ? N *) ?? n a , n ? 2k ?4.根式运算性质： （板书）其中na 叫根式，n 叫根指数，a 叫被开方数。注意：根式是 n 次方根的一种表示形式，并且，由 n 次方根的定义，可得到根式的运算性质。（ ① n a） ? a ，即一个数先开方，再乘方（同次） ，结果仍为被开方数。n问题 2：若对一个数先乘方，再开方（同次） ，结果又是什么？ 例 4：求 3 (?2) 3 ，525，434，(?3) 2由所得结果，可有： （板书） ② a ??n n?a, n为奇数； ?| a |, n为偶数性质的推导如下：专心爱心用心28 性质①推导过程： 当 n 为奇数时， x ? n a ,由x ? a得(n a ) ? an n当 n 为偶数时， x ? ? n a ,由x ? a得(n a ) ? an n综上所述，可知： (n a ) ? an性质②推导过程： 当 n 为奇数时，由 n 次方根定义得： a ?nann n当 n 为偶数时，由 n 次方根定义得： a ? ? a 则 | a |?| ? a |?n n nan综上所述： ( n a ) n ? ??a , n为奇数 ?| a | ，n为偶数注意：性质②有一定变化，大家应重点掌握。 （III）例题讲解 例 1．求下列各式的值：3 （） 1 3（－8）（2） 10） （－ 24 4 （3） 3－?） （（4） (a ? b) 2 （a&b）注意：根指数 n 为奇数的题目较易处理，要侧重于根指数 n 为偶数的运算。 （III）课堂练习：求下列各式的值 (1) 5 ? 32 （IV）课时小结 通过本节学习，大家要能在理解根式概念的基础上，正确运用根式的运算性质解题。 （V）课后作业 1、书面作业： a.求下列各式的值 (2) (?3) 4 (3) ( 2 ? 3 ) 2 (4) 5 ? 2 6（ ） －27 13( 2) a 62 （3） ?－4） （(4) (x ?1 2 ) 3? xb.书 P59 习题 2.1 A 组题第 1 题。 2、预习作业： a.预习内容：课本 P50―P52。 b.预习提纲： （1）根式与分数指数幂有何关系？ （2）整数指数幂运算性质推广后有何变化？专心爱心用心29 第二课时： （I）复习回顾 1.填空； ? （1） 3 ? 64 ? ______,5 32 ? _______ （2） 4 81 ? ______, 4 81 ? ______；； ( （3） (4 3 ) 4 ? ______, 5 6 ) 5 ? ______； (4) 5 a 10 ? _____,3 a 12 ? _______5 （5） 5（ ? 2） ? ___,7 (?3) 7 ? _____； （6） 6 (?4) 6 ? ____,4 5 4 ? ______.（II）讲授新课 分析：对于“填空”中的第四题，既可根据 n 次方根的概念来解：? (a 2 ) 5 ? a 10 ,? 5 a 10 ? a 2 ； 也可根据 n 次方根的性质来解： 5 a 10 ? 5 (a 2 ) 5 ? a 2 。 问题 1：观察 5 a 10 ? a 2 , 4 a 12 ? a 3 ，结果的指数与被开方数的指数，根指数有什么关系？? 5 a 10 ? a 5 ? a 2 , 4 a 12 ? a 3 ? a 4 ，即：当根指数的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式。 问题 2：当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否可以写成分数指数幂的形式？如：31012a 2 ? a 3 是否可行？2 2 ?32分析： 假设幂的运算性质 (a m ) n ? a mn 对于分数指数幂也适用， 那么 (a 3 ) 3 ? a 32 2这说明 a 3 也是 a 2 ? a2，22的 3 次方根，而 3 a 2 也是 a 的 3 次方根（由于这里 n=3，a 的 3 次方根唯一） ，于是 3 a 2 ? a 3 。这说明3a 2 ? a 3 可行。2由此可有： 1.正数的正分数指数幂的意义：ma n ? n a m (a ? 0, m, n ? N*,且n ? 1 )注意两点:一是分数指数幂是根式的另一种表示形式；二是要注意被开方数 a 的幂指数 n 与根式的根指数 n 的一致性。根式与分数指数幂可以进行互化。 问题 3：在上述定义中，若没有“a&0”这个限制，行不行？ 分析：正例： (?8) 3 ? 3 ? 8 ? ?2, 5 (?2)10 ? (?2) 5 ? (?2) 2 ? 4, (?2) 3 ? 3 (?2) 2 等等； 反例： (?8) ?12 41 3 3n11021 2 ? 8 ? ?2, (?8) ? 6 (?8) 2 ? 2, 而实际上 ? ；又如： 3 62 612 4 12 3 4 （ （? 8） ? ? 8） ? ? 8） 4（ ? 8） ? 4 812 ? 4（83） ? 83 。这样就产生了混乱，因此“a&0”这个限 （ ，专心爱心用心30 制不可少。至于 (?8) 3 ? 3 ? 8 ? ?2 ，这是正确的，但此时 (?8) 3 不能理解为分数指数幂， 理数（因为不能改写为111 不能代表有 310 2 2 ） ，这只表示一种上标。而 5 (?2) 5 ? (?2) 5 , (?2) 3 ? 3 (?2) 2 ，那是因为 6(?2)10 ? 210 , (?2) 2 ? 2 2 ，负号内部消化了。问题 4：如何定义正数的负分数指数幂和 0 的分数指数幂？ 分析：正数的负分数指数幂的定义与负整数指数幂的意义相仿；0 的分数指数幂与 0 的非 0 整数幂的意义 相仿。 2.负分数指数幂：a?m n?1 am n(a ? 0, m, n ? N *,且n ? 1)3.0 的分数指数幂： 0 的正分数指数幂为 0，0 的负分数指数幂无意义（为什么？） 。 说明： （1）分数指数幂的意义只是一种规定，前面所举的例子只表示这种规定的合理性； （2）规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数； （3）可以验证整数指数幂的运算性质，对于有理数幂也同样适用，即a r a s ? a r ? s (a ? 0, r , s ? Q) ； (a r ) s ? a rs (a ? 0, r , s ? Q) (ab)r ? a r br (a ? 0, b ? 0, r ? Q)(4) 根式与分数指数幂可以进行互化:分式指数幂可以直接化成根式计算，也可利用 (a n ) n ? a 来计算；反过来，根式也可化成分数指数幂来计算。 （5）同样可规定 a p (p ? 0, p是无理数）的意义： ① a 表示一个确定的实数； ② 上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用，有关证明略； ③ 指数概念可以扩充到实数指数（为下一小节学习指数函数作铺垫） 。 （III）例题讲解2 3 1 2pmn?m n? am100 例 2． 求值：8 ，－1 －3 16 －3 ，（ ） ，（ ） 4 4 811 2 1 2 1 2? （－ ） 2分析：此题主要运用有理指数幂的运算性质。1 ； 10 解： （－ 1 － 16 －3 2 4? 3） 2 － 27 － （－ ? （－ （ ） 3＝（2－2） 3＝2 2） 3） 2 6 ＝64；（ ） 4＝（ ） 4 ＝（ ） 3＝ 。 ＝ 4 81 3 3 8 8 ＝（2 ）＝23 3?2 32 32 3＝2 ＝4； 1002－＝（ ） ＝10 102－＝10 －1＝专心爱心用心31 例 3．用分数指数幂的形式表示下列各式：a 2 ? a , a 3 ? 3 a 2 , a a (式中a ? 0)分析：此题应结合分数指数幂意义与有理指数幂运算性质。 解：1 2 1 2 5 2a ? a ? a ?a ? a2 2 3 3 2 3 2 32?? ?3 4 11 3a ? a ? a ?a ? a1 1 2 22 3? 3a a ? (a ? a ) ? (a ) ? a .（IV）课堂练习 课本 P54 练习：1、2 （V）课时小结 通过本节学习，要求大家理解分数指数幂的意义，掌握分数指数幂与根式的互化，熟练运用有理指数幂的 运算性质。 （V）课后作业 1、书面作业：课本 P59 习题 2.1A 组题第 2,3 题 2、预习作业 （1）预习内容：课本 P52 例题 4、5。 （2）预习提纲： a.根式的运算如何进行？ b.利用理指数幂运算性质进行化简、求值，有哪些常用技巧？3 1 2 2专心爱心用心32 第三课时： 教学目标 ：1.掌握根式与分数指数幂的互化； 2.熟练运用有理指数幂运算性质进行化简、求值； 3.培养学生的数学应用意识。 教学重点：有理指数幂运算性质运用。 教学难点：化简、求值的技巧 教学方法：启发引导式 教学过程 （I）复习回顾 1.分数指数幂的概念，以及有理指数幂的运算性质 分数指数幂概念 有理指数幂运算性质m na ? n ama? m na r a s ? a r ? s (a ? 0, r , s ? Q) ；1n? n a m＝am(a r ) s ? a rs (a ? 0, r , s ? Q) (ab)r ? a r br (a ? 0, b ? 0, r ? Q)(a ? 0, m, n ? N *, 且n ? 1)2.用分数指数幂表示下列各式（a&0,x&0）5a214x6xx( a )3（II）讲授新课 例 1．计算下列各式（式中字母都是正数）(1)(2a b )(?6a b ) ? (?3a b );2 31 21 21 31 65 6(2)(m n ? ) .1 43 8 8分析： （1）题可以仿照单项式乘除法进行，首先是系数相乘除，然后是同底数幂相乘除，并且要注意符号。 （2）题先按积的乘方计算，后按幂的乘方计算，等熟练后可简化计算步骤。对于计算的结果不强求统一 用什么形式来表示，没有特别要求，就用分数指数幂的形式表示。如果有特殊要求，可根据要求给出结果， 但： ① 结果不能同时含有根式和分数指数；②不能同时含有分母和负指数； ③ 根式需化成最简根式。(1)( 2a 3 b 2 )( ?6a 2 b 3 ) ? (?3a 6 b 6 )解： ? [ 2 ? ( ?6) ? ( ?3)]a 32 1 1 ? ? 2 621111513(2)( m 4 n 8 )8 ? ( m 4 )8 ( n 8 ) 3 ? m 3 ? n ?3 ? m2 n31 ? 3b21 1 5 ? ? 3 6? 4ab 0 ? 4例 2．计算下列各式：(1)a2 a a3 2(a ? 0);(2)(3 25 ? 125 ) ? 4 5分析： （1）题把根式化成分数指数幂的形式，再计算。专心 爱心 用心 33 （2）题先把根式化成分数指数幂的最简形式，然后计算。 解：(1)5a2 3 2a? a?a1 22 3 2?a1 2 2? ? 2 3(2)( 3 25 ? 125) ? 4 5 ? (5 3 ? 5 2 ) ? 5 4 ? 53 ? 54 ? 52 ? 54 ? 535 5 2 1 3 1 2 1 ? 4231a ?a? 523 1 ? 4? a 6 ? 6 a5 ;例 3．求值：? 512 ? 5 4 ? 12 55 ? 5 4 5.(1) 5 ? 2 6 ? 7 ? 4 3 ? 6 ? 4 2 ;(2)2 3 ? 3 1.5 ? 6 12分析： （1）题需把各项被开方数变为完全平方形式，然后再利用根式运算性质； 解：(1) 5 ? 2 6 ? 7 ? 4 3 ? 6 ? 4 2 ? ( 3) 2 ? 2 3 ? 2 ? ( 2) 2 ? 22 ? 2 ? 2 3 ? ( 3) 2 ? 2 2 ? 2 ? 2 2 ? ( 2) 2 ? (( 3 ? 2)) 2 ? (2 ? 3) 2 ? (2 ? 2) 2 ?| 3 ? 2 | ? | 2 ? 3 ? | ? | 2 ? 2 | ? 3 ? 2 ? 2 ? 3 ? (2 ? 2) ? 2 2 注意：此题开方后先带上绝对值，然后根据正负去掉绝对值符号。1 1 3 1 6 (2)2 3 ? 3 1.5 ? 6 12＝2 ? 3 2 ? ） ? 3 ? 22） （ 3（ 2＝21 1 1－ ＋ 3 3?31 1 1 ＋ ＋ 2 3 6＝2 ? 3＝6要求：例 3 学生先练习，后讲评，讲评时需向学生强调求值过程中的变形技巧。 （III）课堂练习 计算下列各式：1 2 31 4 1 － （1 16 －（ ）－（ ）3 ） 16 2 4 （2） 5 ? 3 ? ( ) 0 ]? 2 [? 15要求：学生板演练习，做完后老师讲评。 （IV）课时小结 通过本节学习，要求大家能够熟练运用有理数幂运算性质进行化简、求值，并掌握一定的解题技巧，如凑 完全平方、寻求同底幂等方法。 （V）课后作业 课本 P59 习题 2.1A 组题第 4 题专心爱心用心34 2.1.2 指数函数及其性质（第一课时） 教学目标：1、理解指数函数的概念 2、根据图象分析指数函数的性质 3、应用指数函数的单调性比较幂的大小 教学重点：指数函数的图象和性质 教学难点：底数 a 对函数值变化的影响 教学方法：学导式 （一）复习： （提问） 引例 1：某种细胞分裂时，由 1 个分裂成 2 个，2 个分裂成 4 个??1 个这样的细胞分裂 x 次后，得到的细 胞个数 y 与 x 的函数关系式是： y ? 2 ．x这个函数便是我们将要研究的指数函数，其中自变量 x 作为指数，而底数 2 是一个大于 0 且不等于 1 的常 量。 （二）新课讲解： 1．指数函数定义： 一般地，函数 y ? a （ a ? 0 且 a ? 1 ）叫做指数函数，其中 x 是自变量，函数定义域是 R ．x练习：判断下列函数是否为指数函数。 ①y?x ⑤ y ??2② y ?8 ⑥y?5x xx③ y ? (2a ? 1) （ a ?xx2 x 2 ?1⑦y?xx1 x 且 a ? 1 ）④ y ? (?4) 2 x ⑧ y ? ?10 ．2.指数函数 y ? a （ a ? 0 且 a ? 1 ）的图象： 例 1．画 y ? 2 的图象（图（1）． ） 解：列出 x, y 的对应表，用描点法画出图象x y ? 2x? ?-3 0.13-2 0.25-1.5 0.35-1 0.5-0.5 0.710 10.5 1.41 21.5 2.82 43 8? ?1 y ? ( )x 2y ? 2x图（1） 例 2．画 y ? ( ) 的图象（图（1）． ）x1 2x1 y ? ( )x 2? ?x-3 8-2 4-1.5 2.8-1 2-0.5 1.40 10.5 0.711 0.51.5 0.352 0.253 0.13? ?1 x 2 说明：一般地， 函数 y ? f ( x) 与 y ? f (? x) 的图象关于 y 轴对称。指出函数 y ? 2 与 y ? ( ) 图象间的关系？专心 爱心 用心 35 3．指数函数 y ? a 在底数 a ? 1 及 0 ? a ? 1这两种情况下的图象和性质：xa ?10 ? a ?1图 象性 质（1）定义域： R （2）值域： (0, ??) （3）过点 (0,1) ，即 x ? 0 时 y ? 1 （4）在 R 上是增函数x（4）在 R 上是减函数例 3．已知指数函数 f ( x) ? a (a ? 0, a ? 1) 的图象经过点 (3, ? ) ，求 f (0), f (1), f (?3) 的值（教材第 56 页例 6） 。 例 4．比较下列各题中两个值的大小：(1)1.72.5 ,1.73 ；(2)0.8?0.1 , 0.8?0.2(3)1.70.3 , 0.93.1（教材第 57 页例 7） 小结：学习了指数函数的概念及图象和性质； 练习：教材第 58 页练习第 1 题。 作业：教材第 59 页习题 2.1A 组 第 5、7 题专心爱心用心36 2.1.2 指数函数及其性质（第二课时） 教学目标：1.熟练掌握指数函数概念、图象、性质； 2.能求由指数函数复合而成的函数定义域、值域； 3.掌握比较同底数幂大小的方法； 4.培养学生数学应用意识。 教学重点：指数函数性质的运用 教学难点：指数函数性质的运用 教学方法：学导式 （一）复习： （提问） 1．指数函数的概念、图象、性质 2．练习： （1）说明函数 y ? 4? x ?3图象与函数 y ? 4 图象的关系； ；?x（2）将函数 y ? ( ) 图象的左移 2 个单位，再下移 1 个单位所得函数的解析式是2x1 3（3）画出函数 y ? ( ) 的草图。x1 2（二）新课讲解： 例 1．某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过 1 年剩留的这种物质是原来的 84%，画出这种物质的 剩留量随时间变化的图象，并从图象上求出经过多少年，剩量留是原来的一半（结果保留 1 个有效 数字） 。 分析：通过恰当假设，将剩留量 y 表示成经过年数 x 的函数，并可列表、描点、作图，进而求得所求。 解：设这种物质量初的质量是 1，经过 x 年，剩留量是 y . 经过 1 年，剩留量 y =1×84%=0.84 ； 经过 2 年，剩留量 y =1×84%=0.84 ； ?? 一般地，经过 x 年，剩留量 y ? 0.84 ，x2 1根据这个函数关系式可以列表如下：x y0 1x1 0.842 0.713 0.594 0.505 0.426 0.35用描点法画出指数函数 y ? 0.84 的图象。从图上看出 y ? 0.5 ，只需 x ? 4 . 答：约经过 4 年，剩留量是原来的一半。 例 2． 说明下列函数的图象与指数函数 y ? 2 的图象的关系，并画出它们的示意图：x（1） y ? 2x ?1；x ?1 ?2（2） y ? 2xx?2．解： （1）比较函数 y ? 2与 y ? 2 的关系：y?2?3?1与 y ? 2 相等， 与 y ? 2 相等， ???1y?2?2 ?1y ? 22?1 与 y ? 23 相等 ，由此可以知道，将指数函数 y ? 2 的图象向左平移 1x个单位长度， 就得到函数 y ? 2x ?1的图象。x?2（2）比较函数 y ? 2与 y ? 2 的关系：xy ? 2?1? 2 与 y ? 2?3 相等，专心 爱心 用心 37 y ? 20? 2 与 y ? 2?2 相等， y ? 23? 2 与 y ? 21 相等 ，x??x?2由此可以知道，将指数函数 y ? 2 的图象向右平移 2 个单位长度，就得到函数 y ? 2 时，将函数 y ? f ( x) 的图象向右平移 | a | 个单位，得到 y ? f ( x ? a) 的图象。 练习：说出下列函数图象之间的关系： （1） y ?的图象。说明： 一般地， a ? 0 时， 当 将函数 y ? f ( x) 的图象向左平移 a 个单位得到 y ? f ( x ? a) 的图象； a ? 0 当1 1 ?x ? x?a 2 2 与 y ? ； （2） y ? 3 与 y ? 3 ； （3） y ? x ? 2 x 与 y ? x ? 2 x ． x ?1 x1例 3．求下列函数的定义域、值域： （1） y ? 8 2 x ?1 （2） y ? 1 ? ( ) ∴x?1 2x（3） y ? 3?x（4） y ?a x ?1 (a ? 0, a ? 1) ． ax ?1解： （1）? 2 x ? 1 ? 0 令t ?1 2原函数的定义域是 {x x ? R, x ? } ，1 21 则 t ? 0, t ? R 2x ?1 t ∴ y ? 8 (t ? R, t ? 0) 得 y ? 0, y ? 1 ，所以，原函数的值域是 { y y ? 0, y ? 1} ． （2）?1 ? ( ) ? 0x1 2∴x?0原函数的定义域是 ? 0, ?? ? ， ∴ 0 ? y ? 1，令 t ? 1 ? ( ) ( x ? 0)x所以，原函数的值域是 ? 0,1? ． （3）原函数的定义域是 R ， 令t ? ? x 则 t ? 0 ， ? y ? 3 在 ? ??, 0 ? 是增函数， ∴ 0 ? y ? 1 ，t1 2则 0 ? t ? 1 ， ? y ? t 在 ? 0,1? 是增函数所以，原函数的值域是 ? 0,1? ． （4）原函数的定义域是 R ，a x ?1 y ?1 (a ? 0, a ? 1) 得 a x ? ? ， x a ?1 y ?1 y ?1 ∴? ∴ ?1 ? y ? 1 ，所以，原函数的值域是 ? ?1,1? ． ? 0， ?ax ? 0 y ?1由y? 说明：求复合函数的值域通过换元可转换为求简单函数的值域。 小结：1．学会怎样将应用问题转化为数学问题及利用图象求方程的解； 2．学会灵活地应用指数函数的性质比较幂的大小及求复合函数的值域。 3．了解函数 y ? f ( x) 与 y ? f (? x) 及函数 y ? f ( x) 与 y ? f ( x ? a) 图象间的关系。 作业：习题 2.1 第 6、8、9 题专心爱心用心38 2.1.2 指数函数及其性质（第三课时） 教学目标：1.掌握指数形式的复合函数的单调性的证明方法； 2.掌握指数形式的复合函数的奇偶性的证明方法； 3.培养学生的数学应用意识。 教学重点：函数单调性、奇偶性的证明通法 教学难点：指数函数性质的运用 教学方法：学导式 （一）复习： （提问） 1.指数函数的图象及性质 2.判断及证明函数单调性的基本步骤：假设→作差→变形→判断 3.判断及证明函数奇偶性的基本步骤： （1）考查函数定义域是否关于原点对称； （2）比较 f (? x) 与 f ( x) 或者 ? f ( x) 的关系； （3）根据函数奇偶性定义得出结论。 （二）新课讲解： 例 1．当 a ? 1 时，证明函数 y ?ax ?1 是奇函数。 a x ?1x 证明：由 a ? 1 ? 0 得， x ? 0 ，故函数定义域 {x x ? 0} 关于原点对称。a ? x ? 1 (a ? x ? 1)a x 1 ? a x ? f (? x) ? ? x ? ? ? f ( x) a ? 1 (a ? x ? 1)a x 1 ? a x∴ f (? x) ? ? f ( x) ，所以，函数 y ?ax ?1 是奇函数。 a x ?1评析：此题证明的结构仍是函数奇偶性的证明，但在证明过程中的恒等变形用到推广的实数指数幂运 算性质。2 ( x ? R) ， 2 ?1 （1）试证明：对于任意 a, f ( x) 在 R 为增函数； （2）试确定 a 的值，使 f ( x) 为奇函数。例 2．设 a 是实数， f ( x) ? a ?x分析：此题虽形式较为复杂，但应严格按照单调性、奇偶性的定义进行证明。还应要求学生注意不同题 型的解答方法。 （1）证明：设 x1 , x2 ? R, x1 ? x2 ，则2 2 ) ? (a ? x2 ) 2 ?1 2 ?1 2 2 ? x2 ? 2 ? 1 2 x1 ? 1 2(2 x1 ? 2 x2 ) ? x1 ， (2 ? 1)(2 x2 ? 1) x x x x x 由于指数函数 y ? 2 在 R 上是增函数，且 x1 ? x2 ，所以 2 1 ? 2 2 即 2 1 ? 2 2 ? 0 ， x ?1 x ?1 x 又由 2 ? 0 ，得 2 1 ? 0 ， 2 2 ? 0 ，所以， f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ． 因为此结论与 a 取值无关，所以对于 a 取任意实数， f ( x) 在 R 为增函数。f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? (a ?x1评述：上述证明过程中，在对差式正负判断时，利用了指数函数的值域及单调性。专心 爱心 用心 39 （2）解：若 f ( x) 为奇函数，则 f (? x) ? ? f ( x) ，2 ? 2x 2 2(2 x ? 1) 2 2 ， ? x ? x ? ?(a ? x ) ，变形得： 2a ? ? x (2 ? 1) ? 2 x 2 ? 1 2 ?1 2? x ? 1 2 ?1 解得： a ? 1 ，所以，当 a ? 1 时, f ( x) 为奇函数。 评述：此题并非直接确定 a 值，而是由已知条件逐步推导 a 值。应要求学生适应这种题型。 x ?1 练习： （1）已知函数 f ( x) 为偶函数，当 x ? (0, ??) 时， f ( x) ? ?2 ,求当 x ? (??, 0) 时， f ( x) 的解析即a? 式。 （2）判断 y ? a (a ? 0, a ? 1) 的单调区间。 小结：灵活运用指数函数的性质，并掌握函数单调性，奇偶性证明的通法。 作业： （补充） 1．已知函数 f ( x) ?x2 ? 4 x2x ? 1 ， 2x ? 1（1）判断函数 f ( x) 的奇偶性； （2）求证函数 f ( x) 在 x ? (??, ??) 上是增函数。 2．函数 y ? 32 x 2 ?3 x ? 6的单调递减区间是．3.已知函数 f ( x) 定义域为 R ，当 x ? 0 时有 f ( x) ? ( )1 3x2 ? x，求 f ( x) 的解析式。专心爱心用心40 §2．2 对数函数 2.2.1 对数与对数运算（三课时） 教学目标：1．理解并记忆对数的定义，对数与指数的互化，对数恒等式及对数的性质． 2．理解并掌握对数运算法则的内容及推导过程． 3．熟练运用对数的性质和对数运算法则解题． 4．对数的初步应用. 教学重点：对数定义、对数的性质和运算法则 教学难点：对数定义中涉及较多的难以记忆的名称，以及运算法则的推导 教学方法：学导式 教学过程设计 第一课时 师： （板书）已知国民生产总值每年平均增长率为 7.2％，求 20 年后国民生产总值是原来的多少倍？ 20 生：设原来国民生产总值为 1，则 20 年后国民生产总值 y=（1+7.2％） =1.07220，所以 20 年后国民 20 生产总值是原来的 1.072 倍． 师：这是个实际应用问题，我们把它转化为数学中知道底数和指数，求幂值的问题．也就是上面学习 的指数问题． 师： （板书） 已知国民生产总值每年平均增长率为 7.2％， 问经过多年年后国民生产总值是原来的 4 倍？ 师： （分析）仿照上例，设原来国民生产总值为 1，需经 x 年后国民生产总值是原来的 4 倍．列方程 x 得:1.072 =4． 我们把这个应用问题转化为知道底数和幂值，求指数的问题，这是上述问题的逆问题，即本节的对数 问题． 师： （板书）一般地，如果 a（a＞0，a≠1）的 x 次幂等于 N，就是 a ? N ，那么数 x 就叫做以 a 为底 N 的对数，记作 x=logaN，其中 a 叫做对数的底数，N 叫做真数，式子 logaN 叫做对数式． 对数这个定义的认识及相关例子: (1)对数式 logaN 实际上就是指数式中的指数 x 的一种新的记法． (2)对数是一种新的运算．是知道底和幂值求指数的运算．x实际上 a ? N 这个式子涉及到了三个量 a，x，N，由方程的观点可得“知二求一” ．知道 a，x 可求 N，x即前面学过的指数运算；知道 x（为自然数时） 可求 a，即初中学过的开根号运算，记作 N ? a ；知 、N 道 a,N 可以求 x，即今天要学习的对数运算，记作 logaN= x．因此，对数是一种新的运算，一种知道底和 幂值求指数的运算．而每学一种新的运算，首先要学习它的记法，对数运算的记法为 logaN，读作：以 a 为底 N 的对数．请同学注意这种运算的写法和读法． 师：下面我来介绍两个在对数发展过程中有着重要意义的对数． 师： （板书）对数 logaN（a＞0 且 a≠1）在底数 a=10 时，叫做常用对数，简记 lgN；底数 a=e 时，叫 做自然对数，记作 lnN，其中 e 是个无理数，即 e≈2.718 28??． 师：实际上指数与对数只是数量间的同一关系的两种不同形式．为了更深入认识并记忆对数这个概念， 请同学们填写下列表格．x式子 指数式 对数式 a =N logaN=xx名称 a x N练习 1 把下列指数式写成对数形式：1 ?1? (1)5 ? 625;(2)2 ? ;(3) ? ? ? 5.73 64 ?3?4 ?6m练习 2 把下列对数形式写成指数形式：(1) log 1 16 ? ?4;(2) lg 0.01 ? ?2;(3) ln10 ? 2.3032练习 3 求下列各式的值：专心 爱心 用心41 （两名学生板演练习 1，2 题（过程略） ，一生板演练习三． ） 2 因为 2 =4，所以以 2 为底 4 的对数等于 2．因为 5 =125，所以以 5 为底 125 的对数等于 3． （注意纠正学生的错误读法和写法． ） 例题（教材第 63 页例题 2） 师：由定义，我们还应注意到对数式 logaN=b 中字母的取值范围是什么？ 生：a＞0 且 a≠1；x∈R；N∈R． 师：N∈R？（这是学生最易出错的地方，应一开始让学生牢牢记住真数大于零． ） x 生：由于在实数范围内，正数的任何次幂都是正数，因而 a =N 中 N 总是正数． 师：要特别强调的是：零和负数没有对数． 师：定义中为什么规定 a＞0，a≠1？ （根据本班情况决定是否设置此问． ） 生：因为若 a＜0，则 N 取某些值时，x 可能不存在，如 x=log（-2）8 不存在；若 a=0，则当 N 不为 0 时， x 不存在，如 log02 不存在；当 N 为 0 时，x 可以为任何正数，是不唯一的，即 log00 有无数个值；若 a=1， N 不为 1 时，x 不存在，如 log13 不存在，N 为 1 时，x 可以为任何数，是不唯一的，即 log11 有无数多个 值．因此，我们规定：a＞0，a≠1． x （此回答能培养学生分类讨论的数学思想．这个问题从 a =N 出发回答较为简单． ） 练习 4 计算下列对数： lg10000，lg0.01， 2 2 ， 3 3 ， 10 ，5 师：请同学说出结果，并发现规律，大胆猜想． 生： 2 生： 3log 2 4 log 4log 27 lg105 1og5 11253．=4．这是因为 log24=2，而 2 =4． =27．这是因为 log327=3，而 3 =27． =105．log N 1og 112532log3 27生： 10lg105生：我猜想 a a ? N ，所以 5 5 =1125． 师：非常好．这就是我们下面要学习的对数恒等式． 师： （板书） ． a loga N ? N （a＞0，a≠1，N＞0）（用红笔在字母取值范围下画上曲线） （再次鼓励学生，并提出更高要求，给出严格证明．（学生讨论，并口答． ） ） 生： （板书） 证明：设指数等式 a =N，则相应的对数等式为 logaN=b，所以 a = a a ? N 师：你是根据什么证明对数恒等式的？ 生：根据对数定义． b 师： （分析小结）证明的关键是设指数等式 a =N．因为要证明这个对数恒等式，而现在我们有关对数的 知识只有定义，所以显然要利用定义加以证明．而对数定义是建立在指数基础之上的，所以必须先设出指 数等式，从而转化成对数等式，再进行证明． 师：掌握了对数恒等式的推导之后，我们要特别注意此等式的适用条件． 生：a＞0，a≠1，N＞0． 师：接下来观察式子结构特点并加以记忆． （给学生一分钟时间． ） log 8 log 2 师： （板书）2 2 =？2 4 =？ log 8 log 2 生：2 2 =8；2 4 =2． 师：第 2 题对吗？错在哪儿？b blog N师： （继续追问）在运用对数恒等式时应注意什么？专心 爱心 用心 42 （经历上面的错误，使学生更牢固地记住对数恒等式． ） 生：当幂的底数和对数的底数相同时，才可以用公式 a a ? N ． （师用红笔在两处 a 上重重地描写． ） 师：最后说说对数恒等式的作用是什么？ 生：化简！ 师：请打开书 64 页，做练习 4． 师：对对数的定义我们已经有了一定认识，现在，我们根据定义来进一步研究对数的性质． 师：负数和零有没有对数？并说明理由． x 生：负数和零没有对数．因为定义中规定 a＞0，所以不论 x 是什么数，都有 a ＞0，这就是说，不论 x x 是什么数，N=a 永远是正数．因此，由等式 x=logaN 可以看到，负数和零没有对数． 师：非常好．由于对数定义是建立在指数定义的基础之上，所以我们要充分利用指数的知识来研究对 数． 师： （板书）性质 1：负数和零没有对数． 师：1 的对数是多少？ 0 生：因为 a =1（a＞0，a≠1） ，所以根据对数定义可得 1 的对数是零． 师： （板书）1 的对数是零． 师；底数的对数等于多少？ 1 生：因为 a =a，所以根据对数的定义可得底数的对数等于 1． 师： （板书）底数的对数等于 1． 师：给一分钟时间，请牢记这三条性质． 练习：课本第 64 页练习 1、2、3、4 题。 作业：课本第 74 页习题 2.2A 组题第 1、2 题。log N第二课时专心 爱心 用心 43 师：在初中，我们学习了指数的运算法则，请大家回忆一下． 生： a ? a ? am n m? n(m,n∈Z)； (a ) ? am nmn(m,n∈Z)； (ab) ? a ? bn nn(n∈Z)，师：下面我们利用指数的运算法则，证明对数的运算法则． （板书） （1）正因数积的对数等于同一底数各个因数的对数的和，即 loga（MN）=logaM+logaN． （请两个同学读法则（1） ，并给时间让学生讨论证明． ） 师：我们要证明这个运算法则，用眼睛一瞪无从下手，这时我们该想到，关于对数我们只学了定义和 性质，显然性质不能证明此式，所以只有用定义证明．而对数是由指数加以定义的，显然要利用指数的运 算法则加以证明，因此，我们首先要把对数等式转化为指数等式． p q 师： （板书）设 logaM=p，logaN=q，由对数的定义可以写成 M=a ，N=a ．所以 p q p+q M?N=a ?a =a ， 所以 loga（M?N）=p+q=logaM+logaN． 即 loga（MN）=logaM+logaN． 师：这个法则的适用条件是什么？ 生：每个对数都有意义，即 M＞0，N＞0；a＞0 且 a≠1． 师：观察法则（1）的结构特点并加以记忆． 生：等号左端是乘积的对数，右端是对数的和，从左往右看是一个降级运算． 师：非常好．例如， （板书）log2（32×64）=？ 生：log2（32×64）=log232+log264=5+6=11． 师：通过此例，同学应体会到此法则的重要作用――降级运算．它使计算简化． 师： （板书）log62+log63=？ 生：log62+log63=log6（2×3）=1． 师：正确．由此例我们又得到什么启示？ 生：这是法则从右往左的使用．是升级运算． 师：对．对于运算法则（公式） ，我们不仅要会从左往右使用，还要会从右往左使用．真正领会法则的 作用！ 师： （板书） （2）两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数．师：仿照研究法则（1）的四个步骤，自己学习． （给学生三分钟讨论时间． ） p q 生： （板书）设 logaM=p，logaN=q．根据对数的定义可以写成 M=a ，N=a ．所以师：非常好．他是利用指数的运算法则和对数的定义加以证明的．大家再想一想，在证明法则（2）时， 我们不仅有对数的定义和性质，还有法则（1）这个结论．那么，我们是否还有其它证明方法？ 生： （板书）师：非常漂亮．他是运用转化归结的思想，借助于刚刚证明的法则（1）去证明法则（2） ．他的证法要 比书上的更简单．这说明，转化归结的思想，在化难为易、化复杂为简单上的重要作用．事实上，这种思 想不但在学习新概念、新公式时常常用到，而且在解题中的应用更加广泛． 师：法则（2）的适用条件是什么？ 生：M＞0，N＞0；a＞0 且 a≠1． 师：观察法则（2）的结构特点并加以记忆． 生：等号左端是商的对数，右端是对数的差，从左往右是一个降级运算，从右往左是一个升级运算．专心 爱心 用心 44 师： （板书）lg20-lg2=？师：可见法则（2）的作用仍然是加快计算速度，也简化了计算的方法． 师： （板书） 例 1 计算：（学生上黑板解，由学生判对错，并说明理由．： ） （1）log93+log927=log93×27=log981=2；（3）log2（4+4）=log24+log24=4；生：第（2）题错！在同底的情况下才能运用对数运算法则． （板书）生：第（3）题错！法则（1）的内容是：生：第（4）题错！法则（2）的内容是：师：通过前面同学出现的错误，我们在运用对数运算法则时要特别注意什么？ 生：首先，在同底的情况下才能从右往左运用法则（1）（2） 、 ；其次，只有在正因数的积或两个正数的 商的对数的情况下，才能从左往右运用运算法则（1）（2） 、 ． 师： （板书） （3）正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数．即 n loga（N） =n?logaN． 师：请同学们自己证明（给几分钟时间） 师：法则（3）的适用条件是什么？ 生：a＞0，a≠1；N＞0． 师：观察式子结构特点并加以记忆． 生：从左往右仍然是降级运算． 5 3 师：例如， （板书）log332=log52 =5log52．练习计算（log232） ． （找一好一差两名学生板书． ） 3 5 3 15 错解： （log232） =log2（2 ） =log22 =15． 3 5 3 3 3 正确解： （log232） =（log22 ） =（5log22） =5 =125． （师再次提醒学生注意要准确记忆公式． ）专心 爱心 用心 45 师： （板书） （4）正数的正的方根的对数等于被开方数的对数除以根指数．即师：法则（4）的适用条件是什么？ 生：a＞0，a≠1；N＞0． α 师：法则（3）和法则（4）可以合在一起加以记忆．即 logaN =α logaN（α ∈R）（师板书） ． 例 2 用 logax，logay，logaz 表示下列各式：解：（注意（3）的第二步不要丢掉小括号． ） 例 3 计算： 解： （生板书） 7 5 7 5 （1）log2（4 ×2 ）=log24 +log22 =7log24+5log22=7×2+5×1=19．师：请大家在笔记本上小结这节课的主要内容． 小结：通过本节课，应使学生明确如何学习一种运算（从定义、记法、性质、法则等方面来研究） ；如 何学习公式或法则（从公式推导，适用条件，结构特点和记忆以及公式作用四方面来研究） ．针对高中数 学内容多、密度大、进度快的特点，应使学生尽早地掌握适应高中数学的学习方法． 练习：课本第 68 页练习第 1、2、3 题。 作业：课本第 74 页习题 2.2A 组题第 3、4、5 题。专心爱心用心46 第三课时 简略教案设计说明： （1）对数换底公式（教材第 64 页“探究性问题” ） 解决课本第 68 页练习第 4 题和第 75 页第 11 题，另外补充公式： log am bn ?n log a b 及应用。 m（2）对数及对数运算性质的初步应用，解决课本第 66 页例 5 和例 6，使学生体会数学来源于生活而又 应用于生活的实际意义，并培养学生学习数学的兴趣。专心爱心用心47 2.2 对数函数（三课时） 第一课时 教学任务： （1）通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体 会对数函数是一类重要的函数模型； （2） 能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象， 探索并了解对数函数的单调性与特殊点； （3）通过比较、对照的方法，引导学生结合图象类比指数函数，探索研究对数函数的性质，培 养学生数形结合的思想方法，学会研究函数性}
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