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对数量积性质的新认识
要】：教学活动要遵循内在规律,只有当一切外在事实（知识）通过教师的主导作用,最后被主体（学生）认识之后,这外在东西才会为主体真正占有,这种转化只有在参与实践中才能体会并重新构建、形成知识体系.我们的教材中的好多知识表面上是孤立的,若我们的的教师在引领学生认知这些内容的同时,有“意识”的揭示这种“知识链”,内化我们学生的理解,让学生对知识的构建“水到渠成”!这不失为一种有效教学的好途径.【关键词】：数量积
距离作为新课程改革,高中数学教材的两个显著变化就是“向量和导数”的引入.其目的也很明确：为研究函数、空间图形,提供新的研究手段,即充分体现它们的工具性.但这种“工具性”,只有在深刻理解的基础上才能用好,而要想用活,这又需要我们在实践中不断“开发”新的认识,丰富知识网络,形成较完善的“认知模块”、“知识体系”.例如全日制普通高级中学教科书《数学•第二册（下B）》P33&中,关于空间向量的数量积有这样三条性质：（1） ,（2） ,（3） .作为“工具性”,性质（2）（3）比较明显,会立即得到充分的应用.可是对于性质（1）,当时,在上新授课时我总认为：这条性质没有什么“本质上”的用处,有点像“房间里的摆设”——配角.但是随着时间的推移,笔者发现了她的奥妙之处：在后继的有关空间问题中的“三大角度”和“三大基本距离”的坐标法的研究中有着奇妙无穷的用途,并带来意想不到的“知识链”反应,极大地丰富了关于空间向量的“数量积”这一运算的“认知模块”的内涵.本文便梳理和佐证这一认知,以飨读者.（一）性质的产生与内含已知向量 和轴l, 是l上与l同方向的单位向量,作点A在l上的射影 ,作点B在l上的射影
则 叫向量 在轴l上或在 方向上的正射影,简称射影. 可以证明得, （证明略,图如下所示.）此性质的内含理解有四点：①结果是一个数量（本身含正负号）；②其正负号由向量 所成角的范围决定；③加上绝对值 便是一条线段长度（这里 刚好组成一个直角三角形的两条直角边）；④可以推广为求一条线段在另一条直线上的正射影（此线段所在直线与已知直线的位置关系可以异面直线）.（二）性质的“知识链”对教材引进空间向量的“坐标法”来解决空间中“三大角”问题,我们的学生可以说是欣喜若狂啊,因为学生觉得这种方法好!可操作性强!（只要能建系,有坐标就行!）但在实际应用中,学生觉得这些结论不易理解,加上这些结论只能逐步形成和完善,靠死记硬背吧,今天记了明天又忘了!等到用时,仍是“生硬、呆板”,甚至张冠李戴.如何突破这一问题?我认为其根本原因是：在学生的认知结构里,这一性质未能如愿地形成“知识链”.那么,这一性质是怎样与相关问题产生“对接或联系”的呢?（1）它是空间三大角（即线线角、线面角、二面角的平面角）用向量法求解的“对接点”.1．1线线角 的求法的新认识：我们把这两条线赋予恰当的两个向量,问题就化归为两个向量的夹角（两个向量所成的角的范围为 ）,即 ,我们能否加以重新认识这个公式呢?如图, ,此时OB1可以看作是 与 方向上的单位向量 的数量积 ,这就是由数量积这条性质滋生而成的；故此结论重新可以理解为： （这里刚好满足三角函数中余弦的定义：邻边比斜边）.1．2线面角 的求法的新认识：
（其中 为平面 的一个法向量）,此结论重新可以理解为： ,此时OP又可以看作是 在 上的投影,即 与 方向上的单位向量 的数量积 , ,故 （这里刚好满足三角函数中正弦的定义：对边比斜边）.1．3二面角的平面角 的求法的新认识： = （其中 是两二面角所在平面的各一个法向量）此结论重新可以理解为： （这里刚好满足三角函数中余弦的定义：邻边比斜边）.★三大角的统一理 、 、 、其从上述梳理完全可以看出其本质特征：这里的“空间角”的求法,完全与直角三角形中的三角函数的“正弦或余弦的定义”发生了对接——对边或邻边就是斜边的向量在此边向量上的投影,即斜边向量与对边或邻边方向上的单位向量的数量积,而理解与掌握这里的“空间角”的直角三角形的构图,学生完全可以达到“系统化”和“自主化”,因为直角三角形中的三角函数定义,他们太熟悉了!即将知识的“生长点”建立在学生认知水平的“最近发展区”,那学习就会水到渠成! （2）它又是空间三大距离（即点线距、点面距、异面直线间距离）用向量法求解的“联系点”.空间中有七大距离（除球面上两点间的距离外）基本上可转化为点点距、点线距、点面距,而点线距和点面距又是重中之重!另外两异面直线间的距离,高考考纲中明确要求：对于异面直线的距离,只要求会计算已给出公垂线或在坐标表示下的距离.因此对异面直线间的距离的考查有着特殊的身份.教材按排中引进了向量法来解决距离问题,也给问题的解决带来新的活力!不用作出（或找出）所求的距离了.2．1点面距求法的新认识： （其中 为平面 的一个法向量）,此结论重新可以理解为：
,即 在 上的投影,即 与 方向上的单位向量 的数量积 .2．2点线距求法的新认识：1）新认识之一：如图,若存在有一条与l相交的直线时,就可以先求出由这两条相交直线确定的平面的一个法向量 ,则点P到l的距离 .2）新认识之二：若不存在有一条与l相交的直线时,我们可以先取l上的一个向量 ,再利用 来解,即： ,而数量OB可以理解为 在l上的向量 的投影,也即为： .2．3异面直线间距离求法的新认识： 从这几年的高考《考纲说明》观察,我们不难发现,对异面直线间距离的考查本意不能太难,但若出现难一点的考题,命题者又能自圆其说的新情况.实际上,这种自圆其说法归根到底在于高考考纲中的说法：只要求会计算已给出公垂线或在坐标表示下的距离.那也就是说,在不要作出公垂线（也许学生作不出!）的情况下,也可以求出它们的距离的!那就是用向量法!如图所示：若直线l1与直线l2是两异面直线,求两异面直线的距离.
略在两直线上分别任取两点A、C、B、D,构造三个向量 ,记与两直线的公垂线共线的向量为 ,则由 ,得 ,则它们的距离就可以理解为： 在 上的投影的绝对值,即：
. ★三大距离的统一理解: （点面距）、
（异面距）、 （点线距之一）、 且 （点线距之二）、其本质特征是：一个向量在其所求的距离所在直线的一个向量上的投影,也即数量积此性质的直接应用.由上述的剖析过程不难再看出：空间中的三大角与三大基本距离的计算,都隐藏于这个“特定”的数量积的性质之中,体现在这个公式结构的“统一美”之中,把问题的本质揭示得“淋漓尽致”,而又不失自然!这给“立体几何” 中向量的工具性的体现,增色了几分美感与统一感!（三）性质的应用例1、（2005年山东省（理科）高考第20题）如图,已知长方体
直线 与平面 所成的角为 , 垂直 于 , 为 的中点.（I）求异面直线 与 所成的角；（II）求平面 与平面 所成的二面角；（III）求点 到平面 的距离.在长方体 中,以 所在的直线为 轴,以 所在的直线为 轴, 所在的直线为 轴建立如图示空间直角坐标系；由已知 可得 , ,又 平面 ,从而 与平面 所成的角为 ,又 , , ,从而易得 （I） 因为 所以
,易知异面直线 所成的角为 （II） 易知平面 的一个法向量 ,设 是平面 的一个法向量, 由
即 所以 即平面 与平面 所成的二面角的大小（锐角）为 （III）点 到平面 的距离,即 在平面 的法向量 上的投影的绝对值,所以距离 = 所以点 到平面 的距离为 例2、（2005年重庆（理科）高考第20题）如图,在三棱柱ABC—A1B1C1中,AB⊥侧面BB1C1C,E为棱CC1上异于C、C1的一点,EA⊥EB1,已知AB= ,BB1=2,BC=1,∠BCC1= ,求：（Ⅰ）异面直线AB与EB1的距离；（Ⅱ）二面角A—EB1—A1的平面角的正切值. （I）以B为原点, 、 分别为y、z轴建立空间直角坐标系.由于BC=1,BB1=2,AB= ,∠BCC1= ,在三棱柱ABC—A1B1C1中有B（0,0,0）,A（0,0, ）,B1（0,2,0）,A1（0,2, ） ,设
,则 得, （令y=1）,故 =1（II）由已知有 故二面角A—EB1—A1的两个半平面的法向量为 .
.通过上述几个高考题的分析,我们不难看出：立体几何中的几何法的“难在找（或作）所求的角度或距离”,通过这个数量积的性质的转化（方法的转化与知识之间的转化）,其“难”渐渐地溶解于“转换与化归”之中及学生的细心地“计算”之中,从而也焕发了数量积这条性质的奥妙之处,也就更体现了“向量”这个工具在立体几何中应用的优越性、工具性.因为”程序化”的计算使我们的学生的“信心”倍增!同时让我们的学生也懂得了“知其所以然”,再也不用为记这一个“好结论”而烦恼了!参考文献：1、2005年普通高等学校招生全国统一考试大纲 （高等教育出版社）2、《浙江省高考命题解析——数学》
（浙江省高考命题咨询委员们编著）3、基础教育课程改革教师通识培训书系第二辑《课程改革发展》（中央民族大学出版社
周宏主编）
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小论文要从什么方面写哟？　谁知道 告诉我吧，谢谢了举报|1 分钟前选秀潮ga | 来自手机知道
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首先,看一下主要是指阅读数学课本.许多学生没有养成这个习惯,教科书练习册;还有部分学生不知道怎么读,这是他们不学数学的主要原因之一.通常,读取可分为以下三个等级：
1课前预习读取.当预览文本,准备一张纸,一支笔,关键词的教科书,并需要考虑下注释中的问题,定义,公理,公式,法则等,都可以在纸上重复简单.注重课本知识可以授予,画,圈,点.这不仅有助于理解课文,还能帮助我们在课堂上讲课,集中力量,专注于演讲.
2,课堂阅读.当排练,我们只是想学习教材有一个大概的了解,并不一定要了解深层渗透和消化吸收,这是必要的,以纪念和制备过程中的意见提出,结合教师的教学,进一步阅读文本,因此主密钥,关键要解决的难题准备.下课后
3检讨阅读.课后复习是课堂学习的延伸,可以解决排练教室还是没有解决问题,同时也使系统的知识,加深和巩固课堂学习和记忆的内容的理解.一节课后,必须先读的书,然后做功课;后单位应充分阅读教材,前后相连的知识书面总结,查缺补漏全面总结了单元的内容后.
二,认为 主要是指培养思考的习惯,学会思考的方法.独立思考是必须要学会在学习倾听（部）一边思考,看（书）边思考,这样做（题）边思考,积极思考,通过数学知识的深刻理解数学,学生的概括能力数学规律,灵活解决数学问题,这样说话的老师,写进自己的知识的教科书.
三,办_ 主要是指做练习,学习数学练习一定要做,而且应该做更恰当.首先,做练习的目的是巩固知识和学习能力;其次知识和独立思考能力训练的最初的灵感灵活应用;三是掌握的数学知识具有不同的内容进行沟通.在做练习,要认真审题,认真考虑用什么方法应该用来做什么?能有一个简单的解决方案?不要以为做边总结,通过练习来加深对知识的理解.
四,问 是指学习要善于发现的过程,并提出疑问,这是一个学生的重要举措,了解是否有进步的迹象.有经验的老师认为：找到并问学生问题,希望有更多的成功的学习能力;反之,一问三不知,但它没有提供任何的问题学生不能学好数学.那么,如何发现并提出问题?首先,深入观察,逐步培养自己敏锐的观察力;二,愿意动脑筋,不愿意动脑筋,不去想,当然,也没有发现任何问题,也没有提出疑问.如果发现问题,通过自己的独立思考,问题仍然没有得到解决,就应该虚心向别人咨询,教师,学生,家长及所有在这个问题上比自己的人的意见更好.不要有虚荣心,不怕被人看不起.只有善于提出问题,从人谁都有可能成为强大的真实学习学习.
一,教科书应该“预先完成,再.”每一个新的教训教会面前,让第一次彩排,还是不明白之处的特殊困难,应使用蜡笔,以更注重在课堂上画画.每一节后面的练习,他们可以先做一做,了解新内容70％,会做80％的练习.经过每一段学习新的内容,我们必须按照教科书的内容,从易到难,从简单到复杂,循序渐进,比较学过的知识回顾的概念,定理,公式做出归纳,总结,加深知识的理解对自己的教科书最好的例子可以再次做到这一点.教科书的概念,定理,公式再推理,形成知识的全面理解.
两个在课堂上“听,写,练.”在预科班的问题集中在听力,需要在必要时做笔记,并整合通过一些练习.不像数学等学科,人们记住的概念,定理,公式,解决不了实际问题的,只有通过实践来减少计算错误出现.
三,作业应“思考,问,集”.操作必须养成独立思考,从角度开始很多不同的方法,多探索各种从典型的标题,联想解决问题的方法,并从中得到启示的习惯.还应该建立一个数学问题的解决和更多的思考：如果,思想认识方程,函数,数形结合和想法,思想等的?共同分类方法的总体思路;对于这个问题,你为什么要问几个,如改变条件,添加条件,结论与条件互换,原结论还成立吗?另外,对于自己的操作,会出现在报纸上的错误,最好准备一个错题集在下次审查中.不会出现第二次类似的错误.
短,有学习数学,规划和合理安排的方法.授新课后,一些学生感到头疼,所以看西向东看,一天下来,不知道学什么.因此,每个学生都应该根据自己的实际情况,合理的方法来学习目标发展;没办法,这将成为一个无头苍蝇;没有目标就没有动力.}