生活中的数学问题争论（含解答）
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前几天科学网上讨论数学的作用，我在几个跟帖里强调：“数学是研究逻辑能够走多远的学问”。很多人以为数学就是整那些谁也闹不懂，没什么用处的问题；以为学数学就是记住几个公式定理，在论文中装饰一下，实践中未必有用。其实数学训练中最重要的，是概念把握和逻辑推理，而不是怎么计算。你学习数学时如果只对付考试，也许就忽略了。这个解题能力并不是要考虑很高深的问题时才会遇到，其实在生活中也很常见。这里有三个简单的问题给你一个测试。
问题1：有人问葱多少钱一斤？卖葱的说：1块钱1斤，这是100斤，要100元。又问葱白跟葱绿分开卖不卖？答：卖，葱白7毛，葱绿3毛。买葱的人都买下了。切段称了下，葱白50斤，葱绿50斤。最后结算，葱白50x0.7=35元，葱绿50x0.3=15元。35+15=50元。给50元就走了。卖葱的人纳闷了，为什么原来100元的葱，拆开就卖50元呢？
另一个是：
问题2：猎人看到树上一只松鼠，猎人绕着树走一圈，松鼠趴在树后面也跟着转一圈，始终没让他看到它背后。问：猎人绕树转了一圈是不是也绕着松鼠转一圈？一个观点是：当然了，绕着树转一圈也就绕着树上的松鼠转一圈。另一个说：既然他绕着松鼠转一圈，为什么即使没有被树挡着，猎人也看不到它的背？
再算一道题：
问题3：一个商人骑一头驴要穿越1000公里长的沙漠，去卖3000根胡萝卜。已知驴一次性可驮1000根胡萝卜，但每走1公里驴要吃掉1根胡萝卜。问：商人最多可卖出多少胡萝卜？
也许有人见过这些题，作为科学网里的数学讨论题，还是要有点新意的。大家可把自己的答案贴在评论。如果想过了这问题还好奇还有什么新意，后天再来看这个帖子更新后贴的。
【声明】文中的题目是有目的那样叙述的，因为要在后天揭晓，所以一般不回复评论。谢谢！
————————————
【解答】贴于评论74，点击6268时
感谢大家热情的参与和解答，不少朋友已经有了很好的或近乎正确的答案，但还是有不少落入博文设计的目标，或启发了兴趣，这让我写下面的博文，不会是无的放矢。
博文中的三道题是为了说明：“数学训练中最重要的是概念把握和逻辑推理”，这里给了从很简单的混淆概念、不明定义到怎么应用逻辑的问题，来引发大家思考。下面的引文不是针对跟帖评论中的任何人，只是编辑典型的事例来说明观点。
有人说：“这葱白和葱绿一样重，可能吗？有这么傻分开卖的吗？这不是来自生活实践的问题！”
那说成葱白10%和葱绿90%，猪肉切开按部位卖，问题的本质有什么不同？数学抽象的训练让我们只关心问题的本质，有能力忽略掉不相干的细节，直接思考有意义的内容。
“这也能叫数学问题？数学最基本的‘概念、条件’都没说清楚。。。数学是严谨的科学！”
这是我最想表明的：数学的训练是让你自己能够发现、把握这个“概念、条件”，而不是像应试那样等着考题来规范。考试题目的严格规范，是为了测试你对课本内容的记忆和了解。生活和工作是应用学到的知识，这要求你有能力把各种问题，规范成能用数学解决的概念（模型）和条件。
更多的评论，在下面解答这些生活中的数学问题里展开。。
问题1：1块钱1斤的葱，拆成葱白7毛，葱绿3毛，是指1块钱的葱分成两部分，其中葱白值7毛和葱绿值3毛钱，而不是葱白单价1斤7毛，1斤葱绿3毛。这卖葱的混淆了价值和价格两个概念，所以计算出错。100斤葱里，如果是对半分成葱白50斤和葱绿50斤，那它们的单价分别应该是1块4和6毛。谁都知道那结果荒谬，但错不在于故事是否真实，而是故事演示一些逻辑给你看，让你准确判断错在哪里。概念清楚了，计算才不会出错。
问题2：什么叫做“绕着转一圈”，在这问题里两种观点没有一致的定义。科学网上很多问题的争论也像是这样，概念含糊不清。日常生活中许多词都是含糊的，没有确切的定义。威廉·詹姆斯在《实用主义》书中以这个“猎人和松鼠”的例子说明，很多争论其实只是语义上的分歧，一但含糊不清的术语被精确地定义，激烈的争论就变得很无谓。数学训练的基本功是抽象能力，争论时应该善于滤去形容词、副词、情绪话语直达内容的本质，讨论有明确定义论点上的分歧。
问题3：这个问题网上有各种答案。性急的，说这是伪问题，1000公里驴子把驮的都吃完了，还卖什么？脑筋急转弯的，说先把驴卖掉，拿钱坐飞机把胡萝卜运去，这就能卖出3000根。讲爱心的，说这事要问驴子怎么看。虚心的，弱弱地问：“老大，驴子为什么要吃胡萝卜？”把它当作计算问题的回答是：
先运1000根到200公里处，放下600根，驮200根够吃的返回。再运1000根，到了200公里处补足吃掉的200根前行333公里，放下334根，返回到200公里处，取了200根吃着回家。第三次再运1000根，到200公里处扫底补足了路上吃掉的，到达333公里的第二站，这时离目的地还有=467公里，这里共有1001根胡萝卜，装上1000根，扣去路上吃的，运到时还有533根。
有人抗议：“你没告诉我沙漠可以停，堆在那儿也不怕兔子咬狐狸叼被人偷了呀？”
这是应试教育出来的书呆子，脑袋被门夹了，想问题时太呆，找借口时又太活络。
有人笑了：“还没有证明533根是最多可以运到的胡萝卜吧？”
对头！这才是学了数学要提的问题。回答这问题，许多跟帖和外帖也给出不错的解释。我自己的思路是这样的：
用数学解决问题，合适的抽象化往往带来效益，这时若有特殊例外先记下来，然后检验或补救。这样一般都能事半功倍。我们先弄清楚优化的必要条件：
运输会消耗资源，要运最多的资源到终点，每次运输必须满载（例外：不可避免时），将不再回返地点的资源耗尽，来挪前其他的。不难证明，不满足这条件的方案一定还有改进的空间（例外：不能园整的小数部分）。所以最优方案就是消耗一些资源，把其余的全部往前移。
基于上述的要求，如果资源只有1000根胡萝卜，驴子满载走完这1000公里，也把它吃完了，运了0根。如果资源不仅如此，就能消耗一些建立中转站，最后的中转站离目的地不到1000公里，满载从这里出发扣去路上消耗的就是运达的数量。最大化运达数量，就是想办法让这最后的中转站，尽量靠近目的地。
考虑有1000N资源，这里N&1是整数，因为要满载及把留在出发地的资源耗尽，所以要运N次，往返共2N-1趟。要让下一程每次都能满载，这一程要消耗1000资源（不是1000的倍数，下程不能满载，多于1000的倍数，不如放在下一程往返更少的路程消耗，可以走更远），这得出这一程走的距离是1000/（2N-1）公里（例外：出发地离终点少于这距离时）。假定驴子一次要吃一整根胡萝卜，这个里程数必须是把小数去掉的整数部分，记为[1000/（2N-1）]。
因为这N次的运输已经把1000N的资源全部运离出发地，途中消耗了1000，所以将剩下的1000（N-1）的资源全部运近了[1000/（2N-1）]公里处的中转站。只要不遇到例外的情况，重复应用上述的方法，不浪费资源地把剩余的全部移近目的地，到了N=1，可以将∑[1000/（2n-1）]，n=2,…,N数量的资源运达目的地了。
将算法用到这具体的例子。不难验证它都不会出现例外的情况，那答案便是[1000/3]+ [1000/5] =533。
这是一个构造性的通解，运法在证明中。优化的思路清晰，让你很容易进一步算出2000资源最多可以运达333，4000有675，5000有786，6000有876，7000有952，到8000时就会遇到最后一程可以走两次情况。这也不难就这一程考虑优化算法。至于更一般情况，出现了其他例外的情形时也不难在这基础上加细考虑。应用数学解决现实问题，按照需求不断加细才有效率。
“等等，题目中，没有说驴子是怎么一公里吃一根萝卜的，我在最后一个中转站让它先吃一根胡萝卜，然后驮1000根上路，这样到达时就运了534根！”
也对。既然题目没有局限，这说法有道理，也是个好答案。这想法也可用来细化通解。
“到底是533还是534正确？那卖驴空运的答案也在题目没有局限处，为什么就不行了？”
这个不同数字很重要吗？也许对考试是如此，但对做研究或应用，有意义的难点都在533的答案中解答了，它们的区别只是在没规范之处的细节处理不同。现实中的问题并不只是有一种答案，它们的区别只在于有没有意义。如果是找乐子的，搞笑的回答最好，如果是商业应用，实用性最有意义，脑筋急转弯欣赏创意，如果是数学问题，那就要有挑战性，能出漂亮的结果。
“这些问题都是些没什么意义的诡辩，来点有难度的真正数学问题，别耽误了我学习微分方程的时间！”
确实，想这类问题对考试，提职称没多大帮助，做出来了也不算什么成绩。但这是磨砺头脑的练习。连最基本的概念、逻辑、思想的严谨都分不清，还不屑一顾的，多是说数学没有用的人。这样的态度学了再多的微分方程，数学定理，不是用错了就是懵懂。最后还会怪用数学的方法都不灵。
数学其实就是告诉你从一组假定中，按照逻辑能够走多远。所以，第一，数学告诉你怎样进行严格的推理，推理的技巧和套路。第二，纯数学的研究是探讨非常基本观念（定义）和假设（公理），并以此为出发点，推出各种与之不矛盾的结果（定理）和系统（如微积分）。应用数学的人，如物理和工程，以事实或猜测为前提，抽象具体的问题成数学模型，用数学方法和系统，看看依逻辑能够走多远。或以此结果作为原来知识的推论，或是用实验检验之，来判断前提假设的正误。这就是数学在科学里的位置。从这个角度来看，数学永远不会过时，只要人类还用逻辑就需要它。
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数学里也能耍流氓
数学推理也会漏洞百出，但仍然充满智慧
有漏洞的数学推理就毫无意义吗？
本文作者:matrix67
数学一向以严谨的思维著称，每一步推理都需要严格的理由。但在数学历史中，漏洞百出的数学推理也频频出现。有趣的是，即使是这些不严格的思路也充满着智慧，在数学中的地位不亚于那些伟大的证明。今天，果壳死理性派会用几个经典例子告诉你，在数学里也是可以耍流氓的。
逻辑中的那些流氓
耍流氓是各种数学悖论的来源。你能想一个命题，使得它和它的否定形式同时成立吗？令人难以置信的是，这样的命题真的存在。“这句话是七字句”就是这样一种奇怪的命题。它的否定形式是“这句话不是七字句”，同样是成立的。
你肯定会大叫“赖皮”，命题的真假与这个命题本身的形式有关，这样的命题算数学命题吗？没错，这些涉及到自己的命题都叫做“自我指涉命题”，它们的出现会引发很多令人头疼的问题。从说谎者悖论（Liar paradox）到罗素悖论（Russell's paradox），各种逻辑悖论的产生根源几乎都是自我指涉。数理逻辑中的流氓遍地都是，它们直接引发了数学史上的第三次数学危机。
欧拉的流氓证明法
在数学史上，很多漂亮的定理最初的证明都是错误的。最典型的例子可能就是 1735 年大数学家欧拉（Euler）的“证明”了。他曾经仔细研究过所有完全平方数的倒数和的极限值，并且给出了一个漂亮的解答：
这是一个出人意料的答案，圆周率 π 毫无征兆地出现在了与几何完全没有关系的场合中。欧拉的证明另辟蹊径，采用了一种常人完全想不到的绝妙方法。他根据方程 sin(x)/x = 0 的解，对 sin(x)/x 的级数展开进行因式分解，再利用对比系数的方法神奇地得到了问题的答案。不过，利用方程的解进行因式分解的方法只适用于有限多项式，在当时的数学背景下，这种方法不能直接套用到无穷级数上。虽然如此，欧拉利用这种不严格的类比，却得出了正确的结果。欧拉大师耍了一个漂亮的流氓。
最经典的“无字证明”
一些定理的直观理解虽然毫无逻辑可言，完全算不上是数学证明，但这些精巧而欢乐的视角，依然让数学家们如痴如醉。
1989 年的《美国数学月刊》（American Mathematical Monthly）上有一个貌似非常困难的数学问题：下图是由一个个小三角形组成的正六边形棋盘，现在请你用右边的三种（仅朝向不同的）菱形把整个棋盘全部摆满（图中只摆了其中一部分），证明当你摆满整个棋盘后，你所使用的每种菱形数量一定相同。
文章末尾提供了一个非常帅的“证明”。把每种菱形涂上一种颜色，整个图形瞬间有了立体感，看上去就成了一个个立方体在墙角堆叠起来的样子。三种菱形分别是从左侧、右侧、上方观察整个立体图形能够看到的面，它们的数目显然应该相等。
严格地说，这个本来不算数学证明的。但它把一个纯组合数学问题和立体空间图形结合在了一起，实在让人拍案叫绝。因此，这个问题及其鬼斧神工般的“证明”流传甚广，深受数学家们的喜爱。《最迷人的数学趣题——一位数学名家精彩的趣题珍集》（Mathematical Puzzles: A Connoisseur's Collection）一书的封皮上就赫然印着这个经典图形。在数学中，类似的流氓证明数不胜数，不过上面这个可能算是最经典的了。
《最迷人的数学趣题——一位数学名家精彩的趣题珍集》的封面
旋轮线的面积
旋轮线。图片来源：Wikipedia
车轮在地上旋转一圈的过程中，车轮圆周上的某一点划过的曲线就叫做“旋轮线”。在数学和物理中，旋轮线都有着非常重要而优美的性质。比如说，一段旋轮线下方的面积恰好是这个圆的面积的三倍。这个结论最早是由伽利略（Galileo Galilei，）发现的。不过，在没有微积分的时代，计算曲线下方的面积几乎是一件不可能完成的任务。伽利略是如何求出旋轮线下方的面积的呢？
他的方法简单得实在是出人意料：它在金属板上切出旋轮线的形状，拿到秤上称了称，发现重量正好是对应的圆形金属片的三倍。
在试遍了各种数学方法却都以失败告终之后，伽利略果断地耍起了流氓，用物理实验的方法测出了图形的面积。用物理实验解决数学问题也不是一件稀罕事了，广义费马点（generalized Fermat point）问题就能用一套并不复杂的力学系统解出，施泰纳问题（Steiner tree problem）也可以用肥皂膜实验瞬间秒杀。
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富有激情的心理学工作者
想起中学时做几何题，算不出来就拿尺子量。。。后来由于这样耍流氓的人太多，老师就故意把图画得比例失调
引用 琦迹517 的回应：如何证明0.9999999……=1？？？？？证：设a=0.99999……（①）则10a=9.999999……∴10a=9.999999……=9+0.99999……=9+a∴10a-a=9∴a......您为什么不用更流氓的办法……1/3=0.……3*(1/3)=0.……=1……………………………………
资深心理学爱好者
如何证明0.9999999……=1？？？？？证：设a=0.99999……（①）则10a=9.999999……∴10a=9.999999……=9+0.99999……=9+a∴10a-a=9∴a=1又∵a=0.……（①）∴0.999999……=1俺来耍流氓了~
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资深心理学爱好者
如何证明0.9999999……=1？？？？？证：设a=0.99999……（①）则10a=9.999999……∴10a=9.999999……=9+0.99999……=9+a∴10a-a=9∴a=1又∵a=0.……（①）∴0.999999……=1俺来耍流氓了~
－－！你狠。。。引用 琦迹517 的回应：如何证明0.9999999……=1？？？？？证：设a=0.99999……（①）则10a=9.999999……∴10a=9.999999……=9+0.99999……=9+a∴10a-a=9∴a=1又∵a......
最后一个我想起那个爱迪生称灯泡体积的故事
证明菱形数量一定相同那个题，可以用三次单位根赋值的方法
引用 琦迹517 的回应：如何证明0.9999999……=1？？？？？证：设a=0.99999……（①）则10a=9.999999……∴10a=9.999999……=9+0.99999……=9+a∴10a-a=9∴a......您为什么不用更流氓的办法……1/3=0.……3*(1/3)=0.……=1……………………………………
理论物理博士，科学松鼠会成员
其实对于数学家来讲，物理学家都是流氓。矩阵兄可以写个哈！
动物学硕士，猫咪控
旋轮线，一句话 真是太神奇了！
关于0.999……＝1，俺也是这样证明的：1/3＝0.333……1/3×3＝10.333……×3＝0.999……0.999……＝0.333……×3＝1/3×3＝1
好爱伽利略耍的流氓！！！
引用 sheldon 的回应：其实对于数学家来讲，物理学家都是流氓。矩阵兄可以写个哈！顶，对于物理学家来讲，化学家都是流氓= =
好优美的耍流氓！
我是个老实人，我不耍流氓——0.999999......=3X1/3=1
blockquote]引用 琦迹517 的回应：如何证明0.9999999……=1？？？？？证：设a=0.99999……（①）则10a=9.999999……∴10a=9.999999……=9+0.99999……=9+a∴10a-a=9∴a=1又∵a......[/blockquote]
话说...耍流氓不成也是常有的事情...比如欧拉同学就干过 lim 1/x^n+...+1/x^2+1/x+1+x+x^2+...+x^n (n-&inf) = 1+1/x+1/x^2+...1/x^n+x+x^2+...+x^n(n-&inf) = (1-(1/x)^(n+1))/(1-1/x)+x*(1-x^n)/(1-x) (n-&inf) = x/(x-1)+x/(1-x) = 0 的神奇证明...
富有激情的心理学工作者
想起中学时做几何题，算不出来就拿尺子量。。。后来由于这样耍流氓的人太多，老师就故意把图画得比例失调
引用 琦迹517 的回应：如何证明0.9999999……=1？？？？？证：设a=0.99999……（①）则10a=9.999999……∴10a=9.999999……=9+0.99999……=9+a∴10a-a=9∴a......证明过程有一步写错了，10a-a=9a才对。接下去应该是9a=9，所以a=1……啊当然，其实结果还是一样的，只是证明过程有点小纰漏……但是的确很流氓……
引用 琦迹517 的回应：如何证明0.9999999……=1？？？？？证：设a=0.99999……（①）则10a=9.999999……∴10a=9.999999……=9+0.99999……=9+a∴10a-a=9∴a=1又∵a......我也耍~0.9999...=1???1/3=0.3333...1/3×3=0.333...×3=1嘿嘿~
流氓~~~嘎嘎~~~引用 琦迹517 的回应：如何证明0.9999999……=1？？？？？证：设a=0.99999……（①）则10a=9.999999……∴10a=9.999999……=9+0.99999……=9+a∴10a-a=9∴a=1又∵a......
对于数理化的童鞋们来说，心理学都是耍流氓
引用 琦迹517 的回应：如何证明0.9999999……=1？？？？？最简单的证法：1/3=0.……（①）则0.=0.……1/3*3=1∴1=0........
资深心理学爱好者
心理学也有严谨的统计与测量，也有实验与公式，我们不是耍流氓！！！引用 暴走紫罗兰 的回应：对于数理化的童鞋们来说，心理学都是耍流氓
康托证明有理数可数和实数不可数的方法也相当奇葩
哈哈~~耍流氓~~好有爱的形容词啊~~
最后那个流氓。。。我只能说太神奇了。
我觉得，学校的数学老师有必要说明无限循环小数的加减法运算，否则很多人都会想耍流氓。
在上管理学的课，老师是流氓...
……没有语言了……
富有激情的心理学工作者
引用 暴走紫罗兰 的回应：对于数理化的童鞋们来说，心理学都是耍流氓这是从何说起。。。
旋轮线。。。太NB了。。。。
哈哈，太有意思了
伽利略...非礼啊~
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5个看似巨简单的数学问题至今无人能破
数学有时候会变得特别复杂，然而幸好不是所有的数学问题都晦涩难懂。这篇文章将会向大家介绍数学领域中五个有趣的问题，问题本身简单易懂，但迄今仍未被数学家们解决。图片来源：Justin Lewis1. Collatz猜想图片来源：Jon McLooneCollatz猜想是一个简单有趣而又没有解决的数学问题。克拉兹问题（Collatz problem）也被叫做hailstone问题、3n 1问题、Hasse问题、Kakutani算法问题、Thwaites猜想或者Ulam问题。是指：随意选一个整数，如果它是偶数，那么将它除以2；如果它是奇数，那么将它乘以3再加1。对于得到的新的数，重复操作上面的运算过程。如果你一直操作下去，你每次都终将得到1。德国数学家于1937年首次提出这个问题，题意清晰、明了、简单，连小学生都能看懂，得到许多大数学家的关注。日本角谷静夫谈到该猜想的历史时讲：“一个月里，耶鲁大学的所有人都着力于解决这个问题，毫无结果。同样的事情好象也在芝加哥大学发生了。有人猜想，这个问题是苏联克格勃的阴谋，目的是要阻碍美国数学的发展。”著名学者盖伊(R.K.Guy)在介绍这一问题的时，竟然冠以'不要试图去解决这些问题'为标题。匈牙利著名的多产数学家（Paul Erd?s）曾评论说，“数学还没有为这类问题做好准备”，认为这个猜想在现阶段难以解决。&邬家邦先生的《3N 1猜想》（湖南大学出版社，2001年）是国内较全面介绍、论述该问题的著作。该书说，“3N 1猜想之所以难以攻克，原因就在于对一般的n∈N,n的迭代轨迹序列这的元素排列杂乱无章，无规律可循”。&也有的数学家认为，这种形式如此简单，解决起来却又如此困难的问题，实在是可遇而不可求。该猜想任何程度的解决都是现代数学的一大进步，将开辟全新的领域。目前也有部分数学家和数学爱好者，在进行关于“负数的3x＋1”、“5x＋1”、“7x＋1”等种种考拉兹猜想的变化形命题的研究。&许多学者对大量的自然数做了检验，均未发现反例。荷兰学者Eric Roosendaal在他的网站 (《 On the 3x 1 problem》http://www.ericr.nl/wondrous/index.html) 上，介绍了世界上研究该问题的主要成果，并组织了世界范围的分布式计算，不断公布计算结果，2^60以内的数字均通过了验证。&关于 3x 1 问题以及相关问题的会议&1999 年 8 月在德国的 Eichst?tt 大学举行。会议参与者有:K. M. Monks(美国), Ken G. Monks (美国), Paul Andaloro (美国), Günther Wirsching (德国), Manfred Kudlek (德国) Ranan Banerji (美国), Jeffrey Lagarias (美国), Dierk Schleicher (德国),Marc Chamberland (美国), Jean-Louis Rouet (法国), Eric Roosendaal (荷兰), U. Fitze(瑞士),Marc Feix (法国),Edward Belaga (法国)等。&2011年5月，德国Gerhard Opfer在《Mathematics of Computation》上发表了一篇论文(预印本PDF)，宣称证明了考拉兹猜想。一个月后，该作者承认证明是不完整的， “Collatz猜想是正确的” 的声明被撤回。（Thus,the statement “that the Collatz conjecture is true” has to be withdrawn, at least temporarily.）来源：平常心数学家们试验了数百万个数，至今还没发现哪怕一个不收敛到1的例子。然而问题在于，数学家们也没办法证明一定不存在一个特殊的数，在这一操作下最终不在1上收敛。有可能存在一个特别巨大的数，在这一套操作下趋向于无穷，或者趋向于一个除了1以外的循环的数。但没有人能证明这些特例的存在。2. 移动沙发问题图片来源：Claudio Rocchini你要搬新家了，想把你的沙发搬过去。问题是，走廊有个转角，你不得不在角落位置上给沙发转方向。如果这个沙发很小，那没什么问题。如果是个挺大的沙发，估计得卡在角落上。如果你是个数学家，你会问自己：能够在角落上转过来的最大的沙发有多大呢？这个沙发不一定得是矩形，可以说任何形状。这便是“移动沙发问题”的核心，具体来说就是：二维空间，走廊宽为1，转角90°，求能转过转角的最大二维面积是多少？能转过转角的最大二维面积被称为“沙发常数”（the sofa constant）——这是真的，我不是骗你读书少。没人知道它到底有多大，但我们知道有一些相当大的沙发可以转得过去，所以我们知道沙发常数一定比它们大；也有一些沙发无论如何都转不过去，因此沙发常数一定比这些转不过去的面积小。迄今位置，我们知道沙发常数落在2.4之间。3. 完美立方体问题图片来源：Gfis
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