科技信息博士?专家论坛MATLAB在简谐振动的合；1+A2cosφ2取A1=1，A2=1.5，ω=；cosω1tx2=Acosω2t合振动的表达式为；差时的两个分振动合成图，程序如下：wx=inpu；和他的儿子们”；
科技信息博士?专家论坛 MATLAB在简谐振动的合成教学中的应用安徽科技学院理学院刘慧王玉连李勇韩新风郭明磊高伟霞［摘要］MATLAB是一种集符号运算、数值计算、图形可视化等多种功能于一体的科技应用软件。本文运用 MATLAB软件，采用可视化和动画仿真的方法，对大学物理中简谐振动的合成进行分析，不仅使大学物理教学变得生动有趣，而且加深学生对物理规律的理解和掌握。［关键词］ MATLAB简谐振动合成0.引言MATLAB是当今最优秀的科技应用软件之一，它以强大的科学计算与可视化功能、简单易用、开放式可扩展环境，特别是所附带的 30多种面向不同领域的工具箱支持，使得它在许多科学领域中成为计算机辅助设计和分析、算法研究和应用开发的基本工具和首选平台。MATLAB具有其他高级语言难以比拟的一些优点，如编写简单、编程效率高、易学易懂等，因此 MATLAB语言也被通俗地称为演算纸式科学算法语言。在控制、通信、信号处理及科学计算等领域中，MATLAB都被广泛地应用，已经被认为能够有效提高工作效率、改善设计手段的工具软件，掌握了 MATLAB好比掌握了开启这些专业领域大门的钥匙 [1]。大学物理学是工科学生的一门必修课，其教学效果将直接影响到后续课程的教学和学习。在高等教育改革不断深入的形势下，如何对课程教学进行有效地改革，最大限度地提高教学效益，以最终提高学生能力和综合素质，是我们面临和必须解决的问题。由于物理学涉及的数学公式较多，教学处理比较复杂，传统单一的课堂讲授形式、手工推导计算方式等，已很难适应信息技术发展形势下的高等教育改革要求，并且学生学习起来普遍感到困难。如果恰当地使用可视化以展现数学公式的物理图像，使其变得直观、形象，使学生获得感性认识，缩小理论与实际的差距，缩短学生的认识过程，则可以提高课堂教学质量。而 MATLAB就是一套高性能的科学计算与可视化软件，广泛应用于大学物理的教学中 [2,3]，下面我们以大学物理教学中简谐振动的合成[4,5]这一实例出发，介绍 MATLAB在物理教学中的实际应用。1.应用实例1.1同方向同频率简谐振动的合成设一个质点同时参与两个同方向同频率的简谐振动，设振动方向为 x轴，质点的平衡位置为坐标原点 O，对两个振动同时开始计时描述，则两简谐振动的振动方程分别为： x1=A1cos(ωt+φ1) x2=A2cos(ωt+φ2)故合成运动的位置坐标为 x=x 1+x2=Acos(ωt+φ)这里 A= 姨A21+A22 +2A1 A2 cos(φ2 -φ1 )A1sinφ1+A2sinφ2tanφ= A1cosφ
1+A2cosφ2取 A 1=1， A2=1.5， ω=1， φ1=0， φ2=0.4π，用 MATLAB编写程序如下： A=1; w=1; t=0:0.01:20; x1=A*cos(w*t); x2=1.5*A*cos(w*t+0.4*pi); subplot(1,2,1); plot(t,x1,t,x2); subplot(1,2,2); plot(t,x1+x2);它们单独振动的曲线及合成曲线如图 1所示。从图 1可以看出，对于同方向同频率的两个简谐振动来说，合振动的振幅与计时起始时刻无关，而合振动的初相则与计时起始时刻有关。对于两个同方向同频率的简谐振动的合成，重要的是判定合成之后振动是加强还是减弱，这主要取决于合振幅的情况。下面讨论两合振动同相和反相两种情形。为了简单起见，我们选取 x 1=cost和 x 2=1.5cost的同向叠加以及 x 1=cost和 x 3=1.5cos(t+π)的反相叠加。设计程序如下：a单独振动曲线b合成振动曲线图 1同方向同频率简谐振动的合成 A=1; w=1; t=0:0.01:20; x1=A*cos(w*t); x2=1.5*A*cos(w*t); x3=1.5*A*cos(w*t+pi); subplot(1,2,1); plot(t,x1,t,x2,t,x1+x2); subplot(1,2,2); plot(t,x1,t,x3,t,x1+x3);运行后可以得到同方向同频率的同相叠加和反相叠加的合成图，如图 2所示。从图 2可以看出：若两分振动同向，合振动的振幅为两个分振动的振幅之和，这表明合振幅达到最大值；若两分振动的相位相反，则合振动的振幅为两个分振动振幅之差的绝对值，表明合振幅达到最小值，这种情况下如果合振动的振幅相等，表明两个分振动相互抵消，物体处于静止状态。以上两种特殊情形十分重要，在研究机械波和光波的干涉、衍射时都要用到。如果 φ2 -φ1为其他数值，则合振幅的值介于最大振幅和最小振幅之间。a同相叠加b反相叠加图 2同方向同频率的同相及反相叠加通过以上分析我们可知：两个同方向同频率的简谐振动的合成仍为简谐振动，且频率不变，但其振幅与相位差有密切的关系。1.2同方向不同频率简谐振动的合成如果一个质点同时参与两个同方向不同频率的简谐振动，则其合 基金项目：本文系安徽科技学院教研基金项目（X201060），安徽省教育厅教研基金项目（2008jyxm338），安徽省教育厅自然科学基金项目（KJZ），安徽科技学院引进人才基金（ZRC2008184）。作者简介：刘慧（1983-），女，安徽宿州人，硕士，助教，主要从事物理教学及量子统计研究。― 434 ―
科技信息博士?专家论坛 振动较为复杂。下面讨论两个简谐振动的频率相差不大（即 ω1+ω2&& ω2-ω1）且振幅相等（即 A1=A2=A）的情况。若在两个分振动都达到正向最大开始计时，则两个谐振动的振动方程为： x1=A
cosω1t x2=Acosω2t合振动的表达式为 x=x1+x2= 2Acos ω2-2 ω1t ωω2+2 ω1tcosω 式中括号内的量随时间变化缓慢，可看作缓慢变化的振幅，合振动仍具有振动的特性，但不是简谐振动。其中合振动的角频率为 ω2+2ω1，合振动的振幅为 ω2Acos ω2-2 ω1t ω，它是时间 t的周期函数，随时间的变化非常缓慢，称为振幅调制因子。为了清晰展现合振动的性质，现设计程序如下： A=1; t=0:0.01:20; x1=A*cos(4.5*t); x2=A*cos(4*t); subplot(3,1,1); plot(t,x1); subplot(3,1,2); plot(t,x2); subplot(3,1,3); plot(t,x1+x2);图 3两同方向不同频率简谐振动曲线及它们合成后形成的拍运行后得到它们各自振动的曲线及合振动曲线，如图 3所示。从图3可以看出，可将合振动看成是振幅为 ω2Acos ω2-2 ω1t ω，角频率是 ω2+2ω1 的近似简谐振动。由于振幅是周期性变化的，所以合成的振动忽强忽弱，这种合振动忽强忽弱的现象称为“拍”，单位时间内振动加强或减弱的次数称为拍频。教材[4]中指出：由于余弦函数绝对值的周期为 π，ω2-ω1则比较容易算出振幅变化的频率为 v= = v2-v1，即拍频为两2π 个分振动的频率之差，这在图 3中可以得到验证。拍现象是一种很重要的物理现象，键盘式手风琴的两排中音簧的频率大概相差 6到 8赫兹，其作用就是产生拍频。而俄罗斯的“巴扬” ――――纽扣式手风琴则是单簧片的，因此没有拍频造成的颤音效果。从运动物体反射回来的波的频率由于多普勒效应要发生微小的变化，通过测量反射波与入射波所形成的拍频，可以算出物体的运动速度。这种方法广泛应用于对卫星、各种交通工具的雷达测速装置中。调幅光波也用了此原理，即用频率相差甚微的可见光波叠加，就可以产生拍现象。1.3相互垂直同频率简谐振动的合成当一个质点同时参与两个不同方向的振动时，一般情况下质点将做平面曲线运动，其运动轨迹的形状将由两个分振动的周期、振幅和它们的相位差决定。沿两个振动的方向分别建立 x，y轴，并以质点的平衡位置作为坐标原点，则这两个分振动可分别表示为 x=A1cos(ωt+φ1)， y=A2cos(ωt+φ2)在 t时刻，质点的位置可由坐标 x，y确定。上述方程是以时间 t作为参变量的运动轨迹的参数方程，从中消去 t，便得轨迹方程 x2 +y2 xy-2 cos(φ2 -φ1 )=sin2(φ2 -φ1 )A21A22A1 A2 此式是椭圆方程，它表示两个相互垂直且同频率的简谐振动合成的轨迹是椭圆。下面取 A1=A2=1，ω=1，φ1=0，用 MATLAB绘出不同相位
差时的两个分振动合成图，程序如下： wx=input('wx='); wy=input('wy='); n1=input('n1='); n2=input('n2='); A=1; t=0:0.01:20; x=A*cos(wx*t+n1*pi); y=A*cos(wy*t+n2*pi); plot(x,y) comet(x,y,0.5)得到相互垂直同频率简谐振动在不同相位差情况下的叠加，如图 4所示，运行中还会看到以质点运动轨迹的方式呈现的动画。从图中可以看出图像在一个周期中呈现渐变的过程。图 4相互垂直同频率简谐振动的合成1.4相互垂直不同频率简谐振动的合成如果两个相互垂直的振动频率不相同，它们的合运动比较复杂，若随意选取两种分振动，可以看到合成轨迹是不稳定的，而且没有规律可循。下面讨论两种简单情形：（1）两振动的频率只有很小的差异，则可以近似看成同频率振动的合成，不过相位差在缓慢地变化，因此合成运动的轨迹要不断地按图 4所示的次序，在图示矩形范围内由直线变成椭圆再变成直线等。（2）如果两振动的频率相差较大，但有简单的整数比，则合成运动具有稳定封闭的运动轨迹，这种图形称为李萨如图形。图 5所示为 ωx:ωy=3:2时在不同相位差情况下的李萨如图形，运行中也可以看到以质点运动轨迹的方式呈现的动画。实际上，李萨如图形的形状与互相垂直的分振动的角频率之比、各自初相位以及初相位差都有关系[6]。图 5相互垂直不同频率简谐振动的合成（ωx:ωy=3:2）李萨如图形有许多实际的应用。已知一个振动的周期，就可以根据李萨如图形求出另一个振动的周期，这是一种比较方便也是比较常用的测定频率的方法，也是普通物理实验和电子技术实验中，示波器使用的一项必做内容。音叉频率的测量也是利用这个原理，即用信号发生器产生一个分运动，并不断调节其运动频率，直到合成运动是直线、椭圆或者圆，则音叉的频率就与此时信号发生器产生的频率相同[7]。李萨如图形也可以用来检测力平衡式加速传感器的动态特性[8]。另外，利用李萨如图形的知识，可以通过仪器和简单元件对各类控制系统中电子放大环节的相位进行有效的校正，使系统稳定工作且能达到电子放大环节所提出的相位条件的要求[9]。2.结束语在大学物理实验中，简谐振动的合成可以通过示波器来实现。但是在缺少示波器的情况下或者在课堂上就很难进行（下转第 437页）― 435 ―
科技信息博士?专家论坛 治学和经济中都有重要的意义，其中劳动价值论的观点意义尤其深远。洛克指出，财产权也是一项自然权利。“上帝如何把世界上的东西给予亚当，给予挪亚
和他的儿子们”。[2](p18)上帝把世界给予了人类，那么这种给予就有必要落实到具体的个人私有，只有这样才能维持他们的生存和舒适的生活。“这些既是给人类使用的，那就必然要通过某种拨归私用的方式，然后才能对于某一个人有用处或者有好处。”[2](p18)即变为他的一部分，而别人不能对它享有任何权利，才能对维持他的生命有任何好处。洛克认为，把人类拥有资源合法地归于个人私有的方式是劳动。上帝把土地和低等动物都拨归人类共有，由于每个人对他自己的人身享有一种所有权，这种所有权只能专归他本人专有，别人不能享有这种权利。所以，只要他通过劳动使任何东西脱离了自然状态，那么这个已经掺进了他的劳动的东西就理所当然地成为他的财产。对于洛克的私有财产论，不少的人还是有疑惑的，他们的疑惑在于如果每个人都不经全体世人的同意，只是通过自己的劳动把东西拨归己有，会不会给其他人的生存造成致命的后果呢？洛克指出，这种情况是不会存在的。他认为，每个人通过劳动合法地占有自己的劳动产品，但这不会造成对他人的利益的伤害。因为，上帝给予人类的资源如此之多，以至于“没有任何人的劳动能够开拓一切土地或把一切土地划归私用；他的享用也顶多只能消耗一小部分”。[2](p23)因而这种通过耕作把任何一块土地据为己有的行为，也不会损害他人的利益，因为还剩有足够多的同样好的土地，比尚未取得土地的人所利用的多得多。当然，自然法对人类私人的财产权的额度也是有所规定的，那就是任何人的占有只能供他的享用为限度，而不能过度导致资源被浪费。洛克指出，自然法就是以享用适当，而不至浪费为限度来规范人类个体的私人的财产的额度的。他指出这样的规定，由于一个通过劳动并对这些东西加以独占，不让他人分享的物品的额度是有限的，数量一般也是不大，因此，按照这样的规范来规定产权，就不可能会发生争执纠纷了。洛克指出，政府的目的是保护人们的所有权，是人们委托的结果。因而，政府的权力，是有限的。因为，人们在自然状态中就没有“支配另一个人的生命、自由或财产的专断权力”。[2](p83)任何人“所享有的只是自然法所给予他的那种保护自己和其余人类的权力”。[2](p83)人们立约时，他们转交给国家的就是这种权力，所以，国家、政府的权力是有限的。为了很好地完成政府的使命，洛克提出，政府的权力分立是必要的。洛克是近代最早明确提出国家权力划分为立法权、执行权和外交权的思想家。洛克之所以
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§9.2简谐振动的合成
一、同振动方向、同频率的简谐振动的合成
设在x方向有两个同频率的简谐振动：
x1?A1cos(?t??1)
x2?A2cos(?t??2)
根据运动迭加原理：
x?x1?x2?Acos(?t??)
A?2A12?A2?2A1A2cos(?2??1)
Asin?1?A2sin?2tg??1
A1cos?1?A2cos?2
2、旋转矢量法
?A1：x1?A1cos(?t??1)
?A2：x2?A2cos(?t??2)
???A?A1?A2：
x?x1?x2?Acos(?t??)
A?2A12?A2?2A1A2cos(?2??1)
Asin?1?A2sin?2tg??1
A1cos?1?A2cos?2
两个同方向同频率的简谐振动的合振动仍然是简谐振动，其振幅和初相由分振动的振幅及初相决定。
当????2??1?2k?,时，
振动加强A=│A1+A2│。
振动减弱A=│A1-A2│。 当????2??1?(2k?1)?,时，
?1,?2,?3,?
二、同振动方向、不同频率的简谐振动的合成 拍现象
设在x方向有两个不同频率的简谐振动，其振动频率分别为：ω1和ω2，振幅均为A，初相均为0，振动表达式分别为：
x1?Acos(?1t)
x2?Acos(?2t)
其合振动为：
x?x1?x2?2A?2A?2??122t)?2??12t)?2??1
两个同方向不同频率的简谐振动的合振动不是简谐振动。
如果两个分振动的频率ω1和ω2很大，且相近时：ω1≈ω2则：
11(?1??2)??(?1??2) 22
此时，合振动的位移随时间的变化主要由COS【2π（ν2+ν1）/2】决定，但振幅2A COS【2π（ν2-ν1）/2】随时间作绶慢的周
期性变化，出现振动忽强忽弱和情况。
拍现象：频率都较大但相差很小的两个同方向振动合成时所产生的合振动忽强忽弱的现象。
拍频：单位时间内出现最大振幅的次数叫拍频，
??2???1?2??1()?2?1?(?1??2) 2?22?2?
三、互相垂直的简谐振动的合成 李萨茹图形
当质点同时参与两个互相垂直的振动时，合振动质点的轨迹可能有各种形式，轨迹的形状是由两个分振动的周期、振幅和位相差决定的。
设在x方向和y方向有两个同频率的简谐振动：
x1?A1cos(?t??1)
y2?A2cos(?t??2)
消去上述方程中的时间参数t可得合振动物体的轨迹方程：
x2x2xy2??2cos(???)?sin(?2??) A1A2
一般而言，上述方程是一椭圆方程，椭圆的形状大小和长短轴由
两个分振动的振幅A1、A2和位相差（φ2-φ1）决定。
如果两个互相垂直的简谐振动的频率不相同，它们的合振动的运动情况比较复杂。如两个分振动的位相差很大，但有简单的整数比时，则合振动具有稳定的封闭的运动轨迹，这种图形称为李萨如图。
【例题】 已知两谐振动的运动方程：
x1?5?10?2cos(10t?3?/4)， x2?6?10?2cos(10t??/4)
式中各物理量都用SI制。求：（1）合成振动的振幅和初位相；（2）如另有第三个谐振动x3?7?10?2cos(10t??)则α应为何值，才能使x1?x3的合振动振幅最大?又α应为何值，才能使x2?x3的合振动振
【解】（1）合振动的振幅
A?2A12?A2?2A1A2cos(?2??1)?7.81?10?2(m)
代入有关数据计算得：
A?7.81?10?2(m)
合振动的初位相φ满足
tg??A1sin?1?A2sin?2?11 A1cos?1?A2cos?2
代入有关数据计算得：
?/4???3?/4
所以φ＝８４．８°
（2）要使x1?x3的合振动振幅最大，两分振动x1,x3必须同位相，
??3?/4?2n?
n?0,?1,?2,?
??2n??3?/4
要使x2?x3的合振动幅最小，两分振动x2,x3必须反位相，即
???/4?(2n?1)?
n?0,?1,?2,? ??(2n?1)??1?/4
§9.3 阻尼振动、受迫振动、共振
一、阻尼振动
实验指出，当振动物体的运动速度不太大时，振动物体所受到的阻力与速度成正比，阻力的方向与速度方向相反：
式中γ是比列系数，它由振动物体的形状、大小、表面状况和周围介质的性质决定。
阻尼振动的微分方程：
d2xdx2?2???x?0 02dtdt
式中ω0是振动系统的固有频率，β是表征系统阻尼大小的常量。
当阻尼较小时，上述微分方程的解为：
x(t)?A0e??tcos(?t??0)
振动的振幅随时间按指数规律衰减，阻尼作用越大，振幅衰减得越快，称为欠阻尼振动。
当阻较大时，上述微分方程的解为：
x(t)?c1e2?(???2??0)t?c2e2?(???2??0)t
这种运动方式没有周期性的振动，经过相当长的时间物体才能达到平衡位置，称为过阻尼运动。
如果阻尼的作用刚刚能使物体作非周期性运动，最后也能回到平衡位置，这种情况称为临界阻尼运动。上述微分方程的解为：
x(t)?(c1?c2)e??t
二、受迫振动
如果策动力是随时间按余弦规律变化的简谐力hcosωt，则在同时受到弹性力、阻力和策动力作用下的振动物体，其位移随时间的变化规律为：
2x(t)?c1e??t0??2t??0)?Asin(?t??)
上式说明，受迫振动可以看成是两个振动的合成。一个振动是由上式的第一项所表示的减幅振动，经过一段时间后，该部分振动就可以忽略不计了；另一部分振动是上式第二项所表示的振幅不变的振动，这是受迫振动达到达稳定状态时的振动，即：
x(t)?Acos(?t??)
式中的角频率就是策动力的角频率，而受迫振动的振幅为：
[(???)?4??]2
在弱阻尼情况下，β〈〈ω0，此时振动系统的振幅为：
A?h 2?0??2
当策动力的频率ω等于振动系统的固的频率ω0时，振动系统的振幅达到最大值，这种现象叫共振。
三亿文库包含各类专业文献、高等教育、行业资料、中学教育、幼儿教育、小学教育、第九章-振动学基础10等内容。　
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第一篇:简谐振动振动
简谐振动的描述
张三慧教材17.1、17.2、17.3 17.4、17.5（不要求） 毛骏健教材4-1
(vibration)振 动 (vibration):
振动是一种重要的运动形式。振动是一种重要的运动形式。狭义的振动 指物体在其平衡位置附近的往复运动。指物体在其平衡位置附近的往复运动。广义而言：指任一物理量(如位移、电流等) 广义而言：指任一物理量(如位移、电流等) 在某一数值附近反复变化。在某一数值附近反复变化。振动依机理不同区分为机械振动、 电磁振动， 振动依机理不同区分为机械振动 、 电磁振动 ， 但描 述和研究方法相同。述和研究方法相同 。本章通过讨论机械振动认识其 共性。共性。最简单最基本的振动最简单最基本的振动：简谐振动
§简谐振动的描述 ?? 以弹簧振子为例 将物体视为质点，建立坐标系， 将物体视为质点，建立坐标系， o点选在弹簧平衡位置处。水 点选在弹簧平衡位置处。点选在弹簧平衡位置处 平向右为x轴正方向。平向右为 轴正方向。物体受到的合外力物体受到的合外力弹 = ?kx F
d x 根据牛顿第二定律， 根据牛顿第二定律，有? kx = m 2 dt 2 k dx 2 2 令 ω = 有+ω x = 0 2 m dt
解微分方程→ 解微分方程
x = A cos(ωt + ? )
1. 简谐振动（Simple Harmonic Motion） 运动学判据 x = Acos(ω t + φ ) →运动学判据 即:按时间t的余弦或正弦函数描述的运动 按时间t x 可作广义理解（位移、电流、场强、温度 ） 可作广义理解（位移、电流、场强、温度…） 简谐振动是最简单、最基本的振动，可用来研究 简谐振动是最简单、最基本的振动， 最简单 的振动 复杂的振动。复杂的振动。
F = ? kx →动力学判据 动力学判据
d x 2 = ?ω x →动力学方程 动力学方程 2 dt
2.三个特征量 2.三个特征量
x = A cos(ωt + ? )
(1)振幅 （amplitude） 振幅A 振幅 A 由初始条件（振动能量）决定。由初始条件（振动能量）决定。(2)角（圆）频率ω (angular frequency) 角 由系统本身固有情况决定( 弹性, 由系统本身固有情况决定 弹性 惯性 ) 2π 单位ω= = 2πν 单位：rad/s T (3)初相? (initial phase) 初相 位相位相ωt + ? 反映了任意时刻质点的运动状态
? 由初始条件（何时开始计时）决定。由初始条件（何时开始计时）决定。
3. 简谐振动的速度、加速度 简谐振动的速度、 简谐振动的位移简谐振动的位移x = A cos(ωt + ? )
dx 简谐振动的速度简谐振动的速度= v = ? Aω sin(ωt + ? ) dt π = Aω cos(ωt + ? + )
简谐振动的加速度简谐振动的加速度：
dv 2 a= = ? Aω cos(ωt + ? ) dt 2 = Aω cos(ωt + ? + π )
可见， 可见，有a = ?ω 2 x
加速度与位移成正比而反向
简谐振动的 x-t,v-t,a-t曲线
x = Acos( ωt + ? ) v = Aω cos( ωt + ? + π / 2 ) a = Aω 2 cos( ωt + ? + π ) a
如何通过振动曲线判断v正负、 值 如何通过振动曲线判断 正负、φ值？ 正负
3.振幅与初相的确定 振幅与初相的确定
t = 0 x = x0 , v = v0
v0 = ?Aω sin?
x 0 = A cos ?
x = A cos(ωt + ? ) v = ? Aω sin(ωt + ? )
①2+(②/ω)2， ②
x + (v0 / ω ) = A
? v0 ? A = x +? ? ?ω ? ? v0 / Aω v0 tg? = =? x0 / A ωx 0
?在0―2π之间有两个解，但只有一个解符合要求， π之间有两个解，但只有一个解符合要求， 为此要根据已知的x0、 的正负来判断和取舍 的正负来判断和取舍。为此要根据已知的 、v0的正负来判断和取舍。
4.简谐振动的能量 4.简谐振动的能量 我们以弹簧振子为例来讨论简谐运动的能量问题。我们以弹簧振子为例来讨论简谐运动的能量问题。设振动物体在任一时刻t 的位移为x 速度为v 设振动物体在任一时刻 的位移为 ，速度为 ，于是 它所具有的动能E 和势能E 它所具有的动能 K 和势能 P 分别为
1 2 E p = kx 2 考虑到 x = A cos(ωt + ? ) 及 v = ?ωA sin(ωt + ? )与 ω 2 = k / m
1 ? E k = kA 2 sin 2 (ω t + ? ) 2 1 E p = kA 2 cos 2 (ω t + ? ) 2
1 2 Ek = mv 2
1 2 因此， 因此， 弹簧振子的总机械能为 E = E k + E p = kA 2
结论结论（1）作简谐运动的物体，其机械能守恒。）作简谐运动的物体，其机械能守恒。（2）简谐运动的总能量和振幅的平方成正比。）简谐运动的总能量和振幅的平方成正比。
5.其它简谐振动 其它简谐振动
张角正向， 取逆时针为θ 张角正向，以悬 点为轴， 点为轴，重力的切向分量
Ft = ? mg sin θ
“ C ”表示力与 θ 张角方向相反。表示力与 张角方向相反。切向运动方程切向运动方程当θ
& 5° 时 sin θ ≈ θ
dθ ? mg sin θ = mat = ml 2 dt
dθ g g + θ = 0 ?ω = 2 l dt l
l T = = 2π g ω
2.复摆（物理摆） 2.复摆（物理摆） 复摆
? mgh sin θ = Jβ
当角度很小时 sin θ ≈ θ
M = ? mghθ
复摆的谐振动方程复摆的谐振动方程
dθ mgh =? θ 2 dt J
mgh ω = J
（满足动力学方程） 满足动力学方程）
J T = 2π mgh
振动的角频率、 振动的角频率、周期完全 由振动系统本身来决定。由振动系统本身来决定。
3.弹簧的串并联问题 3.弹簧的串并联问题
串联串联F = F1 = F2 F F1 F2 x = x1 + x 2 ? = + k k1 k 2 1 1 1 = + k k1 k 2
思考1 等分n 思考1：等分n段，每段k0=? 思考2 思考2：n段串联，等效k0=? 段串联，
并联并联x = x1 = x 2 F = F1 + F2 = k1 x1 + k 2 x 2
k0=nk k0=k/n
k = k1 + k 2
§简谐振动的旋转矢量表示
为了直观地表明简谐运动的三个特征量的物理意义， 为了直观地表明简谐运动的三个特征量的物理意义， 可以用一个旋转矢量来表示简谐运动。可以用一个旋转矢量来表示简谐运动。矢量的长度对应振幅 。矢量的长度对应振幅A。振幅 矢量旋转的角速度对应 圆频率ω。圆频率 。矢量与x轴的夹角对应 矢量与 轴的夹角对应 相（ωt+φ）。φ 矢量在x轴的投影对 则：矢量在 轴的投影对 应位移x 位移
x = A cos(ωt + ? )
为简谐振动。为简谐振动。
简谐振动的旋转矢量表示
利用旋转矢量法确定简谐振动的初位相利用旋转矢量法确定简谐振动的初位相 (1)由x的值得两根矢量 由 的值得两根矢量 (2)根据速度的正负取其一 根据速度的正负取其一
x 例0 = A 2
用旋转矢量法研究振动合成也很方便。用旋转矢量法研究振动合成也很方便。
几种特殊位置初位相。几种特殊位置初位相。
x0 = A t=0 ? =0 v0 = 0
x0 = 0 v0 & 0
x0 = ? A ? =π v0 = 0
x0 = 0 v0 & 0
? =3π / 2
2.比较两个同频率简谐振动的步调 比较两个同频率简谐振动的步调 设两物体P 设两物体P和Q的简谐运动表达式为的简谐运动表达式为x1 =A1cos(ω 1 t+? 1)，x2=A2cos(ω2 t+? 2) ， 相位差为?? =(ω 2 t+? 2)-(ω1 t+? 1) 相位差为对两同频率的谐振动 对两同频率的谐振动 ?? =? 2-? 1 同频率
? 同相和反相
= ±2kπ , ( k =0,1,2,…), π 两振动步调相同,称同相（ 两振动步调相同,称同相（in phase） ）
= ±(2k+1)π , ( k =0,1,2,…), 两振动步调 π 反相( 相反 , 称反相(of opposite phase ) 。
x A1 A2 o - A2 -A1
x A1 同相 A2 T t o - A2 -A1
? 超前和落后 较早达到正最大, 若π& ?? = ? 2-? 1&0, 则 x2比x1较早达到正最大 落后)。称x2比x1超前 (或x1比x2落后 。或
蓝领先于红， 领先于红 领先于绿 红领先于绿。
x φ = π/2 φ = /4 φ = 0 π A o
用 旋转矢量法比较更方便
x = Acos(ω t + φ )
物理模型与数学模型比较物理模型与数学模型比较谐振动 A 振幅 半径 初始角坐标 角坐标 角速度 圆周运动周期 旋转矢量
? ωt+? ω
初相 相位 圆频率 谐振动周期
例.一质点沿x轴作简谐振动，振幅A=0.12m，周期T=2s， 一质点沿x轴作简谐振动，振幅A=0.12m，周期T=2s， A=0.12m T=2s t=0时 质点对平衡位置的位移x =0.06m， 当t=0时，质点对平衡位置的位移x0=0.06m，此时刻质点 轴正向运动。此简谐振动的表达式；（ ；（2 向x轴正向运动。求（1）此简谐振动的表达式；（2） 从初始时刻开始第一次通过平衡位置的时刻。从初始时刻开始第一次通过平衡位置的时刻。解：取平衡位置为坐标原点， 设 取平衡位置为坐标原点，
2π ω= = π (rad / s ), A = 0.12( m ) T π 由旋转矢量法可得由旋转矢量法可得? = ? 3 π ∴ x = 0.12 cos(πt ? )( SI ) 3
t= = 0.83( s )
x = A cos(ωt + ? )
r ? =? 3 A
（2）由旋转矢量法可知，质点第一次通过平衡位置 由旋转矢量法可知， 振幅矢量转过的角度为时，振幅矢量转过的角度为?? = ? + π = 5π 2 6 ??
例：一质点作简谐振动，其振动曲线如图所示。根 一质点作简谐振动，其振动曲线如图所示。据此图写出该振动的表达式。据此图写出该振动的表达式。x(cm) 解：由振动曲线可知：A = 0.04 4 由振动曲线可知t (s) 2 o 由振动曲线可得t＝ 和 ＝ 由振动曲线可得 ＝0和t＝ ?2 2对应的旋转矢量如图 对应的旋转矢量如图 t＝2 对应的相位对应的相位：
2π φ0 = ? φ |t = 2 = π 2 3 相差与时间差的关系相差与时间差的关系：
2π ?φ ω= = T ?t
∴ω = 7π / 12
7 2 ∴ x = 0.04 cos( πt ? π ) 12 3
例.一质点在x轴上作简谐振动，选取该质点向右运动 一质点在x轴上作简谐振动， 通过A点作为计时起点（t=0），经过2s后第一次经过B ），经过2s后第一次经过 通过A点作为计时起点（t=0），经过2s后第一次经过B 再经过2s后第二次经过B 2s后第二次经过 若已知该质点在A 点，再经过2s后第二次经过B点，若已知该质点在A、B 两点具有相同的速率， AB=10cm。两点具有相同的速率，且AB=10cm。求（1）质点的振 动方程；(2)质点在 点处的速率。质点在A 动方程；(2)质点在A点处的速率。ω t = 4s 由旋转矢量图和v 可知， 解1）由旋转矢量图和vA=vB可知， （ x T A o B 2π π = 4s, ∴ T = 8( s ), ω = 4s = 2 T 4 r t = 0 x = ?0.05 = A cos ? t =0 A t = 2s t = 2 x = +0.05 = A cos(2ω + ? ) = ? A sin ? 由此两式解得：A = 0.05 2 ( m), tg? = 1 由此两式解得3π ? 因为A点处质点速度大于零， = ? 因为A点处质点速度大于零， 4 振动方程x = 0.05 2 cos(πt ? 3π )(m) 振动方程4 4
（2）质点在A点处的速率 v = ?0.05 2π cos(πt 4 ? 3π 4 ) / 4 质点在A A点作为计时起点， （t=0） ∴ v = ?0.04( m / s ) 点作为计时起点， t=0） 例.一质点作简谐振动，周期为T。求：当它由平衡位 一质点作简谐振动，周期为T 置向x轴正向运动时， 置向x轴正向运动时，从二分之一最大位移处到最大位 移处这段路程所需要的时间。移处这段路程所需要的时间。y ω 由旋转矢量图可知， 解：由旋转矢量图可知， 当质点由平衡位置向x轴正向运动时， 当质点由平衡位置向x轴正向运动时， x 从二分之一最大位移处到最大位移处 o r ? = ?π 3 A 转过的角度为时，转过的角度为：
?φ = 0 ? (? ) = 3 3 T?φ T ?φ ?φ = = = 所需的时间为所需的时间为?t = ω 2π 2π 6
在一轻弹簧下端悬挂m 克砝码时， 例题 在一轻弹簧下端悬挂 0=100克砝码时，弹簧伸长 克砝码时 8厘米，现在这根弹簧下悬挂 厘米， 克的物体。厘米 现在这根弹簧下悬挂m=250克的物体。将物体 克的物体 从平衡位置向下拉动4厘米并给予向上的 厘米/秒的初 厘米并给予向上的21厘米 从平衡位置向下拉动 厘米并给予向上的 厘米 秒的初 速度。轴向下， 速度。选X轴向下，物体运动到最低点时开始计时，求 轴向下 物体运动到最低点时开始计时， 振动的表达式。振动的表达式。
m 0 g 0.1 × 9.8 N/m 解k = = 0.08 ?l
k = m 0.1 × 9.8 = 7.0rad / s 0.08 × 0.25
x0 = 0.04m v 0 = ?0.21m / s
1 1 2 1 2 2 E 0 = mv 0 + kx0 = kA 2 2 2
x = 0.05 cos(7 t )( SI )
思考1.将物体从平衡位置向下拉动 厘米后由静止 思考 将物体从平衡位置向下拉动4厘米后由静止 将物体从平衡位置向下拉动 释放。轴向上， 释放。选X轴向上，求振动的表达式。轴向上 求振动的表达式。
向下拉动4厘米后由静止释放， ＝ 向下拉动 厘米后由静止释放，A＝0.04m。厘米后由静止释放 。
x 0 & 0, v 0 = 0, ? = π
x = 0.04 cos(7 t + π )( SI )
思考2.在平衡位置给予物体向上的 厘米 思考 在平衡位置给予物体向上的21厘米 秒的初 在平衡位置给予物体向上的 厘米/秒的初 速度。轴向上， 速度。选X轴向上，求振动的表达式。轴向上 求振动的表达式。
平衡位置速度最大， 平衡位置速度最大，vm＝Aω A＝0.03m 或＝
1 1 2 2 mv 0 = kA 2 2
v 0 & 0, ? = ?
m v0 v0 = = 0.03m k ω
2 π x = 0.03 cos(7t ? )( SI ) 2
振动的合成
张三慧教材17.6.17.7、17.9 17.8 （不要求） 不要求） 毛骏健教材4-2 4-3、4-4（不要求）
平行简谐振动的合成 振动频谱
一、同方向同频率简谐振动的合成 设一个质点同时参与两个同方向、 设一个质点同时参与两个同方向、同频率的 简谐振动简谐振动：
x1 = A1 cos(ωt + ?1 ), x2 = A2 cos( t + ?2 ) ω
代数方法? 代数方法：
x = x1 + x 2 = A1 cos(ωt + ?1 ) + A2 cos(ωt + ?2 ) A ? 旋转矢量法
r r r 矢量 A1 , A 2 的合矢量 的 A
端点在X 轴上的投影M的运 端点在 轴上的投影 的运 动也是简谐振动， 动也是简谐振动，其频率 与原来两个振动相同。与原来两个振动相同。
可得，合振动可得，合振动x = A cos(ωt + ? ) 合振动仍然是一个简谐振动，且频率不变。即：合振动仍然是一个简谐振动，且频率不变。从图中三角形的边角关系，很容易得到从图中三角形的边角关系，很容易得到：
2 A = A12 + A2 + 2A1 A2 cos( 2 ??1) ? A1 sin?1 + A2 sin? 2 ? = arctg A1 cos?1 + A2 cos? 2
合振动的强弱,取决于两分振动的相位差合振动的强弱 取决于两分振动的相位差取决于两分振动的相位差 ?? =?2 -?1 =2kπ , k=0, ±1, ±2, …, A=A1+A2 , 加强 = =(2k+1)π , k=0, ±1, ±2, …, A=|A1-A2 |, 减弱
第一篇:简谐振动简谐运动的图象和公式
? 1、什么是简谐运动？ ? 2、简谐振运动的振子向两侧运动各个 物理量怎样变化？ ? 3、什么是全振动？ ? 4、描述简谐运动有哪些特征物理量？
? 1 、问题：以 前我们分别用公式和图象研究
了匀速直线运动和匀变速直线运动，那么：在 匀速直线运动中，设开始时的那一时刻位移为 零，则它的位移图象是一条什么样的线？加速 直线运动又是怎样的图像？辨析下列图
? 2、导入：那么如果用位移图象来表示简 谐运动位移与时间的关系，形状又如何 呢？
竖直方向振动的弹簧振子频闪照片 频闪仪每隔0.05s闪光 一次，闪光的瞬间振 子被照亮，因此在底 片上留下了小球和弹 簧的一系列的像. 先后一帧一帧向右平铺排列。
相邻两个像之间相隔 0.05 s.
一、简谐运动的图像
1、振动图象（如图）
2、x-t图线是一 条质点做简谐 运动时，位移 随时间变化的 图象，不是轨 迹。3、振动图象是 正弦曲线还是 余弦曲线，这 决定于t＝0 时刻的选择。
（1）由实验可了解到情况：
（2）简谐运动图象描述的振动物理 量
1、直接描述量①振幅A；②周期T；③任意时刻的位移x。
2、间接描述量 ①频率f=1/T ② x-t图线上任一点的切线的斜率等于v。
（3）从振动图象中分析有关物理量
从简谐运动的图像我们可以了解到物体在振动时的许 多物理量。比如，参看下图的振动图像可确定：
1．振幅A：图像的峰值。2．周期T：相邻两个位移为正的最大值或负的 最大值之间的时间间。3．任一时刻t的位移x：对应于图像上某一点 的坐标（t，x）。
4 ．任一时刻 t 的加速度 a：总是指向平衡位置（平 行于 x 轴指向 t 轴）。x＝0 时， a＝0； x＝±A 时， a达最大值。5．任一时刻t的振动方向：图像斜率为正时速度为 正（沿＋ x方向、上坡为正），斜率为负时速度为 负（沿－ x 方向）， x＝0 时，速度达最大值 ( 作图 走势法)。振动方向也可用类比法确定：将振动图像视 为蜿蜒起伏的“山坡”，然后顺横坐标 t 时间轴正 方向沿图线走去，“上坡路线”的时间内，各时 刻物体都向上振动，“下坡路段”的时间内，各 时刻物体都向下振动。
例1：如图所示，是质点的振动图象，
则振幅是______m，频率是
_______Hz， 0-4s内质点通过路程
是______m，6s末质点位移是 _______m。
答案：0.02、0.125、0.04、―0.02
例2：如图所示，是某简谐振动图象，试由图象判断
下列说法哪些正确：( A、振幅是6cm ) BCDF B、周期是8s
C、4s末摆球速度为负，振动加速度为零
D、第6s末摆球的加速度为正，速度为零
E、第9s末摆球的加速度为正，速度为正 F、4s末振子速度为负,加速度为零 G、第14s末振子的加速度为正，速度最大
例3:如图质点做简谐振动的图像,由此可知:
A．t=0时，质点的位移、速度均为零 B．t=1s时，质点的位移为正向最大，速度为零，加 速度为负向最大 C．t=2s时，质点的位移为零，速度为负向最大值， 加速度为零 D．质点的振幅为5cm，周期为2s
例4：某一弹簧振子的振动图象如图所示，则由图 象判断下列说法正确的是（ ）AB
A、振子偏离平衡位置的最大距离为10cm B、1s到2s的时间内振子向平衡位置运动 C、2s时和3s时振子的位移相等，运动方向也相同 D、振子在2s内完成一次往复性运动
10 5 0 -5 -10
1 2 3 4 5 6 t/s
某弹簧振子的振动图象如图所示，根据图象判断。下 列说法正确的是（ D ）
A、第1s内振子相对于平衡位置的位移与速度方向相反 B、第2s末振子相对于平衡位置的位移为-20cm C、第2s末和第3s末振子相对于平衡位置的位移均相同，但瞬 时速度方向相反 D、第1s内和第2s内振子相对于平衡位置的位移方向相同，瞬 时速度方向相反。20 x/cm
描述物体的运动规律一般可以用几种方法？ 图象法―――即用物理图象表示 公式法―――即用物理公式表示
写出振动方程
X=10sin(2π t)cm .
二、简谐运动的表达式
x ? A sin(?t ? ? )
振幅 圆频率
2? ?? ? 2?f T
2? x ? A sin( t ? ? ) ? A sin(2?ft ? ? ) T
相位是表示物体振动步调的物理量, 用相位来描述简谐运动在一个全振动 中所处的阶段。
3、简谐运动的表达式 实际上经常用到的是两个相同频率的简谐运 动的相位差，简称相差
??t ? ?1 ? ? ??t ? ?2 ? ? ?1 ? ?2
同相：频率相同、初相相同(即相差为0） 的两个振子振动步调完全相同 反相：频率相同、相差为π的两个振子 振动步调完全相反
思考与讨论 1、一个物体运动时其相位变化多少就意味着完成 了一次全振动?
相位每增加2π就意味着发生了一次全振动
2、甲和乙两个简谐运动的相差为 ? ，意味着什么? 意味着乙总是比甲滞后1/4个周期或1/4次全振动
课 堂 练 习 右图中是甲乙两弹簧振子的振动图象，两
2∶1 ）， 频率之比为（ 1∶1 )， ?
振动振幅之比为（ 甲和乙的相差为(
已知：A=3cm，T=8s，规定向右方向为正 方向，从平衡位置O（向B）开始计时，
试：大致画出它的振动图像？
从平衡位置O（向B）开始计时
从B 开始计时
+申请认证第一篇:简谐振动复习回顾
有哪些? 高中阶段我们学过的运动形式有哪些? 提示提示：按运动轨迹分类 匀速直线运动 直线运动 变速直线运动 抛体运动 曲线运动 圆周运动 匀变速直线运动 变加速直线运动 平抛运动 斜抛运动 匀速圆周运动 变速圆周运动
第十一章 机械振动
11.1 简谐振动
这些物体的运动有什么特点? 这些物体的运动有什么特点?
①往复性 平衡位置) ②有一个中心位置(平衡位置 有一个中心位置 平衡位置
尝试再举一些例子？ 尝试再举一些例子？
一、机械振动
平衡位置附近所做的 1、定义：物体在平衡位置附近所做的往复 、定义：物体在平衡位置附近所做的往复
运动，叫做机械振动．通常简称振动 运动，叫做机械振动．通常简称振动
2.特点 特点特点
“对称性” (1)平衡位置 ------“对称性” 平衡位置 振动停止时物体所在的位置. 振动停止时物体所在的位置 (2)往复运动 ------“周期性” 往复运动 “周期性”
二、弹簧振子
定义:小球和弹簧所组成的系统 定义 小球和弹簧所组成的系统. 小球和弹簧所组成的系统
弹簧+ 弹簧+小球
典型模型――弹簧振子 弹簧振子 典型模型
思考：现实中小球能否一直运动下去？ 思考：现实中小球能否一直运动下去？
二、弹簧振子
理想化模型
定义:小球和弹簧所组成的系统 定义 小球和弹簧所组成的系统. 小球和弹簧所组成的系统 条件(理想化 条件 理想化) 理想化
①小球看成质点 ②忽略弹簧质量 ③忽略摩擦力 思考思考：
振子的运动是怎样一种运动呢？ 振子的运动是怎样一种运动呢？
弹簧+ 弹簧+小球
同桌配合，一同学扶住纸张， 同桌配合，一同学扶住纸张，另一同学用 笔模拟弹簧振子的振动， 笔模拟弹簧振子的振动，在纸上画出振子 的运动轨迹。的运动轨迹。思考：是匀速直线运动吗？ 思考：是匀速直线运动吗？ 如何体现位移随时间的变化呢？ 如何体现位移随时间的变化呢？
位移--时间图象 三、振动图像 (位移 时间图象 位移 时间图象) 1、位移x:振动物体的位移 用从平衡位 、 振动物体的位移x用 位移 指向物体所在位置的有向线段表示. 物体所在位置的有向线段表示 置指向物体所在位置的有向线段表示
如图示，是振子在 、 位置的位移 位置的位移x 如图示，是振子在A、B位置的位移 A和xB
2、画法、画法
坐标原点0－ 坐标原点 －平衡位置 横坐标t－振动时间 纵坐标x－振子偏离平衡位置的位移
注意：规定在 点右边时位移为正 左边时位移为负. 点右边时位移为正， 注意：规定在0点右边时位移为正，左边时位移为负
描点法 2、画法(1)描点法 、画法
第一个1/2周期第一个 周期周期
时间t(s) 时间 位移x(cm） 位移 0 -20.0 t0 -17.8 2t0 -10.1 3t0 0.1 4t0 10.3 5t0 17.7 6t0 20.0
第二个1/2周期第二个 周期周期
时间 t(s) 位移 x(cm) 6t0 20.0 7t0 17.7 8t0 10.3 9t0 0.1 10t0 -10.1 11t0 -17.8 12t0 -20.0
如 何 改 进 ？
如图是弹簧振子的频闪照片。如图是弹簧振子的频闪照片。频闪照片 频闪仪每隔固定时间闪光一次， 频闪仪每隔固定时间闪光一次， 固定时间闪光一次 闪光的瞬间振子被照亮， 闪光的瞬间振子被照亮，拍摄 时底片从下向上匀速运动， 匀速运动 时底片从下向上匀速运动，因 此在底片上留下了小球和弹簧 的一系列的像， 的一系列的像，相邻两个像之 间相隔相等时间。相等时间 间相隔相等时间。
四、简谐运动
1、定义、定义质点的位移与时间的关系遵从正弦函数 质点的位移与时间的关系遵从正弦函数 的规律，即它的振动图像（x-t图像）是一条 的规律，即它的振动图像（ 图像） 图像 正弦曲线，这样的振动叫做简谐运动 简谐运动. 正弦曲线，这样的振动叫做简谐运动 如：弹簧振子的运动等。弹簧振子的运动等。
简谐运动是最简单、最基本的振动。简谐运动是最简单、最基本的振动。
2、振动图象(x-t图象 、振动图象 图象) 图象
横坐标――时间；纵坐标――偏离平衡位置的位移 时间；纵坐标 横坐标 时间 偏离平衡位置的位移
振动图象是一条正弦曲线. 振动图象是一条正弦曲线. 一条正弦曲线
绘制地震曲线的装置
1、简谐运动的图象就是物体的 、 运动轨迹吗？ 运动轨迹吗？ 2、由简谐运动的图象判断简谐 、 运动属于哪一种运动？ 运动属于哪一种运动？
变加速直线运动
回复力是指振动物体所受的总是指向平 衡位置的合外力 . 回复力的公式为F = kx
大小大小 x ――形变量 形变量
(胡克定律)
k ----弹簧的劲度系数 常量 弹簧的劲度系数(常量 弹簧的劲度系数 常量)
F――偏离平衡位置的位移 = ?kx 偏离平衡位置的位移
说明说明“- 表示回复力方向始终与位移方向相反。1. “-”表示回复力方向始终与位移方向相反。2.回复力是根据力的作用效果命名的 回复力是根据力的作用效果命名的， 2.回复力是根据力的作用效果命名的，类似于向心力 3.回复力的方向是 指向平衡位置” 回复力的方向是“ 3.回复力的方向是“指向平衡位置”。
如图所示， 如图所示，某一时刻弹簧振子的小球运动 到平衡位置右侧，距平衡位置O 3cm处的 处的B 到平衡位置右侧，距平衡位置O点3cm处的B点， 已知小球的质量为1kg 1kg， 已知小球的质量为1kg，小球离开平衡位置的 最大距离为5cm 弹簧的劲度系数为200N/m 5cm， 200N/m， 最大距离为5cm，弹簧的劲度系数为200N/m， 求（1）最大回复力的大小是多少？ 最大回复力的大小是多少？
（2）在B点时小球受到的回复力的大小和方向？ 点时小球受到的回复力的大小和方向？ （3）此时小球的加速度大小和方向？ 此时小球的加速度大小和方向？ （4）小球的运动方向怎样？ 小球的运动方向怎样？
简谐运动中振子的受力及运动情况分析
变 化 振 子 规 律 物理量 位 置
最大 减小 向左 向左 最大 减小 向右 向右 最大 减小
加速度a 速度v
大小 方向 大小 方向 大小 方向 大小 方向
增大 最大 减小 向右 向右 向右 增大 最大 减小
增大 向左 增大 向右 增大
向左 向左 向左 0 增大 最大 减小 0 向右 向右 向左 向左 向左 向右 0 增大 最大 减小 0 增大 最大 减小 向右 向右 向右 向左 向左 向左
机械振动一、机械振动1.定义 物体在平衡位置附近所做的往复运动 定义:物体在平衡位置附近所做的往复运动 定义 物体在平衡位置附近所做的往复运动. 2.特点 特点对称性; 周期性. 特点 对称性 周期性 弹簧振子模型二、弹簧振子模型1.小球看成质点 2.忽略弹簧质量 3.忽略摩 小球看成质点; 忽略弹簧质量; 小球看成质点 忽略弹簧质量 忽略摩 擦力. 擦力 振动图像(x--t图象 图象) 三、振动图像 图象 横坐标t―时间 纵坐标x―偏离平衡位置的位移 时间;纵坐标 偏离平衡位置的位移. 横坐标 时间 纵坐标 偏离平衡位置的位移 简谐运动四、简谐运动1、定义 质点的位移随时间按正弦规律变化的 、定义:质点的位移随时间按正弦规律变化的 振动. 振动 2、图象:是一条正弦曲线. 、图象:是一条正弦曲线.
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