Lebesgue 测度与积分
作者： 王於平 夏业茂 施建兵 陈磊
出版社：东南大学出版社
图书书号：8
出版日期：2017年2月
字数：130千字
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1.内容提要本书是作者在十余年教学经验的基础上撰写的一部有关实变函数的教材.该书根据信息与计算科学专业实际情况——教学课时少的特点，精简传统实变函数论中部分抽象内容，对某些抽象概念、定理等内容都举例说明,从而降低该课程难度，减轻学生负担，提高学生学习积极性.我们主要介绍Lebesgue(勒贝格)测度与Lebesgue积分.本书内容包括：集合与实数集、Lebesgue测度、Lebesgue可测函数、Lebesgue积分、Lp空间，共五章内容，每章后均附习题，以便于读者学习和掌握实变函数论的基础知识.本书可供高等院校数学系学生、研究生阅读，也可供其他有关学科教师和科研人员参考.2.目录1集合与实数集11.1集合的运算11.2集合的基数21.2.1映射的概念21.2.2有限集、无限集和可数集31.2.3不可数集51.3R上的点集61.3.1R中的开集、闭集61.3.2完备集与Cantor三分集91.4Riemann积分的缺陷13习题1202Lebesgue测度222.1集类与测度222.1.1集类222.1.2σ代数上的测度232.2Lebesgue外测度242.3Lebesgue可测集与Lebesgue测度292.4Lebesgue测度的基本性质37习题2433可测函数443.1可测函数的定义及性质443.2可测函数的其他性质493.3可测函数的连续函数逼近533.4依测度收敛58习题3604Lebesgue积分624.1非负简单函数的Lebesgue积分624.2非负可测函数的Lebesgue积分674.3一般可测函数的Lebesgue积分724.4有限区间［a,b］上Riemann积分和Lebesgue积分的关系844.5重积分、Fubini定理90习题4965Lp空间995.1Banach空间L1995.2Hilbert空间L21025.2.1内积与范数1025.2.2L2空间正交性1075.3Lp空间112习题5120参考文献122
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勒贝格测度（转）
上，勒贝格测度是赋予的子集一个、、或者的标准方法。它广泛应用于，特别是用于定义。可以赋予一个体积的集合被称为勒贝格可测；勒贝格可测集A的体积或者说记作λ(A)。一个值为∞的勒贝格测度是可能的，但是即使如此，在假设成立时，Rn的所有子集也不都是勒贝格可测的。的“奇特”行为导致了这样的命题，它是选择公理的一个结果。
如果A是一个区间[a, b]， 那么其勒贝格测度是区间长度b-a。 开区间 (a, b)的长度与闭区间一样，因为两集合的差是零测集。
如果 A 是区间 [a, b] 和 [c, d]的，则它是一个长方形，测度为它的面积
(b-a)(d-c)。
是一个勒贝格测度为零的的例子。
Rn 上的勒贝格测度有如下的性质
如果 A 是区间 I1 × I2 × ... × In 的
，那么A 是勒贝格可测的，并且
表示区间 I的长度。
如果 A 是个或个两两互不相交的勒贝格可测集的并，那么A 也是勒贝格可测的，并且λ(A)
就是这些可测集的测度的和（或无穷级数的和）。
如果A 勒贝格可测的，那么它的补集（相对于Rn ）也是可测的。
对于每个勒贝格可测集A，λ(A) ≥ 0 。
如果A与B是勒贝格可测的，且A是B的子集，那么λ(A) ≤ λ(B)。 (由 2, 3 及 4可得。)
可数多个是勒贝格可测集的交或者并仍然是勒贝格可测的。 (由2，3 可得)。
如果A是一个或，且是Rn(甚至Borel集，见，待补)的子集，那么 A 是勒贝格可测的。
如果A是一个勒贝格可测集，并有 λ(A) = 0 ()，则 A 的任何一个子集也是空集。
如果A 是勒贝格可测的，x是Rn 中的一个元素，A关于x的平移（定义为 A + x = {a + x : a ∈ A}）也是勒贝格可测的，并且测度等于 A.
如果A是勒贝格可测的，，则关于的扩张（定义为）也是勒贝格可测的，其测度为。
更广泛地说，设 T是一个 ，A是一个Rn 的勒贝格可测子集，则 T(A)也是勒贝格可测的，其测度为。
如果 A是Rn 的勒贝格可测子集，f 是一个 A到Rn 上的连续函数，则 f(A)也是勒贝格可测的。
简要地说，Rn的勒贝格可测子集组成一个含所有区间及其笛卡尔积的σ代数，且λ是其上唯一的的、不变的、满足的测度。
勒贝格测度是σ有限测度。
勒贝格测度的现代结构，基于，是发明的。
固定。中的盒子是形如的集合，其中。这个盒子的体积定义为
对于任何Rn的子集A，我们可以定义它的外测度：
是可数个盒子的集合，它的并集覆盖了
然后定义集合A为勒贝格可测的，如果对于所有集合，都有：
这些勒贝格可测的集合形成了一个。勒贝格测度定义为λ(A)
= λ*(A)对于任何勒贝格可测的集合A。
根据，存在实数R的一个勒贝格不可测的子集。如果A是的任何测度为正数的子集，那么A便有勒贝格不可测的子集。
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实变函数证明题求助!Show that if A has finite measure and ε>0,then A is the disjoint union of a finite number of measurable sets,each of which has measure at nost ε.翻译:证明:如果A有有限测度,ε>0,那么A是有有限个不相交的可测集的并,每一个可测集有最大测度ε
lioyuy00013
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我不知道你用的那个版本,测度背景等我不清楚,我以一维勒贝格测度为例证明：因为A有有限测度,由测度定义知道,对任意ε>0,存在a,b,满足m(A-[a,b])<ε,下面仅对A交[a,b]讨论即可.取一个k,满足(b-a)/k<ε的k(固定下来).再[a,b]中加入k个等分点,分成的小区间记成[a_i,b_i],记A_i=A交[a_i,b_i],那么A=A_i的并再并（A-[a,b]）,每个测度不超过ε,且为有限个,K+1个.至于不相交的问题,主要在[a_i,b_i]的端点,这个处理一下即可,需要的话改成半开半闭的.你上个题还有分,这个没了
能不能详细说一下不相交的情况怎么证?谢谢!
橡胶的点不就是端点嘛，你把端点只让相临区间中的一个用不就行了，也就是把小的闭区间改成左开右闭区间即可
能不能把不相交的证明过程写一下...谢谢!~
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测度(Measure)
　　数学上，测度(Measure)是一个函数，它对一个给定集合的某些子集指定一个数，这个数可以比作大小、体积、概率等等。传统的积分是在区间上进行的，后来人们希望把积分推广到任意的集合上，就发展出测度的概念，它在数学分析和有重要的地位。
　　测度论是实分析的一个分支，研究对象有σ代数、测度、可测函数和积分，其重要性在概率论和中有所体现的。
　　形式上说，一个测度（详细的说法是可列可加的正测度）是个函数。设是集合上的一个σ代数，在上定义，于扩充区间中取值，并且满足以下性质：
空集的测度为零：
可数可加性，或称&可加性：若为中可数个两两不交的集合的序列，则所有的并集的测度，等于每个的测度之总和：
　　这样的三元组称为一个测度空间，而中的元素称为这个空间中的可测集。
　　下面的一些性质可从测度的定义导出：
　　测度的单调性：
　　若和为可测集，而且，则 。
　　若 为可测集（不必是两两不交的），并且对于所有的，?，则集合的并集是可测的，且有如下不等式（「次可列可加性」）：
　　以及如下极限：
　　若 为可测集，并且对于所有的，?，则的交集是可测的。进一步说，如果至少一个的测度有限，则有极限：
　　如若不假设至少一个的测度有限，则上述性质一般不成立。例如对于每一个，令
这里，全部集合都具有无限测度，但它们的交集是空集。
如果是一个有限实数（而不是），则测度空间称为有限测度空间。如果可以表示为可数个可测集的并集，而且这些可测集的测度均有限，则该测度空间称为&有限测度空间。称测度空间中的一个集合具有&有限测度，如果可以表示为可数个可测集的并集，而且这些可测集的测度均有限。
作为例子，实数集赋以标准勒贝格测度是&有限的，但不是有限的。为说明之，只要考虑闭区间族[k, k+1]，k 取遍所有的整数；这样的区间可数多个，每一个的测度为1，而且并起来就是整个实数集。作为另一个例子，取实数集上的计数测度，即对实数集的每个有限子集，都把元素个数作为它的测度，至于无限子集的测度则令为。这样的测度空间就不是&有限的，因为任何有限测度集只含有有限个点，从而，覆盖整个实数轴不可数个有限测度集。&有限的测度空间有些很好的性质；从这点上说，&有限性可以类比于拓扑空间的可分性。
一个可测集称为零测集，如果。零测集的子集称为可去集，它未必是可测的，但零测集自然是可去集。如果所有的可去集都可测，则称该测度为完备测度。
一个测度可以按如下的方式延拓为完备测度：考虑的所有这样的子集，它与某个可测集仅差一个可去集，也就是说与的对称差包含于一个零测集中。由这些子集生成的σ代数，并定义的值就等于。
下列是一些测度的例子（重要性与顺序无关）。
计数测度　定义为的‘元素个数’。
一维勒贝格测度 是定义在的一个含所有区间的σ代数上的、完备的、平移不变的、满足的唯一测度。
Circular angle 测度 是旋转不变的。
局部紧拓扑群上的哈尔测度是勒贝格测度的一种推广，而且也有类似的刻划。
恆零测度 定义为，对任意的。
每一个都有一个测度，它对全空间取值为1（于是其值全部落到单位区间[0,1]中）。这就是所谓概率测度。
其它例子，包括：狄拉克测度、波莱尔测度、若尔当测度、遍历测度、欧拉测度、高斯测度、贝尔测度、拉东测度。
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