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数学里也能耍流氓
数学推理也会漏洞百出，但仍然充满智慧
有漏洞的数学推理就毫无意义吗？
本文作者:matrix67
数学一向以严谨的思维著称，每一步推理都需要严格的理由。但在数学历史中，漏洞百出的数学推理也频频出现。有趣的是，即使是这些不严格的思路也充满着智慧，在数学中的地位不亚于那些伟大的证明。今天，果壳死理性派会用几个经典例子告诉你，在数学里也是可以耍流氓的。
逻辑中的那些流氓
耍流氓是各种数学悖论的来源。你能想一个命题，使得它和它的否定形式同时成立吗？令人难以置信的是，这样的命题真的存在。“这句话是七字句”就是这样一种奇怪的命题。它的否定形式是“这句话不是七字句”，同样是成立的。
你肯定会大叫“赖皮”，命题的真假与这个命题本身的形式有关，这样的命题算数学命题吗？没错，这些涉及到自己的命题都叫做“自我指涉命题”，它们的出现会引发很多令人头疼的问题。从说谎者悖论（Liar paradox）到罗素悖论（Russell's paradox），各种逻辑悖论的产生根源几乎都是自我指涉。数理逻辑中的流氓遍地都是，它们直接引发了数学史上的第三次数学危机。
欧拉的流氓证明法
在数学史上，很多漂亮的定理最初的证明都是错误的。最典型的例子可能就是 1735 年大数学家欧拉（Euler）的“证明”了。他曾经仔细研究过所有完全平方数的倒数和的极限值，并且给出了一个漂亮的解答：
这是一个出人意料的答案，圆周率 π 毫无征兆地出现在了与几何完全没有关系的场合中。欧拉的证明另辟蹊径，采用了一种常人完全想不到的绝妙方法。他根据方程 sin(x)/x = 0 的解，对 sin(x)/x 的级数展开进行因式分解，再利用对比系数的方法神奇地得到了问题的答案。不过，利用方程的解进行因式分解的方法只适用于有限多项式，在当时的数学背景下，这种方法不能直接套用到无穷级数上。虽然如此，欧拉利用这种不严格的类比，却得出了正确的结果。欧拉大师耍了一个漂亮的流氓。
最经典的“无字证明”
一些定理的直观理解虽然毫无逻辑可言，完全算不上是数学证明，但这些精巧而欢乐的视角，依然让数学家们如痴如醉。
1989 年的《美国数学月刊》（American Mathematical Monthly）上有一个貌似非常困难的数学问题：下图是由一个个小三角形组成的正六边形棋盘，现在请你用右边的三种（仅朝向不同的）菱形把整个棋盘全部摆满（图中只摆了其中一部分），证明当你摆满整个棋盘后，你所使用的每种菱形数量一定相同。
文章末尾提供了一个非常帅的“证明”。把每种菱形涂上一种颜色，整个图形瞬间有了立体感，看上去就成了一个个立方体在墙角堆叠起来的样子。三种菱形分别是从左侧、右侧、上方观察整个立体图形能够看到的面，它们的数目显然应该相等。
严格地说，这个本来不算数学证明的。但它把一个纯组合数学问题和立体空间图形结合在了一起，实在让人拍案叫绝。因此，这个问题及其鬼斧神工般的“证明”流传甚广，深受数学家们的喜爱。《最迷人的数学趣题——一位数学名家精彩的趣题珍集》（Mathematical Puzzles: A Connoisseur's Collection）一书的封皮上就赫然印着这个经典图形。在数学中，类似的流氓证明数不胜数，不过上面这个可能算是最经典的了。
《最迷人的数学趣题——一位数学名家精彩的趣题珍集》的封面
旋轮线的面积
旋轮线。图片来源：Wikipedia
车轮在地上旋转一圈的过程中，车轮圆周上的某一点划过的曲线就叫做“旋轮线”。在数学和物理中，旋轮线都有着非常重要而优美的性质。比如说，一段旋轮线下方的面积恰好是这个圆的面积的三倍。这个结论最早是由伽利略（Galileo Galilei，）发现的。不过，在没有微积分的时代，计算曲线下方的面积几乎是一件不可能完成的任务。伽利略是如何求出旋轮线下方的面积的呢？
他的方法简单得实在是出人意料：它在金属板上切出旋轮线的形状，拿到秤上称了称，发现重量正好是对应的圆形金属片的三倍。
在试遍了各种数学方法却都以失败告终之后，伽利略果断地耍起了流氓，用物理实验的方法测出了图形的面积。用物理实验解决数学问题也不是一件稀罕事了，广义费马点（generalized Fermat point）问题就能用一套并不复杂的力学系统解出，施泰纳问题（Steiner tree problem）也可以用肥皂膜实验瞬间秒杀。
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富有激情的心理学工作者
想起中学时做几何题，算不出来就拿尺子量。。。后来由于这样耍流氓的人太多，老师就故意把图画得比例失调
引用 琦迹517 的回应：如何证明0.9999999……=1？？？？？证：设a=0.99999……（①）则10a=9.999999……∴10a=9.999999……=9+0.99999……=9+a∴10a-a=9∴a......您为什么不用更流氓的办法……1/3=0.……3*(1/3)=0.……=1……………………………………
资深心理学爱好者
如何证明0.9999999……=1？？？？？证：设a=0.99999……（①）则10a=9.999999……∴10a=9.999999……=9+0.99999……=9+a∴10a-a=9∴a=1又∵a=0.……（①）∴0.999999……=1俺来耍流氓了~
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资深心理学爱好者
如何证明0.9999999……=1？？？？？证：设a=0.99999……（①）则10a=9.999999……∴10a=9.999999……=9+0.99999……=9+a∴10a-a=9∴a=1又∵a=0.……（①）∴0.999999……=1俺来耍流氓了~
－－！你狠。。。引用 琦迹517 的回应：如何证明0.9999999……=1？？？？？证：设a=0.99999……（①）则10a=9.999999……∴10a=9.999999……=9+0.99999……=9+a∴10a-a=9∴a=1又∵a......
最后一个我想起那个爱迪生称灯泡体积的故事
证明菱形数量一定相同那个题，可以用三次单位根赋值的方法
引用 琦迹517 的回应：如何证明0.9999999……=1？？？？？证：设a=0.99999……（①）则10a=9.999999……∴10a=9.999999……=9+0.99999……=9+a∴10a-a=9∴a......您为什么不用更流氓的办法……1/3=0.……3*(1/3)=0.……=1……………………………………
理论物理博士，科学松鼠会成员
其实对于数学家来讲，物理学家都是流氓。矩阵兄可以写个哈！
动物学硕士，猫咪控
旋轮线，一句话 真是太神奇了！
关于0.999……＝1，俺也是这样证明的：1/3＝0.333……1/3×3＝10.333……×3＝0.999……0.999……＝0.333……×3＝1/3×3＝1
好爱伽利略耍的流氓！！！
引用 sheldon 的回应：其实对于数学家来讲，物理学家都是流氓。矩阵兄可以写个哈！顶，对于物理学家来讲，化学家都是流氓= =
好优美的耍流氓！
我是个老实人，我不耍流氓——0.999999......=3X1/3=1
blockquote]引用 琦迹517 的回应：如何证明0.9999999……=1？？？？？证：设a=0.99999……（①）则10a=9.999999……∴10a=9.999999……=9+0.99999……=9+a∴10a-a=9∴a=1又∵a......[/blockquote]
话说...耍流氓不成也是常有的事情...比如欧拉同学就干过 lim 1/x^n+...+1/x^2+1/x+1+x+x^2+...+x^n (n-&inf) = 1+1/x+1/x^2+...1/x^n+x+x^2+...+x^n(n-&inf) = (1-(1/x)^(n+1))/(1-1/x)+x*(1-x^n)/(1-x) (n-&inf) = x/(x-1)+x/(1-x) = 0 的神奇证明...
富有激情的心理学工作者
想起中学时做几何题，算不出来就拿尺子量。。。后来由于这样耍流氓的人太多，老师就故意把图画得比例失调
引用 琦迹517 的回应：如何证明0.9999999……=1？？？？？证：设a=0.99999……（①）则10a=9.999999……∴10a=9.999999……=9+0.99999……=9+a∴10a-a=9∴a......证明过程有一步写错了，10a-a=9a才对。接下去应该是9a=9，所以a=1……啊当然，其实结果还是一样的，只是证明过程有点小纰漏……但是的确很流氓……
引用 琦迹517 的回应：如何证明0.9999999……=1？？？？？证：设a=0.99999……（①）则10a=9.999999……∴10a=9.999999……=9+0.99999……=9+a∴10a-a=9∴a=1又∵a......我也耍~0.9999...=1???1/3=0.3333...1/3×3=0.333...×3=1嘿嘿~
流氓~~~嘎嘎~~~引用 琦迹517 的回应：如何证明0.9999999……=1？？？？？证：设a=0.99999……（①）则10a=9.999999……∴10a=9.999999……=9+0.99999……=9+a∴10a-a=9∴a=1又∵a......
对于数理化的童鞋们来说，心理学都是耍流氓
引用 琦迹517 的回应：如何证明0.9999999……=1？？？？？最简单的证法：1/3=0.……（①）则0.=0.……1/3*3=1∴1=0........
资深心理学爱好者
心理学也有严谨的统计与测量，也有实验与公式，我们不是耍流氓！！！引用 暴走紫罗兰 的回应：对于数理化的童鞋们来说，心理学都是耍流氓
康托证明有理数可数和实数不可数的方法也相当奇葩
哈哈~~耍流氓~~好有爱的形容词啊~~
最后那个流氓。。。我只能说太神奇了。
我觉得，学校的数学老师有必要说明无限循环小数的加减法运算，否则很多人都会想耍流氓。
在上管理学的课，老师是流氓...
……没有语言了……
富有激情的心理学工作者
引用 暴走紫罗兰 的回应：对于数理化的童鞋们来说，心理学都是耍流氓这是从何说起。。。
旋轮线。。。太NB了。。。。
哈哈，太有意思了
伽利略...非礼啊~
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科目：初中数学
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2007年广东数学中考题
09-08-25 &
恭喜你，要学会一个定理了，你的问题就是高中数学几何部分的一个定理，我今天没事，给你说说吧：你可以先画一个长方体（正方体更好算）找到你题设中的4点，ABCD，让AB AC AD 两两垂直 ，很好找，别偷懒，画下就知道了。把他套进圆中（其实就是一个圆里套了个正方体）你这时应该知道正方体对角线的长时8，仔细想下，是吧？（圆心到圆上任意一点都是4）AB的平方+AC的平方等于BC的平方，画下看看，是把？BC的平方加AD的平方不就是对角线的平方吗？仔细看下，最后手边画个正方体，这其实就是个定理，你高考直接用这个结果应该没错的。长方体一样的效果，这种题就是考察你的抽象空间思维，做题多点你会发现，定理从来不用背，自己都能证出来，还背什么？祝你考试顺利，学习进步
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等于几分之几
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