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1解题依据定理:当二重积分的积分区域是圆域或圆域的一部分时,或者被积函数的形式为时,采用极坐标变换,用极坐标计算二重积分。[1]中的这段文字告诉我们极坐标下的计算可以帮助达到简化二重积分积分区域或被积函数的目的。其中提到了:极坐标变换下的范围是,这是极坐标计算二重积分时积分区域表示的理论前提。此外,[2]中虽在第九章第二节第二目中没有提到过这个范围要求,却在用柱坐标计算三重积分时提到:柱面坐标系中的变化范围是,我们知道这其实就隐含着平面极坐标系中的范围。2几种常见的特殊积分区域图1图2在用极坐标计算二重积分时,上述两种圆域都有两种常用的表示方法,它们分别是图1可表示为,或和;图2可表示为或。在计算时通常针对两图都采用上面给出的第一种表示法。如果不嫌繁琐偶尔也会使用第二种。多数时候两种表示法下的计算结果都是相同的。那么,是不是也有人会遇到结果不同的情况呢?如果是,哪个答案才是正确的呢?导致错误的原因又是什么呢?这些问题,将通过下面...&
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定积分的几何应用之一,就是在直角坐标系下计算平面图形的面积,其基本思想和方法是微元法,由此得到了X?型区域和Y?型区域的面积公式;在直角坐标系下二重积分的计算是利用曲顶柱体的体积公式将其转化为二次积分,并得出了X?型区域和Y?型区域的体积公式[1].要使用这些公式就必须深刻理解公式的由来,一步一步操作[2],但在实际解题时这是很难做到的.在利用定积分计算平面图形的面积时,确定被积函数是很关键的,如果按照微元法一步步来做的话,是比较麻烦的,特别是碰到需要分割平面图形的情况,那就很容易出错.对于二重积分的计算来说,如何将所给的积分区域化为X?型区域或Y?型区域是很关键的一步,如果按照公式的推导过程来做,那将很不方便.这些问题若采用“四线法”就可以简化整个解题过程,很容易地得到相应的积分公式.1利用“四线法”计算平面图形的面积在直角坐标系下,应用定积分求面积时所给的平面图形和计算二重积分时所给出的积分区域都是闭的,都可以把它看作是由4...&
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1计算二重积分的方法步骤二重积分的计算有一定的方法和步骤,如按照步骤进行分析和解题,就比较容易做题。在直角坐标系下计算二重积分的步骤为:(1)画出积分区域草图;(2)确定积分区域是否为X-型或Y-型区域,如既不是X-型也不是Y-型区域,则要将积分区域化成几个X-型和Y-型区域,并用不等式组表示每个X-型和Y-型区域;(3)用公式化二重积分为二次积分;(4)计算二次积分的值。例1,计算2dxdy,其中D:0≤x≤1,0≤y≤2D(x+y)解:作出积分区域D的图1.由于D即是x—型区域又是y—型区域,因此,两种积分次序都可以计算二重积分。在此把D看成x—型区域,可得:图2解:作出积分区域D的图2.可以把D分成两块D1、D2,由于D1与D2都是x—型区域,所以有:D6x2y2dxdy=D16x2y2dxdy+D26x2y2dxdy=∫0-1dx∫2--xx26x2y2dy+∫10dx∫2x-x26x2y2dy=∫0-16x2·13y3...&
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二重积分的传统计算方法要先化成累次积分,再根据被积函数的原函数进行计算,但若原函数难以求得,则该积分就无法直接计算,具有很大的局限性.蒙特卡罗方法为求解二重积分提供了一个新的计算方法,该方法利用计算机的快速计算和高精度的特点来模拟随机投点实验,然后通过概率模型,由数学期望的计算来得到积分的近似值.蒙特卡罗方法以随机模拟和统计试验为手段,从随机变量的概率分布中,通过选择随机数的方法产生一种符合该随机变量概率分布特性的随机数值序列,作为输入变量序列进行特定的模拟试验、求解的方法.在应用蒙特卡罗方法求解二重积分时,必须要在包含积分域的矩形区域中产生非均匀的随机点,然后设法转换成我们需要的随机数序列并以此作为数字模拟试验的输入变量序列进行模拟求解.本文在传统蒙特卡罗方法的基础上做了改进,直接在积分区域中产生随机点进行计算,由此简化[1-2][3]计算过程,节省计算机时,提高计算效率.最后通过算例验证改进算法的可行性与优良性.积分都可以看...&
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利用积分区域和被积函数的对称性,可以简化重积分的计算,有些题目如果不用对称性,计算将非常麻烦。近年来,许多学生在考研复习备考时,常常提出这一问题,但现行教材[1]及考研复习指导资料[2]中都未具体给出。为了提高计算速度和效率,笔者利用对称性对直角坐标系中的二重积分展开讨论。1关于二重积分对称性的若干结论命题1如果积分区域D关于y轴对称,D1={(x,y)|(x,y)∈D,x≥0},则:1)当f(-x,y)=-f(x,y),即f(x,y)关于x为奇函数时:Df(x,y)dxdy=02)当f(-x,y)=f(x,y),即f(x,y)关于x为偶函数时:Df(x,y)dxdy=2D1f(x,y)dxdy命题2如果积分区域D关于x轴对称,D1={(x,y)|(x,y)∈D,y≥0},则:1)当f(x,-y)=-f(x,y),即f(x,y)关于y为奇函数时:Df(x,y)dxdy=02)当f(x,-y)=f(x,y),即f(x,y)关于y为...&
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定义1若a,b为整数,p为正整数,则称a+ib为整复数或格点,称1p(a+ib)为p分格点,称每个顶点Ak皆为格点的n边形A1A2…An为格点n边形.引理1设A1A2…An为复平面上的格点n边形,记此n边形生成的闭围道为C,相应的n个内角为αk(1≤k≤n,00,σf(k)(z)dxdy=k!ak|σ|,故当ζ∈σ时,定理3成立.∞定理4设闭圆环r≤|z|≤R为,σRR1,|σ|=π(R2-r2),f(z)=∑k=0akzk是σ上的解析函数,|ζ||z|,则下列等式成立:f()ζ=1|σ|σzf(z)z-ζdxdy,f(k)()ζ=1|σ|σzf(z)(z-ζ)(k+1)dxdy.(3)证明易见σzkdxdy=2∫π0dθR∫rρk+1eikθdρ=|σ|k=0,0 k=±1,±2,±3,…ak=1|σ|σf(z)zkdxdy,f...&
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§2一般区域上的二重积分
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一般区域上的二重积分
[主要内容] 一般区域上的二重积分的定义、可积性、性质及计算
[本节重点] 一般区域上二重积分的计算
[本节难点] 二重积分的计算
一般区域上二重积分的定义
设D是R2平面上的有界区域，不一定是矩形。f:D→R
f在一般区域D上二重积分如何定义？我们已经学过矩形上二重积分的定义，所以基本的思想是利用矩形上二重积分来处理一般区域上二重积分。
具体做法是任意取一矩形A：AD，这样的矩形可否取到，粗略地看，由D的有界知可以取到，f在A上的二重积分可以定义，就把它作为f在D上的二重积分！行不行？
不行！第一，f在A上不一定有意义；第二，即使f在A上有定义，此时从二重积分的几何意义看，是很不和谐的。因为如果，分别表示以A，D为底，以f为顶的曲顶柱体的体积，这两个体积未必相等。
怎么处理？为了让f在A上有定义，须把f的定义域扩大，定义域变化了，就是一个新的函数，所以我们需要引进一个新的函数F，①它在D上和f一样，在A\D上有定义；②从几何意义上看， ，如何来构造？分析如下函数
它满足以上两条。这个函数称为f的延拓。根据上述分析，如果FR（D），并且，
综上所述，就有一般区域上二重积分的定义：
设DR2为有界闭区域，f为D上的有界函数，任取闭矩形AD，定义A上函数F：
F x,y f在A上的延拓函数
若F在A上可积，则称f在D上可积，并且定义f在D上的二重积分为F在A上的二重积分，即
一句话：一般区域D上函数f的二重积分定义为其任意矩形上延拓函数F的二重积分。
[说明] 有的同学可能会担心，矩形A是任意取的，取一个矩形A，有一个二重积分。设A1D，A2D，F1，F2分别是f在A1 ，A2上的延拓函数，且F1R A1 ，F2R A2 ，则 ，。左端是同一个积分，右端是可相等呢？即是说的定义与矩形A的取法有关吗？如果有关，则的值不唯一，定义就无意义。
所以，这种旦夕是不必要的！因为f在D上的二重积分的这种定义与矩形的取法无关！因为可以证明如下事实：如果，且
一般区域上函数的可积性
在矩形上二元函数的可积性讨论中有一个重要的结果：闭矩形上几乎处处连续的有界函数必在该闭矩形上可积。那么,可否认为把“闭矩形”换为较为一般的“有界闭域”时上述结论也成立呢？
为此，先看下例：设f定义在有界闭区域D上，并且对D内每一点 x,y 都有f x,y
1，讨论f在D上的可积性。
设闭矩形AD,作F（x,y） ，f在D上是可积F在A上是可积的F在A上的不连续点的集合是可为零测度集是零测度集。
由此可见，把“闭矩形”换为“一般闭区域”后原来的结果不一定成立。同时发现：f在D上是否可积不仅与f本身的性质有关，而且还与区域D的边界有关。综合上例，有下面定理：
设D是有界闭区域，其边界是中的零测度集，又设f是定义在D上的几乎处处连续的有界函数，则f 在D上可积。
定理1有一个很有用的推论，但需引进“可求面积的区域”的概念：
设D是平面上的一个有界区域，故存在一个子矩形A，使，作A的分划
将A划分为个子矩形，在这些子矩形中，记所有与D相交的子矩形为，它们的面积之和记为，再记所有在D内部的子矩形为，它们的面积之和记为，如果取任意，存在一个分划P，使，则称区域D是内可求面积的区域；另一方面，可求面积的区域的边界一定是零测度集。
设D是内可求面积的闭区域，f是定义在D上的连续函数，则f在D上可积。
三．一般区域上的二重积分的性质
一般区域上的二重积分具有和矩形上二重积分类似的性质，如线形，可加性，单调性及中值定理等等，叙述形式完全相同，相异之处在于把“矩形A”换为“一般区域D”，即可。
四、一般区域上二重积分的计算
在平面区域中，有两类特殊的区域是最具代表性的，（如左图）。图1 所示区域用集合可表示为： x型区域
其特点是（a,b）,则直线x 至多与区域D的边界交于两点；图2所示区域用集合可表示为： y型区域
其特点是，则直线y 至多与区域D的边界交于两点。
为什么说这两类区域常用到（最具代表性），因为许多常见的区域都可分割为有限个无分类点的x型区域和y型区域 如图3 。因而，解决了x型区域和y型区域上二重积分的计算方法后，一般区域上的二重积分的计算问题也就得到解决。
如何计算x型区域和y型区域上的二重积分呢？ 最基本的想法还是化二重积分为二次积分（累次积分）。问题是化为什么样的二次积分呢？以x型区域为例，是化为呢？还是呢？ 如果fR（D），则R 故化为较为合理。需要什么条件？为保证：fR（D），fC（D）,，在上述条件下， fR（D） AD，F（x,y） ， f 在A上的延拓函数FR（A），且 综上所述，有下面的结果：
正在加载中，请稍后...& & & &王冲：2014考研数学计算量刚好，需注意必考题目
　　2014考研数学落下帷幕，关于今年的考研数学的特点和命题趋势，王冲老师第一时间一与考生见面，分享2014年考研数学的变化。
　　计算问题是重点
　　王老师表示自己曾经在课堂上多次强调计算问题，在2014年的考试中计算问题依然是重点，比如说数学一第三题，王老师说，&实际上就是一个二重积分的题了，这个二重积分在课堂上我讲过非常多次，牵涉到二重积分有一个非常重要的问题，就是累次积分可交换的问题，这个地方实际上是一个Y型区域的二重积分，所以说ABCD选项里面，AB相当于转化成了X型区域，但是转化的都是错的，这个题把图形画出来稍微一算就可以了，C和D是把二重积分转化成极坐标的方式进行积分次序的可交换，这个题不难，大家把图画出来就OK了。&
　　选择题非常有特色
　　王老师认为，2014年考研数学的选择题非常有特色，比说选择题第四题，把定积分跟傅里叶级数联系在一起，傅里叶级数说白了就是对某一个函数的逼近，SINX，COSX，他们进行组合起来会逼近某一个函数，王老师说，&这个题是考察副列函数，只是它的应用非常灵活体现出来了。还有咱们的计算，第9题，求一个二元函数在某个点处的切平面，这个按照公式套数来就可以了，没有什么难度。第10是关于一个微方程的题目，对于这块来讲，应该是属于一阶线微方程，需要Y变成X转成一个变量，这个题不难，稍稍运算一下就可以了。剩下的就是关于数一和数三的区别，曲线积分，是利用STOCKS公式完成的一个曲线积分，这个题不难。&
　　必考题目要注意
　　计算和极限，是每年必考的题目，王老师指出，今年极限又跟变现积分联系在一起了，极限和变现积分联系在一起那就是洛比达法则，中间有一步比较巧妙是利用导带换，可能会使这个题目非常简单，如果不用导带换的话节比较麻烦了。王老师表示，&16、17题都是所谓的纯粹计算，高考里面也有一些纯粹计算的题目，大家能不能把握好纯粹计算的题目是非常关键的，你会不会算距离你拿到这个分中间还有一个很长的距离，这个距离就是一个计算。&
　　计算量不大
　　王老师认为，数一跟数二数三区别的题就是18题，涉及到曲面积分，两个事，一个是利用高速公式，或者说在一个点存在极点的话，这个地方补一个面，这个题计算量稍微有点大。王老师说，&今年数一的题目相比较2013年数一的题目计算量没有那么大，今年的计算量我认为刚刚好，而且难度也是比较好，区分度比较好区分出来，区分度体现在哪儿呢？我刚才说的选择题的第四题是比较灵活的题目，还有填空题的第十题可能也会区分出来一些同学的分数，还有一个区分的问题就是刚才所说的级数的问题。&
　　数三题目有特色
　　谈到数三的特点，王老师表示，比较有特色也是一个特色，比如数三第三题，其实就是在考泰勒公式，在零点进行展开，这个题不难，王老师说，&如果你听听我们经常上课，对泰勒公式的演绎就没有什么问题。第四题实际上是一个性质的问题，这地方不存在计算，就是一个性质，大家能看到来GX实际上是一条直线，FX是一个函数，其实这个地方考察的实质是在于凹凸性的问题，凹凸性跟图形结合在一起，这个图就很容易做了，如果不结合图形这个题可能还有点难度，抓不住要领。&
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关于"最后阶段，真题的正确打开方式_备考经验_考研帮"有15名研友在考研帮APP发表了观点
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