&&&&离散数学（第二版）
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版 次：2页 数：234字 数：362000印刷时间：日开 本：纸 张：胶版纸包 装：平装是否套装：否国际标准书号ISBN：4所属分类：&&&&&&
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离散数学教学中的命题符号化难点讨论
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离散数学证明题
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3秒自动关闭窗口导读：离散数学教案，（2）计算机系的学生都要学离散数学，G（x）：x要学离散数学;则命题（2）可符号化为：?x（C（x）→G（x）），离散数学教案（1）?xF（x）（2）?xG（x）在个体域D2中命题（1）、（2）都是真命题。例2.4将下列命题符号化，并指出真值情况。（1）没有人登上过月球。（2）所有人的头发未必都是黑色的。解个体域为全总个体域，令M（x）：x是人。（1）令F（x）：x登上过月球。命离散数学教案
?x F（x） （2）
?x G（x） 在个体域D2中命题（1）、（2）都是真命题。
将下列命题符号化，并指出真值情况。 （1）没有人登上过月球。 （2）所有人的头发未必都是黑色的。 解
个体域为全总个体域，令M（x）：x是人。 （1）令F（x）：x登上过月球。命题（1）符号化为： ） ??x（M（x）∧F（x）设a是1969年登上月球完成阿波罗计划的一名美国人，则M（a）∧F（a）为真，故命题（1）为假。 （2）令H（x）：x的头发是黑色的。命题（2）可符号化为： ） ??x（M（x）?H（x）我们知道有的人头发是褐色的，所以?x（M（x）?H（x））为假，故命题（2）为真。
例2.5 将下列命题符号化。 （1）猫比老鼠跑得快。 （2）有的猫比所有老鼠跑得快。 （3）并不是所有的猫比老鼠跑得快。 （4）不存在跑得同样快的两只猫。 解
设个体域为全总个体域。令C（x）：x是猫；M（y）：y是老鼠；Q（x，y）：x比y跑得快；L（x，y）：x和y跑得同样快。这4个命题分别符号化为： （1）?x?y（C（x）∧M（y）?Q（x，y））； （2）?x（C（x）∧?y（M（y）?Q（x，y）））； （3）??x ?y（C（x）∧M（y）?Q（x，y））； （4）??x? y（C（x）∧C（y）∧L（x，y）） 2.2
谓词逻辑公式与解释 2.2.1
谓词逻辑的合式公式
设P（x1，x2，…，xn）是n元谓词公式，其中，x1x2，…，xn是个体变项，则称P（x1，x2，…，xn）为谓词演算的原子公式。
谓词演算的合式公式定义如下： （1）原子公式是合式公式； （2）若A是合式公式，则（A）也是合式公式； （3）若A，B是合式公式，则（A∧B）、（A∨B）、（A→B）、（A?B）是合式公式； （4）若A是合式公式，则?x A、?x A是合式公式； （5）只有有限次地应用（1）－（4）构成的符号串才是合式公式。
在谓词逻辑中将下列命题符号化。 （1）不存在最大的数。 （2）计算机系的学生都要学离散数学。 解
取个体域为全总个体域。
11 离散数学教案
（1）令F（x）：x是数，L（x，y）：x大于y；则命题（1）符号化为 ?x（F（x）∧ ?y（F（y）→ L（x，y））） （2）令C（x）：x是计算机系的学生，G（x）：x要学离散数学;则命题（2）可符号化为：
?x（C（x）→ G（x））
将下列命题符号化。 （1）尽管有人聪明，但并非所有人都聪明。 （2）这只大红书柜摆满了那些古书。 解
（1）令C（x）：x聪明；M（x）：x是人。则命题（1）可符号化为 ）∧?x（M（x）→C（x）） ?x（M（x）∧C（x）（2）令F（x，y）：x摆满了y；R（x）：x是大红书柜；Q（x）:x是古书；a：这只；b：那些。则命题（2）可符号化为 R（a）∧Q（b）∧F（a，b）
约束变元与自由变元
1．约束变元与自由变元的概念 定义 2.3
在公式?x F（x）和?x F（x）中，称x为指导变元，F（x ）为相应量词的辖域或作用域。在?x和?x的辖域中，x的所有出现都称为约束出现，F（x）中不是约束出现的其他变元均称为自由出现。 例2.7
指出下列各式量词的辖域及变元的约束情况： （1）?x（F（x，y）→ G（x，z）） （2）?x（P（x）→?y R（x，y）） （3）?x（F（x）→ G（y））→ ?y（H（x）∧M（x，y，z）） 解 （1）对于?x的辖域是A=（F（x，y）→ G（x，z）），在A中，x是约束出现的，而且约束出现两次，y，z均为自由出现，而且各自由出现一次。 （2）对于?x的辖域是（P（x）→?y R（x，y）），?y的辖域是R（x，y），x，y均是约束出现的。 （3）对于?x的辖域是（F（x）→ G（y）），其中x是约束出现的，而y是自由出现的。对?y的辖域是（H（x）∧M（x，y，z）），其中y是约束出现的，而x，z是自由出现的。在整个公式中，x约束出现一次，自由出现两次，y约束出现一次，自由出现一次，z仅自由出现一次。 2．约束变元的换名与自由变元的代入
对公式?x（P（x）→ R（x，y））∧Q（x，y）进行换名。 解
对约束变元x换名为t后为 ?t（P（t）→ R（t，y））∧Q（x，y） 同理，对公式中的自由变元也可以更改，这种更改称作代入。 自由变元的代入规则是： （1）对于谓词公式中的自由变元，可以代入，此时需要对公式中出现该自由变元的每一处进行代入。 （2）用以代入的变元与原公式中所有变元的名称都不能相同。
对公式?x（F（x）→ G（x，y））∧?y H（y）代入。 解
对y实施代入，经过代入后原公式为 ）∧ ?y H（y） ?x（F（x）→ G（x，t）另外，量词作用域中的约束变元，当论域的元素是有限时，个体变元的所有可能的取代是可以枚举的。 设论域元素为a1，a2，…，an，
12 离散数学教案
?x A（x）? A（a1）∧A（a2）∧…∧A（an）
?x A（x）? A（a1）∨A（a2）∨…∨A（an）。
谓词逻辑公式的解释
谓词逻辑公式的一个解释I，是由非空区域D和对G中常项符号、函数符号、谓词符号以下列规则进行的一组指定组成： （1）对每一个常项符号指定D中一个元素。 （2）对每一个n元函数符号，指定一个函数。 （3）对每一个n元谓词符号，指定一个谓词。 显然，对任意公式G，如果给定G的一个解释I，则G在I的解释下有一个真值，记作TI（G）。 例2.10
指出下面公式在解释I下的真值。 （1）G=?x（P（f（x））∧Q（x，f（a）））； （2）H=?x（P（x）∧Q（x，a））。 给出如下的解释I： D={2，3}； a：2； f（2）：3、f（3）：2； P（2）：0、P（3）：1；
Q（2，2）：1、Q（2，3）：1、Q（3，2）：0、Q（3，3）：1； 解
（1）TI（G）= TI（（P（f（2））∧Q（2，f（2）））∨（P（f（3））∧Q（3，f（2））））
= TI（（P（3）∧Q（2，3））∨（P（2）∧Q（3，3））
= （1∧1）∨（0∧1）
= 1 （2）TI（H）= TI（P（2）∧Q（2，2）∧P（3）∧Q（3，2））
=0∧1∧1∧0=0 定义2.5
若存在解释I，使得G在解释I下取值为真，则称公式G为可满足的，简称I满足G。 定义2.6
若不存在解释I，使得I满足G，则称公式G为永假式（或矛盾式）。若G的所有解释I都满足G，则称公式G为永真式（或重言式）。 2.3
谓词逻辑约束公式的等价与蕴涵 2.3.1
谓词逻辑的等价公式
设A、B是命题逻辑中的任意两个公式，设它们有共同的个体域E，若对任意的解释I都有TI（A）= TI（B），则称公式A、B在E上是等价的，记作A?B。
设A（x）是谓词公式，有关量词否定的两个等价公式：
13 离散数学教案
（1）?x A（x）??xA（x） （2）?x A（x）??xA（x） 证明
（1）设个体域是有限的为：D={ a1，a2，…，an}，则有 ?x A（x）?（A（a1）∧A（a2）∧…∧A（an）） ） ?A（a1）∨A（a2）∨…∨A（an）
??xA（x） （2）设个体域是有限的为：D={ a1，a2，…，an}，则有
?x A（x）?（A（a1）∨ A（a2）∨…∨A（an））
? A（a1）∧ A（a2）∧…∧A（an） ??xA（x） 定理2
设A（x）是任意的含自由出现个体变项x的公式，B是不含x出现的公式，则有 （1）?x（A（x）∨B）??x A（x）∨B （2）?x（A（x）∧B）??x A（x）∧B （3）?x（A（x）→ B）??x A（x）→ B （4）?x（B→A（x））?B→ ?x A（x） （5）?x（A（x）∨B）? ?x A（x）∨B （6）?x（A（x）∧B）??x A（x）∧B （7）?x（A（x）→ B）??x A（x）→ B （8）?x（B→A（x））?B→?x A（x） 证明
（1）设D是个体域，I为任意解释，即用确定的命题及确定的个体代替出现在?x（A（x）∨B）和?x A（x）∨B中的命题变元和个体变元，于是得到两个命题，若对?x（A（x）∨B）代替之后所得命题的真值为真，此时必有A（x）∨B的真值为真；因而A（x）真值为真或B的真值为真，若B的真值为真，则?x A（x）∨B的真值为真；若B的真值为假，则必有对D中任意x都使得A（x）的真值为真，所以?x（A（x）∨B）为真，从而?x A（x）∨B为真。若对?x（A（x）∨B）代替之后所得命题的真值为假，则A（x）和B的真值必为假，因此?x A（x）∨B的真值为假；所以?x（A（x）∨B）为假，有?x A（x）∨B为假。 （2）、（5）和（6）证明与（1）类似，证明过程略。 （3）?x（A（x）→ B）??x（?A（x）∨B）
??x?A（x）∨ B
??x? A（x）∨B
??x A（x）→ B （4）、（7）、（8）证明与（3）类似，证明过程略。
设A（x）、B（x）是任意包含自由出现个体变元x的公式,则有： （1）?x（A（x）∧B（x））??x A（x）∧?x B（x） （2）?x（A（x）∨B（x））??x A（x）∨?x B（x）
14 离散数学教案
（1）设D是任一个体域，若?x（A（x）∧B（x））的真值为真，则对任意a?D，有A（a）和B（a）同时为真，即?x A（x）为真、?x B（x）为真，从而?x A（x）∧?x B（x）为真。若?x（A（x）∧B（x））的真值为假，则对任意a?D，有A（a）和B（a）不能同时为真，即?x A（x）和 ?x B（x）的真值不能同时为真，从而?x A（x）∧?x B（x）的真值为假。 综上所述 ?x（A（x）∧B（x））??x A（x）∧?x B（x） （2）设D是任一个体域，若?x（A（x）∨B（x））的真值为真,则存在a?D，使得A（a）∨B（a）为真，即A（a）为真或B（a）为真，即?x A（x）为真或?x B（x）为真，从而?x A（x）∨?x B（x）为真。若?x（A（x）∨B（x））的真值为假，则存在a?D，使得A（a）∨B（a）为假，此时，A（a）为假，B（a）为假，从而?x A（x）∨?x B（x）的真值为假。 综上所述 ?x（A（x）∨B（x））??x A（x）∨?x B（x）
证明下列各等价式 （1）?x（A（x）∧B（x））??x（A（x）→B（x）） （2）?x（A（x）→ B（x））??x（A（x）∧B（x）） 证明
（1）?x（A（x）∧B（x））
??x （A（x）∧B（x））
??x（A（x）∨B（x））
? ?x（A（x）→B（x）） （2）?x（A（x）→ B（x））
??x （A（x）→ B（x））
??x （A（x）∨B（x））
??x（A（x）∧B（x）） 2.3.2
谓词逻辑的蕴涵公式
设A、B是命题逻辑中的任意两个公式，若A→B是永真式，则称公式A蕴涵公式B，记作A?B。 定理4
下列蕴涵式成立 （1）?x A（x）∨?x B（x）??x（A（x）∨B（x）） （2）?x（A（x）∧B（x））??x A（x）∧?x B（x） （3）?x（A（x）→ B（x））??x A（x）→ ?x B（x） （4）?x（A（x）→ B（x））??x A（x）→ ?x B（x） （5）?x A（x）→ ?x B（x）??x（A（x）→ B（x）） 证明：
（1）设?x A（x）∨?x B（x）在任意解释下的真值为真，即对个体域中的每一个x。都能使A（x）的真值为真或者对个体域中的每一个x都能使B（x）的真值为真，无论哪种情况，对于个体域中的每一个x都能使A（x）∨B（x）的真值为真。因此，蕴涵式?x A（x）∨?x B（x）??x（A（x）∨B（x））成立。
（2）设个体域为D，在解释I下?x（A（x）∧B（x））的真值为真，即存在a?D使得A（a）∧B（a）为真，从而A（a）为真，B（a）为真，故有?x A（x）、?x B（x）均为真，所以，蕴涵式?x（A（x）∧B（x））??x A（x）∧?x B（x）成立。 （3）设个体域为D，在解释I下?x A（x）→ ?x B（x）的真值为假,即存在a?D使得A（a）→ B（a）为假，所以蕴涵式?x（A（x）→ B（x））??x A（x）→ ?x B（x）成立。
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离散数学复习提纲
本复习提纲仅列出了上课时所讲过的每一章节的知识点，请大家对照知识点认真复习。
§1命题及其真值
命题概念，命题联结词，命题真值表，命题符号化
命题公式的性质，逻辑等价公式，永真蕴含公式，命题公式推倒（化简与证明） §3范式
指派，析取范式，合取范式，极小项，极大项，主范式的求法，与真值表之间的关系 §4联结词的扩充与归约
功能完备集，与非，或非
§5推理规则和证明方法
CP 规则，直接证明法、条件证明法、反证法，命题公式证明
§6谓词和量词
全称量词，存在量词，基于谓词的命题符号化，公式的解释
§7谓词演算的永真公式
谓词公式的等价公式和永真蕴含公式，前束范式
§8 谓词演算的推理规则
基于谓词的推理，ES 、EG 、US 、UG 规则
§1集合论的基本概念
集合的定义，表示方法
§2集合的运算
交，并，补，差，环和，环积，定义和谓词表示方法，幂集
§3 自然数
定义（了解）
§4 集合的笛卡儿乘积
笛卡尔成绩的计算
第三章 二元关系
§1关系的基本概念
二元关系的定义、性质判断及证明（自反，反对称，对称，反对称，传递）、关系图、关系矩阵
§2关系的运算
二元关系的合成运算、逆运算、矩阵表示，
§3关系上的闭包运算
自反闭包，对称闭包，传递闭包，求法和性质证明
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