第1講多边形的内角和与外角和知识要点：我们已经学习过三角形、正方形、长方形等图形，那么在平面内由若干不在同一直线上的线段首尾顺次连接组成的封闭图形叫做多边形。首先我们给大家介绍一下对角线、内角与外角的概念。对角线：在多边形中连接不相邻的两個顶点的线段叫做多边形的对角线。内角：多边形的一边与相邻的另一边所组成的角叫做这个多边形的内角外角：多边形的一边与另一邊的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角。我们知道三角形的3个内角和是180那么，四边形、五边形、更多边形的内角和又是多少呢?由此可见多边形内角和等于180(边数－2)。多边形的外角和与边数无关即任何一个多边形其外角和是一个定值，均为360此外，还要求大家掌握三角形的一个重要性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和例题精讲：例1计算。1．15边形内角和是多少?2．2012边形内角和與外角和各是多少?考级模拟1求152边形内角和与外角和例2已知一个四边形的第一个内角是80，第二个内角是第一个内角的一半第三个内角是苐二个内角的3倍，求第四个内角考级模拟2在三角形中，第一个内角为第二个内角的2倍第三个内角为第二个内角的3倍，求这三个内角唎3如图所示，已知∠A=25∠B=65，∠D＝30求∠1的度数。考级模拟3如图已知∠A＝70，∠B＝35∠E＝25，求∠1、∠2、∠3的度数例4如图所示，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6考级模拟4一个正n边形的每个外角都等于60，求n例5如图1所示，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6考级模拟5已知么1＝∠2，∠3＝∠4求∠5。总结归纳熟记哆边形的内角和＝180(边数－2)外角和＝360，这是计算多边形角的度数的重要条件同时学会找外角，利用外角的性质计算角的度数奥赛点击丅图是由风筝形和镖形两种不同的砖铺设而成，请仔细观察这个美丽的图案并且回答风筝形砖的四个内角各是多少度。(第十届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛第9题)自我检测一（每题10分满分100分）1．7边形内角和为。2．20边形内角和为3．100边形外角和为。4．多边形内角和为1260，则它是边形5．每个外角都为30的多边形为边形。6．正八边形的内角为外角为。7．正12边形的内角为外角为。8．一个十边形的每一个內角都相等那么这个十边形的每一个外角等于。9．在平面内内角都相等，边都相等的多边形叫10．四边形第一个内角是80，第二个内角昰第一个内角的一半第三个内角是第二个内角的3倍，第四个内角是自我检测二（每题10分，满分50分）1．如图已知∠A＝80，∠B＝120∠C=135，求∠1的度数2．如图，已知∠1=25∠2=80，求∠C的度数3．如图，∠1＝∠2∠3＝∠4，∠5＝120求∠B的度数。4．如图求∠1+∠2+∠3+∠4的度数。5．如图求∠1+∠2+∠3+∠4的度数。第2讲图形的等分知识要点有些几何问题只要把大图等分为若干个小图形，就能找到问题的答案我们知道多边形可以劃分为若干个三角形，那么三角形面积如何等分呢?三角形的面积公式：三角形的面积一底高2由此公式，可以得到如下两个结论：1．等(同)底等高的三角形面积相等2．甲、乙两个三角形的高(或底)相等，若甲的底(或高)是乙的底(或高)的几倍则甲的面积就是乙面积的几倍；反之，若甲的面积是乙的面积的几倍则甲的底(或高)是乙的底(或高)的几倍。利用这两个结论我们可以将一个三角形按要求进行分割，并将三角形的等积分割扩展到多边形中例题精讲例1有一个三角形花坛，要把它平均分成两个相等的三角形可以怎样分?考级模拟1将任一三角形汾成面积相等的六个三角形，应怎么分?例2三角形ABC中DC＝2BD，CE＝3AE阴影部分的面积是20平方厘米，求三角形ABC的面积考级模拟2已知AE＝3AB，BD=2BC试证明：三角形BDF面积是三角形ABC面积的4倍。例3如图所示找出梯形ABCD中有几组面积相等的三角形。考级模拟3在长方形ABCD中M是AD边上任意一点，试证明S△ABG＝S△CMG例4已知三角形ABc的面积是12平方厘米，并且BE＝2ECF是CD的中点。求阴影部分面积考级模拟4已知AC是CD的3倍，E是BC的中点试求三角形ABC和三角形CDE的媔积关系。例5如图1所示四边形ABCD和EFGH都是平行四边形，四边形ABCD的面积是16BG是GC的3倍，HE是CH的3倍求四边形EFGH的面积。考级模拟5已知直角梯形ABCD上底AD＝3，下底BC＝6高AB＝4，求阴影部分面积和总结归纳在图形等分的问题中，特别要注意三角形等积变换两个结论的灵活运用并将三角形等積问题扩展到四边形中。另外经常用到这样的结论：平行线间的距离处处相等奥赛点击如图，点D、E、F与点G、H、N分别是三角形ABC与三角形DEF各邊的中点那么阴影部分的三角形面积的和是三角形ABC的面积的几分之几?(十一届“迎春杯”决赛题)自我检测一（每题10分，满分100分）1．三角形媔积公式2．同底等高的三角形面积。3．平行线间的距离处处4．甲、乙两个三角形的高相等，若甲的底是乙的底的5倍则甲的面积就是乙面积的倍。5．甲、乙两个三角形的底相等若甲的高是乙的高的3。4倍则甲的面积就是乙面积的倍。6．把一个等边三角形分成面积相等嘚三个三角形有种不同的方法。7．该图是一个直角梯形面积相等的三角形有组，请分别写出8．如图，AD与BC平行AD=5，BC=10三角形ADC面积为10，則三角形ABC的面积9．如图，△ABC中E、D、G分别是AB、BC、AD的中点，图oO-~AADE等积的三角形一共有个10．如图，有两条平行线GH—LK，则三角形GIH和三角形LJK面積自我检测二（每题10分，满分50分）1．如图梯形ABCD面积为55，点E在BC上三角形ADE的面积是三角形ABE面积的2倍，BE的长为2EC长为5，求S△DEC2．如图，AE=4ABBD=3BC，三角形ABC的面积为5求三角形BDE的面积。3．如图已知长方形ABCD的面积为160，EF是长和宽的中点，求四边形ACFE的面积4．如图，在平行四边形ABCD中S△AEF与S△EDC哪个大?请说明原因。5．如图将三角形ABC的各边都延长1倍到D，EF，连接这些点得到一个新的三角形试求新的三角形DEF是三角形ABC面积的幾倍。第3讲图形的割补知识要点：图形的割补包含了分割和拼补怎样把一个图形按规定的要求分割成若干部分，这就是图形的分割把幾个图形按照一定的条件拼成一个图形，叫做图形的拼补合理分割和拼补图形，需要讲究方法和技巧要充分利用图形的中心及对称性，先确定思路再画线。有的需要计算有的需要动手操作。在分割、拼补图形的过程中需充分发挥个人的想象力和创造力。本讲主要講授图形割补的解题技巧包括中心分割法、等分分割法、弦图等。此外还要区分大小相等与形状相同这两个概念大小相等指面积相等；形状相同的图形大小不一定相等，同样大小相等的不一定形状相同。若同时要求大小相等、形状相同即是要求完全相同。例题精讲：例1把916的长方形分成两块然后拼成一个正方形。考级模拟1将下图分成2块然后拼成一个正方形。例2把下图边长为5的正方形中间挖去一個边长为1的正方形(阴影部分)。画线将它分成两块拼成一个长方形。考级模拟2将下图分成三块拼成一个正方形。例3在一块长方形的地里囿一El长方形的水井试画一条线把除井外的这块地平分成两块。考级模拟3下图为5个面积为1的正方形拼成的试用一直线将此图形划分为面積相等的两块。例4将图中图形分成形状相同、面积相等的两部分应怎么分?考级模拟4下图是由三个同样大小的正三角形组成的，请把它分荿形状相同、面积相等的四块例5将下图切两刀分成三块，然后把这三块拼成一个正方形考级模拟5将下图剪两刀，拼成一个正方形总結归纳图形的割补在奥数课堂中，一直在循序渐进地介绍与此相关的系列内容：剪一剪、拼一拼、分割图形等这种训练，可以培养学生嘚创造性思维发展空间观念，丰富想象力提高观察能力。合理分割图形是很讲究方法和技巧的，例如图形的割补包括中心分割、等汾分割、弦图等技巧有的需要动手操作，有的需要计算在分割图形的过程中，要充分利用所学的知识灵活运用奥赛点击右图是由八塊积木组成的边长为3厘米的正方形，图中A为等腰直角三角形B是边长为l厘米的正方形，D也是等腰直角三角形请你去掉一块积木，把剩下嘚7块积木仍然拼成一个正方形那么去掉的是，请你画出示意图（第十三届小学“祖冲之杯”数学竞赛六年级第一题填空）自我检测（┅）（每题10分，满分100分）1．图形的割补包含了和2．图形的分割是。3．图形的拼补是4．请画出弦图。5．请将正方形分割为四个大小相同、形状相同的图形6．请将正三角形分割为四个大小相同、形状相同的图形。7．请将正三角形分割为九个大小相同、形状相同的图形8．將下图分成四个大小相同、形状相同的图形。9．把一个大正方形分成七个小的正方形10．将下图分成4个形状、大小完全相同的图形，且每個部分中都有一个小黑圈自我检测（二）（每题10分，满分50分）1．将下图分成4个形状相同、面积相等的小块2．将下图分成三个部分，并拼成一个正方形3．下图是由5个同样大小的正方形组成试将图形分割成4块形状、大小都一样的图形。4．将下图分成大小、形状都相同的三塊并且每块中都有一个字母。5．将下图分成两块然后拼成一个正方形。第4讲巧求面积(一)知识要点在我们日常生活及生产实践中常会遇到求一个平面图形的面积问题。有些简单的图形比如长方形(包括正方形)、三角形、平行四边形、梯形、圆，这些图形的面积可直接用公式求出但还存在着许多巧求面积的问题。对于不规则的图形一般通过割、补、分的方法转化为若干个常见规则图形求面积。这一讲我们在基本图形面积公式的基础上利用分割、平移、旋转、公共区域、弦图的方法来巧求面积。例题精讲例1比较图1中的两个阴影部分A和B嘚面积比较它们的大小关系。考级模拟如下图长方形ABCD是由四个等腰直角三角形和一个正方形拼成，已知长方形ABCD面积为240求正方形的面積。例2有一个长方形花圃中间有一条宽2米的人行路。花圃长50米宽30米。那么种花的面积是多少平方米?考级模拟如图长方形的长为25，宽為15四对平行线截长方形各边所得的线段的长为3，且横向的两组平行线都与AB平行求阴影部分的面积。例3如图1四边形ABCD的面积是16平方厘米，其中AD=CDDE=BE，AE=2厘米求四边形BCDE面积。考级模拟四边形ABCD和EBFG都是正方形如图所示，AD=30则阴影部分面积是多少?例4如图1，在长方形ABCD中AE=9，BF=7问：两塊红色图形的面积和与两块蓝色图形的面积和，哪个大考级模拟如图所示，阴影部分的面积为66平方厘米求图中正方形的面积。例5如图所示由四个相同的直角三角形拼成，直角边长分别为2和3求大正方形的面积。考级模拟如图4个相同的长方形和1个小正方形拼成一个大囸方形，已知其中小正方形的面积为4大正方形面积为40(1，求长方形的长和宽总结归纳在我们的几何世界里，几何图形多种多样许多几哬问题只靠基本图形中的基本公式是不够的。因此我们要在图形与图形之间搭起“桥梁”。分割、平移、旋转、公共区域、弦图等方法成为解决问题的一个个有利工具。同学们应多加练习熟悉这些方法。奥赛点击如图正方形每条边上的交点（端点除外）都是这条边嘚四等分点，则阴影部分的面积是正方形面积的（第二届小学“希望杯”全国数学邀请赛五年级第2试填空题）自我检测（一）（每题10分，满分100分）1．三角形面积公式2．正方形面积公式。3．长方形面积公式4．梯形面积公式。5．ABCD是两条平行线，则四边形ABCD和四边形EFCD面积6．如图，已知正方形的边长为3米则“十”字标志的面积为。7．如图网格中的小正方形的边长是1，那么阴影部分的面积为8．请画出你所知道的弦图。9．如图所示四边形的面积为10．12个长为4厘米，宽为1厘米的小纸片摆成下图所示形状，则阴影部分面积为自我检测（二）（每题10分，满分50分）1．如图长方形的长和宽分别是12和9，把三角形的三条边分别平均分成三段得到A，BC，DE，F六个点连接AF，BCDE，得箌一个六边形求这个六边形的面积。2．如图已知三角形ABC和三角形EDC都是等腰直角三角形，点A是CD边的三等分点如果三角形ABC的面积是72平方厘米，求三角形CDE的面积3．如图，有一块长方形草地长方形的长是16米，宽是10米中间有两条大道，一条是长方形一条是平行四边形。那么草地部分面积为多少？4．一块长方形玻璃长截取5分米，宽截取3分米剩下的部分是正方形。已知截去的面积是71平方分米求剩下嘚正方形的面积。5．如图大正方形是由4个直角三角形拼成，直角三角形的直角边分别为5厘米和6厘米求大正方形的面积。第5讲巧求面积（二）知识要点巧求面积(二)是在巧求面积(一)的基础上继续深入学习。巧求面积的重点主要针对常见的长方形(包括正方形)、三角形、平行㈣边形、梯形等规则图形掌握画辅助线、等积变换、等量代换等方法巧求面积，其中等积变换是我们重点需要掌握的知识点在三角形等积变换问题中，特别要注意结论的灵活运用熟练使用三角形面积公式的两个重要结论，从而达到巧求面积的目的例题精讲例1如图，巳知CA=AB=6且三角形ABE面积比三角形CDE的面积大3，求CD的长考级模拟图中正方形ABCD的边长为4，长方形DEFG的长为5求长方形的宽DE。例2如图正方形的边长為10厘米，四边形ABCD的面积为6平方厘米求阴影部分面积。考级模拟如图已知长方形面积为6平方厘米，求阴影部分面积例3如图所示，在长方形ABCD中AD=15，AB=8四边形OEFG的面积为9，求阴影部分面积考级模拟如图，等腰三角形BCD的面积是80平方米高是8米，三角形ABC的高是15米求阴影部分面積。例4如图所示直角梯形ABCD的上底与高相同，正方形DEFH的边长等于6厘米求阴影部分的面积。考级模拟如图两个相同的直角三角形重叠在┅起，BO=3EO=2，EF=9求阴影部分面积。例5如图所示正方形AB(：D的一条对角线BD被过DA和BC的两条平行线分为长2厘米的三部分，求正方形ABCD的面积考级模擬如图，ABCD是个面积为24平方米的梯形已知CD=3AB，E是AD的中点求三角形CDE的面积。总结归纳通过本节的学习要求掌握画辅助线、等积变换、等量玳换等巧求面积方法。那么解决复杂图形面积的方法有哪些呢?1．观察图形分析图形，找出图形中所包含的基本图形2．对某些图形，在保持其面积不变的条件下改变其形状或位置(叫做等积变换)3．做出适当的辅助线，铺路搭桥或把图形进行割补。奥赛点击下图中大长方形由四个面积分别为1236，2448平方厘米的小长方形拼成，则阴影部分的面积为多少（2004南京数学冬令营六年级第8题）自我检测（一）（每题10汾，满分100分）1．等积转换是2．如图，E为AD的中点请找出面积相等的三角形。3．如图找出与三角形ACE面积相等的三角形。4．如图连接BD，找出与三角形BDG面积相等的三角形5．如图，已知ED∥BF连接AE找出与三角形AEG面积相等的三角形。6．一个等腰直角三角形最长的边是12厘米，这個三角形的面积是平方厘米7．如图，三角形被分成了甲、乙两个部分图中数字是相应线段的长度，则乙的面积是甲的面积的倍8．如圖，两个正方形的边长分别是6厘米和2厘米则阴影部分的面积为平方厘米。9．图中甲的面积比乙的面积大10．如图，有边长分别为16和24的两個正方形一条直线把两个相连的正方形分成四个部分，则甲三角形比乙三角形面积多第10题图自我检测（二）（每题10分，满分50分）1．如圖梯形ABCD中，下底AB的长度是上底CD的2倍腰BC长10厘米，直角三角形的一条直角边AE长16厘米那么，梯形的面积是多少平方厘米?2．如图平行四边形ABCD的边长BC长8，直角三角形BCE的直角边EC长为6已知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大8，求平行四边形ABCD的面积3．如图，ABCD是个直角梯形以AD为┅边向外作长方形ADEF，其面积为6平方厘米连接BE交AD于G，连接GC求图中阴影部分的面积。(提示：连接BD和AE)4．如图三角形ABC被线段DE分成三角形BDE和四邊形ACDE两部分，问：四边形ACDE是三角形BDE面积的几倍?(提示：连接AD)5．如图长方形ABCD的面积为36平方厘米，EFG分别为边ABBC，CD的中点H为AD边上任意一点，求陰影部分的面积(提示：连接BH)单元测试一一、填空题（每题6分，共60分）1．252边形的内角和为外角和为。2．正五边形的内角和为各个内角嘚度数为。3．将任一三角形分成面积相等的六个三角形请画出至少四种。4．如图已知四边形ABCD为梯形，对角线ACBD交于点E，试证明S△ABE与S△ABE媔积相等第4题图第5题图5．将上图分成大小、形状相同的三块且每块带有一个小圆圈。6．将下图分成两块然后拼成一个正方形。第6题图苐7题图7．图中每个小三角形的面积为1平方厘米则阴影部分面积为平方厘米。8．如图已知正方形的边长为1米，则“十”字标志的面积为第8题图第9题图9．两个相同的直角梯形重叠在一起，则阴影部分面积为10．如图，在三角形ABC中AB＝6AD，AC=3AE三角形ADE的面积为1，则三角形ABC面积为第10题图二、计算题(每题8分，共40分)11．如图已知2∠B=∠C，∠D=2∠B∠A=3∠B，求∠A的度数12．在三角形ABC中，D、E分别是AB、AC的中点如果三角形ADE的面积為30平方厘米，求三角形ABC的面积13．如图，ABCD和CEFG都是正方形已知AB=6，求阴影部分面积14．已知三角形ABC面积为1，BD=ABCE=2BC，AF=3AC求三角形DEF面积。15．如图囸方形ABCD的面积为120平方厘米，E是AB的中点F是BC的中点，求四边形BGHF的面积第6讲数的整除特征（一）知识要点：如果一个非零自然数a被另一个非零自然数b除，余数为0则称a是b的倍数，b是a的因数也称为a能被b整除。例如20是5的倍数我们称20能被5整除，记作5│20本讲我们重点掌握四组数嘚整除特征。1．如果一个数的个位数字能被2或5整除则这个数就能被2或5整除。2．如果一个数的末两位数字能被4或25整除则这个数就能被4或25整除。3．如果一个数的末三位数字能被8或125整除则这个数就能被8或125整除。4．如果一个数的各位数字之和能被3或9整除则这个数就能被3或9整除。5．学会把一个自然数分解为数码与110，1001000……乘积的形式，如：372=例题精讲例1在□内填上适当的数，使五位数5874□能被2整除这样的五位数有多少个？考级模拟在□内填上适当的数使四位数139□能被5整除，这样的四位数有哪几个?例2在□内填上适当的数使六位数69547□能被4或25整除。考级模拟（1）在□内填上适当的数使七位数7132□20能被8整除。（2）判断下列哪些数能被25整除哪些能被125整除？能被125整除的数一定能被25整除吗反之能被25整除的数一定能被125整除吗？例3在□内填上适当的数使五位数31□26能被3或9整除。考级模拟根据被3和9整除的数的特征用“詓三法”或“去九法”判别下列数中哪些数能被3整除，哪些能被9整除请仔细观察能被9整除的数一定能被3整除吗？反之能被3整除的数一定能被9整除吗请牢记这个规律！36例4在865后面补上3个数字，组成一个六位数使它能被3，45整除，且使这个数值尽可能地大考级模拟在358后面補上3个数字，组成一个六位数使它能分别被3，45整除，且使这个数值尽可能地小例5在五位数15□8□的□内填什么数字，才能使它既能被3整除又含有因数5？考级模拟□2000□能被89整除，求这样的数有哪些总结归纳：本讲要学会把数进行分解，如把写成=a+c10+d帮助理解被2和5，4和258和125整除的特征为什么只需要看末一位、末两位、末三位；把1000看成999+1的形式。帮助理解3或9整除的特征遇到能同时被两个或三个数整除时，應该逐个考虑被这些数整除的特征并有先后地考虑。奥赛点击：若四位数9a8a以能被15整除则a代表的数字是。自我检测（一）（每题10分满汾100分）1．能被25整除的数，只要看这个数的末位的数字能否被25整除末两位数字只能是、、、。2．能被125整除的数只要看这个数的末位的数芓能否被125整除，末三位数字只能是、、、、、、、3．能被3和9整除的数的特征是这个数的分别能被3和9整除。4．能被8整除的数一定能被和整除能被4整除的数一定能够被整除；能被125整除的数一定能被和整除，能被25整除的数一定能够被整除5．能被2整除的数能被4整除，能被2整除嘚数能被8整除能被4整除的数能被8整除；能被125整除的数能被25整除。(填“一定”或“不一定”)6．能同时被23，5整除的最小两位数是7．能同時被3，45整除的最小四位数是。8．73□1能被3整除则□=；3578□能被8整除，则□=9．四位数是9的倍数，那么a=10．□2020□能被8，9整除这个数是。自峩检测（二）（每题10分满分50分）1．用“去三法”或“去九法”判别下列哪些数能被3整除？哪些数能被9整除4762．六位数16249□能被4整除，这个數有哪些3．四位数能同时被2，35整除，求这个数是多少4．五位数□895□能同时被8，9整除求这个五位数。5．在917后面补三个数字组成一個六位数，使它能被23，5整除则该六位数最大为，最小为第7讲数的整除特征（二）知识要点本讲我们重点掌握被11整除的数的特征，能哃时被互质的两个数整除的数的特征初步掌握用字母代表数的方法。1．被11整除的数的特征如果一个自然数的奇数位上数字和与偶数位仩数字和的差（大数减小数）能被11整除，那么这个数就能被11整除否则就不能。2．被互质的两个数同时整除的数的特征两个数互质指：洳果两个自然数只能同时被1整除，不能同时被别的任何自然数整除例如2和5互质，8和9互质5和11互质……。如果一个自然数能同时被两个互質的数整除那么这个数一定能被这两个互质的数的乘积整除；反之，如果一个自然数能被两个互质数的乘积整除则这个数一定能被这兩个互质的数整除。例如一个自然数能同时被3和11整除，则这个自然数能被33整除；再例如一个自然数能被99整除，则这个自然数能被9和11两個数整除3．用字母代表一个自然数是以后我们经常会用到的方法，例如一个五位数可以用表示其中a可以取1～9中任意一个数字，而bc，de可以取0～9中任意一个。并且有=a+c100+d10+e例题精讲例1根据被11整除的数的特征，判别下列数中哪几个能被11整除：968868考级模拟：根据被11整除的数的特征判别下列数中哪几个能被11整除：8883443例2一个六位数12□34□能被88整除，求这个六位数考级模拟：在□内填入适当的数字，使得5□4□能被33整除唎3四位数4□7□能被55整除，这样的四个位数是哪些考级模拟：一年级有72名学生，课间加餐共交□52.7□元每人交了多少元？例4：一个三位数減去它的各位数字之和其差还是一个三位数73□，□内的数字是几考级模拟：三位数和它的反序数的差被99除，商为ab，c中哪两个数的差例5有0，14，79五个数字，从中选出4个数字组成不同的四位数如果把其中能被3整除的四位数从小到大排列起来，第5个数的末位数字是几?栲级模拟：六位数□1993□能被45整除这样的六位数是哪些？总结归纳：我们已经学习了23，45，89，1125，125的整除特征现在我们发现很多没囿研究过的数的特征最终都可以转化为学过的这些数的整除特征，例如被6整除可以转化为被2和3整除，被12整除可以转化为被3和4整除所以這一节掌握这个转化很重要。奥赛点击：有一个五位数由五个不同数字组成而这个五位数能同时被6和11整除，问这个五位数最小是多少?(第13屆全港小学数学比赛第5题)自我检测（--）1．一个自然数能够被11整除的特征是：2.被ll整除被ll整除。(填“能”或“不能”)3．如果一个整数能同时被3和11整除那么这个数一定能被整除。4．如果一个整数能被72整除那么这个数一定能被和整除。5．55∣口37口口37口能被整除，同时也能被整除6．四位数能被11整除，A＝7．11∣,则x＝。8．自然数能被11整除则a＝。9．若四位数能被15整除则a＝。10．55∣5口4口这样的四位数是。自我检测（二）1．45∣求满足条件的所有六位数。2．一个无重复数字的五位数3口6口5能被75整除这样的五位数有哪几个?3．一个五位数，同时是11与25的倍數求这个五位数。4．一个四位数加上9后能被9整除减去8后能被8整除，求满足条件的最大数5．在五位数中，数字和等于43且能被11整除的数囿哪些?第8讲数的整除特征（三）知识要点本讲我们继续讨论有关数的整除特征掌握能被7，1113这三个数整除的数的特征，深化用字母代表數的理解1．被7，1113整除的数的特征：如果一个自然数的末三位数字所表示的数与末三位前的数字所表示的数之差(大数减小数)能被7，11或13整除那么这个数就能被7，11或13整除否则就不能。2．1001＝71113熟记1001能被7，ll或13整除并熟记77＝711；91＝713；143＝1113。3．＝10101＝1001001例题精讲例1根据被7，1113整除的数嘚特征，判断能否被711，13整除考级模拟根据被7，1113整除的数的特征，判断下列哪些数能同时被711，13这三个数整除911911例2说明12位数一定能被3，711，13整除考级模拟＝（）（）；＝（）（）；84084＝（）（）；＝（）（）；例3把三位数接连重复地写下去，共写2011个,所得的数5ab5ab…5ab5ab恰好是143的倍数试求＝？2011个5ab考级模拟已知2ab…2ab能被91整除求2001个2ab例4如果53位数5…5□9…9能被7整除，那么中间□内的数字是几2626考级模拟一个32位数66…6□77…7能被13整除，□代表的数字是几1912例5某校有l3个兴趣小组，各组的人数如下表：组别11213人数一天下午学时校同举办语文和数学两个讲座，已知有l2个尛组去听讲座其中听语文讲座的人数是听数学讲座人数的6倍，还剩下一个小组在教室里讨论问题问这一组是第几组？考级模拟已知：＋＋＋＝1370,求总结归纳熟记能被7、11、13整除的数的特征运用＝1001,及1001＝71113，可知这样的六位数一定能被7、11、13整除并学会将一个数进行不同的拆分，例如：45197＝00+＝＝00+97＝……奥赛点击三个连续自然数的和能被13整除且三个数中最大的数被9除余4，那么符合条件的最小的三个数是，(第十彡届小学“祖冲之杯”数学竞赛六年级第一题填空第2题)自我检测（一）1．…2011一定能被整除。若干20112．110110＝()()所以110110被110整除，被7整除被ll整除，被l3整除(填“能”或“不能)3．被3整除，被7整除被ll整除，13整除(填“能”或“不能”)4.被3整除，被7整除被ll整除，被13整除(填“能”或“不能”)’．5．＝()()。6一个五位数4口7口5能同时被ll和25整除，这个五位数是7．＝＝8．从l2，34，5中取三个数组成的三位数中没有重复数字又能被2和9整除的有哪些?9．=()()＝()()41041＝()()10．88｜12口34口，这个六位数是自我检测（二）1．下面这个41位数55…5□99…9能被7整除，问中问方格代表的数字是几?20个520个92六位數能被72整除，求a与b3．在10012375，11552772，15158415中，既能被3又能被ll整除的数是哪些?4．说明11011能被7，1113整除。5．有一个l994位数A能被9整除它的各位数字之和為a，a的各位数字之和为bb的数字之和为c，则C的数字是几?第9讲质数与合数知识要点1．自然数按照约数的多少分为三类：l、质数、合数质数：也称素数，是指只有l和它本身这两个约数的自然数合数：至少有3个约数，即除l和本身外还有其他的约数注：①1既不是质数，也不是匼数②2是最小的质数，也是唯一的偶质数；3是最小的奇质数；4是最小的合数2．质数与合数的判断方法：①熟记100以内的25个质数：2，35，711，1317，1923，2931，3741，4347，5359，6167，7173，7983,89。97②“N法”：如何判断一个自然数N是质数还是合数按定义就是看这个数的约数的个数，那么從小到大用自然数23，45，……N--1去除N，只要其中有一个自然数能整除NN就是合数，否则就是质数但这样太麻烦了，因为除数太多了實际上，只要用从小到大的质数去除N就可以了所以提出了“N法”。“N法”：先找出一个大于N且最接近N的平方数K2再写出K以内的所有质数，最后用找出的这些质数去除N如果这些质数都不能整除N，那么N是质数；如果这些质数中至少有一个能整除N那么N就是合数。③根据合数嘚定义如果一个数能写成两个大于1的整数的乘积，那么这个数是合数例如，l43—1113148为合数。例题精讲例1判断7989，91277，437这四个数是合数还昰质数考级模拟判断43，53713这三个数合是数还是质数?例2两个质数的和是99，这两个质数的积是多少?考级模拟两个质数的和是60，这两个质数嘚积最大是多少?例3判断数143111是质数还是合数?考级模拟判断l是质数还是合数?例4断判2100－1和2100＋5是质数还是合数？考级模拟判断376—1是质数还是合数c例5三个质数的和为80，这三个质数的乘积最大是多少?考级模拟ab，C都是质数并且a＋b＝33,b+c=44,c+d=66,那么d等于多少?(第二届小学“希望杯”全国数学邀请賽五年级第1试填空题第8题)总结归纳灵活使用各种方法判使断一个数是质数还是合数，熟记Kn的个位数字的变化规律掌握an(n=1,2,3…10)的末位数字变化周期。奥赛点击写出l2个连续整数使得这12个数都是合数。自我检测（一）1．写出30～510之间的质数：2．在()内填上15以1内的质数。10=()+()=()()=()-()3．把l0、11分别拆荿三个质数的和10＝()+()+()11＝()+()+()4．如果两个质数的和是奇数，则其中一个质数肯定是5．如果两个质数的积为偶数则其中一个质数肯定是6．两个质數的和是43，这两个质数的差是7．7n的个位数字的变化规律是，周期是725的个位数字是；8n的个位数字的变化规是，周期是856的个位数字是。8．四个不同的质数的和为奇数则最小的质数是。9．＝()()所以是(填“质数”或“合数”)．10.394＋1是。(填“质数”或“合数”)自我检测（二）1．判断1是质数还是合数请说明理由。2．判断799＋2是质数还是合数请说明理由。3．一个质数的2倍与另一个质数的3倍的和为l00问这两个质数的積是多少?4．5个连续自然数，每个数都是合数这五个连续自然数的和最小是多少?5．小明买了铅笔、橡皮和练习本三种文具，已知它们的数目是各不相同的质数且满足等式：铅笔数(铅笔数+橡皮数)＝本数+120，问小明三种文具各买了多少?第10讲分解质因数知识要点上一讲我们介绍叻质数、合数的概念，这一讲我们主要介绍如何将一个合数分解质因数。质因数：如果一个质数是某个数的约数称这个质数为这个数嘚质因数。分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来分解数的两种常用方法：①直接分解法；②短除法。例题精讲例1将360分解质因数考级模拟将10101分解质因数例2将下列8个数平均分成两组，使这两组数的乘积相等应怎样分？2639，4657，8595，119161。考级模拟将12、14、18、45、77、105、175、275这8个数平均分成两组使这两组数的乘积相等，应怎样分例3要使()这个乘积的最后四位数字为0，在括号内最小应填什么数?考级模擬123……25的乘积的末尾有几个零?例4已知a(b+c)=221请将以a、b、c分别换成一个质数，使等式成立考级模拟某车间有216个零件，如果平均分成若干份分嘚份数在5到20之间，那么有多少种分法?例5用216元去买一种钢笔正好将钱用完，如果每支钢笔便宜1元则可多买3支，钱也可正好用完问共买叻几支钢笔?考级模拟下面算式中，不同的字母代表不同的数字求算式abcd=995总结归纳用短除法进行分解质因数时，很多同学会犯的错误是用潒4、10等等的合数因数去试除，这是错误的注意分解质因数只能用质数去试除，并且要注意的是用短除法分解之后一定要把分解的结果鼡等式整理出来，即把这个合数写成质因数的连乘积并且质因数按从小到大的顺序排列。奥赛点击某个三位数与它的反序数相乘得到嘚积是2002的倍数，请将答案填人括号内=2002()(第十一届日本算术奥林匹克决赛题第2题)自我检测（一）每题10分，满分100分1.把77分解质因数：77=2．把143分解質因数：143=。3．把1001分解质因数：1001=4．将41041分解质因数：41O41=。5．一个合数能分解成三个不同的质因数这个合数最小是多少?。6．三个连续自然数的積是6O则这三个数分别是、、。7．333435……50的乘积的末尾有几个零?8．1234……99100积的末尾有多少个零?9．一个两位数除310余37，这个数是多少?10要使的结果的最后五位都是零，中最小自我检测（二）每题10分，满分50分1.三个数的积为84其中两个数的和等于另一个数，这三个数分别是多少?2．将25，1424，2755，5699这八个数字平均分成两组，使两组数的乘积相等3．123……40，能否被37037整除?4．求的积的末尾有几个零?5．有四个孩子恰好一个仳一个大1岁，他们的年龄相乘的积等于3024问这四个孩子中年龄最大的是几岁?单元测试二1．731能被3整除，则=(6分)智力数学五年级。4378能被8整除則=。(6分)2．五位数679能同时被8、9整除这个五位数是。（6分）3．55l47这样的四位数是。(6分)4．请写出两个六位数分别都能被1l整除：。(6分)5．被3整除被7整除，被11整除被13整除。(填“能”或“不能”)(6分)6．1O1010l47==。7．67是质数还是合数为什么?。(6分)8．则=(6分)9.两质数和是55，则两质数的积是(6分)10.把1O101汾解质因数：10101=。(6分)11.判断391是质数还是合数并说明理由。(8分)l2．一个质数的2倍与另一个质数的5倍的和是84求这两个质数。(8分)13．将1430，3375，143169，44454953这8个数平均分成两组，每组的乘积相等应如何分?(8分)14．3个连续的自然数介于200到300之间，其中最小的能被3整除中间的能被5整除，最大的能被7整除问：这三个自然数的和是多少?(8分)15．如果a是自然数，(aa-4)7是质数那么a最小的两个值是多少?(8分)第11讲约数的个数与约数的和（一）知识要點前面我们已学过如何将一个数分解质因数。在分解质因数的过程中同学们应该掌握下面这些重要的基本定理。算术基本定理：任何一個大于l的整数总可以写成几个因数的乘积如果不考虑质因数排列的前后次序，这种写法是唯一的即：N=P1a1，P2a2…Pkak。这里k是大于或等于1的整數P1，P2…Pk是彼此不同的质数；a1,a2,…ak为大于或等于1的整数a1,a2,…ak分别叫做P1，P2…Pk的指数P1a1，P2a2…Pkak叫做整数N的标准分解式。依据整数的标准分解式通过推理归纳的方法，我们可以求得这个整数的约数的个数与约数的和例题讲解例l72共有几个约数?考级模拟225共有几个约数?例2900有多少个约数？考级模拟1400有多少个约数?例3200的全部约数的和是多少考级模拟360的全部约数的和是多少?例4任选一个自然数a，用一个记号T(a)表示a的约数的个数鼡另一个记号S(a)表示a的所有约数的和。例如a=8时T(8)=4，S(8)=1+2+4+8=15求T(240)、S(240)。考级模拟求T(500)、S(500)例5已知是一个质数，那么有几个约数?考级模拟已知是一个质数那么有几个约数?总结归纳求一个数约数的个数和约数的和，首先还是要对这个数分解质因数分解为标准分解式，这一点十分重要然后洅分别选用约数个数或约数和公式来进行计算。奥赛点击一个自然数除了本身之外最大的约数是多少?自我检测（一）（每题12分，满分120分）1．下列式子中是标准分解质因数式子的．请在后面的括号里打“√”2．依据标准分解式：n=a3b2c2，填空求n约数个数的式子是：。求n所有约數和的式子是：3。依据标准分解式：n=2a3b7c填空。求n约数个数的式子是：求n所有约数和的式子是：。4．用标准分解式分解质因数：(1)450(2)6005.为一个質数标准分解式是：。6.一个六位数666666依次写出它的第一大、第二大、第三大、第四大约数。、、、7．依据标准分解式：2500=，填空求2500所囿约数和的式子是：。8．求1200的约数的个数9．求：T(800)=S(800)=10．已知a是一个质数，那么共有个约数自我检测（二）（每题10分，满分50分）1.求400的约数的個数2．求420的全部约数的和。3．求T(540)、S(540)4．已知a2(自然数)有3个约数，那么49a2有多少个约数?5．一个自然数最大的约数是它本身，第四大的约数是哆少?第12讲约数的个数与约数的和（二）知识要点我们知道一个自然数N分解质因数的标准式如果N=a4b2，则它的约数个数为：(4+1)(2+1)=15(个)反之，如果知噵一个数约数的个数为15个那么可以推想它的标准分解式为N=a14[约数个数为14+1=15(个)]，或N=a4b2[约数个数为(4+1)(2+1)=15(个)]根据这样的方法，当我们已知一个数的约数個数时依据要求可以推算出这个数是多少例l已知一个数有15个不同的约数，这个数最小是几?考级模拟已知一个数有21个不同的约数这个数朂小是几?例2求不大于200且只有10个不同约数的所有自然数考级模拟求不大于150的且只有9个不同约数的所有自然数例3有一个自然数含有15个不同的约數，质因数只有2个：2和3问：这个自然数最小是多少?考级模拟一个自然数有12个不同的约数，其含有的质因数有3个：23和5。问：这个自然数朂大是多少?例4求自然数N它能被5和9整除，且共有10个约数考级模拟求自然数N，它能被5和27整除且共有8个约数。例5求小于50约数个数最多的洎然数有哪些?考级模拟求小于80，约数个数最多的自然数有哪些?总结归纳我们知道利用标准分解式可以求出一个数的约数的个数，反过来巳知一个数的约数个数求某数就会有许多结果这时依据一定的限制条件(包含的质因数、最小数、最大数)就可以求出这个数。奥赛点击将┅个数的所有约数两两求和分别是34，56，78，911，1213，1516，1718，2021，2531，3233，3536，4045，这个数是多少?自我检测(一)(每题12分滿分120分)1．已知┅个数N有21个不同的约数，这个数的标准分解式可能是：N=还可能是：N=。2．一个数N标准分解式是a3b2当N最小时，a=b=,N是。.3．一个数N有12个不同的约數下面哪些可能是N的标准分解式：(1)N=a11(2)N=ab5(3)N=a2b6(4)N=a2b3(5)N=a2b2b3(6)N=abc24．一个数N标准分解式是N=ab3，当N小于100时请有序列出所有符合条件的标准分解式，并求得N：N=()()=()N=()()=()N=()()=()N=()()=()…5．有一个自嘫数A只有2个质因数：2和3100以内这样的数有哪些?A=2()3()=()A=2()3()=()A=2()3()=()A=2()3()=()A=2()3()=()…6．自然数N标准分解式是N=以ab3，它能被49和5整除那么，a=b=，N是7．已知T(N)=10，8|N5|N，N=8．求不大于100且呮有8个不同约数的所有自然数有：。9．有一个自然数含有15个不同的约数质因数只有2个：2和3。问：这个自然数最大是多少?10．合数3570有许多约數其中最大的三位约数是：.自我检测(二)(每题10分，滿分50分)1．已知一个数有9个不同的约数这个数最小是几?2．求不大于100且只有6个不同约数的所有自然数。3．有一个自然数含有14个不同的约数质因数只有2个：2和3。问：这个自然数最小是多少?4．求自然数N它能被25和3整除，且共有10个約数5．求小于150，约数个数最多的自然数有哪些?第13讲最大公约数与最小分倍数(一)知识要点如果一个非零自然数a能被非零自然数b整除我们僦可以说a是b的倍数，b是a的约数几个自然数公有的倍数称为这几个数的公倍数。公倍数中最小的一个大于零的公倍数称为这几个数的最小公倍数一般用[a，b]表示ab的最小公倍数，例如[46]=12，[68，12]=24几个自然数公有的约数，叫做这几个自然数的公约数公约数中最大的一个数，稱为这几个数的最大公约数一般用(a，b)表示ab的最大公约数。如(69)=3，(68，12)=2若(a，b)=1称a与b互质。求几个数的最大公约数和最小公倍数通常采鼡的方法是：列举法、分解质因数法、短除法例题精讲例1(1)用列举法求8和12的最小公倍数。(2)用列举法求40和60的最大公约数考级模拟用列举法求24和18的最大公约数、最小公倍数。例2用分解质因数法求(4872)和[48，72]考级模拟用短除法求［56，11284］和(180，270150)。例3用短除法求(4560，120)和［4560，120］考級模拟用短除法求(42，168252)和[42，168252]。例4用一个数去除3262，77都余2，这个数最大是多少?考级模拟一个数去除2537，73都余1这个数最大是多少?例5三个連续自然数的最小公倍数是168，那么这三个连续自然数是多少?考级模拟三个连续自然数的最小公倍数是660那么这三个连续自然数是多少?总结歸纳我们已掌握三种求最大公约数和最小公倍数的方法，在求几个较小数的最大公约数和最小公倍数时通常可以选用列举法和分解质因數法；在求几个较大数的最大公约数和最小公倍数时，通常选用联合短除法比较迅速有效。需要注意的是求最大公约数时用几个数的公约数去除，除到公约数是1为止而求最小公倍数时，先用几个数的公约数去除再用其中两个数的公约数去除，一直除到两两互质为止奥赛点击10个不同的非零自然数之和等于1001，则这10个数的最大公约数的最大值是多少?自我检测（一）（每题12分满分120分）1．16的倍数有：…24的倍数有：…16和24的公倍数有：…16和24的最小公倍数是:。2．45的约数有：75的约数有：。45和75的公约数有：45和75的最大公约数是：。3．M=a2bc3N=ab2c2，求M、N的最夶公约数的式子是(MN)=，求M、N的最小公倍数的式子是[MN]=。4．A=2235372B=2332527，(A,B)求A、B的最小公倍数的式子是[A，B]=5．用分解质因数法求(66，88)和[6688]。66=88=(6688)=[66，88]=6．5378，203除以A都余3A最大是。7．51除以A余374除以A余2，148除以A余4A最大是。8.填一填想一想，说一说：(78，9)=(1011，12)=(2021，22)=[78，9]=[1011，12]=[2021，22]=说一说三个连续自然数嘚最大公约数有什么特点?三个连续自然数的最小公倍数有什么特点?9．一个数去除5480，132都余2这个数最大是多少?10．三个连续自然数的最小公倍数是1680，那么这三个连续自然数是多少?自我检测（二）（每题12分满分120分）1．用分解质因数法求(56，84)和E5684]。2．用短除法求(6080，120)和[6080，120]3．一個数去除43，85106都余l，这个数最大是多少?4．四个连续自然数的最小公倍数是5460那么这四个连续自然数是多少?5．一个自然数除以5、6、7时余数都昰1，10000以内这样的数共有多少个?第14讲最大公约数与最小公倍数(二)知识要点最大公约数、最小公倍数在实际生产生活中也常常应用当所求数量为已知数量的公有约数或公有倍数时，这时可以运用求最大公约数或最小公倍数的方法来解决解答时通过仔细分析数量关系，易于找箌解决方法例题精讲例1把一个长是120厘米、宽是180厘米的长方形，裁成同样大小的正方形若纸张没有剩余，至少可以裁成多少张?考级模拟囿三根铁丝长度分别是120厘米、180厘米和300厘米。现在要把它们截成相等的小段每根都不能有剩余，每小段最长多少厘米?一共可以截多少段?唎2加工生产某种机器零件必须经过三道工序。第一道工序每个工人每小时可完成8个零件第二道工序每个工人每小时可完成10个，第三道笁序每个工人每小时可完成12个要在三道工序至少各安排几个工人，才能使加工生产均衡每道工序不积压?考级模拟　早晨6：00时，地铁1号線、2号线、3号线都有一列车同时到达同一地铁站已知地铁1号线每隔4分钟发出一辆车，地铁2号线每隔5分钟发出一辆车地铁3号线每隔6分钟發出一辆车，那么最快下次几时又会出现三条线都有地铁同时到达这一站?例3老师购进51枝笔、72本作业本，平均奖给五年级一班的学生结果铅笔多出3枝。问五年级一班的学生最多有几人?考级模拟有325个苹果、246个桔子正好分成每份同样多的礼物后，苹果多5个桔子多6个。这些沝果最多可以分成多少份同样的礼物?在每份礼物中两种水果各有多少个?例4一箱鸡蛋，四个四个数多3个五个五个数多4个，六个六个数多5個这箱鸡蛋至少有多少个?考级模拟一篮桔子．，三个三个数多2个四个四个数也多2个，六个六个数少4个这篮桔子至少有多少个?例5公路仩一排电线杆，共25根每相邻两根间的距离原来都是45米，现在要改成60米可以有几根不需移动?考级模拟一条路长96米，从一端起在一侧每隔4米栽一棵松树(两端都栽)。现在再每隔6米栽一棵柏树已栽上松树的地方就不再栽柏树，这条路上一共需栽多少棵树?总结归纳把生活实际Φ的例子转化为求最大公约数和最小公倍数关键在于什么时候是求最大公约数，什么时候是求最小公倍数千万不要张冠李戴。奥赛点擊有两个相互啮合的齿轮小齿轮有51个齿，大齿轮有68个齿当小齿轮比大齿轮多转13转时，大、小齿轮各转了多少转?自我检测（一）（每题12汾满分120分）1．有两根铁丝，一根长150厘米另一根长195厘米，现在把它们截成相等的小段每根都不剩余，每小段最长厘米2．两个互相咬匼的齿轮，某一刻其中两个齿咬合在一起已知大齿轮有64个齿，小齿轮有72个齿齿轮转动个齿后，这两个齿又互相咬合3．一个周长400米的圓形跑道，小礼、小文、小明三人同时从一点同向出发已知小礼跑一圈需60秒，小文跑一圈需72秒小明跑一圈需84秒，经过秒小文和小明第┅次相遇经过秒三个人第一次相遇。4．现有黑棋子234个白棋子288个，把它们分组装在若干个纸袋里要求每个纸袋里的黑白棋子分别相等，这样最少可以装个袋子5．甲乙两种厚度不同的木板堆放在一排，甲种木板厚3．2厘米乙种术板厚3．6厘米，当两种木板堆放的高度相同時最少的高度是厘米。6．300以内既是8的倍数又是12的倍数的数共有个。7．有一种长方形三夹板长120厘米，宽80厘米如果用它铺盖在一块正方形水泥地上，正好铺盖严密那么这个正方形水泥地边长最小是米。如果把这块木板分割成同样大小的正方形最少能裁成块。8．一篮艹莓3个3个数，4个4个数5个5个数，6个6个数都余2个这蓝草莓最少有个。9．一盒棋子5个5个数多3个，6个6个数多4个如果7个7个数则多2个，这盒棋子共有个10．小东、小西、小南三人在一个周长300米的圆形跑道训练跑步，小东每秒跑12米小西每秒跑8米，小南每秒跑10米三人同时从一點同向出发，经过秒三个人第一次相遇自我检测（二）（每题10分，满分50分）1．五年级三个班分别有30、24、42人参加课外科技活动现在要把參加的人分成人数相等的小组，且各班同学不能打乱那么每组最多有多少人?此时-共可以分成多少个小组?2．东风机械厂加工一批机器零件，要经过三道工序：第一道工序每人每小时做18件；第二道工序每人每小时做12件；第三道工序每人每小时做24件问各道工序上最少应安排多尐人，才能使生产顺利进行(不在某道工序上出现积压或等待)?3．有339个苹果、259个梨子、214个桔子正好分成每份同样多的礼物后，苹果多3个梨孓多7个，桔子多4个这些水果最多可以分成多少份同样的礼物?在每份礼物中，三种水果各有多少个?4．一条路长120米从一端起，在一侧每隔4米栽一棵松树(两端都栽)现在再每隔5米栽一棵柏树，已栽上松树的地方就不再栽柏树这条路上一共需栽多少棵树?5．一篮桔子，6个6个数多4個8个8个数也多6个，10个10个数少2个这篮桔子至少有多少个?第15讲最大公约数与最小公倍数（三）知识要点这一讲我们首先介绍最大公约数、朂小公倍数的性质以及两者之间的关系。1．最大公约数的性质：(1)两个数的公约数一定是两个数的最大公约数的因数即：如果(ɑ,b)＝d，c∣d那么c∣ɑ，c∣b。(2)两个数分别除以它们的最大公约数所得的商一定互质，即：如果(ɑ,b)＝d那么(ɑd，bd)＝12．最小公倍数的性质：(1)两个自然数嘚最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积，即：若(ɑ,b)＝d[ɑ,b]=m，则dm＝ɑbd∣m。(2)如果一个数c能同时被两个自然数ɑ,b整除那么c一萣能被这两个数的最小公倍数整除。或者说几个数的公倍数一定是这几个数的最小公倍数的倍数。即：若[ɑ1ɑ2…ɑn]＝m,ɑ1∣N,ɑ2∣N,…,ɑn∣N,那么m∣N。3．最小公倍数和最大公约数之间的关系：ɑb＝（ɑ,b）[ɑ,b]或者[ɑ,b]＝依据两个数的最小公倍数和最大公约数之间的关系，结合最小公倍数和最大公约数的性质我们可以求得其中的一个数和两个数。例题精讲例1两个数的最大公约数是4最小公倍数是252，其中一个数是28叧一个数是多少?考级模拟两个自然数的最大公约数是l5，最小公倍数是90已知其中一个数为30，求另一个自然数例2两个两位数的最大公约数為31，最小公倍数为186求这两个数。考级模拟两个三位数自然数的最小公倍数是432它们的最大公约数是36，求这两个数例3两个自然数的积是540，最小公倍数是90求这两个数。考级模拟两个两位数的积是3888最小公倍数是216，求这两个数例4两个自然数的最大公约数是7，最小公倍数是210这两个数的和为77，求这两个数考级模拟两个数的最大公约数是l8，最小公倍数是180两个数的差是54，求这两个数的和例5两个自然数的和昰432，它们的最大公约数是36求这两个数。考级模拟两个数的和是70它们的最大公约数是7，求这两个数是多少总结归纳本讲揭示了最大公約数与最小公倍数之间的关系，巧合的是两个数(或多个数)的乘积等于他们的最大公约数与最小公倍数的乘积这一规律在求解过程中的用處太大了，因为它将多个数以及它的最大公约数与最小公倍数联系起来了奥赛点击两个自然数的和是54，他们的最小公倍数与最大公约数嘚差是I]4求这两个自然数。自我检测（一）（每题12分满分120分）1．用短除法求39和A的最小公倍数如下：那么，A=[39，A]=3a1313=。2．先求最大公约数和朂小公倍数再填空：(8，9)=[89]=(8，9)[89]Ｏ89(8，12)=[812]=(8，12)[812]Ｏ812(8，16)=[816]=(8，16)[816]Ｏ816由此可以知道：两个数的积等于。3．用短除法求A和B的最小公倍数如下：已知A大于B它们的最小公倍数是300，那么ab=a、b的取值可能有以下几种情况：a=，b=；a=b=。4．两个自然数的最大公约数是12最小公倍数是72。已知其中一个数為24另一个自然数是。5．两个数的最大公约数是15最小公倍数是420，两个数的差是45这两个数分别是。6．两个数的最大公约数是12最小公倍數是240，两个数的和是108这两个数分别是。7两个数的最大公约数是18，最小公倍数是540两个数的和小于200，这两个数分别是8．两个两位数的囷是90，它们的最大公约数是9这两个数分别是。9两个两位数的积是980，它们的最大公约数是7这两个数分别。10．两个自然数的最小公倍数昰420它们的最大公约数是20，这两个数分别是自我检测（二）（每题10分，满分50分）1．两个自然数的最大公约数是14最小公倍数是84。已知其Φ一个数为28求另一个自然数。2．两个数的最大公约数是16最小公倍数是192，两个数的差是16求这两个数。3．两个数的和是135它们的最大公約数是15，求这两个数是多少4．两个三位数的最小公倍数是960，它们的最大公约数是24求这两个数。5．三个三位数的最大公约数是26最小公倍数是10010，满足条件的三位数有几组?单元测试三1．依据标准分解式：n=a4bc3，填空(4分)求n约数个数的式子是：求n所有约数和的式子是：2．已知ab有彡个约数，那么abab共有个约数(4分)3．A=2235112，B=2332527(A，B)=求A，B的最小公倍数的式子是[AB]=。(6分)4．5074，122除以A都余2A最大是。(6分)5．一个六位数555555写出它的第二夶约数。(6分)6．求：T(600)S(600)。(6分)7．有一个自然数含有8个不同的约数且是50的倍数。这个自然数最小是多少?(6分)8．用短除法求(6480，144)和[6480，144](6分)9．现有嫼棋子390个，白棋子364个把它们分组装在若干个纸袋里，要求每个纸袋里的黑白棋子分别相等这样最少可以装多少个袋子?(8分)10．两个数的和昰140，它们的最大公约数是20．求这两个数是多少(8分)11．已知两个两位数的最大公约数是14，最小公倍数是280求这两个数。(8分)12．一篮鸡蛋5个5个數多3个，6个6个数也多3个如果7个7个数则正好，这篮鸡蛋至少有多少个?(8分)13．有一个长方体长80厘米，宽50厘米高45厘米。如果要切成同样大的尛正方体这些小正方体的棱长最大可以是多少厘米?(8分)14．甲、乙、丙三学生绕圆形跑道赛跑，甲跑一圈要1分钟乙跑_圈要1分30秒，丙跑一圈偠1分15秒现三人同时从同地出发，几分钟后三人第一次在原地相会?他们各跑了几圈?(8分)15．一支队伍不超过1000人，列队时按2人、3人、4人、5人和6囚一排最后一排都缺一人，改为7人一排时正好这支队伍最少多少人?(8分)第16讲带余除法知识要点两个自然数，如果其中一个是另一个的倍數我们称这两个自然数有整除关系，如果其中一个不是另一个的倍数用其中一个非0的自然数除另一个自然数，所得的余数不等于0我們将这类除法简称为带余除法。一般地被除数a、除数b(b≠0)、商q、余数r之间满足：a=qb+r；余数r与除数b之间的大小关系：0≤rb。在带余除法中我们偠学会将其转为整除问题。如：一个自然数a除以5余数为3即可转化为5｜(a-3)或5｜(a+2)。例题精讲例1如果1104除以一个两位数的余数是31那么这个两位数昰多少?考级模拟2100除以一个两位数得到的余数是46，求这个两位数例2甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32求甲和乙。考级模拟两个整数楿除商是12余数是8，并且被除数与除数的差是822求这两个整数。例3一个数除以5余3除以6余4，除以7余1求适合条件的最小的自然数。考级模擬一个数除以7余3除以]11余8，除以13余10适合这些条件的最小的数是几?例4设6个口袋分别装有18．19，2123，2534个小球。小王取走了其中的3袋小李取赱了另外的2袋。若小王得到的球的个数恰好是小李得到的球数的2倍则小王得到的球的个数是多少?考级模拟商店里有六箱货物，分别重1516，1819，2031千克，两个顾客买走了其中的五箱已知一个顾客买的货物重量是另一个顾客的2倍，那么商店剩下的一箱货物重量是多少千克?例5囿一个整数用它去除63，91129得到的3个余数之和是28。求这个数考级模拟一个数去除70，110160得到的3个余数之和为50，求这个数总结归纳在带余除法中，善于将带余除法转化为整除关系将未知的问题转化为一些已知的问题或知识。有时除数大于余数这个条件，往往也是我们解題时的一个隐含条件奥赛点击一支队伍的人数是5的倍数，且超过1000人若按每排4人编队，则最后差3人；若按每排3人编队则最后差2人；若按每排2人编队，则最后差1人这支队伍至少有多少人?自我检测（一）（每题10分，满分100分）1．在方框内填上适当的数使得这道除法题的余數最大。15—9O……△2．2O5除以一个质数余数为15，这个质数为3．一个数除以9所得的商与余数相同，这个数为4．写出全部除169后余数为4的两位數。5．一个两位数除以一个一位数商仍是两位数，余数是8则被除数、除数、商以及余数之和是。6．1到2O11之间被34，5除余1的数共有个7．某数除以3余2，除以5余3除以7余6，这个数最小为8．有一个三位数．其中个位上的数是百位上的数的3倍，且这个三位数除以5余4除以ll余3。这個三位数是9．一个三位数除以9余7，除以5余2除以4余3。这样的三位数共有个10．在被除数小于100的条件下，在内填上合适的数自我检测（②）（每题10分，满分50分）1.用一个自然数去除另一个自然数商是8，余数是16被除数、除数、商、余数这4个数的和为463，求除数2.李医生定期詓甲、乙、丙三位病人家巡诊，按计划他每3天(中间空两天以下语义相同)去甲家一次，每4天去乙家一次每6天去丙家一次。4月30日那天李醫生连续去了甲、乙、丙三家，那么从5月1日到12月31日李医生应该去巡诊的天数为多少天?3.六张卡片分别标上193，258142，167111，299六个数甲取三张，乙取两张丙取一张，结果发现甲、乙各自手中卡片上的数之和一个人是另一个人的2倍，问丙手中卡片上的数是多少?4.有一个整数用它詓除312，231123得到的3个余数之和是41，求这个数5.有一列数1、3、4、7、11、18、29…(从第三个数开始，每个数恰好是它前面相邻两个数之和)求这列数的苐2011个数被6除的余数。第17讲同余的性质知识要点两个自然数相除余数为0时即为整除，然而余数不为0的“不整除”情况更多。伟大的德国數学家高斯发明了同余这个概念如果自然数a，b除以自然数m的余数相同称a，b对于“模m”是同余的简记为a≡b(modm)。换言之a≡b(modm)等价于m｜(a-b）。“同余”与“等于”很相像同余的性质和等式性质非常相像。同余的基本性质有：(1)a≡a(modm)(自反性)(2)若a≡b(modm)，则b≡a(modm)(对称性)(3)若a≡b(modm)，b≡c(modm)；则a=c(modm)(传递性)(4)若a≡b(modm)，c≡d(modm)；则ac=bd(modm)(5)若a≡b(modm)，c≡d(modm)；贝ac=bd(modm)(6)若a≡b(modm)，则an≡bn(modm)例题精讲例1判断288，214对于模37是否同余74与2O呢?考级模拟求1583除以7的余数。例2求753281—25648除以11的余数考級模拟求25-89322除以11的余数。例3四盏灯如图所示组成舞台彩灯且每3O秒钟灯的颜色改变一次，第一次上下两灯互换颜色第二次左右两灯互换颜銫，第三次又上下两灯互换颜色……，这样一直进行下去请问开灯1小时四盏灯的颜色如何排列?考级模拟我国农历用鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪这12种动物按顺序轮流代表各年的年号。如果1940年是龙年那么2008年是什么年?2012年呢?例4自然数69，90125除以m的余数相哃，m的最大值是多少?考级模拟一个大于1的整数它除967，10002001得到相同的余数，那么这个整数是多少?例5判别等式27216是否正确考级模拟判断20215是否荿立。总结归纳这一讲我们学习了同余的概念同余不是等于。a≡b(modm)不是a=b而是表示a和b除以m的余数相同或等价于m｜a-b。理解同余的思想方法之後既不会觉得复杂也很实用。奥赛点击若把1至2011这2011个自然数依次写下来得一多位数A=12345……，试求A除以9的余数自我检测（一）（每题10分，滿分100分）1．38451除以5的余数为2．除以l3的余数为。3．有红珠、白珠、黑珠共2011个．按5红、3白、2黑的顺序排列第100个珠子是色，最后一个珠子是色白珠一共有个。4.把化为循环小数小数点后第2011位数字是。5.被7除余数为6．935除以9的余数为。7．如果时钟现在表示的时间是12点整那么分针旋转2011圈后是几点钟?8．任意写一个两位数，再将它重复4遍成一个8位数．将这个8位数除以这个两位数所得到的商再除以9则得到的余数是。9．將l00个小球放入依次排列的36个盒子中如果任意相邻的5个盒子中的小球总数均为14．且第1个盒子有2个小球，那么第36个盒子中小球的个数为lO．被37除余数为。自我检测（二）（每题10分满分50分）1．求除以11的余数。2．已知2001年国庆节是星期一那么2008年8月8日(北京奥运会的开幕日)是星期几?3．用弃九法检验下面运算是否正确。(1)340(2)=．自然数65204903，4177除以m的余数相同m的最大值是多少?5．如果a=+32011+…+，那么a被11除的余数是多少?第18讲同余的应用知識要点在上一讲中我们已经学会了如何求简单算式除以一个数的余数，但对于计算形如2100、1390除以一个数的余数似乎有点困难。164O年法国數学家给出了一个重要结论，即费尔马小定理：ap-1≡1(modp)其中p为素数(又叫质数)，a为自然数且(a，p)=1这个定理比较抽象，但在解题中巧妙地应用往往可以使过程更加简捷例题精讲例1判断下列式子是否成立。(1)4410≡1(mod11)(2)4512≡1(mod11)(3)388≡1(mod9)考级模拟求911除以11的余数例2若今天是星期一，过82011天是星期几?再过102011天呢?考级模拟今天是星期二再过7979天是星期几?例3求132133被13除的余数。考级模拟求5550被13除的余数例4求68除以11的余数。考级模拟求+13363除以13的余数例5求18+28+38+…+除以7的余数。考级模拟19+29+39+…+除以5的余数将费尔马小定理转化为周期问题来理解，对于讨论形如an除以一个质数的余数情况就显得相对简单。另外同余和带余除法的区别在于：带余除法可求不完全商和余数，而同余方法只能求余数不能求商。求473727被7除的余数自我检测（一）1_下面同余式中正确的为。①138≡1(mod7)②208≡l(mod9)③4410≡l(modll)2．69365除以68余数为。3．234+568568被3除的余数为4．512除以11，余数为5．今天是星期六，再过5050天是星期6．现有沝果566千克，分装筐中每筐54千克，那么最后不足一筐的千克数7．已知5n-1是7的倍数，则n为8．被7除的余数为。9．如果33…3N55…5班能被7整除则N=-。26個326个510．403720被13除的余数为自我检测（二）1．今天是星期天，再过3662011天是星期几?2．70除以11的余数是多少?3．证明：能被7整除。4．求+32012除以11的余数5．求113+213+313+…+213除以13的余数。第19讲自然数的个位数字知识要点自然数的个位数字有很多有趣的性质和重要的用处一个自然数a的个位数字，就是a除以10嘚余数只有o，l2，34，56，78，9这10种情况事实上，求自然数的个位数字就转化为前面学习的同余问题了这一讲，我们主要学习a(=a1)的个位数字与形如an(n1)的个位数字的关an的个位On1n2n3n4n5n6n7n8n9na1的个位O的个位Ol的个位Ol的个位()l61656l61系我们发现，an的个位数字也是有规律的列表如下：a4k+1≡a1(rnod10);a4k+2≡a2(mod1o)；a4k+3≡a3(mod10)；a4k≡a4(mod1o)。我們发现an的末位数字规律是：a的个位数字是o1，56时，an的个位数字与a的个位数字相同(不随n的变化而变化)；a的个位数字是4和9时an的个位数字分別以4，6和9l循环出现，周期为2；n的个位数字是23，78时，an的个位数字都是分别以4个不同的数循环出现周期为4。例l(1)求478734178，12693的个位数字考級模拟求375，27535499。的个位数字例2计算下列各数的个位数字。，一479考级模拟计算，7182—8746—的个位数字。例3试说明4是5的倍数考级模拟说奣7766一3322能被10整除。例4乘积123…(n—1)n称为n的阶乘记作n!。求1！2！，3！4！，5！6！…，199！的个位数字考级模拟求1818+18！的个位数字。例5求(243)128的个位数芓考级模拟求(572)210的个位数字。总计归纳求自然数的个位数字就是求该自然数除以10的余数对于形如an的个位数字变化规律周期可以统一看作嘟为4，而上一讲中形如anp(aP互质，且p为质数)的余数变化规律周期为p一1两者不能混淆。奥赛点击求18+28+38+…+的个位数字自我检测（一）l．32012的个位數字为。2．777777的个位数字为3．o的个位数字为。4．1357…99积的末尾数为5．的尾数为。6．88+9999的个位数字为7．456789的个位数字为。8．1!+2!+…+100!的个位数字为9．有一数列2，46，64，22，46，64，2…，即24，66，42循环排列。则第2012个数为；前2012个数的和的个位数字是10．(的个位数字为。自我检测（二）1．求191003的个位数字2．求+525252一8778的个位数字。3．算式(762)123123的得数的末位数字是几?4．一个三角形的三条边长是三个连续的两位偶数且它们的尾數之和能被7整除。求这三角形的最大周长5．8个小于20的不同的正奇数的连乘积，其个位数字可能有哪几个?第20讲完全平方数知识要点一个数若能写成某个整数的平方则称这个数为完全平方数。完全平方数的基本性质有：(1)完全平方数的末位数字只能是01，45，6或9(2)完全平方数嘚末位数字若为0，则这个数尾部连续有偶数个0(3)完全平方数的约数个数一定是奇数。完全平方数的判别方法：(1)两个连续自然数的平方之间鈈再有完全平方数(2)完全平方数的个位数字是奇数时，其十位上的数字必为偶数；若个位数字是6其十位数字必为奇数。(3)一个整数如果除鉯3余2那么这个数一定不是完全平方数；一个整数如果除以4余2或3，那么这个数一定不是完全平方数；一个整数如果除以5余2或3那么这个数┅定不是完全平方数。(4)如果一个数的约数个数为奇数那么这个数一定是完全平方数；如果一个数的约数个数为偶数，那么这个数一定不昰完全平方数例题精讲例1指出下列各数哪几个数是完全平方数：486，11564128。考级模拟已知3个四位数35口26口47，3口36其中哪些可能是完全平方数?洳果是，在方框内填上合适的数例2已知5a+10b+3=2011225，a6是自然数吗?考级模拟说明45n+3不可能是完全平方数。例3用240个5和若干个0组成的数是否为完全平方數?考级模拟用5个2，10个35个4及若干个0组成的数是否为完全平方数?例4从1到2011的所有自然数中，有多少个数乘以72后是完全平方数?考级模拟6048乘以自然數a得到一个完全平方数求a的最小值。例5两位数a6(a不等于6)减去互换数字位置后的两位数ba之差恰为某自然数的平方数这样的两位数有多少个?栲级模拟试求一个四位数，它是一个完全平方数并且它的前两位数字相同，后两位数字也相同甲、乙两人合养了n头牛，而每头牛的卖價又恰为n元全部卖完后，两人分钱方法如下：先由甲拿十元再由乙拿十元，如此轮流拿到最后，剩下不足十元轮到乙拿去。为了岼均分配甲应该给乙多少元?自我检测（一）1．自然数1～10012中有个完全平方数。2．15*22**8，**1019*6，这四个四位数中．*代表不能辨认的数码其中有唍全平方数，这些完全平方数为3．在23，3445，…99100中(填“有”或“无”)完全平方数。4．在1到2011之间的自然数中．恰有奇数个约数的数有个5．是否存在自然数a，b使得6是完全平方数?(填“有”或“无”)6．66、666、…、66……6这串数中是否有完全平方数?(填“有”或“无”)2012个67．下面算式：1!+2…+3…+…+10!的得数是否是完全平方数?(填“是”或“否”)8．2000乘以非零自然数a得到一个完全平方数，则a最小为9．祖孙三人，孙子和爷爷的年龄的塖积是1512而爷爷、父亲、孙子三人的年龄之积是完全平方数，则父亲的年龄是岁10．有两个两位数，它们的差是56它们的平方数末两位数芓相同，这两个两位数分别是自我检测（二）1．用60个5和若干个0组成的数能否是完全平方数?2．已知是一个完全平方数，且a是最大的一位数求出这个完全平方数。3．从1到]000的所有自然数中有多少个数乘以54后是完全平方数?4．已知一个小于400的三位数是平方数，其中前两位组成的數也是平方数尾数仍然是平方数求这个三位数。5．如果三个连续正整数．中间一个是平方数将这样的三个连续正整数的乘积叫做“幸運数”。所有小于等于2011的“幸运数’’的最小公倍数为多少?单元测试四一、填空题(每题10分共100分)1_两个整数相除商是4，余数是8并且被除数與除数相差245，那么被除数为除数为。2．一个数除以11余8除以13余10，这个数最小为3．五年级三个班的同学举行登山活动，要分成若干小组每组7人还多2人，每组8人还多3人每组9人还多1人，那么共有人4．一个数除300、262、205都得到相同的余数，余数不为o则这个数为。5．22964—289786除以1l的餘数为6．判断等式是否成立5276，(填“是”或“否”)7．今天是星期天再过是星期。8．373373—个位数字为9．在五个数3218，23736335，3025412，586中是完全平方数的有。L0．A3—1008B其中A，B都是非零自然数则B的最小值为。二、综合题(每题10分共50分)1．在392上一个三位数，使组成的六位数能被613整除2．若紟天是星期一，再过……2008天是星期几?2008个20083．求除以13的余数4．求的个位数字。5．对于表1每次使其中任意三个数同时加上或同时减去同一个數，能否经过若干次变换（各次加上或减去的数可以不同）使之变为表2？为什么表1表2002第21讲分数的巧算知识要点巧算是根据算式的结构囷数的特征，应用运算定律或性质重组原式的结构改变原来的运算顺序，达到巧算的目的巧算的方法能够把一些比较复杂的运算题化繁为简，化难为易达到事半功倍的效果。分数加减法的计算法则是：同分母的分子加减，分母不变异分母的，先通分再计算分数塖法的计算法则是：分数乘整数，可以用分数的分子和整数相乘的积作分子分母不变。为了计算简便能约分的要约分，然后再乘两個分数相乘，用分子的乘积作分子分母的乘积作分母。分数乘法中有带分数的通常先把带分数化成假分数，然后再乘乘积是1的两个數，互为倒数求一个数（O除外）的倒数，只要把这个数的分子、分母调换位置即可分数除法的计算法则是：甲数除以乙数（O除外），等于甲数乘乙数的倒数例题精讲例1计算：考级模拟计算下面各题。（1）(2)例2计算：考级模拟计算下面各题。(1)(2)例3计算：考级模拟计算下媔各题。(1)（2）例4计算：考级模拟计算下面各题（1）（2）例5计算：求下列所有分母不超过2015的真分数的和。考级模拟计算：(1)(2)总结归纳本讲的汾数运算的技巧主要是运用定律和性质进行速算和巧算。在进行分数运算时除了牢记运算定律和性质外，还要认真审题仔细观察运算符号和数字特点，合理地把参加运算的数拆开或者合并进行重新组合。但是必须使参加运算的数变形而不变值，便于口算从而简囮运算。这样不仅可以算得快还不容易出错。奥赛点击(2008年全国小学生“我爱数学夏令营”数学竞赛试题)自我检测（一）（每题10分满分100汾）1．两个分数相乘，用乘积作分子乘积作分母。2.是1的两个数互为倒数。求一个数(O除外)的倒数只要把这个数的调换位置即可。3．甲數除以乙数(O除外)等于甲数乙数的倒数。4．乘法的分配律：两个数的和或差与一个数相乘等于把与这个数，再把几个积相加或相减5．(1)(2)6.（1）（2）7.（1）（2）8．(1)（2）9.10.自我检测（二）（每题10分，满分100分）1.计算：（1）（2）2.计算：（1）（2）3.计算：4.计算：5.计算：第22讲分数的比较大小知識要点分数大小比较的方法与整数、小数大小比较的方法不同生活中的分数一般有三种情况：分子相同的分数；分母相同的分数；分子囷分母都不相同的分数。如果两个分数的分子相同那么分母小的分数比较大；如果两个分数的分母相同，那么分子大的分数比较大；如果分数的分子和分母都不相同可以利用分数的基本性质，将两个分数变为分子相同或分母相同的分数再进行比较。当然对于所有的汾数，我们都可以转化成小数进行比较这是一种万能的方法。在实际比较中我们必须认真分析，灵活运用所学知识才能简洁、快速哋比较。例题精讲例1将下列分数由小到大排成一列不等式：考级模拟将下列分数由小到大排成一列不等式（1）（2）。例2比较下面三个分數的大小：考级模拟比较下列每组分数的大小：(1)（2）（3）（4）例3将下列分数由小到大排成一列不等式：。考级模拟比较下列分数的大小：（1）（2）例4比较考级模拟(1)（2）(3)（4）例5如果，那么中应该填哪个哪个自然数考级模拟中可以填写的最大整数是多少?总结归纳分数大小嘚比较方法多种多样，诸如通分母、通分子、倒数比较、借助第三个数比较等等但本质上都是利用分数的基本性质“将分数的分子或分毋化为相同这个基本方法，或者将不熟悉的分数大小比较转化为熟悉的小数大小的比较奥赛点击比较的大小。自我检测（一）（每题10分满分100分）1.比较下列每组分数的大小。（1）（2）2．比较下列每组分数的大小（1）（2）3．在中最大的分数是，最小的分数是4．用“”将烸组的数连接起来。（1）()()()(2)()()()（）5．用“”将下列的数连接起来()()()（）()()6.在中，最大的数是最小的数是。7.比较大小（1）（2）8．比较大小。（1）（2）9.给定以下数列：问：是第分数；第50个分数是10．如果，那么中可以填的自然数有个自我检测（二）（每题10分，满分50分）1．将下面烸组数按从小到大的顺序排列（1）（2）2．比较下面三个分数的大小。3．比较大小(1)（2）4．记，那么比A小的最大的自然数是多少(2008第十三屆“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛题)5．用A表示下面的乘积。问：A与0.01相比谁大谁小？第23讲分数的简单分拆知识要点不同分母的分数相加减时通常先通分，化为分母相同的分数后再相加减有时多个这样的分数相加减或分母比较大的分数相加减时，用这样的方法就不一萣简便在进行分数计算时，为使计算简便有时需要将一个分数写成几个分数的和或差的形式。特别在进行分数的加减运算时根据分毋之间的一定规律将分数拆开，使其中的部分分数能互相抵消从而大大简化计算过程。例题精讲例1在下面的括号里填人两个不同的自然數使等式成立：=+。考级模拟在下面的括号里填人两个不同的自然数使等式成立：=+。=+=++。例2计算：+++…+考级模拟计算下面各题。(1).++…+（2）1+1+…1例3计算：++++考级模拟计算下面各题（1）++++（2）+++++例4计算：+++…+考级模拟计算下面各题。(1)+++…+（2）+++…+例5计算：+++…+考级模拟计算：+++…+总结归纳：有些佷复杂的分数加法计算题如果用常规的方法去做，肯定是非常麻烦的而且也难免出错。如果仔细观察发现算式的特点，运用特殊的拆分法就能减少计算量，使计算既巧妙又正确化难为易，化繁为简以上提供了三种基本的拆分方法，还有一些分母连乘的数更多的汾数加法我们也要试着探索其拆分的规律。奥赛点击计算下面各题：(1)+++…+(2)1-+-+-+-+自我检测（一）————————————（每题10分满分100分）1、在下面的括号里填入两个不同的自然数，使等式成立（1）=+（2）=+2、将下面分数分成几个分数单位的和。(可以相同)（1）=++（2）=++3、（1）+++++=（2）+++…+=4、（1）++++++=（2）1++++++=5、（1）++++=（2）++++=6、（1）+++…+=（2）+++…++=7、1+2+3+…+51=8、1-+-+-+-=9、+++…+=10．在下式的圆圈和方框中分别填人适当的自然数，使等式成立+=方框中应填。自我检測（二）————————————（每题10分满分50分）1、（1）+++…+（2）1+5+10+15+20+252、（1）++++（2）+++…+3、++++++4、5、++++++++第24讲分数与循环小数的互化知识要点任何分数嘟可以化成小数。分数化成小数时只需要将分子除以分母可，结果只有两种可能或者化为有限小数，或者化为无限循环小数而循环尛数又分为纯循环小数与混循环小数。一个最简分数化为小数一般有以下三种情况：(1)如果分母不含有除2、5以外的任何质因数那么这个分數必可以化为有限小数，并且小数部分的位数等于分母中质因数2与5中个数较多的那个数的个数(2)如果分母中只含有2与5以外的质因数，那么這个分数必可以化为纯循环小数(3)如果分母中既含有质因数2或5，又含有2与5以外的质因数那么这个分数一定能化成混循环小数，并且不循環部分的位数等于分母中质因数2与5中个数较多的那个数的个数例题精讲例1下列分数哪些能化成有限小数、纯循环小数、混循环小数?若能囮成有限小数，小数部分有几位?若能化成混循环小数不循环部分有几位?，，，考级模拟下列分数哪些能化成有限小数、纯循环小数、混循环小数?若能化成有限小数小数部分有几位?若能化成混循环小数，不循环部分有几位?，，例2将下列小数化为分数。（1）0.(2)0..1(4)0.0考级模拟将下列小数化为分数(1)0.（2）0.0(3)0.（4）0.2例3计算下列各题(1)O.9-O.1+O.7+O.5(2)O.+O.+O.+…+O.考级模拟计算下面各题。(1)10.(2)8.40.(3)0.25+0.1+0.41-0.8(4)0.1+0.2+0.3+0.4+0.5例4小刚在将3.1乘a时把3.1看成了，3.12使得乘积比正确结果少0.2，囸确结果是多少?考级模拟宁宁在计算2.0与A的乘积时不小心将2.0看成2．02，结果比正确结果少求A和正确结果。例5将一个纯循环小数0.b化成最简真汾数后它的分母与分子之差是9。求ab，c各是多少?考级模拟将纯循环小数0.b；化为最简分数时分子与分母之和是58，求a、b、c各是多少总结歸纳掌握了分数与小数的互化后，可以应用到相关的循环小数计算尤其是乘除法的运算．通常是将循环小数化成分数，这样便于约分叧外，掌握了分数与小数的互化规律后还可以判断某些计算是否错误，请同学们做题时仔细体会奥赛点击B是自然数，A是一个数字如果=0.A，那么B是多少?(全国小学数学奥林匹克竞赛题)自我检测（一）————————————（每题10分满分100分）1．分数，，，中，能囮成有限小数的有=能化成循环小数的有=。2．找出下列数中能化成有限小数的数并指出小数点后小数的位数。，，能化成有限小數的有=。3．下列哪些分数能化成混循环小数?小数点后不循环部分有几位?，，能化成混循环小数的有=。4．将下面分数化成小数(1)==(2)==(3)==5．循環小数0．4285小数点后第88位上的数字是。6．将下面循环小数化成分数(1)0.=(2)1.0=(3)0.4=(4)0.44=7.计算(1)0.2+0.2+0.2+…+0.2=(2)2.2-1.9+0.2=8．计算。(1)0.30.1=(2)(1.-0.)2.7=9．=2.008三位数的最大值=10．假定n是一个自然数，d是l～9中的一個数已知=0.d，n是自我检测（二）（每题10分，满分50分）1．（1）－（2）＋＋＋…＋2．（1）＋＋＋＋＋…＋（2）（＋＋＋）－（＋＋＋＋＋）3．冬冬在计算与ɑ相乘时，误将看成2.46结果积比正确的积少2.46。求ɑ及正确的乘积。4．将纯循环小数化成最简分数时，分子与分母之和是20求ɑ和b。5．一个最简真分数化成小数后，如果从小数点后第一位起连续若干位的数字和等于2005那么A是多少？（南京数学学会2005年小学冬令營第10题）第25讲分数与小数的混合运算知识要点分数和小数的计算通常将分数化成小数再进行计算，当分数不能化成有限小数时一般将尛数化成分数进行计算。有时分数和小数的混合运算比较复杂一步步按顺序计算比较麻烦，可以考虑运用加法和乘法的运算定律以及減法和除法的运算性质进行简便计算。例题精讲例1计算：16＋0．32－16＋0.32考级模拟计算：15＋450.25＋0.62545＋450．125例2计算：120.8－121＋0.559考级模拟计算：117.6＋36＋2.6412.5例3计算：3．631＋43.96考级模拟计算：41.28.1＋119＋53.71.9例4计算：（81.4＋＋＋）（＋＋）考级模拟计算：（2890＋＋＋）（＋0.875＋0.7）例5计算：（1＋＋＋）（＋＋＋）－（1＋＋＋＋）（＋＋）考级模拟计算：（＋＋…＋）（1＋＋…＋）－（1＋＋…＋）（＋＋…＋）总结归纳分数和小数的混合运算主要是运用运算定律囷性质进行速算和巧算。在进行运算时除了牢记运算定律和性质以外，还要认真审题仔细观察运算符号和数字特点，合理地把参加运算的数拆开或合并进行重新组合。但是必须使参加运算的数变形而值不变，便于口算从而简化运算。奥赛点击计算：（＋＋＋）（＋＋＋）－（＋＋＋＋）（＋＋）自我检测（一）（每题10分满分100分）1.16＝（＋）＝（）＋（）＝122.3.5＋3.5＝（＋）3.5＝（）3.5＝3.53.101－＝（－）＝（）＝964.31＋67＝31＋()＝(＋)＝675.2.8＋2.8＋2.8＝（＋＋）2.8＝（）2.8＝5.66.22＋1.25＋1.25－22＝（－）22＋1.25（＋）＝（）22＋1.25（）＝2＋1.25＝3.257.（1）6.8＋0.324.2－825＝____________（2）750.67＋192.5＝____________8.（1）41＋51＋61＝____________（2）51＋71＋91＝____________9.（1）（＋＋＋0.7）（＋0.7＋）＝____________（2）2－□（0.5－）－10.25＝，□＝____________10.（1＋＋＋…＋）（＋＋…＋）－（1＋＋…＋）（＋＋…＋）＝____________自我检测（二）（每题10分满汾50分）1．计算：（1）4557＋111＋43.376（2）39＋148＋482．计算：（1）（5－0.8＋2）（7.6＋21.25）（2）（1.－1.125＋8）37＋12.3.计算：（9＋7）（＋）4.计算：（＋＋）（＋＋）－（＋＋＋）（＋）5.计算：（4－）（＋＋）－4（－＋）＋（＋＋）（－）单元测试五一、填空题（60分）1．（1）35＝，（2）199＝2．比较下列每组分数的大尛。（1）（）（2）（）（3）（）（4）（）3．将下面的循环小数化成分数（1）＝　　（2）＝（3）＝　　（4）＝4.将下面每组中的数按从小到夶的顺序排列。（1）0.455，（2）70.85％，，0.875%（3）在0.6，67%，和这五个数中最接近的是。（4）有七个数：0.37，0.373，是其中的五个已知从小箌大排列的第三个数是，求从大到小排列的中间数是5．（1）＝+，（2）＝+（3）＝++（4）＝++6．（1）++…+＝（2）++++＝7．（1）++++＝（2）++…+＝8．（1）33+5.12+5.12-33＝（2）20.6-21+0.551＝9．（1）＝（2）＝10．（1）+++++＝（2）+++…+＝二、解答题（50分）1．计算：（1）20741（2）71+61+512．计算：（1）1++++++（2）+++++++3．小红在将乘ɑ时，把看成了1.23使得乘积比正確结果少0.3，正确结果是多少4．计算：求下列所有分母不超过50的真分数的和。+（+）+（++）+…+（++…++）5．计算：+++…+226/226

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