讨论函数 f（x）={[（1+x）^(1/x)]/e}^(1/x),x&0 =e^(-1/2),x≤0 在点x=0的连续性_百度知道
讨论函数 f（x）={[（1+x）^(1/x)]/e}^(1/x),x&0 =e^(-1/2),x≤0 在点x=0的连续性
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本题难度：0.30&&题型：解答题
已知函数f（x）=lnx，g（x）=ex，其中e是自然对数的底数，e=2.71828…（1）若函数φ（x）=f（x）-，求函数φ（x）的单调区间；（2）若x≥0，g（x）≥kf（x+1）+1恒成立，求实数k的取值范围；（3）设直线l为函数f（x）的图象上一点，A（x0，f（x0））处的切线，证明：在区间（1，+∞）上存在唯一的x0，使得直线l与曲线y=g（x）相切．
来源：2016o眉山模拟 | 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数恒成立问题．
（2016o吉林三模）下列有关命题的说法错误的是（　　）
A、函数f（x）=sinxcosx的最小正周期为πB、函数在区间（2，3）内有零点C、已知函数a(x2-2x+2)，若，则0＜a＜1D、在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（2，σ2）（σ＞0）．若ξ在（-∞，1）内取值的概率为0.1，则ξ在（2，3）内取值的概率为0.4
已知函数f（x）=，则下列大小关系正确的是（　　）
A、f（e）＜f（3）＜f（2）B、f（e）＜f（2）＜f（3）C、f（2）＜f（3）＜f（e）D、f（3）＜f（2）＜f（e）
（2015春o九江期末）已知函数f（x）=（0＜x＜1），则下列不等式正确的是（　　）
A、f2（x）＜f（x2）＜f（x）B、f（x2）＜f2（x）＜f（x）C、f（x）＜f（x2）＜f2（x）D、f（x2）＜f（x）＜f2（x）
（2015春o九江期末）已知函数f（x）=lnx-x（0＜x＜1），则下列不等式正确的是（　　）
A、f2（x）＜f（x2）＜f（x）B、f（x2）＜f2（x）＜f（x）C、f（x）＜f（x2）＜f2（x）D、f（x2）＜f（x）＜f2（x）
已知函数，且f（x0）=0，若a∈（1，x0），b∈（x0，+∞），则（　　）
A、f（a）＜0，f（b）＜0B、f（a）＞0，f（b）＞0C、f（a）＞0，f（b）＜0D、f（a）＜0，f（b）＞0
解析与答案
（揭秘难题真相，上）
习题“已知函数f（x）=lnx，g（x）=ex，其中e是自然对数的底数，e=2.71828…（1）若函数φ（x）=f（x）-x+1x-1，求函数φ（x）的单调区间；（2）若x≥0，g（x）≥kf（x+1）+1恒成立，求实数k的取值范围；（3）设直线l为函数f（x）的图象上一点，A（x0，f（x0））处的切线，证明：在区间（1，+∞）上存在唯一的x0，使得直线l与曲”的学库宝（http://www.xuekubao.com/）教师分析与解答如下所示：
【分析】（）求出原函数的导函数确定导数恒大于0从而可得求函数φ&nbsp（x）的单调区间（2）把g（x）≥kf（x+）+ （x≥0）恒成立转化为kln（x+）≤ex-在x≥0时恒成立然后分k≤0和k＞0讨论当k＞0时利用放缩法转化为kln（x+）≤kx≤ex-恒成立求解（3）先求直线l为函数的图象上一点A（x0f&nbsp（x0））处的切线方程再设直线l与曲线yg（x）相切于点（xex）进而可得lnx0x0+x0-再证明在区间（+∞）上x0存在且唯一即可．
【解答】（）解：φ（x）f（x）-x+x-lnx-x+x-φ′（x）x+2(x-)2x2+x(x-)2．∵x＞0且x≠∴φ'（x）＞0∴函数φ（x）的单调递增区间为（0）和（+∞）（2）解：由g（x）≥kf（x+）+ （x≥0）恒成立得ex≥kln（x+）+在x≥0时恒成立即kln（x+）≤ex-在x≥0时恒成立∵ex-≥0ln（x+）≥0．若k≤0则kln（x+）≤ex-在x≥0时恒成立若k＞0由ln（x+）≤x得kln（x+）≤kx由kx≤ex-知当x0时对于任意正实数k都成立当x＞0时不等式化为k＜ex-x令h（x）ex-xh′（x）xex-ex+x2(x-)ex+x2．令φ（x）（x-）ex则φ′（x）xex＞0∴φ（x）（x-）ex在（0+∞）上为增函数则h′（x）＞h′（0）0则h（x）在（0+∞）上为增函数∴h（x）＞h（0）．∴当0＜k≤时kln（x+）≤kx≤ex-恒成立．综上若x≥0则使g（x）≥kf（x+）+恒成立的实数k的取值范围是（-∞]（3）证明：∵f′（x）x∴f′（x0）x0∴切线l的方程为y-lnx0x0（x-x0）即yx0x+lnx0-①设直线l与曲线yg（x）相切于点（xex）∵g′（x）ex∴exx0∴x-lnx0．∴直线l方程又为y-x0x0（x+lnx0）即yx0x+lnx0x0+x0②由①②得lnx0-lnx0x0+x0∴lnx0x0+x0-．下面证明在区间（+∞）上x0存在且唯一．由（）可知φ（x）lnx-x+x-在区间（+∞）上递增．又φ（e）lne-e+e--2e-＜0φ（e2）lne2-e2+e2-e2-3e2-＞0结合零点存在性定理说明方程φ（x）0必在区间（ee2）上有唯一的根这个根就是所求的唯一x0．在区间（+∞）上存在唯一的x0使得直线l与曲线yg（x）相切．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数恒成立问题．
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知识点讲解
经过分析，习题“已知函数f（x）=lnx，g（x）=ex，其中e是自然对数的”主要考察你对
等考点的理解。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
利用导数研究曲线上某点切线方程
利用导数研究曲线上某点切线方程：1、利用导数求曲线的切线方程．求出y=f(x)在{{x}_{0}}处的导数f′(x)；利用直线方程的点斜式写出切线方程为y-{{y}_{0}} =f′({{x}_{0}})（x-{{x}_{0}}）．2、若函数在x={{x}_{0}}处可导，则图象在({{x}_{0}}，f({{x}_{0}}))处一定有切线，但若函数在x={{x}_{0}}处不可导，则图象在（{{x}_{0}}，f({{x}_{0}}））处也可能有切线，即若曲线y =f(x)在点({{x}_{0}}，f({{x}_{0}}))处的导数不存在，但有切线，则切线与x轴垂直．3、注意区分曲线在P点处的切线和曲线过P点的切线，前者P点为切点；后者P点不一定为切点，P点可以是切点也可以不是，一般曲线的切线与曲线可以有两个以上的公共点，4、显然f′（{{x}_{0}}）＞0，切线与x轴正向的夹角为锐角；f′（{{x}_{0}}）＜o，切线与x轴正向的夹角为钝角；f({{x}_{0}}) =0，切线与x轴平行；f′({{x}_{0}})不存在，切线与y轴平行．
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作业互助QQ群：(小学)、(初中)、(高中)大学微积分——第三章导数与微分 讨论函数 f(x)= (x^2)*sin(1/x),x≠0； 0,x=0 在处的连续性与
大学微积分——第三章导数与微分 讨论函数 f(x)= (x^2)*sin(1/x),x≠0； 0,x=0 在处的连续性与可导性.讨论函数 f(x)=(x^2)*sin(1/x),x≠0；0,x=0在处的连续性与可导性.
f(x)在x=0处：左极限：lim(x^2*sin(1/x))=0右极限：lim(x^2*sin(1/x))=0 【有界量乘以无穷小等于无穷小】∴f(x)在x=0处连续f‘(x)=2x*sin(1/x)-cos(1/x)左导不存在右导不存在 【震荡间断点,极限不为定值】∴f(x)在x=0处不可导
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与《大学微积分——第三章导数与微分 讨论函数 f(x)= (x^2)*sin(1/x),x≠0； 0,x=0 在处的连续性与》相关的作业问题
再问： 第一行是为什么 再答： 在第二行第三行里证明了，而且这个等式不仅仅对于两个数a,b是成立的，对于k个数也是成立的，证明都一样的再问： 太感谢了
x->0+,f(x)=x/x=1;x->0-.f(x)=-x/x=-1;因为f(0+)!=f(0-)所以f(x)无限趋近于0时的极限不存在
f(x,y)={xy/[2-√(4+xy)]=-2-√（4+xy),xy≠0；{4,xy=0,在点(0,0),(1,0)处不连续,在（1,2）处连续. 再问： 能简述下原因么？ 再答： f(0+,0+)=-4≠4=f（0,0）, f(1,0+)=-4≠4=f（1,0).再问： f(0+,0+)=-4，f(1,0+)=-
由于是R上的偶函数,故有f(0)=1f(0)=sin(&)=1,&=π/2在区间[0,π/2]为单调函数,故T>=π,故2π/w>=π,w
R上的偶函数关于y轴（x=0）对称故x=0时,函数取最值,即f(0)=±1,sinφ=±1所以φ=π/2故f(x)=sin(ωx+π/2)=cosωx关于点M(3π/4,0)对称cos(3ωπ/4)=03ωπ/4=π/2+kπω=4(1/2+k)/3ω＞0,[0,π/2]上是单调函数ωπ/2≤π/2所以0 再问： 为什
&=π/4f（x）=sin（3x+π/4）,m=π/12cosπ/4cos&-sin3π/4sin&=cosπ/4cos&-sinπ/4sin&=cos(π/4+&)=0,因为&绝对值＜π/2 ,所以π/4+&大于-π/4小于3π/4,所以π/4+&=π/2,&=π/4函数f（x）的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于π
①,f(x)＝2cos²ωx＋sin﹙2ωx－π/6﹚＋a＝1＋cos2ωx＋sin2ωx·cosπ/6－cos2ωx·sinπ/6＋a＝1＋a＋sin2ωx·cosπ/6＋cos2ωx·sinπ/6＝1＋a＋sin﹙2ωx＋π/6﹚,当2ω·π/6＋π/6＝π/2,即图像出现y轴右侧的第一个最高点（横坐标x
∵函数f（x）=sin（ωx+π3）（ω＞0）的最小正周期为π，∴由三角函数的周期公式，得T=2πω＝π，解得ω=2函数表达式为f（x）=sin（2x+π3）令2x+π3=kπ（k∈Z），得x=-π6+12kπ（k∈Z），∴函数图象的对称中心为（-π6+12kπ，0）（k∈Z）取k=1得一个对称中心为（π3，0），可得
若b>=0 仅需 a>0即可 sin(1/x^b)是有界函数若b0 即可 再问： 为什么。。。 再答： 你需要的是lim（x->0）x^a)sin[1/(x^b)]---->0 当b>=0 a>0 x^a-->0 (x->0) 00时 x^asin[1/(x^b)]=sin(x^(-b)) 为0点附近振荡，无极限 a=
1.f(x)=sin（wx+φ ）=cos(wx+φ-π/2+2kπ)必须要φ-π/2+2kπ=0就是φ=π/2-2kπ函数的最高点最低点的差为 2,横坐标的差是 π/w,图像上相邻的一个最高点和一个最低点之间的距离为√4+ (π/w)^2所以w=1函数解析式是f(x)=cosx
y=sin^2x+acosx+5/8a-3/2=-cos^2x+1+acosx+5/8a-3/2=-cos^2x+acosx+5/8a-1/2=-（cosx-a/2)^2+a^2/4+5/8a-1/2(0≤x≤π/2)则0
已知函数f（x）=sin（ωx+φ）-b（ω＞0,0＜φ＜π）的图象两相邻对称轴之间的距离是π/2,若将f（x）的图象先向右平移π/6 个单位,再向上平移√3 个单位,所得函数g（x）为奇函数．（1）求f（x）的解析式；（2）求f（x）的单调区间；（3）若对任意x∈[0,π/3 ],f²（x）-（2+m）f（
F(x)=根号3(sin^2X-cos^2X)+2sinXcosX=√3cos2x+sin2x=2sin(2x+π/3)(1) X属于[0,2π/3] 2x+π/3属于[π/3,5π/3]2sin(2x+π/3)属于[-2,2]值域为 [-2,2]（2）2kπ-π/2
cos2ωx = 1-2 sin²ωxf（x）=sin²ωx+√3cosωxcos（π/2-ωX） = (1-cos2ωx)/2 + √3cosωxsinωx=1- (1/2)cos2ωx + (√3/2)sin2ωx=1 + sin2ωx *(√3/2) - cos2ωx * (1/2)=1 +
f(x)=sin（wx+φ ）=cos(wx+φ-π/2+2kπ)必须要φ-π/2+2kπ=0就是φ=π/2-2kπ函数的最高点最低点的差为 2,横坐标的差是 π/w,图像上相邻的一个最高点和一个最低点之间的距离为√4+ (π/w)^2所以w=1函数解析式是f(x)=cosx
图像上相邻的两个最高点间的距离为2π=>T=2πw=1f(x)=sin(x+φ)对称轴x+φ=kπ+(π/2)φ=kπ+(π/2)φ=π/2f(x)=sin(x+(π/2))=cosx单调递减区间[2kπ,2kπ+π]
由正弦函数的单调性知道,在最小和最大处是对称轴.2*π/8+β=kπ+π/2 得到β=kπ+π/4-π＜β＜0 ∴k=-1,β=-3π/4.由正弦函数的图像得出 2kπ-π/2≤2x-3π/4≤2kπ+π/2答案是kπ+π/8≤x≤kπ+5π/8 k为整数
对称轴的横坐标为ωx+φ=kπ＋π/2,即x=kπ/ω+π/2ω-φ/ω,即对称轴为x=kπ/ω+π/2ω-φ/ωP(-π/6,2)在对称轴x=kπ/ω+π/2ω-φ/ω上,kπ/ω+π/2ω-φ/ω=-π/6“点P到该图像的对称轴的距离”是什么意思? 再问： 不清楚呀，题目就是这么样写的，可能是最近对称轴的距离吧 再
f（x）=sin ax+cos ax =根号2sin（ax+π/4）由公式T=2π/a=1a=2π讨论函数f(x)=x^2,0&=x&=1 2-x,1&x&=2的连续性，如有间断点，试说明它的类型_百度知道
讨论函数f(x)=x^2,0&=x&=1 2-x,1&x&=2的连续性，如有间断点，试说明它的类型
所以，函数在整个 [0，2] 上连续 ;=1 时，f(x)=x^2 ；当 1&x&=2 时，f(x)=2-x ，lim(x→1-) f(x)=1=f(1) ，lim(x→1+) f(x)=1=f(1) ，所以，函数在（0，1）及（1，2）上连续。又 lim(x→0+) f(x)=0=f(0) ，lim(x→2-)=0=f(2) 当 0&=x&lt
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