List接口的大小可变数组的实现。实现了所有可选列表操作，并允许包括 null 在内的所有元素。ArrayList继承于List接口，除继承过来的方法外，还提供一些方法来操作内部用来存储列表的数组的大小。每个ArrayList实例都有一个容量。该容量是指用来存储列表元素的数组的大小。它总是至少等于列表的大小。随着向ArrayList中不断添加元素，其容量也自动增长。并未指定增长策略的细节，因为这不只是添加元素会带来分摊固定时间开销那样简单。
ArrayList是经常会被用到的，一般情况下，使用的时候会像这样进行声明：List arrayList = new ArrayList();如果像上面这样使用默认的构造方法，初始容量被设置为10。当ArrayList中的元素超过10个以后，会重新分配内存空间，使数组的大小增长到16。可以通过调试看到动态增长的数量变化：10-&16-&25-&38-&58-&88-&...
也可以使用下面的方式进行声明：List arrayList = new ArrayList(4);将ArrayList的默认容量设置为4。当ArrayList中的元素超过4个以后，会重新分配内存空间，使数组的大小增长到7。可以通过调试看到动态增长的数量变化：4-&7-&11-&17-&26-&...
那么容量变化的规则是什么呢？请看下面的公式：((旧容量 * 3) / 2) + 1注：这点与C#语言是不同的，C#当中的算法很简单，是翻倍。
一旦容量发生变化，就要带来额外的内存开销，和时间上的开销。所以，在已经知道容量大小的情况下，推荐使用下面方式进行声明：List arrayList = new ArrayList(CAPACITY_SIZE);即指定默认容量大小的方式。
探索ArrayList自动改变size真相
ArrayList的列表对象实质上是存储在一个引用型数组里的，有人认为该数组有&自动增长机制&可以自动改变size大小。正式地说，该数组是无法改变
大小的，实际上它只是改变了该引用型数组的指向而已。下面，让我们来看看java是怎样实现ArrayList类的。
一、ArrayList类的实质
ArrayList底层采用Object类型的数组实现，当使用不带参数的构造方法生成ArrayList对象时，
实际上会在底层生成一个长度为10的Object类型数组。
首先，ArrayList定义了一个私有的未被序列化的数组elementData，用来存储ArrayList的对象列表（注意只定义未初始）：
　　private transient Object[] elementD
其次，以指定初始容量（Capacity）或把指定的Collection转换为引用型数组后实例化elementData数组；如果没有指定，则预置初始容量为10进行
实例化。把私有数组预先实例化，然后通过copyOf方法覆盖原数组，是实现自动改变ArrayList的大小(size)的关键。有人说ArrayList是复杂的数组，我
认为不如说ArrayList是关于数组的系统的方法组合。
　　ArrayList的构造方法源码如下：
// 用指定的初始容量构造一个空列表。
public ArrayList(int initialCapacity) {
if (initialCapacity & 0)
throw new IllegalArgumentException("Illegal Capacity: "+initialCapacity);
this.elementData = new Object[initialCapacity];//属性指向新建长度为初始容量的临时数组
// 使用初始容量10构造一个空列表
public ArrayList() {
/ *构造包含利用collection的迭代器按顺序返回的指定collection元素的列表
* @param c 集合，它的元素被用来放入列表t
* @throws NullPointerException 如果指定集合为 null
public ArrayList(Collection&? extends E& c) {
elementData = c.toArray();//用Collection初始化数组elementData
size = elementData.
if (elementData.getClass() != Object[].class)
elementData = Arrays.copyOf(elementData, size, Object[].class);
二、ArrayList实现自动改变size机制
为了实现这一机制，java引进了Capacity和size概念，以区别数组的length。为了保证用户增加新的列表对象，java设置了最小容量（minCapacity）
，通常情况上，它大于列表对象的数目，所以Capactiy虽然就是底层数组的长度（length），但是对于最终用户来讲，它是无意义的。而size存储着列表
对象的数量，才是最终用户所需要的。为了防止用户错误修改，这一属性被设置为privae的，不过可以通过size()获取。
下面，对ArrayList的初始以及其列表对象的增加和删除等三种情况下的size自动改变机制进行分析。
1、初始Capacity和size值。
从上面给出的ArrayList构造方法源码中，我们不难看出Capacity初始值（initialCapacity）可以由用户直接指定或由用户指定的Collection集合存
储的对象数目确定，如果没有指定，系统默认为10。而size的被声明为int型变量，默认为0，当用户指定Collection创建ArrayList时，size值等于
initialCapacity。
2、add()方法
该方法的源码如下：
public boolean add(E e) {
ensureCapacityInternal(size + 1);
elementData[size++] =//添加对象时，自增size
return true;
方法中调用的ensureCapacityInternal主要用来调整容量，修改elementData数组的指向。其中涉及到3个方法的调用，其核心在于grow方法：
private void ensureCapacityInternal(int minCapacity) {
modCount++;//定义于ArrayList的父类AbstractList，用于存储结构修改次数
// overflow-conscious code
if (minCapacity - elementData.length & 0)
grow(minCapacity);
private void grow(int minCapacity) {
// overflow-conscious code
int oldCapacity = elementData.
int newCapacity = oldCapacity + (oldCapacity && 1);//新容量扩大到原容量的1.5倍，右移一位相关于原数值除以2。
if (newCapacity - minCapacity & 0)
newCapacity = minC
if (newCapacity - MAX_ARRAY_SIZE & 0)
newCapacity = hugeCapacity(minCapacity);
// minCapacity is usually close to size, so this is a win:
elementData = Arrays.copyOf(elementData, newCapacity);
private static int hugeCapacity(int minCapacity) {
if (minCapacity & 0) // overflow
throw new OutOfMemoryError();
return (minCapacity & MAX_ARRAY_SIZE) ?
Integer.MAX_VALUE :
MAX_ARRAY_SIZE;//MAX_ARRAY_SIZE和Integer.MAX_VALUE为常量，详细请参阅下面的注解
通过以上代码，我们可知java自动增加ArrayList大小的思路是：向ArrayList添加对象时，原对象数目加1如果大于原底层数组长度，则以适当长度新
建一个原数组的拷贝，并修改原数组，指向这个新建数组。原数组自动抛弃（java垃圾回收机制会自动回收）。size则在向数组添加对象，自增1。
//定义于该类的常量，用来分配数组的size最大值。一些 VMs在数组里保留字头，试图分配更大数组时可能导致OutOfMemoryError:被请求数组的
size超出VM界限。
private static final int MAX_ARRAY_SIZE = Integer.MAX_VALUE - 8;
//在java.lang.Integer类中常量MIN_VALUE、MAX_VALUE如下：
public static final int
MIN_VALUE = 0x;//整型取值区间下界：－
public static final int
MAX_VALUE = 0x7//整型取值区间上界：
　　//在java.util.AbstractList中modCount定义如下：
　　protected transient int modCount = 0;
3、remove()方法
该重构方法其一源码如下（其它的就不累述了）：
public E remove(int index) {
rangeCheck(index);
modCount++;
E oldValue = elementData(index);
int numMoved = size - index - 1;
if (numMoved & 0)
System.arraycopy(elementData, index+1, elementData, index,
numMoved);//将后面的列表对象前移
elementData[--size] = null; // 数组前移一位，size自减，空出来的位置置null，具体的对象的销毁由Junk收集器负责
return oldV
private void rangeCheck(int index) {//边界检查
if (index & 0 || index &= this.size)
throw new IndexOutOfBoundsException(outOfBoundsMsg(index));
E elementData(int index) {//获取指定index所在位置的对象
return (E) elementData[index];
通过remove()源码的学习，我们不难看出，其改变ArrayList大小的核心与add()方法相似，都是同数组拷贝。
另外，如果确有必要，用户也可以指定ArrayList实例的容量，可以有效的降低时间成本。它是通过调用ensureCapacityInternal来实现的，源代码
public void ensureCapacity(int minCapacity) {
if (minCapacity & 0)
ensureCapacityInternal(minCapacity);
因为size为private的，java给出方法来访问它：
public int size() {
checkForComodification();
return this.
综上所述，在用户向ArrayList追加对象时，Java总是要先计算容量（Capacity）是否适当，若容量不足则把原数组拷贝到以指定容量为长度创建的
新数组内，并对原数组变量重新赋值，指向新数组。在这同时，size进行自增1。在删除对象时，先使用拷贝方法把指定index后面的对象前移1位（如果
有的话），然后把空出来的位置置null，交给Junk收集器销毁，size自减1，即完成了。
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本帖子已过去太久远了，不再提供回复功能。集合势是用来比较无限集大小的概念:若两个集合A、B间能建立一个一一到上映射
群表示论，简单来说就是如何把抽象的群（或者说群作用），用另一种更具体的数学对象给“表示”出来。
这部分略过，熟悉基本的集合语言。用集合的定义证明一些集合等式、包含关系等
对于无限集，最基础的区别是可数集与不可数集。
势是用来比较无限集大小的概念。若两个集合A、B间能建立一个一一到上映射：，则称这两个集合等势。
与自然数集的集合称为可数集，偶数集、有理数集都是可数集。本质上只要给出这个集合中元素数数的规则就可以了，即能够按照这个规则不漏的数出集合中所有元素（不一定不重）。
实数集与自然数集不等势。可以用对角线方法证明，实数集是不可数集：
假设实数集可数，把[0,1]间的所有实数用十进制小数表出，若为有限小数则在后面添零，然后按次序排成下表
&取这样一个实数，他的第一位不等于，第二位不等于，……那么在这张表中，这个实数不能排在任何一个位置
因此实数集与自然数集不等势。
可以证明与等势，只需将实数对表成十进制小数，然后将其映为即可。类似的，可以得到与实数集等势。
引入拓扑空间后，可以把连续函数的概念推广。定义在欧式空间上的连续函数将开集映到开集，因此可以先将开集的概念推广，再在此基础上推广连续函数的概念。
拓扑空间可以看做是给出了一个开集的定义
定义：X是一个非空间，X上的一个拓扑是X的一个子集族，满足三个条件：
1.X和在中。
2.子集族中任意个集合的并集仍在子集族中：在中。
3.子集族中有限多个集合的交集仍在子集族中：在中。
拓扑中的集合称为开集。有了开集的概念，就可以推广连续函数的概念。不再详述
一类重要的拓扑空间是度量空间。同样，度量也是对一般欧式空间中度量的推广，一个度量满足：
1.正定性：
2.对称性：
3.三角不等式:
有了度量，可以定义抽象的球形领域，不再详述。由所有球形领域组成的子集族是一个拓扑，成为度量拓扑。
具有自相似结构的图形是分形的一种。自相似分形的维数这样定义，假设分形具有均匀分布的质量，将分形的线度放大为倍，若质量变为原来的倍，则分型的维数
ref:Algebra, Artin,
Chapter 10
群G的群表示是一个抽象群与矩阵群之间的同态关系：。在这里，占中心地位的一个量是一个群元对应矩阵元的迹，称为群元的特征标。因为这个量在同一共轭类中都相等，并且在线性空间基变换时也保持不变。
另一个更方便的观点是把群元视为作用在抽象线性空间上的线性算子，一个群表示的维数就是这个线性空间的维数。
当把群元视作线性空间上的线性算子时，很自然的考虑线性空间中是否存在群作用下不变的子空间，即。如果存在这样的子空间，则称该表示为可约表示。若不存在这样的子空间，则称该表示为不可约表示。下面要证明的群的unitary
representation将指出如果一个表示是可约的，那么这个群在线性空间上的作用可以被分解成在若干子空间上的作用。
representation
Unitary representation是指群元代表的线性算子均为Unitary
operator,即保持内积不变的算子：。下面证明，从普通的内积出发，利用平均化方法（离散群中常用的方法）可以得到一个新的“内积”，在该内积下，成立。
证明：&令显然，这满足并且是对称的、正定的
而这个形式form对应的矩阵为为了把这个形式变换为内积的形式，只需要变换基即可；由线性代数理论可知，存在矩阵P，使得。
在这组基下，
即在这组基下，群表示是Unitary的。
在上述意义下定义的内积空间里，群元作为线性算子都是U的，因而若存在不变子空间，则不变子空间的正交补也是不变子空间。从而可以把群作用分解为若干子空间上的作用。即可约表示均可表示为不可约表示的直和。
特征标是群表示论的核心，它是区分可约表示与不可约表示的重要判据，也是对可约表示进行分解的重要工具。特征标有如下基本性质：
1.，d为表示的维数。
2.同一共轭类的群元，特征标相同。
3.k阶群元的特征标必为的单位根。
4.两个群表示的直和的特征标为特征标的和：
5.同构的表示有相同的特征标
定义一个特征标之间的内积运算：&
引入这个内积运算后，可以给出群表示论的中心定理：
对于有限群G来说
1.正交关系：不可约表示的特征标满足正交归一关系，即对两个不可约表示来说，。（这里将彼此同构的表示视作同一个表示）
2.不相同的不可约表示的个数与共轭类的个数相等.
3.设为全部的不可约表示，则的维数满足：
有了中心定理，就可以做特征标的分解：。
中心定理的证明中，1、2需要用到shur's lemma和类函数空间的正交基，3只需要借助regular
representation即可。
下面就先看regular representation 和与之相关的 permutation
representation，其中重排表示是计算特征标表时重要的工具，可以大大简化运算。
representation
把群作用在一个集合上，则每个群元相当于一个重排：。若将视作抽象线性空间的一组基，则在这个线性空间上可以得到一个群表示，并且元素g的特征标等于在g作用下保持不变的基矢量的个数。这个表示称为一个重排表示permutation
representation
重排表示都是可约表示，因为显然存在矢量在每个群元作用下都不变，因此这个线性空间中存在一个一维G-不变子空间。这也就意味着这个表示的特征标总可以分解为。
例如对于，其共轭类为{e}{(1,2),3,4}{(1,2)(3,4)}{(1,2,3),4}{(1,2,3,4)}（对置换群，分类的方法是看一个重排中包含多少个k-循环），将其作用到上，立即可得，由此可得，其中后一项满足内积为1的判据因而为不可约表示，于是立即可得一个不可约表示的特征标为(3,1,-1,0,-1)。
representation，则是把群作用到自身，把每个群元看做抽象线性空间的基，这样这个表示的特征标为。将这个表示分解为不可约表示的直和，就可得到：
轻松得到了中心定理3的证明。
用线性映射很容易做。。。但是比较烦，我不想写了=.=
ref:The Geometry of
physics, T.Frankel, Chapter 15
李群是连续群，用一组参数来表征群元。经典群一般指矩阵群，如等。对于矩阵群，可以将其视作上的微分流形G。通过定义一个映射到自身的函数，，可以得到流形上任一点切空间与单位元处切空间的切向量的关系：设一条路径满足，则通过映射，得到一条新的路径满足，即。因此，若已知单位元处切空间的基，则可以得到任一点切空间的基。
单参数子群
通过建立一个实数加法群与之间的同态，并要求这个同态是可微的:,可以得到一个单参数子群。则由定义，令t=0，可得：，方程具有形式解：，其中。在该级数收敛时，这确实是方程的解。
由于单参数子群的群元可以由单位元切空间中的切向量通过指数映射生成：，因而称单位元上的切向量为无穷小生成元。对于紧群而言（矩阵元有界），任意一个群元都可以通过单位元切向量的指数映射生成。由此可知，紧群的独立参数的个数与切空间的维数相同。
简单介绍一下exponential map的基本性质：
1.&证明从略=.=
根据以上几条性质，可以比较方便的得到一些常见矩阵群的无穷小生成元。
1.中的群元满足，因而对任意路径，都有，因此其无穷小生成元为反对称矩阵；并且由于行列式为1，最小生成元的迹为0；综上，最小生成元为反对称矩阵，取反对称矩阵的一组基即可。
2.中的群元满足，因而对任意路径都有，因此其无穷小生成元满足，且应满足迹为零的要求；取满足这个要求的矩阵的一组基即可。
3.群，群元满足，因而对任意路径都有，利用级数展开易验证；因此只需取满足这个要求的矩阵的一组基即可。
单位元切空间在李群中具有重要地位。它又被称为群G的李代数，因其满足李代数的公理。=.=这里需要用到流形上的李导数，老子不懂=.=
，其中称为结构常数。李括号满足Jacobi恒等式。
无穷小算符&这部分内容没找到好的references。
将李群作用到某函数的定义域上，并在李群的单位元附近对函数做泰勒展开，可得无穷小生成元对应的无穷小算符（作用在函数空间上）：&
其中为李群的参数，。称&为参数对应的无穷小算符。可以证明无穷小算符与无穷小生成元有相同的对易关系。
的无穷小生成元可以写成：，因此。
ref:The Geometry of
Physics, T.Frankel, Chapter 1
通俗地讲，流形是一个局部与欧式空间相同的拓扑空间。在流形的一部分，可以建立一个与欧式空间的一一映射，这个一一映射给出了流形上的点的局部坐标；在两个不同部分的交叠区，局部坐标间满足一定的函数关系，这个函数的微分性质就给出了流形的光滑程度。下面是流形的严格定义：
设M是一个Hausdorff空间，给定一个开集族：，且每个开集上都有一个到的一一映射，满足：
2.是一个同胚映射
3.在，映射是类映射。
则称M为类n维流形。
对欧式空间中嵌入的子流形，要保证上述要求得到满足，事实上最重要的是保证第二条得到满足。即要在局部建立流形上的点与欧式空间的同胚映射。假设这个流形以确定，则由隐函数存在定理，若Jacobi阵在某点的秩为r，则在这点附近可以建立一个到的同胚映射。以中的曲面为例，若曲面上存在“奇点”——比如尖点，那么在这点附近不可能建立一个到的同胚映射。大概意思就是这样，更严格的讨论我也不知道=.=
切空间与抗变向量（contravariant
对抗变向量的经典定义是在坐标变换时分量的变换公式满足抗变形式的一组量。即：满足：，其中为两套不同的坐标。
对于流形上一点的切向量，一般采用算符定义。以欧式空间为例，对于一个定义其上的可微函数，它在点沿某个切向量的方向导数为，好像是将一个算符:作用在上一样。对于一般的抽象流形，切向量不再能像欧式空间一样直观的表示出来，但是仍然可以采用这样的算符定义：
流形M上一点处的切向量定义为：。
由这个定义可以看到，切向量可以看做是的线性组合，即构成了切空间的一组基，称为坐标基或坐标框架。很容易证明，当基变换时，切向量的分量满足抗变向量的变换公式。
对偶空间与余切向量
ref:The Geometry of Physics, T.Frankel, Chapter 2
线性空间的对偶空间是定义在线性空间上的所有线性函数构成的一个函数空间。具体而言，就是：满足，容易证明，这样的函数空间满足线性空间的公理。
对流形上某点的切空间来说，其对偶空间被称为余切空间。定义余切向量。显然，是切向量的线性函数。简单验证可知:\\
这意味着可以用作为余切空间的一组基来展开余切向量，与之对应的分量在坐标变换时满足所谓的胁变：，因而又被称为胁变矢量(covariant
矢量的标量积与度规张量&对切空间E上的矢量，可以引入标量积：，满足：
1.双线性：
2.交换对称:
3.非迷向( 即与所有向量正交的向量只有0向量):
与通常意义上的内积类似。但是内积要求正定，这里不做要求。对于流形上切空间的标量积，将量:称为流形的度规张量。张量的严格定义见下一节。度规张量可以是任何满足上述标量积条件的标量积定义出来的，对于中的流形，也常采用一般欧式度规诱导出来的度规。
例如对球极坐标，根据定义：
根据定义，当固定标量积其中一个矢量时，即，对于矢量来说这是一个线性函数。也就是说是余切空间中的一个余切向量，用来展开，则其第i个分量为:。于是我们得到了一个切向量的“余切向量版本”——分量在坐标变换时按照胁变矢量变换。度规张量起到了所谓“指标升降”的作用。
在流形中，余切向量由于满足胁变变换，使用起来更为方便。因此更常使用余切向量，而要得到其切向量形式，只需乘以度规的逆即可：&例如，在欧式空间中，函数的梯度方向是其下降最快的方向，并且满足：，而的分量仅为，很容易写出。由此可得的切向量形式：。
ref:The Geometry of Physics,T.Frankel,Chapter 2
这里采用多线性函数来定义张量。
胁变张量(covariant tensor)：定义在的多线性函数，称为n阶胁变张量。,其中。容易验证分量确实是按照胁变变换的。
抗变张量(contravariant tensor):定义在上的多线性函数，称为n阶抗变张量。,其中。容易验证分量确实是按照抗变变换的。
混合张量(mixed tensor):定义在上的多线性函数，称为r-s阶混合张量。完全仿照上述定义，不再赘述。
ref:The Geometry of
Physics, T.Frankel, Chapter 2
wiki好多公式打不出来，我决定用传照片了=.=&外代数与外微分
联络与曲率
ref:The Geometry of Physics,T.Frankel,Chapter 8&9
首先从欧式空间中的二维曲面来看联络系数的几何意义。
再将这推广到抽象流形上：
对于流形，如前所述，使用协变张量和形式来描述数学更简洁，因此下面引入嘉当的协变微分：&
作为例子，可以方便的推导联络系数的变换公式：
没找到好的references，也没时间看。。。
直接上结论：是流形p阶同调群，p阶Betti数。流形Euler示性数是拓扑不变量，其定义为：。
常用结论：。&同伦
Euler示性数只是流形拓扑性质的一个粗略度量，同伦则给出了对流形拓扑性质更精细的度量。
这里只考虑流形上路径的同伦。
流形上的路径是一个映射，连接流形上两点:。若路径的起点和终点重合，则称为一个圈。两个圈可以定义乘法运算，得到一个合成的圈：。
对于所有共有起点的圈，若一个圈通过连续变形，可以变为另一个圈，则称这两个圈属于同一个同伦类。将每个同伦类视为一个代表元，恒等映射对应的路径（即公共点本身）所在的同伦类为单位元，两个同伦类之间的乘法定义为任意从两者中选出的代表元乘积所在的同伦类，则这些代表元构成一个群，称为流形的第一同伦群。可以证明第一同伦群与基点的选取无关。
简单地说，第一同伦群反应了流形上是否有“洞”，即是否单连通。
类似的，则反应了流形是否连通。
phylab./doku.php?id=home:students...
即在这组基下，群表示是Unitary的。
在上述意义下定义的内积空间里，群元作为线性算子都是U的，因而若存在不变子空间，则不变子空间的正交补也是不变子空间。
/question/
Mar 22, 2015
-&没有听过可约群这个概念，最接近的可能是可约群表示（相应地，不可 ...
下不变的真子表示，对应到线性变换上，就是这个线性变换有个不变子空间。
作者：子元
链接：/question//answer/
来源：知乎
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群表示论，简单来说就是如何把抽象的群（或者说群作用），用另一种更具体的数学对象给“表示”出来。最简单的有：
置换表示。想象一个群和其中一个元素，你把跟中的每个元素相乘，就得到了元素的一个置换对不对？（因为群乘法是可逆的，所以相乘后元素不会重复）。这就是群置换表示的思想，这里不多讲。
矩阵表示。考虑数域上的一个有限维线性空间，我们怎么表示其上的线性变换？用矩阵对不对？这个想法推广一下，把线性变换抽象成群作用，就是群的矩阵表示。严格来说，如果任何非零方阵的集合的乘法关系和给定群的乘法关系相同（就是同态），则这个矩阵集合称为该群的一个表示。
回到题主的问题，可约群表示是指这个表示存在群作用下不变的真子表示，对应到线性变换上，就是这个线性变换有个不变子空间。用矩阵语言来说，就是经过相似变换后，这个矩阵的右上角能出现一个零块。没法通过相似变换来获得零块的，就是不可约群表示了。
更新：评论里有多人提到两个相关的概念，一个叫，一个叫，中文一般叫约化群和可除群，有兴趣的可以了解一下。答主是机器学习码农，正儿八经学数学也就是硕士那两年，代数方面的东西不太熟，因此难免有错误遗漏，欢迎大家指正
http://axon.cs.byu.edu/Dan/678/miscellaneous/SVM.example.pdf
SVM Example Dan Ventura March 12, 2009 Abstract We try to give a
helpful simple example that demonstrates a linear SVM and then
extend the example to a simple non-linear case to illustrate the
use of mapping functions and kernels. 1 Introduction Many learning
models make use of the idea that any learning problem can be made
easy with the right set of features. The trick, of course, is
discovering that “right set of features”, which in general is a
very difficult thing to do. SVMs are another attempt at a model
that does this. The idea behind SVMs is to make use of a
(nonlinear) mapping function Φ that transforms data in input space
to data in feature space in such a way as to render a problem
linearly separable. The SVM then automatically discovers the
optimal separating hyperplane (which, when mapped back into input
space via Φ&1 , can be a complex decision surface). SVMs are rather
interesting in that they enjoy both a sound theoretical basis as
well as state-of-the-art success in real-world applications. To
illustrate the basic ideas, we will begin with a linear SVM (that
is, a model that assumes the data is linearly separable). We will
then expand the example to the nonlinear case to demonstrate the
role of the mapping function Φ, and finally we will explain the
idea of a kernel and how it allows SVMs to make use of
high-dimensional feature spaces while remaining tractable. 2 Linear
Example & when Φ is trivial Suppose we are given the following
positively labeled data points in &
2 : 3 1 , 3 &1 , 6 1 , 6 &1
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