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2016年 考研数学 线性代数 线性方程组 两个线性方程组的关系
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扫一扫发现精彩MIT线性代数 #1：方程组的几何解释引言作为高等数学的入门课程和工具学科之一，线性代数在很多领域都有广泛的用途。本课程讲述了矩阵理论及线性代数的基本知识，侧重于那些与其他学科相关的内容，包括方程组、向量空间、行列式、特征值、相似矩阵及正定矩阵。1.1 求解线性方程组线性代数的核心问题之一是解决线性方程组。线性方程组是线性的(linear)，这意味着方程组中的未知数只与数字相乘，我们将看不到类似于或者之类的形式存在，例如：在线性代数中：行图像(Row Picture)指的是将线性方程组中各方程在空间坐标系中描绘出图像然后观察公共部分(交点)的图形描述。列图像指的是把线性方程组不同未知数的系数向量描绘在空间坐标系中观察其线性组合的描述方式。行图像和列图像对方程组及对其求解的表示方式，实质上对应了看待线性方程组相应矩阵的行和列的不同视角，这两个概念在国内高校线性教材较少提及。1.2 行图像 Row Picture对于方程组，我们在坐标系对其进行图像描述：图1-1和的直线图像相交于，即是方程组的解。我们再来看另一个方程组：同样是在坐标系绘制出相关图像，然后逐行分析：图1-2第一个方程式在直角坐标系的图像是一条穿过的直线，因为是满足方程式的解。同样，点和也落在这条直线上。我们也可以计算出方程式的斜率（slope）为。在行图像的第二行方程式中，点同样落在了的图像上。点同时满足两个方程式，因此是方程组的解。1.3 列图像 column picture现在我们来研究列图像（column picture），首先将方程组改写成列向量的形式：在列图像中，我们通过列向量的变换重写原来的方程组，对于给定的向量和以及标量和，它们之间的组合被称为和的一个线性组合。线性组合（Linear combination）是线性代数中具有如下形式的表达式。其中为任意类型的项，为标量。这些标量称为线性组合的系数或权： 一般来说，我们是需要找到满足如下要求的标量和，使得两者分别与向量和相乘之和等于向量。正如我们在图1-3中所见，蓝色向量为，红色向量为，绿色向量为。蓝色向量乘以标量1和红色向量乘以标量2（红色虚线）做向量加法（首尾相加），就可以得到绿色向量，由此可得方程组的解为,。图1-3想象一下，如果任意取和,则得到的线性组合又是什么？其结果就是以上列向量的所有线性组合都将会布满整个坐标平面：图1-4考虑到扩展至三维空间，我们需要找到包含三个三维向量等于向量这样的线性组合才能满足列图像的要求。在行图像中，一个含有3个未知数的方程组在三维空间中确定一个平面，两个方程组确定一条直线，三个方程组确定一个点，这个点就是方程组的解，当然前提是这三个方程组所确定的平面两两不平行。在列图像中，可类似二维中作出三个列向量的几何图像并求得线性组合。扩展至维，可以此类推。1.4 矩阵图像 Matrix Picture对于方程组：使用矩阵和向量形式改写：其中被称为系数矩阵(coefficient matrix)，被称为未知数向量，等号右侧的记为，因此线性方程组可以简记为。如果扩展至三维空间中，除了向量和矩阵大小的增加，三维的矩阵图像和二维非常相似。1.5 矩阵相乘 Matrix Multiplication我们如何计算出矩阵和向量相乘的结果呢？比如说：一个方法就是将把向量和各系数相乘后相加起来，在列图像中，是矩阵是列向量的线性组合：你还可以通过点积法(dot product)计算出结果，通过将矩阵的行向量和向量进行点积相乘来计算：矩阵乘以右侧列向量可看成矩阵各列向量的线性组合，结果为列向量左侧行向量乘以矩阵可看成矩阵各行向量的线性组合，结果为行向量1.6 线性无关 Linear Independence对于上面三维空间的例子，如果保证左侧矩阵不变，然后考虑所有右侧向量，是否对于任意b都有对应解？换种说法来说，就是从列图像是看，列向量的线性组合是否能覆盖整个三维空间？如果答案是否定的话，我们称这个矩阵为奇异矩阵。若方块矩阵,满足条件 ，则称为非奇异方阵，否则称为奇异方阵。如果是奇异矩阵，即不可逆矩阵，在行图像中看即至少有两个方程组所表示的平面是平行的，在列图像中看即至少有两个列向量是指向同一方向的（即不相互独立，相当于同一个向量）。此时，只有b处在这个向量和另一个非共线向量所表示的平面内时，方程组才有解。图1-5从行图像的角度看，当三元方程组有解意味着方程代表的三个平面相交于一点时方程为唯一解；三个平面中至少两个平行则方程无解；平面的两两交线互相平行方程也无解；三个平面交于一条直线则方程有无穷多解。 1.7 参考资料 Wikipedia# EOF.2911 条评论分享收藏文章被以下专栏收录创造美丽的世界，探寻新的心灵。豆丁微信公众号
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此题是非齐次线性方程组的解的判定问题当系数矩阵的秩≠增广矩阵的秩时，非齐次线性方程组无解。增广矩阵是
(λ-1)(λ-2)
(λ-3)(λ-4) ]当λ=1或者λ=2时，系数矩阵A的秩r（A）=2，不等于增广矩阵的秩 r（A'）=3，方程无解。newmanhero
日09:52:27希望我的解答对你有所帮助。
能不能麻烦你把过程写一下拍给我 就是不是答案带进去 是求出入
上面就是过程啊。我已经求出λ=1或λ=2了。因为系数矩阵此时秩r（A）=2而增广矩阵r（A'）=3，即r（A）+1=r（A'），非齐次方程组无解。
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