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高等数学 多元函数微分法及其应用
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高等数学 多元函数微分法及其应用
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版 次：1页 数：497字 数：427000印刷时间：日开 本：纸 张：胶版纸包 装：平装是否套装：否国际标准书号ISBN：3丛书名：上海普通高校”九五“重点教材所属分类：&&&&&&
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高等数学期末复习
本文是数院学长根据学习经验参考各类资料归纳总结写作，仅供参考使用。考试复习还应以教材和老师上课内容为准。
由于微信平台不支持插入数学公式，因此大部分解答和公式用LaTeX编辑之后以图片形式插入，或者参考自教材。
一、多元函数微分学
1、常见考点
2、多元函数极限
3、偏微分、全微分、可微性
4、极值问题
5、几何问题
6、备考大纲
7、真题练习
二、多元函数积分学
1、常见考点
3、曲线积分、曲面积分
4、重积分证明题
5、一元积分常备方法技巧
6、备考大纲
7、真题练习
多元函数微分学
1、往往期末试卷的开头小题是多元函数求偏导、求极限、求全微分。
2、考察求函数极值，常考察求条件极值。时常联系到一些几何背景。
3、求切线、切平面，求方向导数、求梯度等题型也常有出现。
多元函数极限
方法与技巧
1、利用多元连续函数的性质。先观察一下，取极限时函数的自变量会趋近于哪样的数，是否会使得函数值趋于0。
2、常常把函数自变量某一部分看成整体，变多元为单元的极限。
3、利用无穷小量的等价代换。常用的有如下一些等价无穷小量。
4、如果直接按照定义进行证明，有些会利用均值不等式进行放缩。（如书本例7.1.2）
偏导数、全微分、可微性
方法与技巧
1、熟练掌握求导的公式，以及链式求导法则。链式求导法则书本中的介绍是这样的：
那么我们考试和题目中比较常见的是二元、三元的情形，这里列举出来。
对于全微分，按照定义，根据定理来求解。往往关键在于求偏导数，这时候就需要利用题目条件。
3、对积分的求导，要注意对积分的求导公式。
4、对于可微性的证明。先证明连续性，然后求偏导数是否存在。如果偏导数存在，再按照定义判断f(x+△x)-f(x)-k(△x)是否是o(||△x||)
求偏导都是送分题，大家务必做扎实基本功：
求全微分题目往往关键也在于求偏导：
解由前面的条件，可以确定y与z都是关于x的函数。那么，通过g两边求导，对可以求出z对x的偏导数，从而带入得到u对x的导数。从略。
关于可微性的讨论，考验对定义的理解程度。大家要熟悉书本定义定理的来龙去脉。
下面两个都是基础的问题（来自高数C试卷）
这个还是有些难度的，来自高数A的试卷。参见课本第18面，定理7.2.3的证明。
方法与技巧
常考察的就是两类：无条件的极值问题以及条件极值问题。
1、无条件的极值问题，一般方法就是求驻点，即一节偏导数均为零的点。然后再根据Hesse矩阵的性质来分析。
常常考察的是二元函数，需要看两阶的Hesse矩阵。那么如果最左上角的元素为正，行列式为正那么就是正定型，为极小值。如果左上角元素为负，行列式为正，就是负定型为极大值。其他是不定型，非极值点。
2、条件极值问题。不妨先观察一下，是不是有几何背景。例如目标函数其实是距离，给出的约束条件其实是个球面，那么显然球面上离球外一定点，距离最近或者最远的点在该定点与球心连线所在的直径的两端。或者如果约束条件其实是个平面，那么求最小值自然要找垂线了。
一般的情况，就需要做Lagrange函数。
3、如果碰到题目要求的是最值，那么对于有固定边界的情形，要讨论边界上的取值与驻点取值相比较。如果没有边界，则要讨论函数值的单调性，或者函数值发展的趋势。
这部分内容高数C的同学应该是不用要求的。
方法与技巧
求切线、求切平面这样的问题。要先观察清楚给出的曲线、曲面方程是哪种类型：是参数方程还是F(x,y,z)=0的类型。
对于F(x,y,z)=0给出的曲面，求法向量在于求F的梯度。
对F(x,y,z)=0与G(x,y,z)=0确定的曲线。切向量和法平面在于求
对于参数方程，需要对参数求导。
都是考察对基础的掌握程度。从略。看看下面两个例题，依葫芦画瓢。
我们列出高数各类别的教学大纲，大家可以参考来进行复习梳理。
大家对照上面的大纲，选取自己课程相关的内容适当练习。
多元函数积分学
1、二重积分和三重积分的计算（高数C只需掌握二重积分的计算）。
常常会有几何背景，以求面积、求体积的方式呈现。
2、曲线积分与曲面积分（高数B、高数C不作要求）
3、与重积分有关的证明题，以及与微分方程等其他知识相结合的综合问题。
方法与技巧
1、首先我们需要观察一下积分的区域。对于圆环、球等这样的具有对称性的积分区域，应当尤其注意是否变成极坐标会更方便？是否可以考虑利用对称性进行化简？
我们应当观察被积函数。被积函数往往是如果是奇函数或者关于区域中心有对称性，或者有某些项是这样，常常会在对称的积分区域中积分值为0。而被积函数如果出现与距离有关，也许我们可以考虑使用极坐标。
对于变量代换和极坐标，大家要很熟悉。
这是二元的变量代换和极坐标：
这是三元的变量代换和极坐标：
2、积分顺序的选择有时候是很重要的。对被积函数进行观察：如果被积函数对某个自变量不太好直接做积分可以考虑先对另一个变量积分。如果积分的边界比较特殊，可能在边界上会比较方便用其中一个自变量表示另一个。这时候可考虑先对容易被表示出的变量做积分。
3、对于积分区域的表达式我们要适当观察。结合区域的特点进行适当的变量代换。将积分区域变为比较适合“描述”的积分区域，例如变为圆、球就比较适合使用极坐标。变为方形就比较适合在直角坐标系里描述积分上下限。
例如下面这个题就是利用边界的特点适当做变量代换。
下面这道三重积分的题，关键就是利用对称性来化简。最后变成只需要求球面体积了。
曲线积分、曲面积分
这部分内容高数B和高数C的同学不作要求。
方法与技巧
1、与重积分一样，对称性十分重要。常见的就是圆上或者球面，关于中心的对称需要时常注意。有些项可以直接消掉变为0，而有时候又可以凑一些项进去，利用边界条件来化简求解。例如下面这个题。一次项积分可以变为0，而本来是关于3y^2的积分，但由于对称性可以等于（x^2+y^2+z^2）的积分，再利用边界的表达式就等于a^2，从而求解。
2、利用Green公式、Gauss公式。特别要注意的是，有时候给出的积分区域不是封闭的，那么我们可以凑上边界，使其变为封闭区域，再利用Green公式或者高斯公式。再减去凑上的边界可能比较简单的积分值。常常出现的是凑上一条直线或者一个平面的情况，例如下面这两道题。
Green公式和Gauss公式一定要熟记。
但要小心一些有“坑”的情况。注意积分的区域内部不能出现奇点（不能定义积分值的点）。否则要另外挖掉奇点。例如下面这个题。
积分区域加一个底面：z=0平面，使得变为封闭区域。然后再利用Gauss公式。最后记得减掉这个平面上的积分值。从略。
重积分证明题
方法与技巧
对于不等式的证明题，常用的方法，就是在积分区域内，找到被积函数的下界或者上界，最好是个常数或者比较容易积分的函数。
我们常见的找上下界的方法就是均值不等式了。那么关键就在于能够化成可以运用均值不等式的形式。有时候我们常常需要对被积函数做一定的代换，或者对积分区域、积分顺序做一些处理。
考题解析里的前两个题目，会比较能够说明这点。
一元积分常备方法技巧
在上学期编写的《高等数学期末复习指南》中曾经为大家总结了很多的积分的方法和技巧。这学期答疑的过程中发现很多同学忘记了，所以在这里作为附录补上。详细的内容参见《高等数学期末复习指南》
基本积分表
下面的这些略作了解即可。
三角换元、三角函数积分
因为我们经常接触到极坐标，经常用到三角换元，经常接触到三角函数的积分。因此要重视一下三角函数的积分方法。
对上图再仔细说明一下：对有理函数R(cosx,sinx)
若把cosx换成 -cosx 函数值变相反数，则令t=
若把sinx换成 -sinx 函数值变相反数，则令t=
若把cosx换成 -cosx , sinx换成 –sinx 函数值不变，则令t=
如果都不符合，其实这类问题有万能公式，就是令t= tan(x/2)
对于由不同类型初等函数相乘得到的函数，做积分往往需要利用分部积分
掌握一个口诀：反对幂指三
反：反三角函数 对：对数函数 幂：幂函数 指：指数函数 三：三角函数
分部积分时，按照“反对幂指三”的顺序，在后面的先作为因子被“d”吸收进去
看三个例子
我们列出高数各类别的教学大纲，大家可以参考来进行复习梳理。
下面这几个三重积分的题，都可以换成极坐标来求解。解答从略。
常备公式、方法
1、三角函数和差化积公式，倍角公式，万能代换。
2、均值不等式
3、平方差，立方和、立方差公式，以及x^m-1的展开：
x^m-1=(x-1)(x^m-1+x^m-2+……+x+1)
4、1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
5、x在[0,π/2],sinx&x&tanx, (2/ π)x&sinx
6、常见初等函数的Taylor展开。
7、不等式证明方法：
注意先对不等式进行化简
可以设辅助函数，证明函数单调性、证明最大值小于0（最小值大于0），有时一次求导不够可能需要两次求导。
可以利用微分中值定理
可以利用函数凸性
可以利用均值不等式
制定合理的复习提纲，针对复习重点，逐一进行巩固复习，有针对性地针对考点进行适当练习，不要盲目刷题。
课本的例题要重点复习，掌握好方法
考前最好能够有一次模拟考试。因为平时练习一般不太注意掌控时间，但是在考场上时间很紧，没有哪道题可以花费半个小时以上的时间。因此模拟一次有助于让你体验在时间紧迫地情况下做题的感觉。
压轴题如果是证明题那么一般比较难，先保证前面的题目都做好了再做压轴题。但也有可能最后一道题是计算题，也是基础题的情况。
养成好的打草稿的习惯，一行一个式子，工整书写。
考前早点休息，不要熬夜，有好的状态才能高效复习。考场上状态会很能决定发挥的。
感谢张页同学的指点！感谢宋喆同学的帮助！
感谢数院学工组的老师们，感谢学校老师和同学们本学期对数院大神答疑活动的支持。
祝大家考试顺利，高数考前，数院大神答疑小组依然照常进行答疑活动，有问题欢迎大家来问。
不久后下一篇将推出高数期末复习之“级数、微分方程、概统”。敬请期待！
如果发现本文有任何错误，或者对复习指南的写作有任何建议，欢迎联系：@fudan.edu.cn
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2017考研高数必考知识点(5)：多元函数微分法及其应用
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　　1、多元函数极限存在的条件极限存在是指P(x，y)以任何方式趋于P0(x0，y0)时，函数都无限接近于A，如果P(x，y)以某一特殊方式，例如沿着一条定直线或定曲线趋于P0(x0，y0)时，即使函数无限接近某一确定值，我们还不能由此断定函数极限存在。反过来，如果当P(x，y)以不同方式趋于P0(x0，y0)时，函数趋于不同的值，那么就可以断定这函数的极限不存在。例如函数：f(x，y)={0(xy)/(x^2+y^2)x^2+y^2≠0
　　2、多元函数的连续性定义设函数f(x，y)在开区域(或闭区域)D内有定义，P0(x0，y0)是D的内点或边界点且P0∈D，如果lim(x→x0，y→y0)f(x，y)=f(x0，y0)则称f(x，y)在点P0(x0，y0)连续。
　　性质(最大值和最小值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上一定有最大值和最小值。
　　性质(介值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两个值之间的任何值至少一次。
　　3、多元函数的连续与可导如果一元函数在某点具有导数，则它在该点必定连续，但对于多元函数来说，即使各偏导数在某点都存在，也不能保证函数在该点连续。这是因为各偏导数存在只能保证点P沿着平行于坐标轴的方向趋于P0时，函数值f(P)趋于f(P0)，但不能保证点P按任何方式趋于P0时，函数值f(P)都趋于f(P0)。
　　4、多元函数可微的必要条件一元函数在某点的导数存在是微分存在的充分必要条件，但多元函数各偏导数存在只是全微分存在的必要条件而不是充分条件，即可微=&可偏导。
　　5、多元函数可微的充分条件定理(充分条件)如果函数z=f(x，y)的偏导数存在且在点(x，y)连续，则函数在该点可微分。
　　6.多元函数极值存在的必要、充分条件定理(必要条件)设函数z=f(x，y)在点(x0，y0)具有偏导数，且在点(x0，y0)处有极值，则它在该点的偏导数必为零。
　　定理(充分条件)设函数z=f(x，y)在点(x0，y0)的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又fx(x0，y0)=0，fy(x0，y0)=0，令fxx(x0，y0)=0=A，fxy(x0，y0)=B，fyy(x0，y0)=C，则f(x，y)在点(x0，y0)处是否取得极值的条件如下：(1)AC-B2&0时具有极值，且当A0时有极小值;(2)AC-B2
　　7、多元函数极值存在的解法(1)解方程组fx(x，y)=0，fy(x，y)=0求的一切实数解，即可求得一切驻点。
　　(2)对于每一个驻点(x0，y0)，求出二阶偏导数的值A、B、C.(3)定出AC-B2的符号，按充分条件进行判定f(x0，y0)是否是极大值、极小值。
　　注意：在考虑函数的极值问题时，除了考虑函数的驻点外，如果有偏导数不存在的点，那么对这些点也应当考虑在内。
来源:233网校-责编:zsy
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考研高数, 真的有这么恐怖吗?
考研高数, 真的有这么恐怖吗?
高数之难，好像已经成为了一个难解之谜。甚至于有些人为了躲避高数，而放弃了自己所喜欢的专业。高数，真的有这么恐怖吗？所谓会者不难，难者不会，当你能够将高数的知识体系了然于胸的时候，高数又有何惧呢？考研数学考三个科目，分别为高等数学、线性代数、概率论与数理统计。但是备考数学的考生们总喜欢从高数开始复习，这是为什么呢？原因有二：其一，高等数学在试卷中所占分值最高，达整张卷面分值的百分之五十六，而且难度也居三科之首。其二，科目之间的先后联系导致先复习高数。线性代数和概率论与数理统计，尤其是概率论与数理统计是以高数为基础的学科，不学高数难以很明白的学习后继学科，大学数学在课程设置上也是按次顺序进行，可见其科学性。为了更好的了解考研高等数学这一科目，在复习它之前我们应该了解一下它的知识体系是很有必要的。这样我们可以有一个全局观，能清晰的知道每一章节之间的联系和侧重点，而不是只见树木不见森林。高数到底是什么？高等数学从大的方面分为一元函数微积分和多元函数微积分。一元微积分中包括极限、导数、不定积分、定积分;多元函数微积分包括多元函数微分学(主要是二元函数)和多元函数积分学。另外还有微分方程和级数，这两章内容可看成是微积分的应用。除此之外还有向量代数与空间解析几何。其中数一单独考查的内容为向量代数与空间解析几何和多元函数积分学中的三重积分、曲线积分、曲面积分，另外是数一数二数三公共部分，公共部分中也有一些细微差别，下面我们分章去介绍。一元微积分1、极限极限是高等数学中非常重要的一章，此概念贯穿整个高等数学始末，导数、定积分、偏导数、多元函数积分、级数等概念都是用极限来定义的。正是有了极限的概念数学才从有限升华到无限，这也是高等数学与初等数学的分水岭。在考研数学中极限也是每年必考的内容，直接考查的分值高达14-18分。2、倒数有了极限的概念，那么导数的概念就有了理论根基，导数是一元函数微分学的灵魂，在考研中这章是重点，每年必考，而且灵活性和综合性较强。这一章可从导数微分概念、计算、应用、中值定理三方面学复习。3、不定时积分不定积分本质上是求导的逆运算，本章重点是计算，其重要性怎么描述都不为过。因为积分是决定高数学习成败的一个关键章节，后继章节如定积分、二重积分、三重积分、曲线曲面积分、微分方程中都会用到。4、定积分定积分是微积分所说的积分，除了掌握基本概念，还要掌握其计算相关内容及定积分的应用，每年必考。微分方程本质上还是不定积分的计算。多元微积分多元函数的微积分体系上与一元类似，微分学包括基本概念(二重极限、偏导数、可微)、偏导数计算、偏导数应用。多元函数积分学包括二重积分、三重积分、曲线曲面积分，考试重点在计算，属于每年必考题目。最后一章级数包括三部分常数项级数(主要考查敛散性判别)，幂级数(主要考查展开与求和)、傅里叶级数(数一单独考查)，本章也属必考内容。高数该怎么学？虽然考研数学考查的知识点比较多，但是考查各个学科的内容层次却很清晰，想要在有限的时间内快速的掌握各学科知识，就必须要抓住主干知识，突出考试重点，注重知识点之间的联系和综合，做到有的放矢。由于高等数学的主干知识是微分学和积分学，所以一元函数微积分和多元函数微积分就是我们考试考查的重点知识，在复习备考的过程中必须对该部分知识点做到熟练自如，了然于胸。同时极限作为微积分的理论基础，贯穿于整个高等数学知识体系中，因此极限的计算就显得尤为重要了。最后研究生入学考试毕竟是为国家选拔人才而设置的，为了考查大家对知识的综合运用能力，知识点间的联系必须非常清楚，尤其是要掌握微分、积分与微分方程，无穷级数的内在联系，这样才能预测哪些知识可以结合起来来命制大题，做到心中有数。人生有梦才精彩，脚踏实地才辉煌，选准前进的方向，坚持到底，就会收获美好的结果，最后预祝各位2019考研er在考研中金榜题名。| 来源：网络，如涉及原作者权益，请联系删除
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