& 利用导数研究曲线上某点切线方程知识点 & “已知函数f(x)=1/2m(x-1)2-...”习题详情
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已知函数f(x)=12m(x-1)2-2x+3+lnx，常数m≥1（1）求函数f（x）单调递减区间；（2）当m=2时，设函数g（x）=f（x）-f（2-x）+3的定义域为D，?x1，x2∈D，且x1+x2=1，求证：g（x1）+g（x2），g（x1）-g（x2），g（2x1）+g（2x2），g（2x1）-g（2x2）中必有一个是常数（不含x1，x2）；（3）若曲线C：y=f（x）在点P（1，1）处的切线l与曲线C有且只有一个公共点，求m的值．
本题难度：一般
题型：解答题&|&来源：网络
分析与解答
习题“已知函数f(x)=1/2m(x-1)2-2x+3+lnx，常数m≥1（1）求函数f（x）单调递减区间；（2）当m=2时，设函数g（x）=f（x）-f（2-x）+3的定义域为D，?x1，x2∈D，且x1+x2=1...”的分析与解答如下所示：
（1）先利用导数四则运算计算函数f（x）的导函数f′（x），再解不等式f′（x）＜0，即可得函数的单调减区间（2）先证明函数g（x）关于（1，3）中心对称，再结合x1+x2=1，即可证明g（2x1）+g（2x2）=6为常数，也可代入函数解析式直接证明结论（3）先利用导数的几何意义，求切线l的方程，再与曲线联立，得关于x的方程，再将方程有且只有一解转化为函数有且只有一个零点问题，利用导数，通过讨论所研究函数的单调性和极值，可得m的值
解：（1）f′(x)=m(x-1)-2+1x=mx2-(m+2)x+1x，x＞0对于y=mx2-（m+2）x+1而言，∵m≥1，∴△=（m+2）2-4m=m2+4＞0且它的两个零点x2=m+2+√m2+42m＞x1=m+2-√m2+42m＞0故当x1＜x＜x2时f′（x）＜0∴函数f（x）的单调减区间为(m+2-√m2+42m，m+2+√m2+42m)（2）法一：g（x）=4-4x+lnx-ln（2-x）+3关于点A（1，3）对称，证明如下：设P（x0，y0）为y=g（x）图象上任意一点，P关于点A（1，3）的对称点为P′（2-x0，6-y0）．∵y0=4-4x0+lnx0-ln（2-x0）+3，∴6-y0=4-4（2-x0）+ln（2-x0）-ln（2-（2-x0））+3∴P′也在函数y=g（x）图象上，故y=g（x）图象关于点A（1，3）对称∵2x1+2x2=2，∴g（2x1）+g（2x2）=6为常数法二：g(2x1)+g(2x2)=4-4o2x1+ln2x12-2x1+3+4-4o2x2+ln2x22-2x2+3=6为常数（3）∵f′（1）=-1，∴直线l：y-1=-（x-1），即y=2-x代入y=12m(x-1)2-2x+3+lnx得m（x-1）2-2x+2lnx+2=0令F（x）=m（x-1）2-2x+2lnx+2，则F（1）=0，∴F（x）=0有一个解x=1又∵F′(x)=2(mx-1)(x-1)x①当m=1时，F′(x)=2(x-1)2x≥0，∴F（x）在（0，+∞）上递增，∴F（x）=0恰有一个解符合条件；②当m＞1时，当0＜x＜1m或x＞1时，F′（x）＞0，当1m＜x＜1时F′（x）＜0，故F（x）极大值=F(1m)＞0，极小值F（1）=0．且当x→0时F（x）→-∞；当x→+∞时，F（x）→+∞∴F（x）在(0，1m)，(1m，+∞)上各有一个实根，不符合条件，舍去综上m=1
本题综合考查了利用导数求函数的单调区间，利用导数的几何意义求切线方程，利用导数研究函数的极值，进而解决零点分布问题．
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已知函数f(x)=1/2m(x-1)2-2x+3+lnx，常数m≥1（1）求函数f（x）单调递减区间；（2）当m=2时，设函数g（x）=f（x）-f（2-x）+3的定义域为D，?x1，x2∈D，且x1...
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等考点的理解。
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利用导数研究曲线上某点切线方程
利用导数研究曲线上某点切线方程．
与“已知函数f(x)=1/2m(x-1)2-2x+3+lnx，常数m≥1（1）求函数f（x）单调递减区间；（2）当m=2时，设函数g（x）=f（x）-f（2-x）+3的定义域为D，?x1，x2∈D，且x1+x2=1...”相似的题目：
曲线y=lnx在点M（e，1）处切线的方程为&&&&．
已知函数f（x）=x2+2alnx．（Ⅰ）若函数f（x）的图象在（2，f（2））处的切线斜率为1，求实数a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若函数在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围．&&&&
已知函数f（x）=-x3+ax2+b（a，b∈R）．对任意x∈[0，1]，y=f（x）的图象x=x处的切线的斜率为k，当|k|≤1时，a的取值范围是&&&&
“已知函数f(x)=1/2m(x-1)2-...”的最新评论
该知识点好题
1已知函数f（x）=alnxx+1+bx，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y-3=0．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）证明：当x＞0，且x≠1时，f（x）＞lnxx-1．
2已知函数f（x）=alnxx+1+bx，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y-3=0．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）如果当x＞0，且x≠1时，f（x）＞lnxx-1+kx，求k的取值范围．
3已知曲线y=13x3+43，则过点P（2，4）的切线方程是&&&&．
该知识点易错题
1已知曲线y=13x3+43，（1）求曲线在点P（2，4）处的切线方程；（2）求曲线过点P（2，4）的切线方程；（3）求斜率为4的曲线的切线方程．
2曲线C1：y=12ex关于直线y=x对称得曲线C2，动点P在C1上，动点Q在C2上，则|PQ|最小值为（　　）
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