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基于Laplace理论的稳定分布时间序列的研究及应用
第 1 章 绪论
1.1 课题研究的背景和意义
随着对信号技术的深入研究，对于非高斯信号的研究成为最近几年对信号研究的一个新的方向。以广义中心极限定理为基础的 Alpha 稳定分布作为一种高斯分布的特殊形式，可以对非高斯信号及其重尾等特性进行描述。本课题以Laplace 对稳定随机变量的变换为基础，进而研究 Alpha 稳定分布的相关特性及对其重尾特性进行理论和实证研究。对时间序列模型的分析和建模是具有价值的研究课题。对于研究稳定时间序列必须要进行数学建模，特别是具有随机稳定特性的时间序列。近年来，国内外的研究人员越来越注重对信号处理，特别是对生产、金融等领域的时间序列的建模。许多概率学的经典理论都是根据在某种分布的研究建模上提出的。但是这种预测建模并不是一定符合实际的生产要求。因为以往的研究受限于计算机的计算能力、所适用的算法比较少。所以以往的研究大多数是对单一的、数量比较少的时间序列数据的描述及预测建模。这种方法很显然是存在着一定的缺陷。本文应用 Copula 函数实现了对多个时间序列的研究与建模。本课题的研究的意义是，所研究的成果结论能够应用到实际的经济、金融等方向的研究与预测中，为人们的生产、生活带来便利。
1.2 国内外在该方面的研究现状及分析
近几年 Alpha 在很多方面也得到了广泛的应用：刘春丽等人在研究 Alpha稳定分布的同时生成了在标准参数系下的随机变量的产生算法[7]。孔豫京提出一种新的循环统计量方法，解决了传统的循环统计方法中对于信号衰落的情况下识别会失效的情况。同时通过树形分类器完成了 Alpha 稳定分布对衰落信号的辨别[8]。刘明赛分析了信号的零中心归一化的幅度谱密度的最大值和分布幅度的最大值特征。提出一种在噪声下有效识别 Alpha 稳定分布数字调制信号的模型[9]。在投资组合中，曾五一通过非对称的拉普拉斯对股市回报率分布做变换，最终得到，对于具有非对称性质的拉普拉斯对证券回报率分布的偏尾特征结合度更好[12]。钟法林等在研究非对称 Laplace 实证中发现在外汇回报率问题中非对称的拉普拉斯相对于正态分布对回报率的重尾特性拟合性更好[13]。Andersson 用于不等间隔的 Laplace 变化的快速算法，发现通过 FFT 计算傅里叶变换的计算相当复杂，但是通过 Laplace 转化为任意维度之后再计算就相当的简单[14]。吴亚娟在对阶梯现象和噪声抑制不充分的问题上，通过对 P-Laplace 算子的全变分盲复原变换，对图像的边缘和平滑区进行了重新的处理，改善了图像的复原效果[15]。崔海波为了证明 Laplace 变换在求解偏微分方程，相对于分离变量法、Fourier 变换等方法具有独特的优势，讲述了 Laplace 变换在偏微分方程中的应用[16]。
第 2 章 Alpha 稳定分布的 Laplace 变换
对于一维的稳定分布来说，都能用多种参数系表示，如：Zolotarev[46]根据不同的条件提出 5 种不同的参数系表示法。对于稳定密度来说，其方程式是封闭的，所以用特征函数的形式来表示稳定分布。研究稳定分布的性质时，研究人员更倾向于用具有简易特征函数表达式的标准参数系。由于稳定分布具有众多的参数系表达形式，容易发生混乱，1981 年霍尔就研究因为不同的参数而产生了错误的结论[47]。当? ?1描述具有对称性质的参数是容易发生错误。本章为了解决 Zolotarev (1986)在其文章中的密度积分公式产生的不确定性，提出了更容易理解，并且不会产生歧义的参数。同时证明了文章中提出的参数在标准参数系下同样是适用的。最后根据 Laplace 变换对稳定分布性质作相关的证明。
2.2 Alpha 稳定分布的基本理论
在稳定分布最开始被提出时，被认为是唯一符合广义中心极限定理理论。在概率学、信号统计等领域里 Alpha 稳定分布由于其对数据信号的独特应用被广泛的使用。Alpha 稳定分布可以看做是高斯分布的一种推广形式。对于信号分布的非高斯性及重尾特性能做出很准确的描述。稳定分布被看做是随机变量的概率密度函数根据一个特定值匀速衰减的一种分布。经过几十年的发展，稳定分布已经可以被定义为多种表达方式[48]，在
本文中对其中四种不同定义就行了描述，根据稳定分布的特性给出了前两种的定义描述，第三种描述是根据中心极限理论为基础，第四种则根据其 PDF 的表达形式进行定义[49]。很少的的稳定分布密度函数是闭合的表达式，大多数都非封闭表达式。
第 3 章 具有稳定分布的 GARCH 和 ARCH 模型的重尾分析..... 25
3.1 引言......... 25
3.2 随机方程解的正规变换......... 25
3.3 ARCH 模型与 GARCH 模型简介.......... 26
3.4 GARCH 模型的联合分布规律变化....... 29
3.5 ARCH(1)模型重尾指数与稳定残差的估计...........31
3.6 本章小结......... 34
第 4 章 稳定分布时间序列的 Copula-GARCH 模型..... 35
4.1 引言......... 35
4.2 时间序列的平稳性检验......... 35
4.3 基于稳定分布金融时间序列的 Copula-GARCH 模型........ 39
4.3.1 Copula-GARCH 理论研究....... 39
4.3.2 Copula-GARCH 实证分析....... 40
4.4 本章小结......... 44
第 4 章 稳定分布时间序列的 Copula-GARCH 模型
在上一章对 GARCH 模型研究的基础上，本章对数据进行Copula-GARCH建模。Copula-GARCH 模型就是将GARCH 模型和Copula 函数通过适当的方式联系起来，用来分析多个稳定时间序列的关联关系，其中 GARCH 作为稳定的金融时间序列边缘分布，而Copula 函数则用于关联多个的金融时间序列。不同的稳定时间序列用合适其的GARCH 模型来描述作为其边缘分布。边缘分布反应的对不同的实证数据的分析，是Copula 函数研究时间序列的关联关系的重要凭证，对边缘分布拟合性是否严谨有各种的评估方法。Diehoid 创设了一种密度分布模型的评价准则，由于该模型根据序列概率积分变换的形式，可作为本文中的Copula 模型的优劣的评价准则，该模型的核心对原序列做概率积分的变换。得到的新序列可以通过一个Copula 函数来连接，这个Copula 函数用于分析各个时间序列间的相关结构。所以Copula-GARCH 模型一方面能都对稳定的时间序列的条件异方差进行研究，另一方面从概率学的角度理解非线性的序列关联关系，非常适合对金融时间序列相关性的研究。确定时间序列是否具有平稳性是时间序列分析(Copula-GARCH )的前提。因为平稳的信号与非平稳的信号的本质具有很明显的差异性，因此对时间序列平稳性的研究很具有实际应用价值[55]。本文中的研究前提是时间序列的数据具有平稳性，主要对自相关函数检验法、ADF 检验法、单位根检验法等方法进行理论研究，并总结了上述方法的优缺点以及适用的环境。最后对具有自回归性质的时间序列过程进行论述。
..........
本文通过对 Alpha 稳定分布的时间序列模型的理论描述，提出了满足稳定分布的随机变量的相关性质，同时证明了在不同参数系中参数之间的存在的相关关系。推导了 Laplace 理论对 Alpha 稳定随机变量变换的可行性。并进行了ARCH(1)模型重尾指数与稳定残差的估计。最后构建 Copula-GARCH 模型，对实证数据进行建模分析。取得的研究成果如下：1.Laplace 变换作为研究稳定随机变量的有力工具，以 Laplace 变换的基本理论基础。给出两个定理及其证明，并给出两个相关结论。2.研究随机方程的解的规则变化。进而证明 GARCH 模型的有限维联合分布是构成具有尾部分布规则变化的分布。最后对重尾分布的指数参数进行估计。3.引入 Copula 函数研究多时间序列的相关性，用 GARCH 模型作为 Copula的边缘分布，建立 Copula-GARCH 模型。并分析 t-Copula 和正态 Copula 在金融时间序列应用中的优缺点。本文进一步完善了 Alpha 稳定分布，并以 Laplace 变换对?- 稳定分布理论作进一步的验证分析。同时对 ARCH 和 GARCH 模型的重尾参数进行仿真估计，最后构建 Copula-GARCH 模型进行数据相关性检验。本课题的研究成果可以应用于经济、金融及其他系统的实际数据分析中，对实际数据进行 ARCH、GARCH、Copula-GARCH 建模。有助于挖掘数据更深层次的价值，为人们在生产生活中提供更好的便利。本次课题研究成果为以后Alpha 稳定分布在时间序列上的研究提供了基础。
参考文献（略）
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{物} stationary distribution
以上来源于：《新汉英大辞典》
物质在分形结构中的扩散密度分布函数属于稳定分布。
Diffusion probability density function in fractals is described by stable distribution.
稳定分布可以更好地描述实际应用中所遇到的具有显著脉冲特性的随机信号和噪声。
Lower order alpha stable distribution processes can better model the impulsive random signals and noises in physical observation.
结果表明稳定分布能更好的拟和中国股票收益率的实际分布，稳定分布较好的处理中国股票市场中的“尖峰厚尾”现象。
The results show the stable distribution is much better than the normal distribution in dealing with stock returns distribution with fat tail.
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Alpha稳定分布噪声环境下改进MCC时延估计算法
Alpha稳定分布噪声环境下改进MCC时延估计算法
Improved MCC TDE methods under alpha-stable distribution noise environment
发布时间：　　浏览量：204　　收藏数：0　　评论数：
大连理工大学电信学院信号与信息处理专业；
在alpha稳定分布噪声环境下，由于最大相关熵（MCC）准则与最小分散系数(MD)准则具有等价性，使得以相关熵作为代价函数的MCC自适应时延估计算法成为解决时延问题的一个新的思路。MCC算法与以MD准则为基础的传统时延算法相比较，不需要噪声的先验知识，但是其综合的性能并没有很大的提升。本文提出两种MCC的改进算法：归一化MCC（NMCC）自适应时延算法和二次迭代MCC（TMCC）时延估计算法。通过理论分析和计算机仿真结果表明，这两种算法有较好的收敛性和较小的稳态失调，并且具有较高的抑制稳定分布噪声能力。
时延估计；alpha稳定分布；相关熵；归一化相关熵法 ；二次迭代相关熵法
Tong Zhijian*，
Qiu Tianshuang，
Song Aimin
Dalian University of Technology,Signal and Information processing Department；
Abstract：
Because the equivalence between minimum dispersion coefficient criterion (MD) and maximum correntropy criterion (MCC) has been proven, MCC could be used as a new way to solve the TDE issue under alpha-stable distribution noise background. Even thougth the MCC-TDE algorithm does not need any prior information about the noise, it fails to present much improvement than the algorithms based on MD. In this paper, two improved MCC-TDE algorithms have been proposed. It is demonstrated by computer simulations that the new proposed algorithms are robust under various noise conditions and presents a very good performance.
Keywords：
TDE; alpha- NMCC-TDE; TMCC-TDE
PDF全文下载：
&&&&（114）
作者简介：
佟祉谏（1983-），男，满族，硕士研究生，主要研究方向：非高斯噪声环境下时延估计
通信联系人：
【收录情况】
中国科技论文在线：佟祉谏，邱天爽，宋爱民.&Alpha稳定分布噪声环境下改进MCC时延估计算法[EB/OL].北京：中国科技论文在线&
[].http://www./releasepaper/content/.
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