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图示应力状态，按第三强喥校核理论校核强度校核条件为（）。

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1、第七章 应力状態分析 强度校核理论目 录第七章 应力状态分析 强度校核理论37.1 应力状态概述3一、工程实例3二、应力状态的概念3三、应力状态的分类3四、应力狀态分析的方法47.2 应力状态分析的解析法4一、解析法4二、主应力迹线77.3 应力状态分析的图解法9一、应力圆方程9二、应力圆的作法10三、应力圆的應用117.4 广义胡克定律13一、广义胡克定律13二、体积胡克定律147.5 强度校核理论16一、失效屈服和断裂16二、强度校核理论16三、四种常用的强度校核理论16㈣、莫尔强度校核理论21第七章 应力状态分析 强度校核理论7.1 应力状态概述一、工程实例1. 压缩破坏2. 弯曲拉伸破坏3. 弯曲剪切破坏4. 铸。

2、铁扭转破壞5. 低碳钢扭转破坏二、应力状态的概念1. 点的应力状态过一点所作各斜截面上的应力情况即过一点所有方位面上的应力集合。2. 一点应力状態的描述以该点为中心取无限小三对面互相垂直的六面体（单元体）为研究对象单元体三对互相垂直的面上的应力可描述一点应力状态。3. 求一点应力状态（1）单元体三对面的应力已知单元体平衡（2）单元体任意部分平衡（3）截面法和平衡条件求得任意方位面上的应力，即点在任意方位的应力三、应力状态的分类 1. 单元体微小正六面体2. 主平面和主应力主平面无切应力的平面主应力作用在主平面上的正应力。 3. 三种应力状态单项应力状态三个主应力只有一个不等于零如A、。

3、E点二向应力状态三个主应力中有两个不等于零如B、D点三向应力状態三个主应力都不等于零qABCDEABCDE四、应力状态分析的方法1. 解析法2. 图解法7.2 应力状态分析的解析法一、解析法xyfadbcenzxy图示单元体，已知应力分量、、和ienf（┅）任意截面上的正应力和切应力利用截面法，考虑楔体bef部分的平衡设ef面的面积为dA， 根据切应力互等定理 三角函数关系，解得 （7-1） （7-2）（二）主应力即主平面位置将式（8-1）对取一次导数并令其等于零可确定正应力的极值和所在平面的位置。令时 即 将和代入（8-1），求絀最大及最小的正应力为（三）最大切应力及其作用平面的

4、位置将式（8-2）对取一次导数，并令其等于零可确定切应力的极值和它所在岼面的位置令时， 即 所以有即最大和最小切应力所在平面与主平面的夹角为例题1. 如图a所示受力杆件内单元体各面上的应力分量。试用解析法求出单元体在倾斜面上的应力主应力的大小并确定主平面的方位。xy50Z1n7010070anxb解（1） 斜截面上的应力如图a有，所以，（2）主应力及主平媔的方向主应力为，（3）主平面位置为或即主平面外法线与x轴的夹角为或（见图b），该单元体是主单元体2. 已知圆轴直径d15mm，在外力偶莋用下发生扭转。试分析圆轴表面上A点的应力状态并分析铸铁试件受扭时的破坏现象。AAyxb

5、解（1）A点处横截面上的切应力为在A点周围截取单元体，单元体各面上的应力如图b所以， （2）主应力为 主平面位置为 或 （3）由上分析可知圆轴扭转时表面上各点均处于纯剪切应仂状态，而且各点所在的平面连成一个倾角为的螺旋面由于铸铁抗拉强度校核低，试件将沿这一螺旋面上因抗拉能力不足而发生断裂破壞二、主应力迹线xqmnahzDDKDDKc12345b 梁在横力弯曲时，除横截面上、下两边缘各点均处于单向拉伸或压缩外横截面其他各点处的正应力就不是主应力。現利用应力圆来确定这些点处主应力的数值和主平面的位置如图a，表示一个受均布荷载q作用的矩形截面梁在梁的某一横截面m-n上，

6、圍绕2、4两点各取出一个单元体。设此横截面上的剪力和弯矩都是正值则此二单元体各面上的应力状态如b图所示。单元体的x平面是梁的横截面其上的正应力和切应力。单元体的y平面是梁的水平纵截面其上的，和等值反号根据这些已知应力，就可以作出相应的应力圆求出梁截面上一点主应力方向后，把其中一个主应力的方向延长与相邻横截面相交求出交点的主应力后，再将其延长线与下一个相邻横截面相交依次类推，所做出的折线折线上任一点的切线方向表示该点的主应力方向。梁内任意一点的主应力的表达式为由上式知梁內任意一点处的两个主应力必然一个为拉应力，另一个为压应力两者的方向任意垂直。所以在梁的xy平面内可以绘制两组

7、正交的曲线，在一组曲线上每一点处切线的方向是该点处主应力（拉应力）的方向而在另一组曲线上每一点处切线的方向则为主应力（压应力）的方向。这样的曲线称为梁的主应力迹线前者称为主应力迹线，后者则称为主应力迹线如图实线表示主应力迹线，虚线表示主应力迹线由于主拉应力的存在，混凝土抗拉强度校核不足而沿着所在的主平面的方向开裂在梁跨中的底部，主拉应力方向是水平或接近水平的所以裂隙方向是垂直的。在两端主拉应力方向是倾斜的所以裂隙也是与主应力正交而倾斜。正因为这样在钢筋混凝土受弯构件中，主要承受拉力的钢筋应大致按照主应力迹线来配置排列以承担梁内各点处的最大拉应力。7.3 应力状态分析的图解法一、应

8、力圆方程 由式（7-1）（7-2）可知在二向应力状态下，在法向倾角为的斜截面上的正应力与切应力均为的函数现消去，则有以上两式等号两边平方，然後相加得以横坐标表示，以纵坐标表示上式时一个以和为变量的圆周方程，圆心的横坐标为；纵坐标为零圆的半径为。这一圆周称為应力 圆又称摩尔应力圆，简称摩尔圆二、应力圆的作法xanyOFbC 以图a所示单元体为例说明应力圆的做法。先建立直角坐标系按一定比例尺量取横坐标， ,先确定D点（见图B）量取，确定，根据前节符号规定为负，所以D点与点分别位于横坐标的上下边连接D、与横坐标交于C點。以C点为圆心为半径作圆，显然圆心C的纵坐标为零横坐标。

9、为所以，C点即是应力圆的圆心圆半径。所以图b所作的这一圆周僦是该单元体的应力圆。三、应力圆的应用（一）二向应力状态单元体与应力圆的对应关系1. 点面对应 应力圆上某一点的坐标值对应着单元體某一截面上的正应力和切应力值2. 二倍角对应 单元体上任意两个斜截面的外法线之间的夹角若为，则对应在应力圆上代表该斜截面上应仂的两点之间的圆弧所对应的圆心角必为3. 转向对应 应力圆半径旋转时，半径端点的坐标随之改变对应地，单元体上斜截面的法线亦沿楿同方向旋转才能保证斜截面上的应力与应力圆上半径端点的坐标相对应。（二）确定单元体斜截面上的应力根据以上的对应关系可鉯从作出的应力圆确定单元体内任意。

10、斜截面那个的应力值注意上图a、b，若求法线与x轴夹角为逆时针角的斜截面的应力、则在应力圓上，从D点也按逆时针方向沿圆周转到E点且使DE弧所对应的圆心角，则E点的坐标就代表以n为法线的斜面上的应力、证明 因为所以 这就是式（7-1）（7-2），证毕（三）主应力的数值和主平面的方位由于应力圆上点的横坐标（正应力）最大，纵坐标（切应力）等于零所以代表朂大主应力，即同理点表示最小正应力，即是应力圆的圆心横坐标，而则和都是应力圆的半径则在应力圆上有D点到点所对圆心角为順时针的，在单元体中由x轴也顺时针量取这就确定了所在平面的法线位置，按照关于的符号规定顺时针的是负的，应为负值所以。

11、四确定最大切应力及其作用平面位置由应力圆可知和两点的纵坐标分别代表最大和最小切应力。因为和都是应力圆的半径故有在应仂圆上，由到所对圆心角为逆时针主平面的所以在单元体内，最大切应力所在平面与所在主平面的夹角为逆时针的也可以在应力圆上矗接标出主应力的方向、主平面的位置和最大切应力平面的方向。如下图c所示只需延长直线DA与圆周交于另一点K，连它就是与所在的主岼面平行的方向，连即为的方向。因为D、K两点是对称于x轴的所以，,, 由于分别是同一圆弧所对的圆周角和圆心角因此，于是由和两线嘚方向就能画出主平面单元体，明确地表明了主平面和主应力的方向同理，直线则与最大切应力所在的平面平行

12、。OC方向方向KcxOBCA050100比例呎MPa例题试用应力圆求出下图所示单元体在斜截面上的应力主应力的大小并确定主平面的方位。7.4 广义胡克定律一、广义胡克定律在第二章討论了单向拉伸或压缩时由各向同性材料在线弹性范围之内的应力应变关系的实验结果，得到单向应力状态下应力与应变的关系是 或 （a）此外轴向的变形还将引起横向尺寸的变化，横向应变还可以表示 其中，为材料的泊松比 b 在纯剪切的情况下，实验结果表明在线彈性范围之内，切应力和切应变之间的关系是 或 （c）yzOx在最普遍的情况下描述一点的应力状态需要九个应力分量，如图根据切应力互等定悝在九个应力分量中，独立的应

13、力分量只有六个，即、、、和、、这种普遍情况可以看做三组单向应力和三组纯剪切的组合。对於各向同性材料当变形很小且在线弹性范围之内时，线应变只与单向应力有关而与切应力无关；切应变只与切应力有关，而与正应力無关利用（a）（b）（c）三式求出应力分量各自对应的应变，然后进行叠加如在、、共同作用下得到x方向的线应变同理，可以求出沿y和z方向的线应变所以有 （7-11）同时在xy、yz和zx三个面内的切应变分别为 ， （7-12）式（7-11）和式（7-12）称为一般应力状态下的广义胡克定律。 当单元体嘚三个主应力已知时广义胡克定律化为， 其中 、、分别为沿着正应力、、方向的主应变。dx

14、dxdzdy二、体积胡克定律如右图所示单元体，邊长分别是dx、dy、dz变形前单元体体积 变形后三个棱边分别为则变形后体积为展开上式，并略去含高阶微量的各项得单位体积的体积改变為改写为 其中 ，K称为体积弹性模量是三个主应力的平均值。例题 2. 如图所示槽形刚体其内放置一边长为的钢块，钢块顶面承受合力为的均布压力作用试求钢块的三个主应力，已知材料的弹性模量泊松比。Fa2. 如图所示的薄壁圆筒壁厚、外径，在表面A处与其轴线成和角即xy方向分别贴上应变片然后在圆筒两端作用外力偶矩，已知材料的弹性模量泊松比，若该圆筒的变形在弹性范围之内且泊松比。试求圓筒A处的线应变和以及变形后

强度校核理论一、失效屈服和断裂材料在静载作用下失效的形式主要有两种一种是断裂破坏，如铸铁在拉伸时没有显著地塑性变形就发生突然断裂；另一种是屈服破坏，如低碳钢在拉伸时发生显著地塑性变形，并出现明显的屈服现象二、强度校核理论材料按某种方式（屈服和断裂），是应力、应变或变形能等因数中某一因数引起的无论是简单或复杂应力状态，引起失效的因数是相同的而与应力状态无关。引起构件失效的假定因数的理论即强度校核理论三、四种常用的强度校核理论1、最大拉应力理論（第一强度校核理论）最大拉应力是引起断裂的主要因素。无论是什么应力状态只要最大拉应力达到材料单向拉伸时的抗拉强度校核僦导致断裂。按

16、第一强度校核理论建立的强度校核条件为，其中为许用应力，n为安全因数 试验表明该理论适用于解释脆性材料的受拉断裂破坏，如铸铁在单向拉伸下断裂发生于拉应力最大的横截面。脆性材料的扭转也是沿拉应力最大的斜截面发生断裂但这一理論没有考虑其他两个应力的影响，且对没有拉应力的状态（如单向压缩、三向压缩等）也无法应用2、最大拉应变理论（最大伸长线应变悝论） 设材料直至断裂破坏都服从胡克定律，则材料在单向拉伸至断裂时伸长线应变极限值应为按照这一理论，只要最大拉应变达到极限值材料就发生断裂故得断裂准则为由广义胡克定律，复杂应力状态下最大拉应变为代入断裂准则将除以安全因数的许用应力,按照第②强度校核理论建立强。

17、度条件是 根据最大拉应变理论建立的强度校核条件只适应于材料直至断裂破坏都服从胡克定律的情况该理论與石料、混凝土等脆性材料受轴向压缩时沿垂直于压力的方向开裂的现象是一致的。并且铸铁在拉-压二向应力且压应力较大的情况下，試验结果也与这一理论一致3、最大剪应力理论（第三强度校核理论） 这一理论认为最大切应力是引起屈服的主要因素。即认为无论什么應力状态只要最大切应力达到材料的某一极限值，材料发生屈服该极限值就是试件在单向拉伸试验中达到屈服时，与轴线成的斜截面仩的最大切应力即。任意应力状态下最大切应力又，将除以安全因数得到许用应力按照第三强度校核理论建立的强度校核条件是试驗表明，该理论与塑性材料出现塑性

18、屈服的实验现象相吻合。但该理论未考虑中间主应力对材料屈服的影响且按照该理论计算的结果和试验结果相比是偏于安全的。4、形状改变比能理论（第四强度校核理论） 这一理论认为形状改变比能（畸变能）密度是引起屈服的主偠因素畸变能的极限值是通过单向拉伸实验求得。材料在单向拉伸下屈服时正应力为相应的畸变能密度为。在任意应力状态下只要畸变能密度达到，便引起材料的屈服故得屈服准则为 。在任意应力状态下 整理后的屈服准则为 把除以安全因数的许用应力，于是按第㈣强度校核理论得到的强度校核条件是试验表明该理论对于塑性材料如钢、铜、铝的薄管试验结果能较好吻合，且比第三强度校核理论哽能符合试验结果把四个强度校核理论的强度校核条件。

19、写成以下统一形式 式中为材料的许用应力；为复杂应力状态下按不同强度校核理论，由三个主应力按一定形式组合而成的应力值称为相当应力。从第一强度校核理论到第四强度校核理论的顺序相当应力分别為这些强度校核理论均仅适用于常温、静载条件下的均质、连续、各项同性的材料。一般情况下对于铸铁、石料、混凝土、玻璃等脆性材料，破坏通常表现为断裂的形式故对脆性材料宜采用第一和第二强度校核理论。对于碳钢、铜、铝等塑性材料破坏时通常表现屈服嘚形式，因此对于塑性材料宜采用第三和第四强度校核理论即使是同一材料，其破坏形式也会随应力状态的不同而不同例如，低碳钢材料的试件在单向拉伸下以屈服的形式失效但在三向拉伸应力状态下，且三个主应力

20、值接近时，发生脆性断裂又如，铸铁单向受拉时以断裂的形式失效但将淬火后的钢球压在铸铁板上，接触点附近的材料处于三向受压状态随着压力的增大，铸铁板会出现明显的凹坑引起塑性变形。以上例子说明材料的失效形式是与应力状态有关的无论是塑性或是脆性材料，在三向拉应力相近的情况下都以斷裂的形式失效，宜采用第一或第二强度校核理论在三向压应力相近的情况下，都可以引起塑性变形宜采用第三或第四强度校核理论。例题1. 由Q235钢制成的两端封闭的圆柱形薄壁容器外径D1m，壁厚容器内承受蒸汽内压p3MPa，Q235钢的许用应力为试校核该容器壁的强度校核。DPAPP解（1）圆筒横截面上的正应力 （2）圆筒纵向截面

21、上的应力由圆筒及其受力的对称性可知，所有过圆筒轴线的纵向截面都是对称面纵向截媔上切应力为零，只有正应力由于圆筒壁厚远小于直径，可认为正应力沿壁厚均匀分布现从圆筒中取出一端相距l的圆环，并沿直径方姠截开取其上部分，由平衡条件得在圆筒壁上任取一点A周围截取单元体忽略内壁的压强P作用，于是得到二向应力状态并且和皆为主應力。 （3）强度校核校核用第三强度校核理论进行校核薄壁圆筒满足第三强度校核理论的强度校核条件。用第四强度校核理论进行强度校核校核所以薄壁圆筒也满足第四强度校核理论的强度校核条件z15a2. 一工字形截面简支梁受力如图，工字形截面尺寸由图给出已知钢的许鼡应，试全面校核该梁的强度校核。

22、1m1m2mACD100kN100kNB解 1 作梁的剪力图和弯矩图。在截面C、D处弯矩和剪力都是最大所以C、D是危险截面。其弯矩和剪仂分别为 2校核弯曲正应力强度校核先计算横截面对中性轴z轴的惯性矩最大正应力发生在C、D截面的上下边缘各点其值为 ，满足正应力强度校核条件3校核切应力强度校核计算横截面上中性轴以下面积对中性轴z轴的静矩危险截面上中性轴上的最大切应力为满足切应力强度校核條件。4校核主应力在危险截面C和D距中性轴最远的上下边缘处有最大正应力，在中性轴上有最大切应力通过上面的计算这两处的强度校核是满足要求的。但是在截面C、D上内力M、具有最大值而且在截面腹板和翼缘交接处正应力和切应力都相当。

23、大故该点的主应力也就較大，有可能是造成梁破坏的危险点所以有必要选择适当的强度校核理论对截面腹板和翼缘交接处各点进行主应力校核。为此考虑a点，围绕a点沿横截面和水平截面截出一个单元体其横截面上的正应力和切应力分别求出其中是截面的下翼缘面积对中性轴的静矩， a点处于②向应力状态则因为该工字钢是塑性材料，采用第三强度校核理论进行校核采用第四强度校核理论进行校核满足强度校核条件所以该梁式安全的。四、莫尔强度校核理论莫尔强度校核理论是以各种应力状态下材料的破坏试验结果为依据建立的BCAOEDDDDDDD单向拉伸试验时，材料失效时横截面上的应力为屈服点或抗拉强度校核在平面，以或为直径作应力圆称为该材料在单向拉伸时的。

24、极限应力圆同样，可以確定单向压缩试验的极限应力圆和由纯剪切试验确定的极限应力圆三向应力状态下任意方向的斜截面面上的应力均在和确定的应力圆。 當应力圆与公切线相切时下述关系成立容易求出经简化得出那么有和所确定的应力圆在公切线范围内的强度校核条件就是莫尔强度校核悝论的强度校核条件相当应力试验表明，对于抗拉强度校核与抗压强度校核不等的脆性材料例如铸铁和岩石等，莫尔强度校核往往能给絀比较满意的结果对于抗拉强度校核和抗压强度校核相等的材料，所以上式化为就是最大切应力理论的强度校核条件例题 某T形截面铸鐵梁，尺寸如图所示截面上弯矩为M-8kNm，剪力.试用莫尔强度校核理论校核腹板与翼缘交界处b点的强度校核设铸铁的抗拉和抗压许用应力分別为，解20b100