泰勒公式中有一个(X-X0）是什么意思？为什么是要用多项式表示？而不用的形式？
f(x)=f(x0)+f'(x0)*(x-x0)+f''(x0)/2!*(x-x0)^2+...+f(n)(x0)/n!*(x-x0)^n （泰勒公式，最后一项中n表示n阶导数）
f(x)=f(0)+f'(0)*x+f''(x)/2!*x^2+...+f(n)(0)/n!*x^n （麦克劳林公式公式，最后一项中n表示n阶导数）
泰勒中值定理：若相关信息f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于（x-x.)多项式和一个余项的和：
f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!•(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!•(x-x.)^3+……+f(n)(x.)/n!•(x-x.)^n+Rn
其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!•(x-x.)^(n+1),这里ξ在x和x.之间，该余项称为拉格朗日型的余项。
（注：f(n)(x.)是f(x.)的n阶导数，不是f(n)与x.的相乘...
f(x)=f(x0)+f'(x0)*(x-x0)+f''(x0)/2!*(x-x0)^2+...+f(n)(x0)/n!*(x-x0)^n （泰勒公式，最后一项中n表示n阶导数）
f(x)=f(0)+f'(0)*x+f''(x)/2!*x^2+...+f(n)(0)/n!*x^n （麦克劳林公式公式，最后一项中n表示n阶导数）
泰勒中值定理：若相关信息f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于（x-x.)多项式和一个余项的和：
f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!•(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!•(x-x.)^3+……+f(n)(x.)/n!•(x-x.)^n+Rn
其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!•(x-x.)^(n+1),这里ξ在x和x.之间，该余项称为拉格朗日型的余项。
（注：f(n)(x.)是f(x.)的n阶导数，不是f(n)与x.的相乘。）
证明：我们知道f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+α（根据拉格朗日中值定理导出的有限增量定理有limΔx→0 f(x.+Δx)-f(x.)=f'(x.)Δx），其中误差α是在limΔx→0 即limx→x.的前提下才趋向于0，所以在近似计算中往往不够精确；于是我们需要一个能够足够精确的且能估计出误差的多项式：
P(x)=A0+A1(x-x.)+A2(x-x.)^2+……+An(x-x.)^n
来近似地表示函数f(x)且要写出其误差f(x)-P(x)的具体表达式。设函数P(x)满足P(x.)=f(x.),P'(x.)=f' (x.),P''(x.)=f''(x.),……,P(n)(x.)=f(n)(x.),于是可以依次求出A0、A1、A2、……、An。显然，P (x.)=A0,所以A0=f(x.)；P'(x.)=A1,A1=f'(x.)；P''(x.)=2!A2,A2=f''(x.)/2!……P(n) (x.)=n!An,An=f(n)(x.)/n!。至此，多项的各项系数都已求出，得：P(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f'' (x.)/2!•(x-x.)^2+……+f(n)(x.)/n!•(x-x.)^n.
接下来就要求误差的具体表达式了。设Rn(x)=f(x)-P(x),于是有Rn(x.)=f(x.)-P(x.)=0。所以可以得出Rn (x.)=Rn'(x.)=Rn''(x.)=……=Rn(n)(x.)=0。根据柯西中值定理可得Rn(x)/(x-x.)^(n+1)=Rn(x)- Rn(x.)/(x-x.)^(n+1)-0=Rn'(ξ1)/(n+1)(ξ1-x.)^n(注：(x.-x.)^(n+1)=0),这里ξ1在x和 x.之间；继续使用柯西中值定理得Rn'(ξ1)-Rn'(x.)/(n+1)(ξ1-x.)^n-0=Rn''(ξ2)/n(n+1)(ξ2-x.)^ (n-1)这里ξ2在ξ1与x.之间；连续使用n+1次后得出Rn(x)/(x-x.)^(n+1)=Rn(n+1)(ξ)/(n+1)!，这里ξ在x. 和x之间。但Rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)-P(n+1)(x),由于P(n)(x)=n!An,n!An是一个常数，故P(n+1)(x) =0，于是得Rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)。综上可得，余项Rn(x)=f(n+1)(ξ)/(n+1)!•(x-x.)^(n+1)。一般来说展开函数时都是为了计算的需要，故x往往要取一个定值，此时也可把Rn(x)写为Rn。
其他答案（共1个回答）
,相当有效!
一阶一阶逼呀！我看过的最神奇的证明见于Walter Rudin 《Principle of Mathematical Analysis》第三版110至111页，...
数学中的等式有两种不同的含义，一种是恒等式，即对一切使f(x)有定义的x，
都使f(x)=0成立，有时为了强调这是恒等式，也把这种等式记作f(x)≡0；另一种...
f(x)=(x^2-3x+1)^3,f(0)=1
f'(x)=3(x^2-3x+1)^2*(2x-3),f'(0)=-9
f''(x)=6(x^2-3x+1...
f(x)=f(x0)+f'(x0)*(x-x0)+f''(x0)/2!*(x-x0)^2+...+f(n)(x0)/n!*(x-x0)^n （泰勒公式，最后一项...
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这个问题分类似乎错了
这个不是我熟悉的地区高等数学中的泰勒公式怎么理解
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4、学习笔记（244）
8、其他文章（282）
泰勒系列公式在计算中占有很重要的位置，比如计算近似值，极限等。泰勒公式在实际应用中需要特别注意的是一定要使得收敛到某个数，用得最多的是使其展开式高阶部分加速趋于零，如果在展开后高阶不能趋于零（定值），则展开往往没有意义，因为泰勒展开的目的是可以利用高阶无穷小来达到舍弃一些项，从而简化计算。这里我们可以分析一下上式:1)(n+1)!，一般我们在舍弃时，n都不可能取很大，因此这一项一般情况下只能作为常数考虑，不能作为舍弃的依据；(x-x0），这一项随着n的增大，如果|x-x0|&1，则不容易能被舍弃，如果|x-x0|/(n+1)!，不能趋于0，则基本不能作为舍弃项，因此一般情况下，我们需要使得|x-x0|小于1，这样，在n比较小的时候，就可以使得整个式子可以被舍弃；当然，也要考虑到n+1阶导数项值，但由于我们在应用中多半为了便于计算导数，选取的值都比较特殊，比如0，或者1之类的，也不适合作为高阶无穷小的部分。综合上述，我们在对函数进行泰勒展开时，一般情况下，应尽量确保|x-x0|&1，举个简单的例子，在计算30的立方根时，如果选择函数f(x)=x^1/3,就达不到预期目的，而选取f(x)=3(1+x)^1/3,则就比较容易达到目的.因此在实际应用中，可以通过简单的变量替换，使得展开式的余项尽可能小。后记：利用泰勒中值定理或者叫泰勒公式进行函数展开的一个好处，其实是将一些难于计算的函数式，比如幂函数(a^x)，对数，三角函数或者方根等复杂的函数式，转化为自变量的整数幂次计算，虽然n阶导数有可能还是复杂函数，但通过取特殊的x0，比如0,1（最常用的，还有-1，e等，这种x0为数不多），n阶导数在x0 处的值很容易获得，从而就达到了这个转换的目的；当然，我前面提醒过，转换时一定要让x-x0的绝对值小于或等于1，否则转换虽然没问题，但不一定能达到目的。比如x趋于无穷大，则可以取y=1/x(注意定义域),等价于y趋于0，如果x-x0大于1，则可以先提一个常数因子等。当然，在利用泰勒公式求极限的时候，还可以利用等价数列来简化计算。后记2：这里的x-x0项小于1，并不是绝对的，如果余项整体可以很容易判断趋于0或者某个常数，当然最好。如果不能的时候就需要利用上面所说的进行简单的变换处理。
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