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中国科学院院士，古脊椎动物与古人类研究所所长原中国农业大学食品科学与营养工程学院院长中国科学院院士，清华大学生命科学学院教授北京大学理学部主任，《知识分子》主编中国科学院院士，中国科学院理论物理研究所研究员哈尔滨工业大学管理学教授，美国卡内基梅隆大学生物物理学博士。中国昆虫学会常务理事北京和睦家医院儿科主任
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花样作死秀& 二次函数综合题知识点 & “已知抛物线L：y=x2-（k-2）x+（...”习题详情
123位同学学习过此题，做题成功率69.9%
已知抛物线L：y=x2-（k-2）x+（k+1）2（1）证明：不论k取何值，抛物线L的顶点C总在抛物线y=3x2+12x+9上；（2）已知-4＜k＜0时，抛物线L和x轴有两个不同的交点A、B，求A、B间距取得最大值时k的值；（3）在（2）A、B间距取得最大值条件下（点A在点B的右侧），直线y=ax+b是经过点A，且与抛物线L相交于点D的直线．问是否存在点D，使△ABD为等边三角形？如果存在，请写出此时直线AD的解析式；如果不存在，请说明理由．
本题难度：一般
题型：解答题&|&来源：2012-黄埔区一模
分析与解答
习题“已知抛物线L：y=x2-（k-2）x+（k+1）2（1）证明：不论k取何值，抛物线L的顶点C总在抛物线y=3x2+12x+9上；（2）已知-4＜k＜0时，抛物线L和x轴有两个不同的交点A、B，求A、B间距取得最...”的分析与解答如下所示：
（1）先求出抛物线的顶点坐标，然后代入函数解析式中，根据左右两边相等即可作出证明．（2）设A（x1，0），B（x2，0），x1＞x2，利用求根公式得出两根的表达式，继而表示出AB的长，然后可计算出最大值．（3）若△ABD为等边三角形，那么点D必在抛物线的对称轴上，即只有抛物线的顶点才有可能符合D点的条件．首先，根据（2）的结果求出A、B、D三点坐标，根据这三点坐标特点判断一下△ABD是否符合等边三角形的特征，若符合，再根据待定系数法求出直线AD的解析式．
解：（1）抛物线L的顶点坐标C是（k-22，3k2+12k4），将顶点坐标C代入y=3x2+12x+9，左边=3k2+12k4，右边=3（k-22）2+12（k-22）+9=3k2+12k4，故可得：左边=右边，所以无论k取何值，抛物线L的顶点C总在抛物线y=3x2+12x+9上；（2）已知-4＜k＜0时，抛物线L和x轴有两个不同的交点A、B，设A（x1，0），B（x2，0），x1＞x2，依题意x1，2=(k-2)±√(k-2)2-4(k+1)22，|AB|=|x1-x2|=|(k-2)+√(k-2)2-4(k+1)22-(k-2)-√(k-2)2-4(k+1)22|=√(k-2)2-4(k+1)2=√-3k2-12k=√-3(k+2)2+12，由此可知，当k=-2时，AB达到最大值√12即2√3，而k=-2恰好在-4＜k＜0内，所以A、B间距取得最大值时k的值为-2．（3）存在．因为若△ABD是等边三角形，则点D应在线段AB的垂直平分线上，即在此抛物线的对称轴上，又∵点D在抛物线上，∴若满足条件的D存在，点D应是此抛物线的顶点，当k=-2时，抛物线L：y=x2+4x+1，顶点D（-2，-3），解方程x2+4x+1=0，得x1=-2+√3，x2=-2-√3，所以A（-2+√3，0），B（-2-√3，0），如图，在△ABD中，DB=DA，E为AB中点，AB=|（-2+√3）-（-2-√3）|=2√3，∴AE=√3，tan∠BAD=3√3=√3，∴∠BAD=60°，∴△ABD为等边三角形，因为直线y=ax+b经过点A（-2+√3，0）、D（-2，-3），所以依题意把k=2代入{a(-2+√3)+b=0-2a+b=-3，解得：{a=√3b=-3+2√3，所以所求为y=√3x-3+2√3．
该题考查了二次函数综合题，其中的知识点有：函数解析式的确定、根与系数的关系、等边三角形的性质等知识；掌握二次函数与方程的关系以及抛物线的对称性是解答此题的关键．
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已知抛物线L：y=x2-（k-2）x+（k+1）2（1）证明：不论k取何值，抛物线L的顶点C总在抛物线y=3x2+12x+9上；（2）已知-4＜k＜0时，抛物线L和x轴有两个不同的交点A、B，求A、B...
错误类型：
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经过分析，习题“已知抛物线L：y=x2-（k-2）x+（k+1）2（1）证明：不论k取何值，抛物线L的顶点C总在抛物线y=3x2+12x+9上；（2）已知-4＜k＜0时，抛物线L和x轴有两个不同的交点A、B，求A、B间距取得最...”主要考察你对“二次函数综合题”
等考点的理解。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．（3）二次函数在实际生活中的应用题从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．
与“已知抛物线L：y=x2-（k-2）x+（k+1）2（1）证明：不论k取何值，抛物线L的顶点C总在抛物线y=3x2+12x+9上；（2）已知-4＜k＜0时，抛物线L和x轴有两个不同的交点A、B，求A、B间距取得最...”相似的题目：
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该知识点好题
1（2013o淄博）如图，Rt△OAB的顶点A（-2，4）在抛物线y=ax2上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为（　　）
2二次函数y=x2-8x+15的图象与x轴相交于M，N两点，点P在该函数的图象上运动，能使△PMN的面积等于12的点P共有（　　）
3如图，半圆A和半圆B均与y轴相切于O，其直径CD，EF均和x轴垂直，以O为顶点的两条抛物线分别经过点C，E和点D，F，则图中阴影部分面积是（　　）
该知识点易错题
1（2012o南浔区二模）如图，点A（a，b）是抛物线y=12x2上一动点，OB⊥OA交抛物线于点B（c，d）．当点A在抛物线上运动的过程中（点A不与坐标原点O重合），以下结论：①ac为定值；②ac=-bd；③△AOB的面积为定值；④直线AB必过一定点．正确的有（　　）
2（2012o静海县二模）如图，抛物线m：y=ax2+b（a＜0，b＞0）与x轴于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．将抛物线m绕点B旋转180°，得到新的抛物线n，它的顶点为C1，与x轴的另一个交点为A1．若四边形AC1A1C为矩形，则a，b应满足的关系式为（　　）
3如图，已知抛物线P：y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在x轴的正半轴上），与y轴交于点C，矩形DEFG的一条边DE在线段AB上，顶点F、G分别在线段BC、AC上，抛物线P上部分点的横坐标对应的纵坐标如下：
x&…&-3&-2&1&2&…&y&…&-52&-4&-52&0&…&（1）求A、B、C三点的坐标；（2）若点D的坐标为（m，0），矩形DEFG的面积为S，求S与m的函数关系，并指出m的取值范围．
欢迎来到乐乐题库，查看习题“已知抛物线L：y=x2-（k-2）x+（k+1）2（1）证明：不论k取何值，抛物线L的顶点C总在抛物线y=3x2+12x+9上；（2）已知-4＜k＜0时，抛物线L和x轴有两个不同的交点A、B，求A、B间距取得最大值时k的值；（3）在（2）A、B间距取得最大值条件下（点A在点B的右侧），直线y=ax+b是经过点A，且与抛物线L相交于点D的直线．问是否存在点D，使△ABD为等边三角形？如果存在，请写出此时直线AD的解析式；如果不存在，请说明理由．”的答案、考点梳理，并查找与习题“已知抛物线L：y=x2-（k-2）x+（k+1）2（1）证明：不论k取何值，抛物线L的顶点C总在抛物线y=3x2+12x+9上；（2）已知-4＜k＜0时，抛物线L和x轴有两个不同的交点A、B，求A、B间距取得最大值时k的值；（3）在（2）A、B间距取得最大值条件下（点A在点B的右侧），直线y=ax+b是经过点A，且与抛物线L相交于点D的直线．问是否存在点D，使△ABD为等边三角形？如果存在，请写出此时直线AD的解析式；如果不存在，请说明理由．”相似的习题。3 d 乐 透 乐 博 彩 论 坛招投标信息&&Bidding information
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