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数列大题四道201605
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&&经典数列大题四道(含答案)
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高中数学同步导学（2017新课标）（数列）：专题四 数列的应用含解析.docx 13页
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高中数学同步导学（2017新课标）（数列）：专题四 数列的应用含解析.docx
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1．数列求和方法(1)公式法：(Ⅰ)等差数列、等比数列前n项和公式．(Ⅱ)常见数列的前n项和：①1＋2＋3＋…＋n＝；②2＋4＋6＋…＋2n＝；③1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝；④12＋22＋32＋…＋n2＝；⑤13＋23＋33＋…＋n3＝.(2)分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列．(3)倒序相加：如等差数列前n项和公式的推导方法．(4)错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和．等比数列{an}前n项和公式的推导方法就采用了错位相减法．(5)裂项相消：有时把一个数列的通项公式分成二项差的形式，相加消去中间项，只剩有限项再求和．常见的裂项公式①＝－；②＝；③=；④＝(－)；⑤＝－；⑥C＝；⑦n·n！＝！－n！；⑧an＝Sn－Sn－1(n≥2)．2．数列应用题常见模型(1)单利公式利息按单利计算，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和y＝.(2)复利公式利息按复利计算，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和y＝.(3)产值模型原来产值的基础数为N，平均增长率为p，对于时间x，总产值y＝.(4)递推型递推型有an＋1＝f(an)与Sn＋1＝f(Sn)两类．(5)数列与其他知识综合，主要有数列与不等式、数列与三角、数列与解析几何等．【答案】1．(1)(Ⅱ)①　②n2＋n　③n2　④(5)①　②　③　④　⑤⑥C－C　⑦(n＋1)2．(1)a(1＋xr)　(2)a(1＋r)x　(3)N(1＋p)x【基础自测】1　通项公式an＝2n＋1(n∈N*)的数列{an}的前10项和S10＝(　)A．60B．120C．210D．2402　设数列1，(1＋2)，…，(1＋2＋22＋…＋2n－1)，…的前n项和为Sn，则Sn等于(　)A．2nB．2n－nC．2n＋1－nD．2n＋1－n－2解法一：特殊值法，易知S1＝1，S2＝4，只有选项D适合．解法二：研究通项an＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1，∴Sn＝(21－1)＋(22－1)＋…＋(2n－1)＝(21＋22＋…＋2n)－n＝2n＋1－n－2.故选D.3　已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，则数列的前100项和为(　)A.B.C.D.解：由a5＝5，S5＝15可得解得∴an＝n.∴＝＝－.∴的前100项和T100＝＋＋…＋＝1－＝.故选A.4　记数列的前n项和为Tn，则Tn＝________.5　某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍．则需要的最少天数n(n∈N*)等于________．解：设每天植树的棵数组成的数列为{an}，由题意可知它是等比数列，且首项为2，公比为2，所以2＋22＋23＋…＋2n＝＝2n＋1－2≥100，即2n≥51，而25＝32，26＝64，n∈N*.故n≥6.故填6.典例类型一　基本求和问题例一　数列求和：(1)求数列1，2，3，…，，…的前n项和Sn；(2)求和：1＋＋＋…＋；(3)设f(x)＝，求：f＋f＋…＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2014)；(4)求和：Sn＝＋＋＋…＋.解：(1)Sn＝＋＋＋…＋(n＋)＝(1＋2＋3＋…＋n)＋＝n(n＋1)＋＝n(n＋1)＋1－.(3)∵f(x)＝，∴f(x)＋f＝1.令S＝f＋f＋…＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2014)，①则S＝f(2014)＋f(2013)＋…＋f(1)＋f＋…＋f＋f()，②①＋②得：2S＝1×，所以S＝.(4)(Ⅰ)当a＝1时，Sn＝1＋2＋…＋n＝.(Ⅱ)当a≠1时，Sn＝＋＋＋…＋，①Sn＝＋＋…＋＋，②由①－②得Sn＝＋＋＋…＋－＝－，∴Sn＝.综上所述，Sn＝【评析】数列求和的常用方法有：公式法、分组求和法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法等，在选择方法前分析数列的通项公式的结构特征，避免盲目套用、错用求和方法．运用等比数列求和公式时，注意对公比是否等于1进行讨论．本例四道题分别主要使用了分组求和法、裂项相消法、倒序相加法、错位相减法．变式　求和：(1)求数列9，99，999，…的前n项和Sn；(2)求数列，，，…的前n项和；(3)求sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°的值．类型二　可用数列模型解决的实际问题例二　从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少，本年度当地旅游业收入估计400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加.(1)设n年内(本年度为第一年)总投入为An万元，旅游业总收入为Bn万元，写出An和Bn的表达式；(2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？(lg2≈0.301)解：(1
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