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“运动的分解与合成”的依据是什么？
“运动的分解与合成”的依据是什么？湖北省恩施高中 陈恩谱 关于运动的分解与合成的依据，很多资料和老师认为是运动的独立性原理或者相对运动。笔者认为这 两种观点都是错误的，运动的分解与合成纯粹是个几何问题，与相对运动等等没有任何关系。 一、 “运动的独立性原理”是一个历史名词，而不是普遍的事实 “运动的独立性原理”是伽利略在研究平抛物体的运动规律时提出来的，平抛物体在水平方向和竖直 方向的两个分运动的确是彼此独立的，但实际上，分运动彼此独立并不是普遍的――比如洛伦兹力作用下 带电粒子在磁场中的曲线运动，若将带电粒子的运动分解到两个确定直线方向，则任意一个方向的运动速 度的变化都直接影响了另一个方向的受力，进而影响另一个方向上的速度。再比如平抛物体的运动，如果 考虑空气阻力，且空气阻力与速度不成一次函数关系，比如 f ? kv2 ，则水平、竖直方向两个分运动也是 不独立的。就算是课本上所举蜡块的例子也是如此，我们知道，当玻璃管水平向右加速运动时，蜡块受到 玻璃管水平方向的管壁弹力作用，这个弹力 FN ? max ，蜡块向上运动就必然受到管壁摩擦力，这个摩擦 力 Ff ? ?FN 与玻璃管水平加速度有关， 它影响着蜡块的竖直运动， 即蜡块的竖直分运动与水平分运动彼此 并不独立。 二、相对运动也不是运动的分解与合成的依据 为了看出把相对运动当做运动的分解与合成的依据的荒谬性，我们把问题推向极端――我们来考察下 述两个问题： 1、两个光源并排放置，同时打开开关，两个光源同时发出两束光，在地面参考系看来，两束光将同 时到达前方某物体。取两束光中“前端”的光子 A、B 为研究对象，在地面参考系看来，两个光子的速度 相等，那么，我们似乎可以这样看其中一个光子 A 的行为，它对地的速度 c 等于 B 光子的速度 c 加上相对 B 光子的速度 0，即： vA ? vB ? v相对 ，其中 v相对 ? 0 . 那么，A 光子相对 B 光子的速度真的是 0 吗？由相 对论可知，其实 A 光子相对 B 光子的速度是 c！ 2、两个光源相距 l 相对放置，同时打开开关，两个光源同时发出两束光，在地面参考系来看，两束光 经过相等的时间 t 到达两光源的中点。取两束光中“前端”的光子 A、B 为研究对象，在地面参考系看来， 两个光子的速度大小相等，方向相反， t ?l ，那么，我们似乎可以这样看其中一个光子 A 的行为，它对 2c地的速度 c 等于 B 光子的速度 c 加上相对 B 光子的速度－2c， 即：vA ? vB ? v相对 ， 其中 v相对 ? ?2c . 然而， 由相对论可知，其实 A 光子相对 B 光子的速度还是 c！ 从上述两个例子看来，对地参考系，我的确可以把 A 光子的速度任意分解―― c ? c ? 0 或者? c ? c ? (?2c) ，但这分解明显没有相对运动的含义。有人以飞机平抛物体为例说，抛出物体水平方向速度 v0 与飞机相同，竖直方向做自由落体运动――因 此在飞机参考系看来，物体水平方向静止，竖直方向自由落体运动。这似乎是理所当然的，然而，在飞机 上观察物体，它真的是相对飞机做自由落体运动吗？这并不是理所当然的，而是需要实验来判定的――实 验表明，在飞机参考系下，物体的竖直速度为 v? y ?vy v 1 ? ( 0 )2 c，只有在 v0 远小于光速时才有 v? y ? vy ！显然，平抛物体的运动的水平竖直分解并不是基于相对运动！ 显然，把“运动的分解与合成”与“相对运动” （或者说参考系的变换）混淆的原因是我们认为伽利 略变换是理所当然的事实，然而伽利略变换的科学性实际上是需要实验检验的，实验表明，参考系变换导 致的速度运算规则，并不是平行四边形定则，而是洛伦兹变换！三、运动的分解与合成是纯几何问题 比如平抛物体的运动，我可以任意建立坐标系 xOy（并不一定是直角坐标系，也可以是斜交坐标系） ， 我只要按平行四边形定则对位移、速度、加速度进行分解即可，或者干脆直接用坐标表示法，写出 x=x(t)、 y=y(t)函数，然后对时间一阶求导得沿坐标轴的分速度，对时间二阶求导得沿坐标轴的分加速度。进一步 从动力学角度讲，若将物体的受力也按平行四边形定则沿坐标轴分解，则有：沿 x 轴方向的加速度是由 x 轴方向的合外力决定，沿 y 轴方向的加速度是由 y 轴方向的合外力决定；对平抛物体来说，不考虑空气阻 力时，由与沿两个坐标轴的分力是确定的，因此，两个分运动的确互相独立。 再比如一个初速度不等于零的物体做匀加速直线运动，其中一种分解方法是将其分解为一个等于初速v? ? at ；x ? v0t ? 度的匀速运动和一个初速度为零的匀加速运动， 即： v ? v0 ? at 可写成 v ? v0 ? v? ，可写成 x ? v0t ? x? ， x? ?1 2 at 21 2 at 。然而，切忌不要以为可以把物体的运动看作是相对“一个速度为 v0 的物 2体”做初速度为零、加速度为 a 的匀加速运动，因为在“速度为 v0 的物体”参考系中，物体的相对运动是 不是“初速度为零、加速度为 a 的匀加速运动”是需要实验加以判定的，而不是理所当然的――当然，我 们知道这实际上要用到洛伦兹变换，低速情况下近似为伽利略变换。 运动分解之后，几个分运动即可按平行四边形定则合成，这也仍然是纯几何问题。 现在讨论小船渡河问题。 小船被水冲击获得一个速度，我们通常认为这个速度等于水流速度 v1；同时，船在静水（实际上是选 水为参考系的意思）中的速度为 v2 。那么船相对岸的实际速度应该是怎样的呢？通常我们认为是v 1 ? ( 1 )2 v2 x ? v1 ? ? ? c v 。可见，参考 ，垂直河岸 v y ? v ? v1 ? v2 ，然而实际上应该是：沿河岸方向 vx ? v1v2 x v1v2 x 2 y 1? 2 1? 2 c c系变换与“运动的分解与合成”根本就是两码事！即便是低速情况下，两者相差极小，但是概念却不能混 淆。当前位置： >>
运动的合成与分解
第四章 抛体运动 圆周运 动第1课时万有引力定律运动的合成与曲线运动分解考点自清一、曲线运动1.速度的方向:在曲线运动中，质点在某一时刻 （或某一位置）的速度方向是在曲线上这一点的 切线方向 .2.运动的性质:做曲线运动的物体,速度的 方向 时刻在改变,所以曲线运动一定是变速 运动. 3.曲线运动的条件:物体所受合外力的方向跟它的 速度方向不在同一条直线上或它的 加速度 方向与 速度方向不在同一条直线上.特别提醒做曲线运动的物体,它的速度方向时刻在变,但速 度大小不一定改变,加速度的大小和方向不一定改变.二、运动的合成与分解1.基本概念(1)运动的合成:已知 分运动求合运动. (2)运动的分解:已知合运动 求分运动. 2.分解原则:根据运动的 实际效果 分解,也可采用 正交分解 .3.遵循的规律位移、速度、加速度都是矢量,故它们的合成与 分解都遵循 平行四边形定则 .4.合运动与分运动的关系(1)等时性合运动和分运动经历的 时间相等 ,即同时开始, 同时进行,同时停止.(2)独立性一个物体同时参与几个分运动,各分运动独立进行 , 不受其他运动的影响.(3)等效性各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有 完全相同 的效果. 名师点拨 合运动一定是物体参与的实际运动.处理复杂的曲线运动 的常用方法是把曲线运动按实际效果分解为两个方向上 的直线运动.热点聚焦热点一 对曲线运动规律的进一步理解1.合力方向与速度方向的关系 物体做曲线运动时,合力的方向与速度方向一定不在同一条直线上,这是判断物体是否做曲线运动的依据. 2.合力方向与轨迹的关系 物体做曲线运动的轨迹一定夹在合力方向和速度 方向之间,速度方向与轨迹相切,合力方向指向曲 线的“凹”侧. 3.速率变化情况判断 (1)当合力方向与速度方向的夹角为锐角时,物体的速率增大.(2)当合力方向与速度方向的夹角为钝角时,物 体的速率减小. (3)当合力方向与速度方向垂直时,物体的速率不变. 4.曲线运动类型的判断 (1)物体做曲线运动时,如合外力(或加速度)的 大小和方向始终不变,则为匀变速曲线运动. (2)物体做曲线运动时,如合外力(或加速度)是 变化的(包括大小改变、方向改变或大小、方向 同时改变),则为非匀变速曲线运动. 5.两个直线运动的合运动性质的判断 根据合加速度方向与合初速度方向判定合运动 是直线运动还是曲线运动. (1)两个匀速直线运动的合运动仍然是匀速直线运动.(2)一个匀速直线运动与一个匀变速直线运动的合运动仍然是匀变速运动,当二者共线时为匀变速直线运动,不共线时为匀变速曲线运动. (3)两个匀变速直线运动的合运动仍然是匀变速运动;若合初速度与合加速度在同一直线上,则合运动为匀变速直线运动,不共线时为匀变速曲线运动. (4)两个初速度为零的匀加速直线运动的合运动仍然是匀加速直线运动.特别提示 物体做曲线运动时速度的方向是不断变化的,因此 合力方向与速度方向的夹角往往是改变的,所以物 体的速度增大或减小的规律也可以是改变的.热点二运动合成与分解的方法1.运动的合成与分解的运算法则 运动的合成与分解是指描述运动的各物理量,即 位移、速度、加速度的合成与分解,由于它们都 是矢量,所以都遵循平行四边形定则.(1)两分运动在同一直线上时,同向相加,反向相减.(2)两分运动不在同一直线上时,按照平行四边形 定则进行合成,如图1所示.图1(3)两分运动垂直或正交分解后的合成a合 ? a x ? a y , v合 ? vx ? v y , x合 ? x1 ? x2 .2 2 2 2 2 22.小船过河问题分析 (1)船的实际运动是水流的运动和船相对静水的 运动的合运动. (2)三种速度:v1(船在静水中的速度)、v2(水的 流速)、v(船的实际速度). (3)三种情景①过河时间最短:船头正对河岸时,渡河时间最 d 短,t短 ? (d为河宽). v1 ②过河路径最短(v2&v1时):合速度垂直于河岸,航程最短,s短=d.③过河路径最短(v2&v1时):合速度不可能垂直于河岸,无法垂直渡河.确定方法如下:如图2所示,以v2 矢量末端为圆心,以v1矢量的大小为半径画弧,从v2 矢量的始端向圆弧作切线,则合速度沿此切线方向 航程最短.图2v1 d v2 由图可知 : sin ? ? , 最短航程 : s短 ? ? d. v2 sin ? v1特别提示船的划行方向与船头指向一致(v1的方向),是分 速度方向,而船的航行方向是实际运动的方向, 也就是合速度的方向. 3.绳连物体的速度分解问题绳连物体是指物拉绳或绳拉物.由于高中研究的绳都是不可伸长的,即绳的长度不会改变,所以解 题原则是:把物体的实际速度分解为垂直于绳和 平行于绳方向的两个分量,根据绳连物体沿绳方 向的分速度大小相同求解.题型探究题型 1 曲线运动的轨迹与合外力方向的确定 【例 1】 一带电物体以初速度 v0 从 A 点开始在光滑水平 面上运动，一个水平力作用在物体上，物体的运动轨迹 如图 3 中实线所示，图中 B 为轨迹上的一点，虚线是过 A、B 两点并与轨迹相切的直线，虚线和实线将水平面划 分为 5 个区域，则关于施力物体的位置，下面说法正确 的是( )图3A．若该力是引力，施力物体一定在④区域 B．若该力是引力，施力物体一定在①区域 C．若该力是斥力，施力物体一定在②区域 D．若该力是斥力，施力物体可能在①或③区域思维导图解析物体做曲线运动时，受合外力方向总是指向曲线的凹侧． 由此知物体若是受引力作用， 施力物体定在④区域， 若受斥力作用，则施力物体是在②区域．若物体在③区域 施加斥力， 则曲线要向①区域弯曲； 若在①区域施加斥力， 则曲线将越过虚线进入③区域，故 D 选项错误．答案AC规律总结 1.做曲线运动的物体，其轨迹向合外力所指的一方弯曲， 或合外力指向轨迹“凹”侧． 2．若合外力方向与速度方向夹角为 α，则当 α 为锐角时， 物体做曲线运动的速率将变大；当 α 角为钝角时，物体做 曲线运动的速率将变小；当 α 始终为直角时，则该力只改 变速度的方向而不改变速度的大小．变式练习 1 如图 4 所示，一物体在水平恒 力作用下沿光滑的水平面做曲线运动，当物 体从 M 点运动到 N 点时，其速度方向恰好 改变了 90° 则物体在 M 点到 N 点的运动过 ， 程中，物体的动能将( A．不断增大 C．先减小后增大 ) B．不断减小 D．先增大后减小图4解析物体在 vM 方向的速度变为零， 说明物体受到的力在vM 的反方向上有分力，同时物体受到的力在垂直于 vM 向 右的方向上也有分力， 所以物体所受恒力的方向与 vM 的方 向成钝角，故力对物体先做负功后做正功，物体的动能先 减小后增大，选项 C 正确．答案C题型 2 小船渡河问题 【例 2】 一条宽度为 L 的河，水流速度为 v 水，已知船在 静水中的速度为 v 船，那么： (1)怎样渡河时间最短？最短时间是多少？ (2)若 v 船&v 水，怎样渡河位移最小？最小位移是多少？ (3)若 v 船&v 水，怎样渡河船漂下的距离最短？此过程最 短航程为多少？思路点拨 (1)要使船渡河时间最短，则船必须在垂直河岸的方向上速 度最大，即船头直指对岸航行． (2)注意到 v 船&v 水，则船的合速度可以垂直河岸．渡河的 最小位移显然是河宽． (3)注意到 v 船&v 水，则船的合速度无论如何都不会垂直河 岸，总是被水冲向下游，这时可利用数形结合求极值．解析(1)如图所示，设船头斜向上游与河岸成任意角 θ，这时船速在垂直于河岸方向的速度分量为 v1＝v 船 sin θ. L L 渡河所需的时间为 t＝ ＝ v1 v船sin θ 可以看出：L 与 v 船一定时，t 随 sin θ 增大而减小，当 θ＝ 90° 时，sin θ＝1 最大，过河时间最短． L 故船头与河岸垂直时有最短时间 tmin＝ v船(2)如图所示，渡河的最小位移为河宽．为了使渡河位移等 于 L，必须使船的合速度 v 的方向与河岸垂直，即使沿河 岸方向的速度分量等于零．这时船头应指向河岸的上游， v水 设与岸夹角为 θ，则有：v 船 cos θ－v 水＝0，cos θ＝ v船 因为 0≤cos θ≤1，所以只有在 v 船&v 水时，船才有可能垂 直河岸渡河．最短航程 s＝L.(3)如果水流速度大于船在静水中的航行速度，则不论船的 航向如何，总是被水冲向下游，怎样才能使漂下的距离最 短呢？如图所示， 设船头 v 船与河岸成 θ 角． 合速度 v 与河 岸成 α 角．可以看出：α 角越大，船漂下的距离 s 越短．那 么，在什么条件下 α 角最大呢？以 v 水的矢尖为圆心、v 为半径画圆，当 v 与圆相切时，α 角最大． v船 v船 根据 cos θ＝ ，船头与河岸的夹角应为 θ＝arccos v水 v水 船漂下的最短距离为 L smin＝(v 水－v 船 cos θ)? v船sin θ船答案见解析方法提炼 涉及速度矢量运算的“三角形法则”和“正交分解 法”的思想在解决渡河问题中各有所长，互为补充； 通过本题的分析再一次验证了“正交分解法”在解决 渡河问题中的重要性．变式练习 2 一小船渡河，河宽 d＝180 m，水流速度 v1 ＝2.5 m/s. (1)若船在静水中的速度为 v2＝5 m/s，求： ①欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？用多 长时间？位移是多少？ ②欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时 间？位移是多少？ (2)若船在静水中的速度 v2＝1.5 m/s， 要使船渡河的航程最 短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？解析将船实际的速度(合速度)分解为垂直河岸方向和平行河岸方向的两个分速度，垂直分速度影响渡河的时间， 而平行分速度只影响平行河岸方向的位移． (1)若 v2＝5 m/s ①欲使船在最短时间内渡河，船头应朝垂直河岸方向． 当船头垂直河岸时，如右图所示，合速度为倾斜方向，垂 直分速度为 v2＝5 m/s. d d 180 t＝ ＝ ＝ s＝36 s v⊥ v2 5 5 2 2 v 合＝ v1＋v2＝ 5 m/s 2 s＝v 合 t＝90 5 m②欲使船渡河航程最短，应垂直河岸渡 河．船头应朝上游与河岸成某一角度 β. 垂直河岸过河要求 v水平＝0，所以船头应向上游偏转一定角度，如右图所示，有 v2sin α＝v1，得 α＝30° ，所以当船头向上 游偏与河岸成一定角 β＝60° 时航程最短． s＝d＝180 m d d 180 t＝ ＝ ＝ s＝24 v2cos 30° 5 v⊥ 3 23 s(2)若 v2＝1.5 m/s 与(1)中②不同，因为船速小于水速，所 以船一定向下游漂移， 设合速度方向与 d 河岸下游方向夹角为 α， 则航程 s＝ . sin α 欲使航程最短， α 最大， 需 如右图所示， 由出发点 A 作出 v1 矢量，以 v1 矢量末 端为圆心，v2 大小为半径作圆，A 点与 圆周上某点的连线即为合速度方向， 欲 使 v 合与水平方向夹角最大，应使 v 合 v2 1.5 与圆相切，即 v 合⊥v2.sin α＝ ＝ ＝ v1 2.5 3 ，得 α＝37° . 5所以船头应向上游偏与河岸夹角为 53° . d d 180 t＝ ＝ ＝ s＝150 s v2cos 37° 1.2 v⊥ v 合＝v1cos 37° m/s，x＝v 合 t＝300 m ＝2答案(1)①垂直河岸 3 s36 s 180 m905 m②偏上游与河岸成 60° 角 24(2)偏上游与河岸成 53°角 150 s300 m题型 3绳连物体的速度分解问题【例 3】 如图 5 所示，物体 A 和 B 质量均为 m，且分别 与轻绳连接跨过光滑轻质定滑轮，B 放在水平面上，A 与悬绳竖直． 用力 F 拉 B 沿水平面向左“匀速”运动过 程中，绳对 A 的拉力的大小是( A．大于 mg C．一定小于 mg ) B．总等于 mg D．以上三项都不正确图5思路点拨 根据物体 A 和 B 沿绳子方向分速度相等，得出物体 A 速 度变化规律及加速度方向，再由牛顿第二定律即可得出 绳的拉力与 mg 的大小关系．解析物体 B 向左的速度 vB 是合速度，根据其效果，分解为如右图所示 的两个速度 v1 和 v2，其中 v2＝vA，又 因 v2＝vBcos θ，当物体 B 向左匀速运 动时，vB 大小不变，θ 变小，cos θ 增 大，所以 v2 增大，即物体 A 向上做加 速运动，由牛顿第二定律得：T－mg ＝ma，可知：T＝mg＋a＝m a&mg，故 A 正确．答案A方法提炼 在进行速度分解时，首先要分清合速度与分速度．合速 度就是物体实际运动的速度，由物体的实际运动确定， 分速度由合速度的效果利用平行四边形定则确定．变式练习 3 如图 6 所示，汽车 向右沿水平面做匀速直线运动， 通过绳子提升重物 M.若不计绳 子质量和绳子与滑轮间的摩擦， 则在提升重物的过程中，下列有 关判断不正确的是( A．重物加速上升 B．重物减速上升 C．绳子张力不断减小 D．地面对汽车的支持力增大 )图6解析汽车的速度可分解为如右图所示的沿绳子方向的速度 v1 及垂直于绳子方向 的速度 v2，由图可得：v1＝vcos α，当汽 车沿水平面做匀速直线运动时，角度逐渐 减小， 速度 v1 逐渐增大， 正确， 错误； A B 重物加速上升，重物处于超重状态，通过 微元法可求得加速度越来越小，则绳子的 拉力逐渐减小，C 正确；对汽车进行受力 分析可得：N＋Tsin α＝mg，随着角度的 减小，Tsin α 值减小，故 N 增大，D 正确．答案B题型 4综合应用【例 4】 如图 7 甲所示，在一端封闭、长约 1 m 的玻璃 管内注满清水，水中放置一个蜡块，将玻璃管的开口 端用胶塞塞紧．然后将这个玻璃管倒置，在蜡块沿玻 璃管上升的同时，将玻璃管水平向右移动．假设从某 时刻开始计时，蜡块在玻璃管内每 1 s 上升的距离都 是 10 cm，玻璃管向右匀加速平移，每 1 s 通过的水平 位移依次是 2.5 cm、 cm、 7.5 12.5 cm、 17.5 cm.图乙中， y 表示蜡块竖直方向的位移， 表示蜡块随玻璃管运动 x 的水平位移，t＝0 时蜡块位于坐标原点．图7(1)请在图乙中画出蜡块 4 s 内的运动轨迹． (2)求出玻璃管向右平移的加速度． (3)求 t＝2 s 时蜡块的速度 v.解析(1)蜡块在竖直方向做匀速直线运动，在水平方 ①向向右做匀加速直线运动，根据题中的数据画出的轨 迹如下图所示．(2)由于玻璃管向右为匀加速平移，根据 Δs＝at2 可求得加 速度，由题中数据可得：Δs＝5.0 cm，相邻时间间隔为 1 s， Δs 则 a＝ 2 ＝5×10－2 m/s2 ② t (3)由运动的独立性可知，竖直方向的速度为 y vy＝ t ＝0.1 m/s 水平方向做匀加速直线运动，2 s 时蜡块的水平速度为 vx＝at＝0.1 m/s 则 2 s 时蜡块的速度 v＝ v2＋v2＝ x y－2③④ 2 m/s 102⑤答案 (1)见解析图 (2)5×10m/s2 (3) 10 m/s【评分标准】 本题共 14 分．其中①②式各 4 分，③④⑤各式 2 分． 【名师导析】 新课标高考注重考查基础知识及基本概念，且注重方法的 考查．题中蜡块的运动充分体现了合运动与分运动的等效 性、独立性、等时性等，同时体现了研究问题的思想及方 法，并注重图象研究问题的直观性．在学习中，如何将知 识点理解透彻，如何利用习题训练自己的思维和研究问题 的方法，将是一个重要的学习环节．自我批阅 (18 分)设“歼―10”质量为 m，以水平速度 v0 飞离跑道 后逐渐上升，若飞机在此过程中水平速度保持不变，同 时受到重力和竖直向上的恒定升力(该升力由其他力的 合力提供，不含重力)．求： (1)用 x 表示水平位移，y 表示竖直位移，试画出“歼 ―10”的运动轨迹简图，并简述作图理由． (2)若测得当飞机在水平方向的位移为 L 时，它的上升高 度为 h.求“歼―10”受到的升力大小． (3)当飞机上升到 h 高度时飞机的速度大小和方向．解析(1)“歼―10”的运动轨迹简图如下图所示．“歼―10”战机在水平方向做匀速直线运动，在竖直方向 受重力和竖直向上的恒定升力，做匀加速直线运动，则运 动轨迹为类平抛运动． (2)水平方向 L＝v0t 1 2 竖直方向 h＝ at 2 2h 2 得 a＝ 2 v0 L 由牛顿第二定律 F－mg＝ma 2h 2 所以 F＝mg(1＋ 2v0 ) gL (4 分) (2 分) (2 分) (1 分) (2 分) (1 分)(3)水平方向速度 vx＝v0 竖直方向速度 vy＝ 2ah＝ 2hv0 2h 2 2× 2 v0 h＝ L L(1 分) (2 分)由于两速度垂直，合速度 4h2 v0 2 v＝ vx2＋vy2＝v0 1＋ 2 ＝ L L ＋4h2 L vy 2h 合速度与水平方向夹角 θ，tan θ＝v ＝ L x(2 分) (1 分)答案见解析素能提升一、选择题(1～3 单选题，4～6 双选题) 1．如图 8 所示，一条小船位于 200 m 宽的 河正中 A 点处， 从这里向下游 100 3 m 处有一危险区，当时水流速度为 4 m/s， 为 了使小船 避开危险区 沿直线到 达对 岸，小船在静水中的速度至少是( 4 3 8 3 A. m/s B. m/s 3 3 C．2 m/s D．4 m/s )图8解析100 3 tan θ＝ ＝ ，θ＝30° ，故 v 船＝v 水 sin θ＝ 100 3 31 4× m/s＝2 m/s. 2答案C2．如图 9 所示，两小球 a、b 从直角三角形 斜面的顶端以相同大小的水平速率 v0 向 左、 向右水平抛出， 分别落在两个斜面上， 三角形的两底角分别为 30° 60° 和 ，则两 小球 a、b 运动时间之比为( A．1∶ 3 C． 3∶1 B．1∶3 D．3∶1 )图9解析 设 a、b 两球运动的时间分别为 ta 和 tb，则 tan 30° 1 2 1 2 gt gt 2 a gta 2 b gtb ta tan 30° ＝ ＝ ， 60° tan ＝ ＝ ， 两式相除得： ＝ tb tan 60° v0ta 2v0 v0tb 2v0 1 ＝ . 3答案B3．如图 10 所示，从一根内壁光滑的空心 竖直钢管 A 的上端边缘， 沿直径方向向 管内水平抛入一钢球． 球与管壁多次相 碰后落地(球与管壁相碰时间不计)，若 换一根等高但较粗的内壁光滑的钢管 B，用同样的方法抛入此钢球，则运动 时间( )图10A．在 A 管中的球运动时间长 B．在 B 管中的球运动时间长 C．在两管中的球运动时间一样长 D．无法确定解析小球做平抛运动，平抛运动可分解为水平方向的匀速运动和竖直方向的自由落体运动．球跟管壁碰撞中受水 平方向弹力作用，只改变水平方向速度大小，而竖直方向 1 2 始终仅受重力作用，保持自由落体运动．由公式 h＝ gt ， 2 2h 得 t＝ ，因 A、B 等高，故 t 相同，应选 C.g答案C4．质量为 m 的物体，在 F1、F2、F3 三个共点力的作用下 做匀速直线运动，保持 F1、F2 不变，仅将 F3 的方向改 变 90° (大小不变)后，物体可能做 F3 A．加速度大小为 m 的匀变速直线运动 2F3 B．加速度大小为 m 的匀变速直线运动 2F3 C．加速度大小为 m 的匀变速曲线运动 D．匀速直线运动 ( )解析物体在 F1、F2、F3 三个共点力作用下做匀速直线运动，必有 F3 与 F1、F2 的合力等大反向，当 F3 大小不变， 方向改变 90° 时，F1、F2 的合力大小仍为 F3，方向与改变 F合 方向后的 F3 夹角为 90° ，故 F 合＝ 2F3，加速度 a＝ m ＝ 2F3 m ，但因不知原速度方向与 F 合的方向间的关系，故有 B、C 两种可能．答案BC5． 乙两船在同一条河流中同时开始渡河， 甲、 河宽为 H，河水流速为 v0，划船速度均为 2 v，出发时两船相距 3H，甲、乙两船船 3 头均与河岸成 60° 角，如图 11 所示．已知 乙船恰好能垂直到达对岸 A 点，则下列判 断正确的是 ( ) A．甲、乙两船到达对岸的时间不同 B．v＝2v0 C．两船可能在未到达对岸前相遇 D．甲船也在 A 点靠岸图11解析H 渡河时间均为 ，乙能垂直于河岸渡河， vsin 60°对乙船，由 vcos 60° 0，可得 v＝2v0，甲船在该时间 ＝v H 2 内沿水流方向的位移为(vcos 60° 0) ＋v ＝ 3H， vsin 60° 3 刚好到 A 点．综上所述，A、C 错误，B、D 正确．答案BD6．如图 12 为一个做匀变速曲线运动的 质点的轨迹示意图，已知在 B 点的速 度与加速度相互垂直，则下列说法中 正确的是 ( ) A．D 点的速率比 C 点的速率大 B．A 点的加速度与速度的夹角小于 90° C．A 点的加速度比 D 点的加速度大 D．从 A 到 D 加速度与速度的夹角一直减小图12解析质点做匀变速曲线运动，合力的大小方向均不变，加速度不变，故 C 错误；由 B 点速度与加速度相互垂直可 知，合力方向与 B 点切线垂直且向下，故质点由 C 到 D 过程，合力做正功，速率增大，A 正确；A 点的加速度方 向与过 A 的切线也即速度方向夹角大于 90° ，故 B 错误； 从 A 到 D 加速度与速度的夹角一直变小，D 对．答案AD二、非选择题 7．小船在 200 m 宽的河中横渡，水流速度为 2 m/s，船在 静水中的航速是 4 m/s，求： (1)当小船的船头始终正对对岸时，它将在何时、何处到 达对岸？ (2)要使小船到达正对岸，应如何行驶？历时多长？解析小船参与了两个运动：随水漂流和船在静水中的运动．因为分运动之间是互不干扰的，具有等时的性质，故 (1)小船渡河时间等于垂直于河岸的分运动时间 d 200 t＝t1＝ ＝ s＝50 s 4 v船 沿河流方向的位移 s 水＝v 水 t＝2×50 m＝100 m 即在正对岸下游 100 m 处靠岸．(2)要小船垂直过河，即合速度应垂直于河岸，如图所示．v水 2 1 则 cos θ＝ ＝ ＝ v船 4 2 所以 θ＝60° ，即航向与岸成 60° 角 d d 200 100 渡河时间 t＝t1＝ ＝ ＝ s＝ s＝57.7 s v合 v船sin θ 4sin 60° 3答案(1)50 s后在正对岸下游100 m处靠岸57.7 s(2)航向与水流方向夹角为60°8.一辆车通过一根跨过定滑轮的轻绳子提升一个质量为 m 的重物，开始车在滑轮的正下方，绳子的端点 A 离滑轮 的距离是 H.车由静止开始向左做匀加速运动， 经过时间 t 绳子与水平方向的夹角为 θ，如图 13 所示，试求：图13(1)车向左运动的加速度的大小． (2)重物 m 在 t 时刻速度的大小．解析(1)汽车在时间 t 内向左走的位移s＝Hcot θ 1 2 又汽车匀加速运动 s＝ at 2 2s 2Hcot θ 所以 a＝ 2 ＝ t t2 2Hcot θ (2)此时汽车的速度 v 汽＝at＝ t 由运动的分解知识可得， 汽车速度 v 汽沿绳的分速度与重物 m 的速度相等，即 v 物＝v 汽 cos θ 2Hcot θcos θ 得 v 物＝ t2Hcot θ 答案 (1) t22Hcot θcos θ (2) t反思总结返回
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