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自动控制原理
线性系统的状态空间分析与综合习题及解答
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线性系统的状态空间分析与综合习题及解答
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自动控制原理
线性系统的状态空间分析与综
官方公共微信机械控制理论课程 第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合_矩阵_中国百科网
机械控制理论课程 第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合
    第七章线性定常系统的状态空间分析与综合
一、现代控制理论课程的地位和内容
1、地位：学科基础课。 98年教育部重新审定专业，将原机械类9个专业合并为机械设计制造及其自动化专业，新加入了自动化3个字，强调了自动控制在机械工程学科中的地位，体现了传统机械工程专业向以机、电、控制相结合的现代机械工程专业转变的思想。而自动控制原理（主要内容介绍经典控制理论）和现代控制理论两门姐妹课程构成了整个控制工程学科的基础。所以现代控制理论是学科基础课，而且是重要的学科基础课。
2、内容：广义地讲，几乎包含了整个控制理论。包括多个分支。如线性系统理论、最优控制理论、最优估计理论、系统辨识、自适应控制理论、大系统理论、计算机控制、智能控制理论等。
狭义地讲，现代控制理论主要是以状态空间分析方法为特征的控制理论，主要内容是线性系统理论。我们这门课仅学习线性定常系统的部分内容。（大多数在正常范围的物理系统可用线性模型描述，线性系统可用标准方法求解，线性系统是研究非线性系统等的基础）
经典控制理论和现代控制理论之间的区别及发展(略)
线性系统满足迭加性和其次性
经典控制理论
现代控制理论
1、研究问题的区别
线性定常系统
线性定常、时变、非线性系统
单输入&-单输出系统
多输入&-多输出系统
2、研究方法的区别
传递函数（或者微分方程）
状态空间分析法（由状态变量构成的一阶微分方程组）
只研究输入---输出的关系，不包含其他相互独立的中间变量的信息（即不包含系统的所有信息）
输入---输出通过中间变量反映，反映了系统的全部独立变量的变化，即反映了全部内部状态
不便于使用计算机分析和控制
便于使用计算机分析和控制
3、设计控制系统的区别
根据幅值、相位裕度，超调量，调节时间等笼统的性能指标设计校正装置，依赖设计者的经验，不容易实现最优控制
根据控制规律（通常可使性能指标最优），提供解析设计方法由计算机实现
7-2 控制系统的状态空间表达式
一、状态变量及状态空间表达式
用状态分析方法分析系统，首要任务是选取状态变量和建立系统的数学模型&&状态空间表达式
1、状态变量：
能够完全确定动力学系统运动状态（描述系统时域行为）的最少个数的一组独立变量
注：① 完全确定是指状态变量在t=t0时刻已知时（初始条件），且tt0时输入给定时，那么系统在任何时刻tt0时的行为（输出）可完全确定（因n个独立的初始条件已知时，n阶微分方程有唯一确定的解）
②动力学系统的定义抽象且说法不一，比如；可称其为能储存输入信息的系统
③ n阶系统（即用n阶微分方程描述的系统）有n个独立变量；
④ 状态变量不是唯一的，但数目是唯一的；
2、状态矢量
由n个状态变量x1(t),x2(t)&xn(t)组成的矢量x(t)称为状态矢量，即
系统是一些部件的组合，这些部件按照一定的规律组合起来完成某项特定任务的物理系统。
从信息传递的角度看，控制系统是一个信息传递和加工的装置。它既有接受外部输入信息的能力，又有输出人们所需要信息的能力。
状态是指系统过去、现在、将来的运动状态；是关于系统信息的集合，为了确定系统未来的行为，这些信息是必要的且充分的（不多也不少）。
3、状态空间和状态轨迹
状态变量为坐标轴所构成的维空间称为状态空间。
为状态空间的一个初始点，为状态空间中对应时刻的一个点。当由时在状态空间中形成点的轨迹，称为状态轨迹。
4、状态方程
由系统状态变量描述系统时域行为（运动状态）的一阶微分方程组称为状态方程。
[例] 建立如图所示R-L-C网络的状态方程。
解：当给定独立变量和的初始位置系统在任何时刻的状态便可确定，故选和为状态变量
由电路原理得包含这两个状态变量的一阶微分方程组，即为状态方程
写成状态变量的导数在等式左端、状态变量在右端的标准形式，即为
若令 写成矩阵形式
或 (要适应矩阵表达方法)
写出状态方程的步骤：
①确定状态变量（完全、确定的描述系统的最少独立变量个数）
②由物理规律写出关于状态变量的一阶微分方程组
③写成状态变量的导数在等式左端、状态变量在等式右端的标准形式。
状态变量的选择是从数学上考虑的，并不一定要在物理上是可测的，但是在设计时往往需要用状态变量的信息作为反馈信号，工程上还是尽量选择容易测量的变量
既然状态是指系统过去、现在、将来的运动状态；是关于系统信息的集合，为了确定系统未来的行为，这些信息是必要的且充分的（不多也不少）。那么，能储存系统过去、现在的运动状态、确定系统将来的运动状态的变量可取做状态变量（储能元件）
5、输出方程
反映系统输出与状态变量间的函数关系式称为输出方程，对应上例，若输出用Y表示，确定作为输出，则输出方程为或
写成矩阵形式
式中（或）
①写出输出与状态变量的表达式
②将该表达式写成矩阵形式
6、状态空间表达式
状态方程和输出方程合起来称为系统的状态空间表达式。
7、状态变量的非唯一性和状态方程的非唯一性
如上例 取和为两个状态变量
由电路原理（在原状态方程中消去）
可见在同一系统中，状态变量选取不同时，状态方程也不同。
状态变量的非唯一性，如果是状态矢量，只要矩阵P是非奇异的（满秩），那么也是状态矢量。
(二)单输入---单输出线性定常系统状态空间表达式的一般形式
线性：各方程都是关于x和u的线性函数。
定常：各系数均与时间无关。
设状态变量为，则状态方程的一般形式为：
输出方程式一般有：
写成向量矩阵形式的状态空间表达式为
式中 为维状态矢量
为（）维系统矩阵（反映了系统内部状态的联系）
为（）维矩阵（列阵）即为输入矩阵或者控制矩阵（反映了输入对状态的作用）
为（）维输出矩阵，（建立了输出和状态的联系）
(三)多输入---多输出线性定常系统的状态空间表达式
（如具有个输入，个数出）
状态方程一般为
输出方程一般为
其状态空间表达式的矢量矩阵形式为
式中 和-----同单输入系统，分别为维状态矢量和维系统矩阵
-----为维输入（或控制）矢量
-----为维输出矢量
-----为维输入（控制）矩阵
-----为维输出矩阵
-----为维直接传递矩阵（输入直接传递到输出）
一般地（除特别说明），为简单起见，令，即不考虑输入矢量的直接传递作用。
二、状态空间表达式的模拟结构图
1、系统方块图及模拟结构图？
以传递函数表示系统信号之间传递关系的图为方块图。
用积分器表示的系统信号之间传递关系的图为模拟结构图。
2、模拟结构图（由微分方程或状态空间表达式）的绘制步骤：
①确定积分器的数目，积分器的数目等于状态变量的数目或微分方程的阶数；
②每个积分器的输出表示相应的单个状态变量，输入为状态变量的导数；
③根据微分方程或状态方程和输出方程，确定加法器和比例器；
④用箭头将这些元件连接起来。
3、状态空间表达式一般形式的模拟结构图
①单输入------单输出系统 （略，见书）
②多输入------多输出系统 （略，见书）
4、举例(分别由微分方程和状态空间表达式绘制，传递函数绘制简化一阶系统后绘制，可参考下节)
① 画出的模拟结构图。
解：（略）
② 画出用以下微分方程描述系统的模拟结构图
解：微分方程为三阶，故有3个积分器
⑴先画出3个积分器；
⑵将微分方程写成最高系数项在等式左端的表达式，即为
⑶其余系数项前的系数分别为各比例器的数值，输入项前的系数为输入比例器的数值，等式右端为4项的代数和，即加法器有4个分支输入。
经过上述分析，不难画出其模拟结构图。
③ 画出有以下状态空间表达式描述系统的模拟结构图
第1步，先画出3个积分器；
第2步，由状态方程所确定的关系连接有关积分器；
第3步，由状态方程的关系式确定的关系，来自4路，分别相加；
第4步，画出输出方程的关系。
对二输入二输出系统可仿照参考书，此处从略。
三、状态空间表达式的建立（一）
状态空间表达式可以由以下3种方式建立
①由系统的方块图，根据系统各个环节的实际连结；
②由（物理、化学、电子等）机理出发进行推导求得；
③由系统运动的微分方程和传递函数。
(一)由系统方块图建立状态空间表达式
①该方法的关键是由方块图模拟结构图；
②取每个积分器的输出作为一个状态变量，其输入是相应的；
③根据实际连接写出状态方程和输出方程。
写成矢量矩阵形式，系统的状态空间表达式为
对于含有零点的环节，先展开成部分分式，即
(二)从系统的机理出发建立状态空间表达式
例 [1-2] 电网络如图所示，输入量为电流源，并指定以电容和上的电压作为输出，求此网络的状态空间表达式。
解：取电容和上的电压和及电感和中的电流和为状态变量。（四个独立储能元件，故有四个独立变量）
从节点a、b、c, 按基尔霍夫电流定律列出电流方程
*注：流经电容的
电流，方向从正到负。
流入节点为正；
流出节点为负。
从三个回路、、，按基尔霍夫定律列出电压方程
由以上6式消去独立变量和得
由第2式得：
由第1式得：代入4式得，
由3式得，代入5式得
从上式解出：
[例1-3] 题参见书
取质量块的位移分别为 ； 速度为
由牛顿定律，对为脱离体进行受力分析
也可直接得到：
整理即得：
即 注为输入
指定、为输出
（不讲）[例1-4] 试写出如图所示机械系统的状态空间表达式，
其中为扭转轴的刚性系数（类似弹簧刚度）
为粘性阻尼系数
解：选择扭转轴的转角为及其角速度为为状态变量
由牛顿定律，得
指定为输出，即
如图是直流他励电动机的示意图，写出该系统在电枢电压 作为控制作用时的状态空间表达式。
解：流过电感回路的电流和转体的角速度为状态变量(转体有两个独立的状态变量,另一个为转角)
由电枢回路知 （为反电动势）
由动力学方程 为转矩常数
由电磁感应关系 为电动势常数
代入 关系，得到
若指定角速度为输出，则
若指定电动机的转角为输出，则需要增加状态变量
输出方程为
四、状态空间表达式的建立（二）
若考虑一个单变量线性定常系统，它的运动方程是一个n阶线性常系数微分方程
相应的传递函数为
所谓实现问题，就是根据上二式寻求如下式的状态空间表达式
注意：1、实现的存在条件是
①当时，状态空间表达式中
②当时，在这种情况下传递函数可写成
2、实现并非唯一的，可以取无穷多种形式
3、若原系统传递函数中分子和分母没有公因子，即不出现零极点对消，虽系统矩阵的元素取值不同，但其特征根是相同的。通常把这种没有零极点对消的传递函数的实现称之为最小实现。
(一)传递函数中没有零点时的实现（即没有输入导数项）
在这种情况下，系统的微分方程为
相应的系统传递函数为
将（1-22）移项,并两端同除以
输出方程为
表示成矩阵形式为
上述阵为友矩阵，即主对角线上方元素为1；最后一行元素可取任意值；其余元素均为零。
法2：首先将传递函数化成 的型式，然后将H所表示的和式画成并联的型式，最后利用相加点移动得到
如此G=, H=,
注意到H为n项、、、并联，然后利用引出点分别前移n-1、 n-2、 、1项得到系统模拟结构图，如书中1－13图所示（引出点前移乘以G,即本处的一个积分器）
例1-6 系统的输入输出微分方程为 ，写出其状态空间表达式。
解：对比标准形式，
故状态方程为
(二)传递函数中有零点时的实现（即方程中包含输入函数的系数）
此时，系统的微分方程为
相应地，系统传递函数为
实现一：法Ⅰ 为了说明方便，又不失一般性，这里先以三阶微分方程为例进行分析。三阶系统的传递函数为
令 　　　　　　　　　
即原传递函数可分解为以下二式：
由〈1〉得，
法Ⅰ：可由上面‘1中没有输入系数项命题’求得状态方程及它的输入方程
由〈2〉取拉氏反变换求输出方程
法Ⅱ：当然也可由‘1中没有输入系数项命题’ 画出其模拟结构图的下半部分再由画出模拟结构图的上半部分，然后求出
对于n阶系统类似地有
相对于‘1’可见两者状态方程式相同，不同的是输出方程。因此，可根据传递函数中系数写出状态空间表达式。
法1 书中的方法是图1-15将所有系数项等效地处理一个无系数的，如此按‘1’中方法求解，然后令图1-16（a）和图1-15等效，再将图1-16（a）等效变换成图1-16（b），因图1-16（b）和图1-15等效，并结构完全相同，求得传递函数后，故可求得
法2 本题也可直接用数学方法求得。（不讲）
取状态变量为输出和输入的多阶导数的适当组合
分别用，，，乘上式中的前项，并移项得
上式左端相加后，即为线性微分方程的左端，因此，上式右端相加后，也应等于线性微分方程的右端。即
如，则自然就有等式
系统状态空间表达式为
注意到上〈*〉式
再令状态变量中第一式得，
[例1-7] 已知系统的输入输出微分方程为，试写出其状态空间表达式。
解：由微分方程得
状态方程表达式为
(三)多输入----多输出系统微分方程的实现简介（举例）（不讲）
以双输入&双输出的三阶系统为例，设系统的微分方程为
注：虽然第一式导数最高阶为2，但式中为求得，需要对第一式求导
原式可写为
对每一个方程积分
由上面式子，可得模拟结构图（注意一次积分相当一个积分器，两次积分相当两个积分器）
取每一个积分器的输出为一个状态变量，如图，则根据模拟结构图可列出一种实现，
写成矩阵形式：
五、 状态向量的线性变换（坐标变换）
(一)系统状态空间表达式的非唯一性
为什么要进行线性变换？
①说明状态变量不同，但实际可以通过线性交换互相转换；
②交换成标准形式可使后面的研究简化。
选择不同的状态变量，可以得到不同的状态空间表达式。实质上不同的状态变量可以通过非奇异交换实现。
对于任意状态变量，我们可以找到一个非奇异矩阵（满秩），通过线性变换，将变换为
令 即 为变换矩阵（为非奇异阵，存在）
代入原状态空间表达式得
左边乘，即得
因为任意非奇异矩阵，故状态空间表达式非唯一。
新的状态空间表达式
例1-8 若系统状态空间表达式为， ，
解：若取变换矩阵，即，则变换后的状态矢量将为
亦即新的状态变量、是原始状态变量、的线性组合。
从而得变换后的状态空间表达式为
书本2）、3）举了在其他变换矩阵下（我们也可举出任意的非奇异矩阵），可以得到不同的状态空间表达式。以下介绍变换矩阵的求法。为此先研究
系统特征值、特征矢量的求法
(二)系统特征值的不变性及系统的不变量
1、系统特征值的概念
系统特征值就是系统矩阵的特征值，也即特征方程： 的根。
若为阶方阵，则有个特征值；
实际物理系统中，为实数方阵，故特征值或为实数，或为成对共轭复数；为实数对称方阵，则其特征值都是实数。
2、系统的不变量与特征值的不变性
定理：系统
经非奇异变换后（变换阵为），其特征值不变，且特征多项式
的系数，，，也不改变。
证明：设变换矩阵为非奇异，则系统可变换为
其特征方程为
将特征方程写成多项式形式，而特征值完全由特征多项式的系数，，，唯一地确定，而特征值经非奇异变换是不变的，即这些系数，，，也是不变的量。所以称特征多项式的系数为系统的不变量。
3、特征矢量
设为的一个特征值，若存在某个非零矢量，满足，则称为的对应于的特征矢量。
例1-9 试求 的特征矢量。
解：的特征方程为
① 对应于的特征矢量
设 ，按特征矢量定义
②同理，可以算出对应于时的特征矢量
对应于时的特征矢量
(三)状态空间表达式变换为对角线标准型和约旦标准型
1、系数矩阵具有任意形式
定理：对于线性定常系统，如果其特征值是两两相异的，则必存在非奇异矩阵，经过变换，状态方程化为对角线标准型。
经过变换，化为
如果特征值包含有个重根时，则将状态方程化为约旦标准型
证明：①先证特征值无重根
设是的个互异特征根， 是对应于这些特征值的特征矢量。
由于特征值互异，故特征矢量线性无关。它们构成的矩阵必为非奇异，即存在。
由特征矢量的意义：
两端左乘得到：
从而，证得经非奇异矩阵交换后，系统矩阵为对角线阵。
②当的特征值包含个重根时
不加证明地给出变换矩阵的计算公式如下：
其中，是对应于 个单根的特征矢量，求法同前，对应于个重根的各向量的求得，应根据下式计算
显然，仍为对应的特征矢量，其余则称之为广义特征矢量。
[例1-10] 试将下列状态方程变换为对角线标准型
解：的特征值互异，则变换矩阵
则经变换后各有关矩阵分别为
变换后的状态空间表达式为
[例1-11] 试将下列状态空间表达式化为约旦标准型。
解：先求出的特征值
设对应的特征向量
由特征矢量的定义 得
再求对应于的另一广义特征向量，设，
最后求对应于的特征矢量，设，则有
于是得到变换矩阵
为此变换后的矩阵分别为
变换后的状态空间表达式为
2、阵为友矩阵（注意书中标准型指友矩阵）
①当的特征值无重根时
定理：对线性定常系统，如果其特征值无重根，且系统矩阵具有如上矩阵形式（友矩阵）时，则将系统状态方程化为对角线标准型的非奇异矩阵可取如下形式（称为范德蒙德Vandermonde矩阵）
证明：我们知道，相异特征值对应的特征向量组成的矩阵是非奇异矩阵。
任取某一特征值，根据特征向量定义，，即得
由上式可得，
将这些式子代入上式得，
如取（任意常数）
取基本解为
由于的任意性
② 当的特征值包含q重根时,
总结：讲了四个问题：
①任意的非奇异矩阵，可以将系统
因为任意非奇异矩阵，故状态空间表达式非唯一。
新的状态空间表达式
②特征值的求法
③特征向量的求法
④ 状态空间表达式线性变换
● 当矩阵为任意矩阵形式时
a、特征值互异
b、特征值包含q个重根，其余为单根，
其中对应于个重根的各向量的求得，
后个单根的特征向量求法同前，即（）
● 当矩阵为友矩阵时
公式如上（略）
3、系统的并联型实现
已知系统传递函数
现将上式展开成部分分式。由于系统的特征根有两种情况：①所有根均互异，②有重根；分别讨论如下。
① 具有互异根的情况
式中 系统的特征根。
将其展开成部分分式
其模拟结构图如图或所示，不难看出两种情况均采取积分器并联的结构形式。
不讲：系数的求法如下：
以两阶为例，
取每个积分器的输出作为一个状态变量，系统的状态空间表达式分别为
现二者均为对角线标准型，因此，对角线标准型的实现是并联的。
②具有重根的情况
设有一个重根，其余是互异根。这时的部分分式展开式为
或 （1-60）
可知系统的一种实现为书中p38图1－19的结构，其中重根取积分器串联的形式，相异根均为积分器并联，重根部分和相异根部分并联。
其状态空间表达式为
用矢量矩阵形式表示，有：
六、由状态空间表达式求传递函数
(一)传递函数（矩阵）
1、单输入----单输出系统
已知系统的状态空间表达式
复习：式中 维状态矢量；
和输出和输入，它们都是标量；
方阵；列阵；行阵；
标量，一般为零。
假定初始条件为零，则对状态空间表达式进行拉氏变换有，
故间的传递函数为
它是一个的列阵函数。
间的传递函数
它是一个标量
2、 多输入多输出系统
①传递函数阵
已知系统的状态空间表达式
式中 输入列矢量；
输出列矢量；
控制矩阵；
输出矩阵；
直接传递阵；
同单变量系统。
设初始条件为零，同理得
故间的传递函数为
它是一个矩阵函数。
而间的传递函数是
它是一个矩阵函数
其中各元素都是标量函数，它表征第个输入对象个输出的传递关系。当时，如果，则意味着不同标号的输入与输出有相互关系，称为有耦合关系，这正是多变量系统的特点。
还可以表示为
其中为矩阵的伴随矩阵
可以看出，的分母，就是系统矩阵关于的特征多项式，的分子是一个多项式矩阵。
②传递函数阵的不变性
状态空间表达式不是唯一的（可以通过各种非奇异变换阵变换），但它的传递函数阵是不变的。说明如下:
令, 则该系统的状态空间表达式变换为
那么对应状态空间表达式的传递函数阵应为
即同一系统，其传递函数阵是唯一的。
(二)子系统在各种联结时的传递函数阵
由于实际的控制系统，往往由多个子系统组合而成，或并联，或串联、或形成反馈联结。现仅以两个子系统作各种联结为例，推导其等效的传递函数阵。
1、并联联结
①并联联结的意义
所谓并联联结，是指各子系统在相同输入下，组合系统的输出是各子系统输出的代数和，结构简图如图所示。
说明：每一子系统内部结构与所讨论结果无关，只要满足二子系统并联联结。
②状态空间表达式（下面以相加为例证明）
③传递函数阵
相减时同理
即子系统并联时，系统传递函数阵等于子系统传递函数阵之和。
2、串联联结
①串联联结的含义：即一个子系统的输出为另一个子系统的输入，即，，，结构图如下：
②状态空间表达式
组合系统的状态方程为：
输出方程为
③传递函数阵
法2 见尤昌德书p58及线代p134，习题3
3、具有输出反馈的系统
①输出反馈的含义：即一个子系统的输出反馈到另一个子系统的输入端，且这个子系统的输入为另一个子系统的输出，即，，，其结构图如下：
②状态空间表达式（为简单起见，设）
整理得到，
③传递函数阵
注意到只需求出即可，因为这两个矩阵，
而根据逆矩阵的定义，故有
由上二式解得
同理也可以求得
7-3 控制系统状态空间表达式的解
在上一章建立了控制系统的状态空间表达式后，下面研究它的解的问题。
一、线性定常齐次状态方程的解（自由解）
(一)自由解的概念
所谓系统的自由解，是系统输入为零时，由初始状态引起的自由运动。即在初始状态下的自由运动。
(二)关于自由解的定理
定理：设有齐次状态方程
若初始时刻时的状态给定为，则该齐次状态方程(2-1)有唯一确定解
若初始时刻从开始，即，则其解为
证明：设微分方程的解为的矢量幂级数形式，即
将该式代入，得
上式应对任意时刻都成立
则的同次幂项的系数应相等，即
又在式中令，得
将这些结果代入中，得
称为矩阵指数函数。
于是式表示为
二、矩阵指数函数&&状态转移矩阵
(一)状态转移矩阵
齐次矩阵微分方程（2-1）的自由解为
从这个解的表达式可知，它反映了从初始时刻的状态向量，到任意或时刻的状态向量的一种向量变换关系，变换矩阵就是矩阵的指数函数。但需注意不是一个常数矩阵，它的元素一般是时间 t 的函数，即是一个时变函数矩阵。
1、状态转移矩阵的概念（定义）
由于在不同的时刻，对应不同的状态，即状态在不断转移，也称状态转移矩阵，记为。表示到的转移矩阵，而表示到的转移矩阵。
2、用状态转移矩阵表示的齐次状态方程的解
根据状态转移矩阵的定义，即得用状态转移矩阵表示的齐次状态方程的解
3、状态转移矩阵的几何意义
为了便于说明问题，以二维状态矢量为例，并用图形表示在时，，若以此为初始条件，且已知，那么在时的状态将为
若已知，那么时的状态将为
即从状态开始，通过转移到，再通过转移到在状态空间中描绘出一条轨迹。
若为初始时刻，状态即为初始状态，从状态转移到的状态为
对比从直接转移到（状态与过程无关，只与所处状态有关）
这就是组合性质
(二)状态转移矩阵（矩阵指数函数）的基本性质
这就是组合性质。
证明： 证毕
另：左端：
即从转移到 等于 转移到0，再从0转移到 的状态组合
这里显然的，因为状态矢量从时刻又转移回到时刻，当然状态矢量不变。
3、性质三 （可逆性）
根据逆矩阵的定义， 或
有的书，把本性质作为状态转移矩阵的定义给出，即如果矩阵满足，，称为状态转移矩阵。
5、性质五（传递性）
对于方阵和，当且仅当时，有；而当时，则。该性质表明，除非和矩阵是可交换的，否则它的矩阵指数函数之积与其和的矩阵指数函数不相等(与标量函数不同)。
显然要使上面两式相等，当且仅当成立。
(三)几个特殊的矩阵指数函数
为了便于以后的计算，下面介绍几个特殊的矩阵指数函数。
1、若为对角线矩阵，即
2、若能够通过非奇异变换予以对角线化，即存在非奇异变换矩阵，使，则
用数学归纳法易证
3、若为约旦矩阵，即
4、若可化为约旦标准型（通过非奇异交换）
即，其中为约旦标准型
同2的证明类似
其中A1 A2 Al为约旦快。
尤昌德书P73
(四) 或的计算
1、根据或的定义直接计算
例2-1已知,求。
由此可见，该方法手工计算繁琐，且不易得到解析形式的结果，但计算机编程计算较易。
2、变换为约旦标准型
（1） 若特征根互异， 则由第一章P32知存在非奇异变换阵，将变换为对角线矩阵的变换阵，则由P54(2-18)知，
该方法要求：①特征值，从而求得矩阵；②变换矩阵。
例2-2 同例2-1，即
解：①先求特征值
②再由第一章求变换矩阵的方法，
本例取，（取值最终不会影响的结果）
（2）特征值有重根，则由P34知存在非奇异变换矩阵，将变换成为约旦标准型，则由P54的定理3知，，同样该方法要求：①特征值；②变换矩阵。
例2-3 ；求
问题仍然是需求出变换矩阵及。按第一章所述的方法可求得
3、利用拉氏反变换法求
证明：设齐次微分方程
两边取拉氏变换，即
上式两边取拉氏反变换，从而得到齐次微分方程的解
例2-4 同例2-1 ，试用拉氏反变换求。
4、应用凯莱-哈密顿定理求
①凯莱-哈密顿定理
方阵满足其自身的特征方程，即
②由凯莱-哈密顿定理，方阵满足其自身的特征方程，即
即是，，，，的线性组合。
以此类推，，都可用，，，，表示。
定义中的及的以上的幂次项可用，，，，的组合表示。
为关于t的各次幂的多项式。
[例2-5 ] 同 [例2-1]，已知，求。
解：的特征方程；
按凯莱-哈密顿定理，有
以此代入下式中的相应项中，即可消去的2次及2次以上的次幂
由此计算过程看见求，一是不容易得到解析表达式，二是当的维数较高时，计算繁琐，下面给出计算的一般公式。
③计算公式
（i）的特征值互异时，则
　（2-23）
证明根据满足其自身特征方程式的定理，可知特征值和式可以互换，因此，也必满足式（2-22），从而有
上式对求解，即得式（2-23）。
（ii）的特征值均相同，为时，则计算公式为
证明：同上，由，满足（2-22）式
将上式对参变量（看作变量）求次导数，依次得
将上面的n个方程反序重新列写，即
写成矩阵形式为：
[例2-6] 同例2-1，；求。
解：同例2-4 ，知为互异根，按式（2-23）
解：同例2-3，
重根部分按式（2-24）求
单根部分按式（2-23）求
（其中：）
三、线性定常系统非齐次方程的解
非齐次矩阵微分方程
1、所谓非齐次，即，线性定常系统在控制作用下的响应做强迫（制）运动，数学上表征为非齐次微分方程。
2、解的表达式：当初始时刻，初始状态时；其解为
当初始时刻为，初始状态为 时，其解为
即其解有两部分组成，等式右边第一项表示由初始状态引起的自由运动，第二项表示由控制激励作用引起的强制运动。
证明（法一）：
将状态方程写成
等式两边同左乘，得
在间积分，有
两边同乘以
同理，若在间积分有
证明（法二）：
对状态方程两端进行拉氏变换求得，
上式左乘，得
难点：由P56页
由卷积定理，
取拉氏反变换，即得
例2-8求下述系统在单位阶跃函数作用下的解
单位阶跃即
解：（1）先求；
从例2-2、例2-4、例2-6 以求得
（2）将代入式（2-26）得
若初始条件为零，即，则系统的响应仅取决于控制作用的激励部分
3、系统在一些特定控制下的响应
①脉冲响应
式中与同维的常数矢量。
由函数性质，
② 阶跃响应
即当时（表示随时间变化，输入恒为）
即，和是可以互换的
③ 斜坡响应
7-4 线性控制系统的能控性和能观性
能控性和能观性的概念
状态方程：描述输入引起状态的变化规律；
输出方程：描述由状态引起的输出的变化规律。
能控性：定性的描述输入对状态的控制能力；
能观性：定性的描述输出对状态的反映（观测）能力。
研究内容：定义，判别准则，二者对偶关系，能控和能观标准型。
一、能控性的定义
考虑到能控性所考察的只是系统在的控制下的转移情况，而与输出无关，故讨论能控性时，只需要从系统的状态方程出发。
(一)线性连续定常系统的能控性定义
对于状态方程为的线性连续定常系统，如果存在一个分段连续的输入，能在有限时间区间内，使系统由某一状态转移到指定的任一终端状态，则称此状态是能控的。
若系统的所有状态都是能控的，则称此系统是状态完全能控的，简称系统是能（可）控的；或使系统由任一初始状态转移到指定的任一终端状态，则称此系统是能（可）控的，。
2、几何解释（以二阶系统为例）
⑴ 系统某一状态能控
若P点状态能在输入作用下驱动到任一指定状态，则P点状态是可控状态。
⑵ 系统的状态完全能控
如果能控状态‘充满’整个状态空间，即对于任意初始状态都能找到相应的控制输入，使将在有限时间区间内，将状态转移到状态空间的任一指定状态，则该系统称为状态完全能控。
按照上述能控性的定义，状态完全能控的定义是把系统的初始状态取为状态空间的任意有限点，而目标状态又视为状态空间的任意有限点。
任意非零有限点
任意非零有限点
这种定义不便于后面的判别准则写成解析形式，为了便于数学处理，又不失一般性，我们把上述定义分为两种情况来叙述：
①系统的初始状态为状态空间中的任意非零有限点，而终端（目标）状态规定为状态空间原点，于是可控性定义叙述为：
定义2：对于给定线性定常系统，如果存在一个分段连续的输入，能在有限时间内，将系统从任一(非零)初始状态转移到零状态，即，，则系统是状态能控的，简称是能控的。（如果在某一初始状态转移到零点，则称此状态是可控的）
②把系统的初始状态规定为状态空间的原点，终端（目标）状态规定为任意非零有限点，于是它有如下可达性定义：
定义3：对于给定线性定常系统，若存在一个分段连续的输入，能在有限时间内，将状态从零状态转移到任一指定的(非零)终端（目标）状态，则称系统是可达的。
（可以证明）对于线性连续定常系统，可控性和可达性是等价，即如果可控，那么一定能找到将任一非零初态。由于两者等价，那么也一定能找到，将初始零状态终态。
对于任意非零有限点到任意非零有限点，我们可以理解为是从任意非零有限点零点任意非零有限点，因为可控和可达等价，所以定义2实质上即为定义1。
①基于上述原因，以后讨论能控性时，规定初态为任意非零有限点（也不包括无穷远点，吴麒书），终态为状态原点；
②在讨论能控性，我们是定性讨论，即关心是否存在某个分段连续的输入可把任意非零初始状态转移到零点，并不要求算出具体的输入和状态的轨迹。
二、（线性定常系统）能控性判据（判别准则）
收录时间:日 01:35:52 来源:马棚网 作者:匿名
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