题目在图中
先设R的零测度集E,为(-M,M)的零测度集E
则ε&0,有(an,bn),bn和an同号,
使∪{n≥1}(an,bn)包含E,
且∑∪{n≥1}(bn-an)≤ε/(2M).
而{x^2,x∈E}包含于∪{n≥1}In
In=(an^2,bn^2)或(bn^2,an^2),|In|≤2M(bn-an)≤
∑∪{n≥1}|In|≤2M∑∪{n≥1}(bn-an)≤ε.
{x^2,x∈E}为零测度集.
R的零测度集E,
根据1.得{x^2,x∈E∩(n,n+1]}为零测度集,
所以{x^2,x∈E}为可数个零测度集的并=零测度集.
设可数集A={an}, 任取ε&0, 则A?∪{n=1到∞}(an-ε/2^{n+1},an+ε/2^{n+1})故A的外测度&=Σ{n=1到∞}ε/2^n=ε...
线性空间涉及两个集合：一个是数域F，另一个是向量的集合V。零向量当然属于集合V；但是往往人们把零向量也记作0，这就容易和数域F中的0（也就是数字0）混淆了。所以...
不妨设f(x0)&0.
因为f(x)在x0连续
所以, 由极限的局部保号性定理, 存在x0的某一去心邻域, 使当x时f(x)&0
从而当x...
某工厂排放的废水，经测定有0.001mol/L的游离氯（cl2)和0.008mol/L轻粒子。现用下列反应除去其中的游离氯：Na2SO3+cl2+H2O→Na2...
答: 1971年至1972年期间，米尔格拉姆设计了一个实验，让他的研究生班的学生到公共汽车和地铁上去，毫无理由地要求他人让座
答: 课程论 钟启泉 教育科学出版社很急
答: 看一下知道要考写什么东西特别是政治.
答: 急求中国教育培训产业相关报告写论文急需用，谢谢！
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这不是个问题
这个问题分类似乎错了
这个不是我熟悉的地区一、概述。
实变函数，又叫，整本书满满的证明就讲了一个勒贝格积分。
最为大家所熟知的是用牛顿-莱布尼茨公式算的黎曼积分。但是黎曼积分本身依赖于函数的连续性，像不连续的狄利克雷函数就无法积分了。
为了解决这一问题，勒贝格利用分割值域的方法，使得函数可积。
但是分割出来的值域，只能放在一起，形式集合。
如果我们要求出狄利克雷函数的面积，就需要知道它的边长，也就是长度。
集合本身没有“长度”这一概念，所以需要用测度来得到集合的“长度”。（测度=集合的“长度”）
于是，狄利克雷函数在区间[0,1]的积分=1*m(Q)+0*m(I)。
区间[0,1]的有理数的测度m(Q)=0，区间[0,1]的无理数的测度m(I)=1；所以1*m(Q)+0*m(I)=0。
二、集合。
1、有限覆盖定理。
有一开区间族B（B1到Bk的并)覆盖了闭区间A，那么可以在B中选出有限个开区间（虚线小圆）来覆盖A。
2、区间套定理。
若干个闭区间相交，而且一个比一个小，最后交集为一点（同心圆的圆心）。
3、对等和基数。
集合1和集合2中的元素一一对应，称为对等。对等的集合基数相同，基数可以衡量集合的个数，但是基数不是一个准确的数，而是一个代号。
4、可数集合。
全体有理数、正整数是可数集合（所有元素都可以一一列出来）。
一一列出的意思是：如正整数，可以用1，2，3，……，正无穷来列出。
5、不可数集合。
全体实数R、无理数是不可数集合（不能一一列出所有元素）。
三、点集。
1、内点、外点、界点、聚点、孤立点。
红点在圆内，为内点；黄点在圆边界，为界点；蓝点在圆外，为外点。
红点和黄点是聚点。
有一集合E=[a,b]并{c}。c点存在去心邻域，均不属于E，则c是孤立点。
2、开核、边界、导集、闭包。
红色部分和蓝色部分为开核，它不包括边界。
边界，就是圆周，但是圆周可以属于圆（红圆实线黑色边界），也可以不属于圆（蓝圆虚线边界）。
导集=开核+边界。
闭包=集合本身+导集。
3、开集、闭集、完备集。
红色部分（包括实线黑色边界）为闭集，它的每一个聚点都属于集合本身。蓝色部分（不包括虚线黑色边界）为开集，它的每一个内点都属于集合本身。
红色部分（包括实线黑色边界）为自密集，它的每一个聚点都属于集合本身。同时，它也是闭集，自密闭集就是完备集。
4、康托尔三分集P的性质。
P是完备集。
P没有内点。因为P的闭包没有内点，所以P是疏朗集。
P的测度为0，P在区间[0,1]的补集的测度为1。
P的基数为c。
四、测度论。
1、内测度和外测度。
内测度，是内填，对应于圆的内接多边形，只要多边形的边数足够多，上确界就能逼近圆的面积。
外测度，是外包，对应于圆的外切多边形，只要多边形的边数足够多，下确界就能逼近圆的面积。
2、外测度的次可数可加性。
因为外测度是外包，要不等于圆的面积，要不大于圆的面积，这就是次可数可加性。而可数可加性就只有等于圆的面积。
3、可测集。
外测度可以从外面包围任意集合，但这不能使得任意集合都可测，于是，外测度需要添加一个条件（卡拉泰奥多里条件）：
这样，计算测度时，不需要同时使用内外两种测度，而是只使用外测度，大大简化计算。
4、可测集类。
可测集有以下几种类型：
a、凡外测度为零之集皆可测，称为零测度集。
b、零测度集之任何子集仍为零测度集。
c、有限个或可数个零测度集之和集仍为零测度集。
d、区间都是可测集合，且mI=I的“长度”。
e、凡开集、闭集皆可测。
f、凡博雷尔集都是L可测集。
五、可测函数。
六、积分论。
七、微分与不定积分。
未完待续。。。
参考知识库
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怎么证明可数点集的外测度为零呢?思路和解答.特别是关于设区间的那一块,
逆理の裁者
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/question/0924988
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扫描下载二维码浙江省2012年10月自考10023实变函数与泛函分析初步试题
浙江省2012年10月高等教育自学考试
实变函数与泛函分析初步试题
课程代码：10023
一、单项选择题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的。错选、多选或未选均无分。
1．设E={(x,y,0)|x2+y2&1},从R3来看,下列叙述正确的是
A. E是开集 B. E是闭集
C.& E中的点是内点 D.& E中的点是界点
2．设I=［0,1］,P是I中Cantor三分集，f(x)= ，则&
A.& 1& B.& 0
C. －1 D. 2
3．设f(x)在点集E Rn单调递增，E1是f(x)在点集E中可导的点的全体,则有
A. mE1&mE& B. mE1=mE
C. mE1&mE D. mE1&mE
4．设An(n=1,2,&)是一列单调递增集合,F= An，G= ，下列关系式正确的是
A.& &&&&&& B.&& =&&&
C.&& &&&& D.&&&&
二、判断题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
判断下列各题，在答题纸相应位置正确的涂&A&，错误的涂&B&。
5.致密集一定不含孤立点.
6．Cantor三分集中一定含有孤立点.
7.可数个零测度集的和集是零测度集.
8.y=f(x)在E Rn上L可积,则y=f(x)在E上R可积.
9．有界变差函数一定是连续函数.
10．y=f(x)在［a,b］满足Lipschitz条件，则f(x)在［a,b］上绝对连续.
三、填空题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)
11．集合An(n=1,2,&)是集合S的子集,则CS( An)=______.
12．设A2n－1=［0,2－ ］，A2n=［0,1+ ］,n=1,2,&，则 An=______.
13．y=f(x)在E Rn可积，则mE［|f|= ］=______.
14．设f(x)= ，则 x&R,f(x)在x的振幅&(x,f)=______.
15．y=f(x)在E Rn有定义，f+(x)与f-(x)分别是f(x)的正部与负部,则f+(x)+f－(x)=______.
16．设f(x)是E Rn上实函数，则对任意实数a，& E［f&a－ ］=______.
17．设E是函数f(x)= 的图象上的点构成的集合，从R2来看，边界 E=______.
18．设Fn=［ ,1－ ］,n=3,4,&,则 Fn=______.
19．设E=(0, ),fn(x)= ，则当0&&&1时，E[|fn|&&]=______.
20．设I1,I2分别是Rp,Rq的区间，E=I1&I2，当x I1，则截面测度mEx=______.
四、完成下列各题（本大题共3小题，第21与第22小题各8分，第23小题10分，共26分）
21.设E R1，f(x)是E上a.e有限的可测函数，证明存在R1上一列连续函数{gn(x)}使得
gn(x)=f(x)a.e.于E.
22.设E Rp，若对任意的&&0,存在闭集F E& s.t.m*(E－F)&&,证明E是可测集.
23.设f(x)在［a,b］上可积，则对任意的&&0,必存在连续函数&(x)&C［a,b］ s.t. .
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