一细长杆件长L,一端固定一端自由,在进行压杆稳定计算时,杆件的计算长度L0，应该取？_百度知道
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一细长杆件长L,一端固定一端自由,在进行压杆稳定计算时,杆件的计算长度L0，应该取？
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第十二章 压杆稳定
第十二章 压杆稳定目§12-1 12§12-2 12§12-3 12-录压杆稳定性的概念 细长压杆临界力的欧拉公式 欧拉公式的适用范围 及压杆的稳定条件 钢压杆的极限承载力 经验公式?§12-4 12-§12-1 12-压杆稳定性的概念第二章曾研究过图(a)所示的轴向受压杆， 第二章曾研究过图 所示的轴向受压杆，其强度条件为 所示的轴向受压杆σ=FF ≤ [σ ] A试验表明， 试验表明，该强度条件仅适用于短杆F例如图(b)所示的钢尺， 例如图 所示的钢尺，许用应力 所示的钢尺 [σ]=200MPa。则其许用压力为 σ?l120[ F ] = [σ ] A = ( 200 ×106 )( 20 ×1×10?6 )= 4000Nl300F(a)(b)但试验表明， 但试验表明，当F=40N时，钢尺明 时 显变弯， 显变弯，此时已不能再承担更大的 压力。由此可见， 压力。由此可见，钢尺的承载能力 并不取决于轴向压缩强度， 并不取决于轴向压缩强度，而是与 钢尺受压时变弯有关。 钢尺受压时变弯有关。压杆产生弯曲变形的原因： 压杆产生弯曲变形的原因： 实际的压杆在制造时其轴线不可避免地会存在初曲率， 实际的压杆在制造时其轴线不可避免地会存在初曲率，作用在压 杆上的外力的合力作用线也不可能毫无偏差地与杆的轴线重合， 杆上的外力的合力作用线也不可能毫无偏差地与杆的轴线重合， 压杆的材料本身也不可避免地存在不均匀性。 压杆的材料本身也不可避免地存在不均匀性。这些因素都可能使 压杆在外压力作用下除发生轴向压缩变形外， 压杆在外压力作用下除发生轴向压缩变形外，还发生附加的弯曲 变形。 变形。 为便于说明问题，可将这些因素用外压力的偏心来模拟， 为便于说明问题，可将这些因素用外压力的偏心来模拟，即把实 际压杆抽象成具有微小偏心距e的偏心受压杆 的偏心受压杆(图 。 际压杆抽象成具有微小偏心距 的偏心受压杆 图c)。Fw Fe较小时， 当F较小时，压缩为主要变形，弯曲为次要变形 较小时 压缩为主要变形， 随着F增加，弯曲变形成为主要变形，从而 随着 增加，弯曲变形成为主要变形， 增加 导致压杆丧失承载能力。 导致压杆丧失承载能力。F 图(c)M = F ( e + w)分析压杆承载能力的计算模型 (1) 按压杆的实际情况，即考虑初曲率、压力的偶然偏心、热轧型 按压杆的实际情况，即考虑初曲率、压力的偶然偏心、 钢及焊接杆件存在的残余应力等因素，把压杆抽象为“ 钢及焊接杆件存在的残余应力等因素，把压杆抽象为“偏心受压 ? 直杆”进行分析。 压溃理论（ 直杆”进行分析。-------压溃理论（§12-4） 压溃理论 ） (2) 不计压杆的初曲率、压力的偶然偏心、热轧型钢及焊接杆件存 不计压杆的初曲率、压力的偶然偏心、 在的残余应力等因素，把压杆抽象为理想“中心受压直杆” 在的残余应力等因素，把压杆抽象为理想“中心受压直杆”进行 分析。 压屈理论（ 分析。-------压屈理论（§12-2、 §12- 3） 压屈理论 、 ） 理想中心压杆稳定性的概念F & FcrF′当直杆所受的轴向压力小于某一临界值（ 当直杆所受的轴向压力小于某一临界值（可用 Fcr表示）时，它始终能保持直线形态的平衡； 表示） 它始终能保持直线形态的平衡； 若给予一微小的干扰力使之发生微小的弯曲， 若给予一微小的干扰力使之发生微小的弯曲， 在撤去干扰力之后， 在撤去干扰力之后，直杆又恢复到原来的直线 平衡形态。则压杆在直线形态下的平衡是稳定 平衡形态。则压杆在直线形态下的平衡是稳定 的平衡。 的平衡。F & FcrF & FcrF = FcrδF′F′F & FcrF = Fcr当轴向压力达到该临界值F 当轴向压力达到该临界值 cr时，这 时它可以在直线形态保持平衡， 时它可以在直线形态保持平衡，然 而，若再给予一微小的干扰力使之 发生微小的弯曲， 发生微小的弯曲，在撤去干扰力之 它将处于某一微弯平衡状态， 后，它将处于某一微弯平衡状态， 而不能恢复其原有的直线平衡形态。 而不能恢复其原有的直线平衡形态。 则此时压杆其原有的直线形态下的 平衡是不稳定的平衡 不稳定的平衡。 平衡是不稳定的平衡。临界力F ――中心受压直杆在直线形态下的平衡 中心受压直杆在直线形态下的平衡， 临界力Fcr ――中心受压直杆在直线形态下的平衡，由稳定平衡转 化为不稳定平衡时所受轴向压力的界限值。 化为不稳定平衡时所受轴向压力的界限值。（或能使压杆保持微 弯平衡状态的最小轴向压力） 弯平衡状态的最小轴向压力） 中心受压直杆在临界力F 作用下， 中心受压直杆在临界力 cr作用下，其直线形态的平衡开始丧失稳 定性，简称压杆失稳。 定性，简称压杆失稳。 失稳的特点： 失稳发生在强度破坏之前 失稳的特点：1.失稳发生在强度破坏之前 3.特殊的受力形式才能失稳。 特殊的受力形式才能失稳。 特殊的受力形式才能失稳 2.事先无预兆，瞬间迅速失稳； 事先无预兆， 事先无预兆 瞬间迅速失稳； 例如拉杆就不存在失稳问题。 例如拉杆就不存在失稳问题。
小刚球稳定平衡和不稳定平衡稳定平衡 微小扰动使小球离开原来的 平衡位置， 平衡位置，但扰动撤销后小 球回复到平衡位置。 球回复到平衡位置。不稳定平衡 微小扰动就使小球远离原 来的平衡位置。 来的平衡位置。
不计自重刚性杆的稳定平衡和不稳定平衡
某 施 工 工 地 脚 手 架地面未夯实，局部杆受力大； 地面未夯实，局部杆受力大； 规定值1.7m; 横杆之间的距离太大 2.2m&规定值 规定值 与墙体连接点太少； 与墙体连接点太少； 安全因数太低： 规定值3.0。 安全因数太低：1.11-1.75&规定值 。 规定值日，地处北京的中国社会科学院科研楼工地的钢管脚 年 月 日 手架在距离地面5m～ 处突然外弓 刹那间，这座高达54.2m、长 处突然外弓， 手架在距离地面 ～6m处突然外弓，刹那间，这座高达 、 17.25m、总重 大型脚手架轰然坍塌， 人死亡 人死亡、 人受伤 、总重565.4kN大型脚手架轰然坍塌，5人死亡、7人受伤 。 大型脚手架轰然坍塌日南京电视台演播中心工地事故造成 人死亡 年 月 日南京电视台演播中心工地事故造成 日南京电视台演播中心工地事故造成5人死亡新华网南京10月25日电（记者王家言）今天上午10时30分 新华网南京10月25日电（记者王家言）今天上午10时30分， 10 日电 10 位于南京大光路北侧的南京电视台演播中心， 位于南京大光路北侧的南京电视台演播中心，在演播厅施工浇筑 混凝土中， 脚手架失稳，造成演播厅屋盖模板倒塌， 混凝土中，因脚手架失稳，造成演播厅屋盖模板倒塌，部分施工 人员被压。据统计，这次事故已造成5人死亡，另有35人受伤被送 35人受伤 人员被压。据统计，这次事故已造成5人死亡，另有35人受伤被送 往医院抢救和治疗。 往医院抢救和治疗。2003年 日在浙江发生的脚手架倒塌事故 19日在浙江发生的脚手架倒塌事故2004年 日上午9时20分，河南安阳信益电子玻璃有限责 12日上午9 20分 日上午 任公司刚刚竣工的68米高烟囱施工工程， 68米高烟囱施工工程 任公司刚刚竣工的68米高烟囱施工工程，在准备拆除烟囱四周脚 手架时，上料架突然倾翻，30名正在施工的民工全部翻下坠落 名正在施工的民工全部翻下坠落， 手架时，上料架突然倾翻，30名正在施工的民工全部翻下坠落， 造成21人死亡， 人受伤。 21人死亡 造成21人死亡，9人受伤。
§12-2 12-细长压杆临界力的欧拉公式x一 两端铰支细长压杆的临界力 设两端为球形铰支座的细长压杆在轴向压力作 用下处于微弯平衡状态， 用下处于微弯平衡状态，只要求出该挠曲线方程 成立时的最小轴向压力，即为临界力。 成立时的最小轴向压力，即为临界力。 由于杆的两端可在任何方向自由转动， 由于杆的两端可在任何方向自由转动， 所以当它失稳时必定在弯曲刚度最小的纵 向平面内发生弯曲， 向平面内发生弯曲，亦即绕惯性矩为最小 w 形心主轴(通常称为弱轴 而弯曲。 通常称为弱轴)而弯曲 的形心主轴 通常称为弱轴 而弯曲。 设材料在线弹性范围内工作， 设材料在线弹性范围内工作，就 x 可以应用挠曲线的近似微分方程FFM(x)lwx y y z yEIz w′′ = ?M(x)其中： 其中： M(x) = Fw(6-1)F式中的轴向压力F取为正值。这样，挠度w和弯 式中的轴向压力 取为正值。这样，挠度 和弯 取为正值 的符号就相一致。 矩M(x)的符号就相一致。 的符号就相一致EIz w′′ = ?M(x) = ?Fw F 2 k = 引入记号 EIzEIz w′′ + Fw = 0Fx则上式可以改写为二阶齐次线性微分方程′′ + k 2w = 0 此微分方程的通解为 w w = Asin kx + Bcos kx式中，A和B为积分常数 式中， 和 为积分常数 两端铰支压杆的位移边界条件 x＝0处，w＝0 ＝ 处 ＝ x＝l处， w＝0 ＝处 ＝ B＝0 ＝xwFM(x)lwx y y z yAsin kl = 0kl = nπF如果A＝ ，则压杆各横截面的挠度均为零， 如果 ＝0，则压杆各横截面的挠度均为零，这不是我 们所研究的情况。欲使压杆处于微弯平衡状态， 们所研究的情况。欲使压杆处于微弯平衡状态，必须有sin kl = 0( n = 0,1,2,3LL)kl = nπ( n = 0,1,2,3LL)2xF 将k值代回 k = 值代回 EIz得F =nπ 2EIz 2l2F显然，能使压杆保持微弯平衡状态的最小轴向 显然， 压力是在上式中取n＝ ， 压力是在上式中取 ＝1，于是得到两端铰支细 长压杆的临界力为δl l/2 y z yF = crπ 2EIzl2（12-1） ）该式又称为两端铰支压杆的临界力的欧拉公式。 该式又称为两端铰支压杆的临界力的欧拉公式。 欧拉公式 其中I 是横截面的最小形心主惯性矩。 其中 z是横截面的最小形心主惯性矩。 n=1时，k＝π/l，则压杆在临界力作用下挠曲线方程为 时 ＝ ，l 最大挠度在杆的中点， 表示， 最大挠度在杆的中点，用δ表示， 则 Α=δw = Asin kx = Asinπx(半波正弦曲线 半波正弦曲线) 半波正弦曲线压杆在临界力作用下挠曲线方程为 w = δ sin l 讨论： 讨论： (1) 跨中挠度δ为任意微小值，即δ存在不确定性。 为任意微小值， 存在不确定性。πxxF crδl l/2 yδ 之所以存在不确定性，是因在推导过程中使用 之所以存在不确定性，了挠曲线的近似微分方程。 了挠曲线的近似微分方程。若采用挠曲线的精确 微分方程，则当F≥Fcr时，压杆在微弯平衡形态 微分方程，则当 压力F与挠度 间存在一一对应的关系。 下，压力 与挠度δ 间存在一一对应的关系。z y(2) 高次临界力kl = nπ( n = 0,1,2,3LL)Fcr EI zF cr2π = k= 若取n=2， 若取 ， lF crn=2此时压杆的挠曲线方程为w = Asin kx = Asin4π 2EIz F = cr l2 2π xln=3ll 24π 2EIz F = cr l2=n =1n=2π 2EIz同理n=3时 时 同理l 2( 2)l29π 2EIz F = cr l2(3) 若杆端在各个方向的约束情况相同（如球形铰等），则压杆失 若杆端在各个方向的约束情况相同（如球形铰等）， ），则压杆失 稳时截面一定绕惯性矩为最小的形心主轴(通常称为弱轴 通常称为弱轴)而弯曲 稳时截面一定绕惯性矩为最小的形心主轴 通常称为弱轴 而弯曲bzhCzyCzyCy（等边角钢） 等边角钢）I min = I y(h & b)（工字型钢） 工字型钢）I min = I yI min = I yzC过圆心的任一轴yC二 其它杆端约束情况下细长压杆的临界力 （1）一端固定、另端自由的细长压杆的临界力（书例 ）一端固定、另端自由的细长压杆的临界力（书例12-1） ） 设该压杆在轴向压力作用下处于微弯平衡状 则任意x横截面上的弯矩为 态，则任意 横截面上的弯矩为M(x) = ?F (δ ? w)xδF带入挠曲线近似微分方程wEIw′′ = ?M(x) = F (δ ? w) F F F 2 w′′ + w = δ 引入记号 k = EI EI EIw′′ + k 2w = k 2δ 该微分方程的通解为 w = Asin kx + Bcos kx +δ B = ?δ 位移边界条件： ＝ 处 位移边界条件： x＝0处，w＝0 ＝得 x＝0处，w'＝0 ＝ 处lx yMeFA= 0w = δ (1? cos kx)x将x = l、w = δ带入上式，得 δ cos kl = 0可见，欲使挠曲线方程成立， 可见，欲使挠曲线方程成立，必须有δFwcos kl = 0nπ kl = 2( n =1,3,5LL)lx y 2l取n=1，得压杆能保持微弯平衡状态的最小轴 ， 向压力， 向压力，即临界力MeF = crπ EI2F( 2l )2此时挠曲线方程为πx ? ? w = δ ?1? cos ? 2l ? ?设想将挠曲线对称延长一倍，它与长为 的两端铰支压杆的挠曲 设想将挠曲线对称延长一倍，它与长为2l的两端铰支压杆的挠曲 线形状相同。若将公式(12-1)中的 换成 ，便可得上述的临界力。 中的l换成 线形状相同。若将公式 中的 换成2l，便可得上述的临界力。（2）两端固定的细长压杆的临界力（书例 ）两端固定的细长压杆的临界力（书例12-2） ） （3）一端固定、另端铰支的细长压杆的临界力（书例 ）一端固定、另端铰支的细长压杆的临界力（书例12-3） ）F crF crl/4?0.7ll/2l?l?l/4F = cr( 0.5l )π EI2 2F = cr( 0.7l )π 2EI2（4）一端固定、另端可移动但不能转动的细长压杆的临界力 ）一端固定、 F 书例12-4） （书例 ） crl?F = cr0.5lπ EI2l2归纳：不同杆端约束的细长压杆， 归纳：不同杆端约束的细长压杆，其临界力的欧拉公式统一形式π 2EI F = cr 2 ?l ) (书表12-1 要记住 书表（12-2） ）式中： 式中：? 称为长度因数；? l 称为相当长度 (自由长度 )
课堂练习： 课堂练习： 1. （书习题 书习题12-1）两端为球形铰支的细长压杆，采用如图所示 ）两端为球形铰支的细长压杆， 四种截面，问压杆失稳时绕哪一轴弯曲？ 四种截面，问压杆失稳时绕哪一轴弯曲？z0zy过圆心的任一轴zyy轴CzCzy0yy轴yy0 轴2. （书习题 书习题12-2）图示各杆的材料与截面分别相同，且都属细长 ）图示各杆的材料与截面分别相同， 压杆。问哪个能承受的轴向压力最大？哪个最小？ 压杆。问哪个能承受的轴向压力最大？哪个最小？ F FF F3m 3.5mFF2m 4m2m3m2m(a)?l = 3(b)?l = 4(c)? l = 2.45(d)?l = 2(e)?l = 3(f)?l = 2轴向压力最大为(d)、 轴向压力最大为 、(f)轴向压力最小为(b) 轴向压力最小为3. 图示压杆的下端固定，上端为弹簧支承，其长度因数的范围为 图示压杆的下端固定，上端为弹簧支承， （C ）( A) ? & 0.5( B)0.5 & ? & 0.7(C )0.7 & ? & 2( D) ? & 24. 图示压杆的上端自由，下端为弹性支承，其长度因数的范围为 图示压杆的上端自由，下端为弹性支承， （D ）( A) ? & 0.7F( B)0.7 & ? & 1(C )1& ? & 2( D) ? & 2F题3图 图题4图 图5. 图示各中心受压直杆的材料、长度及弯曲刚度均相同，其中临 图示各中心受压直杆的材料、长度及弯曲刚度均相同， 界力最大的为（ ），最小的为 最小的为（ 界力最大的为（ D ），最小的为（ C ）。F F F F(A)(B)(C)(D)临界力相互关系： 临界力相互关系：( Fcr ) D & ( Fcr ) A & ( Fcr ) B & ( Fcr )C补充作业题： 补充作业题： 图示细长压杆两端为球形铰支座，已知材料为 图示细长压杆两端为球形铰支座，已知材料为Q235钢，E=206GPa。 钢 试分别计算图示三种截面杆的临界荷载。 试分别计算图示三种截面杆的临界荷载。Fb h dd = 50mm2mb = 45mm h = 90mm14号工字钢 号工字钢(a )(b)(c)欧拉公式的适用范围. §12-3 欧拉公式的适用范围.经验公式及压杆的稳定条件 12一 欧拉公式的适用范围 压杆失稳时横截面上的平均压应力称为压杆的临界应力， 压杆失稳时横截面上的平均压应力称为压杆的临界应力，用 σcr表示。则压杆的临界应力公式为 表示。π 2EI F σcr = cr = 2 A ( ?l ) Aπ 2E σcr = 2 ? ?l ?则将形心主惯性矩写成I = i2 A引入记号λ=?li（12-3） ）? ? ? i ? 式中， 是一个无量纲的量，称为柔度或长细比。 式中，λ是一个无量纲的量，称为柔度或长细比。它综合反映了压杆的长度、横截面尺寸和形状、 它综合反映了压杆的长度、横截面尺寸和形状、杆端约束 等因素对临界应力的影响。 等因素对临界应力的影响。 π 2E 欧拉公式) σcr = 2 （12-4） (欧拉公式 ） 欧拉公式λ欧拉公式是利用挠曲线的近似微分方程导得的， 欧拉公式是利用挠曲线的近似微分方程导得的，而该微分方程只有 当材料在线弹性范围内工作时才能成立， 当材料在线弹性范围内工作时才能成立，所以只有当临界应力σcr不 才可用欧拉公式计算压杆的临界力。 超过材料的比例极限σp时，才可用欧拉公式计算压杆的临界力。 于是欧拉公式的适用范围为σcr =π 2Eλ2≤ σP或写成π 2E E λ≥ =π =λp σP σP可见，只有压杆的柔度λ大于或等于柔度的界限值λp时，才 可见，只有压杆的柔度λ大于或等于柔度的界限值λ 能应用欧拉公式。前面所称的细长压杆，指的就是其柔度λ 能应用欧拉公式。前面所称的细长压杆，指的就是其柔度λ不小 的压杆。这类压杆的稳定问题自然属于线弹性稳定问题。 于λP的压杆。这类压杆的稳定问题自然属于线弹性稳定问题。 为例， ＝ 以Q235为例，E＝206GPa，σP＝200MPa，由上式可得 为例 ， ， 故用Q235钢制成的压杆，只 钢制成的压杆， 故用 钢制成的压杆 206×109 λP = π =π ≈100 有当其柔度λ≥100时，才能 有当其柔度λ 时 6 200×10 σPE用欧拉公式计算其临界力。 用欧拉公式计算其临界力。
二 临界应力的经验公式 当λ&λP时，压杆横截面上的应力已超过比例极限σP，这 λ 类压杆的稳定问题属于非弹性稳定问题。 类压杆的稳定问题属于非弹性稳定问题。工程中多采用以实 验为基础的经验公式，这里仅介绍直线公式。 验为基础的经验公式，这里仅介绍直线公式。其公式为σcr = a ?bλ令σ cr = σ s，λ = λ s，即得（12-7） ）式中， 与 是和材料的力学性能有关的常数 书中表12-2中列出 是和材料的力学性能有关的常数。 式中，a与b是和材料的力学性能有关的常数。书中表 中列出 了一些材料的a和 值 了一些材料的 和b值。a ?σs λs = b例如Q235，a=304MPa， ， 例如 ， b=1.12MPa，σs＝235MPa。 ， 。304 ? 235 λs = = 61.6 1.12临界应力总图短杆中长杆细长杆综上所述，压杆按其柔度值分为三类： 综上所述，压杆按其柔度值分为三类：(1) λ ≥ λ p(2) λ s & λ & λ p细长杆或大柔度杆，可用欧拉公式计算临界应力；中长杆或中柔度杆，可用直线公式计算临界应力；(3) λ ≤ λ s短杆或小柔度杆，按强度问题处理。三 压杆稳定条件为了使压杆在轴向压力F作用下不 为了使压杆在轴向压力 作用下不 至于失稳， 至于失稳，必须满足下述条件lFF F ≤ cr = [ Fst ] nst（12-9） ）式中， 为临界力； 为稳定安全因数， 式中，Fcr为临界力；nst为稳定安全因数，其值可以从 相关手册中查到； 为稳定许用压力。 相关手册中查到；[Fst]为稳定许用压力。上式称为压杆的 为稳定许用压力 稳定条件。 稳定条件。两端为球形铰支的圆截面压杆,l=2m,d=60mm， 例12-5 两端为球形铰支的圆截面压杆 ， x 材料为Q235钢，E＝206GPa。试求该压杆的临界力； 材料为 钢 ＝ 。试求该压杆的临界力； F cr 若在面积不变的条件下，改用D 若在面积不变的条件下，改用 1=68mm，d1=32mm的 ， 的 空心圆截面，问此时压杆的临界力又等于多少？ 空心圆截面，问此时压杆的临界力又等于多少？ 解： (1)求实心圆截面压杆的临界力 求实心圆截面压杆的临界力 首先计算压杆的柔度lI πd4 / 64 d 60mm i= = = = =15mm 2 A πd / 4 4 41× 2m λ= = =133.3 & λp =100 ?3 15×10 m i属于细长压杆， 属于细长压杆，故可用欧拉公式计算临界应力?lyzydσcr =π 2E π 2 ×206×109 Paλ2=133.32=114.4×10 Pa =114.4MPa6于是压杆临界力为F = σcr A=114.4×10 × cr6π ×( 60×104?3 2)= 323.5×103 N = 323.5kND1(2)求空心圆截面压杆的临界力 求空心圆截面压杆的临界力π ( D4 ? d14 ) / 64 D2 + d12 I 1 1 i= = = =18.79mm 2 2 A 4 π ( D ? d1 ) / 4 1zyd11× 2 (属于细长压杆 属于细长压杆) =106.4 & λp =100 (属于细长压杆) λ= = ?3 i 18.79×10 D1 = 68mm π 2E π 2 ×206×109 d1 = 32mm 6 =179.6×10 Pa =179.6MPa σcr = 2 = 2 106.4 λ ?( 68×10?3 )2 ? ( 32×10?3 )2 ? π? ? ? F = σcr A =179.6×106 × ? cr 4 它要比同样面积的实心圆截面 3 = 507.8×10 N = 507.8kN 压杆的临界力大得多。 压杆的临界力大得多。?l图示压杆由两根110mm×70mm×7mm的不等边角钢铆接 例12-6 图示压杆由两根 × × 的不等边角钢铆接 而成，长度l=6m，材料为 试求： ） 而成，长度 ，材料为Q235钢，E=206GPa。试求：（1）该压 钢 杆的临界力；（ ；（2）欲使该压杆临界力为最大时， 杆的临界力；（ ）欲使该压杆临界力为最大时，两角钢间的最 小间距，并求此时的临界力。 小间距，并求此时的临界力。 x 解: (1)求该压杆的临界力 求该压杆的临界力 查表： 查表：单根角钢截面几何性质A1 = 1230.1mm I y1 = 49.01×10 mm2F crz144C1?C?C1?zC1?z1I z1 = 153 ×104 mm 4z1 = 16.1mml计算组合截面的I 计算组合截面的 y、Iz2y12mmy1yA1( z1 + 6 ) z I y = 2 ? I y1 + A1 ( z1 + 6 ) ? ? ? 2 = 2 ? 49.01× 104 + 1230.1× (16.1 + 6 ) ? = 218.18 ×104 mm 4 ? ? 判断： I z = 2 I z = 2 ×153 ×104 mm 4 = 306 ×104 mm 4 判断： I min = I y1按y轴计算临界力 轴计算临界力 iy =λy =Iy?liy218.18 ×104 mm 4 = = 29.8mm 2 2 ×1230.1mm A0.7 × 6 ×10 mm = = 140.9 & λ p 29.8mm3x F crC1?C?C1?zly属于细长压杆，可用欧拉公式 属于细长压杆，12mmzσcr =故π E2λ2 y=π ×206×10 MPa2 3140.92=102.3MPaA = 2 A1 = 2 × 1230.1mm 2I y = 218.18 ×104 mm 4F = A cr = 2×?6 m2×102.3×106 Pa σ cr= 251.7×103 N=251.7kN（2）欲使该压杆临界力为最大时，求两角钢间的最小间距，并 ）欲使该压杆临界力为最大时，求两角钢间的最小间距， 求此时的临界力。 求此时的临界力。 x 当Iy=Iz时的间距即为压杆取得 最大临界力的最小间距。 最大临界力的最小间距。F crz1C1?I z = 306 ×104 mm 42 ? a? ? ? I y = 2 ? I y1 + A1 ? z1 + ? ? 2? ? ? ? ? ?C?C1?zC1?z1l2 ? a? ? ? = 2 ? 49.01× 104 + 1230.1× ?16.1 + ? ? 2? ? ? ? ? ?yy1azyA1( z1 + a / 2 )令I y = Iz2 ? a? ? 306 ×104 mm 4 = 2 ? 49.01×104 + 1230.1× ?16.1 + ? ? ? 2? ? ? ? ? ?a = 25.95mm ≈ 26mmI y = I z = 306 ×10 mm44x F criz =Iz 306 ×104 mm 4 = = 35.3mm 2 A 2 × 1230.1mmlC1?C?C1?zλz =?liz0.7 × 6 ×103 mm = = 119 & λ p 35.3mmyzσcr =π E π ×206×10 MPa2λ2 z=23a = 26mm1192=143.4MPaF )max = A cr = 2×?6 m2×143.4×106 Pa σ ( cr= 352.8×10 N=352.8kN3两端为球形铰支的压杆，系由两根75mm×75mm×8mm 例12-7 两端为球形铰支的压杆，系由两根 × × 的等边角钢铆接而成，长度l=2m，材料为Q235钢，E=206GPa。 的等边角钢铆接而成，长度 ，材料为 钢 稳定安全因数n 之值。 稳定安全因数 st=2.5。试求该压杆的许用轴向压力 之值。 x 。试求该压杆的许用轴向压力F之值 首先判断弱轴： 解：首先判断弱轴： I min = I y F Iy 2 I1 y iy = = = i1y （单个角钢对 轴的惯性半径） 单个角钢对y轴的惯性半径 轴的惯性半径） A 2 A1 查表： 查表：i1 y = 22.8mm A1 = 1150.3mm 2 则组合压杆的柔度为 ? l 1× 2 ×103 mm λy = 由于 λ 0 & λ & λ p = = 87.7 iy 22.8mm 属于中长杆， 属于中长杆，用经验公式计算临界应力lyσcr = a ?bλ = 304 ?1.12×87.7 = 205.8MPaFcr = σcr A = 205.8×106 Pa × 2×?6 m2 = 473.5kN故压杆的许用压力为zyFcr 473.5kN F= = = 189.4kN nst 2.5书例12-6) 图示矩形截面压杆，h=60mm，b=40mm，杆 图示矩形截面压杆， 例12-8(书例 书例 ， ， 长l=2m，材料为 ，材料为Q235钢，E=206GPa。两端用柱形铰与其他构件 钢 。 相连接，在正视图的平面(xy平面 内两端视为铰支； 平面)内两端视为铰支 相连接，在正视图的平面 平面 内两端视为铰支；在府视图的 平面(xz平面 内两端为弹性固定， 平面)内两端为弹性固定 平面 平面 内两端为弹性固定，长度因数?y=0.8。压杆两端受轴 。 向压力F=100kN，稳定安全因数 st=2.5。校核该压杆的稳定性； 向压力 ，稳定安全因数n 。校核该压杆的稳定性； 又问b与 的比值等于多少才是合理的 的比值等于多少才是合理的。 又问 与h的比值等于多少才是合理的。 y 解: (1)校核压杆的 校核压杆的 Fcr Fcr x 稳定性 由于压杆在两个形 心主惯性平面内失稳时 的杆端约束不同， 的杆端约束不同，故应 分别计算压杆在这两个 平面内的柔度。 平面内的柔度。FcrFcrxz若压杆在xy平面内失稳，则两端为铰支， 若压杆在 平面内失稳，则两端为铰支，长度因数?z=1。此 平面内失稳 。 为中性轴， 时横截面的形心主轴z为中性轴，惯性半径Iz bh3 /12 = h =17.32m iz = m = A 12 bh压杆在该平面内的柔度 λz = 平面内失稳， 若压杆在 xz平面内失稳， F cr 则两端为弹性固定， 则两端为弹性固定，长 度因数?y=0.8。此时横 。 截面的形心主轴y为中 截面的形心主轴 为中 性轴， 性轴，惯性半径 Fcr?zlizy1× 2m = =115.5 ?3 17.32×10 mFcrxFcrx由于λ λ 故应当以λ 由于λy&λz，故应当以λy来计算 临界应力。 临界应力。因为压杆总是在柔 压杆在此平面内的柔度 度较大的平面内失稳； 度较大的平面内失稳；又因 ?yl 0.8× 2m λ = =138.5 λy&λp，故可欧拉公式计算临界 λy = iy 11.55×10?3 m 应力hb3 /12 iy = = A bh b = =11.55mm 12Iyzπ 2E π 2 ×206×109 Pa σcr = 2 = =106×106 Pa =106MPa 2λy138.5压杆的临界力为 F = σcr A =106×106 Pa ×( 40×60×10?6 m2 ) = 254.4kN cr 压杆的许用压力为 可见F 254.4kN cr =101.8kN [ Fst ] = = nst 2.5所以压杆满足稳定性要求。 所以压杆满足稳定性要求。F &[ F ] st(2)求b与h的合理比值 求 与 的合理比值 b与h的合理比值，应满足压杆在两个形心主惯性平面内的柔度 与 的合理比值 的合理比值， 相等的条件。这样，压杆在这两个平面内就具有相同的稳定性。 相等的条件。这样，压杆在这两个平面内就具有相同的稳定性。λz =?zliz=1×l h / 120.8×l λy = = iy b / 12?yl令λz = λy由此得到b = 0.8 h
讨论： 讨论：提高压杆临界力的主要措施 Ⅰ 合理的截面形状 压杆将绕I 轴弯曲，故在面积 不变时 不变时， （1）当?y= μz，压杆将绕 min轴弯曲，故在面积A不变时，尽量 ） 面积分布远离形心主轴， 提高 且使I 提高， 面积分布远离形心主轴，使I提高，且使 y= Izzy yzyz压杆失稳时将绕λ大的轴弯曲 故宜采用I 大的轴弯曲， （2）当μy≠μz，压杆失稳时将绕 大的轴弯曲，故宜采用 y≠Iz ） 的截面，并且使λ 的截面，并且使λy= λzzyzy yz压杆长度l越大 越大， 越小，故在可能条件下尽量减小l Ⅱ 压杆长度 越大，Fcr越小，故在可能条件下尽量减小F cr F crlF = crπ EI2l 2 l 2l2F = cr( 2)lπ 2EI24π 2EI = 2 lAB上弦杆CD下弦杆FFFFFBD杆的内力为零， 杆的内力为零， 杆的内力为零 它却使AC杆的长度 它却使 杆的长度 减小一半， 减小一半，从而提 高了上弦杆抵抗失 稳的能力。 稳的能力。Ⅲ增强约束， 增强约束，减小μ值，以提高压杆临界力F cr F crllFcr,b Fcr,a(b )=( 0.5l ) π2π EI2( 2l ) ×22EI= 16(a )Ⅳ 合理选择压杆的材料 (1) 细长压杆：对于钢材，由于各类钢材的E值大致相同，故采 细长压杆：对于钢材，由于各类钢材的 值大致相同， 值大致相同 用高强度钢一般不会提高临界力。 用高强度钢一般不会提高临界力。 (2) 中长压杆：σcr与材料的比例极限σp以及压缩极限应力σcu有关， 中长压杆： 有关， 所以选用高强度钢可以提高临界力。 所以选用高强度钢可以提高临界力。?§12-4 12-钢压杆的极限承载力 压屈理论一 压溃理论的概念 以理想中心受压直杆为力学模型而建立的稳定理论实际压杆：存在初曲率、 实际压杆：存在初曲率、压力的偶然偏心以及截面上残余应力 等因素，通常可用偏心受压直杆作为其力学模型。 等因素，通常可用偏心受压直杆作为其力学模型。 F F B 极值点Bwmll 2CF u失稳极限荷载 压溃荷载） （压溃荷载） 稳定平衡 不稳定平衡F uOAABwmBCF这类失稳问题称为极值点失稳 这类失稳问题称为极值点失稳研究这类失稳问题的理论称为压溃理论 研究这类失稳问题的理论称为压溃理论二 钢压杆的稳定计算 建立在压溃理论基础上的钢压杆的稳定计算，现行《钢结构设计 建立在压溃理论基础上的钢压杆的稳定计算，现行《 规范》 规范》对轴心受压杆规定的稳定条件为F Fu / A σ u σ u σ s σ= ≤ = = × σs n A n n式中： 式中： F 为轴心压力；A为杆件的毛截面面积；σ u 是按压溃理论 截面面 是按压得到的 是大于1 是材料 屈服极限 得到的临界应力；n是大于1的系数；σ s 是材料的屈服极限。引用记号σ 235钢 式中： 式中： d 称为钢材的抗压设计强度，随材料而异，本教材对Q235钢， 小于1 定因数 取σ d = 200MPa。? 称为轴心受压杆的稳定因数，其值总小于1并随柔度λ而变化。对Q235钢，其? 值见表12 - 4 ? 表12 - 6。 柔度λσu σ d = 及? = n σsσs这样， 这样，轴心受压钢杆的稳定条件可以最后写成 F F σ = ≤ ?σ d 或 ≤ σd ?A A（12-10） ）书例12-8) 一两端铰支的轴心受压杆，截面为焊接 形， 一两端铰支的轴心受压杆，截面为焊接H形 例12-9(书例 书例 具有轧制边翼缘，截面尺寸如图所示，材料为Q235钢。压杆长 具有轧制边翼缘，截面尺寸如图所示，材料为 钢 为l=4.2m，在压杆的强轴平面内有支撑系统以阻止压杆中点在 ，在压杆的强轴平面内有支撑系统以阻止压杆中点在xz 平面内的侧向位移。该压杆承受的压力F=950kN，试校核其稳定 平面内的侧向位移。该压杆承受的压力 ， x x 性。 解：(1) 截面几何性质的计算 计算毛截面面积和形心主惯性矩A = 2 × 220 × 10 + 200 × 6 = 5600mm 2 l ? 220 ×103 ? 2 Iz = 2? + 220 ×10 ×1052 ? + ? 12 ? l6 × 200 = 5.255 ×107 mm 4 123FF220106200z y210z z zyy10 ×
× 63 Iy = 2× + 12 12 = 1.775 ×107 mm 4yxx横截面对z、y轴的惯性半径分别为 轴的惯性半径分别为iz = Iz 5.255 ×107 = = 96.87mm A 5600 lIy AFFl = 4.2mm22010iy ==1.775 ×10 = 56.30mm l 5600726200z y(2) 压杆柔度的计算210λz =λy =?lizz z z yy1× 4.2 = = 43.4 ?3 96.87 × 10 1× 2.1 = = 37.3 ?3 56.30 × 10y? (l / 2)iyA = 5600mm 2I z = 5.255 × 107 mm 4I y = 1.775 ×107 mm 4λ z = 43.4(3) 校核稳定性λ y = 37.3xxFFF = 950kN220从表12-3可知，该压杆绕强轴 可知， 从表 可知 失稳时属于b类截面 类截面， （z轴）失稳时属于 类截面， 由表12-5并用线性插入得 由表 并用线性插入得l 2 l 2106200z y?z = 0.887 ? 0.4( 0.887 ?0.882) = 0.885该压杆绕弱轴（y轴）失稳时 该压杆绕弱轴（ 轴 属于c类截面 由表12-6得 类截面， 属于 类截面，由表 得10z z z yy?y = 0.858?0.3( 0.858? 0.852) = 0.856于是有 ?yσd = 0.856×200MPa =171.2MPayA = 5600mm 2计算压杆的工作应力并按（ 计算压杆的工作应力并按（12-10）式校核其稳定性 ）F 950 ×103 σ= = = 169.6MPa & 171.2MPa ?6 A 5600 ×10可见该压杆满 足稳定性要求工程中其它的一些失稳形式工程中其它的一些失稳形式工程中其它的一些失稳形式 工程中其它的一些失稳形式工程中其它的一些失稳形式练习F=10kN,AB杆外径 ＝50mm， 杆外径D＝ 杆外径 ， 内径d＝ 内径 ＝40mm，材料为 ，材料为Q235钢， 钢 E＝206GPa，nst=3。校核 杆 ＝ ， 。校核AB杆 的稳定性。 的稳定性。FN = 26.67kNAB杆 λ = 杆l= 1.5 cos 30o?li1×1.732 ×103 得λ = = 108.25 & λP ? =1 16AB为大柔度杆 为大柔度杆2= 1.732mπ64i=I = AD4 ? d 4 ) ( D2 ? d 2 ) (π EI Fcr = = 122.5kN 2 ( ?l )Fcr 122.5kN = = 40.8kN nst 3π[ Fst ] =4 =D2 + d 2 = 16mm 4FN = 26.67kN & [ Fst ]AB杆满足稳定性要求 杆满足稳定性要求练习：已知压杆为 号槽钢组合截面， 练习：已知压杆为14a号槽钢组合截面，材料为 号槽钢组合截面 材料为Q235钢。已知 钢 σd=200MPa。求（1）两槽钢间的合理间距；（ ）许用压力 ；（2） ）两槽钢间的合理间距；（ 许用压力[F] 解：（1）求合理间距 ） 合理条件： 合理条件： λ y = λ z件变 因为l 及? 相同，合理条件变为Fal = 4myz1zCz1I y = Iz2 ? ?a ? ? 2 ? I y1 + ? + z1 ? A1 ? = 2 I z1 ?2 ? ? ? ? ?y1单根槽钢截面几何性质I z1 = 563.7 ×104 mm 4I y1 = 53.2 × 104 mm 4a = 70.8mmA1 = 1851mm 2 z1 = 17.1mm（2）求[F] ）iz = 2 I z1 Iz = = 55.2mm A 2 A1Fal = 4myz1zCz10.7 × 4 × 103 λz = = = 50.7 ≈ 51 iz 55.2?ly1查表12-3，绕y、z均属b类截面， ， 、 类截面， 查表 类截面 由表12-5得 由表 得单根槽钢截面几何性质I z1 = 563.7 ×104 mm 4I y1 = 53.2 × 104 mm 4? = 0.852F 由稳定条件： 由稳定条件： σ = ≤ ?σ d AA1 = 1851mm 2 z1 = 17.1mmF ≤ A?σ d =2 ×1851× 0.852 × 200=630.82kN故[ F ] =630.82kN图示结构， 、 两杆截面和材料相同，为细长压杆。 两杆截面和材料相同 思考题 图示结构，1、2两杆截面和材料相同，为细长压杆。 为最大值时的θ角 确定使载荷 F 为最大值时的 角（设0&θ&π/2）。 π ）。F12l
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