苹果/安卓/wp
积分 3010, 距离下一级还需 590 积分
权限: 自定义头衔, 签名中使用图片, 隐身, 设置帖子权限, 设置回复可见
道具: 彩虹炫, 涂鸦板, 雷达卡, 热点灯, 金钱卡, 显身卡, 匿名卡, 抢沙发, 提升卡, 沉默卡下一级可获得
道具: 千斤顶
购买后可立即获得
权限: 隐身
道具: 金钱卡, 彩虹炫, 雷达卡, 热点灯, 涂鸦板
本帖最后由 EchoEstelle 于
02:15 编辑
如题，连续性随机变量和离散型随机变量的数学期望差异的点在哪里？
载入中......
鼓励积极发帖讨论
总评分:&经验 + 60&
学术水平 + 1&
热心指数 + 1&
我非我见我释我是我非我
没啥差别啊，就是求积分的时候分布函数形式不同而已
本帖最后由 EchoEstelle 于
02:59 编辑
从数学分析看过去，连续情形下可以那么定义，是不是可以在连续的情况下，证明上面帖子，那种我对离散定义的理解呢？
是的，那就是积分的含义，把在每个点（无穷小区间）的概率乘以在该点（该区间）的值（均值），然后累加。数值积分就是这套路。
去看下数值积分是怎么求的吧，只是积分函数为xf(x),f(x)为随机变量x的分布函数pdf
EchoEstelle 发表于
从数学分析看过去，连续情形下可以那么定义，是不是可以在连续的情况下，证明上面帖子，那种我对离散定义的 ...可以那么理解，但是峰值处的论断是错的。
对于一个密度函数有很多波动的随机变量分布，非要引进别的数字特征或者直接看密度函数，但是这些数字特征和密度函数，分布函数，足够我们讨论、研究模型外面的事件吗？
这是个好问题。
EchoEstelle 发表于
可以那么理解，但是峰值处的论断是错的。
对于一个密度函数有很多波动的随机变量分布，非要引进别的数字 ...使用的过程可能是这样的，先从数字特征开始，先从整体看，在逐个的去看，叫做“分析”！
对方差的理解
本帖最后由 EchoEstelle 于
01:49 编辑
按照我前面对期望的理解，那么方差就能理解为“随机变量最有可能偏离最有可能靠近的值多少”，也是一个很概述的概念，
正是因为它的概括才能够反应整体的信息。
比如，如果一个随机变量的分布的概率密度函数波动很大，它的方差就会很大，它偏离最有可能靠近的值的可能性就会相对
的小，它最有可能偏离那个值的量的平方会比较大，也就是说均值的指导意义将不大。
再详细下去，其实我们看标准差意义会更大，因为在数量上，它就和随机变量平级了。
如果，进入到一个具体的问题，偏离超过多少（比如是随机变量均值的一个百分数），我们就不按照均值的指导做判断了，
而我们做上一个判断的依据，就正好是标准差的大小。
如果，再进一步，如果标准差/均值，在不同的区间内，对我们有怎样不一样的意义，怎样的临界点就是量变的临界点了，这
需要我们对现实做出观察。
再更深一步，对于所有的均值、标准差，怎样的临界点已经是被很多自然界中现象证实了的具有普遍意义的东西，对于我们
面临的新情况，我们可以尝试以过去普遍意义的东西做出假设，再去证实我们的猜想。
其实对于这种理解的严格数学表示可以使用车贝晓夫不等式的。
我们在说“偏离最有可能靠近的值”，如果，我有一个很明确的要求，我要求随机变量偏离最有可能靠近的值为一个数字，
那么，问这种可能性是多少呢？其实，我们这里研究的样本空间是变了的，之前就是最直接的那个样本空间对应的随机
变量，现在，样本空间变成了“原样本空间中事件偏离最有可能事件的概率”，其实这个衍生出来的样本空间对我们是十分
有意义的，我们会经常被问到，你的预期在多大程度上能指导行动。如果我们负责的这一部分作为一个很大问题一部分时
，我们有必要给出做下步组合策略的概率值。
无限扩大经管职场人脉圈！每天抽选10位免费名额，现在就扫& 论坛VIP& 贵宾会员& 可免费加入
&nbsp&nbsp|
&nbsp&nbsp|
&nbsp&nbsp|
&nbsp&nbsp|
&nbsp&nbsp|
&nbsp&nbsp|
如有投资本站或合作意向，请联系（010-）；
邮箱：service@pinggu.org
投诉或不良信息处理：（010-）
京ICP证090565号
论坛法律顾问：王进律师　　? ★ 概率（很可能）是确实存在的。　　? ★ 但是，我们（真的）不知道它究竟是多少！我们只能靠“猜”！　　? “猜”的对不对，我们只能靠“统计”去验证。看看“统计”的结果是否“稳定”在你“猜”的“附近”？　　? ★ 所以，我们其实（在大多数情况下）是根据“统计”得到的“频率”去“猜”概率的。　　? ★ 我们（真正）能搞清楚的只有“古典概型”。但是，它有一个非常苛刻的（几乎“在现实当中”是不可能实现的）条件：等可能。它只存在于数学的“假设”当中。　　? ★ 我们要搞清楚概率，只要搞清楚“掷色子”就可以了。　　我们现在就来“搞搞”清楚“掷色子”这件事。　　准备工作：　　1、“掷色子”的每一种“可能”我们把它叫做“基本事件”；　　2、每一个“基本事件”我们都可以用“数”来给它“起个名字”。这样我们就得到了“随机变量”；　　3、我们需要知道随机变量每取一个确定的值（其实是每一个基本事件）时的概率，也就是一张“表”——随机变量的“分布律”；　　4、有了“分布律”，再加上概率的“四则运算”，我们就可以计算所有的概率问题了。（概率的定义和“四则运算”我们会附在后面）
楼主发言：1次 发图：0张 | 更多
　　我们想象一下：　　1、我们的色子只有“一个面”。（比如：球）　　这个时候，只有一件事可以发生，那就是“必然事件”，随机变量只取一个值：1，它的概率就是：1。其分布律为：
　　开始工作：　　我们想象一下：　　1、我们的色子只有“一个面”。（比如：球）　　这个时候，只有一件事可以发生，那就是“必然事件”，随机变量只取一个值：1，它的概率就是：1。其分布律为：　　　　2、我们的色子有“两个面”。（比如：硬币）　　这个时候，只有两个基本件事可以发生，随机变量只取两个值：1、2，因为“等可能”，它们的概率就是：1/2。其分布律为：　　　　3、我们的色子有“6个面”。（“正常”的色子）　　这个时候，只有6个基本件事可以发生，随机变量只取6个值：1、2、3、4、5、6，因为“等可能”，它们的概率就是：1/6。其分布律为：　　　　总结（找“一样的”，也就是找“规律”）：　　1、随着色子“面数”的增加，也就是“基本事件”的增加，“随机变量”可以取的“值”也在增加；我们的“表”（分布律）沿着X的“方向”在“延展”；　　2、随着“随机变量”可以取的“值”在增加，每一个X对应的概率在“缩小”，但是它永远大于0；　　3、第二行的“和”（所有概率的“和”）等于1；　　4、因为“等可能”，所有我们很容易“填”第二行；　　5、有了“分布律”，加上“四则运算”我们就可以计算“所有”的概率问题了。
　　太太复杂
　　还有吗?
　　例如：求P{A}，A={双数}　　P{A}=P{X=2U X=4U X=6}= P{X=2}+ P{X=4}+ P{X=6}=1/6+1/6+1/6=1/2　　我们找到了上面提到的“一样的”（规律），再解决“类似”的问题，就可以采用“类似”的方法了。　　比如：我们可以把色子做成有18个面的，这好像不太“现实”。那我们换个“说法”：我们在“袋子里”有18个球，每次“摸出”一个来，它的概率分布律是不是很容易求呢？“一样的”！　　我们讨论的是“古典概型”，是“等可能”的。如果不是“等可能”的怎么办？“一样的”办法！只不过“表”里的第二行比较“难填”，要用到“统计”。如果不会“统计”怎么办？那就只能“等着”别人来“告诉你了”。这个别人是谁？就是“书本”，书本告诉你了几种分布？一般的书本会告诉你8种：　　　　这就是常用的、一维、离散型随机变量及其分布！
　　我们要做的就是根据已知条件的不同，选择不同的分布律，应用四则运算法则，进行计算。
　　一维的会了，那么二维、三维、……的呢？“一样的”。　　怎么个“一样”法？我们回过头来，看看我们是怎样研究“一维”的？　　研究任何问题，我们都是由简单到复杂。研究一维随机变量也不例外，我们是通过增加色子的“面数”来使得问题变复杂的。增加了色子的面数，我们就是把“表”沿着X的方向“延展开来”。　　现在我们换个角度，我们不是增加色子的面数，而是增加色子的个数，那会怎么样呢？　　我们现在就增加一个色子，来研究两个色子的情况：　　显然，要研究抛两个色子，我们需要两个随机变量，我们用X来表示第一个色子，用Y来表示第二个色子。那么，我们要怎样表示它的概率分布呢？其实很简单，（参照前面我们增加色子的面数的经验）我们只需要把“表”沿着另外一个方向“延展开来”就可以了。　　　　有了这张表，抛两个色子的概率问题就基本解决了。　　只不过我们习惯于把横的表示为Y，把竖的表示为X。　　　　我们回过头来看看，在这张表中我们需要什么？我们需要两个随机变量X、Y，所以我们把它叫做二维随机变量。我们用一对有序实数（X,Y）来表示。　　假如我们要求一个基本事件：第一个色子抛得2点，第二个色子抛得3点的概率。那我们就到表里查第二行与第三列，得1/36，所以P{（2,3）}=1/36.　　我们要求一个复合事件：第一个色子抛得2点，第二个色子抛得3点和第一个色子抛得3点，第二个色子抛得6点的概率，那我们就到表里查第二行与第三列，得1/36，再查第三行与第六列，得1/36，把两个加起来，即P{（2,3）U（3,6）}= P{（2,3）}+ P{（3,6）}=1/36+1/36=1/18　　下面我们来求P{X=3}。　　P{X=3}是什么意思？它就是第一次抛得3点，第二次抛得几点都行，也就是：　　P{X=3}= P{（3，1）U（3，2）U （3，3）U （3，4）U （3，5）U （3，6）}　　= P{（3，1）}+ P{（3，2）}+ P{（3，3）}+ P{（3，4）}+ P{（3，5）}+ P{（3，6）}　　换句话来说，就是把第三行的“全加起来”，那么，P{X=1}+P{X=2}+……=？我们可以在原表的最后加上一列：　　　　我们发现，它“恰巧”是只抛一个色子的概率分布。我们把它叫做“X的边缘分布”　　如果我们在原表的最后加上一行呢？“一样的” 我们把它叫做“Y的边缘分布”　　我们把原表，叫做“X、Y的联合分布”　　
　　它“恰巧”是只抛一个色子的概率分布。这个在彩票随机数字上有用吗?
　　抛色子是“等可能”的，是简单的，我们再举一个复杂有点的例子：　　例：设随机变量X在1，2，3，4这4个整数中等可能地取值，另一个随机变量Y在1~X中等可能的取一整数值。试求（X，Y）的分布律及X,Y的边缘分布律。　　
　　看到这个例题与“掷色子”的“一样的”与“不一样”的地方了吗？　　一样的：他们都是（离散型）二维随机变量，他们的分布律的“表达形式”是一样的；　　不一样：掷色子是“实际问题”，而例题好像跟“实际问题”不沾边，它更“抽象”。　　而“抽象”的问题更具有“普遍意义”。我们今后解决概率问题时，只要“识别”出它符合那种（书本上告诉你的）分布，问题就解决了。　　二维的我们会了，那么三维的呢？沿Z轴再展开就是了。只不过再展开就是“立体”的了，我们无法在“平面”上给出它的分布，我们需要一个立体的分布表，比较麻烦而已。　　三维的我们会了，那么四维、五维、……的呢？其实是“一样的”，除了我们不知道怎么画“表”以外，其他的都“一样”。　　不会画“表”我们怎么给出分布律？当然有办法，什么办法？函数呀。　　别忘了，当初我们学习函数的时候，函数有三种表示法：列表法、图像法、解析法。　　每一个表示分布律的“表”，其实就是一个函数。“表”只是它的一种表达形式。我们还可以用另外一种形式来表示：解析法。　　实际上，只有简单的我们才用“表”，复杂的一般我们都用解析法。不是吗？我们给出的8种一维随机变量的分布，后面的、比较麻烦的不是都用解析法给出的吗？
　　多维的，离散的随机变量的分布我们搞清楚了，那么连续的呢？　　一样的。与谁一样？与“一维的”一样，与“离散的”一样。怎么个一样法？　　一维的、连续的与离散的一样，都是沿着X展开，区别是离散的展开后只有有限个（离散的）点，连续的有无限多个（连续的）点。　　比如，我们可以做出一般有无限多个面的色子。这事好像不靠谱，我们换个例子。　　例：某公共汽车站每隔10分钟有一辆公共汽车通过，现有一位乘客随机到站候车。问该乘客候车时间小于5分钟的概率是多少？　　我们拿它与“掷色子”比较。我们发现，它们有一样的地方，也有不一样的地方。　　一样的地方：　　它们都“很容易”用“数”给“基本事件”起名字。比如：“掷色子” 掷出来的是3点，我们就说X=3；乘客等了3分钟，我们也可以说X=3。所以它们的“基本事件”其实都可以用“随机变量”表示。　　不一样的地方：　　“掷色子” 掷出来的是3点，“下一个”是几？是4点，也就是X=4；乘客等了3分钟，“下一个”等了几分钟？是4分钟吗？还是3.5分钟？或者3.1？3.001？……　　表示“掷色子”的“随机变量”是“离散的”；而表示“乘客候车” 的“随机变量”是“连续的”。
　　这一“连续”，麻烦就来了。比如：　　“掷色子”的基本事件有6个，掷出来的是“3点”是1个，所以P{X=3}=1/6　　“乘客候车”的基本事件有多少个？无穷大！等了“3分钟”是1个，那么P{X=3}=？无穷大的倒数？那么无穷大的倒数是多少？结合高数，我们知道：无穷大的倒数是“0”。所以P{X=3}=0。　　注意，连续型随机变量X在每一个确定的点上其概率都等于“0”，即P{X=x0}=0。　　
　　天知道它不行，得我们知道！　　
　　几个常见的连续型随机变量的分布　　
　　这个正态分布的分布函数“很不正态”。人家前两个分布函数全没有积分号，就它有。其实前两个也有，只不过它们的积分比较好算，人家直接给算出来了。　　
　　既然能算出来，那么干嘛不把正态分布的分布函数也算出来？非常可惜，算不出来！算不出来还有用吗？当然有用。怎么用？继续研究呗。怎么研究？老办法，先研究简单的。　　
　　它们比原来可简单多了。简单倒是简单多了，但是还是算不出来。算不出来怎么办，继续研究。这事可就大了，因为它涉及到另外一门数学《数值计算》。这门课程我们不学，所以我们直接利用它的结果——表，我们给出标准正态分布表：　　　　
　　离散型随机变量的函数的分布　　函数：给出一个x值，有唯一一个y值与之对应；　　给出一个y值，不一定有“一个”x值与之对应。　　　　　　　　小结：　　1、 什么是随机变量？　　随机变量就是用“数”给随机事件“起个名字”。　　2、 为什么要引入随机变量？　　简单、抽象、应用广泛　　3、 为什么要研究随机变量？　　我们要知道随机事件的概率，而随机事件是用随机变量表示的；　　随机变量是个数值，而概率也是一个数值；　　每给出一个随机变量的值，我们都要知道一个概率的值，这是什么？是函数！　　所以我们要用分布函数。知道了一个随机试验的概率分布函数，就解决了所有问题！　　4、 我们要做的就是：根据已知条件“识别”出它符合那种分布，剩下的事儿就是：“简单的就查表，复杂的就法则”。
　　附录1：概率的定义　　
　　附录2：概率的“四则运算”　　
　　看一下，
　　看来要弄明白在那个贴子里两个人争论的随机变量的事，就得跟着楼主从基础及由来学起。
　　@clw-09 19:38:07　　离散型随机变量的函数的分布　　函数：给出一个x值，有唯一一个y值与之对应；　　给出一个y值，不一定有“一个”x值与之对应。　　　　　　/getimgXXX/3/0/photo3//middle/7159_middle.gif......　　-----------------------------　　楼主的数学素养真高，叹为观止。数学思维和思想清晰准确、透彻，非常优秀的帖子，读了很多遍
<span class="count" title="万
请遵守言论规则，不得违反国家法律法规回复(Ctrl+Enter)}