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计算下列n阶行列式，在线等答案！！第12题的（1）问，请写出解答过程，谢谢！！
说步骤了哈~~应该会吧。。第一步、把第2行到第n行的a1,a2......an，提出来（把主对角线的元素都变为1），第二步、再将新的第2行到第n行加到第一行（消去第一行的元素1，将行列式变为下三角型）。
写这个比较蛋疼行列式是(n+1)行用最后一行(n+1行)乘以-1 再依次加到2 到n变成一个形如a0
a3 .... -an1
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扫描下载二维码第２４卷第２期２００８年４月；山西大同大学学报（自然科学版）；ＪｏｕｒｎａｌｏｆＳｈａｎｘｉＤａｔｏｎｇＵｎｉ；Ｖｏｌ．２４．Ｎｏ．２Ａｐｒ．２００８；Ｎ阶行列式的几种常见的计算方法；王丽霞；（山西大同大学数学与计算机科学学院，山西大同０３；要：该文通过具体实例给出了ｎ阶行列式的几种常见的；三角形行列式；降阶法；递推法；范德蒙行列式；关键词：行列式；中图分类
第２４卷第２期２００８年４月
山西大同大学学报（自然科学版）
ＪｏｕｒｎａｌｏｆＳｈａｎｘｉＤａｔｏｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅ）
Ｖｏｌ．２４．Ｎｏ．２Ａｐｒ．２００８
Ｎ阶行列式的几种常见的计算方法
（山西大同大学数学与计算机科学学院，山西大同０３７００９）
要：该文通过具体实例给出了ｎ阶行列式的几种常见的计算方法，仅供读者参考．
三角形行列式
范德蒙行列式
关键词：行列式
中图分类号：Ｏ１５１．２１文献标识码：Ａ文章编号：１６７４－０８７４（２００８）０２－００１１－０４
ｎ（ｎ－１）行列式的产生和最早的应用都是出现在解线性方程组中，不过它现在的应用范围已较为广泛，成为许多学科相当重要的工具．所以，对于许多人来说，掌握行列式的计算是十分必要的．为此，笔者在查阅部分参考资料的基础上，结合自己的教学实践，对行列式的计算方法进行了初步探讨，总结出以下几种常用方法．
（－１）形，行列式的值等于素的乘积．
与次对角线上所有元
例２．计算ｎ阶行列式
……………
利用ｎ阶行列式的定义计算其值．例１．计算ｎ阶行列式
解：这个行列式的特点是每一行有一个元素ａ，
００Ｄｎ＝
其余ｎ－１个元素是ｂ，根据行列式的性质，把第二列加到第一列，行列式不变，再把第三列加到第一列，行列式不变，…，直到第ｎ列也加到第一列，即得
０ｎ００００ｎ－１０
……………
解：据行列式的定义，行列式展开后每项都是ｎ个元素相乘，且这ｎ个元素是Ｄｎ中位于不同行与不同列的，故Ｄｎ中只有一个非零项１２…（ｎ－１）ｎ＝ｎ！这一项行标为自然数顺序排列，对应的列标构成的排列为２３…ｎ１，其逆序数为ｎ－１，故Ｄｎ＝（－１）
……………
［ａ＋（ｎ－１）ｂ］
２化为三角形的方法
运用行列式的性质把行列式变换成位于主对
角线一侧的所有元素全等于零，这样得到的行列式等于主对角线上元素的乘积，对于次对角线的情
收稿日期：２００８－０１－０８
作者简介：王丽霞（１９７９－），女，山西阳高人，助教，在读硕士，研究方向：高等代数．
第二行到第ｎ行都分别加上第一行的（－１）倍，
??１２山西大同大学学报（自然科学版）２００８年
就有依此类推来计算行列式的值．
Ｄｎ＝［ａ＋（ｎ－１）ｂ］×
例４．计算ｎ阶行列式
ｂａ－ｂ０
ｂ０ａ－ｂ
……………
……………
［ａ＋（ｎ－１）ｂ］（ａ－ｂ）．
运用行列式按行（列）展开的相关定理使高阶
解：将Ｄｎ按第一行展开后再将第二个行列式按
第一列展开得
Ｄｎ＝（!＋&）Ｄｎ－１－!&Ｄｎ－２．
行列式转化为低阶行列式来计算其值．
例３．计算ｎ阶行列式
Ｄｎ－!Ｄｎ－１＝&（Ｄｎ－１－!Ｄｎ－２）．
此式对一切ｎ都成立，故递推得
ｘ０Ｄｎ＝
……………
Ｄｎ－!Ｄｎ－１＝&２（Ｄｎ－２－!Ｄｎ－３）＝
&３（Ｄｎ－３－!Ｄｎ－４）＝…＝&ｎ－２（Ｄ２－!Ｄ１）＝
&ｎ－２［（!＋&）２－!&－!（!＋&）］＝&ｎ
在上式中，!，&的地位等同，故同理可得
Ｄｎ－&Ｄｎ－１＝!ｎ．
（２）×!－（１）×&，得
００００ｘ０ｙｘ
（１）（２）
解：据行列式按行展开定理，将Ｄｎ按第一行展
（!－&）Ｄｎ＝!ｎ＋１－&ｎ＋１．
…………………………
Ｄｎ＝ｘ…
ｎ＋１ｎ＋１
Ｄｎ＝!－&．
５加边法（升阶法）
在运算中可以通过增加一行一列，使行列式在
原来的基础上增加一阶，同时保证行列式的值不
……………
变，从而使行列式的计算变得容易
例５．计算ｎ阶行列式
１＋ａ１１
１１＋ａ２
……………
ｘｎ－ｙ…
００ｘ０ｙｘ
１＋ａｎ－１
１１＋ａｎ
将后面的行列式按第一列展开，则
Ｄｎ＝ｘｎ－ｙｙ（－１）×ｙｘ
解：加边，使得
……………
＝ｘｎ＋（－１）ｎ＋１ｙｎ
１１＋ａ１１
１１１＋ａ２
………………
设法找出ｎ阶行列式Ｄｎ与低阶行列式的关系
１１＋ａｎ
将第一行的（－１）倍分别加到其它各行，得
２００８年王丽霞：Ｎ阶行列式的几种常见的计算方法??１３
－１Ｄｎ＝
………………
将此行列式拆分为两项得
２１Ｄｎｖ＝
０ｘ１ｘ２
０ｘ１ｘ２
…………………………
０ｘ１ｘ２
－１－１００００００
（爪型行列式）
从第二列开始，将各列的１／ａｉ（ｉ＝１，２，…，ｎ）倍加到第一列得
ｘｎ１ｘ１ｘ２
ｘｎ１ｘ１ｘ２
ｘｎ１ｘ１ｘ２
１＋１＋１＋…＋１１２ｎ
２ｘ１ｘ２…ｘｎ
ｘｎｘ１ｘ２
ｎ－１ｎ－１
ｘ１ｘ２ｘｎ０
００００１０
ａ１ａ２…ａｎ（１＋１／ａ１＋１／ａ２＋…＋１／ａｎ）＝ａ１ａ２…ａｎ（１＋!１／ａｉ）．
ｎ－１ｎ－１
６范德蒙行列式计算法
利用范德蒙行列式的结果计算ｎ阶行列式．例６．计算ｎ阶行列式
ｘ１－１ｘ１（ｘ１－１）…ｘ１（ｘ１－１）ｘ２－１ｘ２（ｘ２－１）…ｘ２（ｘ２－１）＝
１＋ｘ１１＋ｘ２
ｘｎ－１ｘｎ（ｘｎ－１）…ｘｎ（ｘｎ－１）
１＋ｘ１１＋ｘ２
２ｘ１ｘ２…ｘｎ×#（ｘｉ－ｘｊ）－
１&ｊ＜ｉ&ｎ
解：加边得
１＋ｘｎ０１＋ｘ１１＋ｘ２
．０１＋ｘ１＋ｘ２
（ｘ１－１）（ｘ２－１）…（ｘｎ－１）
１&ｊ＜ｉ&ｎ
（ｘｉ－ｘｊ）＝
［２ｘ１ｘ２…ｘｎ－（ｘ１－１）（ｘ２－１）…（ｘｎ－１）］×
１１Ｄｎ＝
０１＋ｘ１＋ｘ２
１&ｊ＜ｉ&ｎ
（ｘｉ－ｘｊ）．
利用数学归纳法来计算（证明）某些ｎ阶行列式．例７．证明
…１０ｃｏｓ!
…１２ｃｏｓ!１
０１２ｃｏｓ!……
１＋ｘｎ－ｘｘ１＋ｘｎ２
将第一列的（－１）倍加到其它各列得
００＝ｃｏｓｎ!．
…２ｃｏｓ!
１２ｃｏｓ!
??１４山西大同大学学报（自然科学版）２００８年
当ｎ＝１时，Ｄ１＝ｃｏｓ!，等式成立；
当ｎ＝２时，Ｄ２＝２ｃｏｓ２!－１＝ｃｏｓ２!，等式成立．设当ｎ＝ｋ时，等式成立．当ｎ＝ｋ＋１时，按最后一行展开
２ｃｏｓ!Ｄｋ－Ｄｋ－１＝
２ｃｏｓ!ｃｏｓｋ!－ｃｏｓ（ｋ－１）!＝ｃｏｓ（ｋ＋１）!＝右边．
故等式成立．
行列式计算方法除上述方法外还有许多别的方法，比如，拉普拉斯法，析因子法等，只是上述方
Ｄｋ＋１＝２ｃｏｓ!Ｄｋ－ｃｏｓ!１０
１２ｃｏｓ!１
０１２ｃｏｓ!
………………
法常用而已．在计算行列式时，要根据行列式自身的特点选择待定的方法进行计算，而且不仅仅局限于某一种算法，而是多种方法综合运用，求出其值．
００２ｃｏｓ!１
［１］张禾瑞，郝新．高等代数［Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９８３．１３０．［２］北京大学数学系．高等代数［Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９８８．［３］王向东，周士藩．高等代数常用方法［Ｍ］．北京：科学出版社，１９８９．１１．
［４］毛纲源．线性代数解题方法技巧归纳［Ｍ］．武汉：华中理工大学出版社，２０００．３４－４０．［５］古家虹．关于行列式的计算方法［Ｊ］．广西大学学报（自然科学版），２００５，３０（增刊）：１７４－１７６．
ＳｅｖｅｒａｌＣｏｍｍｏｎＭｅｔｈｏｄｓｏｆＮ－ｏｒｄｅｒＤｅｔｅｒｍｉｎａｎｔｓ
ＷＡＮＧＬｉ－ｘｉａ
（ＳｃｈｏｏｌｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎｄＣｏｍｐｕｔｅｒＳｃｉｅｎｃｅ，ＳｈａｎｘｉＤａｔｏｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，ＤａｔｏｎｇＳｈａｎｘｉ，０３７００９）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｉｓａｒｔｉｃｌｅｉｎｔｒｏｄｕｃｅｓｓｏｍｅｆｒｅｑｕｅｎｔｌｙｕｓｅｄａｎｄｅｆｆｅｃｔｉｖｅｃａｌｃｕｌａｔｉｎｇｍｅｔｈｏｄｓｏｆｎ－ｏｒｄｅｒｄｅｔｅｒｍｉｎａｎｔｂｙｍｅａｎｓｏｆｓｏｍｅｐｒａｃｔｉｃａｌｅｘａｍｐｌｅｓ，ｆｏｒｒｅａｄｅｒｓ＇ｒｅｆｅｒｅｎｃｅｏｎｌｙ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｄｅｔｅｒｍｉｎａｎｔ；ｔｒｉａｎｇｕｌａｉｒｅｄｅｔｅｒｍｉｎａｎｔ；ｄｏｗｎｏｒｄｅｒ；ｒｅｃｕｒｓｉｏｎ；ｖａｎｄｅｒｍｏｎｄｅｄｅｔｅｒｍｉｎａｎｔ
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&计算n阶行列式C代码
用高斯消元法计算n阶行列式，每一步都配有详细的注释说明。
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