重新理解线性代数
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重新理解线性代数
线性代数是高等代数的一大分支。我们知道一次方程叫做线性方程，讨论线性方程及线性运算的代数就叫做线性代数。在线性代数中最重要的内容就是行列式和矩 阵。行列式和矩阵在十九世纪受到很大的注意 , 而且写了成千篇关于这两个课题的文章。向量的概念 , 从数学的观点来看不过是有序三元数组的一个集合 , 然而它以力或速度作为直接的物理意义 , 并且数学上用它能立刻写出 物理上所说的事情。向量用于梯度 , 散度 , 旋度就更有说服力。同样 , 行列式和矩阵如导数一样（虽然 dy/dx 在数学上不过是一个符号 , 表示包括△y/△x的极限的长式子 , 但导数本身是一个强有力的概念 , 能使我们直接而创造性地想象物理上发生的事情）。因此，虽然表面上看，行列式和矩阵不过是一种语言或速记，但它的大多数生动的概念能对新的思想领域提供钥 匙。然而已经证明这两个概念是数学物理上高度有用的工具。&&&&线性代数学科和矩阵理论是伴随着线性系统方程系数研究而引入和发展的。 行列式的概念最早是由十七世纪日本数学家关孝和提出来的，他在 1683 年写了一部叫做《解伏题之法》的著作，意思是 “ 解行列式问题的方法 ” ，书里对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述。欧洲第一个提出行列式概念的是德国的数学家， 微积分学奠基人之一 莱布 尼 兹 （ Leibnitz ， 1693 年） 。 1750 年 克莱姆（ Cramer ） 在他的《线性代数分析导言》（ Introduction d l'analyse des lignes courbes alge'briques ）中 发表了求解线性系统方程的重要基本公式（既人们熟悉的 Cramer 克莱姆法则）。 1764 年 , Bezout 把确定行列式每一项的符号的手续系统化了。对给定了含 n 个未知量的 n 个齐次线性方程 , Bezout 证明了系数行列式等于零是这方程组有非零解的条件。 Vandermonde 是第一个对行列式理论进行系统的阐述 ( 即把行列 ' 式理论与线性方程组求解相分离 ) 的人。并且给出了一条法则，用二阶子式和它们的余子式来展开行列式。就对行列式本身进行研究这一点而言，他是这门理论的奠基人。 Laplace 在 1772 年的论文《对积分和世界体系的探讨》中 , 证明了 Vandermonde 的一些规则 , 并推广了他的展开行列式的方法 , 用 r 行中所含的子式和它们的余子式的集合来展开行列式，这个方法现在仍然以他的名字命名。 德国数学家雅可比（ Jacobi ）也于 1841 年总结并提出了行列式的系统理论。另一个研究行列式的是法国最伟大的数学家 柯西 (Cauchy) ，他大大发展了行列式的理论，在行列式的记号中他把元素排成方阵并首次采用了双重足标的新记法，与此同时发现两行列式相乘的公式及改进并证明了 laplace 的展开定理。相对而言，最早利用矩阵概念的是 拉格朗日（ Lagrange ） 在 1700 年后的双线性型工作中体现的。拉格朗日期望了解多元函数的最大、最小值问题，其方法就是人们知道的拉格朗日迭代法。为了完成这些，他首先需要一阶偏导数为 0 ，另外还要有二阶偏导数矩阵的条件。这个条件就是今天所谓的正、负的定义。尽管拉格朗日没有明确地提出利用矩阵。&&&&高斯（ Gauss ） 大约在 1800 年提出了高斯消元法并用它解决了天体计算和后来的地球表面测量计算中的最小二乘法问题。（这种涉及测量、求取地球形状或当地精确位置的应用数学分支称为测 地学。）虽然高斯由于这个技术成功地消去了线性方程的变量而出名，但早在几世纪中国人的手稿中就出现了解释如何运用“高斯”消去的方法求解带有三个未知量 的三方程系统。在当时的几年里，高斯消去法一直被认为是测地学发展的一部分，而不是数学。而高斯 - 约当消去法则最初是出现在由 Wilhelm Jordan 撰写的测地学手册中。许多人把著名的数学家 Camille Jordan 误认为是“高斯 - 约当”消去法中的约当。&&&&矩阵代数的丰富发展，人们需要有合适的符号和合适的矩阵乘法定义。二者要在大约同一时间和同一地点相遇。 1848 年英格兰的 J.J. Sylvester 首先提出了矩阵这个词，它来源于拉丁语，代表一排数。 1855 年矩阵代数得到了 Arthur Cayley 的工作培育。 Cayley 研究了线性变换的组成并提出了矩阵乘法的定义，使得复合变换 ST 的系数矩阵变为矩阵 S 和矩阵 T 的乘积。他还进一步研究了那些包括矩阵逆在内的代数问题。著名的 Cayley- Hamilton 理论即断言一个矩阵的平方就是它的特征多项式的根，就是由 Cayley 在 1858 年在他的矩阵理论文集中提出的。利用单一的字母 A 来表示矩阵是对矩阵代数发展至关重要的。在发展的早期公式 det( AB ) = det( A )det( B ) 为矩阵代数和行列式间提供了一种联系。 数学家 Cauchy 首先给出了特征方程的术语，并证明了阶数超过 3 的矩阵有特征值及任意阶实对称行列式都有实特征值；给出了相似矩阵的概念，并证明了相似矩阵有相同的特征值；研究了代换理论，&&&&数学家试图研究向量代数，但在任意维数中并没有两个向量乘积的自然定义。第一个涉及一个不可交换向量积（既 v x w 不等于 w x v ）的向量代数是由 Hermann Grassmann 在他的《线性扩张论》（ Die lineale Ausdehnungslehre ） 一 书中提出的。 (1844) 。他的观点还被引入一个列矩阵和一个行矩阵的乘积中，结果就是现在称之为秩数为 1 的矩阵，或简单矩阵。在 19 世纪末美国数学物理学家 Willard Gibbs 发表了关于《向量分析基础》 ( Elements of Vector Analysis ) 的著名论述。其后物理学家 P. A. M. Dirac 提出了行向量和列向量的乘积为标量。我们习惯的列矩阵和向量都是在 20 世纪由物理学家给出的。&&&&矩阵的发展是与线性变换密切相连的。到 19 世纪它还仅占线性变换理论形成中有限的空间。现代向量空间的定义是由 Peano 于 1888 年提出的。二次世界大战后随着现代数字计算机的发展，矩阵又有了新的含义，特别是在矩阵的数值分析等方面。 由于计算机的飞速发展和广泛应用，许多实际问题可以通过离散化的数值计算得到定量的解决。于是作为处理离散问题的线性代数，成为从事科学研究和工程设计的 科技人员必备的数学基础。回复以下关键字获取相关文章：数据挖掘&|&机器学习&|&数学之美&|&游戏算法&|&生活数学&|&排名算法|大型网站技术演进&|&数学名人&|&学科概述&|&计算机科学&|&搜索引擎据说好多人都不知道长按图片也能关注，你知道吗？
TA的最新馆藏线性代数入门的简单理解 - 简书
线性代数入门的简单理解
线性代数研究的最重要的是线性空间，伴随着最实用的核心产物就是解线性方程组。向量空间那么为什么要研究向量呢？因为向量的全体就构成了一个线性空间。正如研究实数数，实数的全体构成了实数域一样，而且，也仅有线性运算，才能保证运算结果还在这个“域”内，也即“封闭性”。于是，类似地，八条公理定义了向量空间（来自百度百科）：(?a, b∈F及u, v, w∈V)：1. 向量加法结合律：u + (v + w) = (u + v) + w；2. 向量加法交换律：v + w = w + v；3. 向量加法的单位元：V里有一个叫做零向量的0，?v∈V , v + 0= v；4. 向量加法的逆元素：?v∈V,?w∈V，使得v + w = 0；5. 标量乘法分配于向量加法上：a(v + w) = a v + a w；6. 标量乘法分配于域加法上: (a + b)v = av + bv；7. 标量乘法一致于标量的域乘法: a(bv) = (ab)v；8. 标量乘法有单位元: 1 v = v,这里1是指域F的乘法单位元。先看第八条，在实数域中，我们有“1”使得1*a=a（a为实数），从而能表示该域当中所有的元素；在向量空间中，我们需要找到一个能包含一个空间中所有维的单位元，使得“1”*v=v，其中v是一个n维向量。若已知
类似实数域，那么通过单位元的表示为：
这里的“1”，记录的是xi在这个n维向量中的位置与伸缩倍数，这就和数域中的“1”类似了。在二维空间和三维空间中，我们有定义“正交”，虽然难以直观想象，但可以定义在n维空间的正交，无疑，在用一堆向量表示任意一个向量的时候，正交向量是最方便的。那么，可以用另一个方式来解释（1.1）式：每一根轴上的单位向量构成了一个标准正交向量组，x1, x2…xn为每一个单位向量伸缩的倍数。矩阵和线性方程组
但是，在表示任意一个n维向量时，得到的往往不是那么美丽的标准正交基，而是任意的一组由n个向量组成、能充满n维空间的基。
求Xi即要是解线性方程组：
???????????????????????????????????????这里再换一种角度，看成向量：
若有f(X)=v，那么f就是一个从X到v的线性映射。把这个线性映射如此排列，就成了矩阵：
以上还是n*n的矩阵，任意的m*n矩阵，m是向量维数，n是未知量Xi的个数。到这里，就可以方便地是用高斯消元法了，其本质就是把线性方程组分成主元列和自由列,。消元、化成行标准形之后剩下的主元个数就是矩阵的秩。
从而，有以下两种情况：1.不存在自由列：也就是矩阵、或者说线性方程组的系数A满秩。
对于方程组AX=b，主元和增广矩阵（不再赘述）的最后一列是一一对应的，那么方程有唯一解。1.存在自由列：如果，r(A)&r(A|b)，即没有主元的一行对应了增广的一列元素不为0，此时显然AX=b无解。如果r(A)=r(A|b)，由于
可以简单地得到其特解：
特征值和特征向量
矩阵A的作用就像一个函数，在微积分中函数表示作用在变量x上得到f(x)。在线性代数中，扩展到多维上，A作用在x上得到Ax。其中，变换后方向保持一致的向量尤为特殊。多数情况下，对于给定的A，得到的Ax方向与原先不同；如果Ax与原来方向平行，就称x为特征向量。于是，有更加简单的表示方法：λX，λ就是在这个方向上的伸缩倍数。为了方便地求矩阵的幂了，假设存在A的n个线性无关的特征向量{x1,x2, …xn}，放在一个方阵里，构成方阵P，算一下乘积：
举例，对于A^k，k -& ∞时什么情况下A^k -& 0？由矩阵的对角化可以得到|λ|&1。所以，特征值的几何意义在于表达了在某个空间上特征方向的伸缩比例：λ&1，扩张；λ&1，收缩；λ=1，不变。至于矩阵的相似，就是同一个线性变换在不同基下对应的矩阵，在之前的一组基下我们用变换A，在另一组基下，就是B了。从这个角度来看，对角化就是在寻找一组基，使得在此之下的线性变换达到最简形式，看起来就像微积分中的成正比一样。最后的二次型，本质也是一样：在保持图形不变的基础上找到一组基使得方程形式最简。
会静由吾心。线性代数 矩阵计算器
线性代数 矩阵在线计算器
线性代数是数学的一个分支，它的研究对象是向量，向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。向量空间是现代数学的一个重要课题；线性代数广泛地应用于抽象代数和泛函分析中；通过解析几何，线性代数得以被具体表示。线性代数的理论已被泛化为算子理论。由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型，使得线性代数被广泛地应用于自然科学、工程、计算机科学和社会科学中。
在数学中，矩阵（Matrix）是指纵横排列的二维数据表格，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出。
矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。 矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。对一些应用广泛而形式特殊的矩阵，例如稀疏矩阵和准对角矩阵，有特定的快速运算算法。关于矩阵相关理论的发展和应用，请参考矩阵理论。在天体物理、量子力学等领域，也会出现无穷维的矩阵，是矩阵的一种推广。
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编 辑 推 荐
& && & 本书为英文原文中文注释版本，由一线教学任课老师在书中难点部分作出注释讲解。从几何直观的视角来审视线性代数的内容。
内 容 提 要
& && & 本书区别于以往线性代数的书籍，内容新颖，编排独特。作者以几何视角讲述线性代数，通过二维平面和三维空间中的例子解释线性代数中的各种概念和性质。本书强调直观性以及知识点的背景，结合计算机中各种图形的变换来理解线性变换，注重可读性的同时突出数学的基本思想，将直观图形与数学证明进行了巧妙的结合。作者在书页侧边空白处手绘200余幅示意图给出了相关概念的解释，以便更好地帮助读者理解。
& && & 对于工科与经济类的大学生而言，“线性代数”是一门公共基础课，是必修的课程之一。常见的线性代数教科书大致有这样几个章节——行列式、线性方程组、矩阵、向量空间、特征值与特征向量、二次型。打开教材，迎面而来的就是计算与证明，鲜有知识点产生的缘由及其在实际生活中的应用。诚然，数学是一门抽象的科学，具有高度的概括性，但是这不代表数学教材就应该这样“斩头去尾烧中段”，干巴巴的毫无吸引力，冷冰冰地让人生畏。数学教育研究者们一直在呼吁数学文化的渗透，那么对于具体的一本教材而言，渗透什么内容？如何进行渗透？渗透到什么程度？我想，最基本的来说，至少要将知识的来龙去脉说个清楚。比如常见教科书开篇就是行列式的计算，那么学生肯定想要知道“行列式的本质是什么？为什么要学行列式？它在实际应用中的作用是什么？”在缺乏理解的基础上，就算学会了计算与证明，对知识的把握也是稀里糊涂的。这是件让人遗憾的事情。
& && & 本书，是一本弥补遗憾的书，是一本不同视角的书，是一本呈现知识点来龙去脉的书。本书按照先二维后三维的顺序呈现知识，使得知识形象化，便于理解。全书共分18章，第1章到第9章是二维情形，以独特的顺序与适宜的方式介绍了线性代数的基本知识点；第10章到第13章是三维情形，因此这四章是前九章的推广，但并不重复，各有仙机；第14章到第18章是高维情形，呈现了许多实际生活中的应用，同时也有助于读者抽象思维的发展。本书采用了非常规却符合认知的知识呈现顺序，以直观的、几何的叙述方式呈现内容，以大量的实际例证呈现应用。如果你不曾学过线性代数，阅读本书，会让你兴趣盎然地沉浸其中，顺理成章地掌握所有应掌握的知识点；如果你曾经学过线性代数，阅读本书，会让你不断地恍然大悟：“哦！原来这个知识点是这么来的！原来这个知识点是这么用的！原来这两个知识点竟然有这层关系！”如果你想要看一本有趣且有用的线性代数书籍，那么本书就是一个不可错过的上好选择！
注释者的话
第1章&&笛卡儿的现
1.1二维平面中由局部坐标与整体坐标的互化
1.2 整体坐标到局部坐标的转化
1.3三维空间中局部坐标与整体坐标的互化
1.4单位框外一点坐标的转化
1.5建立坐标系
第2章&&无处不在：二维平面中的点与量
2.1 点与向量的坐标及运算
2.2 点与向量的区别
2.3 向量场
2.4 向量的长度
2.5 点的组合
2.6 线性无关
2.7 标量积
2.8 正交投影
2.9 不等式
第三章 排列起来：二维平面上的直线
3.1 直线的定义
3.2 直线的参数方程
3.3 直线的隐式方程
3.4 直线的显式方程
3.5 参数方程与隐式方程的互化
3.6 点到直线的距离
3.7 点在直线上的投影
3.8 相遇的地方：直线相交的计算
第4章&&改变形状：二维平面上的线性映射
4.1 倾斜的目标框
4.3 矩阵的计算性质
4.4 图形放缩
4.5 图形反射
4.6 图形旋转
4.7 图形切变
4.8 图形投影
4.9 投影的核
4.10 面积与线性映射：行列式
4.11 线性映射的复合
4.12 矩阵乘法的更多性质
4.13 矩阵运算的更多性质
第5章& &2×2线性方程组
5.1 再议倾斜的目标框
5.2 矩阵形式
5.3 直接求解法：克拉默法则
5.4 高斯消去法
5.5 取消映射：逆矩阵
5.6 无解方程组
5.7 欠定方程组
5.8 齐次方程组
5.9 数值应用：主元法
5.10 用矩阵定义映射
第6章 在周围移动：二维平面上的仿射映射
6.1 坐标变换
6.2 仿射映射与线性映射
6.4 更多常见的仿射映射
6.5 从三角形映射到三角形
6.6 仿射映射的复合
第7章 特征
7.1 固定方向
7.2 特征值
7.3 特征向量
7.4 特殊情形
7.5 对称矩阵的几何图形
7.6 重复映射
7.7 映射的条件数
第8章 剖分：三角
8.1 重心坐标
8.2 仿射不变性
8.3 几个特殊点
8.4 二维平面上的三角剖分
8.5 数据结构
8.6 点的位置
8.7 三维空间中的三角剖分
第9章 圆锥曲线
9.1 常见的圆锥曲线
9.2 圆锥曲线类型的判定
9.3 圆锥曲线位置的判定
第10章 三维空间中的几何
10.1 从二维到三维
10.2 向量积
10.5 应用：光与影
10.6 标量三重积
10.7 线性空间
第11章&&三维空间中的相交
11.1 点与平面的距离
11.2 两直线间的距离
11.3 直线与平面相交
11.4 直线与三角形相交
11.5 光在平面上的反射
11.6 三个平面相交
11.7 两个平面相交
11.8 建立正交坐标系
第12章&&三维空间中的线性映射
12.1 矩阵与线性映射
12.2 图形放缩
12.3 图形反射
12.4 图形切变
12.5 图形投影
12.6 图形旋转
12.7 体积与线性映射：行列式
12.8 线性映射的组合
12.9 更多的矩阵性质
12.10 逆矩阵
12.11 习题
第13章&&三维空间中的仿射映射
13.1 仿射映射
13.3 四面体的映射
13.5 齐次坐标与透视映射
第14章&&一般线性方程组
14.1 问题的引入
14.2 高斯消元求解法
14.3 行列式
14.4 超定方程组
14.5 逆矩阵
14.6 矩阵的LU分解
第15章&&一般线性空间
15.1 基本性质
15.2 线性映射
15.4 格拉姆-施密特正交化方法
15.5 高维特征问题
15.6 空间一览
第16章&&数值方法
16.1 线性方程组的另一种解法：豪斯霍尔德法
16.2 向量的范数与序列
16.3 方程组的迭代解法：高斯-雅克比法与高斯-赛德尔法
16.4 求特征值：幂法
第17章&&直线组团来袭：折线和多边形
17.2 多边形
17.4 多边形的类别
17.5 不常见的多边形
17.6 转向角与分支数
17.8 验证共面问题
17.9 验证点与多边形的位置问题
17.10 习题
第18章&&曲线
18.1 应用：参数曲线
18.2 贝齐尔曲线的性质
18.3 矩阵形式
18.5 合成曲线
18.6 平面曲线的几何
18.7 沿曲线移动
A.1 来个例子热身一下
A.3 仿射映射
支持楼主：、
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好的意见建议
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都没有电子书分享吗?
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