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matlab求解常微分方程
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下载：80积分SciPy-数值计算库 & 用Python做科学计算
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SciPy-数值计算库
SciPy函数库在NumPy库的基础上增加了众多的数学、科学以及工程计算中常用的库函数。例如线性代数、常微分方程数值求解、信号处理、图像处理、稀疏矩阵等等。由于其涉及的领域众多、本书没有能力对其一一的进行介绍。作为入门介绍，让我们看看如何用SciPy进行插值处理、信号滤波以及用C语言加速计算。
最小二乘拟合
假设有一组实验数据(x[i], y[i])，我们知道它们之间的函数关系:y = f(x)，通过这些已知信息，需要确定函数中的一些参数项。例如，如果f是一个线型函数f(x) = k*x+b，那么参数k和b就是我们需要确定的值。如果将这些参数用 p 表示的话，那么我们就是要找到一组 p 值使得如下公式中的S函数最小：
这种算法被称之为最小二乘拟合(Least-square fitting)。
scipy中的子函数库optimize已经提供了实现最小二乘拟合算法的函数leastsq。下面是用leastsq进行数据拟合的一个例子：
39# -*- coding: utf-8 -*-
import numpy as np
from scipy.optimize import leastsq
import pylab as pl
def func(x, p):
数据拟合所用的函数: A*sin(2*pi*k*x + theta)
A, k, theta = p
return A*np.sin(2*np.pi*k*x+theta)
def residuals(p, y, x):
实验数据x, y和拟合函数之间的差，p为拟合需要找到的系数
return y - func(x, p)
x = np.linspace(0, -2*np.pi, 100)
A, k, theta = 10, 0.34, np.pi/6 # 真实数据的函数参数
y0 = func(x, [A, k, theta]) # 真实数据
y1 = y0 + 2 * np.random.randn(len(x)) # 加入噪声之后的实验数据
p0 = [7, 0.2, 0] # 第一次猜测的函数拟合参数
# 调用leastsq进行数据拟合
# residuals为计算误差的函数
# p0为拟合参数的初始值
# args为需要拟合的实验数据
plsq = leastsq(residuals, p0, args=(y1, x))
print u&真实参数:&, [A, k, theta]
print u&拟合参数&, plsq[0] # 实验数据拟合后的参数
pl.plot(x, y0, label=u&真实数据&)
pl.plot(x, y1, label=u&带噪声的实验数据&)
pl.plot(x, func(x, plsq[0]), label=u&拟合数据&)
pl.legend()
这个例子中我们要拟合的函数是一个正弦波函数，它有三个参数 A, k, theta ，分别对应振幅、频率、相角。假设我们的实验数据是一组包含噪声的数据 x, y1，其中y1是在真实数据y0的基础上加入噪声的到了。
通过leastsq函数对带噪声的实验数据x, y1进行数据拟合，可以找到x和真实数据y0之间的正弦关系的三个参数： A, k, theta。下面是程序的输出：
&&& 真实参数: [10, 0.082]
&&& 拟合参数 [-9...]
调用leastsq函数对噪声正弦波数据进行曲线拟合
我们看到拟合参数虽然和真实参数完全不同，但是由于正弦函数具有周期性，实际上拟合参数得到的函数和真实参数对应的函数是一致的。
函数最小值
optimize库提供了几个求函数最小值的算法：fmin, fmin_powell, fmin_cg, fmin_bfgs。下面的程序通过求解卷积的逆运算演示fmin的功能。
对于一个离散的线性时不变系统h, 如果它的输入是x，那么其输出y可以用x和h的卷积表示：
现在的问题是如果已知系统的输入x和输出y，如何计算系统的传递函数h；或者如果已知系统的传递函数h和系统的输出y，如何计算系统的输入x。这种运算被称为反卷积运算，是十分困难的，特别是在实际的运用中，测量系统的输出总是存在误差的。
下面用fmin计算反卷积，这种方法只能用在很小规模的数列之上，因此没有很大的实用价值，不过用来评价fmin函数的性能还是不错的。
48# -*- coding: utf-8 -*-
# 本程序用各种fmin函数求卷积的逆运算
import scipy.optimize as opt
import numpy as np
def test_fmin_convolve(fminfunc, x, h, y, yn, x0):
x (*) h = y, (*)表示卷积
yn为在y的基础上添加一些干扰噪声的结果
x0为求解x的初始值
def convolve_func(h):
计算 yn - x (*) h 的power
fmin将通过计算使得此power最小
return np.sum((yn - np.convolve(x, h))**2)
# 调用fmin函数，以x0为初始值
h0 = fminfunc(convolve_func, x0)
print fminfunc.__name__
print &---------------------&
# 输出 x (*) h0 和 y 之间的相对误差
print &error of y:&, np.sum((np.convolve(x, h0)-y)**2)/np.sum(y**2)
# 输出 h0 和 h 之间的相对误差
print &error of h:&, np.sum((h0-h)**2)/np.sum(h**2)
def test_n(m, n, nscale):
随机产生x, h, y, yn, x0等数列，调用各种fmin函数求解b
m为x的长度, n为h的长度, nscale为干扰的强度
x = np.random.rand(m)
h = np.random.rand(n)
y = np.convolve(x, h)
yn = y + np.random.rand(len(y)) * nscale
x0 = np.random.rand(n)
test_fmin_convolve(opt.fmin, x, h, y, yn, x0)
test_fmin_convolve(opt.fmin_powell, x, h, y, yn, x0)
test_fmin_convolve(opt.fmin_cg, x, h, y, yn, x0)
test_fmin_convolve(opt.fmin_bfgs, x, h, y, yn, x0)
if __name__ == &__main__&:
test_n(200, 20, 0.1)
下面是程序的输出：
ーーーーーーーーーーー
error of y: 0.07
error of h: 0.
fmin_powell
ーーーーーーーーーーー
error of y: 0.857
error of h: 0.009
ーーーーーーーーーーー
error of y: 0.615
error of h: 0.439
ーーーーーーーーーーー
error of y: 0.551
error of h: 0.529
非线性方程组求解
optimize库中的fsolve函数可以用来对非线性方程组进行求解。它的基本调用形式如下：
fsolve(func, x0)
func(x)是计算方程组误差的函数，它的参数x是一个矢量，表示方程组的各个未知数的一组可能解，func返回将x代入方程组之后得到的误差；x0为未知数矢量的初始值。如果要对如下方程组进行求解的话：
f1(u1,u2,u3) = 0
f2(u1,u2,u3) = 0
f3(u1,u2,u3) = 0
那么func可以如下定义：
def func(x):
u1,u2,u3 = x
return [f1(u1,u2,u3), f2(u1,u2,u3), f3(u1,u2,u3)]
下面是一个实际的例子，求解如下方程组的解：
5*x1 + 3 = 0
4*x0*x0 - 2*sin(x1*x2) = 0
x1*x2 - 1.5 = 0
程序如下：
17from scipy.optimize import fsolve
from math import sin,cos
x0 = float(x[0])
x1 = float(x[1])
x2 = float(x[2])
4*x0*x0 - 2*sin(x1*x2),
x1*x2 - 1.5
result = fsolve(f, [1,1,1])
print result
print f(result)
[0.0, -9.7868e-14, 5.7514e-15]
由于fsolve函数在调用函数f时，传递的参数为数组，因此如果直接使用数组中的元素计算的话，计算速度将会有所降低，因此这里先用float函数将数组中的元素转换为Python中的标准浮点数，然后调用标准math库中的函数进行运算。
在对方程组进行求解时，fsolve会自动计算方程组的雅可比矩阵，如果方程组中的未知数很多，而与每个方程有关的未知数较少时，即雅可比矩阵比较稀疏时，传递一个计算雅可比矩阵的函数将能大幅度提高运算速度。笔者在一个模拟计算的程序中需要大量求解近有50个未知数的非线性方程组的解。每个方程平均与6个未知数相关，通过传递雅可比矩阵的计算函数使计算速度提高了4倍。
雅可比矩阵
雅可比矩阵是一阶偏导数以一定方式排列的矩阵，它给出了可微分方程与给定点的最优线性逼近，因此类似于多元函数的导数。例如前面的函数f1,f2,f3和未知数u1,u2,u3的雅可比矩阵如下：
使用雅可比矩阵的fsolve实例如下，计算雅可比矩阵的函数j通过fprime参数传递给fsolve，函数j和函数f一样，有一个未知数的解矢量参数x，函数j计算非线性方程组在矢量x点上的雅可比矩阵。由于这个例子中未知数很少，因此程序计算雅可比矩阵并不能带来计算速度的提升。
26# -*- coding: utf-8 -*-
from scipy.optimize import fsolve
from math import sin,cos
x0 = float(x[0])
x1 = float(x[1])
x2 = float(x[2])
4*x0*x0 - 2*sin(x1*x2),
x1*x2 - 1.5
x0 = float(x[0])
x1 = float(x[1])
x2 = float(x[2])
[0, 5, 0],
[8*x0, -2*x2*cos(x1*x2), -2*x1*cos(x1*x2)],
[0, x2, x1]
result = fsolve(f, [1,1,1], fprime=j)
print result
print f(result)
B-Spline样条曲线
interpolate库提供了许多对数据进行插值运算的函数。下面是使用直线和B-Spline对正弦波上的点进行插值的例子。
18# -*- coding: utf-8 -*-
import numpy as np
import pylab as pl
from scipy import interpolate
x = np.linspace(0, 2*np.pi+np.pi/4, 10)
y = np.sin(x)
x_new = np.linspace(0, 2*np.pi+np.pi/4, 100)
f_linear = interpolate.interp1d(x, y)
tck = interpolate.splrep(x, y)
y_bspline = interpolate.splev(x_new, tck)
pl.plot(x, y, &o&,
label=u&原始数据&)
pl.plot(x_new, f_linear(x_new), label=u&线性插值&)
pl.plot(x_new, y_bspline, label=u&B-spline插值&)
pl.legend()
使用interpolate库对正弦波数据进行线性插值和B-Spline插值
在这段程序中，通过interp1d函数直接得到一个新的线性插值函数。而B-Spline插值运算需要先使用splrep函数计算出B-Spline曲线的参数，然后将参数传递给splev函数计算出各个取样点的插值结果。
数值积分是对定积分的数值求解，例如可以利用数值积分计算某个形状的面积。下面让我们来考虑一下如何计算半径为1的半圆的面积，根据圆的面积公式，其面积应该等于PI/2。单位半圆曲线可以用下面的函数表示：
def half_circle(x):
return (1-x**2)**0.5
下面的程序使用经典的分小矩形计算面积总和的方式，计算出单位半圆的面积：
&&& N = 10000
&&& x = np.linspace(-1, 1, N)
&&& dx = 2.0/N
&&& y = half_circle(x)
&&& dx * np.sum(y[:-1] + y[1:]) # 面积的两倍
利用上述方式计算出的圆上一系列点的坐标，还可以用numpy.trapz进行数值积分：
&&& import numpy as np
&&& np.trapz(y, x) * 2 # 面积的两倍
此函数计算的是以x,y为顶点坐标的折线与X轴所夹的面积。同样的分割点数，trapz函数的结果更加接近精确值一些。
如果我们调用scipy.integrate库中的quad函数的话，将会得到非常精确的结果：
&&& from scipy import integrate
&&& pi_half, err = integrate.quad(half_circle, -1, 1)
&&& pi_half*2
多重定积分的求值可以通过多次调用quad函数实现，为了调用方便，integrate库提供了dblquad函数进行二重定积分，tplquad函数进行三重定积分。下面以计算单位半球体积为例说明dblquad函数的用法。
单位半球上的点(x,y,z)符合如下方程：
因此可以如下定义通过(x,y)坐标计算球面上点的z值的函数：
def half_sphere(x, y):
return (1-x**2-y**2)**0.5
X-Y轴平面与此球体的交线为一个单位圆，因此积分区间为此单位圆，可以考虑为X轴坐标从-1到1进行积分，而Y轴从 -half_circle(x) 到 half_circle(x) 进行积分，于是可以调用dblquad函数：
&&& integrate.dblquad(half_sphere, -1, 1,
lambda x:-half_circle(x),
lambda x:half_circle(x))
&&& (2.1988, 2.0915e-14)
&&& np.pi*4/3/2 # 通过球体体积公式计算的半球体积
dblquad函数的调用方式为：
dblquad(func2d, a, b, gfun, hfun)
对于func2d(x,y)函数进行二重积分，其中a,b为变量x的积分区间，而gfun(x)到hfun(x)为变量y的积分区间。
半球体积的积分的示意图如下：
半球体积的双重定积分示意图
X轴的积分区间为-1.0到1.0，对于X=x0时，通过对Y轴的积分计算出切面的面积，因此Y轴的积分区间如图中红色点线所示。
解常微分方程组
scipy.integrate库提供了数值积分和常微分方程组求解算法odeint。下面让我们来看看如何用odeint计算洛仑兹吸引子的轨迹。洛仑兹吸引子由下面的三个微分方程定义：
洛仑兹吸引子的详细介绍:
这三个方程定义了三维空间中各个坐标点上的速度矢量。从某个坐标开始沿着速度矢量进行积分，就可以计算出无质量点在此空间中的运动轨迹。其中 , ,
为三个常数，不同的参数可以计算出不同的运动轨迹： x(t), y(t), z(t)。 当参数为某些值时，轨迹出现馄饨现象：即微小的初值差别也会显著地影响运动轨迹。下面是洛仑兹吸引子的轨迹计算和绘制程序：
25# -*- coding: utf-8 -*-
from scipy.integrate import odeint
import numpy as np
def lorenz(w, t, p, r, b):
# 给出位置矢量w，和三个参数p, r, b计算出
# dx/dt, dy/dt, dz/dt的值
x, y, z = w
# 直接与lorenz的计算公式对应
return np.array([p*(y-x), x*(r-z)-y, x*y-b*z])
t = np.arange(0, 30, 0.01) # 创建时间点
# 调用ode对lorenz进行求解, 用两个不同的初始值
track1 = odeint(lorenz, (0.0, 1.00, 0.0), t, args=(10.0, 28.0, 3.0))
track2 = odeint(lorenz, (0.0, 1.01, 0.0), t, args=(10.0, 28.0, 3.0))
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
import matplotlib.pyplot as plt
fig = plt.figure()
ax = Axes3D(fig)
ax.plot(track1[:,0], track1[:,1], track1[:,2])
ax.plot(track2[:,0], track2[:,1], track2[:,2])
plt.show()
用odeint函数对洛仑兹吸引子微分方程进行数值求解所得到的运动轨迹
我们看到即使初始值只相差0.01，两条运动轨迹也是完全不同的。
在程序中先定义一个lorenz函数，它的任务是计算出某个位置的各个方向的微分值，这个计算直接根据洛仑兹吸引子的公式得出。然后调用odeint，对微分方程求解，odeint有许多参数，这里用到的四个参数分别为：
lorenz， 它是计算某个位移上的各个方向的速度(位移的微分)
(0.0, 1.0, 0.0)，位移初始值。计算常微分方程所需的各个变量的初始值
t， 表示时间的数组，odeint对于此数组中的每个时间点进行求解，得出所有时间点的位置
args， 这些参数直接传递给lorenz函数，因此它们都是常量
滤波器设计
scipy.signal库提供了许多信号处理方面的函数。在这一节，让我们来看看如何利用signal库设计滤波器，查看滤波器的频率响应，以及如何使用滤波器对信号进行滤波。
假设如下导入signal库:
&&& import scipy.signal as signal
下面的程序设计一个带通IIR滤波器：
&&& b, a = signal.iirdesign([0.2, 0.5], [0.1, 0.6], 2, 40)
这个滤波器的通带为0.2*f0到0.5*f0，阻带为小于0.1*f0和大于0.6*f0，其中f0为1/2的信号取样频率，如果取样频率为8kHz的话，那么这个带通滤波器的通带为800Hz到2kHz。通带的最大增益衰减为2dB，阻带的最小增益衰减为40dB，即通带的增益浮动在2dB之内，阻带至少有40dB的衰减。
iirdesgin返回的两个数组b和a， 它们分别是IIR滤波器的分子和分母部分的系数。其中a[0]恒等于1。
下面通过调用freqz计算所得到的滤波器的频率响应：
&&& w, h = signal.freqz(b, a)
freqz返回两个数组w和h，其中w是圆频率数组，通过w/pi*f0可以计算出其对应的实际频率。h是w中的对应频率点的响应，它是一个复数数组，其幅值为滤波器的增益，相角为滤波器的相位特性。
下面计算h的增益特性，并转换为dB度量。由于h中存在幅值几乎为0的值，因此先用clip函数对其裁剪之后，再调用对数函数，避免计算出错。
&&& power = 20*np.log10(np.clip(np.abs(h), 1e-8, 1e100))
通过下面的语句可以绘制出滤波器的增益特性图，这里假设取样频率为8kHz：
&&& pl.plot(w/np.pi*4000, power)
在实际运用中为了测量未知系统的频率特性，经常将频率扫描波输入到系统中，观察系统的输出，从而计算其频率特性。下面让我们来模拟这一过程。
为了调用chirp函数以产生频率扫描波形的数据，首先需要产生一个等差数组代表取样时间，下面的语句产生2秒钟取样频率为8kHz的取样时间数组：
&&& t = np.arange(0, 2, 1/8000.0)
然后调用chirp得到2秒钟的频率扫描波形的数据：
&&& sweep = signal.chirp(t, f0=0, t1 = 2, f1=4000.0)
频率扫描波的开始频率f0为0Hz，结束频率f1为4kHz，到达4kHz的时间为2秒，使用数组t作为取样时间点。
下面通过调用lfilter函数计算sweep波形经过带通滤波器之后的结果：
&&& out = signal.lfilter(b, a, sweep)
lfilter内部通过如下算式计算IIR滤波器的输出：
通过如下算式可以计算输入为x时的滤波器的输出，其中数组x代表输入信号，y代表输出信号：
为了和系统的增益特性图进行比较，需要获取输出波形的包络，因此下面先将输出波形数据转换为能量值：
&&& out = 20*np.log10(np.abs(out))
为了计算包络，找到所有能量大于前后两个取样点(局部最大点)的下标：
&&& index = np.where(np.logical_and(out[1:-1] & out[:-2], out[1:-1] & out[2:]))[0] + 1
最后将时间转换为对应的频率，绘制所有局部最大点的能量值：
&&& pl.plot(t[index]/2.0*4000, out[index] )
下图显示freqz计算的频谱和频率扫描波得到的频率特性，我们看到其结果是一致的。
带通IIR滤波器的频率响应和频率扫描波计算的结果比较
计算此图的完整源程序请查看附录中的
用Weave嵌入C语言
Python作为动态语言其功能虽然强大，但是在数值计算方面有一个最大的缺点：速度不够快。在Python级别的循环和计算的速度只有C语言程序的百分之一。因此才有了NumPy, SciPy这样的函数库，将高度优化的C、Fortran的函数库进行包装，以供Python程序调用。如果这些高度优化的函数库无法实现我们的算法，必须从头开始写循环、计算的话，那么用Python来做显然是不合适的。因此SciPy提供了快速调用C++语言程序的方法-- Weave。下面是对NumPy的数组求和的例子：
42# -*- coding: utf-8 -*-
import scipy.weave as weave
import numpy as np
import time
def my_sum(a):
n=int(len(a))
counter =0;
for(i=0;i&n;i++){
counter=counter+a(i);
return_val=
err=weave.inline(
code,['a','n'],
type_converters=weave.converters.blitz,
compiler=&gcc&
return err
a = np.arange(0, , 1.0)
# 先调用一次my_sum，weave会自动对C语言进行编译，此后直接运行编译之后的代码
start = time.clock()
for i in xrange(100):
# 直接运行编译之后的代码
print &my_sum:&, (time.clock() - start) / 100.0
start = time.clock()
for i in xrange(100):
np.sum( a ) # numpy中的sum，其实现也是C语言级别
print &np.sum:&, (time.clock() - start) / 100.0
start = time.clock()
print sum(a) # Python内部函数sum通过数组a的迭代接口访问其每个元素，因此速度很慢
print &sum:&, time.clock() - start
此例子在我的电脑上的运行结果为：
my_sum: 0.6
np.sum: 0.8
可以看到用Weave编译的C语言程序比numpy自带的sum函数还要快。而Python的内部函数sum使用数组的迭代器接口进行运算，因此速度是Python语言级别的，只有Weave版本的1/300。
weave.inline函数的第一个参数为需要执行的C++语言代码，第二个参数是一个列表，它告诉weave要把Python中的两个变量a和n传递给C++程序，注意我们用字符串表示变量名。converters.blitz是一个类型转换器，将numpy的数组类型转换为C++的blitz类。C++程序中的变量a不是一个数组，而是blitz类的实例，因此它使用a(i)获得其各个元素的值，而不是用a[i]。最后我们通过compiler参数告诉weave要采用gcc为C++编译器。如果你安装的是python(x,y)的话，gcc(mingw32)也一起安装好了，否则你可能需要手工安装gcc编译器或者微软的Visual C++。
在我的电脑上，虽然安装了Visual C++ 2008 Express，但仍然提示找不到合适的Visual C++编译器。似乎必须使用编译Python的编译器版本。因此还是用gcc来的方便。
本书的进阶部分还会对weave进行详细介绍。这段程序先给了我们一个定心丸：你再也不必担心Python的计算速度不够快了。
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[解微分方程]matlab 实验四　求微分方程的解 解微分方程
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实验四　求微分方程的解一、问题背景与实验目的二、相关函数（命令）及简介三、实验内容四、自己动手一、问题背景与实验目的实际应用问题通过数学建模所归纳而得到的方程，绝大多数都是微分方程，真正能得到代数方程的机会很少．另一方面，能够求解的微分方程也是十分有限的，特别是高阶方程和偏微分方程（组）．这就要求我们必须研究微分方程（组）的解法，既要研究微分方程（组）的解析解法（精确解），更要研究微分方程（组）的数值解法（近似解）．对微分方程（组）的解析解法(精确解)，Matlab 有专门的函数可以用，本实验将作一定的介绍．本实验将主要研究微分方程(组)的数值解法（近似解），重点介绍 Euler 折线法．二、相关函数（命令）及简介1．dsolve('equ1','equ2',…)：Matlab 求微分方程的解析解．equ1、equ2、…为方程（或条件）．写方程（或条件）时用 Dy 表示y 关于自变量的一阶导数，用用 D2y 表示 y 关于自变量的二阶导数，依此类推．2．simplify(s)：对表达式 s 使用 maple 的化简规则进行化简．例如：syms xsimplify(sin(x)^2 + cos(x)^2)ans=13．[r,how]=simple(s)：由于 Matlab 提供了多种化简规则，simple 命令就是对表达式 s 用各种规则进行化简，然后用 r 返回最简形式，how 返回形成这种形式所用的规则．例如：syms x[r,how]=simple(cos(x)^2-sin(x)^2)r = cos(2*x)how = combine4．[T,Y] = solver(odefun,tspan,y0) 求微分方程的数值解．说明：(1) 其中的 solver为命令 ode45、ode23、ode113、ode15s、ode23s、ode23t、ode23tb 之一．(2) odefun 是显式常微分方程：(3) 在积分区间 tspan=　　上，从　　到　　，用初始条件　　求解．(4) 要获得问题在其他指定时间点　　上的解，则令 tspan=　　（要求是单调的）．(5) 因为没有一种算法可以有效地解决所有的 ODE 问题，为此，Matlab 提供了多种求解器 Solver，对于不同的ODE 问题，采用不同的Solver．求解器SolverODE类型特点说明ode45非刚性单步算法；4、5阶Runge-Kutta方程；累计截断误差达大部分场合的首选算法ode23非刚性单步算法；2、3阶Runge-Kutta方程；累计截断误差达使用于精度较低的情形ode113非刚性多步法；Adams算法；高低精度均可到计算时间比 ode45 短ode23t适度刚性采用梯形算法适度刚性情形ode15s刚性多步法；Gear's反向数值微分；精度中等若 ode45 失效时，可尝试使用ode23s刚性单步法；2阶 Rosebrock 算法；低精度当精度较低时，计算时间比 ode15s 短ode23tb刚性梯形算法；低精度当精度较低时，计算时间比 ode15s 短(6) 要特别的是：ode23、ode45 是极其常用的用来求解非刚性的标准形式的一阶常微分方程(组)的初值问题的解的 Matlab 的常用程序，其中：ode23 采用龙格-库塔2 阶算法，用3 阶公式作误差估计来调节步长，具有低等的精度．ode45 则采用龙格-库塔4 阶算法，用5 阶公式作误差估计来调节步长，具有中等的精度．5．ezplot(x,y,[tmin,tmax])：符号函数的作图命令．x,y 为关于参数t 的符号函数，[tmin,tmax] 为 t 的取值范围．6．inline()：建立一个内联函数．格式：inline('expr', 'var1', 'var2',…) ，注意括号里的表达式要加引号．例：Q = dblquad(inline('y*sin(x)'), pi, 2*pi, 0, pi) .三、实验内容1. 几个可以直接用 Matlab 求微分方程精确解的例子：例1：求解微分方程　　，并加以验证．求解本问题的Matlab 程序为：syms x y %line1y=dsolve('Dy+2*x*y=x*exp(-x^2)','x') %line2diff(y,x)+2*x*y-x*exp(-x^2) %line3simplify(diff(y,x)+2*x*y-x*exp(-x^2)) %line4说明：(1) 行line1是用命令定义x,y为符号变量．这里可以不写，但为确保正确性，建议写上；(2) 行line2是用命令求出的微分方程的解：1/2*exp(-x^2)*x^2+exp(-x^2)*C1(3) 行line3使用所求得的解．这里是将解代入原微分方程，结果应该为0，但这里给出：-x^3*exp(-x^2)-2*x*exp(-x^2)*C1+2*x*(1/2*exp(-x^2)*x^2+exp(-x^2)*C1)(4) 行line4 用 simplify() 函数对上式进行化简，结果为 0， 表明　　的确是微分方程的解．例2：求微分方程　　在初始条件　　下的特解，并画出解函数的图形．求解本问题的 Matlab 程序为：syms x yy=dsolve('x*Dy+y-exp(x)=0','y(1)=2*exp(1)','x')ezplot(y)微分方程的特解为：y=1/x*exp(x)+1/x* exp (1) (Matlab格式)，即　　，解函数的图形如图 1：图1例3：求微分方程组　　在初始条件　　下的特解，并画出解函数的图形．求解本问题的 Matlab 程序为：syms x y t[x,y]=dsolve('Dx+5*x+y=exp(t)','Dy-x-3*y=0','x(0)=1','y(0)=0','t')simple(x);simple(y);ezplot(x,y,[0,1.3]);axis auto微分方程的特解(式子特别长)以及解函数的图形均略．2. 用ode23、ode45等求解非刚性的标准形式的一阶常微分方程(组)的初值问题的数值解(近似解)．例4：求解微分方程初值问题　　的数值解，求解范围为区间[0, 0.5]．fun=inline('-2*y+2*x^2+2*x','x','y');[x,y]=ode23(fun,[0,0.5],1);x';y';plot(x,y,'o-')&& x'ans =0.0 0.0 0.00.0 0.0 0.0&& y'ans =1.7 0.4 0.40.2 0.4 0.9图形结果为图 2．图2例 5：求解描述振荡器的经典的 Ver der Pol 微分方程分析：令　　则先编写函数文件verderpol.m：function xprime = verderpol(t,x)xprime = [x(2);mu*(1-x(1)^2)*x(2)-x(1)];再编写命令文件vdp1.m：mu = 7;y0=[1;0][t,x] = ode45('verderpol',[0,40],y0);x1=x(:,1);x2=x(:,2);plot(t,x1)图形结果为图3．图33. 用 Euler 折线法求解前面讲到过，能够求解的微分方程也是十分有限的．下面介绍用 Euler 折线法求微分方程的数值解(近似解)的方法．Euler 折线法求解的基本思想是将微分方程初值问题化成一个代数方程，即差分方程，主要步骤是用差商　　替代微商　　,于是：记　　，从而　　，则有例 6：用 Euler 折线法求解微分方程初值问题的数值解(步长h取0.4)，求解范围为区间[0,2]．解：本问题的差分方程为相应的Matlab 程序见附录 1．数据结果为：0 1.00000.00.31.51.32.4图形结果见图4：图4特别说明：本问题可进一步利用四阶 Runge-Kutta 法求解，读者可将两个结果在一个图中显示，并和精确值比较，看看哪个更“精确”？（相应的 Matlab 程序参见附录 2）．四、自己动手1. 求微分方程　　的通解．2. 求微分方程　　的通解．3. 求微分方程组在初始条件　　下的特解，并画出解函数　　的图形．4. 分别用 ode23、ode45 求上述第 3 题中的微分方程初值问题的数值解(近似解)，求解区间为　　．利用画图来比较两种求解器之间的差异．5. 用 Euler 折线法求解微分方程初值问题的数值解(步长h取0.1)，求解范围为区间[0,2]．6. 用四阶 Runge-Kutta 法求解微分方程初值问题的数值解(步长h取0.1)，求解范围为区间[0,3]．四阶 Runge-Kutta 法的迭代公式为(Euler 折线法实为一阶 Runge-Kutta 法)：相应的 Matlab 程序参见附录 2．试用该方法求解第5题中的初值问题．7. 用 ode45 方法求上述第 6 题的常微分方程初值问题的数值解(近似解)，从而利用画图来比较两者间的差异．
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