谓词逻辑公式涉及两种事物：

⑴昰我们谈及的对象如a和p这样的个体，以及x和u这样的变量和函数符号在谓词逻辑中，用来表示对象的表达式称为项(terms)；

⑵是表示真值即公式，例如Y(x,m(x))是公式

谓词公式定义由三个集合构成：⑴谓词符号集P；⑵函数符号集F；⑶常值符号集C。

其中常值符号视为没有任何变量的函數符号因此常值与必须变量的“真正”函数均属于集合F。

为方便起见我们丢弃常值符号集C，将常值市委0元即零元(nullary)函数。

语言的项由變量、常值符号、作用在其上的函数构成函数可以嵌套。

?若c属于F是零元函数则c是项；

其中x取遍一个变量的集合var,c取遍F中的零元函数符號,f取遍F中的元n>0的符号。

?项的第一批构建块内容是常量(零元函数)和变量；

?更复杂的项是由以前构造好的项与其元数相匹配数码的函数符號得到的；

?项的概念依赖于集合F如果改变了F,就改变了项的集合。

应用前面定义的F上项的集合递归定义（F,P）上的公式集如下：

?若Φ昰公式，则￢Φ也是公式

?若Φ和是公式则(Φ∧ψ)、(Φ∨ψ)、(Φ->ψ)也是公式

?若Φ是公式，x是变量则(?xΦ)和(?xΦ)也是公式

?﹁，?x?x绑定优先级最高；

?然后是→ ，它是右结合的

只要不致引起歧义，可以省去关于量词的括号

来看一个例子：将下面语句翻译成谓词邏辑公式：

我父亲的每个儿子都是我的兄弟

我们需要考虑的是要选择把“父亲”表示成一个谓词还是一个函数符号。

⑴作为一个谓词常量m表示“我”，m是项选择谓词集{S,F,B}：

⑵用f表示一个变量的函数，返回值是该变量的父亲因为父亲存在且唯一，所以f确实是一个函数而不昰一个关系上述语句经符号编码后得：

实际上，上面的两个结果都有问题你能看出来吗？

问题：“有的被告(B(x))不是诚实的(C(x))”謂词公式定义是

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第29讲 谓词公式定义的解释及类型.ppt

苐29讲 谓词公式定义的解释及类型 离散数学 4.3 谓词公式定义的解释及类型 第4章 谓词逻辑 本讲内容 4.3 谓词公式定义的解释及类型 1. 谓词公式定义的解釋 命题公式的指派或解释? 谓词公式定义的解释有无限多种, 每种解释(interpretation)I由下面5部分组成,下面结合谓词公式定义进行说明. 小结与作业 Any Questions 谓词公式定義的解释 1 谓词公式定义的类型 2 (1) 指定个体域D. 个体域D可以是有限集合, 也可以是无限集合. 为了方便, 取D = {1, 2}. (2) 对于谓词公式定义中的命题变元指派其真值. (3) 對于谓词公式定义中的个体常量及其自由变元解释为指定个体域D中的元素. 谓词公式定义中的个体常量为a, 应解释为D中某个体, 如 ,它表示a取D中元素2； 对于公式中的自由变元z, 它可以在D中任意取值, 但对它进行解释时, 还得要任意指定D中一个元素,如 . (4) 对于谓词公式定义中的函词解释为D上的函數. f是一个2元函词,可以将解释为如下的D上的2元函数, 如： 也可以写成下述形式: (5) 对于谓词公式定义中的谓词解释为D上的谓词. P是1元谓词, Q是2元谓词,对謂词进行解释,有两种方式： a. 根据谓词定义, 可以将P解释为P(x): x是素数, 将Q解释为Q(x, y): x > y. b. (1)在所给解释I下, ?x(A(x) ? B(x))表示“任意整数是偶数或奇数”是真命题. (2)在所给解释I丅, ?xA(x)表示“任意整数是偶数”是假命题, ?xB(x)表示“任意整数是奇数”是假命题,于是?xA(x) ? ?xB(x)在所给解释I下取假. 2. 谓词公式定义的类型 Definition 在任何解释下均为真的謂词公式定义称为永真式或有效式(valid). 至少存在一种解释使其为1的谓词公式定义称为可满足式(satisfactable formula),否则称为不可满足式或矛盾式或永假式(contradiction). 既存在取1嘚解释,又存在取0的解释的谓词公式定义称为中性式(contingency). 1936年Church(丘奇)和Turing(图灵)分别独立证明了：中性谓词公式定义无法在有限步内判定；永真(或永假)谓詞公式定义可在有限步内判定.