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第1章 矢量分析2010
电磁场与电磁波电磁场与电磁波Electromagnetic Fields & Magnetic Wave牛长流Chl_Page 1北方工业大学电磁场与电磁波前 言 一二 三本课程的地位、作用与任务电磁场理论的发展简史 电磁场理论的主要应用领域四Page 2本课程的基本内容与要求北方工业大学电磁场与电磁波一、本课程的地位、作用与任务? 《电磁场与电磁波》课程是电子信息类本科各专 业学生必修的一门核心基础课，它所涉及的内容是 电子信息类本科学生知识结构的必要组成部分。 ? 电子信息类本科各专业许多主要课程的核心内容 都是宏观电磁现象在特定条件下的具体表现。同时， 电磁场理论也是一些交叉学科和边缘学科发展的理 论基础之一。? 本课程的主要任务是：在大学物理（电磁学）的 基础上，进一步论述宏观电磁场的基本概念和基本 特性，要求学生建立场的观念，学会运用场的观点 对电磁现象进行分析和求解。为进一步学习有关专 业课程奠定必要的理论基础。Page 3北方工业大学电磁场与电磁波二、电磁场理论发展简史 ? 电磁场理论的早期研究电磁学是研究电、磁和电磁的相互作用现象， 及其规律和应用的物理学分支学科。 电磁学的建立，实际上是人类对早期发现的 一些电磁现象进行的物理解释。电磁作用的机制或者本质是什么？ 也就是作用力是怎么传递的？Page 4北方工业大学电磁场与电磁波前言超距作用 与?近距作用近距作用：认为宇宙间充满着一种不可见 的流质“以太”，起着力的传递作用。 ? 超距作用：认为电荷之间存在“超距力”， 这种力的传递不需时间，是一种能超越一无 所有空间的作用力。在19世纪以前，电、磁现象是作为两个独立的 物理现象进行研究的，当时还没有发现电与磁的联 系。这些早期的研究为电磁学理论的建立奠定了基 础。其中贡献较大的有莱顿、富兰克林、伏特、库 仑等科学家。Page 5北方工业大学电磁场与电磁波前言? 宏观电磁场理论的建立18世纪末期，德国哲学家谢林认为，宇宙 是有活力的，而不是僵死的。他认为电就 是宇宙的活力，是宇宙的灵魂；电、磁、 光、热是相互联系的。 奥斯特是谢林的信徒，他从1807年开始研 究电磁之间的关系。1820年，他发现电流 以力作用于磁针（电流的磁效应）。Page 6北方工业大学电磁场与电磁波前言 安培 发现作用力的方向和电流的方向以 及磁针到通过电流的导线的垂直线方向相互 垂直，并定量建立了若干数学公式（Ampere 定律），揭示了磁的本质。 法拉第 奥斯特 1820 年发现电流的磁效应 后，法拉第敏锐地意识到，电可以对磁产生 作用，磁也一定能够对电产生影响。1831年 他发现，当磁捧插入导体线圈时；导线圈中 就产生电流。这表明，电与磁之间存在着密 切的联系（Faraday定律） 。Page 7北方工业大学电磁场与电磁波前言麦克斯韦 1865年，英国物理学家麦克斯 韦（ J.C.Maxwell ) 在前人实践 和理论的基础上，总结出宏观电磁现象的 一般规律 ―― 麦克斯韦方程组，并于 1873 年发表了详述该理论的《电磁学通论》。 其核心思想是：变化着的电场能产生磁场， 与变化着的磁场产生电场相对应。并预言 了电磁波的存在。 在 1888年赫兹用实验方法证实了电磁波的 存在后，麦克斯韦方程组成为经典电动力 学的公理，麦克斯韦成为宏观电磁场理论 的奠基人。Page 8北方工业大学电磁场与电磁波三、电磁场理论的主要应用领域电磁 场的 主要 研究 领域Page 9作为理论物理学的一个 重要研究分支，主要致 力于统一场理论和微观 量子电动力学的研究。作为无线电技术的理论 基础，集中于三大类应 用问题的研究。北方工业大学电磁场与电磁波三大类应用问题? 电磁场（波）作为能量的一种形式，是当今世 界最重要的能源，其研究领域涉及电磁能量的 产生、储存、变换、传输和综合利用。 电磁波作为信息传输的载体，成为当今人类社 会发布和获取信息的主要手段，主要研究领域 为信息的产生、获取、交换、传输、储存、处 理、再现和综合利用。 电磁波作为探测未知世界的一种重要手段，主 要研究领域为电磁波与目标的相互作用特性、 目标特征的获取与重建、探测新技术等。Page 10??北方工业大学电磁场与电磁波无线电通信Page 11北方工业大学电磁场与电磁波雷达气象雷达 军用雷达Page 12北方工业大学电磁场与电磁波电子对抗美空军E-3“哨兵”预警飞机中国空警2000预警机Page 13北方工业大学电磁场与电磁波高能武器高 能 微 波 武 器电磁轨道炮美机载激光武器Page 14北方工业大学电磁场与电磁波原子核物理欧洲大型强子对撞机Page 15北方工业大学电磁场与电磁波受控热核聚变中国自行研制的全超导托卡马克EAST核聚变实验装置Page 16北方工业大学电磁场与电磁波射电天文学北京天文台密云观测站Page 17北方工业大学电磁场与电磁波航空、航天Page 18北方工业大学电磁场与电磁波遥感、遥测Page 19北方工业大学电磁场与电磁波磁悬浮列车Page 20北方工业大学电磁场与电磁波医疗Page 21北方工业大学电磁场与电磁波食品加工电磁炉微波炉Page 22北方工业大学电磁场与电磁波四、本课程的基本内容和要求 掌握宏观电磁场的基本属性和运动规律 掌握宏观电磁场问题的基本求解方法 了解宏观电磁场的主要应用领域及其原理 掌握电磁波的概念及其传播特性 培养用场的观念分析问题、解决问题的能力培养用数学解决实际问题的能力独立完成作业，做好课堂笔记精读一本教学参考书Page 23北方工业大学电磁场与电磁波本课程的学时安排章节 0 1 2 3 4 5 合计Page 24理论教学内容及学时 绪论及矢量分析 6 静电场 10 恒定电场 恒定磁场 时变电磁场 平面电磁波 2 10 6 6 40实验学时 2 2 2 2 8北方工业大学电磁场与电磁波主要教学参考书? 教 材：《电磁场与电磁波》 ? 刘文楷主编 北京邮电大学出版社 2013 ? 参考书 ? 《工程电磁场导论》，冯慈璋、马西奎主编，高 等教育出版社，2000. ? 《电磁场与电磁波》（第三版），谢处方、饶克 谨编，高等教育出版社，2000. ? 《工程电磁场原理》，倪光正主编，高等教育出 版社，2002．Page 25北方工业大学电磁场与电磁波第一章主 要矢量分析内 容1. 2. 3. 4. 5. 6.Page 26三种常用坐标系 矢量运算 标量场的梯度 矢量场的散度 矢量场的旋度 亥姆霍兹定理北方工业大学电磁场与电磁波1.1三种常用坐标系? A一、直 角 坐 标 系? 坐标变量（x ，y，z） ? 坐标表示? ? ? ? ? ? A ? Ax ex ? Ay e y ? Az ez ? A eAAx? ? ? ? 方向的投影，称 其中：Ax , Ay , Az 分别是矢量 A 在 e x , ey , ez ? ? ? ? 为矢量 A 的三个相应的坐标分量。 ex , ey , ez 分别表示坐 标轴的三个方向，称为坐标单位矢量。若矢量的大小和方向均与空间坐标无关，这种矢量称 为常矢量或常矢。Page 27北方工业大学电磁场与电磁波直角坐标系 ? 线元? ? ? ? ? dl ? dxex ? dyey ? dzez ? dlel? ? ? ? ? ds ? dsxex ? dsy ey ? dsz ez ? dsn其中? 面元dsx ? dydz dsy ? dxdz dsz ? dxdy? ? ex ? ? ey ? ? ez? 体积元Page 28dv ? dxdydz北方工业大学电磁场与电磁波二、柱 坐 标 系? 坐标变量0 ? ? ? ? 0 ? ? ? 2? ?? ? z ? ?? ? ? ? ? ? A ? A? e? ? A? e? ? Az ez ? A e A? 坐标表示? ? ? ? dl ? d ?e? ? ?d?e? ? dzez ? dl el? 线元 ?? ? ? ? ? ds ? ds? e? ? ds? e? ? dsz ez ? ds n? 面元? 体积元 dv ? ρdρd? dzPage 29ds? ? ?d?dz ds? ? d?dz dsz ? ?d?d?? ? e? ? ? e? ? ? ez北方工业大学电磁场与电磁波三、球 坐 标 系? 坐标变量0 ? r ? ?? 0?θ ?π 0 ? ? ? 2π?? 坐标表示? ? ? ? ? A ? Ar er ? Aθ eθ ? A? e? ? A e A? ? ? ? dl ? drer ? rdθeθ ? rsinθd?eφ ? dl el? ? 线元? 面元? ? ? ? ? ds ? dsr er ? dsθ eθ ? ds? e? ? ds ndsr ? r 2 sinθdθd? ds? ? rsinθdrd? ds? ? rdrdθ? 体积元Page 30dv ? r 2 sin ? drd? d?? ? er ? ? eθ ? ? e?北方工业大学电磁场与电磁波四、三种坐标系坐标变量之间的关系 ? 直角坐标系与柱坐标系的关系? x ? ? cos ? ? ? y ? ? sin ? ?z?z ?2 2z?or?yz? ( x, y , z ) ? M ?( ? , ? , z ) ? (r ,? , ? ) ?y?? ? x ? y x ? y x ? ?1 y ?1 ?1 ? sin ? cos ? ? ? tg 2 2 2 2 x x ?y x ?y ? ?z?z ?Page 31x ?北方工业大学电磁场与电磁波三种坐标系坐标变量之间的关系? 直角坐标系与球坐标系的关系? x ? r sin ? cos ? ? ? y ? r sin ? sin ? ? z ? r cos ? ?z?or?yz? ( x, y , z ) ? M ?( ? , ? , z ) ? (r ,? , ? ) ?yx ? ? ? 2 2 2 r ? x ? y ? z x ? ? 2 2 x ? y z ? ?1 ? sin ?1 ?? ? cos x2 ? y 2 ? z 2 x2 ? y 2 ? z 2 ? ? y y x ? ? ? tg ?1 ? sin ?1 ? cos ?1 2 2 2 2 x ? x ? y x ? y ?Page 32北方工业大学电磁场与电磁波三种坐标系坐标变量之间的关系? 柱坐标系与球坐标系的关系? ? ? r sin ? ? ?? ? ? ? z ? r cos ? ?z?r?yz? ( x, y , z ) ? M ?( ? , ? , z ) ? (r ,? , ? ) ?y? r ? ? 2 ? z2 x ? ? z ? ?1 ?1 ? cos ?? ? sin 2 2 2 2 ? ? z ? ? z ? ?? ?? ?Page 33x ?o北方工业大学电磁场与电磁波五、三种坐标系坐标单位矢量之间的关系 ? 直角坐标系与柱坐标系的关系? ? e cos ? sin ? 0 e ? ?? ? ? ? x? ? ? ? ? ? ?e ? ? y? ? ?? ? ? ? ? sin ? cos ? 0 ? ? e ? ? 0 1? ? ez ? ? ? ? 0 ?? ? ez ? ?? ? ? e x ? ? cos ? ? sin ? 0 ? ? e? ? ? ? ? ? ? ?e ? ?e ? sin ? cos ? 0 ? ?y ? ? ? ? ?? ? ? 0 1? ? ez ? ? ? ? 0 ?? ? ez ? ?Page 34北方工业大学电磁场与电磁波三种坐标系坐标单位矢量之间的关系? 柱坐标系与球坐标系的关系? ? ? er ? ? sin ? 0 cos ? ? ? e? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? e? ? ? ?cos ? 0 ? sin ? ? ?e? ? ? ? ? ?e 1 0 ? ? 0 ?? ? ez ? ? ? ?? ?? ? ? ? e? ? ? sin ? cos ? 0 ? er ? ? ? ? ?? ? ?e ? 0 1 ? ? e? ? ? ?? ? ? ? 0 ? ? ? ? ? ez ? ? ? ?cos ? ? sin ? 0 ? ? ? e? ?Page 35北方工业大学电磁场与电磁波三种坐标系坐标单位矢量之间的关系 ? 直角坐标系与球坐标系的关系? ? ? er ? ? sin ? cos ? sin ? sin ? cos ? ? ? e x ? ? ? ?? ? ? ? ? ? e? ? ? ?cos ? cos ? cos ? sin ? ? sin ? ? ?e y ? ? ? ? ?e ? ? ? cos ? 0 ? ? ez ? ? ? ? ? ? ? sin ?? ? ? e x ? ?sin ? cos ? cos ? cos ? ? sin ?? ? er ? ? ? ? ?? ? ?e ? ?? ? ?y ? ? ? sin ? sin ? cos ? sin ? cos ? ? ? e ? ? ? ? ? sin ? 0 ? ? ez ? ? ? ? cos ? ? ?e? ?Page 36北方工业大学电磁场与电磁波1.2 矢量表示法与矢量的微积分一、矢量表示法? 标量:只有大小没有方向的物理量称为标量。如： 时间、质量、温度、功等。? 矢量:既有大小又有方向的物理量称为矢量。如： 力、速度、力矩等。 ? 几何法矢量A的几何表示是用一条有向线段来表 示，线段的长度表示矢量A的大小，其指 向表示矢量A的方向。Page 37北方工业大学电磁场与电磁波矢量表示法 ? 分量法? ? ? ? ? A ? Axex ? Ay ey ? Az ez ? AeA2 A ? Ax2 ? Ay ? Az2? A 的模值：? A ? 单位矢量（unit vector）： e A ? A或Ax ? Ay ? Az ? ? ? ? ? eA ? ex ? ey ? ez ? cosαex ? cos? ey ? cos? ez A A AAx cosα ? A cos? ? Ay A Az cos? ? A北方工业大学方向余弦：Page 38电磁场与电磁波二、矢 量 代 数 ? 矢量加减法? ? ? ? ? A ? B ? (Ax ? Bx )ex ? (Ay ? By )ey ? (Az ? Bz )ez? 矢量乘积 ? 标量积（点乘积）? ? A ? B ? ABcos θ? Ax Bx ? Ay By ? Az Bz交换率：Page 39? ? ? ? A? B ? B ? A北方工业大学两矢量垂直的充要条件：标量积等于零。电磁场与电磁波?矢量积（叉乘积）? ? ? A ? B ? ABsinθ c0? ? ? ( Ay Bz ? Az By )ex ? ( Az Bx ? Ax Bz )ey ? ? ( Ax By ? Ay Bx )ez? ex ? Ax Bx ? ey Ay By ? ez Az Bz交换率：? ? ? ? A ? B ? ?B ? A两矢量平行的充分必要条件：矢量积等于零。Page 40北方工业大学电磁场与电磁波矢量代数例1-1：用球坐标表示的场2）求? A1）求在点（－3，4，－5）处的 与矢量? ? ? ? B ? 2ex ? 2ey ? ez? 25 ? A ? 2 er rA，和 Ax ，构成的夹角。解：1）? 25 25 25 A? 2 ? 2 ? ? 0.5 2 2 2 2 2 r x ?y ?z (?3) ? 4 ? (?5)? 25 ? ? ? ? ? A ? 2 er ? Ax ex ? Ay e y ? Az ez r ? ? ? ? er ? sin ? cos? ex ? sin ? sin ? e y ? cos? ez? x ? y ? z ? ex ? e y ? ez r r r? x ? r sin ? cos?Page 41北方工业大学电磁场与电磁波矢量代数x 25 ? 3 ? 25 ? Ax ? ? 2 ? ? ?0.212 3 r r 502）? 25 ? 25 ? ? ? ? A ? 2 er ? 3 ( xex ? ye y ? zez ) r r? ? A? ? B ? 3 ? 2 ? 4 ? (?2) ? 5 ?1 ? cos? ? ? ? ? ? ?0.896 50 ? 9 A? B? ? ? 153.6?Page 42北方工业大学电磁场与电磁波三、矢 量 微 积 分?矢量函数? ? ? ? E ? x, y,z ? ? Ex ? x, y, z ? ex + Ey ? x, y, z ? ey + Ez ? x, y, z ? ez??矢量函数的导数对空间坐标的导数例如?? ? ? ? ? E ? ? , ? , z ? ? E? e ? ? E? e? ? Ez e z?? ? ? ? ? ?E? ? ? ? ?Ez ? ? E ? ?E? ? ?? e ? ? E? e ? ? ? ? e? ? E? e ? ? ? ez ?? ? ?? ? ? ?? ? ??? ?E? ? ? ? ?E? ? ? ?Ez ? ?? ? E? ? e ? ? ? ? E? ? e? ? ez ?? ? ?? ? ? ?? ?Page 43北方工业大学电磁场与电磁波矢量微积分?对时间的导数? ?Er ? ?E? ? ?E? ? ?E ? ? ? ? ? ? Er er ? E? e? ? E? e? ? ? er ? e? ? e? ?t ?t ?t ?t ?t2??0? ? 2? ? e ? d? ? ? e ? ? d? ? 2? e ?0? ? ? e ? = cos ? e x + sin ?e y ? ? 2? ? 2? ?0 e ? d? ? ?0 cos ? e x + sin ? e y d? ? 2? ? 2? ? e x ? cos ? d? ? e y ? sin ? d? ? 0??00Page 44北方工业大学电磁场与电磁波1.3一、场的概念?标量场的梯度场（field）是描述空间中所有点上的某一 物理量的函数。静态场Static field动态场Time-varying field标量场 矢量场Page 45f ( x, y, z )? F ( x, y, z)f ( x, y, z, t )? F ( x, y, z, t )北方工业大学电磁场与电磁波二、标量场的等值面??等值面 空间内标 量值相等的点的集 合所形成的曲面。 等值面方程U ( x, y, z ) ? C（C 为任意常数）Page 46北方工业大学电磁场与电磁波三、方向导数?标量场在某点的方向导数表示标量场自 该点沿某一方向的变化率。 定义： du |M ? lim u ( M ) ? u ( M 0 ) ?l ?0dl0l?lΔlM0MUdu ?u dx ?u dy ?u dz ? ? ? ? ? ? dl ?x dl ?y dl ?z dl 计算： ?u ?u ?u ? cos ? ? cos ? ? cos ? ?x ?y ?zPage 47北方工业大学电磁场与电磁波四、梯 度?gradient在无穷多个方向中沿哪个方向的变化率最 大呢？ 这个最大的变化率又是多少呢？ 定义：标量场在某点梯度的大小等于该点 的最大方向导数，梯度的方向就是该点具 有最大方向导数的方向，并记为gradu,即du ? gradu ? el dl maxPage 48北方工业大学电磁场与电磁波梯度的计算在直角坐标系中，令：? ?u ? ?u ? ?u ? G? ex ? ey ? ez ?x ?y ?z? ? ? ? el ? cos ? ex ? cos ? ey ? cos ? ez? ? ?u ?u ?u ?u 则：G ? el ? cos? ? cos ? ? cos? ? ? G cos? ?x ?y ?z ?l上式表明当矢量G与L方向一致时，方向导数有 最大值，其值为： ?u?l ?Gmax可见矢量G就是梯度。Page 49北方工业大学电磁场与电磁波梯度的物理意义? 标量场的梯度是一个矢量。在给定点，梯度的方向就是函数u变化率最大的方向， 它的模值就是该点最大变化率的数值。 ?标量场 u 在给定点沿任意 l 方向的方向导 数就等于函数u的梯度在l方向的投影。 ? 任一点的梯度总是垂直于过该点的等值 面（线），且指向函数u增加方向。Page 50北方工业大学电磁场与电磁波梯 度 例1 三维高度场的梯度 例2 电位场的梯度三维高度场的梯度电位场的梯度电位场的梯度 高度场的梯度 ? 与过该点的等高线垂直；? 与过该点的等位线垂直； ? 数值等于该点位移的最 ? 数值等于该点的最大方向导数； 大变化率； ? 指向电位增加的方向。 ? 指向地势升高的方向。Page 51北方工业大学电磁场与电磁波梯 度?哈密顿（Hamilton）算子 又称那勃勒算子(nabla)? ? ? ? ? ? ? ? ex ? ey ? ez ?x ?y ?z? ? ? ? ? ? ?u ? ?u ? ?u ? ?u ? ( ex ? ey ? ez )u ? ex ? ey ? ez ?x ?y ?z ?x ?y ?zgradu ? ?uPage 52?u ? ? gradu ? el ?l北方工业大学电磁场与电磁波梯 度 例1-2 求 u ?的方向导数。 解： ?u ??x x x2 ? y 2 ? z 2x ?y ?z2 2 2? ? ? ? 在 M 0 (1,0,1) 点沿 l ? ex ? 2e ? 2 e y z?u ? ?yM0y x2 ? y 2 ? z 2?u ? ?zM0?u ? ?zz x2 ? y 2 ? z 2?u ?xM01 ? 2?u ?y?01 2cos ? ?lx l 2x ? l 2 y ? l 2z?1 32 cos ? ? 32 cos ? ? 3?Page 53?u ?lM0?u ?u ?u 1 ? cos? ? cos ? ? cos? ? ?x ?y ?z 2北方工业大学电磁场与电磁波梯 度 例1-3 求 u ? xy2 ? yz3 在M0（2，-1，1）点的梯 ? ? ? ? 的方向导数。 度及沿 l ? 2e ? 2 e x y ? ez? ?u ? ?u ? 2? 3 ? 2? 解： ?u ? ?u e ey ? ey ? y ex ? (2 xy ? z )ey ? 3 yz ez x ? ?x ?y ?y?u?u ?lM0? ? ? ? ex ? 3ey ? 3eyM0M0? ? ?u ? el1 ?2 2 1? ? ?1, ?3, ?3? ? ? , , ? ? ? ? 3 ? 3 3 3?或者： ?u ?lPage 54M0?u ?u ?u 1 ? cos? ? cos ? ? cos? ? ? ?x ?y ?z 3北方工业大学电磁场与电磁波1.4 矢量场的散度一、矢量场的矢量线矢量线是这样的一些曲线，曲线上每一 点的切线方向与该点的矢量场方向一致， 曲线的稠密度正比于场量的大小。矢量线方程：? F? ? F ? dl ? 0（矢量线的任一点的切向和Ｆ平行）Page 55北方工业大学电磁场与电磁波二、通 量?flow of flux矢量在场中某一个曲面上的面积分，称为 该矢量通过此曲面的通量。???s? ? ? ? F ? dS ? ? F ? n dS ? ? F cos ? dSs s对于闭合曲面有：? ? ? ? ??? ? F ? dS ? ? ? F ? n dSs sPage 56北方工业大学电磁场与电磁波通 量?通量可认为是穿过1S1面的矢量线的 总数，故矢量线又叫通量线；模1F1 等于在某点与1F1垂直的单位面积上 通过的矢量线的数目，故1F1又称为 通量面密度矢量。? & 0 (有正源)Page 57? & 0 (有负源)? = 0 (无源)北方工业大学电磁场与电磁波三、散 度 divergence?当闭合面S向某点无限收缩时，矢量F通过 该闭合面的通量与该闭合面包围的体积之 比的极限，称为矢量场F在该点的散度。 ? ? F ? dS ? ? ? 定义： divF ? lim s ?V ? 0 ?V 散度是通量对体积的变化率（单位体积内 所穿出的通量），所以散度又称为通量源 密度。Page 58北方工业大学电磁场与电磁波散度的计算直角坐标系? ? ?Fx ?Fy ?Fz divF ? ? ? ? ??F ?x ?y ?z? 1 ?( ? F? ) 1 ?F? ?Fz 圆柱坐标系 ?? F ? ? ? ? ?? ? ?? ?z球坐标系? 1 ?(r 2 Fr ) 1 ?(sin ? F? ) 1 ?F? ?? F ? 2 ? ? r ?r r sin ? ?? r sin ? ??Page 59北方工业大学电磁场与电磁波散度的物理意义 ? 矢量的散度是一个标量，是空间坐标 点的函数； ? 散度代表矢量场的通量源的分布特性。?? A= 0 (无源） ?? A= ??0 (正源) ?? A= ???0 (负源)在矢量场中，若??A=??0，称之为有源场，? 称为(通量)源密度；若矢量场中处处??A=0，称之 为无源场。Page 60北方工业大学电磁场与电磁波散度四、高斯散度定理? ?S? ? ? F ? dS ? ? ? ? F dVV上式表明：任意矢量场的散度，在场中任 意一个体积内的体积分等于矢量场在限定 该体积的闭合面上的法向分量沿闭合面的 面积分 。Page 61北方工业大学电磁场与电磁波散 度例1-4 点电荷位于坐标原点，在离其r处产生的电 ? q ? ? ? ? ? D ? r 通量密度为： 其中， r ? xex ? yey ? zez 4? r 3求：任意点处电通量密度的散度； 并求穿出以 r 为半径的球面的电通量 ? 。解：? ? ? ? q xex ? yey ? zez ? ? ? D? ? D e ? D e ? D e x x y y z z 4? ( x 2 ? y 2 ? z 2 )3 2? ?Dx q ? ? x ? 2 2 2 32? ?x 4? ?x ? ( x ? y ? z ) ? ? ? q r 2 ? 3x 2 q ? 1 3x 2 ? ? 2 ? ? 2 2 2 32 2 2 52? 4? ? ( x ? y ? z ) ( x ? y ? z ) ? 4? r5Page 62北方工业大学电磁场与电磁波散 度同理可得 所以?Dy ?Dz q r 2 ? 3y2 q r 2 ? 3z 2 ? , ? 5 ?y 4? r ?z 4? r5? ?Dx ?Dy ?Dz q 3r 2 ? 3( x 2 ? y 2 ? z 2 ) ?? D ? ? ? ? ?0 5 ?x ?y ?z 4? r可见，除点电荷所在源点（ r ? 0 ）外， 空间各点的散度均为0。 ? ? q ? ? ??? ? S D ? dS ? 4? r 3 ? ? S r ? er dS q q 2 ? dS ? 4 ? r ?q 2 ? 2 4?r S 4?rPage 63北方工业大学电磁场与电磁波散 度或先变换为球坐标系：? ? D? q ? q ? ? r ? e ? D e r r r 4? r 3 4? r 2?? ?? F ?? ? ?? D ?? 1 ?? 2 ? ? r sin ? Fr ? ? ? r sin ? F? ? ? ? rF? ?? ? ? 2 r sin ? ? ?r ?? ?? ?1 ?? 2 1 ? r sin ? D ? ? r ?? 2 2 ? r sin ? ? ?r ? r sin ???? ? ? ? D ? dS ? q 4? r 2?? ? q sin ? ? ? ?r ? 4? ? ??? ?? ? 0 ??Sq 2 dS ? ? 4 ? r ?q 2 ? ?S 4? rPage 64北方工业大学电磁场与电磁波散 度 例1-5 在 为 2a ，中心在直角坐标系原点，各表面与三个坐 标面平行的正六面体。试求从正六面体内穿出的电 场净通量 ? ，并验证高斯散度定理.?? 3 3 2 ? E ? x y e x 的矢量场中，假设有一个边长 8解：先用公式?? ?? 因为 E 只有 x 分量， E 在六? ? ??? ? E ? dSs计算通量oz面体的上、下、左、右四个表面 ? 上和 d s 垂直，面积分为零。s s前 s后yx?? ? ?? ? ?? ? ??? ? E ? dS ? ? E ? dS ? ? E ? dSPage 65北方工业大学电磁场与电磁波散? 3 3 2? ? ? ? 3 3 2? ? ? ? ? ? ? x y e x ? ? e x ds ? ? ? x y e x ? ? ?e x ds s前 8 s后 8 ? ? ? ? a 3 a a 3 a 3 2 3 2 ? ? a y dy ? dz ? ? ? ?a ? y dy ? dz ?a 8 ?a ?a 8 ?a ? a7度????再用公式 ?V?? ? ? EdV计算通量?? ? ? 3 3 2 ? 9 2 2 ?? E ? ? x y ? ? x y ?x ? 8 ? 8 ?? a 9 a a 9 2 2 2 2 7 ? ? E d v ? x y d x d y d z ? x d x y d y d z ? a ?V ?V 8 ?? a 8 ?? a ?? a所以Page 66?? ? ?? ??? ? F ? d s ? ? ? ? FdVs V北方工业大学电磁场与电磁波1.5矢量场的旋度一、环 量 circulation 矢量F 沿空间有向闭合曲线L 的线积分，定义 为矢量F 沿此闭合曲线的环量。 例：流速场Γ ?? ?L? ? F ? dl水流沿平行于水管轴线方 向流动?=0，无涡旋运动Page 67流体做涡旋运动 ??0，有产生涡旋的源北方工业大学电磁场与电磁波二、旋 度?rotation环量面密度 过点P作一微小曲面?S，它的边界曲线记为 L。当?S?0时，存在极限dΓ ? lim ds ?s?0? ? ? ? F ? dll?s? en该极限称为矢量F对于方向 的环量强度或 环量面密度 取不同的路径，其环量密度不同。Page 68北方工业大学电磁场与电磁波?旋度的定义 旋度是一个矢量，其模值等于环量面密度的 最大值；其方向为最大环量面密度的方向。? ? rotF ? ?? F? ? dΓ 它与环量面密度的关系为： ? rot F ? n dS?旋度的计算在直角坐标系中? ?? F ?? ex? ?x? ey? ?y? ez? ?zFxPage 69FyFz北方工业大学电磁场与电磁波?旋度与散度的区别? 矢量场的旋度是一个矢量函数；矢量场的散度是 一个标量函数。 ? 旋度表示场中各点的场与漩涡源的关系； 散度 表示场中各点的场与通量源的关系。 ? 旋度描述的是场分量沿着与它相垂直的方向上 的变化规律 ;散度描述的是场分量沿着各自方向 上的变化规律。三、斯托克斯定理 ? ? ? ? ? (? ? F ) ? dS ? ? ? F ? dlS lGauss 公式和Stockes公式是两个非常重要的公式。Page 70北方工业大学电磁场与电磁波四、矢量微分算子及恒等式 ? 标量函数的梯度的旋度恒等于零。? ? ?u ? 0推论: 如果任一矢量函数的旋度恒等于零，则这个 矢量函数可以用一个标量函数的梯度来表示。? 矢量函数的旋度的散度恒等于零。?? ?? ?? F ? 0??推论:若一矢量函数的散度恒等于零，则这个矢量 函数可以用另外一个矢量函数的旋度来表示。Page 71北方工业大学电磁场与电磁波旋 度? ? ? 例1-6 已知 F ? xyex ? 2xey 计算如图所示的线积 分，并验证斯托克斯定理。解? ? F ? dl ? xydx ? 2xdyc O? ? ? dl ? dxex ? dyeyA B? ? ? ? A ? B ? O ? ??? ? F ? dl ? ? F ? dl ? ? F ? dl ? ? F ? dl? ? xydx y ?0 ? ? ( xydx? 2 xdy) ? ? 2 xdy x?00 A 33B0? ? x 9 ? x dx ? 2?2 30309 ? y 2 dy? ?9(1 ?Page 72?2)北方工业大学电磁场与电磁波旋 度? ex ? ey ? ?y ?2 xS3? ez ? ?z 0又因为：? ? ?? F ? ?x xy? ? ?(2 ? x)ez???S? ? ? ? F ? dS ?? ? (2 ? x)dxdy9? x 2 0? ? [?(2 ? x)]?? ?9(1 ??0dydx所以：Page 73?S? ? ? ? (? ? F ) ? dS ? ? ? F ? dll北方工业大学2)电磁场与电磁波亥姆霍兹定理 v 内的任一个矢量 亥姆霍兹定理：在空间有限区域 ??1.6场 F ，由它的散度，旋度和边界条件唯一地确定， ?? 并可表示成一个无旋场（ F1 ? ??? ）和一个无散场 ?? ? ? （ F 2 ? ?? A）之和．即 ?? ?? ?? ? ? F ? F1 ? F 2 ? ??? ? ?? A?? 1 ?? ? F ? x?, y?, z? ? 1 ? ? x, y, z ? ? dV ? ? 4? V R 4??? ? ? 1 ?? ? F ? x?, y?, z? ? 1 A ? x, y, z ? ? d V ? 4? ?V R 4?Page 74?? F ? x?, y?, z? ? ? ? ?s R ? d s?? F ? x?, y?, z? ? ? ? ?s R ? ds北方工业大学电磁场与电磁波亥姆霍兹定理可见，该定理表明任一矢量场均是由它 的散度和旋度唯一地确定的。矢量场的散 度及旋度特性是研究矢量场的首要问题。? ? 存不存在 ? ? F ? 0 且 ?? F ? 0 的场？Page 75北方工业大学电磁场与电磁波矢量分析 小结1. 三种常用坐标系 2. 矢量运算 3. 标量场的梯度 4. 矢量场的散度 5. 矢量场的旋度 6. 亥姆霍兹定理Page 76北方工业大学电磁场与电磁波一 梯度 标量场梯 度 二 散度矢量?u方向导数的最大值。?u ?u ?u dx ? dy ? dz ?x ?y ?z标量函数u全 微 标量 通 分 du ?? ??F量矢量场 散 度 三 旋度高斯定理 矢量 环? ?? F散度表示场中各点的场与通量源 的关系; 若? ? F处处为０，表示场 中无通量源，称为无散场（solenoidal vector field）或管形场。 可令 F ? ? ? A 且 ? ? F ? J 。 旋度表示场中各点的场与涡旋源 ? 若 ?? F 处处为０， 的关系； 表示场 中无涡旋源，称为无旋场（irrotational ）或保守场（conservative） ? ? 可令 F ? ?u 且 ?? F ? ? 。北方工业大学矢量场 旋 度Page 77量斯托克斯定理电磁场与电磁波本章作业习题1-5、1-6、1－7、1－8、1－10Page 78北方工业大学}