知识点梳理
对于函数y=f\left({x}\right)，我们把使f\left({x}\right)=0的x叫做函数y=f\left({x}\right)的零点．函数y=f\left({x}\right)的零点就是f\left({x}\right)=0的实数根，也就是函数y=f\left({x}\right)的图象与x轴交点的横坐标．
【线性相关系数】对于变量X与变量Y随机抽取到的n对数据\left({{{x}_{1}}{{,y}_{1}}}\right)，\left({{{x}_{2}}{{,y}_{2}}}\right)，...，\left({{{x}_{n}}{{,y}_{n}}}\right)，利用相关系数r来衡量两个变量之间线性关系，相关系数的具体的计算公式为r={\frac{{\sum\limits_{i=1}^{n}{}}\left({{{x}_{i}}-\overline{x}}\right)\left({{{y}_{i}}-\overline{y}}\right)}{\sqrt[]{{\sum\limits_{i=1}^{n}{}}\left({{{x}_{i}}-\overline{x}}\right){{}^{2}}{\sum\limits_{i=1}^{n}{}}\left({{{y}_{i}}-\overline{y}}\right){{}^{2}}}}},当r>0时，表明两个变量正相关，当r<0时，表明两个变量负相关．&|r|越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强，当|r|>0.632时，我们有95%的把握认为两个变量之间具有线性相关关系．&|r|接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．
证明的方法很多，有比较法、分析法、综合法，均值不等式法（公式法）、放缩法、反证法、换元法、构造法、判别式法等等。
整理教师:&&
举一反三（巩固练习，成绩显著提升，去）
根据问他()知识点分析，
试题“给出下列命题：①变量y与x之间的相关系数r=-0.9568，...”，相似的试题还有：
若回归直线\mathop {y}\limits^{?}=a+bx，b＜0，则x与y之间的相关系数()
D.-1＜r＜0
给出下列四个命题：①{∫}_{0}^{1}\sqrt{1-x^{2}}dx=\frac{π}{4}，②α，β都是第三象限角，若cosα＞cosβ，则sinα＞sinβ，③对于两个变量之间的相关系数r，|r|≤1且|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小；④设O为坐标原点，A(1，1)，若点B满足\left\{ \begin{array}{l} {x^{2}+y^{2}-2x-2y+1≥0}\\{1≤x≤2}\\{1≤y≤2} \end{array} \right.，则\overrightarrow {OA}\overrightarrow {OB}的最小值为2+\sqrt{2}．其中正确的命题的个数是()
若回归直线=a+bx，b＜0，则x与y之间的相关系数()
D.-1＜r＜0大学物理实验
适用课程:&大学物理实验（理工）Ⅰ-1(),大学物理实验（医学）(),综合设计与创新物理实验(),探索型物理实验(),物理演示实验-1()【访问量：953989】
测量不确定度及数据处理
一、物理实验和测量误差
就是用某种方法将待测量与同类标准量（量具）进行定量比较得出结果的过程。比较的结果为测量值数值大小，用于比较的标准量确定了测量单位，进行比较的精确程度确定了测量的准确度。一个完整的测量数据应包含待测量的名称、测量数值、单位和准确度。
测量对象、测量单位、测量方法和测量准确度通称为测量四要素。
测量分类：
在科学实验中会遇到各种类型的测量，可以从不同的角度对测量进行分类：根据测量次数可将测量分为单次测量和多次测量；根据测量方法可将测量分为直接测量和间接测量；根据测量条件可分为重复性测量（等精度测量）和复现性测量（非等精度测量）。
（1）单次测量和多次测量
有些测量比较简单，随机因素影响很小,测量误差主要是仪器的误差,所用实验方法对该测量结果准确度要求不高或该测量在间接测量的最终结果中影响较小，我们就只需进行单次测量。例如用天平测物体质量或用钢卷尺测量长杆的长度，单次测量与多次测量结果几乎一致，而且测量结果对整个测量误差的影响很小，为简化操作一般只进行单次测量。
对大多数实验为了提高测量精度，减少偶然误差对实验最终结果的影响，一般都采用多次测量。
（2）直接测量和间接测量
直接测量：直接由仪器标尺(刻度)读数而获得被测量值的测量，称为直接测量。例如，用米尺测物体的长度，用秒表测时间，用天平称衡物体的质量，用电流表测电流强度以及用温度计测量温度等，都是直接测量。
间接测量：有的物理量很难通过仪器直接读数得到结果，但通过一些方法确定了这个量与某些能进行直接测量的量之间的函数关系，由直接测量结果经公式计算才能得出待测结果的测量叫间接测量。例如钢球体积的测量，在用米尺或游标卡尺等测长仪器直接测出直径后，由公式求出钢球的体积就是间接测量。
直接测量和间接测量是相对的，采用不同的方法和仪器，很多物理量既可以直接测量也可以间接测量得到。例如速度的测量，一般是直接测出时间和在时间内通过的路程后，利用公式得到；而速度表则可通过直接读数测出车的速度。用伏安法测电阻是间接测量，而用万用表电阻档测电阻则是直接测量。
随着现代科学技术的迅速发展，测量仪器的不断更新，一些复杂的间接测量正被相对简单的直接测量逐步取代。如用伏安法测电阻是间接测量，但利用电子计算机对电流值和电压值同时取样、计算后，在屏幕上显示的就是直接测量量电阻值。
（）等精度测量与非等精度测量
在多次测量过程中，影响测量结果的各种条件和参数不发生改变的测量叫做等精度测量；反之，称为非等精度测量。例如，在相同的环境中，由同一个人在同一台仪器上，采用同样的方法和测量参数对同一物理量进行多次测量就是等精度测量。显然，它们的可靠程度是相同的，也就是说，对同一物理量进行可靠程度相同的多次测量就是等精度测量。如果在不同的环境中，由不同人员，或不同的仪器，或不同的方法，或使用不同的测量参数进行的测量，即在改变测量条件的情况下对同一物理量进行多次测量，其可靠程度是不相同的，这种测量是非等精度测量。
误差在任何测量过程中，由于测量仪器、实验条件及其他种种原因，测量是不能无限准确的，测量结果与客观存在的真值之间总有一定差异，待测物理量的测量值与真值之差定义为误差，即
测量误差＝测量值－真值ΔN=N－
误差ΔN有正负大小之分。有时将ΔN称为绝对误差，而将ΔN/N0 称为相对误差。
误差存在于一切测量之中。随着科技水平的不断提高，测量误差可以被控制得越来越小，但永远不会是零。分析测量过程中产生误差的原因，在条件容许的情况下将误差降低到最低程度，并对测量结果中未能消除的误差做出估计是实验中的一项重要工作，也是实验的基本技能。
在具体实验过程中实验误差与实验的成本是彼此关联的。一个具体的实验方案是由每一个使用的仪器和每一个实验的具体步骤组成的。实验最终结果的误差取决于所用的每一台仪器的精度和每个步骤可能产生的误差。不同精度的仪器和不同的实验方法和步骤就决定了实验的成本。一个好的实验方案总是根据对测量结果误差限度的要求来选择性能价格比最佳的仪器组合和实验步骤的。在制定实验方案时，从综合性能考虑，不能对每一个具体步骤都要求选用精度最高的仪器，因为测量的最终误差是各个因素所引起的误差的总和。针对具体的实验要求，合理的设计实验方案，选择仪器，确定适当的测量方法，以最小的代价来取得最好的结果。误差理论分析各个具体测量步骤对最终结果影响的权重，分析实验条件对误差形成因素的影响。在调节仪器时，如调垂直、水平，要调整到什么程度才能使它的偏离对实验结果造成的影响可以忽略不计。电表接入电路的方法和选择量程都要考虑到引起的误差大小。在测量过程中某些对结果影响大的关键量，就要努力想办法使用高精度的仪器和测量方法提高该量的测量精度，有的量值的测量精度对最终结果影响很小，就可以选用价格低的一般仪器，而不必花费太高的成本去设置高精度仪器。在处理数据时，某个数据取到多少位，怎样使用近似公式，作图时坐标比例，尺寸大小怎样选取，如何求直线的斜率等，都要考虑到引入误差的大小。
误差的分类：
根据误差的性质和产生的原因，一般可分为以下几类：
系统误差由于实验的仪器、理论、方法和条件的局限使测量结果总是按大于或小于真值的某个方向偏离真值而产生的误差。同一条件下多次测量同一量时产生的误差的符号和绝对值保持恒定或以一定规律变化。系统误差的特征是它的确定性、规律性和可修正性。
系统误差的来源有以下几方面：
仪器误差由于仪器本身的缺陷或没有按规定条件使用仪器而造成的误差。例如用停表测运动物体通过某段路程所需的时间，若停表走时太快，即使多次测量，测量的时间总是偏大。仪器不准确造成了系统误差。用未调零（如指针零差）的电流表测电流，每次测量都包含的恒定系统误差。
理论误差由于测量所依据的理论公式本身的近似性，或实验条件不能达到理论公式所规定的要求所带来的误差。例如用落球法依据公式测量重力加速度，由于空气阻力的影响，多次测量的结果总是偏小。
观测误差由于观测者本人生理或心理特点造成的。例如上述的停表记时测量，若手的反应滞后或超前于眼的观察，则会带来测量误差。
系统误差按其确定性的性质又分为两类：
已定系统误差在任何一项实验工作和具体测量中，若系统误差的大小和变化规律是确定的已知的，则这种误差称为已定系统误差。对这类系统误差应尽可能在测量后对测量结果进行修正（如修正仪器的零差），总之应想办法最大限度地消除或减少可能存在的这类已定系统误差。
未定系统误差若系统误差的变化规律未能确定，这种误差称为未定系统误差。一般情况下可以估计出这种误差的最大变化范围。例如用某一级别的电表进行电学测量，在没用精度更高的仪器对电表进行校准之前，只知道测量误差可能存在于某个大致范围，而不知道它的具体数值。
系统误差按其变化规律可分为以下几类：
定值系统误差：误差符号和绝对值都恒定不变的系统误差；
线形系统误差：误差按线形规律变化的系统误差；
周期系统误差：误差按周期变化规律变化的系统误差；
复杂系统误差：误差以非线形、非周期的复杂规律变化的系统误差。
不论系统误差以何种方式变化，系统误差的变化总是有规律可循的，因而系统误差理论上是可修正的。
由于偶然的不确定因素造成测量值的无规则的变化，每一次测量误差值的大小和符号均不确定，这类误差称为偶然误差。这种误差是由于感官灵敏度、仪器精密度、周围环境的干扰以及随着测量而来的其他不可预测的随机因素的影响造成的，因而把它叫做随机误差。实验中即使采取措施，对系统误差进行修正或消除，并且进行了精心观测，然而每次测量值仍会有差异，其误差值的大小和符号的正负随机变化。当测量次数很多，随机误差呈现出一定的规律性。实践和理论都证明，随机误差服从一定的统计规律。大多数的偶然误差服从或近似服从正态分布。服从正态分布的随机误差有以下特点：
（1）单峰性；
（2）对称性；
（3）有界性；
（4）低偿性。
还有部分偶然误差服从其他概率分布规律，如均匀分布。以后在用到均匀分布时，会简单介绍。
过失误差由于测量者过失，如实验方法不合理，用错仪器，操作不当，读错刻度，记错数据等引起的误差，是一种人为的过失误差，只要测量者采取严肃认真的态度，过失误差是可以避免的。
误差的几个相关概念：
测量的精密度、准确度和精确度都是用来评价测量结果好坏的。但具体的使用有不同的含义。
精密度是指多次重复测量数据分布的集中程度，或复现性，反映测量的随机误差的大小，即精密度越高，数据越集中，随机误差就越小；反之，偶然误差就越大。但由于系统误差不明确精密度并不能反映系统误差的大小。
准确度是指测量平均值与真值的符合程度。它的高低反映系统误差的大小。即准确度越高，测量平均值越接近真值，系统误差越小；反之，系统误差就越大。但准确度未反映测量数据的分散程度，即随机误差的大小不明确。用下面即将讲到的不确定度观点看实验数据的不确定度不明确。
精确度是精密度与准确度的综合反映。当偶然误差小到可以不计时，精确度等于准确度；当系统误差小到可忽略或得到修正消除时，精确度等于精密度。精确度高表明多次测量数据都集中分布在真值附近，整个测量的系统误差和随机误差都比较小。
它们之间的关系可以通过以下测量值分布图形象地表示出来，如图所示
一般“精度”通常多指精确度。
二、测量结果的不确定度
1. 不确定度的概念
前节介绍了误差是测量值与真值的差值。除开验证性实验，在实际研究和应用性实验工作中真值是未知的，因而误差也是未知的。对于每一次实验测量，虽然不能确定误差的具体值是多少，但是在真值未知因而误差也未知的条件下，我们可以根据测量数据和测量条件按一定的理论方法对测量可能的误差范围作出判断。测量的可能误差范围表明了测量结果（近真值）的可疑程度，称为不确定度。不确定度是近真值的可能误差大小的量度，不确定度越小，测量结果越准确，因而不确定度是测量质量的重要表征。
由于测量方法和误差来源的不同，不确定度也有不同的种类和不同的确定方法。通常将可以通过统计方法来计算的不确定度称为A类不确定度记为，将不能用统计方法来估计的不确定度统称为B类不确定度记为。由这两类不确定度构成的总的不确定度称为合成不确定度记为。若已分别得到了实验结果的两类不确定度和，且这两类不确定度互不相关，则合成不确定度为：
测量结果的表示:
在实验测量中，待测量Y的测量结果常表示为：
Y＝N±△N,
其含义是：待测物理量Y的真值以一定的概率出现在区间[N-△N,N+△N]范围内。此△N是一个正的量（不确定度），区间[N-△N,N+△N]称为“置信区间”。这里的“一定的概率”称为“置信概率”。显然，在相同条件下，置信区间的大小与置信概率的设置密切相关。置信概率提高，相应的置信区间必然增大。一般将99.7％的置信概率相对应的置信区间的△N称为“极限不确定度”，用e表示。一般常用“标准不确定度”，用表示,对应的置信概率为68.3%。
测量中，物理量的正确表示包含有数值、不确定度和单位三个要素。
有时为比较测量结果精确度的高低和某些运算的方便，还使用“相对不确定度”，其定义为：
相对不确定度＝＝△N/N。
2. A类不确定度、B类不确定度与合成不确定度
（1）A类不确定度
由于对测量值的影响因素的随机变化，导致每个测量值xi也随机变化，对于多次测量值，可发现它们服从统计规律，并可用概率密度函数p(x)来描述这种规律。正态分布是一种很重要的概率分布，理论及实践均表明，大多数随机事件可以认为近似服从正态分布，其概率密度函数 p(x)可表示为：
其中μ称为数学期望。σ是决定x的离散程度的参数，称为标准差，σ 2称为方差。
p(x)的图形如图1所示，p(x)表明随机变量x的概率分布。
正态分布具有如下特征：
p(x)函数具有单峰性，x值离μ越远，出现的概率越小。
p(x) 函数具有归一性，即在区间（-∞，+∞）上对p(x)积分的值等于1。
σ值表明x分布的分散性，σ越大，x分布越发散。在区间（μ-σ，μ+σ）内对积分的值等于0.683，即x值出现在该区间的几率或称该区间的置信概率为68.3%。区间（μ-σ，μ+σ）是对应于该置信概率的置信区间。
p(x) 函数具有对称性及抵偿性，即以μ为对称轴，x值为μ±N的概率相等，由此可知，测量值的算术平均值是测量值的最佳近似值，当测量次数趋近于无穷时，算术平均值即等于真值。
对有限次测量，如对x进行了n次独立重复观测，则以其算术平均值作为测量的近似值，又称为近真值。
用实验标准差S(xi)来表征测量结果的分散性
上式称之为贝塞尔公式。为每次测量值与平均值之差，称为残差或偏差。当测量次数趋近于无穷时，即为μ,S(xi) 即等于σ 。
根据统计理论，对某物理量进行有限次测量，若已消除了系统误差，只存在随机误差，则测量值应分布在其真值附近。当对该物理量进行若干组测量时，它们各组测量的平均值也分布在真值附近，但组平均值的分布比单个测量值的分布更集中于真值附近。也就是说，多次测量的平均值比单次测量更准确。将平均值作为随机变量，定义平均值的实验标准差为，则数学上可证明：
在多次测量的情况下，我们以算术平均值作为测量结果。以平均值的实验标准差作为A类不确定度uA，称为A类标准不确定度，即uA=。
需要注意，以上所讨论的正态分布仅适用于测量次数比较多的情况，当测量次数较少时，由于随机误差产生的测量值的分布服从于t分布，由上述正态分布计算出的实验测量值的标准差S(xi)和测量平均值的标准差小于由t分布算出的结果，需要对S(xi)和进行修正。有关的修正方法请查阅相关参考资料（参考资料1）。当n→∞时t分布变为正态分布。从修正结果显示当测量次数n充分大时，采用正态分布得到的A类不确定度与采用t分布修正后的结果相差不大。在本教材中为简化起见，一般认为n大于5即可直接采用正态分布计算A类不确定度。对于学生实验，由于受到实验时间的限制，我们规定n大于3也可以直接使用正态分布的结果。
（2）B类不确定度
凡是不能用统计方法计算的不确定度都作为B类不确定度。B类不确定度一般是由产生系统误差的因素导致的。对于前面提到的确知的已定系统误差，应对测量结果进行修正。而对未定系统误差导致的B类不确定度，有时含偶然因素引起的系统误差因素产生的不确定度可采用适当的测量方法（复现性测量），用类似于A类不确定度的处理方法进行评定，但在多数测量条件下，很多误差因素要具体研究每一个具体实验的理论、方法和实验条件，用非统计的方法进行修正和评定。
要完整，准确的评定B类不确定度是一件复杂的需要经验的工作,而且没有一个统一的处理方法。概略的说，应对测量方法的理论依据及实验条件的局限，测量仪器的误差范围有充分的了解。其中由于实验使用的测量仪器的精度对B类不确定度的影响具有许多共同的特征，可以采用比较统一的处理方法来计算，所以对于学生物理实验，我们把B类不确定度的计算主要局限于由实验仪器的因素而产生的。下面对B类不确定度的讨论简化为单纯由仪器因素产生的不确定度。但一定要明确只是对于一些简单的实验，仪器误差是B类不确定度的主要来源，而大多数实验B类不确定度因素要复杂得多，完整的B类不确定度的评定决不限于仪器因素，而且在很多实验中，因仪器而产生的B类不确定度只是其中很小的一部分。
从仪器的极限误差估计B类不确定度：
仪器产生的不确定度，一般用仪器的允差（极限误差）来估计。所谓极限误差就是在规定使用条件下正确使用仪器时，仪器的示值与被测量的真值之间可能产生的最大误差。
仪器的允差或极限误差通常在仪器出厂时在检定书或仪器中注明，注明的方式大体有两种情况： 一是在仪器上直接标出或用精确度表示出仪器误差。如标出精确度为0.05 mm的游标卡尺，其仪器误差就是0.05 mm。二是只给出了该仪器的精确度级，我们可根据仪器精确度级别和我们使用的量程算出仪器误差。如电表上标明的精确度级别为1级和我们使用的量程为100mA。按照电表级别和量程，使用此电表的最大误差为：
=量程×级别％ ＝100×1％＝1（mA）
对未注明误差的仪器，极限误差规定为：对于能连续读数(能对最小分度下一位进行估计)的仪器，取最小分度的一半作为仪器极限误差，如米尺、螺旋测微计、移测显微镜等；对于不能连续读数的仪器就以最小分度作为仪器误差，如游标类仪器、数字式仪表等。
将仪器极限误差转为B类标准不确定度时应根据其误差分布除以一个因子K，K的值一般在1~3之间。学生实验仪器由于本身没按规定按期限按时对仪器误差进行校验，实际误差可能大于出厂误差，作为近似和为简化处理，本教材可直接取仪器允差或称极限误差作为B类标准不确定度。
从仪器的实际使用条件估计的不确定度：
对某一物理量进行测量时，由于误差来源不同，相应的B类不确定度就不止一个。例如在拉伸法测杨氏模量实验中，用卷(米)尺测金属丝原长时，除卷尺的仪器误差(相应的不确定度＝1.2 mm)外，还有测量时因卷尺不能准确地对准金属丝两端产生的误差，其相应的B类不确定度中的误差极限值就是通过实际情况估计的(实验中根据经验估计合并为)。一般根据仪器实际使用条件估计误差的B类不确定度都比由仪器允差产生的不确定度大很多，特别是单次测量更是这样。总之，B类不确定度的正确确定一定要从实际出发，具体情况具体分析。
表1列出了常用的部分仪器的允差。对于较复杂的仪器、或表中未列出的仪器、或对实验结果影响因素较多的实验，由实验室直接给出B类标准不确定度，对于不要求学生定量计算B类不确定度的实验，可以只在结果分析栏中对可能的B类不确定度来源进行定性分析。
表1 某些常用实验仪器的允差
最小分度值
木尺（竹尺）
螺旋测微器（千分尺）
七级天平（物理天平）
0.08g（接近满量程）
0.06g（1/2量程附近）
0.04g（1/3量程及以下）
三级天平（分析天平）
1.3mg（接近满量程）
1.0mg（1/2量程附近）
0.7mg（1/3量程及以下）
普通温度计
精密温度计
指针式电表
级别% ? 满量程
级别% ? 读数
a% ?读数 + nD
D表示读数的最后一位，a和n视不同的表和测量功能而定
（3）合成不确定度
若已分别计算出A、B两类标准不确定度，且两类分量互不相关，则合成的标准不确定度：
学生实验只考虑各分量不相关的简单情况，按上式计算标准不确定度。由上式可看出，当某一分量比另一分量大三倍以上时，小的分量可忽略不计。若该实验中只考虑了一种不确定度分量，如只考虑A不确定度或B不确定度分量，就将该分量作为结果表达式中的不确定度。
评价不确定度除了使用标准不确定度u外，还使用“扩展不确定度”U，“扩展不确定度”通常由标准不确定度乘以一个大于1的包含因子而得到,扩展不确定度所对应的置信概率也相应发生改变。比如，若取不确定度为标准不确定度的2倍即2，则置信区间（－2）～(＋2)对应的置信概率为95.4％,若取不确定度为3,则其置信区间对应的置信概率为99.7％。不同的评价方法，选取不同的不确定度，结果所确定的置信区间不同，相应的置信概率也不一样。本实验室规定学生实验采用标准不确定度。
要完整的评价测量结果，除近真值及不确定度的数值外，还应给出数据分布，测量的有效自由度，结果的置信概率等参量，完整地理解上述参量的含义及计算方法需概率论与数理统计的相关知识，超出了本课程的范围，故在基础物理实验中不作要求。
3. 不确定度的估计方法
（1）单次直接测量的不确定度
在一些测量中，由于仪器精度不高或该测量对测量结果的影响不大，不必进行多次测量时，可进行一次测量。这时不存在对多次测量才需要的统计处理问题，所以没有A类不确定度，只有B类不确定度。
B类不确定度是由包括了所有不能用统计方法来处理的各种因素引起的不确定度。本教材中仅考虑由于仪器自身的允差（极限误差）和实际测量可能产生的读数估计误差产生的B类不确定度。确定测量的B类不确定度的具体方法如下：首先从仪器误差按前文B类不确定度中对仪器误差讲述的方法处理结合表1的方法得到，然后再考虑测量过程中的对准误差等因素的影响。
在综合考虑仪器误差和读数对准误差后，粗略规定将仪器极限误差转为B类标准不确定度时转换因子K为1，则B类不确定度就取为仪器的极限误差。
（2）多次直接测量的不确定度
由于测量值的影响因素的随机变化，导致每次测量值xi不一定相同，对于某一次观测而言，其结果具有随机性，它们服从正态分布统计规律，必然包含A类不确定度。同时，对多次测量中的每一次测量也如单次测量一样，必然包含B类不确定度，可以用处理单次测量的B类不确定度的方法来处理多次测量的B类不确定度。再计算出合成不确定度。
A类不确定度。相同条件下多次直接测量，其测量值的近真值用算术平均值表示：
其中为测量次数， 为第次测量值，算术平均值的A类标准不确定度为：
B类不确定度。按单次测量B类不确定度的估计方法，根据测量所用仪器准确度，估计出测量的B类不确定度。
合成标准不确定度：
测量结果的表示式为：
例1：用螺旋测微器测量小钢球的直径，转动小钢球在不同方向测得以下数据：
这是一个多次直接测量问题。实验结果的获得，应包括近真值的计算，A、B类两类不确定度以及合成不确定度的计算，最后写出测量结果。
① 直径d的近真值：（11.932+11.913+11.921+11.914+11.930）
② A类不确定度：
=0.004mm。
=0.004mm 。
③ B类不确定度：该测量仪器仅使用了螺旋测微器，B类不确定度来源主要是仪器误差，由表一查得螺旋测微器的仪器误差为0.004mm。
=0.004mm。
④ 合成不确定度：
=0.006mm。
⑤测量结果：
d=(11.922±0.006)mm。
（3）间接测量不确定度
间接测量物理量N是互相独立的直接测量量x,y,z的函数，间接测量的近真值和合成不确定度是由直接测量结果通过函数式计算出来的，设函数式为：
N为间接测量的量，它是K个直接观测量x,y,z,…的函数，设各直接观测量的测量结果，包含每个直接测量量的A类不确定度（多次测量）和B类不确定度所合成的合成不确定度分别为：
若将各直接观测量的近真值代入函数式中，即得间接测量的近真值：
间接测量的合成不确定度由每个直接测量量的合成不确定度的加权方和根确定：
K为直接测量的个数，Ai代表x,y,z,…各个自变量（直接观测量）。
上式称为不确定度传播公式。即将各直接观测量的不确定度ui乘函数对各变量（直接观测量）的偏导数，求“方和根”，就得间接测量结果的不确定度。
当间接测量的函数式为积商形式时，为使运算简便起见，也可以先求间接测量的相对不确定度EN，
再通过EN、，由定义式求出合成不确定度
这种求法与直接求uN结果是一致的。表2列出了部分函数的标准不确定度传递公式。
表2 部分函数不确定度传递公式
函数表达式
标准不确定度的表达式
例2：金属环的体积是环内径D1、外径D2和厚度h的函数。经直接测量和计算各自直接测量量的不确定度得出，金属环的内径D1=（2.880±0.004）cm，外径D2=（3.600±0.004）cm，厚度h=（2.575±0.004）cm，求环体积V。
此问题属于间接测量问题。由环体积公式：
① V的近真值：V =
= 9.436cm3。
② 求不确定度uv。表2中没有V的函数表达式，需由传播公式求，作为示例，下面分别用两种方法求不确定度。
直接求不确定度uv。根据间接测量不确定度的传递公式，先求V对各变量的偏导数，对某一变量求偏导数时，把其它变量看作常数，
先相对不确定度Ev，再求不确定度uv
uv = V·Ev
= 0.08cm3。
由以上计算可见，把Ev的表达式（3）乘以V的表达式（1），即可得uv的表达式（2）。表明用求偏导数的方法或用相对不确定度的方法求uv，结果是一致的，这一结论对任何形式的函数皆适用。
③ V的测量结果：V=（9.44±0.08）cm3。
在写测量结果时，V的近真值最后一位应与不确定度所在位对齐，故将V=9.436修约为9.44，若将结果写为V=（9.436±0.08）cm3是错误的。在有效数字处理中将详细讨论。
（4）复现性测量的不确定度
在改变测量条件下，对同一被测量进行多次测量称为复现性测量。
学生物理实验中经常用到的复现性测量，是在间接测量中改变测量条件，以求用统计的方法计算某些未定系统误差导致的不确定度。
例如用伏安法测电阻R=V/I，我们可以固定V的值不变，（不主动调整，仍存在随机波动）测出几组V，I的数值，分别求出V=，I=±uI，再按上一小节的方法计算R的近真值及uR 。在这种测量中，由于电压表读数V及电流表读数I基本不变，在该区段内表的显示值可能小于真值，也可能大于真值，即构成未定系统误差，由于我们不知道这种误差的大小及方向，所以无法对测量结果进行修正。若我们在测量过程中主动改变V，I的数值，在某些区段内V、I的显示值可能大于真值，在另一些区段内V、I的值又可能小于真值，若测量次数足够多，就可能使仪器误差相互抵消，得到更接近真值的结果。
在这种测量中，我们不能再对V、I求平均值，因为它们本身就被改变，求其平均值已无物理意义，但R是同一个不变的物理量，我们可求出各次测量值对应的计算结果Ri，再求R的近真值及A类不确定度，写出测量结果。在这种复现性测量中一般不要求定量计算B类不确定度。
例3：用伏安法测电阻，得出以下数据，求测量结果：
①先分别计算各次测量的R值：
② 求各次测量结果的平均值即近真值：
= 9.91Ω。
③ A类不确定度：
④ 测量结果：
R=(9.9±0.2)Ω。
4. 有效数字
（1）有效数字的概念
测量结果中可靠的所有数字加上最后有误差的一位数字合起来称为有效数字。前面的准确数字称为可靠数字，最后一位有误差的数字称为可疑数字。可以认为有效数字表示法是不确定度的一种粗略的表示方法，而不确定度是对有效数字中最后一位（或两位数字）不确定程度的定量描述。有效数字位数的多少大致反映了相对误差的大小。有效数字位数越多，则相对误差越小，测量的准确度越高。
在有效数字表示中特别要注意0的用法。在有效数字中，从左向右，以第一个不为0的数字为准，其左边的0不是有效数字。如0.0123只有3位有效数字，而0.01230有4位有效数字。有效数字0必须写出。1.3500cm与1.35cm的有效数字位数是不同的，因而准确度也是不同的。
在单位换算中出现在可疑数字位后小数点左边出现0的现象，应采用科学计数法以防止出现对有效数字位增加的误解。如123.4A的电流在改为123400mA时可能误认为有效数字位从4位改为6位。应改用科学计数法1.234×mA。
要注意区分物理量数字和数学常数的区别。数学常数的有效数字位数应根据计算的需要可任意增加，以不减少计算结果的有效数字位数为准。
（2）如何确定有效数字
① 在给出不确定度时，测量结果的有效数字应根据不确定度来决定。由于不确定度一般只取一位有效数字，即非零数字只有一位，所以测量结果的数字的取舍应使测量数字的最后一位（即可疑数字位）正好与不确定度的非零数字位对齐。在单次测量中，不确定度主要是由仪器的极限误差决定的，所以单次测量数据的有效数字记法应根据仪器的极限误差来确定正确的有效数字位数的选择。
② 对多个有效数字运算其结果的有效数字位应根据以下运算法则处理：
a. 有效数字进行加法或减法运算，其和或差的结果的可疑位的位置与参与运算的各量中的可疑位位置最高者相同。
如：14.61 + 2.216 + 0.00672 = 16.83272 = 16.83
有效数字下面加横线表示为可疑数。
根据保留一位可疑数原则，计算结果应为，其可疑位与参与求和运算的三个数中可疑位最高的相同。
推论：测量结果是若干个观测量进行加法或减法计算而得到时，选用精度相同的仪器作测量最为合理。
有效数进行乘法或除法运算，乘积或商的结果的有效位数一般与参与运算的各量中有效位数最少者相同。
如：4.178×10.1=42.1978=42.2
只保留一位可疑数，乘积结果应为，即为三位数，与乘数中有效位数最少的的位数相同。
推论：测量结果是若干个观测量进行乘除法运算而得到时，应按使测量值有效位数相同的原则来选择测量仪器。
乘方、开方运算的有效位数一般与其底的有效位数相同。
计算公式中的系数是数学常数，不存在可疑数，因此可以视为无穷多位有效数，书写也不必写出后面的。例如，的有效位数仅由直接测量值的有效位数决定。无理常数，等在公式中参加运算时，位数的选取应比最终结果多一位。
（3）有效数字的修约
根据有效数字的运算规则，为使计算简化，在不影响最后结果应保留位数的前提下，可以在运算前按比结果多留一位的原则对数据进行修约，最后计算结果也应该按有效数字的定义进行修约。其修约原则是“四舍六入五凑偶”，即要修约的数大于5时入，小于5时舍，正好等于5时则视拟保留的最后一位是奇数时入，偶数时舍。
在现代计算机广泛用于数值运算的条件下，可以在运算过程中保留远多于有效数字运算规定的最低数字位数要求来参与运算，但对最终结果必须按照实验中不确定度所决定的合理的有效数字位进行修约处理。
三、常用数据处理方法
列表法是记录数据的基本方法。欲使实验结果一目了然，避免混乱，避免丢失数据，便于查对，列表法是最好的方法。将数据中的自变量、因变量的各个数值一一对应排列出来，可以简单明确地表示出有关物理量之间的关系，有助于检查测量结果是否合理，及时发现问题，有助于找出有关量之间的联系和建立经验公式。设计记录表格及记录数据要求：
（1）表格设计应有利于记录、运算和检查，便于一目了然的看出有关量之间的关系。
（2）表中各栏要用符号标明，数据代表的物理量和单位要交代清楚。单位写在符号栏。
（3）表格记录的测量值应正确反映所用仪器的精度。
（4）计算过程中的一些中间结果和最后结果也可列于表格中。
（5）记录表格一般还有序号和名称。
（6）数据记录应真实，严禁抄袭，编造。
（7）数据记录中发现异常数据，应进行核对，找出原因重新测量，必要时与教师讨论。
本实验室要求记录实验数据必须用列表法。正确设计记录表格是保证实验能按照规定的步骤和要求有条不紊的进行，防止遗漏的有效手段，也是实验技能的一个重要体现。
作图是在坐标纸上用图形描述各物理量之间的关系，将实验数据用几何图形表示出来。作图的优点是直观、形象，便于比较研究实验结果，求某些物理量，建立关系式等。作图要注意以下几点：
（1）作图要用坐标纸。根据函数关系选用直角坐标纸，单对数坐标纸，双对数坐标纸，极坐标纸等。本书除特殊说明外一般要求采用直角坐标纸。
（2）坐标纸的大小及坐标轴的比例，应当根据所测得数据的有效数字和结果的需要来确定。原则上数据中的可靠数字在图中应当为可靠的，数据中的欠准位在图中应是估计的。要适当选取X轴和Y轴的比例和坐标分度值，使图线充分占有图纸空间，不要集中在一边或一角。坐标轴分度值比例的选取一般选间隔1，2，5，10等，这便于读数或计算。除特殊需要外，分度值起点一般不必从零开始，X轴与Y轴可以采用不同的比例。
（3）标明坐标轴。一般自变量为横轴，因变量为纵轴。采用粗实线描出坐标轴，并用箭头表示出方向，注明所示物理量的名称，单位。坐标轴上标明分度值（注意有效位数）。
（4）描点。根据测量数据，用标记符号“＋”使其准确地落在图上相应的位置。一张图纸上画几条实验曲线时，每条曲线应用不同的标记如“×”“○”“Δ”等，以免混淆。
（5）连线。根据不同函数关系对应的实验数据点的分布，把点连成直线或光滑的曲线。连线必须用直尺或曲线板，如为校准曲线要连成折线。当连成直线或光滑曲线时，图线并不一定通过所有的点，而是使数据点均匀地分布在图线的两侧，个别偏离很大的点应当舍去，原始数据点应保留在图中。
（6）图题。在图纸下方或空白位置处，写上图的名称。一般将纵轴代表的物理量写在前面，横轴代表的物理量写在后面，中间用“—”联接。图中附上适当的图注，如实验条件等。
物理实验和其他实验一样，实验的目的是研究实验中反映出的规律。测量出数据，绘出实验曲线并不是实验的最终目的。如何由实验数据和实验曲线求出经验公式，并找出其中的规律是实验研究中的很重要任务。由实验曲线求经验公式的方法称为图解法。在物理实验中经常遇到的曲线是直线、抛物线、双曲线、指数曲线、对数曲线等，而其中以直线最简单。
建立经验公式的一般步骤为：
（1）根据对问题事先掌握的知识和对几何知识了解，判断图线的类型。由图线的类型确定公式的类型，或由相关理论确定公式的类型。
（2）利用半对数、对数或倒数坐标纸，再正确选择x轴和y轴所代表的物理量，尽量把原曲线改变为直线。
（3）确定常数，建立起经验公式。
直线方程的建立：
如果作出实验曲线是一条直线，则经验公式为直线方程：
截距为时的值；若原实验图并未给出段直线，可将直线用虚线延长交轴，并量出截距。
求直线的斜率可用斜率截距法。在直线上选取两点和,则斜率
注意，所取两点不应为原实验数据点，并且取的两点不要相距太近，以减小误差。
由图解法求直线方程较为粗略，要求较高时可采用第4小节介绍的最小二乘法。
例4：一金属导体的电阻随温度变化的测量值为下表所示。试求经验公式，及电阻温度系数α 。
温度（?C）
电阻（uΩ）
根据所测数据绘出图，并可判断R与T为线性关系。
画出直线并将直线延长求得截距：
由直线上两点求出直线的斜率：
于是得经验公式：
电阻温度系数定义为温度改变1?C时，电阻在0?C附近的变化率，即α =ΔR/ΔT·R0。由于ΔR/ΔT=k，R0=b，所以该金属的电阻温度系数为：
曲线改直，曲线方程的建立：
由曲线图直接建立经验公式一般是困难的，但是我们可以用坐标变换把曲线图改为直线图，再利用建立直线方程的办法来解决问题。
例5．阻尼振动实验中，测得每隔1/2周期振幅的数据如下，求Ａ＝f(t)。
由振动理论可知在存在阻尼的情况下，振动的振幅作指数衰减：
式中A0=60.0为t=0时的振幅，β称为阻尼系数。
将上式取对数得：
用单对数坐标纸作图，单对数坐标纸的一个坐标是刻度不均匀的对数坐标，另一个坐标是刻度均匀的直角坐标。以纵轴代表lnA，横轴代表t (单位为T/2)，作图如图3所示，得一直线。
从直线上两点 (0, ln60), (6.2·T/2, ln1),可求出其斜率。
β=-k=0.43（1/s）
所求方程为：
4. 最小二乘法与线性拟合
用图解法求经验公式方法简单、直观，但随意性强，精度不高。求经验公式除可采用图解法外，还可以从实验的数据求经验方程，这称为方程线性拟合的问题。
方程的拟合首先要确定函数的形式，一般要根据理论的推断或从实验数据变化的趋势而推测出来。如果推断出物理量和之间的关系是线性关系，则函数的形式可写为：
如果推断出是指数关系，则写为：
如果不能清楚判断出函数的形式，则可用多项式来表示：
式中等均为参数。可以认为，方程的回归问题就是用实验的数据来求出方程的待定参数。
用最小二乘法处理实验数据，可以求出上述待定参数。设是变量的函数，有m个待定参数即
对各个自变量和对应的因变量作次观测得：
于是的观测值与由待定方程计算所得计算值的偏差为：
所谓最小二乘法，就是要求上面的个偏差在平方和最小的意义下，使得函数与观测值最佳拟合，也就是参数应使
由微分学的求极值方法可知，应满足下列方程组：
下面从一最简单的情况看怎样用最小二乘法确定参数。设已知函数形式是：
这是一个一元线性回归方程。由实验测得自变量与的数据是：
由最小二乘法，应使
由微分学可知，对和求偏导数应等于零，即
由上式可得含待定参数和的方程组：
式中表示x的平均值，即　；表示y的平均值，即　；表示x2的平均值，即　；表示x·y的平均值，即
解此联立方程得到参数和的解为：
在待定参数确定以后，变量和变量间的函数关系就确定了。由于这种参数最佳解是在假定实验中的物理量满足事先假定的函数形式下得到的，为了判断所得的解析结果（在假定的函数形式下）是否合理地反映了原实验数据反映的规律，还需要计算相关系数r来进一步验证。对于一元线性回归，数学上得出相关系数r定义为：
可以证明│r│的值是在0和1之间。│r│越接近于1，说明实验数据在求得的直线的近旁，用线性函数进行回归比较合理，相反，如果│r│值远小于1而接近于零，说明实验数据对求得的直线很分散，即用事先假定的函数形式(线性)是不妥当的，必须用其他函数重新试探。原则上数学可以用多项式逐步增加待定函数方程的项数，找到能正确表示实验结果的数学表达式。
【参考资料】
1. 中华人民共和国国家计量技术规范（JJG1027-91）.测量误差及数据处理（试行）. 中国计量出版社.1994
2. 朱鹤年. 基础物理实验教程——物理测量的数据处理与实验设计.
高等教育出版社.2003}