天津理工大学本科《离散数学》教学教案
章集合与关系
学习目标：
．深刻理解序偶、笛卡尔积、关系、集合的划分与覆盖、等价关系、等价类、
商集、相容关系、（最大）相容类、偏序关系、极大元、极小元、上（下）界、上（下）
确界、最大（小）元、全序关系、良序关系等概念；
．掌握集合的交、并、差、补、对称差的运算及其运算规律；
．掌握关系的交、并、逆、复合运算、闭包运算及其性质；
．掌握关系的矩阵表示和关系图；
．深刻理解关系的自反性、反自反性、对称性、反对称性和传递性，掌握其
判别方法；
．掌握集合的覆盖与划分的联系与区别；
．掌握偏序关系的判别及其哈斯图的画法；会求偏序集中给定集合的极大元、
极小元、上（下）界、上（下）确界、最大（小）元。
主要内容：
．集合的基本概念及其运算
．序偶与笛卡尔积
．关系及其表示
．关系的性质及其判定方法
．复合关系和逆关系
．关系的闭包运算
．等价关系与相容关系
．偏序关系
．关系的性质及其判别；
．关系的复合运算及其性质；
．等价关系与等价类、等价关系与集合的划分的联系；
．偏序关系判别及其哈斯图的画法、偏序集中特异位置元素的理解。
．关系的传递性及其判别；
．等价关系的特性；
．偏序关系的哈斯图的画法；偏序集中特异位置元素的求法。
教学手段：
通过多个实例的精讲帮助同学理解重点和难点的内容，并通过大量的练习使同
学们巩固和掌握关系的性质及其判别
关系的复合运算及其性质、等价关系的特性、
偏序关系的哈斯图的画法及偏序集中特异位置元素的求法。
习题3.1：4，6；习题3.2：3（8），4（12），6（m）；习题3.4：1（2）、(4)，
3；习题3.5：1，4；习题3.6：2，5，6；习题3.7：2，5，6；习题3.8：1（1）
-（6）；习题3.9：3（2）、（4），4（3）；习题3.10：1，4，5。
集合的基本概念
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二战日本航空母舰
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什么是自然数 自然数有哪些
学习啦【百科知识】 编辑：谢君
　　数用以计量事物的件数或表示事物次序的数。那么你对自然数了解多少呢?以下是由学习啦小编整理关于什么是自然数的内容，希望大家喜欢!
　　自然数的定义
　　自然数从0开始还是从1开始饱受争议。从数论上来讲，自然数从1开始，在集合论中，自然数从0开始。我国中小学教材中自然数是从0开始，《新华字典》中自然数是从1开始。可以指正整数或非负整数，在数论通常用前者，而集合论和科学则多数使用后者。
　　自然数的性质
　　1、对自然数可以定义加法和乘法。其中，加法运算&+&定义为：
　　a + 0 =
　　a + S(x) = S(a +x)， 其中，S(x)表示x的后继者。
　　如果我们将S(0)定义为符号&1&，那么b + 1 = b + S(0) = S( b + 0 ) = S(b)，即，&+1&运算可求得任意自然数的后继者。
　　同理，乘法运算&&&定义为：
　　a & 0 = 0;
　　a & S(b) = a & b + a
　　自然数的减法和除法可以由类似加法和乘法的逆的方式定义。
　　2、有序性。自然数的有序性是指，自然数可以从0开始，不重复也不遗漏地排成一个数列：0，1，2，3，&这个数列叫自然数列。一个集合的元素如果能与自然数列或者自然数列的一部分建立一一对应，我们就说这个集合是可数的，否则就说它是不可数的。
　　3、无限性。自然数集是一个无穷集合，自然数列可以无止境地写下去。
　　对于无限集合来说&，元素个数&的概念已经不适用，用数个数的方法比较集合元素的多少只适用于有限集合。为了比较两个无限集合的元素的多少，集合论的创立者德国家康托尔引入了一一对应的方法。这一方法对于有限集合显然是适用的，21世纪把它推广到无限集合，即如果两个无限集合的元素之间能建立一个一一对应，我们就认为这两个集合的元素是同样多的。对于无限集合，我们不再说它们的元素个数相同，而说这两个集合的基数相同，或者说，这两个集合等势。与有限集对比，无限集有一些特殊的性质，其一是它可以与自己的真子集建立一一对应，例如:
　　0 1 2 3 4 &
　　1 3 5 7 9 &
　　这就是说，这两个集合有同样多的元素，或者说，它们是等势的。大数学家希尔伯特曾用一个有趣的例子来说明自然数的无限性：如果一个旅馆只有有限个房间，当它的房间都住满了时，再来一个旅客，经理就无法让他入住了。但如果这个旅馆有无数个房间，也都住满了，经理却仍可以安排这位旅客：他把1号房间的旅客换到2号房间，把2号房间的旅客换到3号房间，&&如此继续下去，就把1号房间腾出来了。
　　4、传递性：设 n1，n2，n3 都是自然数，若 n1&n2，n2&n3，那么 n1&n3。
　　5、三岐性：对于任意两个自然数n1，n2，有且只有下列三种关系之一：n1&n2，n1=n2或n1&n2。
　　6、最小数原理：自然数集合的任一非空子集中必有最小的数。具备性质3、4的数集称为线性序集。容易看出，有理数集、实数集都是线性序集。但是这两个数集都不具备性质5，例如所有形如nm(m&n，m，n 都是自然数)的数组成的集合是有理数集的非空子集，这个集合就没有最小数;开区间(0，1)是实数集合的非空子集，它也没有最小数。
　　具备性质5的集合称为良序集，自然数集合就是一种良序集。容易看出，加入0之后的自然数集仍然具备上述性质3、4、5，就是说，仍然是线性序集和良序集。
　　自然数的分类
　　按是否是偶数分
　　可分为奇数和偶数。
　　1、奇数：不能被2整除的数叫奇数。
　　2、偶数：能被2整除的数叫偶数。也就是说，除了奇数，就是偶数
　　注：0是偶数。(2002年数学协会规定,零为偶数.我国2004年也规定零为偶数。偶数可以被2整除，0照样可以，只不过得数依然是0而已)。
　　按因数个数分
　　可分为质数、合数、1和0。
　　1、质 数：只有1和它本身这两个因数的自然数叫做质数。也称作素数。
　　2、合 数：除了1和它本身还有其它的因数的自然数叫做合数。
　　3、1：只有1个因数。它既不是质数也不是合数。
　　4、当然0不能计算因数，和1一样，也不是质数也不是合数。
　　备注：这里是因数不是约数。
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官方公共微信自然数集的性质/良序原理
简介　　良序原理指出，的每个非空都有个最小元素，即自然数在其标准的大小关系下构成一。理论框架中的地位　　在定义了自然数的大多数理论框架中，良序原理或者是其中一条，或者是一条可证的。
　　在系统、二阶算术系统和其他一些相关的系统中，可以由导出，而后者本身被看作基本公理。
　　在将自然数集看成的一个子集时，若假定已知实数集是完备的（作为一条公理或定理），即其每个有的子集都有个，那么每个自然数的子集A（有下界0）也必然有个最大下界a*。由此可以找到一个整数n*使得a*∈(n*-1,n*]，之后可证必有a*=n*，且n*∈A。
　　在中，自然数集定义为最小的归纳集合（包含0且包含本身中每个元素的的集合），可以证明，所有满足{0,...,n}为良序集的n组成的集合是一个归纳集合，从而是自然数集本身。由此可以推出自然数集本身也是个良序集。意义　　良序原理的意义主要在于，在证明时可以使用所谓的“最小”，它相当于和的结合。
其他含义/良序原理
　　在一些场合中，“良序原理”是“良序定理”的同义词。见。
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