第十章静电场中的导体和电介质；一选择题；1.半径为R的导体球原不带电，今在距球心为a处放；A.；q4π?0a；B.；qR4π?0a；C.；q4π?0(a?R)；D.；qa4π?o(a?R)；解：导体球处于静电平衡，球心处的电势即为导体球电；V??；??q?4π?；dq?；14π?0R；??q?dq??0；点电荷q在球心处的电势为V?；4π?0a；q4π?0a
静电场中的导体和电介质
1. 半径为R的导体球原不带电，今在距球心为a处放一点电荷q ( a＞R)。设无限远处的电势为零，则导体球的电势为
q4π?0(a?R)
qa4π?o(a?R)
解：导体球处于静电平衡，球心处的电势即为导体球电势，感应电荷?q?分布在导体球表面上，且?q??(?q?)?0，它们在球心处的电势
点电荷q在球心处的电势为
据电势叠加原理，球心处的电势V0?V?V??
所以选（A）
2. 已知厚度为d的无限大带电导体平板，两表面上电荷均匀分布，电荷面密度均为? ，如图所示，则板外两侧的电场强度的大小为 (
解：在导体平板两表面外侧取两对称平面，做侧面垂直平板的高斯面，根据高斯定理，考虑到两对称平面电场强度相等，且高斯面内电荷为2? S，可得 E?
所以选（C）
3. 如图，一个未带电的空腔导体球壳，内半径为R，在腔内离球心的距离为 d处(d&R)，固定一电量为+q的点电荷。用导线把球壳接地后，再把地线撤去，选无穷远处为电势零点，则球心o处的电势为
q4π?0dq4π?0
(1d?q4π?0R
解：球壳内表面上的感应电荷为-q，球壳外表面上的电荷为零，所以有V0?
所以选（ D ）
4. 半径分别为R和r的两个金属球，相距很远，用一根细长导线将两球连接在一起并使它们带电，在忽略导线的影响下，两球表面的电荷面密度之比?R
解：两球相连，当静电平衡时，两球带电量分别为Q、q，因两球相距很远，所以电荷在两球上均匀分布，且两球电势相等，取无穷远为电势零点，则
Q/4?Rq/4? r
所以选（D）
5. 一导体球外充满相对介质电常数为εr的均匀电介质，若测得导体表面附近场强为E，则导体球面上的自由电荷面密度?为 (
(ε0εr ?ε0) E 解：根据有介质情况下的高斯定理D?dS??q，取导体球面为高斯面，则有
，即??D??0?rE。
所以选（B）
6. 一空气平行板电容器，充电后测得板间电场强度为E0，现断开电源，注满相对介质常数为εr的煤油，待稳定后，煤油中的极化强度的大小应是（
ε0(εr?1)
(εr?1)εr
ε0(εr?1)E0
解：断开电源后，不管是否注入电介质，极板间的自由电荷q不变，D0=D
?0E0??0?rE
E?E0/?r 又
P?D??0E??0E0?
所以选（B）
7. 两个半径相同的金属球，一为空心，一为实心，两者的电容值相比较 (
实心球电容值大
实心球电容值小
两球电容量值相等
大小关系无法确定
解：孤立导体球电容C?4π?0R，与导体球是否为空心或者实心无关。
所以选（C）
8. 金属球A与同心球壳B组成电容器，球A上带电荷q，壳B上带电荷Q，测得球和壳间的电势差为UAB，则该电容器的电容值为（
C. (q+Q)/ UAB
D. (q+Q)/(2 UAB) 解：根据电容的定义，应选（A）。
9. 一空气平行板电容器，极板间距为d ，电容为c。 若在两板中间平行地插入一块厚度为d / 3的金属板，则其电容值变为 (
B. ２C／３
解：平行板电容器插入的金属板中的场强为零，极板上电荷量不变，此时两极板间的电势差变为：
U?Ed??其电容值变为：
? S2? d3?0
所以选（C）
10. 一平板电容器充电后保持与电源连接，若改变两极板间的距离，则下述物理量中哪个保持不变？(
电容器的电容量
两极板间的场强
电容器储存的能量
两极板间的电势差
解：平板电容器充电后保持与电源连接，则两极板间的电势差不变；平行板电容器的电容C?改变两极板间的距离d，则电容C发生变化；两极板间的场强E?
，U不变，d变化，
则场强发生变化；
电容器储存的能量We?变化。
所以选（D）
，U不变，d变化，导致电容C发生变化，则电容器储存的能量也要发生
1. 一任意形状的带电导体，其电荷面密度分布为?(x、y、z)，则在导体表面外附近任意点处的电场强度的大小E(x、y、z) =
解：E(x、y、z)= ?(x、y、z)/ε0，其方向与导体表面垂直朝外(?&0)或与导体表面垂直朝里(σ&0)。 2. 如图所示，一无限大均匀带电平面附近设置一与之平行的无限大平面导体板。已知带电面的电荷面密度为? ，则导体板两侧面的感应电荷密度分别为?1
解：由静电平衡条件和电荷守恒定律可得：
；?1???2。由此可解得：
3. 半径为R1和R2的两个同轴金属圆筒(R1& R2)，其
间充满着相对介电常数为εr的均匀介质，设两筒上单位长度带电量分别为? 和?? ，则介质中的电位移矢量的大小D=
，电场强度的大小E=
解：根据有介质情况下的高斯定理，选同轴圆柱面为高斯面，则有D= ? /（2πr）， 电场强度大小E= D/εrε0=? /（2πεrε0 r）。
4. 电容值为100pF的平板电容器与50V电压的电源相接，若平板的面积为100cm，其中充满εr=6的云母片，则云母中的电场强度E=
；金属板上的自由电荷Q =
；介质表面上的极化电荷Q' 。
解：极板间电场强度E?
?9.42?10V/m
，两极板上自由电荷
，由高斯定理，当有介质时，对平板电容器可有E?S?
， Q为自由电荷，Q'
为介质表面上的极化电荷，代入已知数据可求得Q' = 4.17×10-9 C。
5. 平行板电容器的两极板A、B的面积均为S，相距为d，在两板中间左右两半分别插入相对介电常数为εr1和εr2的电介质，则电容器的电容为
解：该电容器相当于是两个面积为S/2的电容器的并联，电容值分别为：
?C?C1?C2?(?r1??r2)
6. 半径为R的金属球A，接电源充电后断开电源，这时它储存的电场能量为5×10?5J,今将该球与远处一个半径是R的导体球B用细导线连接，则A球储存的电场能量变为
解：金属球A原先储存的能量W?荷变为原来的1/2，则能量W??
,当它与同样的金属球B连接，则金属球A上的电
7. 三个完全相同的金属球A、B、C ，其中A球带电量为Q，而B、C球均不带电，先使A球同B球接触，分开后A球再和C球接触，最后三个球分别孤立地放置，则A 、B两球所储存的电场能量WeA 、WeB ，与A球原先所储存的电场能量We0比较，WeA是We0的
倍，WeB是We0的
解：初始A球的电场能量We0?
，先使A球同B球接触，则
分开后，A球再和C球接触，则
8. 一空气平行板电容器，其电容值为C0，充电后将电源断开，其储存的电场能量为W0，今在两极板间充满相对介电常数为ε=
解：初始时电容C0?两极板电势差U?Ed?
的各向同性均匀电介质，则此时电容值C=
，储存的电场能量We
，充电后将电源断开，Q0不变，由E?D/?0?r，当两极板间充满电介质时，
9. 一平行板电容器，极板面积为S，间距为d，接在电源上并保持电压恒定为U。若将极板距离拉开一倍，那么电容器中静电能的改变为
，电源对电场做功为
，外力对极板做功为
解：初始时，电容器的静电能We0?
将极板距离拉开一倍，电容值变为
，极板间电压不变，?Q?CU0?
，此时电容器的静电能
∴电容器中静电能的改变 ?We?We?We0??电源对电场做功W?U?q?U(Q0?Q0)??
由能量守恒，电源和外力做功的和等于电容器中静电能的改变，所以外力做的功
W???We?W??
10. 平板电容器两板间的空间（体积为V）被相对介电常数为εr的绝缘体充填，极板上电荷的面密度为?，则将绝缘体从电容器中取出过程中外力所做的功为
。（摩擦不计）
解：当平板电容器充满相对介电常数为εr电介质时，场强E1?此时具有的静电能
We1?当电介质取出后静电能
，抽出后场强E2?
???wdV???2
???wedV???2?
由能量守恒，在此过程中若不计摩擦，外力做功的等于静电能的增量
1. 如图所示，一内半径为a、外半径为b的金属球壳，带有电量Q，在球壳空腔内距离球心r处有一点电荷q，设无限远处为电势零点，试求：(1)球壳内外表面上的电荷；(2)球心处由球壳内表面上电荷产生的电势；(3)球心处的总电势。
解：（1）由静电感应，金属球壳的内表面上有感应电荷?q，外表面上带电荷q+Q。
（2）不论球壳内表面上的感应电荷是如何分布的，因为任一电荷元离O点的距离都是a，所以由这些电荷在O点产生的电势为
（3）球心O点处的总电势为分布在球壳内外表面上的电荷和电荷q在O点产生的电势的代数和
V0?Vq?V?q?VQ?q?
?Q?q4πε0b
7. 两同心导体球壳中间充满相对介电常数为εr的均匀电介质，其余为真空，内球壳半径为R1，带电量为Q1；外球壳半径为R2，带电量为Q2，如图所示。求图中距球心O分别为r1、r2、r3的a、b、c三点的场强和电势。
解：分别取半径为r1、r2、r3的高斯球面，利用高斯定理得： Ea=0
Q14π?0?rr2Q1?Q24π?0r2
,沿径向方向向外
沿径向方向向外
r1?R1，Ua?
Q1?Q24π?0R21)?
R1?r2?R2，Ub?r3?R2
Q1?Q24π?0R2
Q1?Q24π?0r3
8. 一空气平行板电容器，两极板面积均为S，板间距离为d，在两极板间平行地插入一面积也是S，厚度为t的金属片，试求：(1)电容C等于多少？(2)金属片在两极板间放置的位置对电容值有无影响？
解：设极板上分别带电量+q和?q；金属片与A板距离为d1，与B 板距离为d2；金属片与A板间场强为
E1 =q / (ε
B 金属板与B板间场强为
E2 =q / (ε0 S ) 金属片内部场强为
则两极板间的电势差为
UA?UB=E1d1+E2d2 =( q /ε0S)(d1+d2) = (q /ε0S) (d ? t) 由此得
C=q /(UA ?UB) =ε0S /（d ? t） 因C值仅与d、t有关，与d1、d2无关，故金属片的安放仅置对电容值无影响。
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