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抽象函数的单调性证明
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本人第一次录制，有点粗糙，有点乱。另：请忽略我的一个错别字“拆”
我来说点啥
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{description}我说课的题目是《函数的单调性》，我将从四个方面来阐述我对这节课的设计．
一、教材分析
函数的单调性是函数的重要性质．从知识的网络结构上看，函数的单调性既是函数概念的延续和拓展，又是后续研究指数函数、对数函数、三角函数的单调性等内容的基础，在研究各种具体函数的性质和应用、解决各种问题中都有着广泛的应用．函数单调性概念的建立过程中蕴涵诸多数学思想方法，对于进一步探索、研究函数的其他性质有很强的启发与示范作用．
根据函数单调性在整个教材内容中的地位与作用，本节课教学应实现如下教学目标：
知识与技能 使学生理解函数单调性的概念，初步掌握判别函数单调性的方法；
过程与方法 引导学生通过观察、归纳、抽象、概括，自主建构单调增函数、单调减函数等概念；能运用函数单调性概念解决简单的问题；使学生领会数形结合的数学思想方法，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．
情感态度与价值观 在函数单调性的学习过程中，使学生体验数学的科学价值和应用价值，培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度．
根据上述教学目标，本节课的教学重点是函数单调性的概念形成和初步运用．虽然高一学生已经有一定的抽象思维能力，但函数单调性概念对他们来说还是比较抽象的．因此，本节课的学习难点是函数单调性的概念形成．
二、教法学法
为了实现本节课的教学目标，在教法上我采取了：
1、通过学生熟悉的实际生活问题引入课题，为概念学习创设情境，拉近数学与现实的距离，激发学生求知欲，调动学生主体参与的积极性．
2、在形成概念的过程中，紧扣概念中的关键语句，通过学生的主体参与，正确地形成概念．
3、在鼓励学生主体参与的同时，不可忽视教师的主导作用，要教会学生清晰的思维、严谨的推理，并顺利地完成书面表达．
在学法上我重视了：
1、让学生利用图形直观启迪思维，并通过正、反例的构造，来完成从感性认识到理性思维的质的飞跃．
2、让学生从问题中质疑、尝试、归纳、总结、运用，培养学生发现问题、研究问题和分析解决问题的能力．
三、教学过程
函数单调性的概念产生和形成是本节课的难点，为了突破这一难点，在教学设计上采用了下列四个环节．
　（一）创设情境，提出问题
（问题情境）（播放中央电视台天气预报的音乐）．如图为某地区2006年元旦这一天24小时内的气温变化图，观察这张气温变化图：
[教师活动]引导学生观察图象，提出问题：
问题1：说出气温在哪些时段内是逐步升高的或下降的？
问题2：怎样用数学语言刻画上述时段内“随着时间的增大气温逐渐升高”这一特征？
[设计意图]问题是数学的心脏，问题是学生思维的开始，问题是学生兴趣的开始．这里，通过两个问题，引发学生的进一步学习的好奇心．
（二）探究发现 建构概念
[学生活动]对于问题1，学生容易给出答案．问题2对学生来说较为抽象，不易回答．
[教师活动]为了引导学生解决问题2，先让学生观察图象，通过具体情形，例如，“t1=8时，f(t1)=1，t2=10时，f(t2)= 4”这一情形进行描述．引导学生回答：对于自变量8&10，对应的函数值有1&4.举几个例子表述一下.然后给出一个铺垫性的问题：结合图象，请你用自己的语言，描述“在区间［4，14］上，气温随时间增大而升高”这一特征．
在学生对于单调增函数的特征有一定直观认识时，进一步提出：
问题3:对于任意的t1、t2∈[4，16]时，当t1& t2时，是否都有f(t1)&f(t2)呢?
[学生活动]通过观察图象、进行实验（计算机）、正反对比，发现数量关系，由具体到抽象，由模糊到清晰逐步归纳、概括、抽象出单调增函数概念的本质属性，并尝试用符号语言进行初步的表述．
[教师活动]为了获得单调增函数概念，对于不同学生的表述进行分析、归类，引导学生得出关键词“区间内”、“任意”、“当时，都有”．告诉他们“把满足这些条件的函数称之为单调增函数”，之后由他们集体给出单调增函数概念的数学表述．提出：
问题4： 类比单调增函数概念，你能给出单调减函数的概念吗？
最后完成单调性和单调区间概念的整体表述．
[设计意图]数学概念的形成来自解决实际问题和数学自身发展的需要．但概念的高度抽象，造成了难懂、难教和难学，这就需要让学生置身于符合自身实际的学习活动中去，从自己的经验和已有的知识基础出发，经历“数学化”、“再创造”的活动过程．刚升入高一的学生已经具备了一定的几何形象思维能力，但抽象思维能力不强．从日常的描述性语言概念升华到用数学符号语言精确刻画概念是本节课的难点．
（三）自我尝试 运用概念
责编：xufen
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移动端/互动交流高考数学快速提升成绩题型训练——抽象函数
1. 已知函数y = f (x)(x∈R，x≠0)对任意的非零实数x1，x2，恒有f(x1x2)=f(x1)+f(x2), 试判断f(x)的奇偶性。 2 已知定义在[-2，2]上的偶函数，f (x)在区间[0，2]上单调递减，若f (1-m)&f (m),求实数m的取值范围
3. 设f(x)是R上的奇函数，且f(x+3) =-f(x)，求f(1998)的值。?2??1?4. 设函数f（x）对任意x1,x2??0,?都有f（x1?x2)=f（x1)?f(x2)，
已知f（1）=2，求f（2),f(4);
5. 已知f（x）是定义在R上的函数，且满足：f（x+2）[1－f（x）]=1+
f（x），f（1）=1997，求f（2001）的值。
6. 设f（x）是定义R在上的函数，对任意x，y∈R，有 f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）且f（0）≠0.
（1）求证f（0）=1；
（2）求证：y=f（x）为偶函数.
7. 已知定义在R上的偶函数y=f(x)的一个递增区间为（2，6），试判断（4，8）是y=f(2-x)的递增区间还是递减区间？
8. 设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意a，b，当a+b≠0，都有
（1）.若a＞b，试比较f（a）与f（b）的大小；
（2）.若f（k?3x)?f(3x?9x?2)＜0对x∈[－1，1]恒成立，求实数k的取值范围。
9.已知函数f(x)是定义在（-∞，3]上的减函数，已知f(a2?sinx)?f(a?1?cos2x)对x?R恒成立，求实数a的取值范围。
10．已知函数f(x),当x,y?R时，恒有f(x?y)?f(x)?f(y).
(1)求证: f(x)是奇函数;
(2)若f(?3)?a,试用a表示f(24).
11.已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数,且对于任意的a,b?R,都满足:
f(a?b)?af(b)?bf(a). f(a)?f(b)＞0 a?b11
(1)求f(0),f(1)的值;
(2)判断f(x)的奇偶性,并证明你的结论;
f(2?n)(n?N*),求数列{un}的前n项和sn. (3)若f(2)?2,un?n
12.已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)?x2?x))?f(x)?x2?x.
(1)若f(2)?3,求f(1);又f(0)?a,求f(a);
(2)设有且仅有一个实数x0,使得f(x0)?x0,求函数f(x)的解析表达式.
1113.已知函数f(x)的定义域为R,对任意实数m,n都有f(m?n)?f(m)?f(n)?,且f()?0,当22
1x?时, f(x)&0. 2
(1)求f(1);
(2)求和f(1)?f(2)?f(3)?...?f(n)(n?N*);
(3)判断函数f(x)的单调性,并证明.
14.函数f(x)的定义域为R,并满足以下条件:①对任意x?R,有f(x)&0;②对任意x,y?R,有
1f(xy)?[f(x)]y;③f()?1. 3
(1)求f(0)的值;
(2)求证: f(x)在R上是单调减函数;
(3)若a?b?c?0且b2?ac,求证:f(a)?f(c)?2f(b).
15.已知函数f(x)的定义域为R,对任意实数m,n都有f(m?n)?f(m)?f(n),且当x?0时,0?f(x)?1.
(1)证明:f(0)?1,且x?0时,f(x)&1;
(2)证明: f(x)在R上单调递减;
(3)设A={(x,y)f(x2)?f(y2)?f(1)},B={(x,y)f(ax?y?2)?1,a?R},若A?B=?,试确定a的取值范围.
16.已知函数f(x)是定义在R上的增函数,设F(x)?f(x)?f(a?x).
(1)用函数单调性的定义证明:F(x)是R上的增函数;
a(2)证明:函数y=F(x)的图象关于点(,0)成中心对称图形. 2
17.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,且它的图象关于直线x?1对称.
(1)求f(0)的值;
(2)证明: 函数f(x)是周期函数;
(3)若f(x)?x(0?x?1),求当x?R时,函数f(x)的解析式,并画出满足条件的函数f(x)至少一个周期的图象.
18．函数f(x)对于x&0有意义，且满足条件f(2)?1,f(xy)?f(x)?f(y),f(x)是减函数。
（1）证明：f(1)?0；
（2）若f(x)?f(x?3)?2成立，求x的取值范围。
19．设函数f(x)在(??,??)上满足f(2?x)?f(2?x)，f(7?x)?f(7?x)，且在闭区间［0，7］上，只有f(1)?f(3)?0．
（1）试判断函数y?f(x)的奇偶性；
（2）试求方程f(x)=0在闭区间［-］上的根的个数，并证明你的结论．
20. 已知函数f（x）对任意实数x，y，均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且当x＞0时，f（x）＞0，f（－1）＝－2，求f（x）在区间[－2，1]上的值域。
21. 已知函数f（x）对任意，满足条件f（x）＋f（y）＝2 + f（x＋y），且当x＞
，使得，0时，f（x）＞2，f（3）＝5，求不等式22. 设函数f（x）的定义域是（－∞，＋∞），满足条件：存在对任何x和y，成立。求：
（1）f（0）； （2）对任意值x，判断f（x）值的正负。
23. 是否存在函数f（x），使下列三个条件：①f（x）＞0，x ∈N
；③f（2）＝4。同时成立？若存在，求出f（x）的解析式，
如不存在，说明理由。
24. 设函数y＝f（x）的反函数是y＝g（x）。如果f（ab）＝f（a）＋f（b），那么g（a＋b）＝g（a）·g（b）是否正确，试说明理由。
25. 己知函数f（x）的定义域关于原点对称，且满足以下三条件： ①当是定义域中的数时，有；
②f（a）＝－1（a＞0，a是定义域中的一个数）；
③当0＜x＜2a时，f（x）＜0。
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