知识点梳理
以过焦点{{F}_{1}}&、&{{F}_{2}}的直线为x轴，线段{{F}_{1}}{{F}_{2}}的为y轴，建立平面直角坐标系．设M\left({x,y}\right)是双曲线上任意一点，双曲线的焦距为2c\left({c>0}\right)，那么焦点{{F}_{1}}，{{F}_{2}}的坐标分别是\left({-c,0}\right)，\left({c,0}\right)．又设点M与{{F}_{1}}，{{F}_{2}}的距离的差的等于常数2a\left({0<a<c}\right)．因为{{|MF}_{1}}|=\sqrt[]{\left({x+c}\right){{}^{2}}{{+y}^{2}}}{{,|MF}_{2}}|=\sqrt[]{\left({x-c}\right){{}^{2}}{{+y}^{2}}},所以\sqrt[]{\left({x+c}\right){{}^{2}}{{+y}^{2}}}-\sqrt[]{\left({x-c}\right){{}^{2}}{{+y}^{2}}}=±2a,化简得{\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}}-{\frac{{{y}^{2}}}{{{c}^{2}}{{-a}^{2}}}}=1.因为&c>a>0，所以&{{c}^{2}}{{-a}^{2}}>0，令&{{c}^{2}}{{-a}^{2}}{{=b}^{2}}&，则方程化为{\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}}-{\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}}=1\left({a>0,b>0}\right)①.因为双曲线上任意一都满足方程①，以方程①的解\left({x,y}\right)为坐标的点到双曲线的两个焦点{{F}_{1}}，{{F}_{2}}的距离之差的绝对值为2a，即以方程①的解为坐标的点都在双曲线上，故由曲线与方程的关系可知，方程①是双曲线的方程，我们把它叫做双曲线的标准方程．它表示焦点在x轴上，焦点分别是{{F}_{1}}\left({-c,0}\right)，{{F}_{2}}\left({c,0}\right)的双曲线，这里{{c}^{2}}{{=a}^{2}}{{+b}^{2}}．&若焦点在y轴上，则双曲线的焦点坐标分别是{{F}_{1}}\left({0,-c}\right)，{{F}_{2}}\left({0,c}\right)，此时双曲线的方程是{\frac{{{y}^{2}}}{{{a}^{2}}}}-{\frac{{{x}^{2}}}{{{b}^{2}}}}=1 \left({a>0,b>0}\right)，这个方程也是双曲线的标准方程．
【双曲线的几何性质】我们利用双曲线的标准方程{\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}}-{\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}}=1\left({a>0,b>0}\right)&来研究双曲线的几何性质．1.范围：双曲线在x≤-a与x≥a所表示的区域内．2.对称性：双曲线关于x轴、&y轴和原点都是对称的．坐标轴是双曲线的，原点是双曲线的对称中心．双曲线的对称中心叫做双曲线的中心．3.顶点：双曲线与x轴有两个交点，它们叫做双曲线的顶点，即{{A}_{1}}\left({-a,0}\right)，{{A}_{2}}\left({a,0}\right)．令x=0，得{{y}^{2}}{{=-b}^{2}}，这个方程没有实数根，说明双曲线与y轴没有交点，但是我们也把{{B}_{1}}\left({0,-b}\right)，{{B}_{2}}\left({0,b}\right)&画在y轴上．线段{{A}_{1}}{{A}_{2}}叫做双曲线的实轴，它的长等于2a，a叫做双曲线的实半轴长；线段{{B}_{1}}{{B}_{2}}叫做双曲线的虚轴，它的长等于2b，b叫做双曲线的虚半轴长．4.渐近线：双曲线{\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}}-{\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}}=1&的各支向外延伸时，它与y=±{\frac{b}{a}}x这两条直线逐渐接近，我们把这两条直线叫做双曲线的渐近线．也就是说，双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交．特别地，若双曲线的实轴长和虚轴长相等，此时渐近线方程为y=±x，它们相互垂直，并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角，这样的双曲线叫做等轴双曲线．
5.离心率：双曲线的焦距与实轴长的比{\frac{c}{a}}，叫做双曲线的离心率．因为c>a>0，所以双曲线的离心率e={\frac{c}{a}}>1．由等式{{c}^{2}}{{-a}^{2}}{{=b}^{2}}&得{\frac{b}{a}}={\frac{\sqrt[]{{{c}^{2}}{{-a}^{2}}}}{a}}=\sqrt[]{{\frac{{{c}^{2}}}{{{a}^{2}}}}-1}=\sqrt[]{{{e}^{2}}-1},可以看出e越大，{\frac{b}{a}}也越大，即渐近线y=±{\frac{b}{a}}x的斜率的越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔，即张口越来越大．当离心率e越小时，{\frac{b}{a}}也越小，渐近线的斜率的绝对值越小，双曲线的张口也就越小，形状就越扁．
整理教师:&&
举一反三（巩固练习，成绩显著提升，去）
根据问他()知识点分析，
试题“双曲线（a，b＞0），一焦点到其相应准线的距离为，过点A（0...”，相似的试题还有：
设双曲线C的中心在原点，它的右焦点是抛物线y^{2}=\frac{8\sqrt{3}}{3}x的焦点，且该点到双曲线的一条准线的距离为\frac{\sqrt{3}}{2}．(Ⅰ)求双曲线C的方程；(Ⅱ)设直线l：y=kx+1与双曲线C交于两点A、B，试问：(1)当k为何值时，以AB为直径的圆过原点；(2)是否存在这样的实数k，使A、B关于直线y=ax对称(a为常数)，若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由．
已知双曲线=1(a＞0，b＞0)的离心率为，右准线方程为．(Ⅰ)求双曲线C的方程；(Ⅱ)已知直线x-y+m=0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2+y2=5上，求m的值．
设双曲线的离心率e=，过点A(0，-b)和B(a，0)的直线与原点的距离为．(1)求双曲线方程；(2)直线y=kx+5(k≠0)与双曲线交于不同的两点C、D，且C、D两点都在以A为圆心的同一个圆上，求k值．（09年宜昌一中12月月考理）曲线上的点到直线的最短距离是&&&&&&&&& 。
动点P与点F(1，0)的距离和它到直线l：x＝－1的距离相等，记点P的轨迹为曲线C1．圆C2的圆心T是曲线C1上的点，圆C2与y轴交于M，N两点，且|MN|＝4．
(1)求曲线C1的方程；
(2)设点A(a，0)(a＞2)，若点A到点T的最短距离为a－1，试判断直线l与圆C2的位置关系，并说明理由．
动点P到点F(1，0)的距离与它到直线l：x＝－1的距离相等，记点P的轨迹为曲线C1．圆C2的圆心T是曲线C1上的动点，圆C2与y轴交于M，N两点，且|MN|＝4．
(Ⅰ)求曲线C1的方程；
(Ⅱ)设点A(a，0)(a＞2)，若点A到点T的最短距离为a－1，试判断直线l与圆C2的位置关系，并说明理由．
（本小题满分14分）动点与点的距离和它到直线的距离相等，记点的轨迹为曲线．圆的圆心是曲线上的动点, 圆与轴交于两点，且.（1）求曲线的方程；（2）设点2,若点到点的最短距离为,试判断直线与圆的位置关系,并说明理由.（;揭阳二模）如图，线段AB过y轴负半轴上一点M（0，a），A、B两点到y轴距离的差为2k．（Ⅰ）若AB所在的直线的斜率为k（k≠0），求以y轴为对称轴，且过A、O、B三点的抛物线的方程；（Ⅱ）设（1）中所确定的抛物线为C，点M是C的焦点，若直线AB的倾斜角为60°，又点P在抛物线C上由A到B运动，试求△PAB面积的最大值．
分析：（1）依题意设所求的抛物线方程为x2=-2py（p＞0），直线AB的方程为y=kx+a，由y=kx+ax2=-2py得x2+2pkx+2pa=0设A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜0，x2＞0，y1＜0，y2＜0），x1+x2=-2pk，若|x1|-|x2|=2k可求p（2）解法1：可得直线AB的方程为y=3x-12，解方程组x2=-2yy=3x-12可求点A，B，从而可求AB，设点P（m，n），依题意知-3-2≤m≤-3+2，且n=-12m2，根据点P到直线AB的距离d=|3m-n-12|2=|12m2+3m-12|2可求面积的最大值解法2：直线AB的方程为y=3x-12，由x2=-2yy=3x-12得x2+23x-1=0，x1+x2=-23，x1x2=-1，|AB|=1+k2|x1-x2|=2(x1+x2)2-4x1x2以下同法一解答：（1）解：依题意设所求的抛物线方程为x2=-2py（p＞0），----------（1分）∵直线AB的斜率为k且过点M（0，a）∴直线AB的方程为y=kx+a由y=kx+ax2=-2py得x2+2pkx+2pa=0----------①------------------（3分）设A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜0，x2＞0，y1＜0，y2＜0）则x1，x2是方程①的两个实根∴x1+x2=-2pk，若|x1|-|x2|=2k则-x1-x2=2k，-2pk=-2k∴p=1---------------------------（5分）若|x2|-|x1|=2k则x1+x2=-2pk=2k∴p=-1与p＞0矛盾----（6分）∴该抛物线的方程为x2=-2y．-------（7分）（2）解法1：抛物线x2=-2y的焦点为（0，-12）即M点坐标为（0，-12）直线AB的斜率k=tan60°=3∴直线AB的方程为y=3x-12，-----------------（8分）解方程组x2=-2yy=3x-12得x1=-3-2y1=-7+432x2=-3+2y2=-7-432即点A(-3-2，-7+432)，B(-3+2，-7-432)-------------------（10分）∴|AB|=42+(43)2=8设点P（m，n），依题意知-3-2≤m≤-3+2，且n=-12m2则点P到直线AB的距离d=|3m-n-12|2=|12m2+3m-12|2=|-(m+3)2+4|4当m=-3时，dmax=1，--------------------------------（13分）这时Smax=12|AB|dmax=12×8×1=4．-----------------------（15分）解法2：抛物线x2=-2y的焦点为（0，-12）即M点坐标为（0，-12）直线AB的斜率k=tan60°=3∴直线AB的方程为y=3x-12，由x2=-2yy=3x-12得x2+23x-1=0∴x1+x2=-23，x1x2=-1，∴|AB|=1+k2|x1-x2|=2(x1+x2)2-4x1x2=212+4=8[以下同上]点评：本题主要考查了利用抛物线的性质求解抛物线的方程，直线与抛物线的位置关系的应用，点到直线的距离公式的应用，利用二次函数的性质求解函数的最值等知识的综合应用，要注意方程的思想的应用．
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科目：高中数学
（;揭阳二模）如图（1）示，定义在D上的函数f（x），如果满足：对?x∈D，?常数A，都有f（x）≥A成立，则称函数f（x）在D上有下界，其中A称为函数的下界．（提示：图（1）、（2）中的常数A、B可以是正数，也可以是负数或零）&&（Ⅰ）试判断函数f（x）=x3+48x在（0，+∞）上是否有下界？并说明理由；（Ⅱ）又如具有如图（2）特征的函数称为在D上有上界．请你类比函数有下界的定义，给出函数f（x）在D上有上界的定义，并判断（Ⅰ）中的函数在（-∞，0）上是否有上界？并说明理由；（Ⅲ）若函数f（x）在D上既有上界又有下界，则称函数f（x）在D上有界，函数f（x）叫做有界函数．试探究函数f（x）=ax3+bx（a＞0，b＞0a，b是常数）是否是[m，n]（m＞0，n＞0，m、n是常数）上的有界函数？
科目：高中数学
（;揭阳二模）下图是用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第n个图案中需用黑色瓷砖4n+8块．（用含n的代数式表示）
科目：高中数学
（;揭阳二模）已知函数f（x）=logax（a＞0，a≠1）的图象如右图示，函数y=g（x）的图象与y=f（x）的图象关于直线y=x对称，则函数y=g（x）的解析式为（　　）A．g（x）=2xB．g（x）=(12)xC．g（x）=log12xD．g（x）=log2x
科目：高中数学
（;揭阳二模）已知点P（x，y）的坐标满足条件x+y≤4y≥xx≥1.则x2+y2的最大值为（　　）A．10B．8C．16D．10
科目：高中数学
（;揭阳二模）某地区的一种特色水果上市时间仅能持续几个月，预测上市初期和后期会因供不应求使价格呈连续上涨的态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌，为准确研究其价格走势，下面给出的四个价格模拟函数中合适的是（其中p，q为常数，且q＞1，x∈[0，5]，x=0表示4月1日，x=1表示5月1日，…以此类推）（　　）A．f（x）=p?qxB．f（x）=px2+qx+1C．f（x）=x（x-q）2+pD．f（x）=plnx+qx2这是个机器人猖狂的时代，请输一下验证码，证明咱是正常人~点到线的距离公式高中记得教过,时间太长了,已经忘了,现在写程序急需就是比如一点A(a,b),到一直线L:AX1+BY1+C=0的距离怎么求啊,要的是公式哦还有点斜式是:Y=KX+B对吗,其中K不等于0,而且K=TG(艾而发)对吧
滋小味rO6N
我是读高一的,你问的公式我们这学期刚教过.点Po（Xo,Yo)到直线l：Ax+By+C=0的距离公式是：|AXo+BYo+C=0|除以A的平方+B的平方的和再开二次方； 过点Po(Xo,Yo)且斜率为k的直线的点斜式是：Y-Yo=k(X-Xo) ； Y=kx+b是斜截式,b是截距 ； 斜率k=tana(a是倾斜角的度数）
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