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计算，其中Ω是由曲面z=xy与平面y=x，x=1和z=0所围成的闭区域．
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计算，其中Ω是由曲面z=xy与平面y=x，x=1和z=0所围成的闭区域．
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原积分=[∫(0->1) xdx] *[∫(0->x) y^2dy] *[∫(0->xy) z^3dz]
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1计算，其中Ω是由平面z=0,z=y,y=1以及抛物柱面y=x2所围成的闭区域.2利用柱面坐标计算下列三重积分：&&，其中Ω是由曲面x2+y2=2z及平面z=2所围成的闭区域．3利用球面坐标计算下列三重积分：&&，其中闭区域Ω由不等式x2+y2+(z-a)2≤a2，x2+y2≤z2所确定．4选用适当的坐标计算下列三次积分：请帮忙给出正确答案和分析，谢谢！
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河南理工大学高数22试卷答案
河南理工大学
学年第2学期
《高等数学2》参考答案与评分标准
一、选择题（每题5分，共25分）
?xy,x2?y2?0?221、函数f(x,y)??x?y在(0,0)点处（
???????2、设向量a，b，c满足关系式a?b?a?c，则（
??????(A) 必有a?0；
(B) 当a?0时，必有b?c； ????????(C) 必有b?c?0；
(D) 当b?c时,必有a??(b?c)(其中?为常数)。
23、设f(x,y)在区域D?(x,y)x?(y?2)?4上连续，则二重积分(A) 连续，且偏导函数都存在；
不连续，但偏导函数都存在； (C) 不连续，且偏导函数都不存在；
连续，且偏导函数都不存在。 ?2???f(x,y)d?
表示成极坐标系下的二次积分的形式为（
0d??f(rcos?,rsin?)rdr；
(B) ?d??f(rcos?,rsin?)rdr；
n4cos? 0f(rcos?,rsin?)rdr； (D) ?d?? 0n?4sin? 0f(rcos?,rsin?)rdr。 4、幂级数?a
n?0n则幂级数?anx的收敛半径为（
）。 (x?1)在x?3处条件收敛，n?0?
5、函数y?C1e2x?C2（其中C1，C2是任意常数）是微分方程y???y??2y?0的（
(A) 通解 ；
(B) 特解 ；
(C) 不是解 ；
(D) 是解，不是通解，也不是特解。
二、填空题（每题5分，共25分）
yy1、设函数z?x，则函数z?x的全微分dz?。
O为2、函数u?x?y?z在点P0(1,1,1)处沿OP0方向的方向导数为坐标原点。
3、曲面2z?xy?2在点(1,2,0)处的切平面方程为
4、曲线积分I?(x?y)ds（其中L是圆周：x?y?9）的值为。
0?x?1,5、设f(x)??的正弦级数展开式为?bnsinnx，设?bnsinnx和函数1?x??n?0n?0? 1,
为s(x)，则s(5?)为
。 2222222
三、计算下列各题（每题6分，共36分）
1、求直线??5x?3y?3z?9?0x?3yz?1??与直线的夹角的余弦。 2153x?2y?z?1?0?
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2011年自考微分几何真题:微分几何试题
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= (t)(t0)(t0)
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& D.
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& B.
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& D.
= (t)′(t)&(t)
= (t)={0,1,0}={0,0,1}=______
= &(u,v)=4du2+2dudv+3dv2
= &(u)+v &(u)
={ucosv,usinv,bv}
={tcosθ,tsinθ,t}
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2空间曲面小结
空间曲面小结? 空间一般曲面方程的建立? 空间二次曲面? 直纹二次曲面? 典型例题上页下页结束空间曲面小结空间一般曲面方程的建立 ? 旋转曲面 定义: 由空间的一条曲线 ? 绕某一直线 l 旋转 而得到的曲面称为
旋转面. l 称为它的轴线, ? 为它的母线. 方程的建立: 设旋转面S 的轴线 l 过点M0 (x0, y0, z0), 平行于 向量u0(m, n, p); 母线? 的方程为 ? F ( x, y , z ) ? 0, ?G ( x, y , z ) ? 0, ?上页 下页 结束空间曲面小结? M ?(x?, y?)?? , M?M ? u0 = 0, 则 M(x, y) ? S ? |M0M?| = |M0M| . ? F ( x? , y ? , z ? ) ? 0 ?G ( x?, y?, z ? ) ? 0 ? 于是 ? m( x ? x0 ) ? n( y ? y0 ) ? p( z ? z0 ) ? 0 ?( x ? x0 ) 2 ? ( y ? y0 ) 2 ? ( z ? z0 ) 2 ? ? ? x0 ) 2 ? ( y? ? y0 ) 2 ? ( z ? ? z0 ) 2 ?? ( x从前三个方程 解出 M?的坐标 (作为M 的坐标的 函数), 代入到第四个方程即可求得旋转面方程. 见书上例2.12和例2.13.上页 下页 结束空间曲面小结特殊的旋转面: ? 轴线是z 轴, 母线是 yz 平面上的曲线 f (y, z) = 0 或 xz 平面上的曲线 f (x, z) = 0 f (? x 2 ? y 2 , z ) ? 0 方程形如 ? 轴线是x 轴, 母线是 xy 面上的曲线 g (x, y) = 0 或 xz 面上的曲线 g (x, z) = 0 g( x, ? y 2 ? z 2 ) ? 0 方程形如 ? 轴线是y 轴, 母线是 xy 面上的曲线 h (x, y) = 0 或 yz 面上的曲线 h (y, z) = 0 2 2 方程形如 h( y , ? x ? z ) ? 0上页 下页 结束空间曲面小结? 圆柱面定义: 由直线绕与它平行的轴线旋转所得的旋转 面称为圆柱面. 母线与轴线的距离称为它的半径. 方程的建立: 方法1: 轴线过点 M0, 平行于向量 u, 半径为 r, M0M ? u ? r, 点 M 在圆柱面上 ? u 方法2: 轴线过M0, 平行于向量u, M1在圆柱面上, 点 M 在圆柱面上 ? |M0M ? u| = |M0M1 ? u|.上页 下页 结束空间曲面小结? 圆锥面定义: 由直线绕与它相交而不垂直的轴线旋转 所得的旋转面称为圆锥面. 母线与轴线的交点 称为锥顶, 夹角称为半顶角. 方程的建立: 方法1: 锥顶为M0, 半顶角为?, 点 M 在圆锥面上 ? |M0M ? u| = |M0M| |u| cos? . 方法2: 锥顶为M0, M1在圆柱面上, 点 M 在圆锥面上 ? |M0M ? u| |M0M1| = |M0M1 ? u| |M0M| .上页 下页 结束空间曲面小结? 柱面定义: 由一族互相平行的直线构成的曲面称为 柱面. 这些直线为它的直母线. 柱面上的一条曲 线如果和每一条直母线都相交, 就称它为柱面的 一条准线. 方程的建立: 设在一个仿射坐标系中, 柱面S 平行于向量 u(k, m, n), 准线? 的方程为 ? F ( x, y , z ) ? 0, ?G ( x, y , z ) ? 0, ?上页 下页 结束空间曲面小结则点 M(x, y, z) ? S ? 存在实数 t, 使得 ? F ( x ? tk , y ? tm, z ? tn) ? 0, ?G ( x ? tk , y ? tm, z ? tn) ? 0, ? 从其中一式解出 t 代入另一式, 即得 S 一般方程. 常用的情形是 ? 为平面曲线, 并设F(x, y, z) = 0 是平面的一般方程 Ax + By + Cz + D = 0, 则由 A(x + tk) + B(y + tm) + C(z + tn) + D = 0, Ax ? By ? Cz ? D 解得 t?? , Ak ? Bm ? Cn 代入 G(x + tk, y + tm, z + tn) = 0 可得 S 一般方程.上页 下页 结束空间曲面小结两种特殊情形下柱面的方程: (1) 准线在某个坐标面上. 譬如柱面平行于 u(k, m, n), 准线在 xy 平面上, 方程为 ?z ? 0 ? f ( x, y ) ? 0 ? z 则t?? , n kz mz ? ? 柱面的方程为 f ? x ? , y ? ? ? 0. n n ? ?上页 下页 结束空间曲面小结(2) 如果柱面平行于某个坐标轴, 譬如 z 轴, 假设 柱面和 xy 面的交线为 ?z ? 0 ? f ( x, y ) ? 0 ? 则此时柱面的方程就是 f (x, y) = 0. 事实上, 有 定理: 若一个柱面的母线平行于z 轴 (或 x 轴, 或 y 轴), 则它的方程中不含 z (或x, 或y); 反之, 一个 三元方程若不含z (或x, 或y), 则它一定表示一个 母线平行于z 轴 (或 x 轴, 或 y 轴) 的柱面.上页 下页 结束空间曲面小结? 锥面定义: 由一族过同一点 M0 的直线构成的曲面 称为锥面. 这些直线称为它的直母线. M0 称为锥 顶, 锥面上不过锥顶的一条曲线如果和每一条直 母线都相交, 就称为它的一条准线. 方程的建立: 设在一个仿射坐标系中, 锥面 S 的锥顶 M0(x0, y0, z0) , 准线 ? 的方程为 ? F ( x, y , z ) ? 0, ?G ( x, y , z ) ? 0, ?上页 下页 结束空间曲面小结则M(x, y, z) (不是锥顶)在锥面上?存在实数t, 使 ? F ((1 ? t ) x0 ? tx, (1 ? t ) y0 ? ty , (1 ? t ) z0 ? tz ) ? 0, ?G ((1 ? t ) x ? tx, (1 ? t ) y ? ty , (1 ? t ) z ? tz ) ? 0, ? 0 0 0 从其中一式解出 t 代入另一式, 即得 S 的方程. 常取坐标原点为锥顶, 准线在平行于坐标平面的 一张平面上, 譬如为 ? f ( x, y ) ? 0, ?z ? h ? ? hx hy ? 则用上述方法得到锥面方程 f ? , ? ? 0, ? z z ? 定理: x, y, z 的 n 次齐次方程的图像 (添上原点) 一定是锥顶为原点的锥面.上页 下页 结束空间曲面小结空间二次曲面 ? 非空二次曲面的类型 (一) 椭球面 x2 y2 z 2 ? 2 ? 2 ? 1; [1] 椭球面: 2 a2 b 2 c2 x y z [2] 点: ? 2 ? 2 ? 0; 2 a b c (二) 双曲面 2 2 2 x y z ? 2 ? 2 ? 1; [3] 单叶双曲面: 2 a2 b2 c2 x y z ? 2 ? 2 ? ?1; [4] 双叶双曲面: 2 a b c上页 下页 结束空间曲面小结(三) 抛物面 [5] 椭圆抛物面: [6] 双曲抛物面: (四) 二次锥面 [7] 二次锥面: (五) 二次柱面 [8] 椭圆柱面:x y ? 2 ? 2 2 a b 2 2 x y ? 2 ? 2 2 a b x y z ? 2 ? 2 ? 0; 2 a b c x y ? 2 ? 1; 2 a b上页 下页 结束2222222空间曲面小结[9] 一条直线: [10] 双曲柱面: [11] 一对相交平面: [12] 抛物柱面: [13] 一对平行平面:x2 y2 ? 2 ? 0; 2 a b 2 2 x y ? 2 ? 1; 2 a b 2 2 x y ? 2 ? 0; 2 a b x 2 ? 2x ? a, a ? 0.2[14] 一张平面:x ? 0.2上页 下页 结束空间曲面小结x2 y2 z 2 ? 椭球面 2 ? 2 ? 2 ? 1 的图形特征 a b c 图形:范围:?? a ? x ? a ? ?? b ? y ? b ?? c ? z ? c ?上页 下页 结束空间曲面小结对称性: 关于原点,各坐标平面, 各坐标轴都对称. 2 2 2 y h ?x ? 2 ? 2 ? 1? 2 截线: 平面 z = h 的截线为 ? a b c ?z ? h ? 当 |h| & c 时, 截线为椭圆, 随 |h| 的增大而缩小, 但离心率不变; 当 |h| = c 时, 截线缩为一点; 当 |h| & c 时, 截线为空集. 其他两种截线情况类似.上页 下页 结束空间曲面小结x2 y2 z 2 ? 单叶双曲面 2 ? 2 ? 2 ? 1 的图形特征 a b c 图形: 对称性: 关于原点, 各坐标平 面, 各坐 标轴都对 称.上页下页结束空间曲面小结y h ?x ? 2 ? 2 ? 1? 2 截线: 平面 z = h 的截线为 ? a b c ?z ? h ? 该截线为椭圆, 随|h| 的减小而缩小, 但离心率不变. 2 2 2 z k ? y ? 2 ? 2 ? 1? 2 平面 x = k 的截线为 ? b c a ?x ? k ? 当 k = a 时, 该截线是两条相交直线, 交点在腰椭 圆上, 坐标为(a, 0, 0); 当 |k| & a 或 |k| & a时, 截线 都是双曲线. |k| & a 时双曲线的实轴平行于 y 轴; |k| & a时相反. 平面 y = k 的截线情况类似.2 2 2上页 下页 结束空间曲面小结x y z ? 双叶双曲面 2 ? 2 ? 2 ? ?1 的图形特征 a b c图形: 范围: 位于平面 z=c与z = ?c 外.2 2 2上页下页结束空间曲面小结对称性: 关于原点,各坐标平面, 各坐标轴都对称.y h ?x ? 2 ? 2 ? 2 ?1 截线: 平面 z = h 的截线为 ? a b c ?z ? h ?2 2 2当 |h| & c 时该截线为椭圆, 随 |h| 的减小而缩小; 当 |h| = c 时缩为一点; |h| & c 时为空集. 平行于 yz 平面和 xz 平面的任何平面的截线 总是双曲线, 实轴平行于 z 轴.上页 下页 结束空间曲面小结x2 y2 ? 椭圆抛物面 2 ? 2 ? ? 2 z 的图形特征 a b 2 2 2 2 x y x y ? 2 ? ?2 z 图形: 2 ? 2 ? 2 z 2 a b a b上页下页结束空间曲面小结对称性: 只关于 yz 平面, xz 面, z 轴对称. 2 2 y ?x ? 2 ? 2 ? 2h 截线: 平面 z = h 的截线为 ? a b ?z ? h ? 当 h & 0 时该截线为椭圆, 随 h 的减小而缩小; 当 h = 0 时缩为一点; 当 h & 0 时为空集. 因而此椭圆抛物面在 xy 面上方. 平行于 yz 平面和 xz 平面的任何平面的截线 总是抛物线, 对称轴平行于 z 轴.上页 下页 结束空间曲面小结x2 y2 ? 双曲抛物面 2 ? 2 ? ? 2 z 的图形特征 a b 图形:对称性: 只关于 yz 平面, xz 面, z 轴对称.上页 下页 结束空间曲面小结? x2 y2 ? 2 ? 2 ? 2h 截线: 平面 z = h 的截线为 ? a b ?z ? h ? 当 h = 0 时该截线为 xy 面上两条相交于原点的 直线; 当 h ? 0 时是双曲线:h & 0 时, 双曲线实轴平行于x 轴, 虚轴平行于y 轴; h & 0 时, 双曲线实轴平行于y 轴, 虚轴平行于x 轴.上页下页结束空间曲面小结平行于另两张坐标面的平面的截线都是抛物线. 2 2 x k ? ?2 z ? 2 ? 2 平面 y = k 的截线为 ? a b ?y ? k ? 对任何 k, 其对称轴总平行于 z 轴, 并且开口向着 z 轴正向, 大小和形状与 k 无关, 但是顶点随着|k| 的增加而降低, 且顶点坐标为 (0, k, ? k2/2b2),?2 z ? ? y / b 因此在抛 物线 ? 上. ?x ? 02 2上页 下页 结束空间曲面小结?2 z ? x 2 / a 2 因而整个曲面可看作是抛物线 ? ?y ? 0 2 2 ?2 z ? ? y / a 上的路线进行 沿着顶点在抛物线 ? ?x ? 0 平行移动的轨迹.zxy上页 下页 结束空间曲面小结k y ? ?2 z ? 2 ? 2 平面 x = k 的截线为 ? a b ?x ? k ?2 2对任何 k, 其对称轴总平行于 z 轴, 但开口向着 z 轴负向, 大小和形状与 k 无关, 但是顶点随着 |k| 的增加而 上升, 且顶点坐标为 (k, 0, k2/2a2),?2 z ? x / a 因此在抛 物线 ? ?y ? 022上.上页下页结束空间曲面小结?2 z ? ? y 2 / a 2 因而整个曲面也可看作是抛物线 ? ?x ? 0 2 2 ? 2 z ? x / a 上的路线进行 沿着顶点在抛物线 ? ?y ? 0 平行移动的轨迹.上页下页结束空间曲面小结直纹二次曲面 ? 类型 所有二次柱面 所有二次锥面 单叶双曲面 双曲抛物面? 特点 二次柱面: 所有直母线都平行于一个固定向量. 二次锥面: 所有直母线都过同一个点.上页 下页 结束空间曲面小结双曲抛物面: 恰有两族直母线 ?x y ?x y ? ?c ? ?c ?a b ?a b ? lc : ? , lc : ? , c ? R, x y x y ? c( ? ) ? 2 z ? c( ? ) ? 2 z ? a b ? a b 方向向量分别为: uc (a, b, c), uc? (a, ?b, c), 有如下特征性质: 同族的直母线都平行于同一张平面; 同族的两条不同直母线一定异面; 异族的直母线一定相交.上页 下页 结束空间曲面小结单叶双曲面: 恰有两族直母线 y ? x z ? s( a ? c ) ? t (1 ? b ) ls :t : ? , x z y ?t ( ? ) ? s(1 ? ) ? a c b y ? x z s( ? ) ? t (1 ? ) ? a c b l s?: t : ? x z y ?t ( ? ) ? s(1 ? ) ? a c b 其中 s, t 不全为零.上页 下页 结束空间曲面小结方向向量可分别取为:us : t ? ( a(t 2 ? s 2 ), bst , c( s 2 ? t 2 )),u? : t ? ( a(t 2 ? s 2 ), ? bst , c( s 2 ? t 2 )), s有如下特征性质:同族的任何三条不同的直母线都不平行于 同一张平面; 同族的两条不同直母线一定异面; 异族的直母线一定共面.上页 下页 结束典型例题例1 设两定点A, B的距离为a, 求到两定点距离 之比为常数m的点的轨迹的方程. 解: 以A为原点, A, B所在直线为x轴建立直角 坐标系, 则 A(0, 0, 0), B(a, 0, 0) . 设轨迹上任一点 P(x, y, z), 则 |PA| : |PB| = m, 2 2 2 2 2 2 x ? y ? z ? m ( x ? a) ? y ? z , 即 整理得 (m2 ?1)(x2 + y2 + z2) ? 2m2ax + m2a2 = 0 . 当m = 1, 轨迹方程为x = a/2, 这是平面; 当m ? 1, 轨迹方程为 m2a 2 ma 2 这是球面. 2 2 (x ? 2 ) ? y ? z ? ( 2 ) , m ?1 m ?1上页 下页结束典型例题例2 求过A(a, 0, 0), B(0, b, 0), C(0, 0, c)三点的 圆的方程 (a, b, c ? 0). 解: 这圆可看作是过A, B, C三点的平面? 和过A, B, C及任一与这三点不共面的点的球面S 的交线. x y z 显然? 的方程为 ? ? ? 1. a b c 设球面方程为 x2 + y2 + z2 + Dx + Ey + Fz + G = 0; 把原点O 及A, B, C 的坐标代入方程, 得上页 下页 结束典型例题?G ? 0 ?D ? ?a ? a 2 ? Da ? G ? 0 ? E ? ?b ? , ? ? , ? 2 F ? ?c b ? Eb ? G ? 0 ? 2 ? ?c ? Fc ? G ? 0 ?G ? 0 ? 故球面S : x2 + y2 + z2 ? ax ? by ? cz = 0, ?x y z ? ? ? ?1 . 从而圆的方程为 ? a b c ? x 2 ? y 2 ? z 2 ? ax ? by ? cz ? 0 ? 注: 求过已知点的球面方程的两种方法:(1) 求出球心和半径, 再写出方程; (2) 设球面一般方程, 再求待定系数.上页 下页 结束典型例题例3 已知空间中圆 2 2 2 ?x ? y ? z ? 7 C: ? 2 x ? y 2 ? z 2 ? x ? 2 y ? 3z ? 9 ? 0 ? (1) 求这圆的圆心坐标和半径; (2) 求过这圆且与平面? : 4x + 3y ? 15 = 0相切的 球面方程. 解: (1) 两方程相减得: x + 2y + 3z? 2 = 0,故已知圆是 球面S1: x2 + y2 + z2 = 7 和 平面?1: x + 2y + 3z? 2 = 0的交线.上页 下页 结束典型例题球面S1半径 R1 ? 7 , 球心O到?1的距离为 | ?2 | 14 d? ? , 1? 4 ? 9 7 47 2 2 . 故所求圆C 的半径为 r ? R1 ? d ? 7 x y z 过S1的球心且垂直于?1的直线 l : ? ? , 1 2 3 1 2 3 它与平面?1的交点 ( , , ) 即为圆心. 7 7 7上页 下页 结束典型例题(2) 由于两球面相交时, 球心连线垂直于交线圆所 在的平面, 而所求球面S与S1的交线就是已知圆C, 故所求球面S的球心M 必在过球面S1的球心且垂 直于?1的直线l 上, 所以可设M (t, 2t, 3t), M 到?1的距离就是球面S的半径 R, 而R ? d12 ? r 2 , 其中d1是M 到? 的距离, r是(1)中圆C的半径, 于是 | 4t ? 3 ? 2t ? 15 | | t ? 2 ? 2t ? 3 ? 3t ? 2 | 2 47 ? ( ) ? 5 14 7上页 下页 结束典型例题解得 t = ?1 或 t = 1/5 , 即所求球面S 的 球心 (?1, ?2, ?3), 半径 5, 1 2 3 13 或 球心 ( , , ) , 半径 , 5 5 5 5 因此所求球面S 的方程为 (x +1)2 + (y +2)2 + (z +3)2 = 25 ,12 2 2 3 2 169 (x ? ) ? ( y ? ) ? (z ? ) ? . 5 5 5 25上页 下页 结束典型例题例4 说明下列方程表示什么旋转曲面, 并指出 它们是怎样产生的: (1) 2x2 + y2 + z2 = R2; (2) (x2 + y2 + z2 + 3)2 ? 16(x2 + y2) = 0; 解: (1) 方程可改写成 2 x 2 ? ( y 2 ? z 2 )2 ? R 2 , 故这是一个旋转面, 2 2 2 ?2 x ? y ? R 是由xOy面上曲线 ? 绕x轴旋转产生的; ?z ? 0 2 2 2 或由xOz面上曲线 ? 2 x ? z ? R 绕x轴旋转产生的. ? ?y ? 0上页 下页 结束典型例题(2) 方程可改写成 [( x 2 ? y 2 )2 ? z 2 ? 3]2 ? 16( x 2 ? y 2 )2 ? 0, 故这是一个旋转面, 是由yOz面上曲线 2 2 2 2 ?( y ? z ? 3) ? 16 y ? 0 ? ?x ? 0 绕z轴旋转产生的, 这曲线是关于z轴对称的两个圆 2 2 2 2 ?( y ? 2 ) ? z ? 1 ?( y ? 2 ) ? z ? 1 C1 : ? , C2 : ? ?x ? 0 ?x ? 0 故旋转面可看成是由圆C1或圆C2 绕z轴旋转产生 的, 这两个圆与z轴相离, 故曲面为圆环面.上页 下页 结束典型例题例5 证明曲面 S: x2 + y2 + z2 ? 2a( yz + zx + xy) = b2 是旋转面 (a & 0, b & 0) . 分析: 观察方程可知, 若点(x0, y0, z0) ? S, 则(?x0, ?y0, ?z0) ? S, 即曲面关于原点中心对称. 故旋转轴必过原点, 纬圆必在以原点为球心的球 面上, 从而以原点为球心的球面与S的交线是纬圆. 考虑球面x2 + y2 + z2 = R2与曲面的交线 2 2 2 2 (1) ?x ? y ? z ? R ? 2 2 2 2 , (2) ? x ? y ? z ? 2a( yz ? zx ? xy ) ? b上页 下页 结束典型例题(1)?(2) 得: (3) 2a( yz + zx + xy) = R2 ? b2, 2 2 1 (1) ? (3) 得: （x ? y ? z ) 2 ? (1 ? a ) R ? b , a a 2 2 2 2 ?x ? y ? z ? R ? 2 2 故交线是 ? (1 ? a ) R ? b , ?x ? y ? z ? ? ? a 这是一族圆, 圆心在直线 l: x = y = z 上, 这些圆所 在平面互相平行, 都垂直于 l. 曲面由这族圆生成, 故是以 l 为轴的旋转面.上页 下页 结束典型例题例6 求与两个球面 x2 + y2 + z2 = 9, (x ?6)2 + y2 + z2 = 1 都相切的圆锥面的方程. 解: 两球心都在 x 轴上, 故圆锥面的轴在 x 轴上, 考虑在 xOz 面上的截面(如图): 容易求出顶点为 M1(9, 0, 0) z 或 M2(9/2, 0, 0) , 半顶角? ?2 ?1 满足 x M2 M1 8 5 cos ?1 ? 或 cos ? 2 ? . 3 3上页 下页 结束典型例题设圆锥面上任一点 M(x, y, z) , 有方程 ( x ? 9, y , z ) ? (1,0,0) 8 ? 2 2 2 3 1 ? ( x ? 9) ? y ? z 或 9 ( x ? , y , z ) ? (1,0,0) 5 2 ? 9 2 3 2 2 1? ( x ? ) ? y ? z 2 即 (x ? 9)2 ? 8y2 ? 8z2 = 0 或 2 9? ? 2 2 4? x ? ? ? 5 y ? 5 z ? 0. 2? ?上页 下页 结束典型例题例7 过x轴和y轴分别作动平面, 使它们交角为 定角? , 求它们的交线产生的曲面方程, 并指出 是什么曲面. 解: 由于动平面都过原点, 故其交线必过原点, 从而所求曲面必为以原点为顶点的锥面. 如图, 设交线上任一点M (x, y, z) , 则两个动平面 z 的法向量分别是 n1 = OM ? e1 = (0, z, ?y) ,Me2 e1 On2 = OM ? e2 = (?z, 0, x) ,y下页 结束x上页典型例题由题设, | n1 ? n2 | ? | n1 | ? | n2 | 化简得锥面方程| ? xy | ? cos ? , 2 2 2 2 y ?z x ?z(y2 + z2) (x2 + z2 ) cos2? = x2y2,即 (x2 + y2 + z2 ) z2 = x2y2 tan2? .上页下页结束典型例题x y z 例8 已知单叶双曲面 2 ? 2 ? 2 ? 1 ( a ? b) , a b c 求过原点的平面, 使与曲面交线C是一个圆.解: 由于单叶双曲面关于原点对称, 故交线圆C 的圆心必为原点. 设圆的半径为R, 则C 必在球面 x2 + y2 + z2 = R2 上, C 的方程为 2 2 2 y z ?x (1) ? 2 ? 2 ?1 ?a2 b c ? 2 2 2 ?x ? y ? z ?1 (2) 2 2 2 ?R R R上页 下页 结束222典型例题又C 应为所求平面与球面的交线, (2) ? (1) 得 1 1 2 1 1 2 1 1 2 ( 2 ? 2 ) x ? ( 2 ? 2 ) y ? ( 2 ? 2 ) z ? 0. (3) R a R b R c 这是二次锥面, 它应退化为两个过原点的平面, 也 即应可分解为两个一次方程的乘积, 设(3)可化为 (a1x + a2y + a3z) (b1x + b2y + b3z) = 0, 即 a1b1x2 + a2b2y2 + a3b3z2 + (a1b2 + a2b1)xy + (a1b3 + a3b1)xz + (a2b3 + a3b2)yz = 0,上页(4)下页结束典型例题比较(3), (4) 可得, a1 = b1 = 0, 从而 R = a . 于是 (3) 成为 1 1 2 1 1 2 ( 2 ? 2 ) y ? ( 2 ? 2 ) z ? 0. a b a c 1 1 2 1 1 2 ( 2 ? 2 ) y ? ( 2 ? 2 ) z ? 0. 即 b a a c 故所求平面为a ?b a ?c y? z ? 0. b c2 2 2 2上页 下页 结束典型例题例9 已知椭圆抛物面 ax2 + by2 = 2z (a & b & 0), 求过原点的平面, 使与曲面交线C是一个圆, 并 求圆的半径. 解: 设平面方程为 lx + my + nz = 0, 显然n ? 0. 交线C 应为这平面与一球面的交线, 把平面方程 改写成 n2z2 = (lx + my)2 与曲面方程相加得 (a ? l2) x2 + (b ? m2) y2 + n2z2 ? 2lmxy ?2z = 0, 要使它成为球面, 必须 2 2 2 ?a ? l ? b ? m ? n , ? ?lm ? 0上页 下页 结束典型例题如果 l = 0, 则 a = b ? m2 ? b, 与题设矛盾. 故可解 得 m = 0, n ? ? b , l ? a ? b , 故所求平面为 a ? bx ? bz ? 0. 这时, 球面方程为 x 2 ? y 2 ? ( z ? 1 ) 2 ? 1 , 2 b b 1 球心到平面的距离 b? b ? 1 , d? a?b?b ab 2 故圆的半径为 1 1 a ? ab r? 2? ? . b ab ab上页 下页 结束典型例题例10 设两条异面直线距离为2a, 夹角为2?, 过 这两条直线作两个互相垂直的平面, 求它们的交 线所产生的曲面的方程. 解: 以两直线的公垂线为 z 轴, 夹在两异面直线 之间的公垂线段的中点为原点, 夹角的平分线为 x 轴, 建立右手直角坐标系, 设两直线的方程为 x y z?a l1 : ? ? , cos ? ? sin ? 0 x y z?a l2 : ? ? . cos ? sin ? 0上页 下页 结束典型例题解法一: l1 与 l2 的一般方程分别为 ? x sin ? ? y cos ? ? 0 ? x sin ? ? y cos ? ? 0 ? ? ?z ? a ? 0 ?z ? a ? 0 过 l1 的平面方程可设为 xsin? + ycos? + u(z + a) = 0, 过 l2 的平面方程可设为 xsin? ? ycos? + v(z ? a) = 0, 由两平面垂直得 (sin?, cos?, u)?(sin?, ?cos?, v) = sin2? ? cos2? + uv = 0上页 下页 结束典型例题cos 2? v? . u 于是所求动直线的含参一般方程为 ? x sin ? ? y cos ? ? u( z ? a ) ? 0 ? ? cos 2? ? x sin ? ? y cos ? ? u ( z ? a ) ? 0. ? 消去参数 u 得所求曲面方程为 2 2 2 2 2 2 x sin ? ? y cos ? ? cos 2? ( z ? a ) ? 0.得上页下页结束典型例题解法二: 设轨迹上任一点的坐标为 M(x, y, z), 则过 l1 的平面的法向量为 (cos?, ?sin?, 0) ? (x, y, z+a) = (?(z+a)sin?, ?(z+a)cos?, ycos? + xsin?) 过 l2 的平面的法向量为 (cos?, sin?, 0) ? (x, y, z?a) = ( (z?a)sin?, ?(z?a)cos?, ycos? ?xsin?) 由上述两向量垂直, 可得所求曲面方程为 2 2 2 2 2 2 x sin ? ? y cos ? ? cos 2? ( z ? a ) ? 0.上页 下页 结束典型例题(1) 当 l1//l2 时, ? = 0, 方程变为 y 2 + z2 = a 2 ----- 圆柱面 (2) 当 l1 ? l2 时, ? = ?/4, 方程变为 x2 = y2 ----- 一对互相垂直的平面 (3) 当 l1 与 l2 相交但不垂直时, a = 0, 方程变为 x 2 sin 2 ? ? y 2 cos 2 ? ? cos 2? z 2 ? 0 ----- 锥面, 但不是圆锥面 (4) 当 l1 与 l2 异面但不垂直时, 方程变为 2 2 2z ? 2 ? 2 ? 2 ? 1. 2 2 a csc ? cos 2? a sec ? cos 2? a sec 2? x y----- 单叶双曲面上页下页结束典型例题P101. 16. 证明在空间仿射坐标系中, 方程为 f (s, t) = 0的图像是柱面, 其中 s = a1x + b1y + c1z, t = a2x + b2y + c2z , 且 a1 : b1 : c1 ? a2 : b2 : c2 . 分析: 根据柱面的定义, 要证某个方程的图像 是柱面, 只要说明过该图像(曲面) 上的任一点 都有一个固定方向的直线完全在曲面上即可. 证明: 设 f (s, t) = 0的图像是曲面S, 且 M0(x0, y0, z0) 在S上,上页 下页 结束典型例题则 f ( a1x0 + b1y0 + c1z0, a2x0 + b2y0 + c2z0) = 0, 取定向量u(k, m, n) // 向量 (a1, b1, c1) ? (a2, b2, c2), 过 M0(x0, y0, z0), 方向为u(k, m, n) 的直线方程为 ? x ? x0 ? tk ? ? y ? y0 ? tm , ?? & t & +?. ? z ? z0 ? tn ? 而 u(k, m, n) // (a1, b1, c1) ? (a2, b2, c2), ka1 + mb1 + nc1 = 0 ? ka2 + mb2 + nc2 = 0上页 下页 结束典型例题? f (a1x0 + b1y0 + c1z0 + t (ka1 + mb1 + nc1), a2x0 + b2y0 + c2z0 + t (ka2 + mb2 + nc2)) = 0, 对于任意 t 都成立 ? f (a1(x0+tk) + b1(y0+tm) + c1(z0+tn), a2(x0+tk) + b2(y0+tm) + c2 (z0+tn) ) = 0 对于任意 t 都成立 ? 该直线在曲面S 上 于是, 过曲面S 上的任一点M0(x0, y0, z0), 方向为 (a1, b1, c1) ? (a2, b2, c2) 的直线完全在曲面上. 因而方程为 f (s, t) = 0的图像是柱面.上页 下页 结束典型例题P121. 11. 在空间直角坐标系中, 给出两条异面 直线: l1 过点M1(1, ?3, 5), 平行于u1(1, 0, 1); l2 过点M2(0, 2, ?1), 平行于u2(?1, 2, 0), 设S 是所有 与l1正交, 与l2共面的直线的轨迹, 求S 的方程并 指出S是什么曲面. 解法一: 求动直线一般方程. Pt (1+t, ?3, 5+t).上页 下页 结束设动直线lt 上任一点M(x, y, z), 它与l1的交点设为典型例题动直线lt 必在过Pt , 且垂直于u1 的平面 ?t 上,?t 的方程为:(x?(1+t) + (z ?(5+t)) = 0,(1) 即 x + z ?6 ? 2t = 0; 动直线lt 也在过Pt 和 l2 的平面 ?t* 上, x y?2 z ?1 ?t*的方程为: ? 1 2 0 ? 0,1? t ? 3 ? 2 5 ? t ?1即 (2x+y?2 ) (6+t) + (3?2t )(z +1) = 0; (2)上页 下页 结束典型例题x? z?6 由(1) 得 t ? , 代入(2) 得 2 x? z?6 ( 2 x ? y ? 2)(6 ? ) ? (3 ? ( x ? z ? 6))( z ? 1) ? 0, 2 即 (2x+y?2) (x+z+6) = 2(x+z?9 )(z +1)故所求曲面方程为 2x2 ? 2z2 + xy + yz + 8x + 6y + 14z + 6 = 0 . 即 (x+z) (2x?2z+y+8) = ?6(y+z +1) 为马鞍面.上页 下页 结束典型例题解法二: 求动直线标准方程. 设动直线lt 与l1的交点为 Pt (1+t, ?3, 5+t). 由题意可知动直线lt 与l2必相交, 设交点为 Qs (?s, 2+ 2s, ?1). 则动直线 lt // Pt Qs, 从而垂直于向量u1 , 于是 1+t + s +6 + t = 0, ? s = ?7? 2t, 从而 Qs (7+2t, ?12 ?4t, ?1), Pt Qs (6+t, ?9 ?4t, ? (6+t)),上页 下页 结束典型例题因此动直线的含单参数 t 的标准方程为 x ? (1 ? t ) y?3 z ? (5 ? t ) ? ? , 6?t ? (9 ? 4t ) ? (6 ? t ) x? z?6 由第三个等式 得 t ? , 代入第一个等式得 2 ( y ? 3)( x ? z ? 6) ? ( x ? z ? 4)( 2 x ? 2 z ? 3) ? 0, 故所求曲面方程为 2x2 ? 2z2 + xy + yz + 8x + 6y + 14z + 6 = 0 . 为马鞍面.上页 下页 结束课外练习? x ? a cos t ? y ? a sin 2 t 1. 证明参数方程 ? ? z ? 2a sin t cos t ? 表示一个圆. 并求圆心坐标和半径. 提示与答案: 圆一定可以写成球面与平面的交线, 易得平面 x + y = a 及球面 x2 + y2 + z2 = a2. a ?a a ? R? ,圆心： , ,0 ?. ? 2 ?2 2 ?2上页下页结束课外练习? x2 ? y2 ? z 2 ? 4 和 2. 求证两个圆 ? ?z ? 0 2 2 2 ? x ? y ? z ? 2x ? y ? 2 ? 0 ? ?x ? y ? z ? 1 ? 0 在同一个球面上. 并求这个球面的方程. 提示与答案: 球面上的圆的圆心和球心的连线必 垂直于圆所在平面, 故所求球心是 z 轴和直线 x ? 1 = y ? 1 = z 的交点 (0, 0, ?1).x2 + y2 + (z +1)2 = 5.上页 下页 结束课外练习? x ? a(cos u ? cos v ) ? 3. 求证曲面 ? y ? a(sin u ? sin v ) ( ab ? 0) ? z ? b(u ? v ) ? 是旋转曲面. z 2 2 2 2 提示与答案: 消去参数得 x ? y ? 2a ? 2a cos , b z ? 2 2 2 ? x ? 2a ? 2a cos 是曲线 ? b 绕 z 轴旋转而得的 ?y ? 0 曲面. ?上页下页结束课外练习4. 求外切于两个球面 x2 + y2 + z2 = 4和 x2 + (y?2)2 + (z?1)2 = 4 的圆柱面方程. 提示与答案: 利用圆柱面的几何特征: 圆柱面上 任一点到轴的距离都等于半径. 可以先求轴的方 程和半径, 再求圆柱面的方程.5x2 + y2 + 4z2 ? 4yz ? 20 = 0.上页下页结束课外练习5. 已知球面 (x ? 4)2 + y2 + (z ? 2)2 =4, 以球心为 顶点, 球面与平面 2x + z ? 6 = 0的交线为准线作 一圆锥面. (1) 求圆锥面的方程; (2) 求圆锥面与 xOy 面的交线方程; (3) 求圆锥面与 yOz 面的交线方程; (4) 若把平面改为 2x + z ? 8 = 0, 求所得圆锥 面与 xOy 面的交线方程; (5) 思考: (2)(3)(4) 分别是什么曲线? 注意它 们都是圆锥面与平面的交线.上页 下页 结束课外练习提示与答案: 圆锥面的轴是球心到平面的垂线, 半顶角 ? 满足 cos? = d/R, 其中 d 是球心到平面 的距离, R 是球的半径. (1) 4y2 + 3z2 ? 4xz + 8x + 4z ? 20 = 0; ?x ? 0 ?z ? 0 ? ? 5 (3) ?12 y 2 ? 9(z ? 2 ) 2 ? 64 (2) ? 2 ? ? y ? ?2( x ? 2 ) ? 3 ? ?z ? 0 ? (4) ? 16 2 (5) 抛物线, 椭圆, 双曲线. 2 ?9( x ? 3 ) ? 3 y ? 16 ?上页 下页 结束课外练习6. 证明在空间仿射坐标系中, 方程 (x + y ) (y + z) = x + 2y + z 表示一个柱面, 并求其母线的方向向量. 提示与答案: 求出直母线族, 说明所有直母线的 方向都平行于一个固定向量.上页下页结束课外练习7. 已知两条异面直线距离为2a, 夹角为2?, 动点 M 到这两条异面直线距离平方和为常数 2b2(b & a), 求动点的轨迹. 提示与答案: 以两直线的公垂线为 z 轴, 夹在两 异面直线之间的公垂线段的中点为原点, 夹角的 平分线为x 轴, 建立右手直角坐标系. x 2 sin 2 ? ? y 2 cos 2 ? ? z 2 ? b 2 ? a 2 .上页下页结束课外练习y ? 2 z 和平面 x = kz 8. 已知椭圆抛物面 x ? 2 的交线是一个圆, 求 k 的值及圆的半径. 提示与答案: 把 x2 = k2z2 乘以待定系数 c 再与曲 面方程相加, 得球面 1 2 2 2 2 (1 ? c ) x ? y ? ck z ? 2 z , 2 1 1 2 故 1 ? c ? ? ? ck , 得 c ? ? 2 , k ? ?1. 2 2 2 2 ? x ? y ? ( z ? 2) ? 4 得半径 R ? 2. 交线为 ? ?x ? ? z2上页 下页 结束2课外练习9. 画出由不等式组 0 ? x ? 1, 0 ? y ? 1 ? x , 0? z ? x2 + y2 所围区域的简图.上页下页结束课外练习10. 在空间直角坐标系中, 给出两条异面直线: l1: 过点 M1(1, ?3, 5), 平行于向量 u1(1, 0, 1); l2: 过点 M2(0, 2, ?1), 平行于向量 u1(?1, 2, 0), 设 ? 是所有与 l1 正交, 与 l2 共面的直线的轨迹. (1) 求 ? 的方程; (2) ? 是什么曲面?(说出理由)2x2 ? 2z2 + xy + yz + 8x + 6y + 14z + 6 = 0 马鞍面上页 下页 结束
实验2 空间曲线曲面图形的绘制_数学_自然科学_专业资料。实验二 空间曲线曲面图形的绘制一、实验目的熟练掌握使用 Mathematica 软件绘制空间曲线曲面图形的方法. 二、...二次曲面标准方程小结_理学_高等教育_教育专区。介绍二次曲面的几种标准方程二次曲面标准方程小结 序号 1 标准方程 曲面名称 椭球面 x2 y2 z2 + + =1 a2 ...重点难点 课型 1、 多面体的几何特征及它们的体积和表面积计算; 2、 掌握空间...(4)圆柱:定义:以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围...2.1.3.5空间几何体复习小结(1)-【理教案】_高一数学_数学_高中教育_教育...其余三边旋转 形成的曲面围成的几何体; ④以半圆所在直径为旋转轴, 半圆旋转...2-2-从点云构建曲面_计算机软件及应用_IT/计算机_专业资料。实专业 姓名 实验...写出操作步骤。黏贴主要步骤的截图。 四、实验小结 五、教师批阅 ...4页 1下载券 2空间曲面小结 77页 1下载券喜欢此文档的还喜欢 ...课程小结 经过几个星期的调研、设计、画草稿、改草稿,我们的城市广场模型终于 ...所以这种 方法不常用 总结: (平面曲线)直接计算和格林公式都很常用; (空间曲线...点评:当曲面封闭或加上简单曲面就封闭时,高斯公式是最好用的方法 方法 2:由...由于它们的交线为 x 2 + y 2 = 1 ,故相应的曲面部分的参数方程为: z ...教学总结精品范文 小学五年级英语教学工作总结 大学教师个人工作总结 小学英语教学...10 三维空间中二次方程与二次曲面_理学_高等教育_教育专区。三维空间中二次...3.小结:任何一个二次方程通过正交变换可以化成五种标准方程之一: (一) ?1z...2.曲面的切平面与法线 给定曲面 ∑ 的方程 F ( x , y, z ) = 0 , ...= l x y z 2 . 设函数 u = f ( x , y, z ) 在空间区域 G 内...
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