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积分：20750求一个定积分(1-cos(x))^(3/2),在x从0到2派的定积分,只要求过程.谢谢.
风记社六团vhz
利用倍角公式1-cosx=2（sinx/2）^2然后不是三次方么,其中的平方写成1-cos平方另一个凑微分变成dcos
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2015年 知识清单(第4题)
利用定积分的几何意义求:
【正确答案】
【原题答案】
(1)被积函数的曲线是圆心在原点,半径为 的半圆周,由定积分的几何意义知此定积分计算的是半圆的面积,所以有 ．
(2)∵被积函数为 ,其表示的曲线为以原点为圆心,
为半径的四分之一的圆,由定积分的几何意义可知,所求的定积分即为该四分之一圆的面积,
相关知识点查看: 3621|回复: 10|关注: 2
如何求解这样一个复杂的三重积分？
<h1 style="color:# 麦片财富积分
新手, 积分 12, 距离下一级还需 38 积分
关注者： 1
本帖最后由 苦逼青年 于
19:54 编辑
如图片所示，需要求解这样一个三重积分，积分变量从最外层到最内层分别为r,y,theta,其他参数均已给定。之前尝试过如下几种方法都不行：1. 利用int函数求解，由于最内层的积分上下限很复杂，包含三角函数和最外层的积分变量r,matlab求不出解析解，从而不能获得最终结果。
2. 利用定积分函数，定积分函数要求积分变量的上下限均为已知，在这里显然不适用。
3. 最后，我采用了一种近似的方法： 对于最内层的函数，分别先给定一个r和theta，然后利用quadl函数求解。
用第三种方法可以求解结果，但是发现跟想象中的差很多，不知道是不是理解不对，求大神帮忙看看哪里有问题，或者是否有更好的方法。不甚感激。程序代码如下：
function x = Pds_exact()
a&&= 2.548*10^(-5);
f = @(r) (exp(- a.*KK(r)));
x = quadl(f, 0, 200);
function [kk] = KK(r)
alpha = 4;
ls = 200;
c = 40;
n = length(r);
kk = zeros(1,n);
for i = 1:1:n
& & h = @(y) (y./(1+c.*(y./r(i)).^alpha));
& & for theta = 0:pi/100:pi
& && &&&a = quad(h, sqrt(ls.^2-(r(i).*sin(theta)).^2)+r(i).*cos(theta), ls + r(i));
& && &&&kk(i) = a + kk(i);
& & end
end
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你可以将内部二重积分先单独计算，可以用 quad2d 或 integral2 函数，但这个积分结果你必须定义为关于 r 的向量化函数（用arrayfun对 r 做向量化扩展），将这个二重积分结果再对 r 做一重积分即可。注意一点是：你这里全部是数值计算，没有任何符号计算，所以，不要再出现syms 跟数值计算混合的现象了
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关注者： 1
本帖最后由 苦逼青年 于
10:24 编辑
你可以将内部二重积分先单独计算，可以用 quad2d 或 integral2 函数，但这个积分结果你必须定义为关于 r 的 ...
刘老师，您好！多谢您的回复。昨天看了您的介绍，很庆幸跟您是校友，我也是西电通院的，最近在读博士。由于对MATLAB中的积分运算用的不多，所以感觉很棘手。根据刘老师的回答，我对代码进行了修改。但是下面不知道应该如何使用arrayfun函数，因为这里我的r的范围是[0，INF]，不知道如何量化？不知老师能否将代码帮我补充一下？万分感激！最近在赶一篇论文，在这里磕了一周多了。
alpha = 4;
fun = @(theta,y) y./(1+c.*(y./r).^alpha);
ymin = @(theta) sqrt(ls.^2-(r.*sin(theta)).^2) + r.*cos(theta);
Q = quad2d(fun,0,2*pi,ymin,ls+r);
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|此回复为最佳答案
刘老师，您好！多谢您的回复。昨天看了您的介绍，很庆幸跟您是校友，我也是西电通院的，最近在读博士。由 ...
你的代码基本上差不多了，就差arrayfun扩展了
alpha = 4;
a&&= 2.548*10^(-5);
fun = @(theta,y,r) y./(1+c.*(y./r).^alpha);
ymin = @(theta,r) sqrt(ls.^2-(r.*sin(theta)).^2) + r.*cos(theta);
Q = @(r) arrayfun(@(r) integral2(@(theta,y) fun(theta,y,r),0,2*pi,@(theta) ymin(theta,r), ls+r),r);
A = quadl(@(r) exp(-a*Q(r)), 0, ls)
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你的代码基本上差不多了，就差arrayfun扩展了
刘老师，太感谢了。这次可以成功运行了。解决了困扰我好多天的难题了，雪中送炭啊。我会根据您写的例子将arrayfun函数的用法好好学习下。 祝刘老师工作顺利，家庭幸福。
另外我运行了一下，由于我的是R2011a版本，还不支持integral2函数，所以我使用了quad2d，但是弹出了如下警告！ 这是怎么回事呢？
Warning: Reached the maximum number of
function evaluations (2000). The result fails
the global error test.
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刘老师，太感谢了。这次可以成功运行了。解决了困扰我好多天的难题了，雪中送炭啊。我会根据您写的例子将 ...
这个是一个警告，matlab数值积分quad2d是自适应积分，当积分精度不达标时，会取更多的点来计算。当取点数超过一定的MaxFunEvals，就会提示警告信息。默认的 MaxFunEvals 是2000，你可以自行设置大一些的 MaxFunEvals数值，以允许更多的计算。方法是：
Q = @(r) arrayfun(@(r) quad2d(@(theta,y) fun(theta,y,r),0,2*pi,@(theta) ymin(theta,r), ls+r, 'MaxFunEvals', 20000),r);
不过，我试了一下，改大后依然提示警告。但是警告不是错误，未必代表结果不对，这里的积分是否精确，取决于误差是多少，由于quadl不能返回误差估计，我换成了quadgk函数：
alpha = 4;
a&&= 2.548*10^(-5);
fun = @(theta,y,r) y./(1+c.*(y./r).^alpha);
ymin = @(theta,r) sqrt(ls.^2-(r.*sin(theta)).^2) + r.*cos(theta);
Q = @(r) arrayfun(@(r) quad2d(@(theta,y) fun(theta,y,r),0,2*pi,@(theta) ymin(theta,r), ls+r),r);
[A,errbnd] = quadgk(@(r) exp(-a*Q(r)), 0, ls)
&&187.2123
& &1.2054e-09
尽管此时会有警告，可以看出，误差在10的负9次方数量级，这个精度应该是满足要求的
另外，你的版本如果是不低于2012a的话，可以用integral2、integral函数
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关注者： 1
这个是一个警告，matlab数值积分quad2d是自适应积分，当积分精度不达标时，会取更多的点来计算。当取点数 ...
刘老师回答得很细致，这个误差已经很小了，完全够用了，又学了一招。多谢刘老师。我还是装一个最新版的matlab，这样很多最新的函数就都可以用了。
另外一个问题，我发现我的matlab中注释只能写英文，如果用中文，下次打开时会乱码。不知道刘老师有没有遇到过这种情况？
再次感谢。
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刘老师回答得很细致，这个误差已经很小了，完全够用了，又学了一招。多谢刘老师。我还是装一个最新版的ma ...
你检查一下你preferences设置里关于fonts部分
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本帖最后由 苦逼青年 于
15:19 编辑
你检查一下你preferences设置里关于fonts部分
刘老师，我又对上个帖子进行了修改，发现原因是两个函数句柄之间不能进行加减乘除的操作。如果需要先对两个函数进行四则运算，最后再对变量求积分，该如何操作？代码和错误提示如下：
alpha = 4;
a&&= 2.548*10^(-5);
C_ds = 6.0*10^(-5);
lamda_d = 1.27*10^(-5);
beta = 0.025*(r/(200+r))^
fun1 = @(u,r) beta^(2/alpha)/(1+u^(alpha/2));
xmin = @(r) beta^(-2/alpha);
P = @(r) arrayfun(@(r) quad(@(u) fun1(u,r),@(r) xmin(r),inf),r);
fun = @(theta,y,r) y./(1+c.*(y./r).^alpha);
ymin = @(theta,r) sqrt(ls.^2-(r.*sin(theta)).^2) + r.*cos(theta);
Q = @(r) arrayfun(@(r) quad2d(@(theta,y) fun(theta,y,r),0,2*pi,@(theta) ymin(theta,r), ls+r),r);
[A,errbnd] = quadgk(@(r) (C_ds.*r.*exp(-pi.*lamda_d.*(ls + r).^2.*P(r) - 0.9*10^(-6) - a.*Q(r))), 0, ls);
错误提示如下：
??? Undefined function or
method 'minus' for input
arguments of type
'function_handle'.
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刘老师，我又对上个帖子进行了修改，发现原因是两个函数句柄之间不能进行加减乘除的操作。如果需要先对两 ...
只是帮你做了语法上的修改，另外，需要说明的是quad不支持积分限为无穷，考虑到你的版本，可以换成 quadgk
alpha = 4;
a&&= 2.548*10^(-5);
C_ds = 6.0*10^(-5);
lamda_d = 1.27*10^(-5);
beta = @(r) 0.025*(r./(200+r)).^
fun1 = @(u,r) beta(r).^(2/alpha)./(1+u.^(alpha/2));
xmin = @(r) beta(r).^(-2/alpha);
P = @(r) arrayfun(@(r) quadgk(@(u) fun1(u,r), xmin(r),inf),r);
fun = @(theta,y,r) y./(1+c.*(y./r).^alpha);
ymin = @(theta,r) sqrt(ls.^2-(r.*sin(theta)).^2) + r.*cos(theta);
Q = @(r) arrayfun(@(r) quad2d(@(theta,y) fun(theta,y,r),0,2*pi,@(theta) ymin(theta,r), ls+r),r);
[A,errbnd] = quadgk(@(r) (C_ds.*r.*exp(-pi.*lamda_d.*(ls + r).^2.*P(r) - 0.9*10^(-6) - a.*Q(r))), 0, ls);
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