（2010o南京）如图，正方形ABCD的边长是2，M是AD的中点，点E从点A出发，沿AB运动到点B停止，连接EM并延长交射线CD于点F，过M作EF的垂线交射线BC于点G，连接EG、FG．
（1）设AE=x时，△EGF的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）P是MG的中点，请直接写出点P的运动路线的长．
（1）①E、A重合时，三角形EFG的底和高都等于正方形的边长，由此可得到其面积；
②E、A不重合时；易证得△AEM≌△DFM，则EM=FM，由勾股定理易求得EM的长，即可得出EF的长；下面求MG的长，过M作MN⊥BC于N，则AB=MN=2AM，由于∠AME和∠NMC同为∠EMN的余角，由此可证得△AEM∽△NCM，根据相似三角形得到的关于AM、MN、EM、MC的比例关系式，即可求得MC的表达式，进而可由三角形的面积公式求出y、x的函数关系式；
（2）可分别作出E、A重合和E、B重合时P点的位置（即P为A与E重合时得到的对应点，P′为E与B重合时的对应点），此时可发现PP′正好是△EGG′的中位线，则P点运动的距离为GG′的一半；Rt△BMG′中，MG⊥BG′，易证得∠MBG=∠GMG′，根据∠MBG的正切值即可得到GG′、GM（即正方形的边长）的比例关系，由此得解．
解：（1）当点E与点A重合时，x=0，y=×2×2=2
当点E与点A不重合时，0＜x≤2
在正方形ABCD中，∠A=∠ADC=90°
∴∠MDF=90°，∴∠A=∠MDF
∵AM=DM，∠AME=∠DMF
∴△AME≌△DMF
在Rt△AME中，AE=x，AM=1，ME=2+1
∴EF=2ME=22+1
过M作MN⊥BC，垂足为N（如图）
则∠MNG=90°，∠AMN=90°，MN=AB=AD=2AM
∴∠AME+∠EMN=90°
∵∠EMG=90°
∴∠GMN+∠EMN=90°
∴∠AME=∠GMN
∴Rt△AME∽Rt△NMG
∴MG=2ME=22+1
∴y=EF×MG=×22+1
∴y=2x2+2，其中0≤x≤2；（6分）
（2）如图，PP′即为P点运动的距离；
在Rt△BMG′中，MG⊥BG′；
∴∠MBG=∠G′MG=90°-∠BMG；
∴tan∠MBG==2，
∴tan∠GMG′=tan∠MBG==2；
∴GG′=2MG=4；
△MGG′中，P、P′分别是MG、MG′的中点，
∴PP′是△MGG′的中位线；
∴PP′=GG′=2；
即：点P运动路线的长为2．（8分）（1）①D，E②0≤m≤（2）r≥1
【解析】解：（1）①D，E。
②由题意可知，若P要刚好是⊙C的关联点，需要点P到⊙C的两条切线PA和PB之间所夹的角为60°。
由图2可知∠APB=60°，则∠CPB=30°，
连接BC，则，
∴若P点为⊙C的关联点，则需点P到圆心的距离d满足0≤d≤2r。
由（1），考虑临界点位置的P点，
点P到原点的距离OP=2×1=2，
过点O作x轴的垂线OH，垂足为H，
∴∠OGF=60°。
∴OH=OGsin60°=，。
∴∠OPH=60°。可得点P1与点G重合。
过点P2作P2M⊥x轴于点M，可得∠P2OM=30°，
∴OM=OP2cos30°=。
∴若点P为⊙O的关联点，则P点必在线段P1P2上。
∴0≤m≤。
（2）若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，欲使这个圆的半径最小，则这个圆的圆心应在线段EF的中点。
考虑临界情况，如图4，
即恰好E、F点为⊙K的关联时，则KF=2KN=EF=2，此时，r=1。
∴若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，这个圆的半径r的取值范围为r≥1。
（1）①根据关联点的定义，得出E点是⊙O的关联点，进而得出F、D，与⊙O的关系：
如图1所示，过点E作⊙O的切线设切点为R，
∵⊙O的半径为1，∴RO=1。
∵EO=2，∴∠OER=30°。
根据切线长定理得出⊙O的左侧还有一个切点，使得组成的角等于30°。
∴E点是⊙O的关联点。
∵D（，），E（0，－2），F（2，0），
∴OF＞EO，DO＜EO。
∴D点一定是⊙O的关联点，而在⊙O上不可能找到两点使得组成的角度等于60°。故在点D、E、F中，⊙O的关联点是D，E。
②若P要刚好是⊙C的关联点，需要点P到⊙C的两条切线PA和PB之间所夹的角为60°，进而得出PC的长，进而得出点P到圆心的距离d满足0≤d≤2r，再考虑临界点位置的P点，进而得出m的取值范围。
（2）若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，欲使这个圆的半径最小，则这个圆的圆心应在线段EF的中点；再考虑临界情况，即恰好E、F点为⊙K的关联时，则KF=2KN=EF=2，即可得出圆的半径r的取值范围。
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科目：初中数学
（;无锡）对于平面直角坐标系中的任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），我们把|x1-x2|+|y1-y2|叫做P1、P2两点间的直角距离，记作d（P1，P2）．（1）已知O为坐标原点，动点P（x，y）满足d（O，P）=1，请写出x与y之间满足的关系式，并在所给的直角坐标系中画出所有符合条件的点P所组成的图形；（2）设P0（x0，y0）是一定点，Q（x，y）是直线y=ax+b上的动点，我们把d（P0，Q）的最小值叫做P0到直线y=ax+b的直角距离．试求点M（2，1）到直线y=x+2的直角距离．
科目：初中数学
（;燕山区一模）定义：对于平面直角坐标系中的任意线段AB及点P，任取线段AB上一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P到线段AB的距离，记作d（P→AB）．已知O为坐标原点，A（4，0），B（3，3），C（m，n），D（m+4，n）是平面直角坐标系中四点．根据上述定义，解答下列问题：（1）点A到线段OB的距离d（A→OB）=22；（2）已知点G到线段OB的距离d（G→OB）=，且点G的横坐标为1，则点G的纵坐标为10或1+1-或1+．（3）当m的值变化时，点A到动线段CD的距离d&（A→CD）始终为2，线段CD的中点为M．①在图（2）中画出点M随线段CD运动所围成的图形并求出该图形的面积．②点E的坐标为（0，2），m＞0，n＞0，作MH⊥x轴，垂足为H．是否存在m的值，使得以A、M、H为顶点的三角形与△AOE相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
科目：初中数学
（;北京）对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下的定义：若⊙C上存在两个点A、B，使得∠APB=60°，则称P为⊙C的关联点．已知点D（，），E（0，-2），F（2，0）．（1）当⊙O的半径为1时，①在点D、E、F中，⊙O的关联点是D，E．②过点F作直线l交y轴正半轴于点G，使∠GFO=30°，若直线l上的点P（m，n）是⊙O的关联点，求m的取值范围；（2）若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径r的取值范围．
科目：初中数学
（;房县模拟）问题：对于平面直角坐标系中的任意两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），我们把|x1-x2|+|y1-y2|叫做P1、P2两点间的直角距离，记作d（P1，P2）．如：P（-2，3）、Q（2，5）则P、Q两点的直角距离为d（P，Q）=|-2-2|+|3-5|=6请根据根据以上阅读材料，解答下列问题：（1）计算M（-2，7），N（-3，-5）的直角距离d（M，N）=13．（2）已知O为坐标原点，动点P（x，y）满足d（O，P）=1，则x与y之间满足的关系式为|x|+|y|=1．（3）设P0（x0，y0）是一定点，Q（x，y）是直线y=ax+b上的动点，我们把d（P0，Q）的最小值叫做P0到直线y=ax+b的直角距离，试求点M（4，2）到直线y=x+2的直角距离．（2）由题意，得，
所以符合条件的点P组成的图形如图所示；
∵ x可取一切实数，表示数轴上实数x所对应的点到数2和所对应
的点的距离之和，其最小值为3.
………………………………………..
∴ 点到直线的直角距离为3．
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（;无锡）对于平面直角坐标系中的任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），我们把|x1-x2|+|y1-y2|叫做P1、P2两点间的直角距离，记作d（P1，P2）．（1）已知O为坐标原点，动点P（x，y）满足d（O，P）=1，请写出x与y之间满足的关系式，并在所给的直角坐标系中画出所有符合条件的点P所组成的图形；（2）设P0（x0，y0）是一定点，Q（x，y）是直线y=ax+b上的动点，我们把d（P0，Q）的最小值叫做P0到直线y=ax+b的直角距离．试求点M（2，1）到直线y=x+2的直角距离．
科目：初中数学
（;燕山区一模）定义：对于平面直角坐标系中的任意线段AB及点P，任取线段AB上一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P到线段AB的距离，记作d（P→AB）．已知O为坐标原点，A（4，0），B（3，3），C（m，n），D（m+4，n）是平面直角坐标系中四点．根据上述定义，解答下列问题：（1）点A到线段OB的距离d（A→OB）=22；（2）已知点G到线段OB的距离d（G→OB）=，且点G的横坐标为1，则点G的纵坐标为10或1+1-或1+．（3）当m的值变化时，点A到动线段CD的距离d&（A→CD）始终为2，线段CD的中点为M．①在图（2）中画出点M随线段CD运动所围成的图形并求出该图形的面积．②点E的坐标为（0，2），m＞0，n＞0，作MH⊥x轴，垂足为H．是否存在m的值，使得以A、M、H为顶点的三角形与△AOE相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
科目：初中数学
（;房县模拟）问题：对于平面直角坐标系中的任意两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），我们把|x1-x2|+|y1-y2|叫做P1、P2两点间的直角距离，记作d（P1，P2）．如：P（-2，3）、Q（2，5）则P、Q两点的直角距离为d（P，Q）=|-2-2|+|3-5|=6请根据根据以上阅读材料，解答下列问题：（1）计算M（-2，7），N（-3，-5）的直角距离d（M，N）=13．（2）已知O为坐标原点，动点P（x，y）满足d（O，P）=1，则x与y之间满足的关系式为|x|+|y|=1．（3）设P0（x0，y0）是一定点，Q（x，y）是直线y=ax+b上的动点，我们把d（P0，Q）的最小值叫做P0到直线y=ax+b的直角距离，试求点M（4，2）到直线y=x+2的直角距离．
科目：初中数学
来源：2012年初中毕业升学考试（江苏无锡卷）数学（带解析）
题型：解答题
）对于平面直角坐标系中的任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），我们把|x1﹣x2|+|y1﹣y2|叫做P1、P2两点间的直角距离，记作d（P1，P2）．（1）已知O为坐标原点，动点P（x，y）满足d（O，P）=1，请写出x与y之间满足的关系式，并在所给的直角坐标系中画出所有符合条件的点P所组成的图形；（2）设P0（x0，y0）是一定点，Q（x，y）是直线y=ax+b上的动点，我们把d（P0，Q）的最小值叫做P0到直线y=ax+b的直角距离．试求点M（2，1）到直线y=x+2的直角距离．
科目：初中数学
来源：2012年初中毕业升学考试（江苏无锡卷）数学（解析版）
题型：解答题
）对于平面直角坐标系中的任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），我们把|x1﹣x2|+|y1﹣y2|叫做P1、P2两点间的直角距离，记作d（P1，P2）．
（1）已知O为坐标原点，动点P（x，y）满足d（O，P）=1，请写出x与y之间满足的关系式，并在所给的直角坐标系中画出所有符合条件的点P所组成的图形；
（2）设P0（x0，y0）是一定点，Q（x，y）是直线y=ax+b上的动点，我们把d（P0，Q）的最小值叫做P0到直线y=ax+b的直角距离．试求点M（2，1）到直线y=x+2的直角距离．这是个机器人猖狂的时代，请输一下验证码，证明咱是正常人~考点：四边形综合题
分析：（1）由正方形及垂直的性质就可以得出∠ADF=∠DCN，就可以得出△ADF≌△DCN就可以得出结论；（2）①根据正方形的性质可以得出△AFE∽△CDE，由相似三角形的性质就可以得出t的值就可以求出CM的值；②关键正方形的性质证明△AFE∽△CDE就可以表示出AF，再由△MND∽△DFA就可以得出ND=t，进而求出结论．
解答：（1）证明：如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=DC=AB=BC，∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°．∴AC=62．∵MN⊥DF，∴∠DHN=∠DHC=90°∴∠DNC+∠ADF=90°，∠DNC+∠DCN=90°，∴∠ADF=∠DCN．在△ADF与△DNC中，∠DAF=∠CDNAD=CD∠ADF=∠DCN，∴△ADF≌△DNC（ASA），∴DF=MN．（2）解：①∵点F是边AB中点时，∴AF=12AB=3，∴AFCD=12．∵AB∥CD，∴△AFE∽△CDE，∴AECE=AFCD=12．∴AE=12EC，∴AE=13AC=13×62=22，∴2t=22，∴t=2，∴CM=t=2．②CM=DN．理由：如图2，∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，AD=DC=AB=BC，∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°．∴△AFE∽△CDE，∴AFCD=AEEC．∴AF6=2t62-2t，∴AF=6t6-t．∵∠ADF=∠DMN，∠DAF=∠NDM，∴△MND∽△DFA，∴NDAF=DMAD，∴ND6t6-t=6-t6，解得：ND=t．∵CM=t∴ND=CM．
点评：本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，相似三角形的判定及性质的运用．解答时运用相似三角形的性质求解是关键．
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科目：初中数学
如图，长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，A、C两点的坐标分别为（3，0），（0，5），点B在第一象限内．（1）如图1，写出点B的坐标（）；（2）如图2，若过点C的直线CD交AB于点D，且把长方形OABC的周长分为3：1两部分，则点D的坐标（）；（3）如图3，将（2）中的线段CD向下平移，得到C′D′，使C′D′平分长方形OABC的面积，则此时点D′的坐标是（）．
科目：初中数学
如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点在格点上．&且A（1，-2），B（5，-4），C（4，1）（1）画出△ABC；（2）若把△ABC向上平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度得到△A′B′C′，在图中画出△A′B′C′，并写出B′的坐标；（3）求出△ABC的面积．
科目：初中数学
甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为45m/min．在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C．假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，cosA=，cosC=．（1）求索道AB的长；（2）若乙游客在C处等了甲游客3分钟，求乙步行的速度．
科目：初中数学
如图，在△ABC中，∠BAC=90，BC∥x轴，抛物线y=ax2-2ax+3经过△ABC的三个顶点，并且与x轴交于点D、E，点A为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）连接CD，在抛物线的对称轴上是否存在一点P使△PCD为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
科目：初中数学
如图，E点为DF上的点，B为AC上的点，∠1=∠2，∠C=∠D．试说明：AC∥DF．解：因为∠1=∠2（&已知&&）∠1=∠3，∠2=∠4所以∠3=∠4所以∥所以∠C=∠ABD，又因为∠C=∠D所以∠D=∠ABD所以&AC∥DF．
科目：初中数学
如图，在?ABCD中，AC=6，BD=8，AC⊥BD，则AB的长为．
科目：初中数学
如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，点E，F分别从点B，D同时以同样的速度沿边BC，DC向点C运动．给出以下四个结论：①AE=AF；②∠CEF=∠CFE；③当点E，F分别为BC，DC的中点时，△AEF是等边三角形．上述结论正确的序号有．
科目：初中数学
若a、b为实数，且满足|a-2|+2=0，则b-a的值为．}